2019年高考数学二轮复习热点聚焦分类突破练习：专题六 第3讲 不等式含解析

高三数学第二轮复习专题3不等式专题3 不等式江苏省震泽中学 王利平一、填空题例1 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2，2a ，其中a ∈R.定义A ×B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若集合A ×B 中的最大元素为2a ＋1，则a 的取值范围是________． 解析 A ×B ＝{a 2,2a ，a 2＋1,2a ＋1}．由题意，得2a ＋1＞a 2＋1，解得0＜a ＜2. 答案 (0,2)例2 ．设123log2,ln 2,5a b c -===则c b a ,,三者的大小关系解析 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log3log 1e >>,所以a<b, c=125-=5,而2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.答案c a b <<例3 ．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0”．给出如下一种解法：解 由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c ＞0的解集为(－2,1)， 即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，则关于x 的不等式kxax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为________．解析 不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0可化为k1x＋a ＋1x ＋b 1x ＋c＜0，所以有1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1， 即x ∈(－3，－1)∪(1,2)，从而不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为(－3，－1)∪(1,2)． 答案 (－3，－1)∪(1,2) 例4 ．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于解析 由题意知，所求的||AB 的最小值，即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3490x y --=的距离最小，故||AB 的最小值为|31419|245⨯-⨯-⨯=。

(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备不等式综合（含解析）【考点导读】能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等. 【基础练习】 1.假设函数()()()()22112,022x f x x x g x x x -⎛⎫=+>=≠ ⎪-⎝⎭，那么()f x 与()g x 的大小关系是()()f x g x >2.函数()()22f x a x a =-+在区间[]0,1上恒为正，那么a 的取值范围是0＜a ＜23.当点(),x y 在直线320x y +-=上移动时，3271x y z =++的最小值是74.f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，那么f (x )·g (x )＞0的解集是22,,22b b a a ⎛⎫⎛⎫⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx ＞4x +m －3恒成立，那么x 的取值范围是x ＞3或x ＜－1 【范例导析】例1、集合⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,21P ，函数()22log 22+-=x ax y 的定义域为Q〔1〕假设φ≠Q P ，求实数a 的取值范围。

〔2〕假设方程()222log 22=+-x ax在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解，求实数a 的取值范围。

分析：问题〔1〕可转化为2220ax x -+>在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有有解；从而和问题〔2〕是同一类型的问题，既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数. 解：〔1〕假设φ≠Q P ，0222>+-∴x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有有解xx a 222+->∴ 令2121122222+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=x x x u当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,4u 所以a>-4,所以a 的取值范围是{}4->a a〔2〕方程()222log 22=+-x ax在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解那么0222=--x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解2121122222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∴x x x a当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈12,23a 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈12,23a 时，()222log 22=+-x ax在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解点拨：此题用的是参数分离的思想例 2.f (x)是定义在[—1，1]上的奇函数，且f (1)=1，假设m 、n ∈[—1，1]，m+n ≠0时有()().0>++nm n f m f 〔1〕判断f (x)在[—1，1]上的单调性，并证明你的结论； 〔2〕解不等式:⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+1121x f x f ； 〔3〕假设f (x)≤122+-at t 对所有x ∈[—1，1]，a ∈[—1，1]恒成立，求实数t 的取值范围、上为增函数、〔2〕∵f (x)在[—1，1]上为增函数，故有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-123,1121,1111,1211x x x x x x 由此解得 〔3〕由(1)可知：f 〔x 〕在[—1，1]上是增函数，且f (1)=1，故对x ∈[—l ，1]，恒有f 〔x 〕≤1、所以要使f 〔x 〕≤122+-at t ，对所有x ∈[—1，1]，a ∈[—1，1]恒成立， 即要122+-at t ≥1成立，故at t 22-≥0成立、记g(a )=at t 22-对a ∈[—1，1]，g(a )≥0恒成立，只需g(a )在[—1，1]上的最小值 大于等于零、 故()()⎩⎨⎧≥-≤⎩⎨⎧≥>.010010g t g t ，或，， 解得：t ≤—2或t=0、 点拨：一般地，假设()[],,y f x x a b =∈与()[],,y g t t m n =∈假设分别存在最大值和最小值，那么()()f x g t ≤恒成立等价于()()max min f x g x ≤.例3.甲、乙两地相距km s ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/h c ，汽车每小．．时的运输成本．．．．．．〔以元为单位〕由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h v 的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元、〔1〕把全程运输成本y 元表示为速度km/h v 的函数，并指出这个函数的定义域； 〔2〕为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解 解：〔1〕依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h vs，全程运输成本为 )(2bv vas v s bv v s a y +=⋅+⋅=、故所求函数为)(bv bas y +=，定义域为)0(c v ，∈、〔2〕由于v b a s 、、、都为正数，故有bv bas bv v a s ⋅⋅≥+2)(， 即ab s bv vas 2)(≥+、 当且仅当bv va=，即b a v =时上式中等号成立、 假设c b a ≤时，那么bav =时，全程运输成本y 最小； 当c b a ≤，易证c v <<0，函数)()(bv vas v f y +==单调递减，即c v =时，)(min bc cas y +=、综上可知，为使全程运输成本y 最小，在c b a ≤时，行驶速度应为b a v =； 在c ba≤时，行驶速度应为c v =、 点拨：此题主要考查建立函数关系式、不等式性质〔公式〕的应用、也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题、 反馈练习： 1.设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，那么使0)(<x f 的x 的取值范围是),0(+∞2.一个直角三角形的周长为2P ，其斜边长的最小值122+P3.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，那么公差d 的取值范围是833d <≤ 4.如果函数213log (23)y x x =--的单调递增区间是(-∞，a ]，那么实数a 的取值范围是____a <-1____5.假设关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，那么实数m 的取值范围为(,3]-∞-6.设实数m ,n ,x ,y 满足ny mx b y x a n m +=+=+则,,2222的最大值ab7、关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，那么a 的取值范围是［－2，2］8.对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式342-+>+p x px x 都成立的x 的取值范围13-<>x x 或9..三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路、甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”、乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”、 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”、参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是a ≤1010.设曲线cx bx ax y ++=23213在点x 处的切线斜率为()x k ，且()01=-k ,对一切实数x ，不等式()()1212+≤≤x x k x 恒成立〔0≠a 〕.(1)求()1k的值；(2)求函数()x k 的表达式.解：〔1〕设()c bx ax x k ++=2，()()1212+≤≤x x k x , ()()1112111=+≤≤∴k ,()11=∴k (2)解：⎩⎨⎧==-1)1(0)1(k k ⎩⎨⎧+=+-10b a c b a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=2121c a b x c x ax ≥++∴212,161,0441,0212≥∴≤-=∆≥+-ac ac c x ax ， 又()16142=+≤c a ac ，即41,161,161161==∴=∴≤≤c a ac ac ()()22141412141+=++=∴x x x x k 11.二次函数f (x)=()0,,12>∈++a R b a bx ax且,设方程f (x )=x 的两个实根为x 1和x 2、〔1〕如果x 1<2＜x 2<4，且函数f (x )的对称轴为x =x 0，求证：x 0＞—1； 〔2〕如果∣x 1∣<2，∣x 2—x 1∣=2，求b 的取值范围、 解：(1)设g(x)=f (x)—x=()()0242.011212<<<<>+-+g x x a x b ax得，由，且，且g(4)>0，即,81,221443,221443,03416,0124>-<--<<-∴⎩⎨⎧<-+<-+a a a a b a b a b a 得由∴.1814112,4112832-=⋅->-=->->-ab x a a b a 故〔2〕由g(x)=()同号、可知2121,01,011x x ax x x b ax ∴>==+-+、 ①假设0<x 1<2，那么x 2一x 1=2，即x 2=x 1+2>2，∴g(2)=4a +2b —1<0， 又()()()，负根舍去，得01112441222212>+-=+=--=-a b a aa b x x ，代入上式得();41,231122<-<+-b b b 解得②假设-2<x 1<0，那么x 2=－2+x 1<-2，∴g 〔-2〕<0，即4a －2b +3<0，同理可求得47>b 、 故当0<x 1<2时，41<b ；当-2<x 1<0时，47>b 、 12.A 、B 两地相距200km ，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8km/h ，船在静水中的速度为vkm/h(8<v 0v ≤)，假设船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当v=12km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度v 0应为多少？分析：此题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，中间表达了分类讨论这一重要的数学思想，此题中的分类讨论思想很隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题中要重视。

