用样本频率分布估计总体分布

用样本的频率分布估计总体的频率分布频率分布是一种用于描述数据集中频次分布情况的统计工具，它描述了每个数值或数值范围出现的频率。

在样本中，我们可以利用频率分布来估计总体的频率分布，从而了解总体的特征。

为了确切估计总体的频率分布，我们需要采取一定的统计方法，下面将介绍一种常用的方法，直方图。

一、直方图的构建构建频率分布的首要任务是将数据分为不同的组或区间。

一般来说，我们会根据数据的特点选择合适的组距，然后根据不同的组距将数据分组。

例如，假设我们有一组数据代表了一些班级学生的测试成绩，我们选择了组距为10，那么我们可以将数据分为以下几个组：然后，我们统计每个组内数据出现的次数，即频次，得到每个组的频次数。

二、计算频率频率是频次的一个重要衍生指标，它反映的是不同数据值或数据范围在总体中的比例。

频率的计算公式为：频率=频次/总样本量在直方图中，我们通常将频率表示为每个组的相对频率。

这样可以更好地反映出组与组之间的差异。

三、绘制直方图绘制直方图是一种直观地表现频率分布的方法。

在直方图上，x轴表示不同的组或区间，y轴表示频率。

我们可以用矩形的高度来表示每个组的频率，矩形的宽度表示组距。

通过绘制多个矩形，可以将频率分布更直观地展示出来。

在绘制直方图时，需要注意以下几点：1.组距应该选择合适，既不过小也不过大，以保证直方图的直观性和准确性。

2.直方图的高度应该符合频率的大小，即高度越高表示频率越大。

3.直方图的矩形之间应该没有间隙，以保证数据的完整性。

四、利用样本频率分布估计总体频率分布样本的频率分布可以提供总体频率分布的一种估计方法。

我们可以基于样本数据构建直方图，并计算每个组的频率。

然后，我们可以将样本频率分布与总体的频率分布进行比较。

如果两个分布形状相似并且没有明显的偏差，那么我们可以认为样本的频率分布可以很好地估计总体的频率分布。

当然，在使用样本频率分布进行总体频率分布估计时，还需要注意以下几点：1.样本的选取应该具有代表性，以避免样本偏差对估计结果的影响。

《用样本估计总体》典型例题【考情分析】用样本的频率分布估计总体分布的有关问题在高考中的常考题型有两个:(1)根据频率分布表和频率分布直方图进行频数或频率的计算,这种考查形式出现的频率很高;(2)频率分布直方图的绘制,这种考查形式常出现在解答题中,用样本的数字特征估计总体的数字特征也是高考中的常考题型,从近几年高考命题的趋势可以看出,对本节概念的考查开始逐步朝着对数据分析能力考查的方向发展,题目往往需结合相关数字特征的统计意义进行求解.题型1统计图表的信息读取(逻辑推理)典例1、[推测解释能力](2018·全国卷I)某地区经过1年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下列结论中不正确的是( )A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半思路本题以实际生活为背景考查了统计图表信息提取的知识,图表命题涉及广泛,解决本题时要注意题目条件中的“农村的经济收入增加了一倍,实现翻番”,否则计算出错,导致判断失误.解析方法一(通解)设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a,则由图可得建设前种植收入为0.6a,其他收入为0.04a,养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a,其他收入为0.1a,养殖收入为0.6a,养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a,所以只有A是错误的.方法二(优解)因为0.6<0.37×2,所以新农村建设后,种植收入增加,而不是减少,所以A是错误的.答案A题型2与统计图表有关的计算(数据分析)典例2、[分析计算能力(2020-天津卷)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),⋯,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )A.10B.18C.20D.36×组距,进行求解思路本题通过分析、读取频率分布直方图中数据的信息,利用公式频率=频率组距运算.解析根据题意,在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的频率为(6.25+5.00)×0.02= 0.225,则个数为80×0.225=18.答案 B题型3数字特征的含义与计算(数据分析)典例3-1[概括理解能力](全国II卷)为了评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n 块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,x3,⋯,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A.x1,x2,x3,⋯,x n的平均数B.x1,x2,x3,⋯,x n的标准差C.x1,x2,x3,⋯,x n的最大值D.x1,x2,x3,⋯,x n的中位数思路 本题依据数据的数字特征的意义,分析判断数据运用数字特征进行评价时,应从平均数、众数、中位数、方差、极差等多个角度对这组数据进行分析,全面考虑各数字特征的优缺点. 解析 平均数和中位数都能反映一组数据的集中趋势,而且平均数能反映一组数据的平均水平;标准差和方差都能反映一组数据的稳定程度.答案 B典例3-2、(2019-江苏卷)已知一组数据6,7,8,9,10,则该组数据的方差是_________.思路 本题考查了平均数和方差的计算公式,解决本题的关键是熟记平均数和方差的计算公式,本题考查了学生的分析计算能力和数学运算核心素养.解析 由平均数公式可得这组数据的平均数为8,则方差为(−2)2+(−1)2+0+0+12+226=53. 答案 53题型4用样本数字特征估计总体数字特征的简单计算典例4、[简单问题解决能力]某学校高一年级共有三个班,按优秀率进行评选.1班30人,优秀率30%,2班35人,优秀率60%,三班35人,优秀率40%,则全年级优秀率为_________.解析 本题通过优秀率、加权平均数来考查样本估计总体的数字特征,分析题意,根据班级优秀率求解全年级优秀率.由于某学校高一年级共有三个班,按优秀率进行评选:1班30人,优秀率30%,2班35人,优秀率60%,三班35人,优秀率40%,则全年级优秀率为:30×30%+35×60%+35×40%30+35+35=44%.答案 44%题型5用样本数字特征估计总体数字特征的综合计算(数学建模)典例5、[综合问题解决能力](2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B 两组,每组100只,其中A 组小鼠给服甲离子溶液,B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲,乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).思路本题属于样本平均值估计总体的综合应用,根据频率分布直方图的特征,通过数据分析,在频率分布直方距计算a的值.解析(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1−0.05−0.15−0.70=0.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.。

