高二数学练习(十二)

高二数学数列专题练习题(含答案)高中数学《数列》专题练1.数列基本概念已知数列的前n项和S_n和第n项a_n之间的关系为：a_n=S_n-S_{n-1} (n>1)，当n=1时，a_1=S_1.通过这个关系式可以求出任意一项的值。

2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。

对于等差数列，有通项公式a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。

对于等比数列，有通项公式a_n=a_1*q^{n-1}，其中q为公比。

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

如果a、A、b、B成等差数列，那么A、B叫做a、b的等差中项。

3.求和公式对于等差数列，前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2.对于等比数列，前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中q不等于1.另外，对于等差数列，S_n、S_{2n}-S_n、S_{3n}-S_{2n}构成等差数列；对于等比数列，S_n、S_{2n}/S_n、S_{3n}/S_{2n}构成等比数列。

4.数列的函数看法数列可以看作是一个函数，通常有以下几种形式：a_n=dn+(a_1-d)，a_n=An^2+Bn+C，a_n=a_1q^n，a_n=k*n+b。

5.判定方法对于数列的常数项，可以使用定义法证明；对于等差中项，可以证明2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}；对于等比中项，可以证明2a_n=a_{n-1}*a_{n+1}。

最后，对于数列的通项公式，可以使用数学归纳法证明。

1.数列基本概念和通项公式数列是按照一定规律排列的一列数，通常用{ }表示。

其中，第n项表示为an，公差为d，公比为q。

常用的数列有等差数列和等比数列。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等比数列的通项公式为an = a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

2.数列求和公式数列求和是指将数列中的所有项加起来的操作。

高二数学试卷练习题及答案高二数学试卷练习题一、选择题(本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。

)抛物线的准线方程为()ABCD下列方程中表示相同曲线的是()A，B，C，D，已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上，则椭圆的标准方程为()ABCD已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为()ABCD与圆及圆都外切的圆的圆心在()A一个椭圆上B双曲线的一支上C一条抛物线D一个圆上6.点在双曲线上，且的焦距为4，则它的离心率为A2B4CD已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到抛物线准线的距离为()A1B2C3D4过点且与抛物线只有一个公共点的直线有()A1条B2条C3条D无数条设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为()AB3CD以下四个关于圆锥曲线的命题中正确的个数为()①曲线与曲线有相同的焦点;②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;③过椭圆的右焦点作动直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则的周长不为定值。

④过抛物线的焦点作直线与抛物线交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条。

A1个B2个C3个D4个11.若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A18B24C28D3212.抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的'两个动点，且满足，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，则的最大值，是()ABCD二、填空题(本大题共有4个小题，每小题5分，共20分)13.已知点在抛物线的准线上，抛物线的焦点为，则直线的斜率为。

过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为直三棱柱中，分别是的中点，则与所成角的余弦值为。

设点是曲线上任意一点，其坐标均满足，则的取值范围为。

三、解答题17.(10分)在极坐标系中，求圆的圆心到直线的距离。

18.(12分)如图(1)，在中，点分别是的中点，将沿折起到的位置，使如图(2)所示，M为的中点，求与面所成角的正弦值。

【导语】⾼⼆时孤⾝奋⽃的阶段，是⼀个与寂寞为伍的阶段，是⼀个耐⼒、意志、⾃控⼒⽐拚的阶段。

但它同时是⼀个厚实庄重的阶段。

由此可见，⾼⼆是⾼中三年的关键，也是最难把握的⼀年。

为了帮你把握这个重要阶段，⽆忧考⾼⼆频道整理了《2018⾼⼆暑假数学作业练习题》希望对你有帮助！！ 【⼀】 (⼀)选择题(每个题5分，共10⼩题，共50分) 1、抛物线上⼀点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为() A2B3C4D5 2、对于抛物线y2=2x上任意⼀点Q,点P(a,0)都满⾜|PQ|≥|a|,则a的取值范围是() A(0,1)B(0,1)CD(-∞,0) 3、抛物线y2=4ax的焦点坐标是() A(0,a)B(0,-a)C(a,0)D(-a,0) 4、设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,并且满⾜OA⊥OB.则y1y2等于 () A–4p2B4p2C–2p2D2p2 5、已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q(2，-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最⼩值时，点P的坐标为()A.(，-1)B.(，1)C.(1，2)D.(1，-2) 6、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的⾯积为() (A)(B)(C)(D) 7、直线y=x-3与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向 抛物线的准线作垂线，垂⾜分别为P、Q，则梯形APQB的⾯积为() (A)48.(B)56(C)64(D)72. 8、(2011年⾼考⼴东卷⽂科8)设圆C与圆外切，与直线相切.则C的圆⼼轨迹为()A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆 9、已知双曲线：的离⼼率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的⽅程为 (A)(B)(C)(D) 10、(2011年⾼考⼭东卷⽂科9)设M(，)为抛物线C：上⼀点，F为抛物线C的焦点，以F为圆⼼、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是 (A)(0，2)(B)[0，2](C)(2，+∞)(D)[2，+∞) (⼆)填空题：(每个题5分，共4⼩题，共20分) 11、已知点P是抛物线y2=4x上的动点，那么点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1距离之和最⼩值是。

第12章概率初步（单元提升卷）（满分150分，完卷时间120分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、填空题1．甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为34，乙同学一次投篮命中的概率为23，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________.【答案】11 12【分析】考虑两个人都不命中的概率，从而可求至少有一个人命中的概率.【详解】两个都不命中的概率为321114312⎛⎫⎛⎫-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故至少有一人命中的概率是11 12，故答案为：11 12.2．给出下列三个命题，其中正确命题有________个.①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.【答案】0【解析】从频率和概率的定义来分析选项.【详解】①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念.故答案为：0.3．笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω=___________.【答案】{}0,2,4,6,8【解析】由取动物的次数来确定样本点。

【详解】解析：最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0. 故答案为：{}0,2,4,6,8【点睛】注意鸡有2只脚，兔子有4只脚，以免计算错误。

