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刘鸿文材料力学讲义弯曲变形【圣才出品】

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刘鸿文《材料力学》(第5版)课后习题(弯曲应力)【圣才出品】

刘鸿文《材料力学》(第5版)课后习题(弯曲应力)【圣才出品】

图 5-10 解：对横梁进行受力分析，作出其受力简图，如图 5-11 所示。
图 5-11
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台
由梁结构和载荷的对称性可知，最大弯矩发生在梁跨中截面，且
。
抗弯截面系数：
由强度条件
则有 故许可顶压力：
，可得： 。
5.10 割刀在切割工件时，受到 F＝1 kN 的切削力作用。割刀尺寸如图 5-12 所示。 试求割刀内的最大弯曲应力。

十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
图 5-8
解：根据梁的受力简图，由平衡条件可得支座反力： 由梁结构和载荷的对称性可知，梁上最大受的最大轧制力：
，可得： 907.4 kN。
5.8 压板的尺寸和载荷情况如图 5-9 所示。材料为 45 钢，σs＝380 MPa，取安全因 数 n＝1.5。试校核压板的强度。
图 5-9
解：由许用应力定义可知，该压板的许用应力：
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分析可知，压板上的最大弯矩发生在 m-m 截面，且：
m-m 截面的抗弯截面系数：
故最大正应力： 因此压板强度满足要求，是安全的。
5.9 拆卸工具如图 5-10 所示。若 l＝250 mm，a＝30 mm，h＝60 mm，c＝16 mm，d＝58 mm，[σ]＝160 MPa，试按横梁中央截面的强度确定许可的顶压力 F。
图 5-12 解：分析可知，最危险截面可能发生在 m-m 截面或 n-n 截面。 （1）m-m 截面：弯矩值 则该截面上正应力：
（2）n-n 截面：弯矩值 则该截面上正应力：

材料力学(刘鸿文)第04章01、弯曲内力

材料力学(刘鸿文)第04章01、弯曲内力
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁 变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
q F
纵向对称面
FA
FB
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力 并不作用在纵向对称面内的弯曲。
第4第 章弯曲内力 四 章
弯 曲 内 力 王明禄
2015年3月18日星期三
本节重点—你准备好了吗？
1、剪力与弯矩计算与正负判断;
2、弯矩方程的求解；
第一节 弯曲的概念和实例
1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成 为曲线的变形形式。
2、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件
第二节 受弯杆的简化
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
1.梁的支座简化(平面力系)： a)滑动铰支座 b)固定铰支座 c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
2.作用在梁上的荷载可分为: (a)集中荷载
F1
集中力
M
集中力偶
C
FS
F
y
0 : FS FB F 0 FS F FB FA
M
C
0 : M FB x F l x 0 M FB x F l x FA x
二、平面弯曲梁横截面上的内力： ①剪力—平行于横截面的内力，符号：，正负号规定： 使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负 (左上右下为正：截面以左上为正，截面以右下为正)； FS

刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(弯曲应力)【圣才出品】

刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(弯曲应力)【圣才出品】
W Iz bh3 / 12 bh2 h/2 h/2 6
对于圆形截面
W Iz πd 4 / 64 πd 3 d / 2 d / 2 32
对于环形截面
W D3 1 4 32
式中，α＝d/D，d为内径，D为外径。
2．弯曲正应力强度条件 σmax＝Mmax/W≤[σ] 强度条件的应用： ①强度校核 Mmax/W≤[σ] ②截面设计 W≥Mmax/[σ] ③确定许可载荷 Mmax≤W[σ]
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图 5-1-5 2．选择合理的截面（提高抗弯截面系数） （1）合理的截面形状应该是截面面积 A 较小，而抗弯截面系数 W 较大，常见截面的 W/A 值如表 5-1-2 所示。
FS I z b0
bh2 8
bh02 8
（3）翼缘主要承担了作用于工字形截面梁上的弯矩，通常不计算翼缘上的切应力。
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3．圆形截面梁 （1）切应力分布特点 边缘各点的切应力与圆周相切；y 轴上各点的切应力沿 y 轴，如图 5-1-3 所示。 （2）计算假设 AB 弦上各点的切应力作用线通过同一点 p；AB 弦上各点的切应力沿 y 轴的分量 y 相 等。

