数学八年级下册《 公式法》省优质课一等奖教案

《公式法》教案教学目标一、知识与技能了解平方差公式、完全平方公式的特点，掌握平方差公式与完全平方公式的结构特征，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式将多项式因式分解.二、过程与方法培养学生的观察和联想能力，进一步了解换元的思想方法，通类比的方法，运用平方差公式与完全平方公式因式分解.三、情感态度和价值观积极参加探索活动，并在此过程中培养自己勇于挑战的勇气和战胜困难的自信心.教学重点：正确熟练地运用平方差公式与完全平方公式因式分解.教学难点：把多项式进行适当的变形，灵活运用平方差公式与完全平方公式因式分解. 教学过程：一、导入新课提出问题：1. 多项式的分解因式的概念：2. 公因式的含义、提公因式法分解因式；3. 分解因式与整式乘法关系：4.整式的乘法公式有哪些?学生回忆回答上述问题.前面我们学习了用提取公因式法因式分解，这节课我们学习另外一种方法---公式法因式分解.二、新课学习（一）探究用平方差公式因式分解1、想一想（1）观察多项式x2-25 和9x2-y2，它们有什么共同特征？（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积.师生共同分析：多项式x2-25和9x2-y2都可以写成两个式子的平方差的形式：x2-25=x2-52，9x2-y2 =(3x)2-y2把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到a2-b2=(a+b)(a-b)，于是有：x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)；9x2-y2 =(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).2、归纳总结：(a+b)(a-b)=a²-b²a²-b² = (a+b)(a-b)（整式乘法）（因式分解）特点：(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（）２－（）２的形式.(2) 公式右边：（是分解因式的结果）★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.3、学以致用例1、把下列各式分解因式：（1）25-16x2（2）9a2- b2分析：先确定a与b学生根据分析，自主完成解题过程解：（1）25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x).（2）9a2- b2=(3a)2-(b)2=(3a+b)(3a-b)例2 把下列各式分解因式：（1）9(m+n)2-(m-n)2 （2）2x3-8x分析：（1）把括号看作一个整体；（2）先提出这个公因式学生根据分析，自主完成解题过程解：（1）9(m+n)2-(m-n)2=[3(m+n)]2-(m-n)2=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n)（2）2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-22)=2x(x+2)(x-2)归纳：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.（二）探究完全平方公式因式分解1、把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就得到：（整式乘法）a2+2ab+b2 = (a+b)2，a2-2ab+b2 = (a-b)2（因式分解）形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.2、归纳：（1）完全平方式的特点：“头”平方, “尾”平方, “头”“尾”两倍中间放.（2）公式法定义：由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.3、学以致用例3、把下列完全平方式分解因式：(1)x2+14x+49；(2) (m+n)2-6(m+n)+9.分析：找到完全平方式中的“头”和“尾”，确定中间项的符号。

《因式分解》教学设计4.3公式法（一）一、教材依据北师大版八年级数学下册第四章因式分解3.公式法（一）平方差公式二、设计思路1、从教材的地位与作用看：（1）本节课的主要内容是运用平方差公式进行因式分解。

（2）它是在学生学习了整式乘法和乘法公式以及实数的基础上，学习了提取公因式法分解因式的基础上，运用逆向思维把平方差公式逆过来，应用到特殊两项式的因式分解上。

（3）是对因式分解中出现的特殊两项式的归纳总结。

从一般到特殊的认识过程的范例。

（4）它在应用过程中的几种特殊形式是培养学生探索、合作、观察、分析和创新能力，以及深化逆向思维能力，数学应用意识和整体思想的很好载体。

2、从学生学习过程的角度看（1）学生七年级下半年学习了整式乘法和乘法公式，八年级上学期学习了实数。

具备了学习用平方差公式进行特殊两项式的因式分解的知识结构。

（2）由于学生初次学习用公式法因式分解，认清公式的结构和符号特征是难点，因此不宜延伸拔高太大（比如：公式中的字母a、b为复杂三项式、多次幂、以及无理数等），以防干扰学生的正常思维，造成对平方差公式因式分解的错误认识。

