专题9.1 获取数据的基本途径及抽样方法-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)

9.1.2分层随机抽样9.1.3获取数据的途径学习目标 1.理解分层随机抽样的概念.2.掌握用分层随机抽样从总体中抽取样本.3.掌握两种抽样的区别与联系.4.了解获取数据的一些基本途径．知识点一分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样．(1)每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．(2)如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为x，y，两层的总体平均数分别为X，Y，总体平均数为W，样本平均数为w.则w＝m m＋n x＋n m＋n y.W＝MM＋N X＋NM＋NY.(3)在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数w估计总体平均数W.思考分层随机抽样的总体具有什么特点？答案个体之间差异较大．知识点二获取数据的途径获取数据的基本途径有通过调查获取数据、通过试验获取数据、通过观察获取数据、通过查询获得数据等．1．简单随机抽样和分层随机抽样都是等可能抽样．(√)2．分层随机抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽样．(√)3．在分层随机抽样时，每层可以不等可能抽样．(×)4．通过网络查询的数据是真实的数据．(×)一、对分层随机抽样概念的理解例1某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是()A．抽签法B．随机数法C．分层随机抽样D．其他抽样方法答案C解析由于老年教师、中年教师和青年教师的身体情况会有明显的差异，所以要用分层随机抽样．故选C.反思感悟使用分层随机抽样的前提分层随机抽样的使用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．跟踪训练1分层随机抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行()A．每层等可能抽样B．每层可以不等可能抽样C．所有层按同一抽样比等可能抽样D．所有层抽取个体数量相同答案C解析保证每个个体等可能的被抽取是两种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽样．二、分层随机抽样的应用例2某市的3个区共有高中学生20000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况．(1)试写出抽样过程；(2)若样本中3个区的高中学生的平均视力分别为4.8,4.8,4.6，试估计该市高中学生的平均视力．解(1)①由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层随机抽样法抽取样本．②确定每层抽取的个体数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×22＋3＋5＝40；200×32＋3＋5＝60；200×52＋3＋5＝100.③在各层分别按简单随机抽样抽取样本．④综合每层抽样，组成容量为200的样本．(2)样本中高中学生的平均视力为40200×4.8＋60200 4.8＋100200×4.6＝4.7.所以估计该市高中学生的平均视力为4.7.反思感悟在分层随机抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比．跟踪训练2一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？解用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下：(1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为100500＝15，则在不到35岁的职工中抽取125×15＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×15＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽取95×15＝19(人)．(3)在各层分别按随机数法抽取样本．(4)汇总每层抽样，组成样本．三、获取数据的途径例3(1)为了研究近年我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是()A ．通过调查获取数据B ．通过试验获取数据C ．通过观察获取数据D ．通过查询获得数据答案D解析因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储，所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据．(2)下列哪些数据一般是通过试验获取的()A ．1988年济南市的降雨量B ．2019年新生儿人口数量C ．某学校高一年级同学的数学测试成绩D ．某种特效中成药的配方答案D解析某种特效中成药的配方的数据一般通过试验获取．反思感悟获取数据的基本途径获取数据的基本途径适用类型注意问题通过调查获取数据对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误通过试验获取数据没有现存的数据可以查询严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量通过观察获取数据自然现象借助专业测量设备通过长久的持续观察获取数据通过查询获得数据众多专家研究过，其收集的数据有所存储必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真跟踪训练3“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five­hundred­meter ApertureSpherical radio Telescope ，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．建造“中国天眼”的目的是()A ．通过调查获取数据B ．通过试验获取数据C ．通过观察获取数据D ．通过查询获得数据答案C解析“中国天眼”主要是通过观察获取数据．1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的体重状况，从男生中随机抽取25人，从女生中随机抽取20人进行调查．