卜人入州八九几市潮王学校2021考前90天打破——高考核心考点专题六不等式【考点定位】2021考纲解读和近几年考点分布 2021考纲解读不等式〔1〕不等关系理解现实世界和日常生活中的不等关系，理解不等式〔组〕的实际背景. 〔2〕一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.②通过函数图像理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联络.③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.〔3〕二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②理解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 〔4〕根本不等式：(,0)2a bab a b +≥>①理解根本不等式的证明过程.②会用根本不等式解决简单的最大〔小〕值问题.不等式选讲1〕理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①∣a ＋b ∣≤∣a ∣＋∣b ∣；②∣a －b ∣≤∣a －c ∣＋∣c －b ∣；③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：∣ax ＋b ∣≤c；∣ax ＋b ∣≥c；∣x －a ∣＋∣x －b ∣≥c.〔2〕理解以下柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.①柯西不等式向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.②≥.③＋≥〔通常称为平面三角不等式〕.近几年考点分布从近几年的高考试题来看，对不等式重点考察的有四种题型：解不等式、证明不等式、不等式的应用、不等式的综合性问题。

这些不等式试题主要表达了等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想．1、不等式的性质、根本不等式和绝对值不等式的考察，大多出如今选择题或者填空题中，一般属于容易题或者中档题。

因此，关于这一局部的知识，重在理解并深化记忆根本公式.2、含参的不等式问题是近几年考的较多的一种题型，特别是不等式恒成立问题中参数取值范围的求法。

高中数学《不等式》复习知识点一、选择题1．已知函数()2f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大值为（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，作出不等式组所表示的平面区域，又()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．【详解】由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -， 目标函数()242z f a b ==+，可化为122b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，并将目标函数()242z f a b ==+变形为122b a z =-+进行平移，找到截距的最大值．2．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（ ） A ．3 B ．1C ．2D ．32【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n +的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.3．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5 B ．45C ．5D ．25【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()2242325-+-=故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．4．已知x 、y 满足约束条件122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22z x y =+，则实数z 的最小值为（ ）A ．2 B ．25C ．12D ．2【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出22x y +的最小值，进而可得出实数z 的最小值. 【详解】作出不等式组122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图所示，22z x y =+表示原点到可行域内的点(),x y 的距离的平方，原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，()222min2122x y⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭. 由于22z x y =+，所以，min 12z =. 因此，实数z 的最小值为12. 故选：C. 【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.5．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-【答案】D 【解析】 【分析】根据已知有333b c a b c a ++++=，可得13131ca b+=+-，只需求出3a b +的最小值，根据333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，a 与b 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以333a b a b +=+=≥ 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.又+a b 与c 为函数()3xf x =的“线性对称点，所以333b c a b c a ++++=，所以3143131313a b ca b a b +++==+≤--，从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.6．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径， 设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ， 因为三棱锥外接球的表面积为8π， 则284R π=π， 解得2R =，所以体对角线为2，所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积 由于()()()()222222240x y zS x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4， 故选：B. 【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.7．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y y +=的最大值为（ ）A ．512B ．8C ．256D ．64【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8，故2x y y +=的最大值为256. 故选：C ．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.8．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为（ ）A B C D ．32【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故tan 3tan A B =，3t 53tan 4an 6ta 3ta tan tan n n B A B C A B ⎛⎫=+ ⎪⎝+⎭⋅，计算得到答案. 【详解】由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--⋅24tan 3tan 1BB =-，tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭34≥⨯当且仅当tan B 时等号成立. 故选：B . 【点睛】本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C 【解析】 【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()21f x-＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.12．已知实数x ，y 满足20x y >>，且11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为（ ）.AB．45+ C．25+ D【答案】B 【解析】 【分析】令22x y m x y n-=⎧⎨+=⎩，用,m n 表示出x y +，根据题意知111m n +=，利用1的代换后根据基本不等式即可得x y +的最小值. 【详解】20,20,20x y x y x y >>∴->+>Q ，令22x y m x y n -=⎧⎨+=⎩，解得2525m n x n my +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，则0,0m n >>，111m n +=，223111555m n n m n m x y m n +-+⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13113(455n m m n ⎛⎫=⨯+++≥⨯+ ⎪⎝⎭=当且仅当3n mm n=，即3m n=，即23(2)x y x y-=+即97333,1515x y+-==时取等号.故选：B.【点睛】本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题，换元后根据1的代换是解题的关键，考查学生的计算能力，是中档题.13．已知变量,x y满足约束条件121x yx+⎧⎨-⎩剟…，则x yy+的取值范围是( )A．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．20,3⎛⎤⎥⎝⎦C．11,3⎛⎤--⎥⎝⎦D．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】【分析】作出不等式121x yx+⎧⎨-⎩剟…表示的平面区域，整理得：x yy+1xy=+，利用yx表示点(),x y 与原点的连线斜率，即可求得113xy-<-…，问题得解．【详解】将题中可行域表示如下图，整理得：x yy+1xy=+易知ykx=表示点(),x y与原点的连线斜率，当点(),x y在()1.3A-处时，ykx=取得最小值-3.且斜率k小于直线1x y+=的斜率-1，故31k-≤<-，则113xy-<-…，故2 03x yy+<….故选B【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题．14．已知x，y满足约束条件234x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y=+的最大值为4，则a=（）A．2 B．12C．-2 D．12-【答案】A【解析】【分析】由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A，代入可构造方程求得结果.【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：当直线:l y ax z=-+经AOBV区域时，当l过点()2,0A时，在y轴上的截距最大，即()2,0A为最优解，42a∴=，解得：2a=.故选：A.【点睛】本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.15．若均不为1的实数a、b满足0a b>>，且1ab>，则（）A．log3log3a b>B．336a b+>C．133ab a b++>D．b aa b>【答案】B【解析】【分析】举反例说明A,C,D不成立，根据基本不等式证明B成立.【详解】当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =; 因为0a b >>，1ab >，所以336a b +>=>>，综上选B. 【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.16．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】 由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由2x y xy +=得：211x y+= ()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号） 2x y ∴+的最小值为9故选：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.17．若实数x ，y 满足不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最小值是( )A ．3B ．32C ．0D ．3-【答案】D 【解析】 【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆， 由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距 把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1y xy =⎧⎨=-⎩可得(1,1)A -- 此时3z =-， 故选：D ．【点睛】本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义是关键，属于中档题．18．设集合{}20,201x M x N x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ）A ．{}01x x ≤< B ．{}01x x <<C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M xx x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭，所以{}01M N x x ⋂=<<. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.19．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．92D ．112【答案】B 【解析】 【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥20．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（ ）A ．{}13x x -≤<B ．{}19x x -≤≤C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()R A B ⋂ð. 【详解】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.。