（1）变形几何关系：服从平面假设 应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。 （2）物理关系：满足胡克定律 应力分布规律：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。 （3）静力关系 纯弯曲时，梁轴线变形后的曲率 1/ρ＝M/（EIz）。由于曲率 1/ρ 与 EIz 成反比，因此称 EIz 为梁的抗弯刚度。联立胡克定律：σ＝Ey/ρ 可得纯弯曲时正应力计算公式 σ＝My/Iz 式中，M为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面应力计算点到中性轴的距离；Iz为梁横截 面对中性轴的惯性矩。 适用范围：①适用于任何横截面具有纵向对称面，且载荷作用在对称面内的情况；②公 式由等直梁得到，对缓慢变化的变截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。

材料力学刘鸿文第六版最新课件第六章 弯曲变形

材料力学刘鸿文第六版最新课件第六章 弯曲变形
40
内容回顾
6.1：基本概念 挠度；转角；挠曲线；挠度和转角的关系；挠度 和转角的符号定义。
6.2：挠曲线的微分方程
d2w M dx2 EI
6.3：积分法求弯曲变形
w" M(x) EI
EIw M ( x )dx C1 （转角方程） EIw M ( x )dxdx C1 x C 2 （挠度方程）
确定积分常数C1和C2
确定积分常数C1和C2
（1）在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 w A 和 wB 都等于0。
A
wA 0
（2）在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A
和转角 A 都应等于0。
（3）在弯曲变形对称点，转角为0。
A
wA 0
A 0
B
wB 0
B
42
（4）若B支座改为弹簧支撑，则： （5）若B支座改为
又：
1M
EI
B
d2w M
ds
A
此式称为
dx2 EI
梁的挠曲线近似微分方15程
横力弯曲梁：
w" M(x) EI
近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项;
（3） tan w w ( x )
16
§6-3 用积分法求弯曲变形
一、微分方程的积分 w M ( x) EI
x a时，wC 左 wC 右
x L, w FBy
B
k
B kx
h F EA
A
C
a
bB
L
x 0, wA 0
x a时，C左 C右
x a时，wC左 wC右
x
L, wB
lBD
FByh EA
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F

刘鸿文材料力学讲义弯曲应力【圣才出品】

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（3）确定许可载荷
Mmax W[σ]
四、弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力
1．矩形截面梁
（1）基本假设
切应力与剪力平行；切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）。
（2）切应力计算公式
FS
S
z
Izb
FS 2Iz
h2 4
y
2
式中， Iz 为整个横截面对中性轴的惯性矩， Iz
bh3 12
（2）离中性轴最远处
（3）变截面梁要综合考虑 M 和 IZ
（4）脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑，即
t,max t , c,max c
4．强度条件的应用
（1）强度校核
（2）设计截面
M max [σ] W
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（2）常见截面的 、 （ 为抗弯截面系数）
①圆截面
，
②矩形截面
，
③空心圆截面
，
式中， α d ，d为内径，D为外径。 D
④空心矩形截面
，
三、横力弯曲时的正应力 1．横力弯曲 （1）定义 横力弯曲又称剪切弯曲，其受力特点为横截面上既有弯矩又有剪力，相应的有正应力和
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（2）计算假设
AB 弦上各点的切应力作用线通过同一点 p；AB 弦上各点的切应力沿 y 轴的分量y 相等。
图 5-3
（3）计算公式
①对y 可用矩形截面梁的公式 ②最大切应力发生在中性轴上
y
FS
S
* z
Izb
max
4 3
FS R2

