2019届高考数学二轮复习 第三部分 4 回顾4 必练习题 含解析

2019届高三理科数学二轮复习：分类加法计数原理与分步乘法计数原理（知识总结与题型演练）最新考纲1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.知识总结1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.[常用结论与微点提醒]1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.()解析分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事，所以(1)，(4)均不正确.答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为()A.6B.5C.3D.2解析5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.答案 B3.(选修2－3P28B2改编)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A.24种B.30种C.36种D.48种解析需要先给C块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B块着色，有2种结果；最后给D块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48(种). 答案 D4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有种(用数字作答).解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法计数原理，总的报名方法共2×2×2×2×2＝32(种).答案325.(2018·西安月考)已知某公园有5个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法的种数为(用数字作答).解析分两步，第一步选一个门进有5种方法，第二步再选一个门出有4种方法，所以共有5×4＝20种走法.答案20题型演练考点一分类加法计数原理的应用【例1】(1)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为.(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为.解析(1)当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4；若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3；若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2.由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.(2)当个位数字为2时，十位数字为1，共1个；当个位数字为3时，十位数字为1，2，共2个；当个位数字为4时，十位数字为1，2，3，共3个；……当个位数字为9时，十位数字为1，2，3，4，…，7，8，共8个；由分类加法计数原理可知满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋…＋8＝36.答案(1)13(2)36规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(1)中易漏a＝0这一类.【训练1】(1)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A.3B.4C.6D.8(2)如图，从A到O有种不同的走法(不重复过一点).解析(1)以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9；把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8个.(2)分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 共2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O共2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.答案(1)D(2)5考点二分步乘法计数原理的应用【例2】(1)(2018·石家庄模拟)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A.10种B.25种C.52种D.24种(2)(2016·全国Ⅱ卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9解析(1)每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法.(2)分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径.故选B.答案(1)D(2)B规律方法(1)在第(1)题中，易误认为分5步完成，错选B.(2)利用分步乘法计数原理应注意：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.【训练2】(1)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为.(2)(2018·合肥质检)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有种.解析(1)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据分步乘法计数原理，三位数的个数为5×5×4＝100.(2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性.答案(1)100(2)4554考点三两个计数原理的综合应用(多维探究)命题角度1组数、组点、组线、组对及抽取问题【例3－1】如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48B.18C.24D.36解析在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”.答案 D命题角度2涂色、种植问题【例3－2】(一题多解)如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数.解法一按所用颜色种数分类.第一类：5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类：只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类：只用3种颜色，则A与C，B与D必定同色，共有A35种不同的方法.由分类加法计数原理，得不同的染色方法种数为A55＋2×A45＋A35＝420(种).法二以S，A，B，C，D顺序分步染色.第一步：S点染色，有5种方法；第二步：A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步：B点染色，与S，A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步：C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B 也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种).规律方法(1)①注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.②注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.(2)解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.例题中，相邻顶点不同色，要按A，C和B，D是否同色分类处理.【训练3】(1)(一题多解)(2018·大同质检)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A.72种B.48种C.24种D.12种(2)如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有个(用数字作答).解析(1)法一首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法.法二按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B 有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种).(2)把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).答案(1)A(2)40小检测基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2018·郑州调研)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有()A.8种B.9种C.10种D.11种解析设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法.答案 B2.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数的个数是()A.30B.42C.36D.35解析因为a＋b i为虚数，所以b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数.答案 C3.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A.40B.16C.13D.10解析分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面.答案 C4.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有()A.18个B.15个C.12个D.9个解析依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4，0，0组成3个数分别为400，040，004；由3，1，0组成6个数分别为310，301，130，103，013，031；由2，2，0组成3个数分别为220，202，022；由2，1，1组成3个数分别为211，121，112.共计3＋6＋3＋3＝15(个).答案 B5.某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为()A.20B.25C.32D.60解析依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.答案 C6.集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A.9B.14C.15D.21解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个).当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y.∴x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).答案 B7.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法的种数为()A.3B.5C.9D.12解析只用一种币值有2张10元，4张5元，20张1元，共3种；用两种币值的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5元，10张1元；1张5元，15张1元，共5种；用三种币值的有1张10元，1张5元，5张1元，共1种.由分类加法计数原理得，共有3＋5＋1＝9(种).答案 C8.从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有()A.32个B.34个C.36个D.38个解析将和等于11的放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.从每一小组中取一个，有C12＝2种，共有2×2×2×2×2＝32个.答案 A二、填空题9.某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有种.解析因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(种).答案710.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种(用数字作答).解析第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法.第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法.由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种).答案3611.在编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中放入两个不同的小球，每个盒子中最多放入一个小球，且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不同的放小球的方法有种. 解析设两个不同的小球为A，B，当A放入1号盒或者6号盒时，B有4种不同的放法；当A放入2，3，4，5号盒时，B有3种不同的放法，一共有4×2＋3×4＝20种不同的放法.答案2012.如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有种不同的涂色方法(用数字作答).解析区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C 与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法.所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法.答案260能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2018·河南天一大联考)如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有()A.360种B.720种C.780种D.840种解析由题意知2，3，4，5的颜色都不相同，先涂1，有6种方法，再涂2，3，4，5，有A45种方法，故一共有6·A45＝720种.答案 B14.(2018·衡水调研)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279解析0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个).答案 B15.三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数是.解析另两边长用x，y(x，y∈N)表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.当y取11时，x可取1，2，3，...，11，有11个三角形；当y取10时，x可取2，3， (10)有9个三角形；…；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形.所以所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案3616.已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x<y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有个.解析A＝{1}时，B有23－1种情况；A＝{2}时，B有22－1种情况；A＝{3}时，B有1种情况；A＝{1，2}时，B有22－1种情况；A＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B均有1种情况，故满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17个.答案17。

[必练习题]1．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D.53解析：选B.在等差数列{a n }中，S 3＝3（a 1＋a 3）2＝3（a 1＋6）2＝12，解得a 1＝2，又a 3＝a 1＋2d ＝2＋2d ＝6，解得d ＝2，选B.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＋a 4＝6，则S 5等于( ) A ．10 B ．12 C ．15D ．30解析：选C.由等差数列的性质可得a 2＋a 4＝a 1＋a 5，所以S 5＝5（a 1＋a 5）2＝15，故选C.3．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 2·a 6＝9a 4，a 2＝1，则a 1的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－13D.13解析：选D.设数列{a n }的公比为q ，由a 2·a 6＝9a 4，得a 2·a 2q 4＝9a 2q 2，解得q 2＝9，所以q ＝3或q ＝－3(舍)，所以a 1＝a 2q ＝13.故选D.4．已知数列{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析：选D.设数列{a n }的公比为q .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 1q 4×a 1q 5＝a 1q 3×a 1q 6＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝－2，a 1q 6＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝4，a 1q 6＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12.当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2时，a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝1＋(－2)3＝－7；当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12时，a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝(－8)×⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－123＝－7.综上，a 1＋a 10＝－7.故选D.5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：选C.法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (6，0)时，z 取得最大值，即z max ＝6，故选C.法二：目标函数z ＝x ＋y 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当x ＝3，y ＝0时，z ＝3；当x ＝6，y ＝0时，z ＝6；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以z max ＝6，故选C.6．若数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析：选B.依题意可设等差数列{b n }的公差为d ，则b 10＝b 3＋7d ＝－2＋7d ＝12，解得d ＝2，所以b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8，又b n ＝a n ＋1－a n ，则b 7＝a 8－a 7，b 6＝a 7－a 6，…，b 1＝a 2－a 1，采用累加法可得，b 7＋b 6＋…＋b 1＝(a 8－a 7)＋(a 7－a 6)＋…＋(a 2－a 1)＝a 8－a 1，又易知b 1＋b 2＋…＋b 7＝0，则a 8＝a 1＝3，故选B.7．在各项均不为零的数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝13，2a n a n ＋2＝a n ＋1a n ＋2＋a n a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018＝( )A.14 033B.14 034C.14 035D.14 037解析：选C.因为2a n a n ＋2＝a n ＋1a n ＋2＋a n a n ＋1(n ∈N *)，所以2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，其公差d ＝1a 2－1a 1＝2，所以1a n＝1＋(n －1)×2＝2n －1，a n ＝12n －1，所以a 2 018＝14 035.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≥1，21－x －2，x ＜1，则不等式f (x －1)≤0的解集为________．解析：由题意，得f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－2，x ≥2，22－x －2，x ＜2，当x ≥2时，由2x －2－2≤0，解得2≤x ≤3；当x ＜2时，由22－x －2≤0，解得1≤x ＜2.综上所述，不等式f (x －1)≤0的解集为{x |1≤x ≤3}．答案：[1，3]9．已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝3na n －12a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)，则通项公式a n ＝________．解析：由a n ＝3na n －12a n －1＋n －1⇒n a n ＝13·n －1a n －1＋23，令n a n ＝b n ，则b n ＝13·b n －1＋23⇒b n －1＝13·(b n －1－1)，由a 1＝32，得b 1－1＝－13，所以{b n －1}是以－13为首项，13为公比的等比数列，所以b n －1＝－13·⎝⎛⎭⎫13n －1，得a n ＝nb n ＝n ·3n 3n －1.答案：n ·3n3n －110．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n a n ＋1＝3n ，则S 2 017＝________． 解析：由a n a n ＋1＝3n，得a n －1a n ＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＋1a n －1＝3(n ≥2)，则数列{a n }的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，又a 1＝1，a 1a 2＝3，所以a 2＝3，所以S 2 017＝1×（1－31 009）1－3＋3×（1－31 008）1－3＝31 009－2.答案：31 009－2。