4．从含有5件次品的100件产品中任取3件，写出取到的产品中没有次品这个事件所对应的子集为______． 【答案】{}0【分析】根据题意直接求解即可.【详解】取到的产品中没有次品，说明次品的个数为零， 故答案为：{}05．已知a 、{}1,1,2b ∈-，则直线10ax by ++=不过第二象限的概率是________. 【答案】29.【分析】利用列举法和古典概型的概率公式可求得结果.【详解】因为基本事件(,)a b 有：(1,1)--，(1,1)-，(1,2)-，(1.1)-，(1,1)，(1,2)，(2,1)-，(2,1)，(2,2)，共9个，其中使得直线10ax by ++=不过第二象限的基本事件有：(1,1),-(1,2)-，共2个， 所以 直线10ax by ++=不过第二象限的概率是29. 故答案为：29.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题.6．春节期间支付宝开展了集福活动,假定每次扫福都能得到一张福卡(福卡一共有五种:爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福),且得到每一种类型福卡的概率相同,若小张已经得到了富强福、和谐福、友善福,则小张再扫两次可以集齐五福的概率为_______.【答案】225【详解】由题意可得：小张扫第一次得到爱国福或敬业福，概率为125p =， 扫第二次得到另外一张福卡的概率215p =， 则小张再扫两次可以集齐五福的概率为12225p p p ==. 7．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a ，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a 的最大值是______.【答案】0.79.【解析】由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a 的最大值.【详解】解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a ， ∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率， ∴()()()110.510.410.3a ----≥， 解得0.79a ≤. ∴a 的最大值是0.79. 故答案为：0.79.【点睛】此题考查对立事件概率的应用，属于基础题8．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为12，23，23，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为______． 【答案】23【分析】设事件A 表示“甲命中”，事件B 表示“乙命中”，事件C 表示“丙命中”，则()12P A =，()23P B =，()23P C =，他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：()()()()p P ABC P ABC P ABC P ABC =+++，由此能求出结果．【详解】解：设事件A 表示“甲命中”，事件B 表示“乙命中”，事件C 表示“丙命中”， 则()12P A =，()23P B =，()23P C =， ∴他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：()()()()p P ABC P ABC P ABC P ABC =+++121112122122233233233233=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯122183==．故答案为23．【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．已知随机事件A ，B 互为对立事件，且()()3P A P B =，则()P A =___________.【答案】34【解析】根据对立事件的概率关系可求()P A .【详解】因为随机事件A ，B 互为对立事件，故()()1P A P B +=，而故()()3P A P B =， 故()34P A =，故答案为：34.10．假如()0.7P A =，()0.8P B =，且A 与B 相互独立，则()P A B =___________． 【答案】0.94【分析】根据给定条件求出()P AB ，再借助全概率公式即可计算作答. 【详解】因A 与B 相互独立，且()0.7P A =，()0.8P B =，则()()()0.70.80.56P AB P A P B =⋅=⨯=，所以()()()()0.70.80.560.94P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=. 故答案为：0.9411．若随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为()2P A a =-，()34P B a =-，则实数a 的取值范围为_____．【答案】43(,]32【解析】根据已知条件和随机事件的概率范围及互斥事件的性质，列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围.【详解】因为随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，所以有：0()10()10()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪<+≤⎩，即021*********a a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪<-+-≤⎩，解得4332a <≤， 故答案为：43(,]3212．通过手机验证码登录哈喽单车App ，验证码由四位不同数字随机组成，如某人收到的验证码1234(,,,)a a a a 满足1234a a a a <<<，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________【答案】16【分析】利用概率的定义进行求解即可.【详解】∵12a =，2342a a a <<<，∴2a 、3a 、4a 从中3~9选，只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排，分别对应234,,a a a 即可，7341016C P C ∴==.故答案为：16【点睛】本题考查概率的定义，属于简单题二、单选题13．甲、乙两个元件构成一串联电路，设E ：甲元件故障，F ：乙元件故障，则表示电路故障的事件为（ ） A ．E F ⋃ B ．E FC ．E F ⋂D ．EF ⋂【答案】A【分析】根据当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，即可求解.【详解】由题意，甲、乙两个元件构成一串联电路，当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，所以电路故障的事件为E F ⋃. 故选：A.14．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，设A ：第一次摸得白球，B ：第二次摸得白球，C ；第二次摸得黑球，则A 与B 、A 与C 的关系是（ ） A ．A 与B 、A 与C 均相互独立 B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥 C ．A 与B 、A 与C 均互斥 D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立 【答案】A【分析】根据独立事件、互斥事件的定义逐一判断即可.【详解】由题意可知：332(),(),()555P A P B P C ===.因为3332()()(),()()()5555P AB P A P B P AC P A P C =⨯==⨯=，所以A 与B 、A 与C 均相互独立，因此选项A 正确； 因为事件A 与C 能同时发生，事件A 与B 能同时发生，所以事件A 与C 不互斥，事件A 与B 不互斥，因此选项B 、C 、D 不正确， 故选：A15．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）． A ．至多有1次中靶B ．2次都中靶C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶【答案】C 【分析】根据对立事件的定义判断即可.【详解】对立事件的定义是：A ，B 两件事A ，B 不能同时发生，但必须有一件发生， 则A ，B 是对立事件，事件：至少有一次中靶包括恰有一次中靶和二次都中靶， 所以对立事件是二次都不中靶. 故选：C.16．若()121(),,()933P AB P A P B ===，则事件A 与B 的关系是（ ）A ．事件A 与B 互斥 B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立【答案】C【分析】根据相互独立的事件的定义判断即可；【详解】解：因为()23P A =，所以()()211133P A P A =-=-=，又1()9P AB =，1()3P B =，所以()()()P AB P A P B =⋅，则A 与B 相互独立；因为()()P A P B ≠，所以事件A 与B 显然不对立，无法确定事件A 与B 是否互斥； 故选：C三、解答题17．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ． (1)求()P A ，()P B ，()P C ； (2)求抽取1张奖券中奖的概率；(3)求抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率． 【答案】(1)()11000P A =，()1100P B =，()120P C = (2)611000；(3)9891000【分析】（1）根据题意，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）根据互斥事件的概率加法公式，得到()()()()P D P A P B P C =++，即可求解； （3）根据对立事件的概率计算方法，得到()()()1P E P A P B =--，即可求解． (1)解：由题意，每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个， 故()11000P A =，()1011000100P B ==，()501100020P C ==．(2)解：设“抽取1张奖券中奖”为事件D ，则()()()()111611000100201000P D P A P B P C =++=++=． (3)解：设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E ， 则()()()119891110001001000P E P A P B =--=--=． 18．已知f (x )＝x 2＋2x ，x ∈[－2，1]，给出事件A ：f (x )≥a . （1）当A 为必然事件时，求a 的取值范围；（2）当A 为不可能事件时，求a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，－1]；（2）(3，＋∞).【分析】 根据函数的解析式求得函数的最大值是3，最小值是1-，（1）当A 为必然事件时，即不等式()f x a 在[2-，1]-上恒成立，故有1a -，由此求得实数a 的取值范围．（2）当A 为不可能事件时，即不等式()f x a 在[2-，1]-上无解，故有3a <，由此求得实数a 的取值范围．【详解】∵ f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈[－2，1] ∴ f (x )min ＝－1，此时x ＝－1. 又f (－2)＝0＜f (1)＝3 ∴ f (x )max ＝3. ∴ f (x )∈[－1，3]（1）当A 为必然事件时，即f (x )≥a 恒成立，故有a ≤f (x )min ＝－1，即a 的取值范围是(－∞，－1].（2）当A 为不可能事件时，即f (x )≥a 一定不成立，故有a ＞f (x )max ＝3，则a 的取值范围为(3，＋∞).19．先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0． （1）试写出这个试验的样本空间；（2）写出“三次结果对应数字之和为1”所包含的样本点； （3）记事件A 为“三次结果对应数字之和不小于2”，求()P A ．【答案】（1）{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}；（2）{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}；（3）12.【分析】（1）写出每一种情况即可； （2）在（1）中找出满足条件的样本点即可；（3）先求样本点的总数，再根据概率公式计算即可.【详解】（1）先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0.其样本空间为{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}； （2）三次结果对应数字之和为1的样本点为{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}共3个；（3）三次结果对应数字之和不小于2的样本点为{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}共4个，故41()82P A ==. 20．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）0.025；（Ⅱ）0.814；（Ⅲ）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.【分析】（Ⅰ）分别计算样本中电影总部数及第四类电影中获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（Ⅱ）利用古典概型公式，计算没有获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（Ⅲ）根据每部电影获得好评的部数做出合理建议..【详解】（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140503002008002102000+++++=，第四类电影中获得好评的电影部数是2000.2550⨯=，故所求概率为500.025 2000=；（Ⅱ）设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有1400.6200.83000.852000.758000.85100.91628⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=部，由古典概型概率公式得()16280.814 2000P B==；（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.【点睛】本题主要考查概率与统计知识，属于易得分题，应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A；第二步，分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；第三步，利用公式()mP An=求出事件A的概率.21．将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，求方程210ax bx++=有实数根的概率． 【答案】1936【分析】由题意得到{}1,2,3,4,5,6a ∈且{}1,2,3,4,5,6b ∈，得到(),a b 的不同取值情况共有36个，根据方程无实数根的条件是240b a ∆=-≥，即24b a ≥，分类讨论，求得事件A 包含的样本点共有19个，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a 和b ， 可得{}1,2,3,4,5,6a ∈，{}1,2,3,4,5,6b ∈，所以(),a b 的不同取值情况共有6636⨯=， 即基本事件的总数36n =个，记“方程210ax bx ++=有实数根”为事件A ，又由方程无实数根的条件是240b a ∆=-≥，即24b a ≥， 当1b =时，此时无解； 当2b =时，可得1a =； 当3b =时，可得1,2a =； 当4b =时，可得1,2,3,4a =； 当5b =时，可得1,2,3,4,5,6a =； 当6b =时，可得1,2,3,4,5,6a =．所以事件A 包含的样本点共有1246619++++=（个），所以()1936P A =．。