不等式1．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A ．<B ．ab <b 21a 1bC ．－ab <－a 2D ．－<－1a 1b【答案】D2．已知a ∈R ，不等式≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( )x －3x ＋aA ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)【解析】∵－2∉p ，∴<1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.－2－3－2＋a【答案】D3．设函数f (x )＝Error!则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(1,3)【解析】由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)＝3，即f (x )>3，如果x <0，则x ＋6>3，可得－3<x <0；如果x ≥0，则x 2－4x ＋6>3，可得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．故选A ．【答案】A4．若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，－2)，则关于x 的不等式>0的解集为( )ax 2＋bxx －1A ．(－2,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(－∞，－2)∪(0,1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)【解析】关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，－2)，∴a <0，＝－2，∴b ＝－2a ，∴＝.∵b a ax 2＋bx x －1ax 2－2axx －1a <0，∴<0，解得x <0或1<x <2.故选B ．x 2－2xx －1【答案】B5．若对任意x >0，≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )xx 2＋3x ＋1A ．a ≥B ．a >1515C ．a <D ．a ≤1515【解析】因为对任意x >0，≤a 恒成立，xx 2＋3x ＋1所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥max，(xx 2＋3x ＋1)而对x ∈(0，＋∞)，＝≤＝，x x 2＋3x ＋11x ＋1x ＋312x ·1x＋315当且仅当x ＝时等号成立，∴a ≥.1x 15【答案】A6．若关于x ，y 的不等式组Error!表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( )A ．或 B ．或12141218C ．1或D ．1或1214【解析】由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得k ＝0或1，当k ＝0时，表示区域的面积为；当k ＝1时，表示区域的面积为，故选A ．1214【答案】A7．设变量x ，y 满足约束条件Error!则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17【解析】解法一(图解法)：已知约束条件Error!所表示的平面区域为下图中的阴影部分(包含边界)，其中A (0,2)，B (3,0)，C (1,3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－x ＋过点B (3,0)时，z 取得最小25z5值2×3＋5×0＝6.解法二(界点定值法)：由题意知，约束条件Error!所表示的平面区域的顶点分别为A (0,2)，B (3,0)，C (1,3)．将A ，B ，C 三点的坐标分别代入z ＝2x ＋5y ，得z ＝10,6,17，故z 的最小值为6.【答案】B8．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是( )A ．(－3,5) B ．(－2,4)C ．[－3,5]D ．[－2,4]【解析】关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0.当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为1<x <a ；当a <1时，不等式的解集为a <x <1.要使得解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是[－2,4]，故选D ．【答案】D9．若实数x ，y 满足Error!则z ＝的取值范围是( )2y2x ＋1A ．B ．[43，4][43，4)C ．[2,4]D ．(2,4]【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(不包括边界OB )所示，其中A (1,2)，B (0,2)．z ＝＝＝，则z 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与点M 所连直线的斜率．2y 2x ＋1y x ＋12y －0x －(－12)(－12，0)可知k MA ＝＝，k MB ＝＝4，结合图形可得≤z <4.2－01－(－12)432－00－(－12)43故z ＝的取值范围是.2y 2x ＋1[43，4)【答案】B10．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab ，则a ＋2b 的最小值为( )A ．5＋2 B ．822C．5D ．9【答案】D11．已知实数x ，y 满足Error!且z ＝x ＋y 的最大值为6，则(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3C ．D ．53【解析】如图，作出不等式组Error!对应的平面区域，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大，为6，即x ＋y ＝6.由Error!得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点(x ，y )与D (－5,0)的距离的平方，由可行域可知，[(x ＋5)2＋y 2]min 等于D (－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离的平方．则(x ＋5)2＋y 2的最小值为2＝5.故选A ．(|－5|12＋22)【答案】A12．若正数a ，b 满足：＋＝1，则＋的最小值为( )1a 1b 1a －19b －1A ．16 B ．9 C ．6D ．1【解析】∵正数a ，b 满足＋＝1，∴a ＋b ＝ab ，＝1－>0，＝1－>0，∴b >1，a >1，则＋≥21a 1b 1a 1b 1b 1a 1a －19b －1＝2＝6，∴＋的最小值9 a －1 b －1 9ab － a ＋b ＋1(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)1a －19b －1为6，故选C ．【答案】C13．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝2”的一个充分不必要条件是( )2xy A ．x ＝y B ．x ＝2yC ．x ＝2且y ＝1D ．x ＝y 或y ＝1【解析】∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥2，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2，且y ＝1”是“x ＋2y ＝2”2xy 2xy 的充分不必要条件．故选C.【答案】C14．已知实数x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x －2y 的最大值是( )(12)A. B.132116C ．32 D ．64【解析】解法一　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当u＝x－2y(12)(12)经过点A(1,3)时取得最小值，即u min＝1－2×3＝－5，此时z＝x－2y取得最大值，即z max＝－5＝32，故选C.(12)解法二　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知z＝x－2y的最大值在区域的顶点处(12)取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝x－2y，即可求得最大值．联立得Error!解得A(1,3)，(1，－32)116代入可得z＝32；联立得Error!解得B，代入可得z＝；联立得Error!解得C(－2,0)，代入可得z＝4.(12)通过比较可知，在点A(1,3)处，z＝x－2y取得最大值32，故选C.【答案】C15．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A.15万元 B．16万元C．17万元 D．18万元【解析】设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知，Error!z＝3x＋4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时，z＝3x＋4y取得最大值，由Error!得Error!∴M (2,3)，故z ＝3x ＋4y 的最大值为18，故选D.【答案】D16．已知函数f (x )＝x ＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )axA. B.1232C ．1 D ．2【解析】由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋＋2≥2＋2，当且仅当x ＝时取等号；②当x <0时，a xa a f (x )＝x ＋＋2≤－2＋2，当且仅当x ＝－时取等号．所以Error!解得a ＝1，故选C.axa a 【答案】C17．不等式组Error!的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x －2y ≥2；p 2：∃(x ，y )∈D ，x －2y ≥3；p 3：∀(x ，y )∈D ，x －2y ≥；23p 4：∃(x ，y )∈D ，x －2y ≤－2.其中的真命题是( )A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3【解析】不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由Error!解得Error!所以M .由图可知，当直线z ＝x －2y 过点M 处时，z 取得最小值，且z min ＝(43，13)(43，13)－2×＝，所以真命题是p 2，p 3，故选A.431323【答案】A18．已知实数x ，y 满足Error!且z ＝x ＋y 的最大值为6，则(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5 B ．3C. D.53【解析】作出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y ＝6.由Error!得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与D (－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离最小，可得(x ＋5)2＋y 2的最小值为2＝5.故选A.(|－5＋2×0|5)【答案】A19．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B ．(－∞，2]C ．(－2,2) D ．(－2,2]【解析】当a ＝2时，原不等式为－4<0，恒成立；当a ≠2时，函数y ＝(a －2)x 2－2(a －2)x －4是二次函数，若不等式恒成立，则a －2<0且Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，解得－2<a <2.综上a 的取值范围为(－2,2]．故选D.【答案】D20．若变量x ，y 满足条件Error!则xy 的取值范围是( )A ．[0,5] B.[5，354]C. D ．[0,9][0，354]【解析】依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，xy 的最小值为0(当x ＝1，y ＝0时取得)；xy ≤x (6－x )≤2＝9，即xy ≤9，当x ＝3，y ＝3时取等号，即xy 的[x ＋(6－x )2]最大值为9，故选D.【答案】D21．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3 B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9 D ．c >9【答案】C22．设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( )A ．a 3>b 3 B.<1a 1bC ．a b >1D ．lg(b －a )<a【解析】∵0<a <b <1，∴0<b －a <1－a ，∴lg(b －a )<0<a ，故选D.【答案】D23．不等式x 2－3|x |＋2>0的解集是________________．【解析】原不等式可转化为|x |2－3|x |＋2>0，解得|x |<1或|x |>2，所以x ∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)．【答案】(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)24．已知函数f (x )＝sinπx (0<x <1)，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则＋的最小值为________．4a 1b【解析】画出函数图象，由于f (a )＝f (b )，故a 和b 关于直线x ＝对称，∴a ＋b ＝1，12∴＋＝(a ＋b )＝5＋＋≥5＋4＝9.等号成立的条件为当且仅当a ＝2b .故＋的最小值为9.4a 1b(4a ＋1b )4b a a b 4a 1b【答案】925．已知集合，则M ∩N ＝________.【答案】(2，52]26．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为________千元．【解析】设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则Error!z ＝2x ＋y ，作出Error!表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)(满足x ∈N ，y ∈N )时，z 取得最大值，为360.【答案】36027．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是________．【解析】对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝，∴x ＋y ＝＋≥2＝(当且仅当x ＝时，等号成13(1x －x )2x 313x 2922322立)，故x ＋y 的最小值是.223【答案】 223。