这种抽样方法是()A．分层随机抽样B．抽签法C．随机数法D．其他随机抽样答案A解析从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样．2．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于()A．9B．10C．12D．13答案D解析∵360＝n120＋80＋60，∴n＝13.3．(多选)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人，甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有()A．应该采用分层随机抽样B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人C．乙被抽到的可能性比甲大D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力答案ABD解析由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样．由于比例为23520×50＋30×45＝110，因此高一年级1000人中应抽取100人，高二年级1350人中应抽取135人，甲、乙被抽到的可能性都是110，因此只有C不正确，故应选ABD.4．为了了解某市2020年高考各高中学校本科上线人数，收集数据进行统计，其中获取数据的途径采用什么样的方法比较合适()A．通过调查获取数据B．通过试验获取数据C．通过观察获取数据D．通过查询获得数据答案D5．某校高二年级化生史组合只有2个班，且每班50人，在一次数学测试中，从两个班各抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计得在该次测试中，两班中各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则该组合学生的平均成绩约为________分．答案108解析样本中40名学生的平均分为2040×110＋2040×106＝108(分)，所以该组合学生的平均成绩约为108分．1．知识清单：(1)分层随机抽样．(2)获取数据的途径．2．方法归纳：数据分析．3．常见误区：在分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等，与层数及分层无关，每一层的抽样一般采用简单随机抽样．1．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样B．按性别分层随机抽样C．按学段分层随机抽样D．其他抽样方法答案C解析由于小学、初中、高中三个学段的学生视力差异比较大，因此，应按照学段进行分层随机抽样，而男女生视力情况差异不大，不能按照性别进行分层随机抽样．2．要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况．应采用的抽样方法分别是()A．(1)用简单随机抽样，(2)用分层随机抽样B．(1)用分层随机抽样，(2)用其他抽样方法C．(1)用分层随机抽样，(2)用简单随机抽样D．(1)(2)都用分层随机抽样答案C解析(1)中收入差距较大，采用分层随机抽样较合适；(2)中总体个数较少，采用简单随机抽样较合适．3．下列调查所抽取的样本具有代表性的是()A ．利用某地七月份的日平均最高气温值估计该地全年的日平均最高气温B ．在农村调查市民的平均寿命C ．利用一块实验水稻田的产量估计水稻的实际产量D ．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中任意抽取100袋进行检验答案D解析A 项中某地七月份的日平均最高气温值不能代表全年的日平均最高气温；B 项中在农村调查得到的平均寿命不能代表市民的平均寿命；C 项中实验田的产量与水稻的实际产量相差可能较大，只有D 项正确．4．从一个容量为m (m ≥3，m ∈N )的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是13，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是()A.15B.14C.12D.13答案D解析因为在简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性相等，所以选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性仍为13.5．(多选)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则()A ．应采用分层随机抽样抽取B ．应采用抽签法抽取C ．三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆D ．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的答案ACD解析由于总体按型号分为三个子总体，所以应采用分层随机抽样抽取，A 正确；设三种型号的轿车依次抽取x 辆、y 辆、z 辆，＝y 6000＝z 2000，z ＝46，＝6，＝30，＝10.所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆，故C 正确；由分层随机抽样的定义可知D 也正确．6．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现采用分层随机抽样抽取30人，则抽取的高级职称的人数为________．答案3解析由题意，得抽样比为30150＝15，所以抽取的高级职称的人数为15×15＝3.7．为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高做调查，现有三种调查方案：①测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；②查阅有关外地180名男生身高的统计资料；③在本市的市区和郊县各任选三所中学，在这六所学校各年级(1)班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，则上述调查方案比较合理的是________．(填序号)答案③解析①中，少年体校的男子篮球、排球的运动员的身高普遍高于一般情况，因此不能用测量的结果去估计总体的结果；②中，外地学生的身高也不能准确地反映本地学生身高的实际情况；而③中的调查方案比较合理，能达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的．8．