高中数学学习材料唐玲出品江苏省黄桥中学高二理科数学周周练十二一、填空题1、设i 是虚数单位，复数21iz i =+，则｜z ｜＝________________________2．某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程 中各至少选一门，则不同的选法共有_________________种3.用反证法证明命题“设a,b 为实数,则方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是._________________4.参数方程2232(05)1x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩表示的曲线是_________________5.设集合{|0},{|03}1xA xB x x x =<=<<-，那么“m A ∈”是“m B ∈”的_________________条件 ． 6.展开()6a b c ++，合并同类项后，含23ab c 项的系数是__________7.若复数z 满足014=-zz ,则z 的值为____________8、若（1﹣3x ）2015=a 0+a 1x+…a 2015x 2015（x ∈R ），则的值为___________________．9．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为 ． 10.已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-βαcos 200sin 为单位矩阵，且,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦、，则tan()αβ+= 11．直线323y x =+与圆心为D 的圆33cos ([0,2])13sin x y θθπθ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩交于,A B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为___________________12已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是__________________13.已知，由不等式，,，归纳得到推广结论：，则实数________.14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1,1, 2,3, 5,8, 13，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，该数列是一个非常美丽和谐的数列. 有很多奇妙的属性. 比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…，人们称该数列为“斐波那契数列”. 若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第2014项的值为 ；数列中，第2014个值为1的项的序号是 .二、解答题15．知矩阵, 若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量.（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵；（2）计算的值.16、已知m R ∈，命题:p 对任意[0,8]x ∈，不等式213log (1)3x m m +≥-恒成立，命题:q 对任意x R ∈，不等式|1sin 2cos 2|2|cos()|4x x m x π+-≤-恒成立（1）、若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）、若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围。

高二数学练习题一、选择题（每小题5分，共60分）1.设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= ( ) A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ． 1i +2．曲线23-+=x x y 上一点0P 处的切线平行于直线41y x =+，则点0P 一个的坐标是 （ ） A ．（0，-2） B. (1, 1) C. (-1, －4) D. (1, 4) 3．设y x ,为正数, 则)41)((yx y x ++的最小值为 （ ）A. 6B.9C.12D.154．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的 倾斜角为 （ ） A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角5．如图,用与底面成30︒角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的 离心率为 A ．12B．3C．2D ．非上述结论[]326y 2x 3x 12x 50,3=--+．函数在上的最大值与最小值分别是 （ ）A.5 , -15B.5 , 4C.-4 , -15D.5 , -168、已知{}n b 为等比数列，52b =，则99212=⋅⋅⋅b b b 。

若{}n a为等差数列，第5题图52a =，则{}n a 的类似结论为（ ）A 99212=⋅⋅⋅a a aB 99212=+++a a a C 92921⨯=⋅⋅⋅a a a D 92921⨯=+++a a a 9.已知曲线3lnx 4xy 2-=的一条切线的斜率为21,则切点的横坐标为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 1210.设R a ∈，若函数x e y ax3+=，R x ∈有大于零的极值点，则（ ）A ．3->a B. 3-<a C. 31->a D. 31-<a()2111.f x ln(2)b 2x b x =-++∞若在(-1,+)上是减函数，则的取值范围是（ ）A.[-1，+∞]B.（-1，+∞）Ｃ.(]1,-∞- D.（-∞，-1）12.如右图，求阴影部分的面积是（ ） A. 32 B. 329- C.332 D. 335二、填空题（每小题4分，共16分）121)3(z z i -12、若复数z =4+29i,z =6+9i,则复数的实部为 。

高二数学练习试题答案及解析1.已知，是第四象限角，则实数可取的整数为（）A． 1B． 2C． 3D． 5【答案】B【解析】略2.一个调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人数为A．5B．10C．25D．50【答案】C【解析】略3.设随机变量的分布列为下表所示且，则（）A．－0.2B．0.1C．0.2D．－0.4【答案】A【解析】略4.若点P在曲线上移动，求经过P的切线的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略5.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种【答案】B【解析】略6.（本小题满分12分）(1) 已知，是两个正实数，证明：，并指出等号成立的条件．(2)设是正实数，利用(1)结论求复数模的最小值．【答案】【解析】解：（１）分析法：要证，由题，因……………….. １分只证．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分只证．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分只要证此式成立．原不等式成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．５分当且仅当时等号成立..................................................6分（亦可用综合法）（２）..........................１０分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分当时，的最小值是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分7.已知抛物线的方程是，则焦点到准线的距离是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略8.命题“”的否定是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略9.平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设条直线交点个数为，则与的关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略10.，经计算得，据此可猜想当时，有____________.【答案】【解析】略。

高一高二数学练习题目1. 选择题：（每题2分，共20分）1. 若一个正方形的边长为x，则它的面积为：A. xB. x^2C. 2xD. 4x2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求f(2)的值。

A. -3B. 7C. 11D. 173. 解方程log₂(x - 3) = 2的解为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知三角形ABC，其中∠B = 90°，AB = 5，BC = 12，AC = √(a^2-1)。

求a的值。

A. 13B. 25C. 37D. 495. 在等差数列-4, -1, 2, 5, ...中，第15项是多少？A. 33B. 34C. 35D. 366. 若a:b = 3:4，b:c = 2:5，则a:c的比值为：A. 3:5B. 1:2C. 3:10D. 12:157. 如果sinθ = 3/5，那么cosθ的值为：A. 2/3B. 3/4C. 4/5D. 5/68. 已知直角三角形ABC，其中AB = 5，BC = 12，AC = √(a^2-1)。

求a的值。

A. 13B. 25C. 37D. 499. 若f(x) = 3x + 2，g(x) = 2x - 1，则f(g(x))的值为：A. 6x + 1B. 6x - 1C. 5x + 3D. 5x - 310. 十个人共有几对不同的握手方式？A. 45B. 50C. 55D. 602. 解答题：（每题10分，共50分）1. 已知函数y = f(x)的图像关于点(2,3)对称，且经过点(-1,4)，求函数y = f(x)的表达式。

2. 解方程：(a) 3^(2x - 1) + 9 = 3^(x + 2)(b) log₂(x + 3) = log₂(2x - 1)3. 已知等差数列前五项的和为56，公差为4。

求该等差数列的第一项。

4. 计算下列三角函数值：(a) cos(45°)(b) sin(60°)(c) tan(30°)5. 证明勾股定理：在直角三角形ABC中，若∠C = 90°，设AB = a，BC = b，AC = c，则有a^2 + b^2 = c^2。