2019高考数学(理)二轮练习讲解--不等式选讲【2018年高考会这样考】 1、考查含绝对值不等式的解法、 2、考查有关不等式的证明、 3、利用不等式的性质求最值、 【复习指导】 本讲复习时，紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明、该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质.基础梳理1、含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ； (3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解、2、含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.3、基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立、定理2：如果a 、b 为正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立、定理3：如果a 、b 、c 为正数，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立、定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，那么a 1＋a 2＋…＋a nn≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立、 5、不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等、双基自测1、不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为________、 答案(－4，－2)∪(0,2)2、不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为________、解析令：f (x )＝|x －8|－|x －4|＝⎩⎨⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4＜x ≤8，－4，x ＞8，当x ≤4时，f (x )＝4＞2；当4＜x ≤8时，f (x )＝－2x ＋12＞2，得x ＜5， ∴4＜x ＜5；当x ＞8时，f (x )＝－4＞2不成立、 故原不等式的解集为：{x |x ＜5}、4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1n a 2i )(∑i ＝1n b 2i )≥(∑i ＝1na ib i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝k b i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．答案{x |x ＜5}3、关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，那么实数k 的取值范围是________、 解析∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k ＜1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k ＜1. 答案k ＜14、假设不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，那么b 的取值范围为________、解析由|3x －b |＜4，得b －43＜x ＜b ＋43，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43＜1，3＜b ＋43≤4，解得5＜b ＜7.答案(5,7)5、(2017·南京模拟)如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，那么实数a 的取值范围是________、解析在数轴上，结合实数绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3. 答案(－∞，－5]∪[－3，＋∞)考向一含绝对值不等式的解法【例1】►设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2；(2)求函数y ＝f (x )的最小值、[审题视点]第(1)问：采用分段函数解不等式；第(2)问：画出函数f (x )的图象可求f (x )的最小值、解(1)f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜－12，3x －3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ＜4，x ＋ 5 x ≥4.当x ＜－12时，由f (x )＝－x －5＞2得，x ＜－7.∴x ＜－7；当－12≤x ＜4时，由f (x )＝3x －3＞2，得x ＞53， ∴53＜x ＜4；当x ≥4时，由f (x )＝x ＋5＞2，得x ＞－3，∴x ≥4.故原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53.(2)画出f (x )的图象如图： ∴f (x )min ＝－92.(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值、(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法、 【训练1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)假设a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围、 解(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ， x ＜－1，2， －1≤x ≤1，2x ， x ＞1.作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象、由图象可知，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≤－32或x ≥32.(2)假设a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；假设a ＜1，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋a ＋1， x ≤a ，1－a ， a ＜x ＜1，2x －a ＋1， x ≥1，f (x )的最小值为1－a .假设a ＞1，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1＜x ＜a ，2x －a ＋1，x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2， ∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)、考向二不等式的证明【例2】►证明以下不等式：(1)设a ≥b ＞0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2； (2)a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc ；(3)a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2.[审题视点](1)作差比较；(2)综合法；(3)利用柯西不等式、 证明(1)3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )－2b 2(a －b ) ＝(a －b )(3a 2－2b 2)、∵a ≥b ＞0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2＞0. ∴(a －b )(3a 2－2b 2)≥0. ∴3a 2＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.(2)∵a 2＋4b 2≥2a 2·4b 2＝4ab ， a 2＋9c 2≥2a 2·9c 2＝6ac ， 4b 2＋9c 2≥24b 2·9c 2＝12bc ，∴2a 2＋8b 2＋18c 2≥4ab ＋6ac ＋12bc ， ∴a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc .(3)a 6＋8b 6＋127c 6≥33827a 6b 6c 6＝3×23a 2b 2c 2＝2a 2b 2c 2，∴a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2.(1)作差法应该是证明不等式的常用方法、作差法证明不等式的一般步骤是：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论、关键是代数式的变形能力、 (2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明、【训练2】(2017·辽宁)a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立、证明法一因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得，a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③ 所以原不等式成立、当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立、当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立、故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立、法二因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥6 3.③所以原不等式成立、当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立、故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立、考向三利用基本不等式或柯西不等式求最值【例3】►a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值、 [审题视点]先将(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)平方后利用基本不等式；还可以利用柯西不等式求解、 解法一利用基本不等式∵(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2＝(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋23a ＋1·3b ＋1＋23b ＋1·3c ＋1＋23a ＋1·3c ＋1≤(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋[(3a ＋1)＋(3b ＋1)]＋[(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＋[(3a ＋1)＋(3c ＋1)]＝3[(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＝18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32， ∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2. 法二利用柯西不等式∵(12＋12＋12)[(3a ＋1)2＋(3b ＋1)2＋(3c ＋1)2]≥(1·3a ＋1＋1·3b ＋1＋1·3c ＋1)2∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3[3(a ＋b ＋c )＋3]、 又∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤3 2.当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1时，等号成立、 ∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2.利用基本不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立、 【训练3】a ＋b ＋c ＝1，m ＝a 2＋b 2＋c 2，求m 的最小值、 解法一∵a ＋b ＋c ＝1，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝1，又∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc ，∴1＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≤3(a 2＋b 2＋c 2)、∴a 2＋b 2＋c 2≥13.当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号，∴m min ＝13. 法二利用柯西不等式∵(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)≥(1·a ＋1·b ＋1·c )＝a ＋b ＋c ＝1.∴a 2＋b 2＋c 2≥13，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立、∴m min ＝13如何求解含绝对值不等式的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出，高考对《不等式选讲》的考查难度要求有所降低，重点考查含绝对值不等式的解法(可能含参)或以函数为背景证明不等式，题型为填空题或解答题、【例如】►(此题总分值10分)(2017·新课标全国)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)假设不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值、第(2)问解不等式|x －a |＋3x ≤0的解集，结果用a 表示，再由{x |x ≤－1}求a .[解答示范](1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1. (3分)故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}、(5分) (2)由f (x )≤0得，|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎨⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎨⎧x ≤a ，x ≤－a 2.(8分)因为a ＞0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2. 由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.(10分)此题综合考查了含绝对值不等式的解法，属于中档题、解含绝对值的不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解、含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便、【试一试】(2017·辽宁)函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集、[尝试解答](1)f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎨⎧－3，x ≤2，2x －7，2＜x ＜5，3，x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3.所以－3≤f (x )≤3.(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}、 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}.。

【高中数学】数学《不等式选讲》复习知识要点一、141．已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( ) A ．33()()f x f a a -≤+ B ．24()()f x f a a -≤+ C ．()()5f x f a a -≤+ D ．2|()()2|(1)f x f a a -≤+【答案】B 【解析】 【分析】先令a=0,排除A ，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B 成立 【详解】令a=0，则1x ≤，即-1≤x≤1,()()()()()0?f x f a f x f f x -=-=≤4,此时A,C,D 不成立，下面证明选项B 成立()()22 33f x f a x x a a -=+--=()() 3x a x a -++≤()()3x a x a -++≤()3x a ++=23x a a -++≤23x a a -++≤24a +故选：B ． 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．2．若不等式23x a x -≤+对任意[]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．[]1,3-C ．()1,3D ．[]1,3【答案】B 【解析】 【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题. 【详解】不等式23x a x -≤+去掉绝对值符号得323x x a x --≤-≤+， 即3223x x ax a x --≤-⎧⎨-≤+⎩对任意[]0,2x ∈恒成立，变量分离得333a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，只需min max (33)(3)a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，即31a a ≤⎧⎨≥-⎩所以a 的取值范围是[]1,3- 故选：B 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.3．关于x 不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值是 A ．0 B ．1C ．－1D ．2【答案】B 【解析】由于|x －2|＋|x －a |≥|a －2|，∴等价于|a －2|≥a ，即a ≤1.故实数a 的最大值为1.4．已知，，则使不等式一定成立的条件是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为若，则，已知不等式不成立，所以，应选答案D 。