刘鸿文版材料力学第六章

刘鸿文版材料力学第六章

F6bl
(l2
b2 ) x1
CB 段： a x2 l
y
F
A A
DC
FAy x1
x2
a
ym ax b
B B x
FBy
EI
Fb 2 2l
2
x2
F 2
(
x2
a)2
Fb (l2 6l
b2 )
EIy2
Fb 6l
x32
F 6
(
x2
a)3
F6lb (l2 b2 ) x2
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
目录
§6-5 简单超静定梁
例7 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN， q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。
解 从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂 梁。
MA
FA FB
FB FB
yB2
yB1
FB
变形协调方程为： 物理关系
yB1 yB 2
4
EI
ql 4 48EI
ql 4 16 EI
11ql 4 ( ) 384 EI
3
ql 3
B i 1 Bi 24EI
ql 3 16EI
ql 3 3EI
11ql 3 ( ) 48EI
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形
例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、
yC
EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C
§6-4 用叠加法求弯曲变形
讨论 叠加法求变形有什么优缺点？
目录
§6-5 简单超静定梁
1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统

刘鸿文材料力学讲义弯曲内力【圣才出品】

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第4章弯曲内力4.1本章要点详解本章要点■各种形式静定梁的支座反力的求解■剪力和弯矩的概念，剪力和弯矩的正负号规定■剪力方程、弯矩方程的建立，绘制剪力图和弯矩图的方法■载荷集度、剪力和弯矩间的关系■任意截面上的剪力和弯矩值的计算重难点导学一、弯曲的概念和实例1．弯曲的概念（1）特点弯曲的表现为原有直线型轴线变形成为曲线。

以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。

（2）分类①平面弯曲：弯曲变形后的轴线为平面曲线,且该平面曲线仍与外力共面的弯曲形式。

②对称弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线的弯曲形式。

2．实例（1）起重机大梁（2）车削工件（3）火车轮轴二、受弯杆件的简化1．梁的载荷与支座图4-1（1）载荷分类（图4-1）①集中载荷②分布载荷③集中力偶（2）支座分类①固定铰支座：限制支承的横截面沿水平和垂直方向移动，相应的支座反力如图4-2所示。

图4-2②活动铰支座：使杆件沿支承面方向移动亦可绕支承点转动，相应的支座反力如图4-3所示。

图4-3③固定端：限制被支承的横截面沿水平和垂直方向移动和绕某一轴转动，相应的固定端的支反力如图4-4所示。

图4-42．实例简化（1）起重机大梁可简化成简支梁受集中载荷或者均布载荷，如图4-5（a）所示。

（2）车削工件可简化成悬臂梁，如图4-5（b）所示。

（3）火车轮轴可简化成外伸梁，两端受集中载荷，如图4-5（c）所示。

图4-53．静定梁的基本形式（1）简支梁一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图4-6（a）所示。

（2）外伸梁一端或两端向外伸出的简支梁，如图4-6（b）所示。

（3）悬臂梁一端固定支座一端自由，如图4-6（c）所示。

图4-6三、剪力和弯矩1．剪力（1）概念剪力是指抵抗剪切作用的内力，即平行于横截面的内力系的合力。

（2）符号规定截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。

简记为左上右下为正；反之为负。

材料力学(刘鸿文)第六章-弯曲变形)

材料力学(刘鸿文)第六章-弯曲变形)

B3
(ql2 ) l 3EI
ql3 3EI
,
q
C1
ql
C2
C3
B1
B2
ql2
B3
3、变形叠加
B B1 B2 B3
ql3 24 EI
ql3 16 EI
ql3 3EI
11ql3 48 EI
C C1 C2 C3 5ql4 (ql)l3 3ql4 11ql 4 384 EI 48EI 48EI 384 EI
根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确 定的挠度和转角；
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
A
C
M B
边界条件 连续性条件
a
L
x0: 0 0
xal 0
x a : C左 C右
例1悬臂梁受力如图所示。求 A 和 A 。
取参考坐标系
ω
q
1、列写弯矩方程
A
M (x) 1 qx2 2
A
a
C
B
EA
光滑连续性条件
L
x a:
C 左
C
右
C左 C右
讨论：挠曲线分段
（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
A
C
M B
a
L
讨论：挠曲线分段
（4）凡分段点处应列出连续条件；
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形
§6-6 提高梁刚度的措施
§6-1 工程中的弯曲变形问题 一、为何要研究弯曲变形

刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-弯曲内力(圣才出品)

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图 4-3
2．载荷的简化 （1）集中载荷：载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。 （2）分布载荷：沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用 q 表示单位长度上的载荷，称 为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。 （3）集中力偶
3．静定梁的基本形式 为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方 程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种 形式的梁均为静定梁。 （1）简支梁：一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图 4-4 所示。
图 4-4 （2）外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-5 所示。
4.2 课后习题详解
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4.1 试求图 4-8 所示各梁中截面 1-1，2-2，3-3 上的剪力和弯矩，这些截面无限接近 于截面 C 或截面 D。设 F，q，a 均为已知。
图 4-8 解：（a）①1-1 截面：沿该截面断开，对右部分进行受力分析，根据平衡条件：
④若
FS
(x)
=
0 ，则
dM (x) dx
=
FS
(x)
=
0
。此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小
值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图图在任一
截面处的斜率值等于该截面剪力值：
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刘鸿文《材料力学》(第5版)章节题库(弯曲的几个补充问题) 【圣才出品】

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第12章　弯曲的几个补充问题解答题1．20a号工字形悬臂梁受集度为q的均布荷载和集中力F＝qa／2作用，力F作用在yOz平面内。

已知钢的许用应力[σ]＝160 MPa，a＝1 m。

试求此梁的许可荷载集度[q]。

图12-1解：将力F向y轴和z轴分解F y与均布荷载q使梁在xy平面内产生弯曲（z为中性轴）F x使梁在xz平面内产生弯曲（y为中性轴）（1）画弯矩图（如图12-2）图12-2由弯矩图可知，A、D两截面可能是危险截面A截面D截面查型钢表20a号工字钢A截面D截面梁的危险点在A截面棱角处2．确定如图12-3所示截面剪心的位置。

图12-3解：剪心是指横截面弯曲切应力合力作用点，则图12-4（a）和（b）剪流沿轴线，剪心位于两轴线交点，图12-4（c）剪心位置根据中心对称性确定。

各截面剪心A位置如图12-4所示。

图12-43．双金属片复合梁截面如图12-5所示，两种材料E1＝140GPa，E2＝280GPa，截面弯矩M z＝2000N·mm，试计算两种材料的最大正应力及材料交界处的正应力。

图12-5 图l2－6解：（1）确定转换截面及其几何性质选择材料1进行截面变换，n＝E1／E2＝0.5，变换后宽度为n×10＝5mm，如图12-6（a）所示，由此可计算中性轴距原界面h1＝0.5mm，变换后截面对中性轴的惯性矩1z＝123．75mm4。

（2）弯曲正应力分析故在材料1内压应力的最大值为在材料2内最大正应力为拉应力复合梁载面弯曲正应力分布如图12-6（b）所示。

界面上侧：界面下侧：4．确定如图l2－7所示截面剪心的位置或大致位置，当剪力作用于剪心且铅垂向下时，画出剪力流的方向。

图12-7解：各截面剪心位置如图12-8所示。

图12-85．两端铰支的角钢如图12-9（a）所示。

在角钢横截面上，两翼缘中线交点即弯曲中心，横向力F通过弯曲中心，且与y轴的夹角为π/18[图（b）]。

若F＝4kN。

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3．积分法的原则 以图 6-1-3 所示简支梁为例说明积分法的原则：
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图 6-1-3
（1）对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的，
所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程，只增加了（x－a）的项；
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图 6-1-1
2．挠曲线微分方程
（1）由纯弯曲变形和横力弯曲变形忽略剪切应力的情况下，弯矩与曲率间的关系式
1
x
M x
EI
并根据数学计算得挠曲线的微分方程
d2w
dx2
3
1
dw dx
2
2
M x
确定的挠度和转角，在中间铰两侧虽然转角不同，但挠度却是唯一的。
三、用叠加法求弯曲变形
1．叠加原理
梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项载荷（可以是集中力，集中力偶
或分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一载荷单独作用下该截面的挠度和转角
的叠加。当每一项载荷所引起的挠度为同一方向（如均沿 y 轴方向），其转角是在同一平面
（2）对（x－a）的项作积分时，应该将（x－a）项作为积分变量，从而简化了确定积
分常数的工作；
（3）凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
（4）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（5）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应
作为分段点；
（6）凡分段点处应列出连续条件，根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一
内（如均在 xy 平面内）时，则叠加就是代数和，即