2019届高三二轮精品 第三篇 方法应用篇方法四 分离（常数）参数法分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 1 分离常数法分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围. 1.1 用分离常数法求分式函数的最值（值域）分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax by cx d+=+， ，， 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.例1. 已知函数（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的值域； （Ⅲ）当[]1,2x ∈时，恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 2a =；(Ⅱ) ()1,1-；(Ⅲ) 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（Ⅰ）∵()f x 是R 上的奇函数， ∴，即.整理可得2a =．（注：本题也可由()00f =解得2a =，但要进行验证）（Ⅲ）当[]1,2x ∈时，．由题意得在[]1,2x ∈时恒成立，∴在[]1,2x ∈时恒成立． 令，则有，∵当13t ≤≤时函数21y t t=-+为增函数， ∴.∴103m ≥. 故实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 例2.一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：OQP ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8. 【解析】（Ⅰ）设点，，依题意，2MD DN =，且，所以，且即且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故，代入2201x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线，第21题解答图第21题图1第21题图2由 消去y ，可得.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以，即. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得；同理可得.由原点O 到直线PQ 的距离为d =和，可得. ②将①代入②得，.当214k >时，；当2104k ≤<时，.因2104k ≤<，则，22214k ≥-，所以，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8. 1.2 用分离常数法判断分式函数的单调性例3.已知函数，判断函数()f x 的单调性.【答案】当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.【解析】由已知有，x b ≠-，∴当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.例4.【2018届高三训练】若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈1(0, 2⎤⎥⎦恒成立，则a 的最小值为( )A. 0B. －2C. －52D. －3 【答案】C【解析】因为x∈1(0, 2⎤⎥⎦，且x 2＋ax ＋1≥0，所以a≥－1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以a≥－max1x x ⎛⎫+⎪⎝⎭. 又y ＝x ＋1x 在1(0, 2⎤⎥⎦内是单调递减的， 所以a≥－max1x x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－(12＋112)＝－52 故选：C1.3 用分离常数法创设应用基本不等式的条件 例5.已知，则的大小关系是( ).A ．B ．C ．D ．【答案】B2 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.2.1 用分离参数法解决不等式恒成立问题例6.【山东省济南市2019届高三上学期期末】已知函数，若对任意，不等式恒成立，其中，则的取值范围是( )A． B． C． D．【答案】B【解析】学-科网作出函数的图象，由图像可知：函数在R上单调递减，，即，由函数在R上单调递减，可得：变量分离可得：，令则,又∴∴故选：B例7.【广东省2019届高三上期末】已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，设，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】 （1)当时，，则函数在点处的切线的斜率为.又，故函数在点处的切线方程为即.（2）由可得，即.因为，所以.令，则.令则（8分）因为，所以， 所以在上单调递增，则，所以，即实数的取值范围.2.2 求定点的坐标 例8. 已知直线l ：，m R ∈，求证：直线l 恒过定点.【答案】(3,1). 【解析】直线l 的方程可化为，设直线l 恒过定点(,)M x y ，由m R ∈，得(3,1)M ⇒，∴直线l 恒过定点(3,1).【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.。

2019届人教版A版高三回顾知识练习3数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合A= { x | x（x﹣2）≤ 0 } ，B= { ﹣2，﹣1，0，1，2 } ，则A∩B=（）A．{ ﹣2，﹣1 } B． { 1，2 } C． { ﹣1，0，1，2 } D． { 0，1，2 }2. 已知zi=i﹣1，则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限3. 命题“ ∃ x ∈ R，sinx ＞1”的否定是（）A．∃ x∈R，sinx≤1 B．∀ x∈R，sinx＞1C．∃ x∈R，sinx=1 D．∀ x∈R，sinx≤14. 已知等差数列 { a n } 中，若a 3 + 3a 6 + a 9 =120，则2a 7 ﹣a 8 的值为（）A．24 B．﹣24 C． 20 D．﹣205. 已知函数f（x）=cos（πx + φ）（0 ＜φ＜）的部分图象如图所示，f（x0 ）=f（0），则正确的选项是（）A． B．C． D．6. 设双曲线 =1（a ＞ 0，b ＞ 0）的右焦点为F，点F到渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率等于（）A． B． C． D． 37. 若x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．﹣5 B． C． 0 D． 28. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B． C．﹣1 D． 29. 函数g（x）=x 3 + + 3lnx + b（b ∈ R）在x=1处的切线过点（0，﹣5），则b=（）A． B． C． D．10. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．4 B． 2 C． D．11. 已知抛物线C：y 2 =2px（p ＞ 0）的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点A，B两点，且直线l与圆x 2 ﹣px + y 2 ﹣ =0交于C，D两点，若 | AB | =2 | CD | ，则直线l的斜率为（）A． B． C．± 1D．12. 函数f（x）的定义域为实数R，f（x）= 对任意的x ∈R都有f（x + 2）=f（x﹣2）．若在区间 [ ﹣5，3 ] 上函数g（x）=f（x）﹣mx + m恰好有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题13. 在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于π的概率为_______．14. 已知向量 =（x，y）， =（﹣1，2 ），且 + =（1，3），则等于_______．15. 已知正实数x，y满足xy=x + y，若xy ≥ m﹣2恒成立，则实数m的最大值是_______．16. 数列 { a n } 满足a 1 =2，且a n+1 ﹣a n =2 n （n ∈ N * ），则数列的前10项和为_______．三、解答题17. 在△ ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且三角形的面积为S= accos B．（（Ⅰ ）求角B的大小；（Ⅱ）若c=8，点D在BC上，且CD=2，cos ∠ ADB=﹣，求b的值．18. 某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015年的统计数据：p19. ly:宋体; font-size:10.5pt">年份 2011 2012 2013 2014 2015 居民生活用水量（万吨） 236 246 257 276 286 （Ⅰ）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程y=bx + a；（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．参考公式：．20. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ PAB和△ CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=2PC= ，D是PC的中点（1）证明：AB ⊥ PC；（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．21. 已知椭圆 =1（a ＞ 0，b ＞ 0）的右焦点为F（1，0），左顶点到点F的距离为 + 1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l与椭圆E交于A，B两点，且与短轴交于点C，若△ OAF与△ OBC的面积相等，求直线l的方程．22. 已知函数f（x）=﹣x + alnx（a ∈ R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=x 2 ﹣2x + 2a，若对任意x 1 ∈ （0，+ ∞），均存在x 2 ∈[ 0，1 ] ，使得f（x 1 ）＜ g（x 2 ），求a的取值范围．23. 如图，AB为⊙ O的直径，过点B作⊙ O的切线BC，OC交⊙ O于点E，AE的延长线交BC于点 D．（Ⅰ）求证：CE 2 =CD•C B（Ⅱ）若D为BC的中点，且BC=2 ，求AB与DE的长．24. 在直角坐标系xOy中，圆C 1 和C 2 的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 1 和C 2 的极坐标方程；（2）射线OM：θ=a与圆C 1 的交点为O、P，与圆C 2 的交点为O、Q，求| OP | • | OQ | 的最大值．25. 已知函数f（x）= | x﹣a |+ m | x + a | ．（Ⅰ）当m=a=﹣1时，求不等式f（x）≥ x的解集；（Ⅱ）不等式f（x）≥ 2（0 ＜ m ＜ 1）恒成立时，实数a的取值范围是{ a | a ≤ ﹣3或a ≥ 3 } ，求实数m的集合．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

热点一 分段函数的性质、图象以及应用新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量X 在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 分段函数与函数值分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题． 例 1【山东省枣庄第八中学2019届高三1月考前测试】已知函数（ ）A ．8B ．6C ．3D ．1 【答案】C 【解析】 由函数,可得，则，解得.所以.故选C.2 分段函数与图象：分段函数的图象分段画.例 2.已知函数，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则，化简得，因g x在上都是增函数.又，故选B.此()3 分段函数与方程已知函数值求自变量x或其它参数的值的问题，一般按自变量x的取值范围分类讨论，通过解方程而得到.数形结合是解答此类问题的重要方法.例3【河北省衡水中学2019届高三上学期五调】已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意函数恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数与有两不同交点，作出函数图像如下图，易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点.故选B.4 分段函数与不等式将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想.例4【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟】已知函数若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B5 分段函数与零点解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．讨论参数、数形结合是解答此类问题的重要方法.例5【2019年上海市普陀区高考一模】设是定义在R上的周期为4的函数，且，记，若则函数在区间上零点的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】由图可知：直线与在区间上的交点有8个，故选：D ．6 分段函数与解析式分段函数是定义域中各段的x 与y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时，也是分段求解析式的.例 6【2018届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）】已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时，，则不等式()0f x >的解集用区间表示为（ ）A. ()1,1-B.C.D.【答案】D【解析】f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （0）=0．设x ＜0，则-x ＞0，∵当x ＞0时，f （x ）=x 2-x ， ∴f （-x ）=x 2+x ，又f （-x ）=x 2+x=-f （x ），∴f （x ）=-x 2-x ，x ＜0．当x ＞0时，由f （x ）＞0得x 2-x ＞0，解得x ＞1或x ＜0（舍去），此时x ＞1． 当x=0时，f （0）＞0不成立．当x ＜0时，由f （x ）＞0得-x 2-x ＞0，解得-1＜x ＜0． 综上x ∈（-1，0）∪（1，+∞）． 故选D.7 分段函数与周期和最值分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像来解决.例 7【2018届山西省太原十二中高三1月月考】已知8m n -<<，函数若()f x 的值域为[]1,3-，则n m -的最大值与最小值之积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B点睛：这是一个动态变化的问题，注意到函数在区间[)8,m -有最大值3，但无最小值，故函数的最小值1-只能在[],m n 取得，但是，因此[]1,m n ∈且12m ≤-，再根据()f x 的最大值为3，得到，所以n m -的最小值为32，最大值为4，它们的乘积为6. 例 8【2018届贵州省贵阳市第一中学高三12月月考】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，，则函数在区间3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】由已知()f x 是定义在R 上的奇函数，所以，又，所以()f x。

第3讲立体几何中的向量方法[真题再现]1．（2018·课标Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD，BC的中点,以DF为折痕把△DFC使点C到达点P的位置，且PF⊥BF。

(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．[解］(1）证明：由已知可得BF⊥PF,BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD。