2019年高考数学试题分项版——不等式（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅲ文，11)记不等式组＋ ， －表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D,2x＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ；②(p ⌝)∨q ；③p ∧(q ⌝)；④(p ⌝)∧(q ⌝)． 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④ 答案 A解析 方法一 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．目标函数z ＝2x ＋y 是一条平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 在y 轴上的截距．显然，当直线过点A (2,4)时，z min ＝2×2＋4＝8， 即z ＝2x ＋y ≥8. ∴2x ＋y ∈[8，＋∞)．由此得命题p ：∃(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9正确； 命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12不正确． ∴①③真，②④假．方法二 取x ＝4，y ＝5，满足不等式组 ＋ ， － ，且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p 真，q 假． ∴①③真，②④假．2．(2019·天津文，2)设变量x ，y 满足约束条件＋ － ， － ＋ ，－ ， － ，则目标函数z ＝－4x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 C解析 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线－4x＋y＝0，并平移，可知当直线过点A时，z取得最大值．由＝－，－＋＝，可得＝－，＝，所以点A的坐标为(－1,1)，故z max＝－4×(－1)＋1＝5.3．(2019·天津文，3)设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由|x－1|＜1可得0＜x＜2，所以“|x－1|＜1的解集”是“0＜x＜5的解集”的真子集．故“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的必要不充分条件．4．(2019·浙江，3)若实数x，y满足约束条件－＋，－－，＋，则z＝3x＋2y的最大值是()A．－1 B．1 C．10 D．12答案 C解析作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，数形结合可知，当直线z＝3x＋2y过点A(2,2)时，z取得最大值，z max＝6＋4＝10.5．(2019·浙江，5)设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab ≤4时，取a ＝8，b ＝，满足ab ≤4，但a ＋b ≥4，所以必要性不成立，所以“a＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件． 6．(2019·全国Ⅱ理，6)若a >b ，则( ) A ．ln(a －b )>0 B ．3a <3b C ．a 3－b 3>0 D ．|a |>|b |答案 C解析 由函数y ＝ln x 的图象(图略)知，当0<a －b <1时，ln(a －b )<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确．故选C.7．(2019·北京理，5)若x ，y 满足||1x y -…，且1y -…，则3x y +的最大值为( ) A ．7-B ．1C ．5D ．7【思路分析】由约束条件作出可行域，令3z x y =+，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解析】：由||11x y y -⎧⎨-⎩……作出可行域如图，联立110y x y =-⎧⎨+-=⎩，解得(2,1)A -，令3z x y =+，化为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过点A 时，z 有最大值为3215⨯-=． 故选：C ．【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 8．(2019·天津理，2)设变量x ，y 满足约束条件＋ － ，－ ＋ ，－ ， － ，则目标函数z ＝－4x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．5D ．6答案 C解析画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线－4x＋y＝0，并平移，可知当直线过点A时，z取得最大值．由＝－，－＋＝，可得＝－，＝，所以点A的坐标为(－1,1)，故z max＝－4×(－1)＋1＝5.9．(2019·天津理，3)设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由x2－5x＜0可得0＜x＜5.由|x－1|＜1可得0＜x＜2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子集，故“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要不充分条件．二、填空题1．(2019·全国Ⅱ文，13)若变量x，y满足约束条件＋－，－，则z＝3x－y的最大值是________．答案9解析作出已知约束条件对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由＋－＝，＋－＝，解得＝，＝，即C点坐标为(3,0)，故z max＝3×3－0＝9.2．(2019·北京文，10)若x，y满足，－，－＋，则y－x的最小值为________，最大值为________．答案－3 1解析x，y满足的平面区域如图(阴影部分)所示．设z＝y－x，则y＝x＋z.把z看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z的几何意义是直线y＝x＋z在y轴上的截距，通过图象可知，当直线y＝x＋z经过点A(2,3)时，z取得最大值，此时z max＝3－2＝1. 当经过点B(2，－1)时，z取得最小值，此时z min＝－1－2＝－3.3．(2019·天津文，10)设x∈R，使不等式3x2＋x－2＜0成立的x的取值范围为________．答案解析3x2＋x－2＜0变形为(x＋1)(3x－2)＜0，解得－1＜x＜，故使不等式成立的x的取值范围为.4．(2019·天津文，13)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为________．答案解析＝＝＝2＋.∵x＞0，y＞0且x＋2y＝4，∴4≥2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，∴2xy≤4，∴≥，∴2＋≥2＋＝.5．(2019·天津理，13)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为________．答案4解析＝＝＝2＋.由x＋2y＝5得5≥2，即≤，即xy≤，当且仅当x＝2y＝时等号成立．所以2＋≥2＝4，当且仅当2＝，即xy＝3时取等号，结合xy≤可知，xy可以取到3，故的最小值为4.三、解答题1．(2019·全国Ⅰ文，23)[选修4－5：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.所以＋＋≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2)＝24.所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.2．(2019·全国Ⅱ文，23)[选修4－5：不等式选讲]已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.所以，a的取值范围是[1，＋∞)．3．(2019·全国Ⅲ文，23)[选修4－5：不等式选讲]设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.(1)解由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，故由已知，得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时，等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.(2)证明由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，故由已知，得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时，等号成立．因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.4．(2019·江苏，21)C．[选修4－5：不等式选讲]设x∈R，解不等式|x|＋|2x－1|>2.解当x<0时，原不等式可化为－x＋1－2x>2，解得x<－；当0≤x≤时，原不等式可化为x＋1－2x>2，即x<－1，无解；当x>时，原不等式可化为x＋2x－1>2，解得x>1.综上，原不等式的解集为或.5．(2019·全国Ⅰ理，23)[选修4－5：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.所以＋＋≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2)＝24.所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.6．(2019·全国Ⅱ理，23)[选修4－5：不等式选讲]已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.所以，a的取值范围是[1，＋∞)．7．(2019·全国Ⅲ理，23)[选修4－5：不等式选讲]设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.(1)解由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，故由已知，得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时，等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.(2)证明由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，故由已知，得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时，等号成立．因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.。

【高中数学】数学《不等式》复习知识要点一、选择题1．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-【答案】D 【解析】 【分析】根据已知有333b c a b c a ++++=，可得13131ca b+=+-，只需求出3a b +的最小值，根据333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，a 与b 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以33323323a b a b a b a b ++=+=≥⋅， 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.又+a b 与c 为函数()3xf x =的“线性对称点，所以333b c a b c a ++++=，所以3143131313a b ca b a b +++==+≤--，从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.2．在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）A ．42B ．4C ．22D ．2【答案】B 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．3．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】 【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．4．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A ．2 B ．52C ．3D ．32【答案】A 【解析】()220{,440a f x acb b ac >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，()()221241111120b f a c ac f b +∴=+≥≥=+=' 当且仅当()()120f a c f ='时，不等式取等号，故的最小值为5．若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122y x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A ．116B ．18C ．1D ．2【答案】A 【解析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yxx y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为min 314z =--=-，则1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭的最小值为41216-=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．6．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）①命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；②若正整数m 和n 满足m n ≤()2n m n m -； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①错误.②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得()22m n m nm n m +--≤=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.7．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.8．已知α，β均为锐角，且满足()sin 2cos sin αβαβ-=，则αβ-的最大值为（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由()sin 2cos sin αβαβ-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=，即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=， 所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan 0β>，根据基本不等式2313233tan tan ββ≤=+，当且仅当3tan 3β=时等号成立， 因为,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，且函数tan y x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则αβ-的最大值为6π. 故选:B . 【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.9．若直线过点，则的最小值等于（ ）A ．5B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．10．若,x y满足4,20,24,x yx yx y+≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则4yx-的最大值为（）A．72-B．52-C．32-D．1-【答案】D【解析】【分析】画出平面区域，结合目标函数的几何意义，求解即可.【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示4yx-表示该平面区域中的点(),x y与(0,4)A确定直线的斜率由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB上任意一点时，取得最大值.不妨取84(,)33B时，4yx-取最大值443183-=-故选：D【点睛】本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.11．已知,a b都是正实数，则222a ba b a b+++的最大值是（）A．223-B．322-C．221D．43【答案】A【解析】【分析】设2,2m a b n a b=+=+，将222a ba b a b+++，转化为2222233a b n ma b a b m n+=--++，利用基本不等式求解.【详解】设2,2m a b n a b =+=+， 所以22,33m n n ma b --==，所以2222222333a b n m a b a b m n +=--≤-=-++， 当且仅当233n mm n=时取等号. 所以222a b a b a b +++的最大值是2-. 故选：A 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,)+∞ B ．[2,)+∞C ．[1,)+∞D ．[0,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数a 的取值范围.【详解】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程10770x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5，因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a 的取值范围是5a ≤， 故选：A.【点睛】本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.13．已知实数x ，y 满足20x y >>，且11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为（ ）.A ．335+ B ．4235+ C ．2435+ D ．3435+ 【答案】B 【解析】 【分析】令22x y m x y n-=⎧⎨+=⎩，用,m n 表示出x y +，根据题意知111m n +=，利用1的代换后根据基本不等式即可得x y +的最小值. 【详解】20,20,20x y x y x y >>∴->+>Q ，令22x y m x y n -=⎧⎨+=⎩，解得2525m n x n my +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，则0,0m n >>，111m n +=，223111555m n n m n m x y m n +-+⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭131313(42)55n m n mm n m n⎛⎫=⨯+++≥⨯+⋅ ⎪⎝⎭ 4235+=当且仅当3n mm n=，即3m n =，即23(2)x y x y -=+ 即97333x y +-==. 故选：B . 【点睛】本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题，换元后根据1的代换是解题的关键，考查学生的计算能力，是中档题.14．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（ ） A ．125B ．125-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．15．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．16．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D.本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.17．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.18．在ABC ∆中，22223sin a b c ab C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【解析】 【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫-⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.19．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是（ ）AB．2C．D ．172【答案】A【分析】先作可行域，再根据图象确定MN的最大值取法，并求结果.【详解】作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.20．已知变量,x y满足240240x yx yx+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则24x y--的最小值为（）A85B．8C165D．163【答案】D【解析】【分析】222424512x yx y----=+222412x y--+表示点(,)x y到直线240x y--=的距离，作出可行域，数形结合即可得到答案.【详解】因为222424512x yx y----=+，所以24x y--可看作为可行域内的动点到直线240x y --=的距离的5倍，如图所示，点44(,)33A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时224424333512d -⨯-==+ 所以24x y --1653d =. 故选：D. 【点睛】本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.。