频率分布表和频率分布直方图频率分布表和频率分布直方图教学目标：1、知识与技能目标①使学生会列出频率分布表，画出频率分布直方图，理解频率分布表和频率分布直方图及其特点。

用频率分布直方图解决简单实际问题。

②能根据样本频率分布表和频率分布直方图估计总体分布，了解样本频率分布表和频率分布直方图的随机性和规律性。

2、过程与方法目标通过绘制频率分布直方图体会利用频率分布直方图研究样本数据的方法。

经历用频率分布表和频率分布直方图估计总体分布情况的过程。

3、情感、态度与价值观目标在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解样本分布与总体分布的关系，初步体会样本频率分布的随机性。

体会统计思维与确定性思维的差异。

初步形成对数据与数据处理过程的评价意识。

教学重点：列频率分布表，画频率分布直方图，用样本估计总体的思想，用样本的频率分布估计总体的分布。

教学难点：样本频率分布表、频率分布直方图的具体绘制方法；对总体分布的理解；统计思维的建立。

教学方法：以教师为主导，学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发，进行启发、诱导、探索，让学生充分阅读、练习、讨论，教师适时讲授，充分调动学生的学习积极性，层层设疑，发挥学生的主体作用，引导学生在自主学习与分组讨论过程中体会知识的价值，感受知识的无穷魅力。

教学准备：1、教学课件2、学案教学流程图：教学过程：一、复习回顾，引入新课1、什么是频数？什么是频率？2、什么是极差？极差与组数、组距的关系如何？3、随机抽样的原则是什么？抽取方法有哪些？4、我们抽样的目的是什么？如引例中的样本，从这些数据中你可以获得什么信息？学生思考回答。