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则(1)高一、高二抽取的样本量分别为________；(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为________．答案(1)90,70(2)84.375解析(1)由题意可得高一年级抽取的样本量为160450＋350×450＝90，高二年级抽取的样本量为160450＋350×350＝70.(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为ω＝9090＋70×80＋7090＋70×90＝84.375(分)．9．某城市有210家百货商店，其中大型商店20家、中型商店40家、小型商店150家，为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分层随机抽样的方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程．解①样本容量与总体中的个体数的比值为21210＝110；②确定要抽取的各种商店的数目：大型商店为20×110＝2(家)，中型商店为40×110＝4(家)，小型商店为150×110＝15(家)；③采用简单随机抽样的方法在各层中分别抽取大型商店2家、中型商店4家、小型商店15家，这样便得到了所要抽取的样本．10．某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为30,30,40.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8,8.5，8.1，试估计该武警大队队员的平均射击水平．解该武警大队共有30＋30＋40＝100(人)，按比例分配得第一中队参加考核人数为30 100×30＝9，第二中队参加考核人数为30100×30＝9，第三中队参加考核人数为40100×30＝12.所以参加考核的30人的平均射击环数为930×8.8＋930×8.5＋1230×8.1＝8.43.所以估计该武警大队队员的平均射击水平为8.43环．11．为调查德克士各分店的经营状况，某统计机构用分层随机抽样的方法，从A，B，C三个城市中抽取若干家德克士分店组成样本进行深入研究，有关数据见下表：(单位：个)城市德克士数量抽取数量A262B13xC39y则样本量为()A．4B．6C．10D．12答案B解析设所求的样本量为n，由题意得n26＋13＋39＝226，解得n＝6.12．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层随机抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数为()A．36B．6C．12D．18答案A解析设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x，x,3x，由题意可得3x－x＝12，x＝6，所以持“喜欢”态度的有6x＝36(人)．13．(多选)在分层随机抽样中，每个个体等可能地被抽取，下列说法错误的是()A．每层的个体数必须一样多B．每层抽取的个体数相等C．每层抽取的个体数可以不一样多，但必须满足n i＝n·N iN(i＝1,2，…，k)，其中k是层数，n 是样本量，N i是第i层所包含的个体数，N是总体容量D．只要抽取的样本量一定，每层抽取的个体数没有限制答案ABD解析每层的个体数不一定都一样多，故A错误；由于每层的容量不一定相等，若每层抽同样多的个体，从总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，故B错误；对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i无关，即对于每个个体来说，被抽入样本的可能性是相同的，故C正确；每层抽取的个体数是有限制的，故D错误．14．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层随机抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为________．答案8解析若设高一学生数为x，则高二学生数为x＋300，高三学生数为2x，所以有x＋x＋300＋2x＝3500，解得x＝800.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为800×1 100＝8.15．(多选)分层随机抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是()A．甲应付5141109钱B ．乙应付3224109钱C ．丙应付1656109钱D ．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少答案ACD 解析依题意由分层随机抽样可知，100÷(560＋350＋180)＝10109，则甲应付：10109×560＝5141109(钱)；乙应付：10109×350＝3212109(钱)；丙应付：10109×180＝1656109(钱)．16．某市两所高级中学在暑假联合组织全体教师外出旅游，活动分为两条线路：华东五市游和长白山之旅，且每位教师至多参加了其中的一条线路．在参加活动的教师中，高一教师占42.5%，高二教师占47.5%，高三教师占10%.参加华东五市游的教师占参加活动总人数的14，且该组中，高一教师占50%，高二教师占40%，高三教师占10%.为了了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体教师中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别所占的比例；(2)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数．解(1)设参加华东五市游的人数为x ，参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为a ，b ，c ，则有x ·50%＋3xa 4x ＝42.5%，x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc 4x＝10%，解得a ＝40%，b ＝50%，c ＝10%.即参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为40%,50%,10%.(2)参加长白山之旅的高一教师应抽取人数为200×34×40%＝60；抽取的高二教师人数为200×34×50%＝75；抽取的高三教师人数为200×34×10%＝15.。