新数学《不等式》专题解析一、选择题1．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为（ ）A B C D ．32【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故tan 3tan A B =，3t 53tan 4an 6ta 3ta tan tan n n B A B C AB ⎛⎫=+ ⎪⎝+⎭⋅，计算得到答案. 【详解】由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--⋅24tan 3tan 1BB =-，tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B-=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭34≥⨯当且仅当tan B 时等号成立. 故选：B . 【点睛】本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．163D ．173【答案】C 【解析】 【分析】由3log (2)1a b +=+213b a+=，且0,0a b >>，又由12142(42)3a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.【详解】因为3log (2)1a b +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(83333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.3．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D 【解析】 【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果. 【详解】设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,28,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数34z x y =+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，可得目标函数在点P 处取得最大值，由28,3212,x y x y +=⎧⎨+=⎩得()2,3P ，则max 324318z =⨯+⨯=（万元）.选D.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4．若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122y x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A ．116B ．18C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为min 314z =--=-，则1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭的最小值为41216-=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．5．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则2||||PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4C ．232D ．421【答案】B 【解析】 【分析】设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()200080x y y =≥，因为点(0,4)A ，则()()2222200000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.又知点Q 在圆22(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，要使2||||PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.所以()()222000003632516||||33y y y PA PQ y y +-+++==++ ()()0000252536236433y y y y =++-≥+⋅=++ 当且仅当02y =时等号成立.所以2||||PA PQ 的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.6．已知函数())2log f x x =，若对任意的正数,a b ，满足()()310f a f b +-=，则31a b+的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据基本不等式求最值. 【详解】0,x x x x ≥-=所以定义域为R ，因为()2log f x =，所以()f x 为减函数 因为()2log f x =，())2log f x x -=,所以()()()f x f x f x =--，为奇函数，因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=，所以()3131936b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为96b a a b +≥=， 所以3112a b +≥（当且仅当12a =，16b =时，等号成立），选C. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.7．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5 B．5CD【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A的位置，利用图形可观察出使得AB最小时点B的位置，利用两点间的距离公式可求得AB的最小值.【详解】作出不等式组260yx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立260x yx y-=⎧⎨+-=⎩，解得22xy=⎧⎨=⎩，由图知AB的最小值即为()4,3A、()2,2B两点间的距离，所以AB()()2242325-+-=故选：C．【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．8．已知α，β均为锐角，且满足()sin2cossinαβαβ-=，则αβ-的最大值为（）A．12πB．6πC．4πD．3π【答案】B【解析】【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan3tanαβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由()sin 2cos sin αβαβ-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=， 即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=， 所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan 0β>，根据基本不等式231233tan tan ββ≤=+当且仅当3tan 3β=时等号成立， 因为,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，且函数tan y x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则αβ-的最大值为6π. 故选:B . 【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.9．若直线过点，则的最小值等于（ ）A ．5B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．10．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞【答案】C 【解析】若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4a x x≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4[4,5]x x+∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.11．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab ab+≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.12．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（ ）A ．B ．(4,C ．4+D ．(4+【答案】C 【解析】 【分析】由2sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】由题意，22cos 1123A A -=-，即cos 13A A -=-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以243a b c a ++>=，即43423a b c <+++≤.故ABC V 周长的取值范围为 (43,423]+.故选：C 【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.13．已知变量,x y 满足约束条件121x y x +⎧⎨-⎩剟…，则x y y +的取值范围是( )A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式121x y x +⎧⎨-⎩剟…表示的平面区域，整理得：x y y +1x y =+，利用yx 表示点(),x y 与原点的连线斜率，即可求得113x y -<-…，问题得解． 【详解】将题中可行域表示如下图，整理得：x y y+1xy =+ 易知yk x=表示点(),x y 与原点的连线斜率， 当点(),x y 在()1.3A -处时，yk x=取得最小值-3. 且斜率k 小于直线1x y +=的斜率-1， 故31k -≤<-，则113x y -<-…， 故203x y y +<….故选B 【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题．14．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为（ ） A ．2 B ．52C ．94D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，， 所以有()4E X np ==，()()1D X q np p ==-（，所以44p q +=，即14qp +=，（0p >，0q >） 所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5592144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当423q p ==时取得等号．故选C ． 【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．15．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫-⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.16．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是（ ）AB．2C．D ．172【答案】A 【解析】 【分析】先作可行域，再根据图象确定MN 的最大值取法，并求结果. 【详解】作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN 的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.17．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A ．12k >B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D 【解析】 【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可． 【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，∴2402161021kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ． 【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3C．2D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+． 得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2．故选：D ． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．19．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．92B ．9C ．6D ．3【答案】D 【解析】 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.12m n ∴+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.20．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则24x y --的最小值为（ ）A．5B ．8 C．15D ．163【答案】D 【解析】 【分析】222424512x y x y ----=⨯+，而222412x y --+表示点(,)x y 到直线240x y --=的距离，作出可行域，数形结合即可得到答案. 【详解】因为222424512x y x y ----=⨯+，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线240x y --=的距离的5倍，如图所示，点44(,)33A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时224424333512d -⨯-==+ 所以24x y --1653d =. 故选：D. 【点睛】本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.。

核心考点解读——不等式二元一次不等式（组）表示的平面区域（II）简单的线性规划问题（II）利用基本不等式求最大（小）值问题（II）利用基本不等式求恒成立问题（II）1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题、填空题的形式出现，一般考查二元一次不等式（组）表示的平面区域问题以及简单的线性规划问题，利用基本不等式求解最小（大）值问题，以及基本不等式的实际应用等.2.从考查内容来看，线性规划重点考查不等式（组）表示的可行域的确定，目标函数的最大（小）值的计算等，重点体现数形结合的特点.基本不等式则根据其模型计算最值问题，注意取到最值时的条件是否成立.3.从考查热点来看，求最值是高考命题的热点，通过线性规划求最值体现了数形结合思想以及特殊位置求最值的思想；通过基本不等式求最值，则在于模型化求最值方法的应用.1.二元一次不等式（组）表示的平面区域(1)能够通过取特殊点，由不等式的符号来确定不等式表示的平面区域.通常情况下取错误!未找到引用源。

，若不等式相应的直线过错误!未找到引用源。

，则可在坐标轴上取错误!未找到引用源。

或错误!未找到引用源。

.(2)能够确定不等式组表示的平面区域，并计算相应平面区域的面积.计算时要注意利用平面区域所呈现的多边形形状，利用面积公式求解.2.简单的线性规划(1)解不含参数的线性规划问题的一般步骤：根据给定的约束条件画出相应的可行域，考察目标函数的特征，并根据其几何意义确定使其取得最值时的点的坐标，代入目标函数求最值.通常情况下，给定的约束条件多为二元一次不等式组，常见的目标函数有：错误!未找到引用源。

型的线性目标函数；错误!未找到引用源。

型的斜率型目标函数；错误!未找到引用源。

型的两点间距离型目标函数等.(2)使目标函数取得最值的点一般是可行域边界的交点，求出交点坐标，并代入目标函数，可以快捷、准确地计算最值，但要注意可行域的边界是否是实线.(3)解含参数的线性规划问题通常有以下两种类型：i)条件不等式组中含有参数，此时不能明确可行域的形状，因此增加阶梯式画图分析的难度.求解这类问题时，要有全局观，要能够结合目标函数取得最值的情况进行逆向分析，利用目标函数取得最值时所得的直线与约束条件所对应的直线形成交点，求解参数.ii)目标函数中设置参数，旨在增加探索问题的动态性和开放性.要能够从目标函数的结论入手，多图形的动态分析，对变化过程中的相关数据准确定位，以此解决问题.3.利用基本不等式求最值问题(1)利用基本不等式求最值的主要方法：和定积最大，积定和最小.(2)注意基本不等式应用的环境及最值取到的条件：一正二定三相等.(3)常用的不等式模型：①基本不等式链：若错误!未找到引用源。