刘鸿文版材力第六章 弯曲变形 (2)

刘鸿文版材力第六章 弯曲变形 (2)
RA
q
RB
ql RA = RB = 2
A
B
x
y
l
例题 6 -2 图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql 1 2 q M(x) = x − qx = (lx − x2 ) 2 2 2 q EIw' ' = M(x) = (lx − x2 ) 2 (a) (b)
RA
A
x
q
RB
B x
y
l
q EIw ' = M(x) = (lx − x2 ) ' 2
w"Байду номын сангаас 0
o y
M M
x
ν"> 0
o 图 6 -2 x
M>0
w '' (1 + w ' )
2
2
3
2
M (x) = EI
（6 -1） ）
w' 与 1 相比十分微小而可以忽略不计 故上式可近似为： 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为：
M(x) w "= EI
（6 -2 a） ）
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了w′2 项。 略去了 ′
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成 若为等截面直梁 其抗弯刚度 为一常量上式可改写成
EIw = M(x)
''
（6 -2 b） ）
上式积分一次得转角方程
EIw' = EIθ = ∫ M(x)dx + C 1
再积分一次, 再积分一次 得挠曲线方程
（6 -3 a） ）

刘鸿文版材料力学课件

刘鸿文版材料力学课件
EIiy'M 'i(x)
n
由弯矩的叠加原理知：Mi(x)M(x)
i1
n
n
所以， E Iy''i E( I yi)''M (x)
i1
i1
7-4
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形
n
故
y'' ( yi )''
i 1
由于梁的边界条件不变，因此
n
y yi i 1
重要结论：
n
§6-1 工程中的弯曲变形问题
目录
§6-2 挠曲线的微分方程
1.基本概念 y
x
转角
挠度
y
挠曲线
x
挠曲线方程：
y y(x)
挠度y：截面形心 在y方向的位移
y向上为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆时针为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为： tan dy
yC1
yC2 yC3
3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结 果求和
yC

3 i1
yCi
5ql4 ql4 ql4 384EI 48EI 16EI
11ql4 ( ) 384EI
B

3 i1
Bi

ql3 24EI
ql3
16EI
ql3
3EI
11ql3 ( ) 48EI
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0x1 a
EIdd2yx121 M(x1)Fl bx1
Ed d I1 1x yEI(x1)F 2l x b1 2C1

材料力学(刘鸿文)第六章-弯曲变形)

材料力学(刘鸿文)第六章-弯曲变形)
C左 C右 不光滑
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
例1：写出梁的边界条件、连续性条件：
边界条件
ω
P
B
x 0: 0
A
a
C
x
k
x L : FBy
k
L
光滑连续性条件
x a:
C 左
C
右
C左 C右
例2：写出梁的边界条件、连续性条件： 边界条件
EA P
h
x 0: 0
x L : FByh
EI z
挠曲线近似微分方程
适用范围： 线弹性、小变形; y轴向上，x轴向右；
§6-3 积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程 积分一次：
d 2 M (x)
dx2 EIz
d
dx
'
M (x) EI z
dx C
积分二次：
(
M (x) EI z
dx)dx
Cx
D
转角方程 挠曲线方程
C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。
tg 挠曲线在该点处的切线斜率；
挠曲线方程在该点处的一阶导数； 转角的正方向： 从x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。
4、挠曲线微分方程
中性层处曲率:
1 M (x)
EI
y
y f (x)
x
对于曲线 y=f(x) 在任一点处曲率
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y''(x) 1 y'2 (x)
3 2
（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）
1 2
(x)
3 2
EIz
挠曲线微分方程 瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程；

