商不变的规律

被除数 除数 商
24 4 6
120 20 6
240 40 6
2400 400 6
4800 800 6
在除法里，被除数和除数同时缩小相同倍数，商不变。
在除法里，被除 数和除数同时扩大 (或缩小）相同的倍 数，商不变。
下列说法对不对？
（1）被除数24扩大2倍，除数4 缩小2倍，商不变。
× √
（2）被除数24扩大100倍，除数 4扩大100倍，商不变。
（3）被除数24扩大10倍，除数4 增加10，商不变。
×
例 11 3600÷600＝6
缩 小 一 百 倍 缩 小 一 百 倍
商 不 变
36 ÷ 6 = 6
3600
600
例 11
缩 小 一 百 倍
4800÷400＝ 12
48 ÷ 4＝ 12
缩 小 一 百 倍
商 不 变
4800 400
做一做 72÷9＝8 36÷3＝ 12 720÷90＝8 360÷30＝ 12 7200÷900＝8 3600÷300＝ 12 80 ÷ 4= 20 800 ÷ 40= 20 8000 ÷ 400= 20
例 12 8760÷120=
12个十
876 0 120）
876个十
非常欢迎各位同行指导！
4800缩小2倍是( 2400 ) 800缩小（
2
ห้องสมุดไป่ตู้
）倍是 400
4800缩小（20）倍是 240 800缩小（
20 ）倍是 40
`
商不变的规律
扩大
被除数 24 除数 4 商 6
120 20 6
240 2400 4800 40 400 800 6 6 6

积和商的“变与不变”规律
㈠、积的变化规律：
⑴、一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积就相应的乘（或除以）几。

字母表示：如果a×b=c ，则(a×3)×b=c×3
举例：a×b=12 如果(a×3)则积就是12×3=36.
⑵、一个数乘一个比1大的数，积比原数大；
⑶、一个数乘一个比1小的数，积比原数小。

㈡、积不变规律：
一个因数乘（或除以）几，另一个因数相应的除以(或乘)几，积不变。

字母表示：如果a×b=c 则（a×5）×（b÷5）=c
㈢、商的变化规律：
⑴被除数不变，除数乘几商就除以几，除数除以几商就乘几。

字母表示：如果a÷b=c ，则a÷（b×3）=c÷3
举例：a÷b=12 如果(b×3)则商就是12÷3=4
⑵除数不变，被除数乘商就相应的乘几，被除数除以几商就除以几。

字母表示：如果a÷b=c ，则(a×3)÷b=c×3
举例：a÷b=12 如果(a×3)则商就是12×3=36.
被除数大于除数，商就大于1；
被除数小于除数，商就小于1.
一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；
一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。

㈣、商不变规律：
被除数和除数同时乘或除以几，商不变。

北师大版四年级上册数学商不变的规律教案（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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运用“商不变的规律”巧解数学问题□王凤菊小朋友，你知道商不变的规律吗？运用这个规律，可以解决以下问题：被除数和除数同时变，且变化相同，商的变化；被除数和除数同时变，且变化相同，余数的变化；被除数和除数仅一方变，商的变化；被除数和除数同时变，且变化不同，商的变化。

在学习时，你要注意掌握一些运算技巧和解决问题的策略方法，发展思维，提高计算能力、分析能力和解决问题的能力。

我是这样解的16406404024240竖式1一、被除数和除数同时变，且变化相同时，商的变化例1.计算：640÷40。

利用“商不变的规律”，可以简化整十、整百的数除以整十数的计算。

把被除数和除数同时除以10，商不变（如竖式1）。

例2计算：240÷5。

我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成10来计算。

因为除数是5，把被除数和除数同时乘2，商不变。

240÷5＝（240×2）÷（5×2）＝480÷10＝48例3.计算：300÷25。

我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成100来计算。

因为除数是25，把被除数和除数同时乘4，商不变。

300÷25＝（300×4）÷（25×4）＝1200÷100＝12例4.计算：750÷125。

我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成1000来计算。

因为除数是125，把被除数和除数同时乘8，商不变。

750÷125＝（750×8）÷（125×8）＝6000÷1000＝6我是这样解的我是这样解的二、被除数和除数同时变，且变化相同时，余数的变化例5.计算：650÷40。