高考数学试题分类汇编及答案解析（22 个专题）目录专题一集合 (1)专题二函数 (2)专题三三角函数 (7)专题四解三角形 (10)专题五平面向量 (12)专题六数列 (14)专题七不等式 (18)专题八复数 (21)专题九导数及其应用 (23)专题十算法初步 (27)专题十一常用逻辑用语 (31)专题十二推理与证明 (32)专题十三概率统计 (33)专题十四空间向量、空间几何体、立体几何 (43)专题十五点、线、面的位置关系 (53)专题十六平面几何初步 (54)专题十七圆锥曲线与方程 (56)专题十八计数原理 (62)专题十九几何证明选讲 (63)专题二十不等式选讲 (65)专题二十一矩阵与变换 (66)专题二十二坐标系与参数方程 (66)专题一集合1.（ 15 年北京文科）若集合 x 5 x 2 ， x 3 x 3 ，则（ ）A ． x 3 x 2B ． x 5 x 2C ． x3 x 3D． x 5 x 32.(15 年广东理科 ) 若集合M = { x |( x + 4)( x +1) = 0} ， N = { x | ( x - 4)( x - 1) = 0} ，则 M N =A ．B ． 1, 4C ． 0D ． 1,4 3.(15 年广东文科 ) 若集合 1,1 ， 2,1,0 ，则（） A ． 0, 1B ． 0C ． 1D ．1,14.（ 15 年广东文科）若集合 p, q, r ,s 0p s 4,0 q s 4,0r s 4且p, q,r , s，F t,u, v, w 0 t u 4,0 v w 4且 t ,u,v, w，用 card 表示集合 中的元素个数，则 cardcard F（）A ． 50B ． 100C ． 150D ． 200 5.（ 15 年安徽文科）设全集 U 1，2，3，4，，5 6 ， A 1，2 ， B2，3，4 ，则 AC U B ( )（ A ） 1，2，5，6 （B ） 1 （ C ）2（ D ） 1，2，3，46.（ 15 年福建文科）若集合Mx 2 x 2 ， N0,1,2 ，则 M N 等于（） A ． 0B ． 1C ． 0,1,2D 0,17.(15 年新课标 1 文科 ) 1、已知集合 A { xx3n 2,nN}, B {6,8,10,12,14} ，则集合 A B 中的元素个数为()（ A ） 5 （ B ）4 （C ） 3 （ D ） 28.(15 年新课标 2 理科 ) 已知集合 A= ｛ -2， -1,0， 1,2｝， B=｛ x|（ X-1 ）（ x+2 ）＜ 0｝ ,则 A ∩ B=（）（ A ）｛ --1,0｝ （B ）｛ 0,1｝ （C ）｛ -1,0,1｝ （ D ）｛ ,0,，1，2｝ 9.(15 年新课标 2 文科 ) 已知集合 A x | 1 x 2 , B x | 0x3 ,则 A B（）A ． 1,3B ． 1,0C ． 0,2D ． 2,310.(15 年陕西理科 ) 设集合 M { x | x2x}， N { x | lg x 0} ，则M N （）A． [0,1] B． (0,1] C． [0,1) D ． (,1]11.(1 5 陕西文科 ) 集合 M { x |x2x} ，N{ x | lg x 0} ，则 MN （）A． [0,1] B． (0,1] C． [0,1) D ．( ,1]12.(15 年天津理科 ) 已知全集 U 1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合 A 2,3,5,6 ，集合 B 1,3,4,6,7 ，则集合A e BU（A） 2,5 （ B ） 3,6 （ C） 2,5,6 （ D） 2,3,5,6,813.(15 年天津理科) 已知全集U = {1,2,3,4,5,6},集合,集合,则集合A （ e U B）=A = {2, 3,5} B = {1, 3, 4, 6}（）(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}14.(1 5 年浙江理科 )1. 已知集合 P { x x22x0} ，Q{ x 1 x2} ，则 (e RP) Q （）A. [0,1)B.(0,2]C. (1,2)D. [1,2]15.(1 5 年山东理科 ) 已知集合 A= { x |x24x 3 0}, B{ x |2x 4} ，则 A B (A)(1,3) (B)(1 ，4) (C)(2 ， 3) (D)(2 ， 4)16.(15 年江苏 ) 已知集合 A 1,2,3， B 2,4,5 ，则集合 A B 中元素的个数为 _______.专题二函数1. （ 15 年北京理科）如图，函数 f x 的图象为折线 ACB ，则不等式yf x ≥ log 2 x 1 的解集是A． x | 1 x ≤ 0 B． x | 1≤ x ≤ 1C． x | 1 x≤ 1 D． x | 1 x≤22 CAOBx-1 22.（ 15 年北京理科）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是A ．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以 80 千米 / 小时的速度行驶 1 小时，消耗10 升汽油D ．某城市机动车最高限速 80 千米 / 小时 . 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油3.（ 15 年北京理科）设函数 f x2xa ? x 1 ?4 x a x 2a x≥ 1.① 若 a 1 ，则 fx 的最小值为 ；② 若 f x 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ． 4.（ 15 年北京文科）下列函数中为偶函数的是（ ）A ． y x 2sin xB ． y x 2cosxC ． y ln xD． y 2 x3 ， 15.(15 年北京文科 )2 32 ， log 2 5 三个数中最大数的是 ．6.（ 15 年广东理科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ． y x e xB ． y x1 C ． y 2x 1 D ． y1 x2 x 2x(12 )x 。