不能急于求成一步到位，指望把所有问题都在这一节课里解决。

要遵循循序渐进的原则，拔高内容可以作为有余力学生的研究题目。

（3）学生本课学习过程中出现的错误，迸发出的思维火花，情感等都是本节课较好的教学资源。

3、从学法和教法的角度看（1）本节课的教学方法涉及思路是要改变长期以来主宰课堂的“以教师讲为中心”的教法为“以学生的学为中心”的教学法，主要体现以学生自主、合作、探究为主的教学思想。

让学生真正成为课堂的主人。

（2）把竞争机制引入课堂，调动学生学习的积极性。

以小组为单位回答问题，做题都累计加分，开展竞赛活动，调动学生的积极性。

（3）让学生在亲自体验知识的发生发展过程中去学习知识。

掌握知识、从而达到不仅知其然还要知其所以然。

避免学生死记硬背套公式，一问“为什么这样做？”便不知所措。

3公式法经历平方差公式,完全平方公式逆向运算的推导过程,使学生理解用公式法因式分解的意义,掌握每个公式的特点,使学生熟练地运用公式法将多项式进行因式分解.熟练掌握各个乘法公式的模式.观察多项式的项数,是二项的,有可能可用平方差公式;是三项的,则有可能可用完全平方公式,并且要正确确定公式中的项.培养学生分析问题的能力,这种能力实质上是一种特殊技巧,需要通过学生自己的实践来获得.【重点】掌握因式分解的三个公式的特点,牢固地记住这些公式.【难点】根据要分解的多项式的形式和特点,熟练地运用公式进行因式分解.第课时1.理解平方差公式的本质:结构的不变性,字母的可变性.2.会用平方差公式进行因式分解.3.使学生了解提公因式法是因式分解首先考虑的方法,再考虑用公式法分解.经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,渗透数学的互逆、换元、整体的思想,感受数学知识的完整性.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到数学的价值.【重点】掌握运用平方差公式分解因式的方法.【难点】用平方差公式分解因式;培养学生多步骤分解因式的能力.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习有关提公因式法分解因式的知识.导入一:【问题】填空.(1)(x+5)(x-5)=;(2)(3x+y)(3x-y)=;(3)(3m+2n)(3m-2n)=.它们的结果有什么共同特征?尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:(1)x2-25=;(2)9x2-y2=;(3)9m2-4n2=.[设计意图]学生通过观察、对比,把整式乘法中的平方差公式进行逆向应用,发展学生的观察能力与逆向思维能力.导入二:在前两节课中我们学习了因式分解的定义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项不都含有相同的因式,是否就不能分解因式了呢?当然不是,只要我们记住因式分解是整式乘法的逆过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本节课我们就来学习另外一种因式分解的方法——公式法.[设计意图]复习之前学过的知识后,提出疑问,直接引入新课,开门见山,激发学生的学习兴趣.一、用平方差公式分解因式请看乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. (1)左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是:a2-b2=(a+b)(a-b). (2)左边是一个多项式,右边是整式的乘积.大家判断一下,第二个式子从左边到右边是否为因式分解?符合因式分解的定义,因此是因式分解.等式(1)是整式乘法中的平方差公式,等式(2)可以看做是因式分解中的平方差公式.a2-b2是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差的形式,那么就可以用平方差公式分解因式,将多项式分解成两个整式的和与差的积.如:x2-16=x2-42=(x+4)(x-4);9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)·(3m-2n).[设计意图]让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征,并能利用相关结论进行实例练习.二、例题讲解(教材例1)把下列各式因式分解:(1)25-16x2;(2)9a2-b2.解:(1)25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x).(2)9a2-b2=(3a)2-=3a+b·3a-b.(教材例2)把下列各式因式分解:(1)9(m+n)2-(m-n)2;(2)2x3-8x.解:(1)9(m+n)2-(m-n)2=[3(m+n)]2-(m-n)2=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n).(2)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2).