刘鸿文《材料力学》(第5版)章节题库(弯曲内力)【圣才出品】

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MG＝25×1．25－ ×20×1．252＝15．625kN·m 结果如下图示：
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图 4-2
2．试作图 4-3（a）所示曲杆的内力图。
图 4-3 解：列曲杆的内力方程时，一般取极坐标比较方便，因此取极坐标如图 4-3（b）所示， 曲杆任一 θ 截面处的内力有轴力、剪力和弯矩。内力数值从曲杆的曲率中心画出的射线量 取。 内力方程：
6．简支梁的荷载情况及尺寸如图 4-7 所示，试求梁的下边缘的总伸长。
图 4-7 解：距离 A 端为 x 的截面的弯矩为
又矩形截面的弯曲截面系数为
（0为
根据胡克定律，得任意 x 截面下边缘的纵向线应变为
由线应变的定义
得梁的下边缘的总伸长为
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7．图 4-8 所示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用，其横截面 尺寸为 b、h，长度为 l。试证：
（1）在离自由端为 x 处的横截面上切向内力元素 τdA 的合力等于该截面上的剪力， 而法向内力元素 σdA 的合力偶矩等于该截面上的弯矩。
CD 段：剪力图为一直线，弯矩图为一斜直线，在 D 面有一突然变化，变化值为
M＝80kN·m；
DE 段的弯矩图为下凸的抛物线，F 面剪力为零，弯矩 M 有极值，为
MF＝75×3．5－120×2．5－80＋ ×30×1．52＝－83．75kN·m EB 段的弯矩图为上凸的抛物线；G 面上剪力为零，弯矩 M 有极值，为
4．欲使图 4-5 所示外伸梁的跨度中点处的正弯矩值等于支点处的负弯矩值，则支座 到端点的距离 a 与梁长 l 之比 a/l 等于多少?

刘鸿文版材力第六章 弯曲变形 (1)

刘鸿文版材力第六章 弯曲变形 (1)
一、基本概念 取梁的左端点为坐标原点， 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ， 横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵向对称平面
度量梁变形后 横截面位移的 两个基本量
y
A
图 பைடு நூலகம் -1
B
x
挠度（ 即轴线上的点)在垂直于 挠度（ w ）: 横截面形心 C (即轴线上的点 在垂直于 x 轴方向 即轴线上的点 的线位移，称为该截面的挠度。 的线位移，称为该截面的挠度。 转角（ 转角（θ） ：横截面对其原来位置的角位移 , 称为该截面的 转角。 转角。 y A C 转角θ B x w 挠度 C' B'
C'
θ B'
挠度和转角符号的规定 挠度：与坐标正负相相同，即向上为正，向下为负。 挠度：与坐标正负相相同，即向上为正，向下为负。 转角：逆时针为正，顺时针转为负。 转角：逆时针为正，顺时针转为负。 y A θ w 挠度 挠曲线 C' B' C 转角θ B x
§ 6 -1 工程中的弯曲变形问题
一、工程实例： 工程实例： 车床主轴： 车床主轴：
叠加弹簧： 叠加弹簧：
在本章中，研究梁弯曲变形的主要目的是： 在本章中，研究梁弯曲变形的主要目的是： ；（2）解超静定梁。 （1）对梁作刚度校核；（ ）解超静定梁。 ）对梁作刚度校核；（
§ 6 -2 挠曲线的微分方程
挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 。 挠曲线方程 为
w= f (x)
转角方程 为该点的挠度。 式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w为该点的挠度。 为该点的挠度
挠度与转角的关系： 挠度与转角的关系： y A C
θ ≈ tgθ = w' = f ' (x)