利用“商不变的规律”，计算过程中，被除数和除数的末尾同时划掉一个0（如竖式2），也就是同时除以10，商不变，但余数发生变化。

人教版四年级上册数学
1、 除数不变，被除数乘几或除以几 ，商也乘几或除以几。
2、 被除数不变，除数乘几或除以几（0除
外）， 商就除以几或乘几。
二、探究新知
先从上往下观察，再从下 往上观察，你发现了什么？ （3）计算并观察下面的题。
6 60 600 ÷ ÷ ÷ ÷ 3 30 300 ＝ ＝ ＝ ＝
被除数 除 商 数
14 2
140 20
280 40
560 80
5600 800
通过今天的学习， 你有哪些收获？ 快告诉大家吧！
四、布置作业
作业：第89页练习十七，第1题、第4题。 第90页练习十七，第5题。
（36×4）÷（12 ÷ 4）………………… （ × （36×6）÷（12 ÷ 6）………………… （ × （36＋12）÷（12＋12）……………… （ × （36×5）÷（12×5）………………… （ √ （36 ÷ 2）÷（12 ÷2）……………… （ √
） ） ） ） ）
4、 填一填。
（1）在除法里，除数乘8，被除数乘8，商（不变 ），被除 数除以70，除数除以70，商（ 不变 ）。 （2）在除法里，被除数不变，除数乘20，商（除以20）， 除数除以12，商（乘12 ） （3）在除法里，被除数和除数同时乘15，商（ 不变 ）。 （4）如果被除数和除数都扩大100倍，那么商就( 不变 )。
2
2 2 2
6000
3000
被除数和除数都乘或除以一个 相同的数（0除外），商不变 。
二、探究新知
通过观察上组题，我们有了这个 发现，你能举例验证这发现吗？
被除数和除数都乘或除以一个相同的数 （0除外），商不变。
×7 20 140 ÷7 ÷ ÷ ×7 10 ＝2 ÷7 70 ＝2

通过商不变规律，我们可以简化分数的加减法运算， 提高计算效率。
与比例关系综合运用
01
比例关系中，两组数的比值是 相等的，而商不变规律可以确 保在运算过程中比值保持不变 。
02
通过综合运用商不变规律和比 例关系，我们可以解决复杂的 比例问题，如比例分配、比例 缩放等。
03
在解决比例问题时，商不变规 律可以帮助我们快速找到等价 的比例表达式，从而简化问题 求解过程。
04
数学表达式与符号
数学表达式
如果被除数为a，除数为b，商为c，则有 a ÷ b = c。根据商不变规律，有 (a × k) ÷ (b × k) = c 或 (a ÷ k) ÷ (b ÷ k) = c，其中k为非零数。
符号
在数学表达式中，通常使用字母来表示未知数或变量，如a、b、c等。同时，使 用÷表示除法运算，×表示乘法运算。
05 总结归纳与拓展延伸
关键知识点回顾总结
商不变的规律定义
在除法中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0 除外），商不变。
商不变的规律应用
利用商不变的规律，可以进行简便运算，解决一些实际问 题。
注意事项
在应用商不变的规律时，需要注意被除数和除数必须同时 扩大或缩小相同的倍数，且倍数不能为0。
拓展延伸：探索更广泛应用领域
在数学领域
商不变的规律不仅适用于整数除法，还可以推广到小数除法、分数除法等更广泛的数学领域中。
在实际生活中的应用
利用商不变的规律，可以解决一些实际问题，如分配问题、比例问题等。通过灵活运用商不变的 规律，可以提高解决问题的效率。
在其他学科中的应用
商不变的规律还可以应用到其他学科中，如物理、化学等。在这些学科中，可以利用商不变的规 律进行一些计算和分析。

1.被除数乘2，除数不变，商就（ 乘2 )。 2.除数乘3，被除数不变，商就（ 除以3）。
3.被除数不变， 除数乘4，商就（ 除以4 ）。
4.除数不变，被除数除以3，商就（除以3）。
4.除数不变，商要乘3，被除数应（乘3 ）。
5.被除数不变，商要除以2，除数应（ 乘2 ）。 6.两个数的商是12，如果被除数不变，除数
判断： ①48÷12=（48×3）÷（12×4）……（
x）
x √ x
）
②48÷12=（48×3）÷（12÷4）……（
③被除数不变（0除外），如果除数乘3， 商会缩小3倍。……………………………（
）
④两数相除，商是20，被除数和除数都 扩大2倍，商是40。………………………（
）
3、判断
(1)被除数和除数同时乘以相同的数,商不 变。 ( ×) (2)72÷24=(72÷6)÷(24÷6) ( √ ) (3)因为被除数和除数同时除以不是0的 数,商不变;所以被除数和除数同时减去 不是0的数,商也不变。 (× ) (4)A÷B=C,如果A除以10,要使商还是C, 那么B也要除以10. 72÷12=6 36÷12=( 3 ) 72÷6=(12 ) 72÷18=( 4 ) 36÷(18 )=2 ( 72 )÷18=4
A÷B=30 A÷(B×2)=30
A× 3÷ B=(
) )
) )=( )
(A÷2) ÷ (B÷2)=(
(A×2) ÷ (B÷2)=( (A ) ÷ (B
5600 ÷700 =9 560÷70= 9 56÷7= 9
1、被除数不变，除数扩大3倍，商（ 反而缩小3倍 ）。 2、被除数不变，除数缩小4倍，商（反而扩大4倍 ）。 3、两个数相除，商是12，如果被除数不变，除数缩 小3倍，商会变成（ 36 ）。 4、两个数相除，商是12，如果除数不变，被除数缩 小3倍，商会变成（ 4 ）。