教师总结：1、频数：在某个范围内数据出现的次数。

2、频率：某一数据在某个范围出现频率计算方法是频数除以数据的总数（即样本容量）。

3、极差＝最大值－最小值，极差又称为全距。

组数＝组距极差4、抽样是为了从样本中获取信息，来估计总体的一些性质和特点，但是面对杂乱无章的数据，我们无法直接看出原始数据包含的更多信息。

第二讲 用样本估计总体知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 用样本的频率分布估计总体分布 (1)频率分布表与频率分布直方图频率分布表和频率分布直方图，是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布规律，从中可以看到整个样本数据的频率分布情况．绘制频率分布直方图的步骤为：①_求极差__；②_决定组距与组数__；③_将数据分组__；④_列频率分布表__；⑤_画频率分布直方图__.(2)频率分布折线图顺次连接频率分布直方图中_各小长方形上端的中点__，就得到频率分布折线图． (3)总体密度曲线总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能提供更加精细的信息． 知识点二 茎叶图(1)茎叶图中茎是指_中间__的一列数，叶是从茎的_旁边__生长出来的数．(2)茎叶图的优点是可以_保留__原始数据，而且可以_随时__记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．知识点三 样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．(3)平均数：x ＝_x 1＋x 2＋…＋x nn__，反映了一组数据的平均水平．(4)标准差： s ＝_1n[x 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2]__，反映了样本数据的离散程度．(5)方差：s 2＝_1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]__，反映了样本数据的离散程度．重要结论(1)若一组数据x i (i ＝1,2，…，n)的平均数为x －，方差为s 2，则数据组ax i ＋b(i ＝1,2，…，n ，a ，b 为常数)的平均数为a x －＋b ，方差为a 2·s 2.(2)频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 ①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的，均为12.③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( √ ) (2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．( × )(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．( √ )(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( × )(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √ ) (6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．( × ) 题组二 走进教材2．(P 81A 组T1改编)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( B )A ．95,94B ．92,86C ．99,86D ．95,91[解析]由茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故92为中位数，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B .3．(P 7T1)如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有_25__人．[解析]100×(0.5×0.5)＝25(人)．题组三走向高考4．(2020·新课标Ⅲ)设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1,10x2，…，10x n的方差为( C )A．0.01 B．0.1C．1 D．10[解析]∵样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，∴根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，∴数据10x1,10x2，…，10x n的方差为：100×0.01＝1，故选C．5．(2020·天津)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( B )A．10 B．18C．20 D．36[解析]直径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25＋5)×0.02＝ 0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为0.225×80 ＝18个，故选B．考点突破·互动探究考点一频率分布直方图——自主练透例1 (1)(2021·江西赣州十四县联考)中央电视台播出《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示：组号分组频数频率第1组[160,165) 0.100笫2组[165,170) ①第3组[170,175) 20 ②第4组[175,180) 20 0.200第5组[180,185) 10 0.100合计100 1.00(ⅰ)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图(用阴影表示)．(ⅱ)为了能选拔出最优秀的选手，组委会决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取5名选手进入第二轮面试，则第3,4,5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试？(ⅲ)在(ⅱ)的前提下，组委会决定在5名选手中随机抽取2名选手接受考官A面试，求第4组至少有一名选手被考官A面试的概率．(2)(2021·福建漳州质检)2018年9月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达52亿元．某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：[0,2 000]，(2 000,4 000]，(4 000,6 000]，(6 000,8 000]，(8 000,10 000](单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图．(ⅰ)试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失(同一组中的数据用该区间的中点值代表)；(ⅱ)台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户损失超过4 000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8 000元的农户数为X，求X的分布列和数学期望．[解析](1)(ⅰ)第1组的频数为100×0.100＝10，所以①处应填的数为100－(10＋20＋20＋10)＝40， 从而第2组的频率为40100＝0.400.②处应填的数为1－(0.1＋0.4＋0.2＋0.1)＝0.200. 频率分布直方图如图所示．(ⅱ)因为第3,4,5组共有50名选手，所以利用分层抽样在50名选手中抽取5名选手进入第二轮面试时，每组抽取的人数分别为：第3组：2050×5＝2，第4组：2050×5＝2，第5组：1050×5＝1，所以第3,4,5组分别抽取2人，2人，1人进入第二轮面试． (ⅲ)记“第4组至少有一名选手被考官A 面试”为事件A ， 则P(A)＝C 12C 13＋C 22C 25＝710. ⎝ ⎛⎭⎪⎫或P A ＝1－P A －＝1－C 23C 25＝710 (2)(ⅰ)记每个农户的平均损失为x －元，则x －＝1 000×0.3＋3 000×0.4＋5 000×0.18＋7 000×0.06＋9 000×0.06＝33 601；(ⅱ)由频率分布直方图，可得损失超过 4 000元的农户共有(0.000 09＋0.000 03＋0.000 03)×2 000×50＝15(户)，损失超过8 000元的农户共有0.000 03×2 000×50＝3(户)，随机抽取2户，则X 的可能取值为0,1,2； 计算P(X ＝0)＝C 212C 215＝2235，P(X ＝1)＝C 112C 13C 215＝1235，P(X ＝2)＝C 23C 215＝135.所以X 的分布列为：X0 1 2P2235 1235 135数学期望为E(X)＝0×2235＋1×1235＋2×135＝25.名师点拨应用频率分布直方图时的注意事项用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键．频率分布直方图有以下几个要点：(1)纵轴表示频率/组距；(2)频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比；(3)频率分布直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于1，即频率之和为1.〔变式训练1〕(1)(2021·安徽“皖南八校”摸底)某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在[80,130](单位：分)内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为_220__.(2)(2021·山西适应性考试)某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为7天左右，短的约2～3天，长的约10～14天，甚至有20余天．某医疗机构对400名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图．根据该直方图估计：要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是( C )A ．12B ．13C ．14D ．15[解析] (1)根据频率分布直方图知： (2a ＋0.04＋0.03＋0.02)×10＝1⇒a ＝0.005； 计算出数学成绩不低于100分的频率为： (0.03＋0.02＋0.005)×10＝0.55；所以这次测试数学成绩不低于100分的人数为0.55×400＝220人．