优选高三数学知识点抽样方法知识点是重点，为了能够使同学们在数学方面有所建树，小编特此整理了高三数学知识点抽样方法，以供大家参考。

一、简单随机抽样设一个整体的个体数为N ，假如经过逐一抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时，各个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。

一般地假如用简单随机抽样从个体数为N 的整体中抽取一个容量为n 的样本那么每个个体被抽到的概率等于n/N. 常用的简单随机抽样方法有：抽签法、随机数法。

1.抽签法一般地，抽签法就是把整体中的N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌平均后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就获得一个容量为n 的样本。

2.随机数法随机抽样中，另一个常常被采纳的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。

二、活用随机抽样课本、报刊杂志中的成语、名言警语等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即便运用也很难做到恰到好处。

为什么?仍是没有完全“记死”的缘由。

要解决这个问题,方法很简第1页/共3页单,每天花3-5 分钟左右的时间记一条成语、一则名言警语即可。

能够写在后黑板的“累积专栏”上每天一换 ,能够在每天课前的3 分钟让学生轮番解说 ,也可让学生个人收集 ,每天往笔录本上抄录 ,教师按期检查等等。

这样 ,一年便可记 300 多条成语、300 多则名言警语 ,与日俱增 ,终归会成为一笔不小的财产。

这些成语典故“储藏”在学生脑中 ,自然会下笔成章 ,写作时便会为所欲为地“提取”出来 ,使文章添色添辉。

系统抽样的最基本特点是等距性，每组内所抽取的号码需要依照第一组抽取的号码和组距是独一确立，每组抽取样本的号码挨次构成一个以第一组抽取的号码 m 为首项，组距 d 为公差的等差数列{an}, 第 k 组抽取样本的号码， ak=m+(k-1)d ，如此题中根据第一组的样本号码和组距，可得第k 组抽取号码应当为9+30*(k-1)单靠“死”记还不可以 ,还得“活”用 ,临时称之为“先死后活”吧。

专题9.1 获取数据的基本途径及抽样方法【考试要求】1.知道获取数据的基本途径；2.了解总体、样本、样本容量的概念，了解数据的随机性；3.了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法；4.了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法. 【知识梳理】1.获取数据的基本途径获取数据的基本途径包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.(1)统计报表是指各级企事业、行政单位按规定的表格形式、内容、时间要求报送程序，自上而下统一布置，提供统计资料的一种统计调查方式.(2)年鉴是以全面、系统、准确地记述上年度事物运动、发展状况为主要内容的资料性工具书.汇辑一年内的重要时事、文献和统计资料，按年度连续出版的工具书.2.总体、样本、样本容量要考察的对象的全体叫做总体，每一个考察对象叫做个体，从总体中被抽取的考察对象的集体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量.3.简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.4.分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.【微点提醒】1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.2.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.3.统一性是统计报表的基本特点.具体表现为：(1)统计报表的内容和报送的时间是由国家强制规定的，以保证调查资料的统一性. (2)统计报表的指标含义，计算方法、口径是全国统一的. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.( )(2)统计报表是我国取得国民经济和社会发展情况基本统计资料的一种重要手段.( )(3)统计报表既可以越级汇总，也可以层层上报、逐级汇总，以便满足各级管理部门对主管系统和区域统计资料的需要.( )(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 【解析】根据统计报表及抽样方法的概念易得。