弯曲变形刘鸿文讲解

弯曲变形刘鸿文讲解

解：
B
C A
a
在分析这种梁的时候，我
们把它分成两段来考虑：
3
10
§6-4 按叠加原理计算弯曲变形
叠加原理：梁的变形微小， 且梁在线弹性范围内工作时， 梁在几项荷载
（可以是集中力, 集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角， 就分别等 于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。 当每一项荷载所引起
的挠度为同一方向（如均沿 y 轴方向 ), 其转角是在同一平面内 ( 如均在 xy 平面内 ) 时, 则叠加就是代数和。 这就是叠加原理。
wC

wC1

wC 2

5ql 4 768EI
()
qA
q A1
q A2

ql 3 48EI

ql 3 384EI
3ql3 128EI
将相应的位移进 行叠加, 即得
qB
qB1
qB2

ql3 48EI

ql 3 384EI

7ql3 13584EI
习题 一抗弯刚度为EI 的外伸梁受荷载如图a所示,
C
D
17
求wA
由于简支梁上B截面的转动，代动AB段一起作刚体 运动，使 A 端产生挠度w1
悬臂梁AB本身的弯曲变形，使A端产生挠度w2
2q
2qa
q
A
A
MB
C
f2
B f1
θB
B
D
求总的wA
q w w w w 因此，A端的总挠度应为
a
A 12
B
2
由附录
1V
查得 w2
(2
q
)
a

刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-弯曲的几个补充问题(圣才出品)

刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-弯曲的几个补充问题(圣才出品)
载荷 P 偏离纵向对称面一个角度 。若 =15o。P=30 kN，试校核梁的强度，并与 =0 的
情况相比较。
图 12-3
解：由图 12-3 可得，
。
分析可知拉〉和 D2 点〈受
压)。
最大弯曲正应力为：
，其中，
查型钢表得 32a 工字钢截面性质：Wy = 692 cm3,Wz = 70.8 cm3
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（3）若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成，则此交点就是截面的弯曲中 心。
12.2 课后习题详解
12.1 桥式起重机大梁为 32a 工字钢，[σ]=160 MPa，l=4 m。行进时由于某种原因，
提示：可先假定 Wy / Wz ：的比值，试选工字梁型号，然后再校核其强度。
图 12-7 解：梁最危险截面为中点截面处，该截面弯矩：
根据梁的强度条件：
整理得：
假设 Wy
，则
=8
Wz
，
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查型钢表，选取 18 号工字钢，其中 校核其强度：
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第 12 章 弯曲的几个补充问题
12.1 复习笔记
一、非对称弯曲 非对称弯曲：作用在梁上的载荷和由此发生的挠度均不在梁的纵向对称面内。 对于作用于梁上的弯曲力偶矩 M，将其分解成在 xy、xz 平面内的力偶矩 My 和 Mz，如 图 12-1 所示。
图 12-4 解：（a）平面弯曲；（b）斜弯曲；（c）平面弯曲；（d）非平面弯曲，弯曲加扭转；（e） 斜弯曲；（f）非平面弯曲，弯曲加扭转。

刘鸿文材力第六章弯曲变形机械[61P][2.03MB]

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w〃= 0 ; ρ = c . 圆弧
y qx(l 3 3lx 2 2 x 3 ) / (48EI ), 则 例:已知挠曲线方程
B 两端截面的约束可能为下列情形中的＿＿. o
(A) y (C) y l x (B) y x (D) l y
o
l
x
o
o
l
x
EIw EIqx(l 3 3lx 2 2 x 3 ) / 48 EIw q(l 3 9lx 2 8 x 3 ) / 48 EIw q(24 x 2 18lx) / 48 M EIw q(48 x 18l ) / 48 Fs
叠加法成立前提，线弹性、小变形。
某梁对应某种荷载情况的挠度为w1 该梁对应另种荷载情况的挠度为w2 当这两种荷载同时作用在梁上时挠度为w
则
w w1 w2
同样地， =1+2
A
P B L q
PL wB , 3EI z qL wB , 8EI z
4
3
PL2 B 2 EI z qL3 B 6 EI z
w x 0 0, w x l 0 A, B