商不变的规律及扩展一、被除数与商的关系。

【图1】①被除数扩大6÷2=360÷2=30600÷2=300【结论】:在除法里，(除数)不变，(被除数)扩大多少倍，商(也扩大)相同的倍数。

②被除数缩小600÷2=30060÷2=306÷2=3【结论】:在除法里，(除数)不变，(被除数)缩小多少倍，商(也缩小)相同的倍数。

【强调】:不能扩大或缩小零倍。

③商与被除数的关系【总结】:在除法里，除数不变，被除数扩大(或缩小)多少倍(0除外)，商也扩大(或缩小)相同的倍数。

【结论】:商与被除数同向变化。

二、除数与商的关系①除数扩大800÷2=400800÷20=40800÷200=4【结论】:在除法里，(被除数)不变，(除数)扩大多少倍，商(反而缩小)相同的倍数。

②除数缩小800÷200=4800÷20=40800÷2=400【结论】:在除法里，(被除数)不变，(除数)缩小多少倍，商(反而扩大)相同的倍数。

【强调】:0除外。

③商与被除数的关系【总结】:在除法里，被除数不变，除数扩大(或缩小)多少倍(0除外)，商反而缩小(或扩大)相同的倍数。

【结论】:商与被除数反向变化。

三、商不变的规律①同时扩大8÷2=480÷20=4800÷200=4【结论】:在除法里，(被除数和除数)同时(扩大)多少倍(0除外)，商(不变)。

②同时缩小800÷200=480÷20=48÷2=4【结论】:在除法里，(被除数和除数)同时(缩小)多少倍(0除外)，商(不变)。

③商不变的规律【总结】:在除法里，(被除数和除数)同时(扩大或缩小)多少倍(0除外)，商(不变)。

【结论】:被除数与除数【同向变化】——商不变。

四、商不变的应用1，【图2】填空。

2，如果A÷B=12，下面各式应该是多少？【图3】3，①、填空。

知识窗口。（判断：正确的打 √，错的打×）
（5）48 ÷12=（48-8）÷（12-8） （×）
（6）64÷16=（64+20）÷（16+20） （ ×）
3、 在○里填上运算符号， □里填上适当的数。
2 （1）120÷30＝(120×2)÷(30×□)
（2）150÷50＝(150÷□)÷(50÷□) （3）200÷40＝(200○□)÷(40○□)
喀什四小
陈秀萍
2元/个
20元/个
40元/个
老师带了200 元钱，如果买 其中一种球， 分别可以买多 少个？
定点投篮
每8人一组。
16人可以分多少组？
160人呢？320人呢？
讨论要求：
1、仔细观察被除数、除数、商有
什么变化？
2、在你选择的一组算式中任选两
个式子先从上到下比较，再从下到 上比较，看看什么相同，什么不同， 什么发生了变化？怎样变化？
知识窗口。（判断：正确的打√， 错的打×）
（1）两数相除，如果被除数缩 小4倍，除数不变，那么商也 不变。 （×） （2）250÷A＝25，如果被除数 不变,除数A缩小5倍，那么商 是5。 （ ×）
知识窗口。（判断：正确的打 √，错的打×）
（3）被除数不变（0除外）， 如果除数扩大3倍，商会缩小3 倍。 （√ ） （4）两数相除，商是20，被除 数扩大2倍，除数缩小2倍，商 还是20。（ ×）
3、 在○里填上运算符号， □里填上适当的数。
2 （1）1250÷50＝(150÷□)÷(50÷□) （3）200÷40＝(200○□)÷(40○□)
同学们，你知道猴王为什 么笑吗？
商不变的规律：
两数相除，被除数和除数同

积和商不变规律和变化规律积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积就相应的乘或除以几。

积不变规律：一个因数乘或除以几，另一个因数相应的除以或乘几，积不变。

一个数乘一个比1大的数，积比原数大；一个数乘一个比1小的数，积比原数小。

商的变化规律：被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。

除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。

商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。

被除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于1.一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。