抽样方法高考知识点考点在高考备考过程中，抽样方法是数学中一个重要的考点。

抽样方法是统计学中的一个概念，它是指从一个个体总体中选取一部分个体进行研究，再通过研究结果进行推断总体特征的过程。

在高考中，准确地运用抽样方法既可以帮助我们解决问题，也可以提高我们的分数。

首先，我们来了解一下常见的抽样方法。

常见的抽样方法主要有随机抽样、系统抽样和分层抽样。

随机抽样是指在个体总体中随机选择样本，以保证每个个体都有同等机会被选中。

系统抽样是指按照一定的规则从个体总体中选取样本，如每隔固定个体选取一个样本。

分层抽样是指将个体总体分成若干层，从每一层中随机选择样本。

这三种抽样方法都有各自的适用场景，我们应根据实际情况选择合适的方法。

接下来，我们讨论一下抽样方法在解决实际问题中的应用。

在高考数学中，抽样方法常常通过解决概率问题来进行应用。

例如，某年高考的数学选择题中有一个问题是：有一个班级共有100名学生，其中60%是男生，40%是女生。

现在要从这个班级中随机抽取10名学生，问至少有2名男生的概率是多少？对于这个问题，我们可以运用随机抽样的方法来解决。

首先，计算男生的数量是60的60%即36名，女生的数量是40的40%即64名。

然后，我们可以列出男生和女生的名单，将名字标上编号，然后使用随机数表或者随机数发生器来进行随机抽样，每次抽取到男生就记录下来。

重复这个过程10次，就得到了10名学生的随机抽样结果。

最后，我们统计抽样结果中男生数量大于等于2的情况，计算出这个概率。

抽样方法的应用不只限于高考数学，它在其他学科中也有广泛的应用。

例如，在生物学中，科学家们常常使用抽样方法来进行实验和观察。

他们从大自然中抽取一部分生物个体进行观察和研究，通过这些样本的特征和行为，推断出整个物种的特征和行为模式。

在社会学中，抽样方法也常被用来进行调查和实证研究。

社会学家通过对抽取出的个体或家庭进行问卷调查或深入访谈，来推断整个人群的意见和行为。

解决高中数学中的抽样问题的技巧与方法抽样是统计学中常用的一种数据收集方法，它通过从总体中选取一部分样本来推断总体的特征。

在高中数学中，抽样问题是一个重要的考察点，掌握解决抽样问题的技巧与方法，对于理解统计学的基本概念和应用具有重要意义。

本文将介绍一些解决高中数学中抽样问题的技巧与方法。

一、随机抽样一种常用的抽样方法是随机抽样。

随机抽样是指从总体中以随机的方式选取样本，以确保样本能够代表整体。

在解决高中数学中的抽样问题时，可以采用以下步骤进行随机抽样：1. 确定总体：首先确定要研究的总体，比如某个班级的学生。

2. 确定样本容量：根据总体的大小和研究的需要，确定所需的样本容量。

3. 编号：将总体中的每个个体按照一定的顺序进行编号，比如按照学号进行编号。

4. 使用随机数表或随机数发生器：使用随机数表或随机数发生器生成若干个随机数，个数与样本容量相同。

5. 抽样：按照生成的随机数，在总体中选取对应编号的个体作为样本。

二、系统抽样另一种常用的抽样方法是系统抽样。

系统抽样是指按照一定规则从总体中选取样本，以确保样本能够代表整体。

在解决高中数学中的抽样问题时，可以采用以下步骤进行系统抽样：1. 确定总体：同样需要确定要研究的总体。

2. 确定样本容量：根据总体的大小和研究的需要，确定所需的样本容量。

3. 编号：将总体中的每个个体按照一定的顺序进行编号。

4. 计算抽样间隔：通过总体大小除以样本容量，得到抽样间隔。

5. 随机选择一个起始个体：使用随机数表或随机数发生器生成一个随机数，作为起始个体的编号。

6. 抽样：从起始个体开始，按照抽样间隔选择样本。

例如，如果抽样间隔为3，则每次选择编号差为3的个体。

三、整群抽样在解决高中数学中的抽样问题时，有时候我们需要考察不同群体之间的差异，这时就可以采用整群抽样。

整群抽样是指将总体划分为若干个群体，然后随机选择若干个群体，再从每个被选中的群体中抽取样本。

整群抽样的步骤如下：1. 划分群体：将总体划分为若干个群体，确保每个群体内的个体具有相似的特征。