说明:教材例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方,利用平方差公式分解因式;教材例2的(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差,然后用平方差公式分解因式,教材例2的(2)是先提取公因式,然后再用平方差公式分解因式,由此可知,当一个题中既要用提公因式法,又要用公式法分解因式时,首先要考虑提公因式法,再考虑公式法.[设计意图]教师讲解例题,明确思维方法,给出书写范例.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).我们已学习过的因式分解的方法有提公因式法和平方差公式法.如果多项式各项含有公因式,那么第一步是提公因式,然后看是否符合平方差公式的结构特点,若符合则继续进行.分解因式以后,若所含的多项式还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式都不能分解为止.1.下列因式分解正确的是 ()A.x2+y2=(x+y)(x-y)B.x2-y2=(x+y)(x-y)C.x2+y2=(x+y)2D.x2-y2=(x-y)2解析:x2+y2不能在有理数范围内因式分解,x2-y2=(x+y)(x-y).故选B.2.分解因式:a3-4a=.解析:a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2).故填a(a+2)(a-2).3.(恩施中考)因式分解:9bx2y-by3=.解析:原式=by(9x2-y2)=by(3x+y)(3x-y).故填by(3x+y)(3x-y).4.已知x2-y2=69,x+y=3,则x-y=.解析:因为x2-y2=69,所以(x+y)(x-y)=69,因为x+y=3,所以3(x-y)=69,所以x-y=23.故填23.5.分解因式:(3a-2b)2-(2a+3b)2.解:(3a-2b)2-(2a+3b)2=[(3a-2b)+(2a+3b)][(3a-2b)-(2a+3b)]=(3a-2b+2a+3b)(3a-2b-2a-3b)=(5a+b)(a-5b).第1课时一、用平方差公式分解因式二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第100页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第100页习题4.4的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是 ()A.4x2+y2B.-a2+81C.-25m2-n2D.p2-2p+12.一个多项式分解因式的结果是(b3+2)(2-b3),那么这个多项式是 ()A.b2-4B.4-b6C.b6+4D.4-b93.(孝感中考)分解因式:(a-b)2-4b2=.4.(鄂州中考)分解因式:a3b-4ab=.【能力提升】5.在括号内填上适当的因式.(1)36-9x2=9()();(2)16a2-1=()().【拓展探究】6.把下列各式分解因式:(1)4x2-25y2; (2)x2y-y;(3)4x2-(y-z)2; (4)(x+2)2-9.【答案与解析】1.B2.B(解析:这个多项式是22-(b3)2=4-b6.故选B.)3.(a+b)(a-3b)(解析:原式=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b).故填(a+b)(a-3b).)4.ab(a+2)(a-2)(解析:原式=ab(a2-4)=ab(a+2)(a-2).故填ab(a+2)(a-2).)5.(1)2+x 2-x (2)4a+14a-16.解:(1)4x2-25y2=(2x+5y)(2x-5y).(2)x2y-y=y(x2-1)=y(x+1)(x-1).(3)4x2-(y-z)2=(2x)2-(y-z)2=(2x+y-z)(2x-y+z).(4)(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1).本节课的教学设计借助学生已有的整式乘法运算的基础,给学生留有充分探索与交流的时间和空间,让他们经历从整式乘法到因式分解的转换过程,并能用符号合理地表示出分解因式的关系式,同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.课堂中的布局有待提高,以后应最大限度地发挥学生的主体作用.部分例题可以交给学生独立完成,不能完全由老师来操办.有意识地培养学生逆向思考问题的习惯,不仅对提高解题能力有益,更重要的是可以改善学生学习数学的思维方式,有助于形成良好的思维习惯,激发学生的创新开拓精神,培养良好的思维习惯,提高学习效果、学习兴趣及思维能力和整体素质.随堂练习(教材第100页)1.(1)✕(2)√(3)✕(4)✕2.解:(1)原式=(ab+m)(ab-m).(2)原式=[(m-a)+(n+b)][(m-a)-(n+b)]=(m-a+n+b)(m-a-n-b).(3)原式=[x+(a+b-c)][x-(a+b-c)]=(x+a+b-c)(x-a-b+c).