(2)由题可知，第一，二，三，四，五组的频率分别为0.16，0.4，0.32,0.08,0.04. 因为前三组的频率和为0.88， 故要使90%的患者显现出明显病状，则需隔离观察的天数至少是：13＋0.9－0.880.02＝14，故选C ．考点二 茎叶图——师生共研例2 (多选题)(2021·四川省乐山市调研改编)胡萝卜中含有大量的β－胡萝卜素，摄入人体消化器官后，可以转化为维生素A ，现从a ，b 两个品种的胡萝卜所含的β－胡萝卜素(单位mg)得到茎叶图如图所示，则下列说法正确的是( ABD )A ．x a <x bB ．a 的方差大于b 的方差C ．b 品种的众数为3.31D ．a 品种的中位数为3.27 [解析] 由茎叶图得：b 品种所含β－胡萝卜素普遍高于a 品种， ∴x a <x b ，故A 正确；a 品种的数据波动比b 品种的数据波动大， ∴a 的方差大于b 的方差，故B 正确； b 品种的众数为3.31与3.41，故C 错误； a 品种的数据的中位数为：3.23＋3.312＝3.27，故D 正确．名师点拨茎叶图的绘制及应用(1)茎叶图的绘制需注意：①“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；②重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据．(2)茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．〔变式训练2〕(2019·山东)如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 与y 的值分别为( A )A ．3,5B ．5,5C ．3,7D ．5,7[解析] 甲组数据的中位数为65，由甲、乙两组数据的中位数相等，得y ＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等，∴15×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x ＝3.故选A ． 考点三 样本数字特征——多维探究 角度1 样本数字特征与频率分布直方图例3 (1)如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是( B )A ．12.5,12.5B ．12.5,13C ．13,12.5D ．13,13[解析] 由频率分布直方图可知，众数为10＋152＝12.5，因为0.04×5＝0.2,0.1×5＝0.5，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的面积相等，所以中位数在区间[10,15)内．设中位数为x ，则(x －10)×0.1＝0.5－0.2，解得x ＝13.角度2 样本数字特征与茎叶图(2)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：⎪⎪⎪897 74 0 1 0 x 9 1则7个剩余分数的方差为_367__.[解析] 由图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，解得x ＝4，∴s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.角度3 样本数字特征的计算(3)(2021·湖北武汉、襄阳、荆门、宜昌四地六校考试联盟联考)已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差s 2为( C )A ．52B ．3C ．72D ．4[解析] 设某7个数据分别为a 1，a 2，…，a 7， 则由题意得a 1＋a 2＋…＋a 7＝5×7＝35， (a 1－5)2＋(a 2－5)2＋…＋(a 7－5)2＝4×7＝28， 加入新数据5后的平均数x －＝35＋58＝5，方差s 2＝a 1－52＋a 2－52＋…＋a 7－52＋5－528＝288＝72.故选C ．名师点拨平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数，中位数，众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．〔变式训练3〕(1)(角度1)某小区共有1 000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示，则该小区居民用电量的中位数为_155__，平均数为_156.8__.(2)(角度2)(2021·陕西西安八校联考)在一次技能比赛中，共有12人参加，他们的得分(百分制)茎叶图如图，则他们得分的中位数和方差分别为( B )A ．89 54.5B ．89 53.5C ．87 53.5D ．89 54(3)高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为x 1，x 2，x 3，…，x 100，它们的平均数为x －，方差为s 2：其中扫码支付使用的人数分别为3x 1＋2,3x 2＋2，3x 3＋2，…，3x 100＋2，它们的平均数为x －′，方差为s′2，则x －′，s′2分别为( C )A ．3x －＋2,3s 2＋2 B ．3x －，3s 2C ．3x －＋2,9s 2D ．3x －＋2,9s 2＋2[解析] (1)中位数为：150＋(170－150)×0.10.02×20＝155.该组数据的平均数为x ＝0.005×20×120＋0.015×20×140＋0.020×20×160＋0.005×20×180＋0.003×20×200＋0.002×20×220＝156.8.(2)由题可知，中位数为：87＋912＝89，先求平均数：x －＝78＋79＋84＋86＋87＋87＋91＋94＋98＋98＋99＋9912＝90，S 2＝112[(－12)2＋(－11)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－3)2＋(－3)2＋12＋42＋82＋82＋92＋92]＝53.5，故中位数为：89，方差为53.5，故选：B ．(3)显然x －′＝3x －＋2，而每个数据上都加上或减去相同数不影响方差，但每个数据都乘以a ，则方差变为原方差的a 2倍，故选C ．考点四 折线图——师生共研例4 (多选题)(2021·河南顶级名校模拟改编)如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论不正确的是( BCD )A ．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天B ．这15天日平均温度的极差为15 ℃C ．由折线图能预测16日温度要低于19 ℃D ．由折线图能预测本月温度小于25 ℃的天数少于温度大于25 ℃的天数[解析] A 选项，日平均温度的方差的大小取决于日平均温度的波动的大小，7,8,9三日的日平均温度的波动最大，故日平均温度的方差最大，正确；B 选项，这15天日平均温度的极差为18 ℃，B 错；C 选项，由折线图无法预测16日温度是否低于19 ℃，故C 错误；D 选项，由折线图无法预测本月温度小于25 ℃的天数是否少于温度大于25 ℃的天数，故D 错误．故选B 、C 、D ．名师点拨折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．〔变式训练4〕(多选题)甲乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲乙两组数据的平均值分别为x －甲、x －乙，则( BC )A ．每次考试甲的成绩都比乙的成绩高B ．甲的成绩比乙稳定C ．x －甲一定大于x －乙D ．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差[解析] 第二次考试甲的成绩比乙低，A 错；由图可知甲的成绩比乙的成绩波动小，B 正确，D 错；甲的平均成绩显然比乙的平均成绩高，C 正确；故选B 、C ．名师讲坛·素养提升 高考与频率分布直方图例5 (2021·安徽省池州市期末)高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]．其中a ，b ，c 成等差数列且c ＝2a ，物理成绩统计如表．(说明：数学满分150分，物理满分100分)分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]频数6920105(1)根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分； (2)根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；(3)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人．记X 为抽到两个“优”的学生人数，求X 的分布列和期望值．[解析] (1)根据频率分布直方图得， (a ＋b ＋2c ＋0.024＋0.020＋0.004)×10 ＝1， 又因a ＋c ＝2b ，c ＝2a ，解得a ＝0.008，b ＝0.012，c ＝0.016， 故数学成绩的平均分x －＝85×0.04＋95×0.12＋105×0.16＋115×0.2＋125×0.24 ＋135×0.16＋145×0.08＝117.8(分)，(2)总人数50分，由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间[70,80)， 所以物理成绩的中位数为75分．(3)数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人，故X 的取值为0、1、2、3.P(X ＝0)＝C 33C 36＝120，P(X ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P(X ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P(X ＝3)＝C 33C 36＝120，所以分布列为：X 0 1 2 3 P120920920120∴期望值为E(X)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.名师点拨(1)通过统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系． (2)准确理解频率分布直方图的数据特点是解题关键． 〔变式训练5〕(2019·高考全国Ⅲ卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．[解析](1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05，乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.。