（2)解：如图，作PH⊥EF，垂足为H.由（1)得，PH⊥平面ABFD。

以H为坐标原点，错误!的方向为y轴正方向,|错误!｜为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H.xyz.由（1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1,所以PE＝错误!.又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.所以PH＝错误!，EH＝错误!.则H（0，0,0），P错误!，D错误!，错误!＝错误!,错误!＝错误!.又错误!为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为θ，则sin θ＝错误!＝错误!＝错误!。

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为错误!.2．（2018·课标Ⅱ）如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明:PO⊥平面ABC；(2）若点M在棱BC上，且二面角M。

P A-C为30°，求PC与平面P AM所成角的正弦值[解］(1）证明：因为P A＝PC＝AC＝4,O为AC的中点,所以OP⊥AC，且OP＝2错误!.如图，连接OB.因为AB＝BC＝错误!AC,所以△ABC为等腰直角三角形，且OB ⊥AC,OB＝错误!AC＝2。

由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC,OB∩AC＝O，得PO⊥平面ABC.（2）解:如图，以O为坐标原点，错误!的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O。

xyz。

由已知得O（0，0,0）,B（2，0，0)，A（0,－2，0）,C(0,2,0)，P(0,0，2错误!），错误!＝（0,2,2错误!)．取平面P AC的一个法向量错误!＝(2，0，0）．设M (a ，2－a,0）（0≤a ≤2)，则错误!＝(a ，4－a,0)．设平面P AM 的法向量为n ＝(x ,y ,z ）．由AP ，→·n ＝0，错误!·n ＝0得错误!可取y ＝错误!a ,得平面P AM 的一个法向量为n ＝(错误!（a －4），错误!a ，－a ）,所以cos 错误!，n ＝错误!。

回扣4数列1．牢记概念与公式等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n}的常用性质(2)判断等差数列的常用方法①定义法a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．②通项公式法a n＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．③中项公式法2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．④前n项和公式法S n＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法①定义法a n＋1a n＝q(q是不为0的常数，n∈N *)⇔{an}是等比数列．②通项公式法a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． ③中项公式法a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列，利用错位相减法求和． (3)通项公式形如a n ＝c (an ＋b 1)(an ＋b 2)(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和．(4)通项公式形如a n ＝(－1)n ·n 或a n ＝a ·(－1)n (其中a 为常数，n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n b n 时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，裂项前后的值要相等， 如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.8．通项中含有(－1)n 的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 13>0，S 14<0，若a k ·a k ＋1<0，则k 等于( ) A ．6B ．7C ．13D ．14 答案 B解析 因为{a n }为等差数列，S 13＝13a 7，S 14＝7(a 7＋a 8)， 所以a 7>0，a 8<0，a 7·a 8<0，所以k ＝7.2．已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝12，则a 5＋a 6等于( ) A ．3B ．15C ．48D ．63 答案 C解析 a 3＋a 4a 1＋a 2＝q 2＝4，所以a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)·q 2＝48.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．12 D ．13答案 C解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零， 又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0， ∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.4．已知数列{a n }满足13n a ＋＝9·3n a(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则15793log ()a a a ＋＋等于( ) A ．－13B ．3C ．－3 D.13答案 C解析 由已知13n a＋＝9·3n a＝23n a ＋，所以a n ＋1＝a n ＋2，所以数列{a n }是公差为2的等差数列，a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋3d )＋(a 4＋3d )＋(a 6＋3d ) ＝(a 2＋a 4＋a 6)＋9d ＝9＋9×2＝27，所以15793log ()a a a ＋＋＝13log 27＝－3.故选C.5．已知正数组成的等比数列{a n }，若a 1·a 20＝100，那么a 7＋a 14的最小值为( ) A ．20 B ．25 C ．50 D ．不存在答案 A解析 在正数组成的等比数列{a n }中，因为a 1·a 20＝100，由等比数列的性质可得a 1·a 20＝a 7·a 14＝100，那么a 7＋a 14≥2a 7·a 14＝2100＝20，当且仅当a 7＝a 14＝10时取等号，所以a 7＋a 14的最小值为20.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n 等于( ) A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2答案 A解析 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)⇒a n ＋1＝2a n ，再令n ＝1，∴S 1＝2a 1－4⇒a 1＝4， ∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，故选A.7．已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3等于( )A ．2B ．3C ．5D ．7 答案 B解析 ∵在等差数列{a n }中，a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，∴d 2＝a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝a 1，∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝15a 15a 1＝3，故选B.8．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n (4＋cos n π)＝n (2－cos n π)(n ∈N *)，则S 20等于( ) A ．31 B ．122 C ．324 D ．484答案 B解析 由题意可知，因为a n (4＋cos n π)＝n (2－cos n π)， 所以a 1＝1，a 2＝25，a 3＝3，a 4＝45，a 5＝5，a 6＝65，…，所以数列{a n }的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成首项为25，公差为25的。

专题检测（三） 不等式一、选择题1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式 x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－3解析：选D 由题意得，不等式x 2－2x －3＜0的解集A ＝(－1，3)，不等式x 2＋x －6＜0的解集B ＝(－3,2)，所以A ∩B ＝(－1,2)，即不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为(－1,2)，所以a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.2．若x >y >0，m >n ，则下列不等式正确的是( ) A ．xm >ym B ．x －m ≥y －n C.x n >y mD ．x >xy解析：选D A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m 可能为0或负数；B 不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C 不正确，因为m ，n 的正负不确定．故选D.3．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：选D ∵－2 ∉ p ，∴－2－3－2＋a<1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3. 4．(2018·成都一诊)若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[0，＋∞)解析：选B 法一：当x ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当x ＞0时，x 2＋2ax ＋1≥0⇒2ax ≥－(x 2＋1)⇒2a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，又－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时取等号，所以2a ≥－2⇒a ≥－1，所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．法二：设f (x )＝x 2＋2ax ＋1，函数图象的对称轴为直线x ＝－a .当－a ≤0，即a ≥0时，f (0)＝1＞0，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒成立；当－a ＞0，即a ＜0时，要使f (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f (－a )＝a 2－2a 2＋1＝ －a 2＋1≥0，得－1≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ＞0，2x－1，x ≤0，若不等式f (x )＋1≥0在R 上恒成立，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D ．[0,2]解析：选C 由f (x )≥－1在R 上恒成立，可得当x ≤0时，2x－1≥－1，即2x≥0，显然成立；又x ＞0时，x 2－ax ≥－1，即为a ≤x 2＋1x ＝x ＋1x ，由x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，取得最小值2，可得a ≤2，综上可得实数a 的取值范围为(－∞，2]．6．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 法一：因为1a <1b<0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.法二：由1a <1b<0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <1ab，故①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．7．(2018·长春质检)已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由4x ＋y ＝xy ，得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫ 4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.8．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0， x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示． 则A (1,2)，B (1，－1)，C (3,0)， 因为目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，所以目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 处取得，所以若在A 处取得，则k －2＝0，得k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；若在B 处取得，则k ＋1＝0，得k ＝－1，此时，z ＝－x －y ， 在B 点取得最大值，故不成立，故选B.9．(2019届高三·湖北五校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A ．15万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 设生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，获利润z 万元，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0， y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝3x ＋4y 过点M 时取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2,3)，故z ＝3x ＋4y 的最大值为18，故选D.10．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0， x ＋y ≥0，x ≤3，若y ≥kx －3恒成立，则实数k的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－115，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，113C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫115，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－115∪[0，＋∞)解析：选A 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0， x ＋y ≥0，x ≤3，作出可行域如图中阴影分部所示，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，B (3，－3)，C (3,8)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3≥3k －3， 52≥－ 52k －3，解得－115≤k ≤0.所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－115，0. 11．若两个正实数x ，y 满足13x ＋3y ＝1，且不等式x ＋y 4－n 2－13n12＜0有解，则实数n 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2512，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512 解析：选B 因为不等式x ＋y 4－n 2－13n12＜0有解，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＜n 2＋13n 12，因为x ＞0，y ＞0，且13x ＋3y＝1，所以x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋3y ＝1312＋3x y ＋y 12x ≥1312＋23xy ·y 12x ＝2512， 当且仅当3x y ＝y 12x ，即x ＝56，y ＝5时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝2512，故n 2＋13n 12－2512＞0，解得n ＜－2512或n ＞1，所以实数n 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)．12．(2019届高三·福州四校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，其中a＞0，若x －yx ＋y的最大值为2，则a 的值为( ) A.12 B.14C.38D.59解析：选C 设z ＝x －y x ＋y ，则y ＝1－z 1＋z x ，当z ＝2时，y ＝－13x ，作出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－13x ，易知此直线与区域的边界线2x －2y －1＝0的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫38，－18，当直线x ＝a 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫38，－18时，a ＝38，又此时直线y ＝1－z 1＋z x 的斜率1－z 1＋z 的最小值为－13，即－1＋2z ＋1的最小值为－13，即z 的最大值为2，符合题意，所以a 的值为38，故选C.二、填空题13．(2018·岳阳模拟)不等式3x －12－x ≥1的解集为________．解析：不等式3x －12－x ≥1可转化成3x －12－x －1≥0，即4x －32－x ≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧4x －3x －2≤0，2－x ≠0，解得34≤x ＜2，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜214．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9.答案：915．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则关于x 的不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a ＜0的解集为________．解析：由题意知－1，12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12＝－b a ，－12＝ca ，且a ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12a ，c ＝－12a .所以不等式c (lg x )2＋lg x b＋a ＜0化为 －12a (lg x )2＋b lg x ＋a ＜0， 即－12a (lg x )2＋12a lg x ＋a ＜0.所以(lg x )2－lg x －2＜0，所以－1＜lg x ＜2，所以110＜x ＜100.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|110＜x ＜10016．设x ＞0，y ＞0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x ，则当x ＋1y 取最小值时，x 2＋1y2＝________.解析：∵x ＞0，y ＞0，∴当x ＋1y取最小值时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2取得最小值，∵⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝x 2＋1y2＋2x y，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x， ∴x 2＋1y 2＝2x y ＋16y x，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝4x y ＋16y x≥24x y ·16yx＝16，∴x ＋1y ≥4，当且仅当4x y ＝16yx，即x ＝2y 时取等号，∴当x ＋1y 取最小值时，x ＝2y ，x 2＋1y 2＋2x y ＝16，即x 2＋1y 2＋2×2y y＝16，∴x 2＋1y2＝16－4＝12.答案：12。