(4)原式=81y4-16x4=(9y2)2-(4x2)2=(9y2+4x2)(9y2-4x2)=(9y2+4x2)(3y+2x)·(3y-2x).3.解:剪去前正方形的面积为a2 cm2,剪掉的4个小正方形的面积和为4b2 cm2,所以剩余部分的面积为a2-4b2=(a+2b)(a-2b)(cm2).当a=3.6,b=0.8时,剩余部分的面积为(3.6+2×0.8)(3.6-2×0.8)=10.4(cm2).习题4.4(教材第100页)1.解:(1)原式=(a+9)(a-9). (2)原式=(6+x)·(6-x). (3)原式=(1+4b)(1-4b).(4)原式=(m+3n)(m-3n).(5)原式=(0.5q+11p)·(0.5q-11p).(6)原式=(13x+2y)(13x-2y). (7)原式=(3ap+bq)(3ap-bq). (8)原式=. 2.解:(1)(m+n)2-n2=(m+n+n)(m+n-n)=m·(m+2n).(2)49(a-b)2-16(a+b)2=[7(a-b)]2-[4(a+b)]2=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)]=(7a-7b+4a+4b)(7a-7b-4a-4b)=(11a-3b)(3a-11b).(3)(2x+y)2-(x+2y)2=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)]=(3x+3y)(x-y)=3(x+y)(x-y).(4)(x2+y2)2-x2y2=(x2+y2+xy)(x2+y2-xy).(5)3ax2-3ay4=3a(x2-y4)=3a(x+y2)·(x-y2).(6)p4-1=(p2+1)(p2-1)=(p2+1)(p+1)(p-1).3.解:S环形=πR2-πr2=π(R2-r2)=π(R+r)(R-r).当R=8.45,r=3.45,π取3.14时,S环形≈3.14×(8.45+3.45)×(8.45-3.45)=3.14×11.9×5=186.83(cm2).答:它们所围成的环形的面积为186.83 cm2.学生在上几节课的基础上,已经基本了解了整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系,在七年级的整式乘法运算的学习过程中,学生已经学习了平方差公式,这为今天的学习提供了必要的基础.学生对类比思想,数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础,本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法,学生有较好的活动经验.是否存在一个满足下列条件的正整数,当它加上98时是一个完全平方数,当它加上121时是另一个完全平方数?若存在,请求出该数;若不存在,请说明理由.解:假设存在这样的正整数m,则由题意得②-①得y2-x2=23.所以(y+x)(y-x)=23.则有四种情况:解得所以m=x2-98=121-98=23.第课时1.使学生了解运用公式法分解因式的意义.2.会用公式法(直接用公式不超过两次)分解因式(字母指数是正整数).3.使学生清楚地知道提公因式法是因式分解首先考虑的方法,然后再考虑用平方差公式或完全平方公式进行因式分解.经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用完全平方公式分解因式的方法的过程,发展学生的逆向思维和推理能力.1.通过与因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想.2.通过对公因式是多项式时的因式分解的教学,培养“换元”的意识.【重点】掌握多步骤、多方法分解因式的过程.【难点】学会观察多项式的特点,恰当地安排步骤,恰当地选用不同方法分解因式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习有关完全平方公式的知识.导入一:因式分解是整式乘法的逆过程,逆用乘法公式,我们找到了因式分解的两种方法:提公因式法、运用平方差公式法.还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢?在前面我们不仅学习了平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,而且还学习了完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.本节课,我们就要学习用完全平方公式分解因式.由因式分解和整式乘法的关系,大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢?将完全平方公式倒写:a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.由此便得到用完全平方公式分解因式的公式.[设计意图]回顾完全平方公式,直入主题,将完全平方公式倒置得到新的分解因式的方法.导入二:1.什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提公因式法及运用平方差公式法.2.把下列各式分解因式:(1)ax4-ax2 ;(2)16m4-n4.