1、根据78×12＝936，填写下面各题的结果。

7.8×12＝（） 0.78×12＝（） 7.8×0.12＝（） 0.78×（）＝936 2、根据414÷18＝23，填写下面各题的结果。

4.14÷1.8＝（） 4140÷1.8＝（） 0.414÷0.18＝（） 41.4÷18＝（）8、两个数相除，被除数不变，除数缩小到原数的1/10，商（）；若除数不变，被除数扩大到原数的1/100，商就（）。

9、两数相乘，一个因数乘4，另一个因数不变，积就（）；若一个因数乘4，另一个因数除以4，积（）。

10、两个因数的积是0.5，如果一个因数扩大10倍，另一个因数扩大100倍，积应该是（）。

11、两数相除，商是7.6，被除数扩大10倍，除数缩小到原数的1/100，商应该是（）。

12、26.87扩大到它的( )倍得到26870,再缩小到它的( )得268.7。

13、甲乙两数的和是418，甲数的小数点向右移到一位后就等于乙数，甲数是（），乙数是（）。

14、1000张纸叠起来厚9.2厘米,平均每张纸厚( )厘米,一厘米约有( )张纸.15、一吨海水含盐0.03吨,10吨海水含盐( )吨,1000吨海水含盐( )吨.16、由45到0.045缩小到原数的( ). 17、由0.08到80,扩大到原数的( ).17、两个数相除，除数缩小到原数的1/4，商就（）。

商不变规律的公式在我们的数学世界里，有一个非常神奇且重要的规律，那就是商不变规律。

这规律就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多数学难题的大门。

先来说说商不变规律的公式到底是啥。

简单来讲，就是被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。

这看起来好像挺简单的，可别小瞧它，里面的学问大着呢！我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件特别有趣的事儿。

当时我在黑板上写下了一组算式：6 ÷ 2 = 3，然后我问同学们，如果被除数乘以 3，除数也乘以 3，商会怎么样呢？大家都皱着眉头思考，这时候有个调皮的小男孩儿举起手说：“老师，我觉得商会变大！”我笑了笑，让他说说为啥这么想。

他一脸认真地说：“因为乘的数变大了呀！”其他同学听了有的点头，有的则露出疑惑的表情。

我没有直接否定他的想法，而是按照他说的，在黑板上写下了（6×3）÷（2×3）= 18÷6 = 3。

然后我问大家：“你们看，商变了吗？”同学们这才恍然大悟，原来商并没有改变。

咱们再深入地理解一下这个公式。

比如说，80÷20 = 4，如果被除数和除数同时乘以 5，那就变成了（80×5）÷（20×5）= 400÷100 = 4，商依然是 4。

反过来，如果被除数和除数同时除以 10，也就是（80÷10）÷（20÷10）= 8÷2 = 4，商还是不变。

商不变规律在我们解决实际问题的时候，可太有用啦！比如，在计算一些比较复杂的除法运算时，我们可以利用这个规律把被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，让计算变得更简单。

假设我们要计算 3600÷900，如果直接算，可能会觉得有点麻烦。

但是我们根据商不变规律，把被除数和除数同时除以 100，就变成了36÷9 = 4，是不是一下子就简单多啦？再比如说，在比较两个除法算式的大小时，如果商相同，我们就可以利用商不变规律把被除数或者除数转化成相同的数，这样比较起来就容易多了。

被除数和除数同时乘相同的数，商不变。
48 ÷ 24 = 2 ÷2 ÷2 24 ÷ 12 = 2 ÷8 ÷8 6 ÷ 3 = 2
被除数和除数同时 除以相同的数，商不变。

被除数和除数同时乘 相同的数，商不变。
被除数和除数同时除以 相同的数，商不变。
被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变。 谁能用一句话来描述 这两个规律呢？
240÷30 =
360÷90 = 440÷20 =
80÷20 =
4800÷400= 9200÷400=
老师考考你
下面的计算对吗？
12 70 8 4 0 7 14 14 0
8 60 4 8 0 0 48 0
12 800 9 6 0 0 8 16 16
0
（
）
（
）
（
）
400÷25=？ 400 ÷ 25 =（400×4）÷ （25×4） = 1600 ÷ 100 利用商不变的 规律进行除法 的简便运算 老师考考你 150 ÷ 25 2000 ÷ 125
= 16
直接说出得数。
观察两组式子，照样子写一组。
48 ÷ 24 =2
24 ÷ 12 =2
8 ÷ 2 =4 80 ÷ 20 =4 800 ÷ 200 =4 说一说你发现了什么，尝试用自 己的语言说出其中的规律。 6 ÷ 3 =2
8
÷
x10
2 = 4 x10
80 ÷ 20 = 4 x100 x100 800 ÷ 200 = 4
36 ÷ 9 = 4 （36×0）÷（9×0）=4 这个规律也同样适 用吗？为什么？
商不变的规律 ： 被除数和除数同时乘或除以相同 被除数和除数同时乘或除以相同的数， 商不变。 的数（0除外），商不变。