2020高考仿真模拟卷(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝3－x 2}，则M ∩N ＝( ) A ．[－3，3]B ．[－1，3] C ．∅D ．(－1，3] 答案 B解析 因为集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，N ＝{x |y ＝3－x 2}＝{x |－3≤x ≤3}，则M ∩N ＝[－1，3]．2．设命题p ：∃x ∈Q,2x－ln x <2，则綈p 为( ) A ．∃x ∈Q,2x－ln x ≥2 B．∀x ∈Q,2x－ln x <2 C ．∀x ∈Q,2x－ln x ≥2 D．∀x ∈Q,2x－ln x ＝2 答案 C解析 綈p 为∀x ∈Q,2x－ln x ≥2. 3．若函数f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 设f (x )＝x α(α为常数)，∵满足f 4f 2＝3，∴4α2α＝3，∴α＝log 23.∴f (x )＝x log23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－log23＝13.4．已知下列四个命题：①存在a ∈R ，使得z ＝(1－i)(a ＋i)为纯虚数；②对于任意的z ∈C ，均有z ＋z －∈R ，z ·z －∈R ；③对于复数z 1，z 2，若z 1－z 2>0，则z 1>z 2；④对于复数z ，若|z |＝1，则z ＋1z∈R .其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，若z 为纯虚数，则a ＋1＝0，1－a ≠0，得a ＝－1，故①正确；②设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，那么z ＋z －＝2a ∈R ，z ·z －＝a 2＋b 2∈R ，故②正确；③令z 1＝3＋i ，z 2＝－2＋i ，满足z 1－z 2>0，但不满足z 1>z 2，故③不正确；④设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a ，b 不同时为0，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1，则z ＋1z＝a＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b ia 2＋b2＝2a ∈R ，故④正确． 5．关于直线a ，b 及平面α，β，下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥α，α∩β＝b ，则a ∥b B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β C ．若a ⊥α，α∥β，则α⊥β D ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥α 答案 C解析 A 错误，因为a 不一定在平面β内，所以a ，b 有可能是异面直线；B 错误，若α⊥β，m ∥α，则m 与β可能平行，可能相交，也可能m 在β内；由直线与平面垂直的判断定理能得到C 正确；D 错误，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2＝( )A ．3B ．9C ．10D ．13 答案 C解析 因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，所以6a 4＝a 6－a 5，设等比数列{a n }的公比为q ，则6a 4＝a 4q 2－a 4q ，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝10.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－2,0)，过点F 1作倾斜角为30°的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ，则椭圆的标准方程为( )A.y 28＋x 24＝1B.x 28＋y 24＝1C.y 216＋x 212＝1 D.x 216＋y 212＝1 答案 B解析 由左焦点为F 1(－2,0)，可得c ＝2，即a 2－b 2＝4，过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x ＋2)，圆心(0,0)到直线的距离d ＝233＋9＝1， 由直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ， 可得2b 2－1＝3b ，解得b ＝2，a ＝22， 则椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.8．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去．”以下推论可能正确的是( )A ．乙、丙两个人去了B ．甲一个人去了C ．甲、丙、丁三个人去了D ．四个人都去了 答案 C解析 因为乙说“丙去我就不去”，且丙一定去，所以A ，D 不可能正确．因为丁说“甲、乙中只要有一人去，我就去”，所以B 不可能正确．选C.9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的n ＝( )A ．50B ．53C ．59D ．62 答案 B解析 模拟程序运行，变量n 值依次为1229,1061,893,725,557,389,221,53，此时不符合循环条件，输出n ＝53.10．(2019·某某高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 答案 C解析 ∵函数f (x )为奇函数，且|φ|<π，∴φ＝0. 又f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，解得ω＝2.∴f (x )＝A sin2x .由题意可得g (x )＝A sin x ，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2， 即A sin π4＝2，解得A ＝2.故f (x )＝2sin2x .∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.故选C.11．已知数列{a n }，定义数列{a n ＋1－2a n }为数列{a n }的“2倍差数列”，若{a n }的“2倍差数列”的通项公式为a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，且a 1＝2，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 33＝( )A ．238＋1 B ．239＋2 C ．238＋2 D ．239答案 B解析 根据题意，得a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，a 1＝2，∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差d ＝1的等差数列，∴a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n， ∴S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， ∴2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，∴－S n ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ·2n ＋1＝－2＋(1－n )2n ＋1，∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2，S 33＝(33－1)×233＋1＋2＝239＋2.12．(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32 )>f (2－23 )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23 )>f (2－32 )C ．f (2－32 )>f (2－23 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D ．f (2－23 )>f (2－32 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314答案 C解析 因为f (x )是定义域为R 的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)．又因为log 34>1>2－23 >2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (log 34)<f (2－23 )<f (2－32)．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是________．答案 660解析 根据题意，设高三年级抽取x 人， 则高一抽取(180－x －65)人， 由题意可得2(180－x －65)＝x ＋65， 解得x ＝55.高一学生有720人，则高三年级学生人数为720×55180－65－55＝660.14．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0，且z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)的最大值为4，则1m ＋1n的最小值为________．答案 2解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)过直线x ＝y 与直线2x －y ＝2的交点(2,2)时， 目标函数z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)取得最大值4， 即2m ＋2n ＝4，即m ＋n ＝2， 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，故1m ＋1n的最小值为2.15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9，且a ＋b ＝7，则该双曲线的离心率为________．答案 54解析 设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ， ∵PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9， ∴12mn ＝9，即mn ＝18， ∵在Rt △PF 1F 2中，根据勾股定理，得m 2＋n 2＝4c 2， ∴(m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝4c 2－36，结合双曲线的定义，得(m －n )2＝4a 2，∴4c 2－36＝4a 2，化简整理，得c 2－a 2＝9，即b 2＝9， 可得b ＝3.结合a ＋b ＝7得a ＝4，∴c ＝a 2＋b 2＝5，∴该双曲线的离心率为e ＝c a ＝54.16．已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ．若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为________．答案 2－4ln 2解析 因为f (x )<0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f (x )>0恒成立，即对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立． 令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则l ′(x )＝2ln x ＋2x－2x －12，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－21－xx 2<0，故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2>0， 从而l ′(x )>0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，所以l (x )<l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2，故要使a >2－2ln xx －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·某某某某模拟二)(本小题满分12分)交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是a 元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：将这100险条例》汽车交强险价格为a ＝950元．(1)求m 的值，并估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数； (2)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率． 解 (1)m ＝100－50－10－10－3－2＝25，3分估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数为5000×5100＝250.6分(2)解法一：保费不超过950元的类型有A 1，A 2，A 3，A 4，所求概率为50＋10＋10＋25100＝0.95.12分解法二：保费超过950元的类型有A 5，A 6，概率为3＋2100＝0.05，因此保费不超过950元的概率为1－0.05＝0.95.12分18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．解 f (x )＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).4分所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).5分 (2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12可得，2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )，所以A ＝π3，7分又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，而AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝9，所以bc ＝18，9分所以cos A ＝12＝b ＋c 2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1，所以a ＝3 2.12分19．(2019·某某模拟)(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BCC 1B 1，∠BCC 1＝π3，AB ＝BB 1＝2，BC ＝1，D 为CC 1的中点．(1)求证：DB 1⊥平面ABD ； (2)求点A 1到平面ADB 1的距离． 解 (1)证明：在平面四边形BCC 1B 1中，因为BC ＝CD ＝DC 1＝1，∠BCD ＝π3，所以BD ＝1，又易知B 1D ＝3，BB 1＝2，所以∠BDB 1＝90°， 所以B 1D ⊥BD ，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥DB 1，3分所以B 1D 与平面ABD 内两相交直线AB 和BD 同时垂直， 所以DB 1⊥平面ABD .5分(2)对于四面体A 1－ADB 1，A 1到直线DB 1的距离，即A 1到平面BB 1C 1C 的距离，A 1到B 1D 的距离为2，设A 1到平面AB 1D 的距离为h ，因为△ADB 1为直角三角形，所以S △ADB 1＝12AD ·DB 1＝12×5×3＝152，所以V A 1－ADB 1＝13×152×h ＝156h ，7分因为S △AA 1B 1＝12×2×2＝2，D 到平面AA 1B 1的距离为32， 所以V D －AA 1B 1＝13×2×32＝33，9分因为V A 1－ADB 1＝V D －AA 1B 1，所以15h 6＝33， 解得h ＝255.所以点A 1到平面ADB 1的距离为255.12分20．(2019·某某师大附中模拟三)(本小题满分12分)已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋b 与轨迹C 交于两点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且|y 1－y 2|＝a (a ＞0，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD ，BD .试判断△ABD的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，则Q (－1，y )，∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，即2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，即y 2＝4x ，所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .4分(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，依题意，知k ≠0，且y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝4bk，由|y 1－y 2|＝a ，得(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝a 2， 即16k 2－16b k＝a 2，整理，得16－16kb ＝a 2k 2， 所以a 2k 2＝16(1－kb )，①7分 因为AB 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－bk k 2，2k ，所以点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2，2k ，则S △ABD ＝12|DM |·|y 1－y 2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－bk k 2a ，9分由方程ky 2－4y ＋4b ＝0的判别式Δ＝16－16kb ＞0，得1－kb ＞0，所以S △ABD ＝12·1－bkk2·a ， 由①，知1－kb ＝a 2k 216，所以S △ABD ＝12·a 216·a ＝a332，又a 为常数，故S △ABD 的面积为定值.12分21．(2019·某某某某二模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋ln x －ax 2. (1)讨论函数f (x )的单调区间； (2)证明：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3.解 (1)f (x )＝1＋ln x －ax 2(x ＞0)， f ′(x )＝1－2ax2x，当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；2分 当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，f ′(x )＜0，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.4分 (2)证法一：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3，即证2e 2·e xx －ln x ＞0，令φ(x )＝2e 2·e xx －ln x (x＞0)，φ′(x )＝2x －1e x －e 2x e 2x2，令r (x )＝2(x －1)e x －e 2x ，r ′(x )＝2x e x －e 2，7分 r ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，r ′(1)＜0，r ′(2)＞0，故存在唯一的x 0∈(1,2)使得r ′(x )＝0，∴r (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，∵r (0)＜0，r (2)＝0， ∴当x ∈(0,2)时，r (x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，r (x )＞0； ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝1－ln 2＞0，得证.12分证法二：要证xf (x )＜2e 2·e x －ax 3，即证2e 2·e xx 2＞ln x x ，令φ(x )＝2e 2·e xx 2(x ＞0)，φ′(x )＝2x －2exe 2x3，7分∴当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0. ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝12.令r (x )＝ln x x ，则r ′(x )＝1－ln xx2， 当x ∈(0，e)时，r ′(x )>0，当x ∈(e ，＋∞)时，r ′(x )＜0. ∴r (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴r (x )≤r (e)＝1e，∴φ(x )≥12＞1e ≥r (x )，∴2e 2·e xx 2>ln xx，得证.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，M 为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP →＝aOM →(a >0且a ≠1)，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值．解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，由OP →＝aOM →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0，y ＝ay 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝xa ，y 0＝ya .∵M 在C 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧xa＝2＋2cos θ，ya ＝2sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋2a cos θ，y ＝2a sin θ(θ为参数)，消去参数θ得(x －2a )2＋y 2＝4a 2(a ≠1)，∴曲线C 2是以(2a,0)为圆心，以2a 为半径的圆.5分 (2)解法一：A 点的直角坐标为(1，3)， ∴直线OA 的普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0，设B 点的坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)，则B 点到直线3x －y ＝0的距离d ＝a |23cos α－2sin α＋23|2＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋3，∴当α＝－π6时，d max ＝(3＋2)a ，∴S △AOB 的最大值为12×2×(3＋2)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分解法二：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2a )2＋y 2＝4a 2并整理得，ρ＝4a cos θ，令θ＝α得ρ＝4a cos α，∴B (4a cos α，α)，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB＝4a cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝a |2sin αcos α－23cos 2α|＝a |sin2α－3cos2α－3|＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－3.∴当α＝－π12时，S △AOB 取得最大值(2＋3)a ，依题意有(2＋3)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|3x －1|＋|3x ＋k |，g (x )＝x ＋4. (1)当k ＝－3时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)设k >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，都有f (x )≤g (x )，求k 的取值X 围． 解 (1)当k ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋4，x <13，2，13≤x ≤1，6x －4，x >1，故不等式f (x )≥4可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，6x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧13≤x ≤1，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x <13，－6x ＋4≥4.解得x ≤0或x ≥43，∴所求解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43.5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，由k >－1有，3x －1<0,3x ＋k ≥0，∴f (x )＝1＋k ，不等式f (x )≤g (x )可变形为1＋k ≤x ＋4，故k ≤x ＋3对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13恒成立， 即k ≤－k 3＋3，解得k ≤94，而k >－1，故－1<k ≤94.∴k 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，94.10分。