北京市第十二中学2024-2025学年高二上学期10月练习数学试题一、单选题1．过())0,1,A B 两点的直线的倾斜角为（ ） A ．60-︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．已知直线l 经过点(1,1,2),(0,1,0)A B ，平面α的一个法向量为(2,0,4)n =--r，则（ ）A ．l α∥B ．l α⊥C ．l α⊂D ．l 与α相交，但不垂直3．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，AB a u u u r r =，AD b =u u ur r ，1AA c =u u u r r ，则1D E =u u u u r （ ）A ．12a b c -+r r rB ．12a b c --r r rC ．32a b c ++r r rD ．1122a b c +-r r r4．设点()2,3,4A -在xOy 平面上的射影为B ，则OB u u u r等于（ ）AB ．5C ．D 5．在以下4个命题中，不正确的命题的个数为（ ）①若a b b c ⋅=⋅r r r r ，则a c =r r ；②若三个向量,,a b c r r r 两两共面，则向量,,a b c r r r共面；③若{},,a b c r r r为空间的一个基底，则{},,a b b c c a -++r r r r r r 构成空间的另一基底；④()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．已知向量,a b r r ，则“()()0a b a b +⋅-=r r r r ”是“a b =r r 或a b =-r r ”的（ ）条件.A ．必要而不充分B ．充分而不必要C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知PA =u u u r （2，1，﹣3），PB =u u u r（﹣1，2，3），PC =u u u r （7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（ ） A ．9B ．﹣9C ．﹣3D ．38．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=u u u r u u u r ，0AC AD ⋅=u u u r u u u r ，0AB AD ⋅=uu u r uuu r，则BCD ∆是（ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（ ）A ．14B ．12C D 10．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）. 数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 如图，已知一个正八面体ABCDEF 的棱长为2，M ，N 分别为棱AD ，AC 的中点，则直线BN 和FM 夹角的余弦值为（ ）A ．56BC D 11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别是正方形ABCD 和11BB C C 的中心，点P 为正方体表面上及内部的点，若点P 满足DP mDA nDM kDN =++u u u r u u u r u u u u r u u u r，其中,,R m n k ∈，且1m n k ++=，则满足条件的所有点P 构成的图形的面积是（ ）A B C D 12．菱形ABCD 的边长为4，60A ∠=︒，E 为AB 的中点（如图1），将ADE V 沿直线DE 翻折至A DE 'V 处（如图2），连接A B '，A C '，若四棱锥'A EBCD -的体积为F 为A D '的中点，则F 到直线BC 的距离为（ ）A ．B C D二、填空题13．已知向量(1,2,1),(3,,)a b x y =-=r r,且//a b r r ，则x y +=．14．已知i r ，j r ，k r 为空间两两垂直的单位向量，且2a i j k =+-r r r r ，34b i j k =-+r r r r ，则a b ⋅=rr .15．已知()()2,2,3,1,1,2b a =-=-r r ，则向量a r在向量b r 上的投影向量的坐标为.16．已知直线l 斜率的取值范围是()，则l 的倾斜角的取值范围是．17．长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,,,AD AA AB E F G ===分别是棱111,,C D BC CC 的中点，M 是该长方体的面ABCD 内的一个动点（不包括边界），若直线1D M 与平面EFG 平行，则11MB MD ⋅u u u u r u u u u r的最小值为.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面, 1.ABCD PA AB G ==为PC 的中点，M 为PBD △内一动点（不与,,P B D 三点重合）.给出下列四个结论：①直线BC 与PD 所成角的大小为π4；②AG BM ⊥；③GM ④若AM =则点M 的轨迹所围成图形的面积是π6.其中所有正确结论的序号是.三、解答题19．已知空间中三点()()()2,0,2,1,1,2,3,0,3A B C ---，设,a AB b AC ==u u ur u u u r r r .(1)求()b a a +⋅r r r ；(2)求向量a r与向量b r夹角的大小.20．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，1190,60,BAD DAA BAA M ∠=︒∠=∠=︒为11AC 与11B D 的交点.设1,,AB a AD b AA c ===u u u r u u u r u u u r r r r .(1)用,,a b c r r r表示BM u u u u r ，并求BM u u u u r 的值；(2)求1BM AC ⋅u u u u r u u u u r的值.21．如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，点E 是棱BC 的中点.(1)求证：1//BD 平面1DC E ；(2)若点F 是线段1BD 的中点，求直线DF 与平面1DC E 所成角的正弦值. 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面,,90ABCD AB CD ADC ︒∠=∥，且22AD CD PD AB ====.(1)求证：AB ⊥平面PAD ；(2)求平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值；(3)在棱PB 上是否存在点G （G 与,P B 不重合），使得DG 与平面PBC 所成角的正弦值为23？若存在，求PGPB的值，若不存在，说明理由. 23．学习阅读以下材料，应用所学知识解决下面的问题.类比于二维空间（即平面），向量a r可用二元有序数组()12,a a 表示，若n 维空间向量a r用n 元有序数组()12,,,n a a a L 表示，记为()12,,,=rL n a a a a ，对于k ∈R ，任意()()1212,,,,,,,n n a a a a b b b b ==r rL L ，有：①数乘运算：()12,,,n ka ka ka ka =rL ；②加法运算：()1122,,,n n a b a b a b a b +=+++rr L ；③数量积运算：1122n n a b a b a b a b ⋅=+++r rL ；④向量的模：r a ⑤对于一组向量()1,2,,i a i m =u rL ，若存在一组不同时为零的实数()1,2,,i k i m =L 使得11220m m k a k a k a +++=u r u u r u u r rL ，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关.⑥在n 维向量空间中，基底是一组线性无关的向量{}12,,,n e e e u r u u r u u r L ，并且在空间中的任意向量αu r都可以由这组基底线性表示，即1122n n e e e αλλλ=+++u ru r u u r u u rL ，其中12,,,n λλλL 是一组实数.设i A 是n 元集合{}1,2,,A n =L 的子集，集合i A 元素的个数记为i A ，若集合组12,,,m A A A L 同时满足以下2个条件，则称集合组12,,,m A A A L 具有性质P ：①i A 为奇数，其中1,2,,i m =⋯；②i j A A I 为偶数，其中,1,2,,,i j m i j =⋯≠.(1)当3n =时，集合组12,,,m A A A L 具有性质P ，求m 的最大值，并写出相应集合组； (2)当8n =时，集合组12,,,m A A A L 具有性质P ，求m 的最大值；(3)i A 是n 元集合{}1,2,,A n =L 的子集，若集合组12,,,m A A A L 具有性质P ，求m 的最大值.。