新课导入前面研究学习了三种抽样收集数据，数据收集后，必须从中寻找包含的信息，以使我们能追求样本的估计总体，但是由于数据多而杂，所以需要通过一定的方法去分析.可以通过表、图、计算方法来分析.1. 通过实例体会分布的意义和作用；2. 在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图；3. 通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计.知识与技能教学目标过程与方法通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.情感态度与价值观通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系.重点会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.能通过样本的频率分布估计总体的分布. 难点教学重难点我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？实际问题为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.假设我们通过抽样，得到100为居民月用水量，如下：100位居民的月均用水量（单位：t）3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.64.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2观察?上面的数字能告诉我们什么呢很容易发现的是一个居民月均用水量的最小值是0.2t，最大值是4.3t.其他值在0.2—4.3t之间.除此之外，很难从随意记录下来的数据中直接看出规律.为此，我们需要对统计数据进行整理和分析.知识要点频率分布直方图频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.方法画频率分布直方图的一般步骤为：（1）计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图.（1）求极差 因为用水最小值为0.2t ，最大值为4.3t 所以：4.3-0.2=4.1 说明样本数据的变化范围是4.1t.将上述抽样的100户居民月用水量，画出频率分布直方图.解：（2）决定组距与组数数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越多.当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分成5—12组.为了方便起见，组距的选择应力求“取整”.在本问题中，如果取组距为0.5（t），那么组数=极差/组距=4.1/0.5=8.2因此可将数据分成9组，这个组数是较合适的，于是去组距为0.5.组数为9.（3）将数据分组以组距为0.5将数据分组时，可以分成以下9组：[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5).（4）列频率分布表按照组距为0.5将数据分组，分成以下9组：[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5). 图如下：100位居民月均用水量的频率分布表分组频数频率[0,0.5)40.04[0.5,1)80.08[1,1.5)150.15[1.5,2)220.22 [2,2.5)250.25 [2.5,3)140.14 [3,3.5)60.06 [3.5,4)40.04 [4,4.5)20.02合计1001频数等于样本数，频率恒为1（5）画频率分布直方图 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/to 0.100.200.300.400.50频率/组距特征频率分布直方图的特征：从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.知识要点频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.总体密度曲线的定义在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息.茎叶图数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图.特征茎叶图的特征：1. 用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示.2. 茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.课堂小结1.频率分布直方图的概念频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.2.频率分布折线图的概念连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.高考链接1（2009四川）设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足 51b :a 0.6182-=≈这种矩形给人以美感，称为黄金矩形，黄金矩形常应用用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样品来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（）AA.甲批次的总体平均数与标准值更接近B.乙批次的总体平均数与标准值跟接近C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定解析：本题考查平均数的求法，用样本估计总体，经计算甲、乙批次的总体平均数0.6170.613甲乙，x x ==知甲批次的总体平均数与标准值0.618更接近.2(2009湖北)下图是样本容量为200的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10]内的频数为_______，数据落在[2，10）内的概率约为_____. 64 0.4解析：本题考查频率分布直方图，样本数据落在[6,10)内的频数为0.08×（10-6）×200=64.样本数据落在[2,10)内的概率约为（0.02+0.08）×4=0.4.区间界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)[142,146)人数5810223320区间界限[146,150)[150,154)[154,158)人数11651.下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位c ｍ)(1)列出样本频率分布表﹔ (2)一画出频率分布直方图;(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.随堂练习分组频数频率[122,126)50.04[126,130)80.07[130,134)100.08[134,138)220.18[138,142)330.28[142,146)200.17[146,150)110.09[150,154)60.05[154,158)50.04合计1201解：（1）样本频率分布表如下：前面的过程省略！122 126 130 134 138 142 146 150 158 154 身高（cm ）o 0.010.020.030.040.050.060.07频率/组距（2）其频率分布直方图如下：0.04+0.07+0.08=0.19，所以我们估计身高小于134cm 的人数占总人数的19%.（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为：2.为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.90 100 110 120 130 140 150 次数o 0.0040.0080.0120.0160.0200.0240.028频率/组距0.0320.036解：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1. （1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：40.0824171593=+++++121500.08===第二小组频数样本容量第二小组频率又因为频率=频数/ 样本容量所以 （2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为 171593100%88%24171593+++⨯=+++++（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.。