[必练习题]1．已知tan α＝3，则cos （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫α－π2的值为( )A ．－13B ．－3 C. 13D ．3解析：选A.cos （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝－cos αsin α＝－1tan α＝－13.2．已知x ∈(0，π)，且cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝⎛⎭⎫x －π4等于( ) A.13 B ．－13C ．3D ．－3 解析：选A.由cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，因为x ∈(0，π)，所以tan x ＝2，所以tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.3．函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ) A.34 B ．1 C.32D ．2解析：选C.y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1. 设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t －122＋32，所以当t＝12时，函数取得最大值32. 4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2的值为( )A ．2 2B. 2C ．－22D ．－24解析：选 D.依题意得f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象可知，T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A ＝12.因为0＜φ＜π，3π4＜3π4＋φ＜7π4，且f ′⎝⎛⎭⎫3π8＝cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，所以φ＝π4，f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4＝－12×22＝－24，故选D. 5．已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0＜φ＜x )图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－ 3解析：选B.因为x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫π6＝－1.6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：选C.由题意知c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C. 7．已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角可能是( ) A.π6 B.π3 C.π4D.3π4解析：选D.由|a ＋b |＝|a －b |可得(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，而a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝－|a |2＜0，即a 与b －a 的夹角为钝角，故选D.8．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________． 解析：a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.答案：－69．已知向量a ＝(1，0)，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，若c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则c 在d 方向上的投影为________．解析：依题意得|a |＝1，a ·b ＝1×2×cos 45°＝1，|d |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1，c ·d ＝a 2－b 2＝－1，因此c 在d 方向上的投影等于c ·d |d |＝－1.答案：－110．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)，A ，B 是函数y ＝f (x )图象上相邻的最高点和最低点，若|AB |＝22，则f (1)＝________．解析：设f (x )的最小正周期为T ，则由题意，得22＋⎝⎛⎭⎫T 22＝22，解得T ＝4，所以ω＝2πT ＝2π4＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3，所以f (1)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝sin 5π6＝12. 答案：1211．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则csin C ＝______．解析：依题意得，12bc sin A ＝34c ＝3，则c ＝4.由余弦定理得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，因此a sin A ＝13sin 60°＝2393.由正弦定理得c sin C ＝2393.答案：2393。