北京市2023—2024学年第一学期阶段练习高二数学（答案在最后）2023.10班级__________姓名__________学号__________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共12道小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知点()2,1,0A 和点()0,3,4B -，则向量AB =（）A.()2,4,4-- B.()2,4,4- C.()2,2,4-- D.()2,2,4-【答案】A 【解析】【分析】根据向量的坐标的定义，即可求解.【详解】由()2,1,0A 和点()0,3,4B -，所以()2,4,4AB =--.故选：A2.设,,i j k 是两两不共线的向量，且向量24a i j k =-++ ，32b i j k =-- ，则23a b -=（）A.1125i j k-+B.1125i j k --+C.111011i j k -++D.111011i j k-- 【答案】C 【解析】【分析】根据向量基底运算法则直接计算即可.【详解】因为24a i j k =-++ ，32b i j k =--，所以()()23224332111011a b i j k i j k i j k -=-++---=-++ .故选：C3.点M (3,-2,1)关于yOz 平面对称的点的坐标是A.(-3,2,1) B.(-3,2,-1)C.(3,2,-1)D.(-3,-2,1)【答案】D 【解析】【分析】根据空间直角坐标系对称点的坐标特点即可得到结果.【详解】点M (3,-2,1)关于平面yOz 的对称点坐标为(-3,-2,1).所以本题答案为D.【点睛】本题考查空间直角坐标系，注意仔细审题，属基础题.4.已知(1,0,1),(1,1,2)a b =--= ，则向量a 在b方向上的投影数量为（）A.3-B.2-C.2-D.62【答案】B 【解析】【分析】代入向量投影的计算公式即可求出结果.【详解】向量a 在b方向上的投影数量为cos ,2a b a b a a b a a b b -⨯+⨯+-⨯⋅⋅⋅=⋅==-⋅，故选：B.5.与向量(1,AB =-共线的单位向量是（）A.112,,222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.112,,222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和11,,222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C.11,,222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.112,,222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和112,,222⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】设与向量(1,AB =- 共线的单位向量为a，则B a A λ= ，再根据1a = 求出λ，即可得解.【详解】设与向量(1,AB =- 共线的单位向量为a，则(),A a B λλλ=-= ，所以1a =，解得12λ=±，所以112,,222a ⎛⎫- ⎪⎝=⎪⎭ 或112,,222a ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B6.已知向量()1,1,0a =r，()1,1,0b =- ，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A.1λμ+= B.1λμ+=- C.1λμ= D.1λμ=-【答案】D 【解析】【分析】首先表示出a b λ+，a b μ+ ，依题意可得()()0a b a b λμ+⋅+= ，由数量积的坐标表示计算可得.【详解】因为()1,1,0a =r，()1,1,0b =- ，所以()1,1,0a b λλλ+=+- ，()1,1,0a b μμμ+=+- ，因为()()a b a b λμ+⊥+ ，所以()()0a b a b λμ+⋅+=，即()()()()11110λμλμ+++--=，所以1λμ=-.故选：D7.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =.点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN =（）A.121232a b c -+B.132212a b c-+-r r rC.211322a b c-++ D.121232a b c +- 【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.【详解】22,3OM MA OM OA =∴= ，N Q 为BC 的中点，()12ON OB OC ∴=+,()1221123322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++ .故选：C.8.已知平面α⊥平面β，l αβ= ．下列结论中正确的是（）A.若直线m ⊥平面α，则//m βB.若平面γ⊥平面α，则//γβC.若直线m ⊥直线l ，则m β⊥D.若平面γ⊥直线l ，则γβ⊥【答案】D 【解析】【分析】A ，利用线面平行的判定定理；B ，面面垂直没有传递性；C ，利用面面垂直的性质定理；D ，利用面面垂直的判定定理；【详解】A ，若m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊂，故A 错误；B ，若γα⊥，αβ⊥，则//γβ或γ与β相交，故B 错误；C ，若m l ⊥，αβ⊥，l αβ= ，必须m α⊂，利用面面垂直的性质定理可知m β⊥，故C 错误；D ，若l γ⊥，l αβ= ，即l β⊂，利用面面垂直的判定定理知γβ⊥，故D 正确；故选：D.【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间直线，平面直线的位置关系的判断，熟练掌握平行和垂直位置关系的判定和性质是解题的关键，属于基础题.9.如图，在三棱锥A BCD -中，,,DA DB DC 两两垂直，且2DB DC ==，点E 为BC 中点，若直线AE 与CD 所成的角为60︒，则三棱锥A BCD -的体积等于（）A.23B.43C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由题意可证AD ⊥平面DBC ，取BD 的中点F ，连接EF ，则AEF ∠为直线AE 与CD 所成的角，利用余弦定理求出AD ，根据三棱锥体积公式即可求得体积．【详解】如图，∵2DB DC ==，点E 为BC 的中点，∴DE BC ⊥，DE =∵DA ，DB ，DC 两两垂直，DB DC D = ，∴AD ⊥平面DBC ，取BD 的中点F ，连接EF ，∴AEF ∠为直线AE 与CD 所成的角，且1EF =，由题意可知，60AEF ∠=︒，设AD x =，连接AF ，则222212AF x AE x =+=+，，在AEF △中，由余弦定理，得222cos 2AE EF AF AEF AE EF +-∠=⋅，即2212=x =AD =∴三棱锥A BCD -的体积11122223323BCD V S AD =⋅=⨯⨯⨯=．故选：D ．10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AAAB BC ===，点B 到平面1ACD 的距离为（）A.69B.13C.23D.63【答案】C 【解析】【分析】将点B 到平面1ACD 距离转化为三棱锥1B ACD -的高，然后利用等体积的方法求距离即可.【详解】由题意得点B 到平面1ACD 距离为三棱锥1B ACD -的高，设点B 到平面1ACD 距离为d ，取AC 中点O ，连接1OD ，因为1111ABCD A B C D -为长方体，所以11AD CD =，所以1OD AC ⊥，221215AD =+=112AC =+=，()221232522OD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以11B ACD D ABC V V --=，113211211232232d ⨯=⨯⨯⨯⨯，解得23d =.故选：C.11.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）A.20°B.40°C.50°D.90°【答案】B 【解析】【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.12.已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A.2-B.32-C.43-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+--∴当0x =，2y =时，取得最小值332(42⨯-=-，故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，共30分.把答案填在答题纸中相应的横线上.13.设a ，b 为单位向量，且1a b += ，则a b ⋅= ____________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】由向量的数量积及运算律计算可得解.【详解】由题意得1a b == ，又1a b +=，21a b ∴+= 即()21a b+= ，整理得2221a a b b +⋅+= ，代入1a b == ，得12a b ⋅=- .故答案为：12-.14.若空间三点()4,1,3A ，()2,5,1B -，(),4,4C m 共线，则实数m =____________.【答案】5【解析】【分析】根据三点共线，转化为向量共线，即可求解.【详解】()2,6,2AB =--- ，()4,3,1AC m =-，由空间三点共线，则//AB AC ，即AC AB λ=，所以423612m λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，得12λ=-，5m =.故答案为：515.已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12CC =，则平面11A BC 与平面ABCD 所成的角的余弦值为____________.【答案】3【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】如图以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则()14,0,2A ，()4,4,0B ，()10,4,2C ，∴()10,4,2A B =-，()114,4,0A C =- ，设平面11A BC 的一个法向量为(),,m x y z=，则111420440A B m y z A C m x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取2z =，则()1,1,2m = ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =，设平面11A BC 与平面ABCD 所成的角为θ，则平面11A BC 与平面ABCD所成角的余弦值||6cos ||||3m n m n θ⋅===⋅．故答案为：3．16.如图，在棱长都为1的平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA两两夹角均为π3，则1AC BD ⋅=____________；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线1AC 垂直.这三个顶点可以是____________.【答案】①.0②.点1,,A B D 或点11,,C B D （填出其中一组即可）【解析】【分析】（1）以向量AB ，AD ，1AA为基底分别表达出向量1AC uuu r 和BD ，展开即可解决；（2）由上一问可知10AC BD ⋅=，用上一问同样的方法可以证明出110AC A D ⋅= ，这样就证明了平面1A BD 与直线1AC 垂直.【详解】（1）令1a AA = ，b AB = ，c AD =，则1a b c === ，π,,,3a b a c b c === ，则有BD AD AB c b =-=- ，111AC AC CC AB AD AA b c a =+=++=++ ，故221()()AC BD c b c b a c b c a c b c b a b⋅=-⋅++=+⋅+⋅-⋅--⋅2211111111111111111111022222222=+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯=+--=；（2）令1a AA = ，b AB = ，c AD =，则1a b c === ，π,,,3a b a c b c === 则有11A D AD AA c a =-=- ，111AC AC CC AB AD AA b c a =+=++=++ ，故2211()()AC A D c a c b a c b c a c a c a b a⋅=-⋅++=+⋅+⋅-⋅-⋅- 2211111111111111111111022222222=+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-=+--=，故11AC A D ⊥ ，即11AC A D ⊥，又由（1）知1AC BD ⊥，1A D BD D ⋂=，1,A D BD ⊂平面1A BD ，故直线1AC ⊥平面1A BD ；同理可证直线1AC ⊥平面11B D C .故答案为：0；点1,,A B D 或点11,,C B D 17.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA=，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上.点P 到直线1CC 的距离的最小值为____________.【答案】2【解析】【分析】设点P 在平面ABCD 上的射影为P '，则题意所求距离最小值即为P C '长度的最小值，且P C DE '⊥时P C '的长度最小，利用三角形面积相等关系即可求解.【详解】由题意知，点P 到直线1CC 的距离即为点P 在平面ABCD 上的射影到点C 的距离.设点P 在平面ABCD 上的射影为P '，显然点P 到直线1CC 的距离的最小值为P C '长度的最小值，当P C DE '⊥时，P C '的长度最小，此时11111222DCE S DC CE =⋅=⨯⨯=，12DCE S DE CP ''=⋅= ，所以122CP '=，解得2CP '=，即点P 到直线1CC 的距离的最小值为2.故答案为：2.18.在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）①当1λ=时，1AB P △的周长为定值②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值③当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【答案】②④【解析】【分析】①结合1λ=得到P 在线段1CC 上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有1A P BP ⊥，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P ，使得线面垂直.【详解】由题意得：1BP BC BB λμ=+ ，[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，所以P 为正方形11BCC B 内一点，①，当1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，即1CP BB μ= ，[0,1]μ∈，所以P 在线段1CC 上，所以1AB P △周长为11AB AP B P ++，如图1所示，当点P 在12,P P 处时，111122B P AP B P AP +≠+，故①错误；②，如图2，当1μ=时，即1BP BC BB λ=+ ，即1B P BC λ= ，[0,1]λ∈，所以P 在11B C 上，1113P A BC A BC V S h -=⋅ ，因为11B C ∥BC ，11B C ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以点P 到平面1A BC 距离不变，即h 不变，故②正确；③，当12λ=时，即112BP BC BB μ=+ ，如图3，M 为11B C 中点，N 为BC 的中点，P 是MN 上一动点，易知当0μ=时，点P 与点N 重合时，由于△ABC 为等边三角形，N 为BC 中点，所以AN ⊥BC ，又1AA ⊥BC ，1AA AN A = ，所以BN ⊥平面1ANMA ，因为1A P ⊂平面1ANMA ，则1BP A P ⊥，当1μ=时，点P 与点M 重合时，可证明出1A M ⊥平面11BCC B ，而BM ⊂平面11BCC B ，则1A M BM ⊥，即1A P BP ⊥，故③错误；④，当12μ=时，即112BP BC BB λ=+ ，如图4所示，D 为1BB 的中点，E 为1CC 的中点，则P 为DE 上一动点，易知11A B AB ⊥，若1A B ⊥平面1AB P ，只需11A B B P ⊥即可，取11B C 的中点F ，连接1,A F BF ，又因为1A F ⊥平面11BCC B ，所以11A F B P ⊥，若11A B B P ⊥，只需1B P ⊥平面1A FB ，即1B P BF ⊥即可，如图5，易知当且仅当点P 与点E 重合时，1B P BF ⊥故只有一个点P 符合要求，使得1A B ⊥平面1AB P ，故④正确.故选：②④【点睛】立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.已知向量()236a m = ,,，()1,0,2= b ，()()132R c m =∈ ,,（1）求()a b c ⋅- 的值；（2）求cos b c ,；（3）求a b - 的最小值.【答案】（1）6-（2）104（3）【解析】【分析】（1）根据空间向量的减法运算法则和数量积运算公式直接计算；（2）根据空间向量夹角公式直接计算即可；（3）根据条件写出模的表达式，再直接求最小值即可.【小问1详解】因为()1,0,2= b，()2c = ，所以()0,b c -= ，又因为()6a m = ,，所以()(6a b c ⋅-==- .【小问2详解】因为()1,0,2= b，()2c = ，所以cos 4b c b c b c⋅=== ,.【小问3详解】因为()6a m = ,，()1,0,2= b ，所以()a b m -=- ，所以()(()2222214128a b m m -=-++=-+ ，当1m =时，2a b - 取得最小值28，则a b -最小值为.20.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AC CB CC ===，E 是AB 中点.（1）求直线1AC 与直线1B E 所成角的余弦值；（2）求直线11A C 与平面1ACE 所成角的正弦值.【答案】（1）36（2）33【解析】【分析】（1）利用空间向量的方法求异面直线所成角即可；（2）利用空间向量的方法求线面角即可.【小问1详解】如图，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，()12,0,2A ，()0,0,0C ，()10,2,2B ，()1,1,0E ，()12,0,2A C =--uuu r ，()11,1,2B E =--uuu r ，()()1111112,0,21,1,23cos ,6404114AC B E AC B E AC B E ⋅--⋅--===++⨯++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以直线1AC 与直线1B E 所成角的余弦值为36.【小问2详解】()10,0,2C ，()112,0,0AC =- ，()1,1,0CE = ，设平面1A CE 的法向量为(),,m x y z = ，则12200m A C x z m CE x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1x =，则1y =-，1z =-，所以()1,1,1m =-- ，111111cos ,3m AC m AC m AC ⋅===u r uuu u r u r uuu u r u r uuu u r ，所以直线11A C 与平面1A CE 所成角的正弦值为33.21.如图，PA ⊥平面ABC ，ABBC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点.（1）求证：AM ⊥平面PBC ；（2）求二面角A PCB --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）首先证明BC ⊥平面PAB ，即可得到AM BC ⊥，再由AM PB ⊥，即可得证；（2）在平面ABC 内，作//Az BC ，则AP ，AB ，Az 两两互相垂直，建立空间直角坐标系A xyz -．利用向量法能求出二面角A PC B --的余弦值．【小问1详解】因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥．因为BC AB ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，所以AM BC ⊥．因为PA AB =，M 为PB 的中点，所以AM PB ⊥，BC PB B = ，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AM ⊥平面PBC ．【小问2详解】如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则AP ，AB ，Az 两两互相垂直，建立空间直角坐标系A xyz -．则()0,0,0A ，()2,0,0P ，()0,2,0B ，()0,2,1C ，()1,1,0M ．所以()2,0,0AP = ，()0,2,1AC = ，()1,1,0AM = ，设平面APC 的法向量为(),,n x y z =r，则2020n AP x n AC y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1y =，得()0,1,2n =- ，由（1）可知()1,1,0AM = 为平面BPC 的法向量，设二面角A PC B --的平面角为α，由图可知二面角A PC B --为锐角，则cos n AM n AM α⋅== A PC B --的余弦值为1010．22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，3BAD π∠=，E 是线段AD 的中点，连结BE.（1）求证：BE PA ⊥；（2）在线段PB 上是否存在点F ，使得//EF 平面PCD ？若存在，求出PF PB的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）12，理由见解析【解析】【分析】（1）根据菱形和等边三角形的性质得到BE AD ⊥，根据面面垂直的性质定理得到BE ⊥平面PAD ，最后根据线面垂直的性质证明即可；（2）根据中位线和平行四边形的性质得到EF DH ∥，然后根据线面平行的判定定理即可得到EF ∥平面PCD .【小问1详解】连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，π3BAD ∠=，所以三角形ABD 为等边三角形，因为E 为AD 中点，所以BE AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，BE ⊂平面ABCD ，所以BE ⊥平面PAD ，因为PA ⊂平面PAD ，所以BE PA ⊥.【小问2详解】当点F 为PB 中点，即12PF PB =时，EF ∥平面PCD ，理由如下：取PB 中点F ，PD 中点H ，连接EF ，FH ，DH ，因为,F H 分别为,PB PD 中点，所以FH BC ∥，12FH BC =，因为四边形ABCD 为菱形，E 为AD 中点，所以ED BC FH ∥∥，12ED BC FH ==，所以四边形EFHD 为平行四边形，EF DH ∥，因为EF ⊄平面PCD ，DH ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .23.已知集合{}128X x x x = ，，，是集合{20072008200920222023}S = ，，，，，的一个含有8个元素的子集.（1）当{20072008201120132017201920222023}X =，，，，，，，时，设(18)i j x x X i j ∈≤≤，，，（i ）写出方程2i j x x -=的解()i j x x ，；（ii ）若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，写出k 的所有可能取值；（2）证明：对任意一个X ，存在正整数k ，使得方程()18i j x k i x j -=≤≤，至少有三组不同的解.【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）(i)根据两数之差为2进行解答即可；(ii)由题两数的差均为正，利用列举法解答；（2）利用反证法进行证明．【小问1详解】(i)方程2i j x x -=的解为：()2013,2011，()2019,2017，(ii)以下规定两数的差均为正，则：列出集合X 的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；中间隔一数的两数差(即上一列差数中相邻两数和)：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15；中间相隔六数的两数差：16．这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以k 的可能取值有4，6．【小问2详解】证明：不妨设12820072023x x x ≤<<<≤ ，记()11,2,,7i i i a x x i +=-= ，()21,2,,6i i i b x x i +=-= ，共13个差数，假设不存在满足条件的k ，则这13个数中至多两个1，两个2，两个3，两个4，两个5，两个6，则()()()1271262126749a a a b b b +++++++≥++++= ，又()()127126a a a b b b +++++++ ()()818721x x x x x x =-++--()()817222161446x x x x =-+-≤⨯+=，这与上式矛盾.所以假设错误，原命题成立.。