第14章统计14.1获取数据的基本途径及相关概念必备知识基础练1.2020年某省将实行新高考,考试及录取发生了很大的变化.为了报考理想的大学,王同学需要获取近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据,他获取这些数据的途径最好是()A.通过调查获取数据B.通过试验获取数据C.通过观察获取数据D.通过查询获取数据,所以王同学获取这些数据的途径最好是通过查询获取数据.2.为了了解某年级同学每天参加体育锻炼的时间,比较恰当的收集数据的方法是()A.查阅资料B.问卷调查C.做试验D.以上均不对——查资料、做试验和做调查;接下来根据人数的多少以及调查的目的进行选择.问卷调查能达到目的,比较适合.3.下面问题可以用普查的方式进行调查的是()A.检验一批钢材的抗拉强度B.检验海水中微生物的含量C.检验10件产品的质量D.检验一批汽车的使用寿命不能用普查的方式调查,因为这种试验具有破坏性;B用普查的方式无法完成;C可以用普查的方式进行调查;D中试验不能用普查的方式,因为试验具有破坏性,且需要耗费大量的时间,在实际生产中无法应用.4.下列调查所抽取的样本具有代表性的是()A.利用某地七月份的日平均最高气温值估计该地全年的日平均最高气温B.在农村调查市民的平均寿命C.利用一块实验水稻田的产量估计水稻的实际产量D.为了了解一批洗衣粉的质量情况,从仓库中任意抽取100袋进行检验选项中某地七月份的日平均最高气温值不能代表全年的日平均最高气温;B选项中在农村调查得到的平均寿命,不具代表性;C选项中利用一块实验水稻田的产量估计水稻的实际产量,不具代表性;D选项具有代表性.5.为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩,决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析,这个问题中样本容量是.,400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体,从8个班中每班抽取的12名学生的数学成绩是样本,400是总体个数,96是样本容量.6.下列试验适合用抽样调查方法获取数据的序号是.①考察一片草皮的平均高度;②检查某食品单位职工的身体状况;③考察参加某次考试的3万名考生的数学答题情况;④检验一个人的血液中白细胞的含量是否正常.该问题用普查的方法很难实现,适合用抽样调查的方法获取数据;②体检,必须了解每个职工的身体状况,不适合用抽样调查的方法获取数据;③3万名考生的答题情况用普查的方法获取数据不合适,适合用抽样调查的方法获取数据;④该问题只能用抽样调查的方法获取数据.7.为了准备高考听力考试,某校于高考前新进了45套听力设备.现需要检查这批听力设备的质量,是全部检查还是抽取部分检查?谈谈你的想法和理由.(采用普查).因为高考是一件非常严肃、责任重大的事件,高考讲究公平竞争,要求十分严格,所配设备必须全部合格,且这批设备数量较少,全部检查是可行的,这样可确保万无一失.关键能力提升练8.下列调查方案中,抽样方法合适、样本具有代表性的是()A.用一本书第1页的字数估计全书的字数B.为调查某校学生对航天科技知识的了解程度,上学期间,在该校门口,每隔2分钟随机调查一位学生C.在省内选取一所城市中学、一所农村中学,向每个学生发一张卡片,上面印有一些名人的名字,要求每个学生只能在其中一个名字下面画“√”,以了解全省中学生最崇拜的人物是谁D.为了调查我国小学生的健康状况,共抽取了100名小学生进行调查中,样本缺少代表性(第1页的字数一般较少);B中,抽样保证了随机性原则,样本具有代表性;C 中,城市中学与农村中学的规模往往不同,学生崇拜的人物也未必在所列的名单之中,这些都会影响数据的代表性;D中,总体数量很大,而样本容量太少,不足以体现总体特征.9.研究下列问题:①某城市元旦前后的气温;②某种新型电器元件使用寿命的测定;③电视台想知道某一个节目的收视率;④银行在收进储户现金时想知道有没有假钞.一般通过试验获取数据的是() A.①② B.③④ C.② D.④通过观察获取数据,③④通过调查获取数据,只有②通过试验获取数据.10.