小题必刷卷(二).函数概念与函数的性质考查范围:第4讲~第6讲题组一 刷真题角度1 函数的概念1.[2016·全国卷Ⅱ] 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( )A .y=xB .y=lg xC .y=2xD .y=√x2.[2015·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )={2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )= ( )A .-74B .-54C .-34D .-143.[2018·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=log 2(x 2+a ),若f (3)=1,则a= .4.[2018·江苏卷] 函数f (x )=√log 2x -1的定义域为 .5.[2015·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )=ax 3-2x 的图像过点(-1,4),则a= . 角度2 函数的性质6.[2016·北京卷] 下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 ( ) A .y=11−x B .y=cos x C .y=ln (x+1) D .y=2-x7.[2017·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=ln x+ln (2-x ),则 ( ) A .f (x )在(0,2)单调递增 B .f (x )在(0,2)单调递减C .y=f (x )的图像关于直线x=1对称D .y=f (x )的图像关于点(1,0)对称8.[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a-1|)>f (-√2),则a 的取值范围是( )A .-∞,12B .-∞,12∪32,+∞C.12,3 2D.32,+∞9.[2018·全国卷Ⅱ]已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.5010.[2018·上海卷]已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=.11.[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.12.[2017·山东卷]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.13.[2016·北京卷]函数f(x)=xx-1(x≥2)的最大值为.14.[2016·四川卷]若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f-52 +f(2)=.15.[2018·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)=ln(√1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.16.[2018·江苏卷]函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)={cosπx2,0<x≤2,|x+12|,−2<x≤0,则f(f(15))的值为.题组二刷模拟17.[2018·广西部分重点中学联考]已知函数f(x)=5-log3x,x∈(3,27],则f(x)的值域是()A.(2,4]B.[2,4)C.[-4,4)D.(6,9]18.[2018·合肥联考]已知函数f(x)与g(x)=a x(a>0且a≠1)的图像关于直线y=x对称,则“f(x)是增函数”的一个充分不必要条件是()A.0<a<12B.0<a<1C.2<a<3D.a>119.[2018·洛阳三模]下列函数为奇函数的是()A.y=x3+3x2B.y=e x+e-x 2C.y=log23−x3+xD.y=x sin x20.[2018·四川南充二模] 设f (x )是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x (1+x ),则f (-92)= ( ) A .34B .-34C .14D .-1421.[2019·哈尔滨三中月考] 函数f (x )=|log 3x|在区间[a ,b ]上的值域为[0,1],则b-a 的最小值为 ( ) A .2 B .23C .13D .122.[2018·合肥二模] 已知函数f (x )=a -2xa+2x是奇函数,则f (a )= ( )A .-13B .3C .-13或3 D .13或323.[2018·昆明二模] 若函数f (x )={x 2-4x +a,x <1,lnx +1,x ≥1的最小值是1,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,4]B .[4,+∞)C .(-∞,5]D .[5,+∞)24.[2018·安阳二模] 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足12f (x )-g (x )=x -1x 2+1,则f(x)xg(x)的值为( )A .1B .2C .3D .1225.[2018·湖南郴州二模] 已知函数f (x )=e x -1ex ,其中e 是自然对数的底数,则关于x 的不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0的解集为 ( )A .(-∞,-43)∪(2,+∞) B .(2,+∞) C .(-∞,43)∪(2,+∞) D .(-∞,2)26.[2018·河南郑州三模] 设函数f (x )={x 2+x -2,x ≤1,-lgx,x >1,则f [f (-4)]= .27.[2018·广西南宁模拟] 若函数f (x )={(a -1)x +2,x ≤1,-5-2lgx,x >1是R 上的减函数,则a 的取值范围是 .28.[2018·广西梧州二模] 已知函数f (x )是奇函数,定义域为R ,且x>0时,f (x )=lg x ,则满足(x-1)f (x )<0的实数x 的取值范围是 .29.[2018·福州3月质检] 已知函数f (x )对任意x ∈R 都满足f (x )+f (-x )=0,f x+32为偶函数,当0<x ≤32时,f (x )=-x ,则f (2017)+f (2018)= .小题必刷卷(二)1.D [解析] y=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞),只有选项D 满足题意.2.A [解析] 因为2x-1-2>-2恒成立,所以可知a>1,于是由f (a )=-log 2(a+1)=-3得a=7,所以f (6-a )=f (-1)=2-1-1-2=-74.3.-7 [解析] 由f (3)=log 2(9+a )=1, 得9+a=2,即a=-7.4.[2,+∞) [解析] 要使函数f (x )有意义,必须满足{log 2x -1≥0,x >0,解得x ≥2,则函数f (x )的定义域为[2,+∞).5.-2 [解析] 由函数图像过点(-1,4),得f (-1)=a×(-1)3-2×(-1)=4,解得a=-2.6.D [解析] 选项A 中函数y=11−x =-1x -1在区间(-1,1)上是增函数;选项B 中函数y=cos x 在区间(-1,0)上是增函数,在区间(0,1)上是减函数;选项C 中函数y=ln (x+1)在区间(-1,1)上是增函数;选项D 中函数y=2-x =12x在区间(-1,1)上是减函数.7.C [解析] 因为函数f (x )的定义域为(0,2),f (x )=ln x+ln (2-x )=ln (-x 2+2x )=ln [-(x-1)2+1],所以函数f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故选项A ,B 错.由于函数y=-(x-1)2+1,x ∈(0,2)的图像关于直线x=1对称,所以函数f (x )=ln x+ln (2-x )的图像关于直线x=1对称.故选C .8.C [解析] 由f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间(-∞,0)上单调递增,可知f (x )在区间(0,+∞)上单调递减,∴由f (2|a-1|)>f (-√2),f (-√2)=f (√2),可得2|a-1|<√2,即|a-1|<12,∴12<a<32.9.C [解析] 因为f (x )是奇函数,所以f (0)=0,且f [-(1-x )]=-f (1-x ),即f (1-x )=-f (x-1),又由f (1-x )=f (1+x )得f (x+1)=-f (x-1),所以f (x+2)=-f (x ),f (x+4)=-f (x+2)=-[-f (x )]=f (x ),所以f (x )是以4为周期的周期函数.因为f (1)=2,f (2)=f (1+1)=f (1-1)=f (0)=0,f (3)=f (-1)=-f (1)=-2,f (4)=f (0)=0,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0,故f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=f (1)+f (2)=2,故选C .10.-1 [解析] 因为α∈-2,-1,-12,12,1,2,3,幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,所以α是奇数且α<0,所以α=-1.11.12 [解析] 因为函数f (x )为奇函数,所以f (2)=-f (-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.12.6 [解析] 由f (x+4)=f (x-2)可知周期T=6,所以f (919)=f (153×6+1)=f (1),又因为f (x )为偶函数,所以f (1)=f (-1)=6-(-1)=6.13.2 [解析] 因为函数f (x )=x x -1=1+1x -1在区间[2,+∞)上是减函数,所以当x=2时,函数f (x )有最大值f (2)=1+1=2.14.-2 [解析] 因为f (x )是周期为2的函数,所以f (x )=f (x+2).又f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x ),所以f (0)=0.所以f (-52)=f (-12)=-f (12)=-412=-2,f (2)=f (0)=0,所以f (-52)+f (2)=-2. 15.-2 [解析] 由题,f (-x )=ln (√1+x 2+x )+1.∵f (x )+f (-x )=ln (√1+x 2-x )+1+ln (√1+x 2+x )+1=ln (1+x 2-x 2)+2=2,∴f (a )+f (-a )=2,∴f (-a )=-2.16.√22[解析] 由f (x+4)=f (x )(x ∈R ),得f (15)=f (-1+4×4)=f (-1),又-1∈(-2,0],所以f (15)=f (-1)=-1+12=12.而12∈(0,2],所以f (f (15))=f (12)=cosπ2×12=cos π4=√22.17.B [解析] 因为3<x ≤27,所以1<log 3x ≤3,-3≤-log 3x<-1,则2≤f (x )<4.故选B .18.C [解析] 依题意得f (x )=log a x (a>0且a ≠1).当a>1时,f (x )是增函数,所以“2<a<3”是“f (x )是增函数”的充分不必要条件.故选C .19.C [解析] y=x 3+3x 2是非奇非偶函数,y=e x +e -x 2是偶函数,y=log 23−x3+x是奇函数,y=x sin x 是偶函数.故选C .20.B [解析] 因为函数f (x )是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x (1+x ),所以f (-92)=f -92+4=f (-12)=-f (12)=-12×1+12=-34,故选B .21.B [解析] 根据函数f (x )=|log 3x|的图像(图略)可知,若函数f (x )在[a ,b ]上的值域为[0,1],则a=13,1≤b ≤3或b=3,13≤a ≤1.易知当a=13,b=1时,b-a 取得最小值23.故选B . 22.C [解析] 因为f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),即a -2-xa+2-x =-a -2xa+2x 恒成立,整理可得a 2=1,所以a=±1.当a=1时,函数f (x )=1−2x 1+2x ,f (a )=f (1)=-13;当a=-1时,函数f (x )=-1-2x -1+2x ,f (a )=f (-1)=3.综上可得,f (a )=-13或3.故选C .23.B [解析] 当x ≥1时,y=ln x+1的最小值为1,所以要使f (x )的最小值是1,必有当x<1时,y=x 2-4x+a 的最小值不小于1.因为y=x 2-4x+a 在(-∞,1)上单调递减,所以当x<1时,y>a-3,则a-3≥1,即a ≥4,故实数a的取值范围是[4,+∞),故选B . 24.B [解析] 因为12f (x )-g (x )=x -1x 2+1,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,所以12f (-x )-g (-x )=-12f (x )-g (x )=-x -1x 2+1,可得f (x )=2xx 2+1,g (x )=1x 2+1,所以f(x)xg(x)=2,故选B .25.B [解析] 由指数函数的性质可得f (x )是增函数.因为f (-x )=e -x -1e-x =-e x -1e x=-f (x ),所以f (x )是奇函数,则不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0等价于f (2x-1)>f (x+1),即2x-1>x+1,解得x>2,故选B . 26.-1 [解析] f (-4)=(-4)2+(-4)-2=10,所以f [f (-4)]=f (10)=-lg 10=-1. 27.[-6,1) [解析] 由题意可得{a -1<0,a -1+2≥-5-2lg1,则-6≤a<1.28.(-1,0) [解析] 作出函数f (x )的图像如图所示.当x>1时,f (x )<0无解;当x<1时,由f (x )>0,得-1<x<0,所以满足(x-1)f (x )<0的实数x 的取值范围是(-1,0).29.-2[解析]因为f x+32为偶函数,所以f x+32=f-x+32,则f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,且图像的对称轴是直线x=32,所以f(2017)+f(2018)=f(336×6+1)+f(336×6+2)=f(1)+f(2)=2f(1)=-2.。