导数及其应用1． 已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k =________．2． 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2(其中x ∈R ，a ，b 为常数)．已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l ，则a ，b 的值分别为________．3． 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中所有不正确的序号是________．①当x ＝32时，函数f (x )取得极小值； ②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数f (x )取得极小值； ④当x ＝1时，函数f (x )取得极大值． 4． 设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为_______． 5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝_______. 6．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是______． 7．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．8．已知函数f (x )＝x 2e，g (x )＝2a ln x ．(1)求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间，若F (x )有最值，请求出最值；(2)是否存在正常数a ，使f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；9．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2 0<x ≤10，108x －1 0003x 2x >10.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？计数原理1、若n N且n<20,则（27—n）（28—n） （34—n）= ( )A 、827n A -B 、n n A --2734C 、734n A -D 、834n A -2、已知=++++2252423n C C C C 363，则n=______3、化简=+++-2132n n n n C C C _________4、三个女生和五个男生排成一排，（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？5、A 、B 、C 、D 、E 五人并排站在一排，其中A 、B 、C 顺序一定，那么不同的排法种数是________。

圆与方程1．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是() A．[1－22，1＋22]B．[1－2，3]C．[－1,1＋22] D．[1－22，3]2．从点P(m,3)向圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为() A．2 6 B.26C．4＋ 2 D．53．22()AC4．和BD，AC5．P(x)AC60，则曲线CAC7．将圆x2＋y2＝1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是________________；若过点(3,0)的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是________．8．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则C上各点到l距离的最小值为________．9．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于两点A、B，弦AB的中点为(0,1)，则直线l的方程为________．10．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．不等式 1、解关于x 的不等式(2)1m x m ->-。