不等式与线性规划1.若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln b B ．0.3a >0.3b C ．a 12>b 12D.3a >3b解析 因为a >b ，而对数函数要求真数为正数，所以ln a >ln b 不成立； 因为y ＝0.3是减函数，又a >b ，则0.3a <0.3b ，故B 错； 当a ＞b ＞0时，a >b ，则a 12＞b 12，故C 错；y ＝13在(－∞，＋∞)是增函数，又a >b ，则a 13>b 13，即3a >3b 成立，选D.答案 D2.设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．c >b >a解析 0<lg e<1，即0<a <1，b ＝(lg e)2＝a 2<a ，c ＝lg e ＝12lg e ＝12a <a ，又b ＝(lg e)2<lg10lg e ＝12lg e ＝c ，因此a >c >b .故选B. 答案 B3．在R 上定义运算⊗：⊗y ＝(1－y )．若不等式(－a )⊗(＋a )<1对任意实数成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <124．函数f ()＝(－2)(a ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－)>0的解集为( ) A ．{|>2或<－2} B ．{|－2<<2}C ．{|<0或>4}D ．{|0<<4}解析 由题意可知f (－)＝f ()，即(－－2)(－a ＋b )＝(－2)(a ＋b )，(2a －b )＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f ()＝a (－2)(＋2)． 又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.f (2－)>0，即a (－4)>0，解得<0或>4.故选C.答案 C5．已知点A (－2，0)，点M (，y )为平面区域⎩⎨⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0上的一个动点，则|AM |的最小值是()A ．5B ．3C ．2 2D.655解析不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |的最小值为点A 到直线2＋y－2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×（－2）＋0－2|5＝655.答案 D6．如果实数，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数＝－y 的最大值为6，最小值为0，则实数的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 不等式组表示的可行域如图，A (1，2)，B (1，－1)，C (3，0)∵目标函数＝－y 的最小值为0，∴目标函数＝－y 的最小值可能在A 或B 时取得；∴①若在A 上取得，则－2＝0，则＝2，此时，＝2－y 在C 点有最大值，＝2×3－0＝6，成立； ②若在B 上取得，则＋1＝0，则＝－1，此时，＝－－y ，在B 点取得的应是最大值， 故不成立，∴＝2，故答案为B.答案 B7．已知f ()＝32 －(＋1)3＋2，当∈R 时，f ()恒为正值，则的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1，22－1)D ．(－22－1，22－1) 解析 由f ()>0得32－(＋1)·3＋2>0， 解得＋1<3＋23x ，而3＋23x ≥22(当且仅当3＝23x ，即＝log 32时，等号成立)，∴＋1<22，即<22－1.答案 B8．已知二次函数f ()＝a 2＋2＋c (∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为( )A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2解析 ∵f ()＝a 2＋2＋c (∈R )的值域为[0，＋∞)， ∴a >0且Δ＝4－4ac ＝0.∴c ＝1a，∴a ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋11a＋1a ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥4(当且仅当a ＝1时取等号)， ∴a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为4，故选A. 答案 A9．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1 B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n （n ＋1）2＝n 2＋n ＋22个区域，选C.答案 C10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B ．①②③ C ．③ D ．③④⑤11．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a ＜b a B.b －ac＞0 C.b 2c <a 2cD.a －cac＜0 解析：∵c <b <a 且ac <0，∴c <0，a >0，∴c a <b a ，b －a c >0，a －cac <0，但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c <a 2c不一定成立．答案：C12．已知不等式a 2－b －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式2－b －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：依题意，－12与－13是方程a 2－b －1＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－56，1a ＝－16，又a <0，不等式2－b －a <0可化为1a 2－b a －1>0，即－162＋56－1>0，解得2<<3.答案：A13．若正数，y 满足＋y ＝1，且1x ＋ay≥4对任意的，y ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[4，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析：正数，y 满足＋y ＝1，当a >0时，1x ＋a y＝(＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2y x ·axy＝1＋a ＋2a ，当且仅当y ＝a 时取等号，因为1x ＋ay≥4对任意的，y ∈(0,1)恒成立，∴1＋a ＋2a ≥4，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．当a ≤0时显然不满足题意，故选D. 答案：D14．已知函数f ()＝a 2＋b ＋c ，不等式f ()<0的解集为{|<－3或>1}，则函数y ＝f (－)的图象可以为( )解析：由f ()<0的解集为{|<－3或>1}知a <0，y ＝f ()的图象与轴交点为(－3,0)，(1,0)， ∴f (－)图象开口向下，与轴交点为(3,0)，(－1,0)． 答案：B15．设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 2D ．2 6解析：2a＋2b≥22a ＋b＝223＝42，当且仅当2a ＝2b，a ＋b ＝3，即a ＝b ＝32时，等号成立．故选B.答案：B16．已知实数，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 解析：由题知可行域如图阴影部分所示，∴＝y －1x ＋1的取值范围为[MA,1)，即⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1.答案：D17．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a”是“0<ab <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分条件可举反例，令a ＝b ＝－10，此时a <1b ，b <1a ，但ab ＝100>1，所以“a <1b 或b <1a”不是“0<ab <1”的充分条件．反之，a ，b 为实数，当0<ab <1时，说明a ，b 同号．若a >0，b >0，则a <1b 或b <1a；若a <0，b <0，则a >1b 或b >1a .所以“a <1b 或b <1a ”不是“0<ab <1”的必要条件．综上可知“a <1b 或b <1a”是“0<ab <1”的既不充分也不必要条件． 答案：D18．已知函数y ＝－4＋9x ＋1(>－1)，当＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( ) A ．－3B ．2C ．3D ．8 解析：y ＝－4＋9x ＋1＝＋1＋9x ＋1－5，因为>－1，所以＋1>0，9x ＋1>0.所以由基本不等式，得y ＝＋1＋9x ＋1－5≥2 x ＋19x ＋1－5＝1，当且仅当＋1＝9x ＋1，即(＋1)2＝9，即＋1＝3，＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3. 答案：C19．若，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，且目标函数＝a ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线＝a ＋2y 的斜率为＝－a2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.答案：B20．若关于的不等式2＋a －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：2＋a －2>0，即a >2－2.∵∈[1,5]，∴a >2x－成立．∴a >⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－x min .又函数f ()＝2x－在[1,5]上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min ＝25－5＝－235，∴a >－235.故选A.答案：A21．函数f ()＝1＋log a (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线m ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f ()的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线m ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2. 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ， 因为mn ＞0，所以n m ＞0，mn＞0.由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n的最小值为2.答案：222．设P (，y )是函数y ＝2x(＞0)图象上的点，则＋y 的最小值为________．解析：因为＞0，所以y ＞0，且y ＝2.由基本不等式得 ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当＝y 时等号成立． 答案：2 223．若变量，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4·2y 的最大值是________．24．已知函数f ()＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的∈R ，不等式f ()≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f ()ma .当＞1时，f ()＝log 13是减函数，且f ()＜0；当≤1时，f ()＝－2＋，其图象的对称轴方程是＝12，且开口向下，∴f ()ma ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。

【高中数学】单元《不等式》知识点归纳一、选择题1．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.2．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】 【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由20x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．3．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A ．2 B ．52C ．3D ．32【答案】A 【解析】()220{,440a f x acb b ac >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，()()221241111120b f a c ac f b b +∴=+≥+≥=+='当且仅当()()120f a c f ='时，不等式取等号，故的最小值为4．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.5．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数32()1f x x bx x =+++的导函数为()f x '，当函数[]()ln ()g x f x '=的定义域为R 时，B Ð的取值范围为( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的导数，依题意即222()3203a c f x x bx +-'=++>恒成立，所以()222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；【详解】解：因为22323()1a c acf x x bx x+-=+++，所以2223()32a c acf x x bx+-'=++，若()g x的定义域为R，则有()222(2)430b ac ac∆=-+-<，即2223a cb ac+->，结合余弦定理，2223cos2a c bBac+-=>，故0,6Bπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D.【点睛】本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.6．已知x、y满足约束条件122326x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22z x y=+，则实数z的最小值为（）A．22B．25C．12D．2【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出22x y+的最小值，进而可得出实数z的最小值.【详解】作出不等式组122326x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图所示，22z x y =+表示原点到可行域内的点(),x y 的距离的平方，原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，()222min2122x y⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭. 由于22z x y =+，所以，min 12z =. 因此，实数z 的最小值为12. 故选：C. 【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7．若,x y 满足4,20,24,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则4y x -的最大值为（ ）A ．72-B ．52-C ．32-D ．1-【答案】D 【解析】 【分析】画出平面区域，结合目标函数的几何意义，求解即可. 【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示4y x-表示该平面区域中的点(),x y 与(0,4)A 确定直线的斜率 由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB 上任意一点时，取得最大值.不妨取84(,)33B 时，4y x -取最大值443183-=- 故选：D 【点睛】本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.8．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】A 【解析】 【分析】根据()122y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 122a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】因为()122y a b x =+为幂函数， 所以21a b +=， 又因为0a >，0b >，所以ab 2112122228a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21a b +=，2a b =即11,24a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 18. 故选：A 【点睛】本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且223sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（ ） A ．(23,4]B ．(4,43]C ．(43,423]+D ．(423,63]+【答案】C 【解析】 【分析】 由223sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin 23a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】 由题意，232cos 1123A A -=-，即3cos 13A A -=-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为4+.故选：C 【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab +≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.12．若变量x ，y 满足2,{239,0,x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以22max ()10x y +=，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.13．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是（ ）A ．17B ．342C ．32D ．172【答案】A 【解析】 【分析】先作可行域，再根据图象确定MN 的最大值取法，并求结果. 【详解】作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN 的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】 由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由2x y xy +=得：211x y+=()212222225529x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）2x y ∴+的最小值为9故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.15．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==， 即圆224x y +=与曲线C 相切于点2,2，(2,2-，(2,2，， 则①和③都错误；由0xy <，得④正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.16．已知正数x ，y 满足144x y +=，则x y +的最小值是（ ） A ．9B ．6C ．94D ．52 【答案】C【解析】【分析】先把x y +转化成114()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】 Q 正数x ，y 满足144x y +=，1141419()1454444y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…， 当且仅当4144y x x y x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即34x =，32y =时，取等号. 故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.17．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ） AB ．5C ．3D ．52【答案】D【解析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．【详解】解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方， 解得，2222523(1)d -⎛⎫+ ⎪= ⎝⎭=⎪； 所以min 52z =故选：D ．【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．18．设集合{}20,201x M xN x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<B ．{}01x x <<C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x << 【答案】B【解析】【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}01M N x x ⋂=<<.故选：B .【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.19．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为(1,3)，则a 的取值范围为（ ）A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(1,0]-【答案】A【解析】【分析】结合不等式组，绘制可行域，判定目标函数可能的位置，计算参数范围，即可．【详解】结合不等式组，绘制可行域，得到：目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则<1a -，此时a 的范围为(]1,0-当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ．【点睛】本道题考查了线性规划问题，根据最值计算参数，关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置，难度偏难．20．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（ ）A ．125B ．125-C ．32D ．32- 【答案】B【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．。