中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶,“二十四节气”歌是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗,2016年11月30日,“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产,也被誉为“中国的第五大发明”.某小学三年级共有学生500名,随机抽查100名学生并提问“二十四节气”歌,只能说出两句的有45人,能说出三句及其以上的有32人,据此估计该校三年级的500名学生中,对“二十四节气”歌只能说出一句或一句也说不出的大约有()A.69人B.84人C.108人D.115人,抽查的100人中只能说出一句,或一句也说不出的同学有100-45-32=23(人),故只能说出一句或一句也说不出的学生占的比例为23,故只能说出一句或一句也说不出的学生共有100=115(人),故选D.500×2310011.(多选)下列调查中,适宜采用抽样调查的是()A.调查某市中小学生每天的运动时间B.某幼儿园中有位小朋友得了某种传染病,对此幼儿园中的小朋友进行检查C.农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量D.调查某快餐店中8位店员的生活质量情况B中要对所有小朋友进行检查,所以用普查的方式;D中共8名店员,可采用普查的方式;A,C 中总体容量大,难以做到普查,故采用抽样调查的方式.故选AC.12.为制订本市七、八、九年级学生校服的生产计划,有关部门准备对180名初中男生的身高做调查,现有三种调查方案:(1)测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高;(2)网上查阅有关我国其他地市180名男生身高的统计资料;(3)按本市七、八、九年级学生数目的比例分别从三个年级共抽取180名男生调查其身高.为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的,则上述调查方案不合理的是,合理的是.(填序号)(3),因此不能用测量的结果去估计总体的结果,故方案(1)不合理;外地学生的身高也不能准确地反映本地学生身高的实际情况,故方案(2)不合理;由于初中三个年级的男生身高是不同的,所以应该用按比例分别抽取的方法从初中三个年级抽取180名男生调查其身高,方案(3)合理.13.在一次竞选中,规定一个人获胜的条件是:(1)在竞选中得票最多;(2)得票数不低于总票数的一半.如果在计票时,周鹏得票数据丢失如表所示.请问:如果周鹏获胜,那么周鹏的得票数x的最小值为.,如果周鹏获胜,周鹏的得票数x不低于总票数的一半,即x300+100+30+60+x ≥12,解得x≥490,且票数最多,x∈N,即周鹏得票数最小值为490票.14.给出下列调查:①考察一片经济林中树木的平均直径;②开学前,某市对全体高三教师和学生进行血清抗体检测;③省教育机构调查参加高考模拟考试的60万名考生的英语答题情况;④某市委书记用一上午时间随机到全市高中学校检查高三开学情况.适合用抽样调查方法获取数据的是(填序号).该问题用普查的方法很难实现,适合用抽样调查的方法获取数据;②检测血清抗体必须要知道每一位老师和学生是否正常,不能用抽样调查的方法获取数据;③60万名考生的答题情况用普查的方法获取数据不合适,适合用抽样调查的方法获取数据;④一上午时间,市委书记无法检查到全市每一所高中学校,该问题只能用抽样调查的方法获取数据.学科素养创新练15.某年秋季,某连锁服装店进行了一项关于当年秋季服装流行色的民意调查,调查者通过向顾客发放饮料,并让顾客通过挑选饮料瓶的颜色来对自己喜欢的服装颜色“投票”.这次调查结果显示,某大城市服装颜色的众数(大多数人的选择)为红色,而当年全国服装协会发布的秋季服装流行色是咖啡色.这个结果是否意味着该城市的人比其他城市的人较少倾向于选择咖啡色?你认为这两种调查结果的差异是由什么引起的?,由于光顾这家连锁店的人是一种比较容易得到的样本,不一定能代表该城市其他人的想法.而该城市的调查结果来自于该城市光顾这家连锁店的人,这个样本也不能很好地代表全国民众的观点,从而带来了调查结果的差异.。