2、若不等式62ax <+的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ）A 、8B 、2C 、4-D 、8-3 A 且1}x ≠-45值范围值范围值范围6)7 A.a b ＜a ＋c b ＋d ＜c d B.a ＋c b ＋d ＜a b ＜c d C.a b ＜c d ＜a ＋c b ＋dD.以上均有可能8、若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0，＋∞) B.[－4，＋∞) C ．[－5，＋∞) D.[－4,4]函数1、函数y ＝－x 2－3x ＋4x 的定义域为________．2、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________.3、已知函数f (x )＝⎨⎪⎧1＋1x(x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；45、． 6(1)(2)7、________． 8，则下列9a的取值范围是________．10、定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．11、已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．12、已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；13、若函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛]1,0[,4)0,1[,41x x xx，则f (log 43)＝________.14、为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点________．数列1、数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）（A ）a n =n 2-(n-1) （B ）a n =n 2-1 （C ）a n =2)1(+n n （D ）a n =2)1(-n n2、在等差数列{}a n中,=++a a a 74139 ,=++a a a 85233则=++a a a 963( )A. 303、设( )A. 1 4是（ A5等于6 n7 8、足6α-（1（3）当16a =时，求数列的通项公式。

高二数学练习题目1. 练习题目：1. 求下列方程的解：a) 2x + 5 = 9b) 3(x - 4) = 6c) 2(x + 3) - 5x = 4 - (x + 1)d) 3(2x - 1) = 2(3x + 4) - 52. 解下列不等式，并用数轴表示解集：a) x - 2 > 3b) 2x + 5 < 13c) 4 - 3x > x + 6d) 2(x - 3) ≥ 53. 计算下列简单的函数值：a) f(x) = 2x + 3, 求 f(5)b) g(x) = 3x^2 - 2x + 1, 求 g(-1)c) h(x) = (x + 2)^2 - 4, 求 h(0)d) k(x) = 5/x, 求 k(2)4. 解下列方程组：a) { 2x + y = 7,x - y = 3 }b) { 3x + 2y = 4,4x - 3y = 10 }c) { 2x - 3y = 1,4x + 2y = 8 }d) { 6x - 4y + 3z = 7,9x + 2y - z = 2,-3x + 3y + 2z = 5 }5. 已知函数 f(x) = 2x^3 + x^2 - 3x + 5，请回答以下问题：a) 求 f(2)b) 求 f(-1)c) 解方程 f(x) = 0d) 求 f(x) 的最小值2. 解答1. 求下列方程的解：a) 2x + 5 = 9解：将方程两边同时减去5，得到2x = 4，再除以2，最后得到x = 2。

解：先将括号内的表达式进行运算，得到3x - 12 = 6，然后将方程两边同时加上12，得到3x = 18，再除以3，最后得到x = 6。

c) 2(x + 3) - 5x = 4 - (x + 1)解：先将方程两边的括号内的表达式进行运算，得到2x + 6 - 5x = 4 - x - 1，然后将同类项合并，得到-x + 6 - 5x = 3 - x，继续合并同类项，得到-6x + 6 = 3 - x，再将方程两边同时减去6，得到-6x = -3 - x，最后将方程两边同时加上x，得到-5x = -3，再除以-5，最终得到x = 0.6。

日照实验高中高二下学期期末复习数学练习十二（选修2-2和2-3）1．复数i i4321-+的共轭复数为 A. i 5251+- , B. i 5251--, C. i 5251+ D.i 5251-2.5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为A.72B.48C.24D.603.101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（A ）第5项 （B ）第6项 （C ）第5项或第6项 （D ）不存在4.袋中有5个红球，3个白球，不放回地抽取2次，每次抽1个．已知第一次抽出的是红球，则第2次抽出的是白球的 概率为（A ）37 （B ）38 （C ）47 （D ）125.曲线3sin (0)2y x x π=≤≤与两坐标轴所围成图形的面积为A . 1B . 2C . 52D. 36. 4名学生被中大、华工、华师录取，若每所大学至少要录取1名，则共有不同的录取方法 A ．72种 B ．24种 C ．36种 D ．12种 7．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（A ）12 (B)512(C)14 (D)16 8.已知随机量X 服从正态分布N （3,1），且P （2≤X ≤4）=0.6826，则P(X ＞4)=A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585 9.定积分120(2)x x x dx -⎰等于（ ）Ａ24π- Ｂ12π- Ｃ14π- Ｄ 12π- 10. 已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为A ．[15,)+∞B ．(,15]-∞C ．(12,30]D ．(12,15]- 11.若复数2)(i m z -=是纯虚数，则实数m 为_______12.同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是__________13.某班从6名班干部中（其中男生4人，女生2人）选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率是___________14. 方程0ln =--a x x 在∈x ()+∞,0上有解，则实数a 的取值范围是 .15、如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）． 16.命题p ：i i m +->-22（i 是虚数单位）； 命题q ：“函数3223f x x mx 2m x 32=-+-（）（）在（－∞，＋∞）上单调递增”.若p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，求m 的范围。