专题三 解析几何[江苏卷5年考情分析]第一讲 小题考法——解析几何中的基本问题[题组练透]1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________． 解析：由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝02．(2018·南通一模)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为____________． 解析：设圆心为(a ，b )， 则⎩⎨⎧b －3a·33＝－1，a －2＋()b －32＝a 2＋b －32，解得a ＝1，b ＝0，r ＝2.即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4. 答案：(x －1)2＋y 2＝43．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy中，若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎨⎧x ≤3，x －3y ＋3≥0x ＋3y ＋3≥0，表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为____________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大的圆C 即为可行域三角形的内切圆．由对称性可知，圆C 的圆心在x 轴上，设半径为r ，则圆心C (3－r,0)，且它与直线x －3y ＋3＝0相切，所以|3－r ＋3|1＋3＝r ，解得r ＝2，所以面积最大的圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.答案：(x －1)2＋y 2＝4[方法技巧]1．求直线方程的两种方法[典例感悟][典例] (1)(2018·无锡期末)过圆x 2＋y 2＝16内一点P (－2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________．(2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4,0)，B (0,4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________．[解析] (1)设O 到AB 的距离为d 1，O 到CD 的距离为d 2，则由垂径定理可得d 21＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22，d 22＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22，由于AB ＝CD ，故d 1＝d 2，且d 1＝d 2＝22OP ＝262，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝r 2－d 21＝16－132＝192，得AB ＝38，从而四边形ACBD 的面积为S ＝12AB ×CD ＝12×38×38＝19.(2)法一：(几何法) 因为直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P (a ，a ＋4)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以PC 的方程为x 1x ＋y 1y ＝4，PD 的方程为x 2x ＋y 2y ＝4，将P (a ，a ＋4)分别代入PC ，PD 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋a ＋y 1＝4，ax 2＋a ＋y 2＝4，则直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a (x ＋y )＝4－4y ，所以直线CD 过定点N (－1,1)，又因为OM ⊥CD ，所以点M 在以ON 为直径的圆上(除去原点)．又因为以ON 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12，所以AM 的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝3 2. 法二：(参数法) 因为直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P (a ，a ＋4)，同法一可知直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a (x ＋y )＝4－4y ，得a ＝4－4yx ＋y .又因为O ，P ，M 三点共线，所以ay －(a ＋4)x ＝0，得a ＝4x y －x .因为a ＝4－4y x ＋y ＝4x y －x，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12(除去原点)，所以AM 的最大值为⎝⎛⎭⎪⎫－4＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝3 2.[答案] (1)19 (2)3 2[方法技巧]解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解．(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．[演练冲关]1．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点，若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 的横坐标的取值范围是________．解析：由题意知，直线l 与圆M 相离，所以点A 在圆M 外．设AP ，AQ 分别与圆M 相切于点P ，Q ，则∠PAQ ≥∠BAC ＝60°，从而∠MAQ ≥30°.因为MQ ＝2，所以MA ≤4.设A (x 0,6－x 0)，则MA 2＝(x 0－1)2＋(6－x 0－1)2≤16，解得1≤x 0≤5.答案：[1,5]2．(2018·苏北四市期末)在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1上，则r 的取值范围是________．解析：设圆C 1上存在点P (x 0，y 0)满足题意，点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q (y 0，x 0)，⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 0－2＝r 2，y 0－2＋x 0－2＝1，故只则需圆x 2＋(y －1)2＝r 2与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1有交点即可，所以|r －1|≤－2＋－2≤r ＋1，解得2－1≤r ≤2＋1.答案：[2－1，2＋1]3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (3,0)在圆C ：x 2＋y 2－2mx －4y ＋m 2－28＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为________.解析：圆C 的标准方程为(x －m )2＋(y －2)2＝32，圆心为C (m,2)，半径为42，当△ABC 的面积的最大值为16时，∠ACB ＝90°，此时C 到AB 的距离为4，所以4≤CP ＜42，即16≤(m －3)2＋(0－2)2＜32，解得23≤|m －3|＜27，即m ∈(3－27，3－23]∪[3＋23，3＋27)．答案：(3－27，3－2 3 ]∪[3＋23，3＋27)4．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上的两个动点，且AB ＝211.若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，则实数a 的值为________．解析：法一：设AB 的中点为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，则由AB ＝211，得CM ＝16－11＝5，即点M 的轨迹为(x 0＋4)2＋(y 0－a )2＝5.又因为PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，所以PM ―→＝12OC ―→，即(x 0－x ，y 0－y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，a 2，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －2，y 0＝y ＋a 2，则动点P 的轨迹方程为(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a 22＝5，又因为直线l 上存在唯一的一个点P ，所以直线l 和动点P 的轨迹(圆)相切，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4－a 222＋－2＝5，解得a ＝2或a ＝－18.法二：由题意，圆心C 到直线AB 的距离d ＝16－11＝5，则AB 中点M 的轨迹方程为(x ＋4)2＋(y －a )2＝5.由PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，得2PM ―→＝OC ―→，所以PM ―→∥OC ―→.如图，连结CM 并延长交l 于点N ，则CN ＝2CM ＝2 5.故问题转化为直线l 上存在唯一的一个点N ，使得CN ＝25，所以点C 到直线l 的距离为－－a |22＋－2＝25，解得a ＝2或a ＝－18. 答案：2或－18[题组练透]1．(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，则点F 到双曲线x 216－y 29＝1的渐近线的距离为________．解析：抛物线的焦点F (2,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，不妨取y ＝34x ，即3x－4y ＝0，所以焦点F 到渐近线的距离为|6|32＋－2＝65. 答案：652．(2018·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．解析：由题意得，A (a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F (c,0)，所以B 2F ―→＝(c ，－b )，AB 1―→＝(－a ，－b )，因为B 2F ⊥AB 1，所以B 2F ―→·AB 1―→＝0，即b 2＝ac ，所以c 2＋ac －a 2＝0，e 2＋e －1＝0，又椭圆的离心率e ∈(0,1)，所以e ＝5－12. 答案：5－123．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x ＝32与两条渐近线y ＝±33x 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2， 则F 1(－2,0)，F 2(2,0)， 故四边形F 1PF 2Q 的面积是 12|F 1F 2|·|PQ |＝12×4×3＝2 3.答案：2 34．(2018·常州期末)在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：x ＋y ＋1＝0与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________．解析：双曲线的渐近线分别为y ＝b a x ，y ＝－b a x ，依题意有－b a >－1，即b <a ，e ＝c a＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2< 2.又因为e >1，所以e 的取值范围是(1，2)． 答案：(1，2)[方法技巧]应用圆锥曲线的性质的两个注意点(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； (2)重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0； (3)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0； (4)垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．直线与圆相交 (1)几何法由弦心距d 、半径r 和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法设直线y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交于点M ，N ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线方程代入圆方程中，消去y 得关于x 的一元二次方程，求出x 1＋x 2和x 1·x 2，则|MN |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1·x 2.3．判断两圆位置关系时常用几何法即通过判断两圆心距离O 1O 2与两圆半径R ，r (R >r )的关系来判断两圆位置关系． (1)外离：O 1O 2>R ＋r ； (2)外切：O 1O 2＝R ＋r ；(3)相交：R －r <O 1O 2<R ＋r ； (4)内切：O 1O 2＝R －r ； (5)内含：0≤O 1O 2<R －r .4．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．(二) 二级结论要用好1．过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.2.过圆C 外一点P 做圆C 的切线，切点分别为A ，B (求切线时要注意斜率不存在的情况)如图所示，则(1)P ，B ，C ，A 四点共圆，且该圆的直径为PC ； (2)该四边形是有两个全等的直角三角形组成； (3)cos ∠BCA 2＝sin ∠BPA 2＝rPC；(4)直线AB 的方程可以转化为圆C 与以PC 为直径的圆的公共弦，且P (x 0，y 0)时，直线AB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.3．椭圆焦点三角形的3个规律设椭圆方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，点P 的坐标是(x 0，y 0)．(1)三角形的三个边长是PF 1＝a ＋ex 0，PF 2＝a －ex 0，|F 1F 2|＝2c ，e 为椭圆的离心率． (2)如果△PF 1F 2中∠F 1PF 2＝α，则这个三角形的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.(3)椭圆的离心率e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠F 1F 2P ＋sin ∠F 2F 1P .4．双曲线焦点三角形的2个结论P (x 0，y 0)为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，△PF 1F 2为焦点三角形．(1)面积公式S ＝c |y 0|＝12r 1r 2sin θ＝b 2tanθ2(其中PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)．(2)焦半径若P 在右支上，PF 1＝ex 0＋a ，PF 2＝ex 0－a ；若P 在左支上，PF 1＝－ex 0－a ，PF 2＝－ex 0＋a .5．抛物线y 2＝2px (p >0)焦点弦AB 的3个结论 (1)x A ·x B ＝p 24；(2)y A ·y B ＝－p 2； (3)AB ＝x A ＋x B ＋p . [课时达标训练]A 组——抓牢中档小题1．若直线l 1：mx ＋y ＋8＝0与l 2：4x ＋(m －5)y ＋2m ＝0垂直，则m ＝________. 解析：∵l 1⊥l 2，∴4m ＋(m －5)＝0，∴m ＝1. 答案：12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为____________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝22＋52＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝93．(2018·镇江期末)已知双曲线x 2a2－y 2＝1的左焦点与抛物线y 2＝－12x 的焦点重合，则双曲线的右准线方程为________．解析：因为抛物线的焦点为(－3,0)，即为双曲线的左焦点，所以a 2＝9－1＝8，所以双曲线的右准线方程为x ＝83.答案：x ＝834．已知直线l 过点P (1,2)且与圆C ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________．解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －1)＋2，即kx －y －k ＋2＝0.因为S △ABC ＝12CA ·CB ·sin∠ACB ＝1，所以12×2×2×sin∠ACB ＝1，所以sin ∠ACB ＝1，即∠ACB ＝90°，所以圆心C 到直线AB 的距离为1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线方程为3x －4y ＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝1，经检验符合题意．综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.答案：3x －4y ＋5＝0或x ＝15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为4 3，则C 的方程为__________．解析：因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c a ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.答案：x 23＋y 22＝16．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．解析：圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴的对称圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，由题意得，圆心(2，－2)到直线kx ＋y ＋3＝0的距离d ＝|2k －2＋3|k 2＋1≤1，解得－43≤k ≤0，所以实数k 的最小值为－43.答案：－437．已知以椭圆的右焦点F 2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M ，N ，椭圆的左焦点为F 1，且直线MF 1与此圆相切，则椭圆的离心率e ＝________.解析：因为圆的半径r ＝c ，在Rt △F 1F 2M 中，|F 1F 2|＝2c ，|F 2M |＝c ，|F 1M |＝3c ，所以2a ＝|F 1M |＋|F 2M |＝(3＋1)c ，离心率e ＝2c 2a ＝2c3c ＋c＝3－1.答案：3－18．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．解析：由题意知△ABC 为等腰直角三角形，且AC ＝BC ＝4，AB ＝42， ∴圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝42－22＝22，∴|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1. 答案：－1面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a2－9．(2018·扬州期末)在平y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：由圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0，得圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝4，所以圆心C (0,3)，半径r ＝2.因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线bx ±ay ＝0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即|b ×0±a ×3|b 2＋a 2>2，即3a >2c ，即e ＝c a <32，又e >1，故双曲线离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是________．解析：设∠PCA ＝θ，所以PQ ＝22sin θ.又cos θ＝2AC，AC ∈[3，＋∞)，所以cosθ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23，所以cos 2θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，29，sin 2θ＝1－cos 2θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫79，1，所以sin θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，1，所以PQ ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22 11．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b ＞0) 的两条渐近线与圆O ：x 2＋y 2＝2的四个交点依次为A ，B ，C ，D .若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为________．解析：由题意知，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±bx ，如图所示，两条渐近线与圆O 的四个交点为A ，B ，C ，D.不妨设点B 的坐标为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝bm ，m 2＋n 2＝2，解得m 2＝2b 2＋1，而矩形ABCD 的面积为2m ×2n ＝4mn ＝4bm 2＝4b ×2b 2＋1＝b ，解得b ＝7.答案：712．(2018·苏锡常镇调研)已知直线l ：x －y ＋2＝0与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上．圆C ：(x －2)2＋y 2＝2上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为________．解析：法一：由AB ⊥BP ，得点B 在以AP 为直径的圆D 上，所以圆D 与圆C 相切． 由题意得A (－2,0)，C (2,0)．若圆D 与圆C 外切，则DC －DA ＝2；若圆D 与圆C 内切，则DA －DC ＝ 2.所以圆心D 在以A ，C 为焦点的双曲线x 212－y 272＝1上，即14x 2－2y 2＝7.又点D在直线l 上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，14x 2－2y 2＝7，得12x 2－8x －15＝0，解得x D ＝32或x D ＝－56.所以x P ＝2x D－x A ＝2x D ＋2＝5或x P ＝13.法二：由题意可得A (－2,0)，设P (a ，a ＋2)，则AP 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22，AP ＝a ＋2，故以AP 为直径的圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a ＋222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋2|22.由题意得圆C 与圆M 相切(内切和外切)，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋222＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2±|a ＋2|2，解得a ＝13或a ＝5.故点P 的横坐标的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，5.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，513．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于A ，B 两点．若△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积为ab ，则椭圆的离心率为________．解析：设直线x ＝m 与x 轴交于点H ，椭圆的右焦点为F 1，由椭圆的对称性可知△FAB 的周长为2(FA ＋AH )＝2(2a －F 1A ＋AH )，因为F 1A ≥AH ，故当F 1A ＝AH 时，△FAB 的周长最大，此时直线AB 经过右焦点，从而点A ，B 坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以△FAB 的面积为12·2c ·2b 2a ，由条件得12·2c ·2b 2a ＝ab ，即b 2＋c 2＝2bc ，b ＝c ，从而椭圆的离心率为e＝22. 答案：2214．已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA ―→＋PB ―→|的取值范围为________．解析：因为A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，所以线段AB 的中点H 在圆O ：x 2＋y 2＝14上，且|PA ―→＋PB ―→|＝2|PH ―→|.因为点P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，所以5－32≤|PH ―→|≤5＋32，即72≤|PH ―→|≤132，所以7≤2|PH ―→|≤13，从而|PA ―→＋PB ―→|的取值范围是[7,13]．答案：[7,13]B 组——力争难度小题1．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．解析：由题意知圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，所以圆心(－2,3)到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235∈(4,5)，故满足题意的点P 有2个．答案：22．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233. 答案：2333．(2018·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝k (x －33)上存在一点P ，圆x 2＋(y －1)2＝1上存在一点Q ，满足OP ―→＝3OQ ―→，则实数k 的最小值为________．解析：设点P (x ，y )，由OP ―→＝3OQ ―→，可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y 3.又点Q 在圆x 2＋(y －1)2＝1上，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y3－12＝1，即x 2＋(y －3)2＝9，所以点P 既在圆x 2＋(y －3)2＝9上，又在直线y ＝k (x －33)上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离d ＝||－3－33k 1＋k2≤3，解得－3≤k ≤0. 答案：－ 34．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb2a2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)恒过定点A (1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________.解析：由已知得1a 2＋4b 2＝1，因为准线方程为x ＝a 2c，所以椭圆的中心到准线的距离为d＝a 2c ，即d 2＝a 4c 2＝a 4a 2－b 2＝a 4a 2－4a 2a 2－1＝a 4－a 2a 2－5＝a 2－2＋a 2－＋20a 2－5＝a 2－5＋20a 2－5＋9≥220＋9＝45＋9＝(5＋2)2，当且仅当a 2＝5＋25时取等号．所以d ≥5＋2，即d min ＝5＋2.答案：5＋26．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA ―→·PB ―→≤0，则线段EF 长度的最大值是________．解析：过点C 作CH ⊥l 于H ，因为C 到l 的距离CH ＝32＝322>2＝r ，所以直线l 与圆C 相离，故点P 在圆C 外．因为PA ―→·PB ―→＝|PA ―→||PB ―→|cos ∠APB ≤0，所以cos ∠APB ≤0，所以π2≤∠APB <π，圆C 上存在两点A ，B 使得∠APB ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π，由于点P 在圆C 外，故当PA ，PB 都与圆C 相切时，∠APB 最大，此时若∠APB ＝π2，则PC ＝2r ＝22，所以PH ＝PC 2－CH 2＝22－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝142，由对称性可得EF max ＝2PH ＝14.答案：14。