获取数据的基本途径及随机抽样1．下面的抽样方法为简单随机抽样的是( )A ．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B ．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C ．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D ．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验解析：A ，B 选项中为系统抽样，C 为分层抽样．答案：D2．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是 ( )A.110，110B.310，15C.15，310D.310，310解析：在抽样过程中，个体a 每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110，故选A. 答案：A3．(一题多解)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．250 解析：法一 由题意可得70n －70＝3 5001 500，解得n ＝100. 法二 由题意，抽样比为703 500＝150，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n ＝5 000×150＝100.答案：A4．(2020·青岛二中质检)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：3221 1834 2978 6454 0732 5242 0644 3812 2343 5677 3578 9056 42(第4行)8442 1253 3134 5786 0736 2530 0732 8623 4578 8907 2368 9608 04(第5行)3256 7808 4367 8953 5577 3489 9483 7522 5355 7832 4577 8923 45(第6行)若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号为( )A ．522B ．324C ．535D ．578解析：由题意知前6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578. 答案：D5．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2＜p 3B ．p 2＝p 3＜p 1C ．p 1＝p 3＜p 2D ．p 1＝p 2＝p 3解析：由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p 1＝p 2＝p 3. 答案：D6．将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000，001，002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000，001，002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个样本编号为 ( )A ．700B ．669C ．695D ．676解析：由题意可知，第一组随机抽取的编号为015，分段间隔数k ＝N n ＝1 00050＝20，由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个样本编号为15＋(35－1)×20＝695.答案：C7．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称“驾驶员”)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012解析：甲社区每个个体被抽到的概率为1296＝18，样本容量为12＋21＋25＋43＝101，所以四个社区中驾驶员的总人数N ＝10118＝808. 答案：B8．(2020·河南省示范性高中联考)某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2 400名学生中抽取30人进行调查．现将2 400名学生随机地从1～2 400编号，按编号顺序平均分成30组(1～80号，81～160号，…，2 321～2 400号)，若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是( )A ．416B ．432C ．448D ．464解析：设第n 组抽到的号码是a n ，则{a n }构成以80为公差的等差数列，所以a 3＝a 1＋80×2＝160＋a 1，a 4＝a 1＋240.则a 3＋a 4＝2a 1＋400＝432，解得a 1＝16，故第6组抽取的号码a 6＝16＋5×80＝416.答案：A9．(2019·潍坊联合调研)为检验某校高一年级学生的身高情况，现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法，抽取一个容量为210的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.3，且男女生的比是4∶3，则该校高一年级女生的人数是________．解析：抽取的高一年级女生的人数为210×37＝90，则该校高一年级女生的人数为90÷0.3＝300，故答案为300.答案：30010．为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是________号．解析：由系统抽样的原理知，抽样的间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7，7＋13，7＋13×2，7＋13×3，即7号，20号，33号，46号．所以样本中还有一位同学的编号为20号．答案：2011．某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________．解析：系统抽样的抽取间隔为305＝6. 设抽到的最小编号为x ，则x ＋(6＋x )＋(12＋x )＋(18＋x )＋(24＋x )＝75，所以x ＝3.答案：312．一支田径队有男运动员56人，女运动员m 人，用分层抽样抽出一个容量为n 的样本，在这个样本中随机取一个当队长的概率为128，且样本中的男队员比女队员多4人，则m ＝________．解析：由题意知n ＝28，设样本中有男队员x 人，女队员有y 人．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝28，x －y ＝4，56m ＝x y.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝12，m ＝42. 答案：4213．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：抽样间隔为k ＝357＝5. 因此将编号1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据．又因在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人． 答案：B14．某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1 000C ．1 200D ．1 500 解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .所以a ＋b ＋c 3＝b .所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的13.根据分层抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的13，即为13×3 600＝1 200. 答案：C15．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别A B C 产品数量/件 1 300样本容量/件 130A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是________件．解析：设样本容量为x ，则x 3 000×1 300＝130， 所以x ＝300.所以A 产品和C 产品在样本中共有300－130＝170(件)．设C 产品的样本容量为y ，则y ＋y ＋10＝170，所以y ＝80.所以C 产品的数量为3 000300×80＝800(件)． 答案：80016.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5，6～10，…，196～200，若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．解析：将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件得，200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x 人，则40200＝x 100，解得x ＝20. 答案：37 20。