海州高级中学2010---2011学年度第一学期第二次单元练习高二数学试题命题人：王远刚注意事项：1.将所有答案填写在答题卷的指定位置，考试结束只交答题卷；2.本练习分文科选做和理科选做．．．．．．．．．，请看清要求； 3.本场考试共有填空题和解答题两项，其中填空题70分、解答题90分，共计160分，考试时间100分钟.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知函数2()f x x x =-+，则函数()f x 在[1,0]-上的平均变化率为 . 分析：联想到斜率量化直线的倾斜程度，我们用比值2121()()f x f x x x --来量化函数的平均变化率.解：函数()f x 在[1,0]-上的平均变化率为(1)(1)11(1)y f f x∆--==∆--.2.双曲线221169xy-=的焦点坐标为 .答案：(50)-，，(50)， ．解析：因为4=a ，b=3，所以c=5，所以焦点坐标为(50)-，，(50)，.3.（文科做）已知()2f x x =，则()3f '等于 .答案：6.3.（理科做）已知()53sin f x x x -=+，则()f x '等于 .答案：653cos xx --+.4.已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-.则数列{}n a 的公差为 .解：设{}n a 的公差为d ，由已知条件，11145a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解出13a =，2d =-．5.已知：甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的 条件. 答案：充分不必要条件6.若焦点在x 轴上的椭圆2212xym+=的离心率为12，则实数=m _______.答案：237.等比数列{}n a 中，5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，则{}n a 的首项1a 为 ． 解：由已知，得51113162,(13)242,13n a a ①②-⎧⋅=⎪⎨-=⎪-⎩，由①得181162a =，解得12a =．8.已知12=+y x ，则yx42+的最小值为 .答案：229.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为 .答案：a b ba 221==得 a ba c 522=+=，5==ac e .10．已知下列函数：①4y x x=+；②4sin sin y x x=+(0)x π<<；③e 4exxy -=+；④3log 4log 3x y x =+. 其中，最小值为4的函数的序号是 . ③ 11.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162xy+=的右焦点重合，则p 的值为 .答案：4 解析：椭圆22162xy+=的右焦点为(2，0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2，0)，则4p =.12.（文科做）与直线042=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程是 .答案：012=--y x解：∵2x y = ∴x y 2'=，而042=+-y x ，∴2=k ，∵k y ='，∴22=x ，1=x ，∴切点为1(，)1，故切线方程为)1(21-=-x y ，即012=--y x . 12.（理科做）曲线13++=x x y 在点（1，3）处的切线方程是__________. 答案：014=--y x略解：由题意得13'2+=x y ，∴4|'1==x y .即曲线13++=x x y 在点（1，3）处切线的斜率4=k ，∴所求切线方程为：)1(43-=-x y ，即014=--y x . 13.短轴长为5，离心率为32的椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线交椭圆于A ，B 两点，则△2ABF 的周长为 .答案：6.14.已知：b a ,均为正数，241=+ba ，则使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是 .答案：⎥⎦⎤⎝⎛∞-29,.二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.在△ABC 中，5=a ，3=b ，A C sin 2sin =.（1）求边AB 的值；（2）求A 2sin 的值．解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理AB sinC ＝BC sinA AB ＝sinCsinA BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB·AC ＝255.于是sinA ＝1－cos 2A ＝55，从而sin2A ＝2sinA·cosA＝45. 16.（1）已知椭圆E 的两个焦点的坐标分别是1F (0,2)-、2F (0,2)，并且椭圆经过点35(,)22-.求椭圆的标准方程及椭圆的离心率.（2）已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为5x =e =曲线的方程，并写出该双曲线的渐近线方程. 解：（1）∵椭圆焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为22221y x ab +=（0a b >>），由椭圆的定义知，2a ==+=，∴10a =，又∵2c =，∴2221046b a c =-=-=，所以，椭圆的标准方程为221106yx+=.离心率51102==e .（2）由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b ab-=>>，设c =5x =得25ac=，由e =得c a=，解得1,a c ==，从而2b =，∴该双曲线的方程为2214yx -=；其渐近线方程为x y 2±=.17.已知0>a ，设P ：函数x a y =在R 上单调递减，Q ：一元二次不等式012>+-x ax 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求实数a 的取值范围.解：xa y =在R 上单调递减⇔10<<a ；因为0>a ，一元二次不等式012>+-x ax 的解集为R ，所以041<-=∆a ，解得41>a .如果P 正确，Q 不正确，则⎪⎩⎪⎨⎧≤<<<41010a a ，则410≤<a ；如果P 不正确，Q 正确，则⎪⎩⎪⎨⎧>≥411a a ，则1≥a ；因此，实数a 的取值范围为410≤<a 或1≥a .18.已知{}n a 是整数组成的数列，11a =，且点*1)()n a n N +∈在函数21y x =+的图像上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足111,2na n nb b b +==+，求数列}{n b 的通项公式，并证明：221n n n b b b ++⋅<.解：（1）由已知得：11n n a a +=+，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列；即1(1)1n a n n =+-⋅=；（2）由（1）知122na nn n b b +-==，112211123()()()12222212112n n n n n nn n n nb b b b b b b b ------=-+-+⋅⋅⋅+-+-=+++⋅⋅⋅++==--221221(21)(21)(21)524220nn n nnnn n n b b b ++++-=----=-⋅+⋅=-<，所以：221n n n b b b ++⋅<.19.甲、乙两地相距100（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过160（千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数21，固定部分为3200元．（1）试将全程运输成本y (元)表示成速度v (千米/小时)的函数；（2）为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？此时的运输成本为多少元？ 解: (1) 依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为v100，全程运输成本为y ＝3200v 100⨯＋v v 100212⨯＝3200v100⨯＋v 50)6400(50v v+=，故所求函数及其定义域为)6400(50v vy +=，其中∈v (0，160)；(2) 80006400250)6400(50=⨯≥+v v当且仅当v v=6400即80=v 时取等号，所以当80=v (千米/小时)时全程运输成本最小．此时的运输成本为8000元.20.（文科做）设n S 是数列{}n a （n ∈N *）的前n 项和，1a a =，且22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n = ，，，．（1）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；（2）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N *）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项．解：（1）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=．…①；于是213(1)n n S S n ++=+．…②；由②－①得：163n n a a n ++=+．………③；于是2169n n a a n +++=+．…………④ 由④－③得：26n n a a +-=．……………⑤；即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列． （2）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有1215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列．所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N *．由题设知，1187n n b -=⨯．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N *，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项．（注：考生取满足36n a k =-，n k ∈N *的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第126723n a -⨯+-项即可）20.（理科做）函数c bx axx x f +++=23)(，过曲线)(x f y =上的点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y .（1）若)(x f y =在2-=x 时有极值，求)(x f 的表达式；（2）在（1）的条件下，求)(x f y =在]1,3[-上最大值；（3）若函数)(x f y =在区间]1,2[-上单调递增，求实数b 的取值范围. 解：（1）b ax x x f c bx axx x f ++='+++=23)()(223求导数得由，)1)(1()1(:))1(,1()(-'=-=x f f y f P x f y 的切线方程为上点过，:))1(,1()(),1)(23()1(的切线方程为上而过即f P x f y x b a c b a y =-++=+++-⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=-++=++)2(3)1(0212323 c b a b a c b a b a 即故， 542)(5,4,2)3)(2)(1()3(124,0)2(,2)(23+-+==-==-=+-∴=-'-==x x x x f c b a b a f x x f y 相联立解得由故时有极值在（2）)2)(23(44323)(22+-=-+=++='x x x x b ax x x f135)2(4)2(2)2()2()(=+---+-=-=f x f 极大，4514121)1(3=+⨯-⨯+=f ，]1,3[)(-∴在x f 上最大值为13 ，（3）]1,2[)(-=在区间x f y 上单调递增，又02)1(,23)(2=+++='b a b ax x x f 知由 b bx x x f +-='∴23)( 依题意]1,2[03,0)(]1,2[)(2-≥+-≥'-'在即上恒有在b bx x x f x f 上恒成立.①在603)1()(,16≥∴>+-='='≥=b b b f x f b x 小时②在0212)2()(,26≥++=-'='-≤=b b f x f b x 小时 ∈∴b ∅，③在6001212)(,1622≤≤≥-='≤≤-b bb x f b则时小.综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：b ≥0.。

高中数学数列专题练习1．n S 与n a 的关系：11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩ ,已知n S 求n a ,应分1=n 时1a =1S ； 2≥n 时,n a =1--n n S S 两步,最后考虑1a 是否满足后面的n a .2.等差等比数列3.数列通项公式求法：1定义法利用等差、等比数列的定义；2累加法；3累乘法n nn c a a =+1型；4利用公式11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩；5构造法b ka a n n +=+1型；6倒数法等4.数列求和1公式法；2分组求和法；3错位相减法；4裂项求和法；5倒序相加法;5. n S 的最值问题：在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：1当0,01<>d a 时,满足⎩⎨⎧≤≥+001m ma a 的项数m 使得mS 取最大值.2当 0,01><d a 时,满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得m S 取最小值; 也可以直接表示n S ,利用二次函数配方求最值;在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用;一、选择题1．已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为A ．21-B ．23-C ．21D ．232．在等比数列{}n a 中,若,243119753=a a a a a 则=1129a aA ．9B ．1C ．2D ．3 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,21,551S a a S n =+且,209=a 则=11S A ．260 B ．220 C ．130 D ．1104．各项均不为零的等差数列{}n a 中,若),2,(*112≥∈=--+-n N n a a a n n n 则S 2 009等于A ．0B ．2C ．2 009D ．4 0185．在△ABC 中,tan A 是以4-为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以31为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.非等腰的直角三角形6．记等差数列{}n a 的前项和为n s ,若103s s =,且公差不为0,则当n s 取最大值时,=nA ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或87．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1)1log 2+=+n S n （,则通项公式为A.)(2*N n a n n ∈=B. ⎩⎨⎧≥==)2(2)1(3n n a n n C. )(2*1N n a n n ∈=+ D. 以上都不正确8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2110m m m a a a -++-=,2138m S -=,则m =A ．38B ．20C ．10D ．99．设数列{}n a 的前n 项和2n S n =,则8a 的值为A ．15B ．16C ．49D ．6410．n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知3432S a =-,2332S a =-,则公比q = A ．3B ．4C ．5D ．611．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且41a ,22a ,3a 成等差数列,若,11=a 则4S = A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,,则n S = A ．12-n B ．1)23(-n C ．1)32(-n D ．121-n二、填空题:13．已知等比数列{}n a 为递增数列.若,01>a 且,5)(212++=+n n n a a a 则数列{}n a 的公比=q . 14．设等比数列{}n a 的公比,2=q 前n 项和为,n S 则24a S = .15．数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥则{}n a 的通项公式 16．等比数列{}n a 的首项为a 1＝1,前n 项和为,n S 若错误!＝错误!,则公比q 等于________． 三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足：37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S ． Ⅰ求n a 及n S ；Ⅱ令b n =211n a -n ∈N,求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9a a a a a +==．I 求数列{}n a 的通项公式． II 设31323log log log n n b a a a =+++,求数列1{}nb 的前n 项和．19．已知{}n a 为等比数列,256,151==a a ；n S 为等差数列}{n b 的前n 项和,,21=b 8525S S =. 1 求{}n a 和}{n b 的通项公式； 2 设n T n n b a b a b a ++=2211,求n T .20．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．1证明：2a =2 求数列{}n a 的通项公式；3 证明：对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++<． 21．2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 211-=n b ()*∈N n . 1求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;2记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S . 22．设数列{}n a 满足10a =且1111.11n na a +-=--Ⅰ求{}n a 的通项公式； Ⅱ设1, 1.nn n k n k b b S ===<∑记S 证明：。