M Fs
x 0 x 0 x 0
0,
x l
0 B, D 0 B, D 0 A, B, C , D
0, M 0, Fs
x l x l
§6.4
用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为w，则有：
4.挠度与转角关系为：tan dw , arctan dw
dx dx
7-2
纯弯曲时，得到：
1 M ρ EI z
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第6章弯曲变形
6.1本章要点详解
本章要点
■挠曲线、挠度和转角的概念
■用积分法和叠加法计算梁的弯曲变形
■用变形比较法解简单超静定问题
重难点导学
一、工程中的弯曲变形问题
1．弯曲变形有害
（1）车床主轴
（2）吊车梁
2．弯曲变形有利
（1）支承车辆的叠板弹簧
（2）扭力扳手
二、挠曲线的微分方程
1．基本概念
（1）度量梁变形的两个基本位移量
①挠度ω
挠度ω是指横截面形心在垂直于x 轴方向的线位移。

与ω坐标同向为正，反之为负。

②转角θ
转角θ是指横截面绕其中性轴转动的角度。

逆时针转动为正，反之为负。

（2）挠曲线
变形后，轴线由直线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。

其方程为
()
f x ω=①一般弯曲：梁的轴线变形后是一条空间曲线。

②平面弯曲：梁的轴线变形后是一条平面曲线。

③对称弯曲：梁的轴线变形后是一条平面曲线，此曲线在纵向对称面内。

（3）转角与挠曲线的关系
①转角与挠曲线的关系式为
tan d dx
ωθθ≈=
②公式成立条件小变形，截面形心在x 方向的位移忽略不计。

2．挠曲线的近似微分方程（1）在纯弯曲变形和恒力弯曲变形忽略剪切应力的情况下，弯矩与曲率间的关系式为
1()()z
M x x EI r =
由数学计算得挠曲线的微分方程，即
22322()[1()]z d w M x dx EI dw dx
±=+（2）挠曲线的近似微分方程
由于挠曲线极其平坦，即dw dx 很小，在挠曲线微分方程中2
dw dx ⎛⎫ ⎪⎝⎭
与1相比可以忽略不计，所以可得挠曲线的近似微分方程为22z
d w M dx EI =三、用积分法求弯曲变形1．基本方程（1）挠曲线的近似微分方程
2222()()z z d M x d EI M x dx EI dx
ωω=⇒=（2）转角方程
由挠曲线的近似微分方程积分一次得转角方程为
()z
z d EI EI M x dx C dx
ωθ==+⎰（3）挠度方程由转角方程再积分一次得挠度方程为
()z EI M x dxdx Cx D
ω=++⎰⎰2．积分法求弯曲变形
（1）积分常数的确定
C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。

①边界条件
梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。

a．悬臂梁：固定端挠度和转角都等于零，即000A A x w θ===：，。

b．简支梁：铰支座处约束条件为挠度等于零，即000A
A x w x l w ====：；：。

②连续条件
梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。

因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。

a．若中间存在铰支座，则在中间铰处，挠度连续，转角不连续。

b．在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角应相等，即
1212
w w θθ==，（3）积分法求弯曲变形的步骤
①对梁进行整体平衡分析，列平衡方程式，求出内力；
②列出相关弯矩方程；
③列挠曲线近似微分方程并积分；
④由边界条件（位移边界条件、光滑连续条件）确定积分常数；
⑤确定转角方程和挠度方程；
⑥确定最大转角和最大挠度。

四、用叠加法求弯曲
1．叠加原理的概念
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和，这就是计算弯曲变形的叠加原理。

2．计算公式
1n i i w w ==∑，1n
i i θθ==∑3．限制条件
叠加原理只适用于线性函数，要求挠度、转角是载荷的线性函数。

4．叠加法求弯曲变形的步骤
（1）将梁上的载荷分解成表6-1的情形；
（2）查表得每种情形下各截面的挠度和转角；
（3）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和。

表6-1梁在简单载荷作用下的弯曲变形
五、简单超静定梁
1．基本概念
（1）超静定梁
超静定梁是指支反力数目大于有效平衡方程数目的梁。

（2）多余约束
多余约束是指从维持平衡角度而言，多于维持其静力平衡所必需的约束。

（3）多余反力
多余反力是指与约束相应的支座反力。

（4）超静定次数
超静定次数是指多余约束或多余支反力的数目。

（5）静定基
静定基是指将静不定系统中的多余约束解除后，得到的“静定基本系统”。

（6）相当系统。