积不变商不变的规律哎呀，同学们，你们知道吗？数学里有两个超级神奇的规律，一个叫积不变规律，一个叫商不变规律。

这俩规律就像是数学世界里的魔法，可有意思啦！先来说说积不变规律吧。

比如说，我有两个数字6 和3，它们相乘是18 对吧？那要是6 变成12，3 就得变成1.5，你看，12×1.5 还是18 呀！这就好像是我有一堆糖果，原来我是6 个盒子，每个盒子装3 颗糖。

后来我想要12 个盒子，那每个盒子里的糖果不就得变少，变成1.5 颗，可糖果的总数还是不变的，这不就是积不变吗？再讲讲商不变规律。

就拿20 和5 来说，20÷5 = 4 。

要是20 变成40 ，5 变成10 ，40÷10 不还是4 嘛！这多神奇呀！这就好比我们去分蛋糕，原来20 个人分5 个蛋糕，每人能分到4 份。

后来变成40 个人分10 个蛋糕，每人分到的还是4 份。

这是不是很有趣？有一次上数学课，老师出了一道题：“根据积不变规律，3×40 = 6×（），大家快想想。

”同学们都皱着眉头苦思冥想。

我心里也着急呀，这可咋办？突然我灵光一闪，40 变成了一半，那3 就得变成6 呀，所以括号里应该填20 ！我赶紧举手回答，老师笑着夸我真聪明，我心里那叫一个美哟！还有一次，小组讨论商不变规律。

我和同桌说：“你看，这商不变规律不就像是玩跷跷板嘛，这边重了那边就得轻，但是两边的平衡不能打破，就像商不能变一样！”同桌听了直点头，说：“对对对，你这个比喻太形象啦！”积不变规律和商不变规律在我们的生活中也有很多用处呢！比如买东西的时候，如果单价变高了，那数量就得变少，才能保证总价不变；如果总价不变，单价降低了，那能买到的数量不就变多了嘛！同学们，你们说这两个规律是不是很神奇？它们就像是数学王国里的宝藏，等着我们去发现和运用。

我们一定要好好掌握它们，让数学变得更简单、更有趣！。

商不变规律应用商业世界变化万千，但有一些规律是永恒不变的。

了解和应用这些规律可以帮助企业更好地发展和取得成功。

本文将介绍一些常见的商不变规律并探讨如何应用它们。

1. 顾客至上顾客是企业最重要的资源，顾客满意度直接影响企业的长期发展。

因此，企业应始终将顾客放在首位，了解他们的需求和喜好，并通过提供优质的产品和服务来满足顾客的要求。

2. 创新驱动不断创新是企业保持竞争力的关键。

商业世界变化迅速，企业必须不断寻求新的方法和解决方案，以满足市场需求并保持领先地位。

创新可以是产品创新、流程创新或者商业模式创新，企业应注重在各个方面的创新。

3. 效益至上企业的目标是实现长期盈利和可持续发展。

因此，企业应该注重效益，控制成本，提高生产效率，并寻求利润最大化的机会。

同时，企业也应该关注企业社会责任，维护良好的企业形象。

4. 合作共赢商业领域是一个互相依存的系统，企业之间的合作可以实现共赢。

通过与供应商、合作伙伴和其他利益相关者建立良好的合作关系，企业可以共同发展，分享资源和风险，并获得更多的机会。

5. 适应变化商业环境常常充满不确定性和变化，企业应该具备适应能力以应对挑战和机遇。

企业应该保持灵活性，及时调整策略和战略，以适应市场的变化和竞争的压力。

6. 优质品牌品牌是企业的重要资产，可以给企业带来竞争优势。

企业应该注重塑造和维护优质的品牌形象，通过提供高品质的产品和服务来赢得顾客的认可和信任。

结论商不变规律是企业成功的基石。

了解并应用这些规律可以帮助企业在竞争激烈的商业环境中取得成功。

企业应当遵循顾客至上、创新驱动、效益至上、合作共赢、适应变化和塑造优质品牌等规律，并灵活调整策略以适应不断变化的商业环境。

只有通过不断学习和应用这些规律，企业才能在商业竞争中立于不败之地。