2019届高三数学二模考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集定义直接求解即可．【详解】∵集合，，∴．故选：B．【点睛】本题考查集合交集的运算，考查交集定义，属于基础题．2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得在复平面内对应的点的坐标即可．【详解】∵，∴，∴在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. -4B. -2C. 0D. 2【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线，过点时，直线的截距最大，此时最小，由，解得．代入目标函数，得，∴目标函数的最小值是.故选：．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于基础题．4.抛物线的焦点为，点是上一点，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义得，即可解得结果.【详解】因为，所以.故选：B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.5.已知等比数列的首项为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的通项公式可得，再利用通项公式及其等差数列的求和公式即可得出答案．【详解】设等比数列的公比为，∵，∴，解得．∴．故选C．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查推理能力与计算能力，解题时注意整体思想的运用，属于中档题．6.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性排除，；根据函数零点选A.【详解】因为函数为奇函数，排除，；又函数的零点为和，故选:A.【点睛】本题考查函数奇偶性与函数零点，考查基本分析判断能力，属基础题.7.某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，，80，93，其中,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中位数为，可知，从而得到平均数小于等于，从而确定结果.【详解】已知四次成绩按照由小到大的顺序排序为：，，，该学生这次考试成绩的中位数为，则所以平均数：，可知不可能为本题正确选项：【点睛】本题考查统计中的中位数、平均数问题，关键是通过中位数确定取值范围，从而能够得到平均数的范围.8.已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，可知为三棱柱和三棱锥的组合体，分别求解体积，加和得到结果.【详解】由题意可知，该几何体的直观图如图所示：即该几何体为一个三棱柱与一个三棱锥的组合体则三棱柱体积；三棱锥体积所求体积本题正确选项：【点睛】本题考查组合体体积的求解，关键是通过三视图准确还原几何体.9.已知函数部分图像如图所示，则下列判断正确的是（）A. 直线是函数图像的一条对称轴B. 函数图像的对称中心是，C.D. 函数的最小正周期为【答案】C【解析】【分析】先根据对称轴求得，再根据正弦函数性质求对称轴、对称中心、周期以及函数值，最后作判断.【详解】由图可知，是函数的对称轴，所以解得，因为，所以，，,函数的最小正周期为,由得对称轴方程为，由得对称中心为，，故选：C.【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式以及正弦函数性质，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.10.已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用配凑法将题目所给递推公式转化为，即证得为首项为，公差为的等差数列，由此求得的表达式，进而求得的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当时有最小值.【详解】由已知得，，所以数列为首项为，公差为的等差数列，，则，其对称轴.所以的最小的一项是第项.故选A.【点睛】本小题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.11.在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与相切，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】符合条件的渐近线方程为，与圆相切，即d=r，代入公式，即可求解【详解】双曲线C的渐近线方程为，与圆相切的只可能是，所以圆心到直线的距离d=，得，所以，故选B。

第41讲常量与变量的转化与变换在处理多元的函数或方程的数学问题时,常常有一个变元处于主导地位,我们称之为主元, 此时可把其他的变元看作常量,按照主元的某种形式对问题进行整理,借以发现问题所隐含的特殊结构, 以便找到相应的策略, 使问题获解. 这是因为,在一些数学问题中,常量与变量具有相对性,通过逆向思考、变换视角、反客为主等, 可使它们相互转化. 像这样一种通过确定主元来探索解题途径的方法, 叫作主元法,一般原则是选次数最低的字母为主元,因为一般来说,式子或方程的次数越低,越容易处理或求解,但要提醒的是, 定谁为主元要因“题”而宜, “主元法”并非对所有“多元”问题都适用, 有时不分主次地直接操纵“多元”反而是合理的.典型例题 【例 1】设不等式()2211x m x ->-对满足2m的一切实数m 都成立,求实数x 的取值范围。

【分析】从表层看所给的是关于x 的不等式,求的是x 的取值范围, 即解不等式求得x 的取值范围. 当然参数m 必须满足2m, 但是如果通过变更主元转化为关于m 的一次函数,根据m 的范围确定参数x 的范围,这种将主元与参数进行换位思考的解题策略常常会使问题变得简单易解 【解析】令()()[]2121,2,2f m x m x m =--+-∈-, 则原不等式等价于()0f m >在m ∈[]2,2-上恒成立，由于()f m 是关于m 的一次函数或常值函数.故有()()2221210,21210,x x x x ⎧-+->⎪⎨--+->⎪⎩解得1122x <<.从而实数x的取值范围是x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭.【例 2】设函数()f x 是定义在(),∞∞-+上的增函数. （1）若不等式()()212f ax xf a --<-对于任意[]0,1a ∈恒成立，求实数x 的取值范围; （2）若不等式()()212f ax xf a --<-对于任意[0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【分析】本例两小题所给的不等式是一样的，首先可利用函数的单调性,把函数值的相对大小转化为自变量的相对大小,接下来就是确认x 和a 这两个字母中究竟谁是“主元”,这很重要. 第()1问, 把a 作为主元(变量)、x 作为常量, 这种“反客为主”的解法,体现了转化与变换的数学思想,降低了计算的烦琐和难度,也说明了变量与常量的对立统一的㦚证关系. 应当指出,若以x 为变量, a 为参数,则必定要分类讨论,相比之下孰优孰劣一清二楚. 第(2)问,以x 为变量,把不等式恒成立问题转化为函数的最值解决,此时分类讨论是必需的;若用分离常数法(即参变分离),则避开了分类讨论,解题过程较为简捷. 【解析】 (1) 【解法1】()f x 是增函数, ()()212f ax x f a ∴--<-对于任意[]0,1a ∈恒成立212ax x a ⇔--<-, 即210x ax a ++->对于任意[]0,1a ∈恒成立. 令()g a ()211x a x =-++.当1x =时, 不等式恒成立;当1x >时, 不等式恒成立;当1x <时, 只需()()211g a x a x =-++的最小值()210,0,1g x x x >+><-或0x >, 故1x <-或01x <<. 综上所述, 1x <-或0x >, 即()(),10,x ∞∞∈--⋃+. 【解法2】由解法一得()()[]()211,0,1,g a x a x a g a =-++∈为关于a 的一次函数,在[]0,1上是一条线段, 由()()2201010g x g x x ⎧=+>⎪⎨=+>⎪⎩得()(),10,x ∞∞∈--⋃+. （2）【解法 1】()f x 是增函数, ()()212f ax xf a ∴--<-对于任意[]0,1x ∈恒成立212ax x a ⇔--<-对于任意[0,1x ∈ ]恒成立210x ax a ⇔++->对于任意[]0,1x ∈恒成立, 令()[]21,0,1h x x ax a x =++-∈,则原问题min ()0h x ⇔>, 且()()min0,0,(),20,21,2,h a a h x h a h a ⎧>⎪⎪⎛⎫=--⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪<-⎩即2min1,0,()1,20,42,2.a a ah x a a a ->⎧⎪⎪=--+-⎨⎪<-⎪⎩ 由min ()0h x >, 得1a <, 即(),1a ∞∈-. 【解法2】()f x 是增函数, ()()212f ax x f a ∴--<-对于任意[]0,1x ∈恒成立212ax x a ⇔--<-对于任意[]0,1x ∈恒成立；即210x ax a ++->对于任意[]0,1x ∈恒成立。