用样本的频率分布估计总体分布链接高考1.（2014山东,7,5分,★★☆）%了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验•所有志愿者的舒张压数据（单位:kPa）的分组区间为[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组,……，第五组•如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A.6B.8C.12D.182.（2015湖北,14,5分,★★☆）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位:万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.（1）直方图中的a=;（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为.3.（2014江苏,6,5分,★★☆）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位:cm）,所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图株树木的底部周长小于100cm.4.（2015湖南,2,5分,★☆☆）在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩（单位:分钟）若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间［139,151］上的运动员人数是（）A.3B.4C.5D.65.（2013安徽,17,12分,★★☆）%调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成 绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下： Ip石 7 4 5 i 3 32385J4iJJ 1 Q -Q 0 0◎】\2232? R62J110fl 7 0 75勻 (2 1 I5S« 10 0 ⑴若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为.、，，估计-.■的值.的茎叶图三年模拟1.（2016福建漳州东山二中期末,★☆☆）某雷达测速区规定:凡车速大于或等于80km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚.如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（）A.20辆B.40辆C.60辆D.80辆2.（2015福建南安一中期中,★☆☆）某同学进入高二前，高一某四次测试的数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的平均数是（）A.125B.126C.127D.1283.（2015黑龙江哈尔滨三中期末,★☆☆）某校从高一年级中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩（单位:分）分成6O.fl-ID0.03Q0.02S组:[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100咖以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此统计，该模块测试成绩不低于60分的学生人数为（）A.588B.480C.450D.1204. （2016西藏日喀则一中月考,★☆☆）一个容量为20的样本数据，分组后,组距与频数如下:（10,20],2;（20,30],3;（30,40],4;（40,50],5;（50,60],4;（60,70],2则样本数据在区间（50,+呵上的频率为.5. （2016安徽安庆宿松凉亭中学期中,★☆☆）从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n 件,测得其尺寸后，作出其频率分布直方图如图,尺寸在[15,45]内的频数为46,则尺寸在[20,25]内的产品个数为.6. （2015四川成都外国语学校月考,★★☆）某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）•根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩低于60分的人数是.7.（2014山东学业水平测试,★★☆）甲、乙两名篮球运动员在某场比赛中得分的茎叶图如图所示，记甲的平均分为a,乙的平均分为b,则b-a=,8.（2016湖南长沙长郡中学期中,★★☆）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示•经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X（单位:t,100<X<150）表示下一个销售季度内的市场需求量,T（单位:元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将T表示为X的函数；（2）根据频率分布直方图估计利润T不少于57000元的概率.9.（2015湖南学业水平测试,★★☆）某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调查了100位职员的早餐日平均费用(单位:元)，得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清.(1)试根据频率分布直方图求a的值；(2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元.。

《使用样本的频率分布评估总体分布》教案课题：使用样本的频率分布评估总体分布目标：学生将了解如何使用样本数据的频率分布来评估总体数据的分布情况，并能够利用统计方法进行分析和解释。

课时安排：2课时教学内容：第一课时：1.引言（10分钟）-简要介绍本节课的主题和目标-解释为什么需要通过样本数据评估总体数据的分布2.总体分布与样本分布（15分钟）-解释什么是总体分布和样本分布-引导学生理解样本数据与总体数据之间的关系3.频率分布表（20分钟）-介绍频率分布表的基本概念-演示如何根据样本数据创建频率分布表-讨论频率分布表的作用和意义4.统计图表（15分钟）-引导学生绘制频率分布直方图和频率分布线图-分析不同的统计图表对于展现数据的优缺点第二课时：1.分析样本数据（20分钟）-分配给学生一些样本数据-引导学生根据样本数据创建频率分布表和绘制统计图表-学生通过分析样本数据，评估总体数据的分布情况2.统计方法应用（20分钟）-讲解如何使用统计方法对样本数据进行分析-给学生几个实际案例，让他们运用统计方法进行数据分析和解释3.总结与练习（15分钟）-回顾本节课的内容和重点-提供练习题目让学生自行解答，巩固所学知识教学方法：1.问题导向教学法：通过提出问题引导学生思考，激发学生的兴趣和思维能力。

2.视觉辅助教学法：通过使用图表和实例演示来帮助学生更好地理解概念和方法。

3.合作学习法：鼓励学生合作讨论，共同解决问题，提高学生的团队合作能力。

评估方法：1.课堂表现评估：观察学生在课堂上的表现，包括参与讨论、解决问题的能力等。

2.练习题考核：通过练习题考核学生对于课堂知识的掌握程度和应用能力。

3.实际数据分析作业：布置实际数据分析作业让学生独立完成，评估学生对于统计方法的理解和应用能力。

教学资源：1. PowerPoint演示文稿2.样本数据集3.频率分布表和统计图表示例4. 统计软件（如Excel）课后作业：1.阅读相关统计学知识，进一步加深对总体分布与样本分布的理解。