解:(1)ax4-ax2=ax2(x2-1)=ax2(x+1)(x-1).(2)16m4-n4=(4m2)2-(n2)2=(4m2+n2)(4m2-n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m-n).3.我们学过的乘法公式除了平方差公式之外,还有哪些公式?解:有完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.[设计意图]通过复习以前学过的知识自然地导入用完全平方公式分解因式.一、用完全平方公式分解因式和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样,把完全平方公式反过来,就得到:a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.从上面的式子来看,两个等式的左边都是三项,其中两项符号为“+”,是一个整式的平方,还有一项符号可“+”可“-”,它是那两个整式乘积的2倍.凡具备这些特点的三项式,就是一个二项式的完全平方,将它写成平方形式,便实现了因式分解.上面式子左边的特点:(1)多项式是三项式;(2)其中有两项同号,且这两项能写成数或式的平方的形式;(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.上面式子右边的特点:这两数或两式和(或差)的平方.用语言叙述为:两个数的平方和,加上(或减去)这两数的乘积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.由因式分解与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式因式分解,这种因式分解的方法叫做公式法.[设计意图]加深学生对完全平方式特征的理解,为后面的因式分解做铺垫.二、例题讲解(教材例3)把下列完全平方式因式分解:(1)x2+14x+49;(2)(m+n)2-6(m+n)+9.〔解析〕首先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式,然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式.解:(1)x2+14x+49=x2+2×7x+72=(x+7)2.(2)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n)2-2×(m+n)×3+32=[(m+n)-3]2=(m+n-3)2.(教材例4)把下列各式因式分解:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)-x2-4y2+4xy.〔解析〕对一个三项式,首先要仔细观察它是否有公因式,若有公因式,则应先提取公因式,再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方,但符号不是“+”号时,可以先提取“-”号,然后再用完全平方公式分解因式.解:(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.(2)-x2-4y2+4xy=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2.[设计意图]培养学生对完全平方公式的应用能力,让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式,也可以表示多项式.运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是:(1)首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式,如果这个多项式是一个完全平方式,那么再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式进行适当变形,得到一个完全平方式,然后再把它因式分解.(2)在选用完全平方公式分解因式时,关键是看多项式中的第二项的符号,若是正号,则用公式a2+2ab+b2=(a+b)2;若是负号,则用公式a2-2ab+b2=(a-b)2.1.下列各式是完全平方式的是()A.16x2-4xy+y2B.m2+mn+n2C.9a2-24ab+16b2D.c2+2cd+d2答案:C2.把多项式3x3-6x2y+3xy2因式分解结果正确的是()A.x(3x+y)(x-3y)B.3x(x2-2xy+y2)C.x(3x-y)2D.3x(x-y)2解析:多项式提取公因式后,利用完全平方公式分解即可.故选D.3.下列多项式:①x2+xy-y2;②-x2+2xy-y2;③xy+x2+y2;④1-x+.其中能用完全平方公式分解因式的是()A.①②B.①③C.①④D.②④答案:D4.若a+b=3,则2a2+4ab+2b2的值为.解析:∵a+b=3,∴2a2+4ab+2b2=2(a+b)2=2×32=18.故填18.5.(温州中考)分解因式:a2-2a+1=.解析:a2-2a+1=a2-2·a·1+12=(a-1)2.故填(a-1)2.6.分解因式:(1)a2+8a+16; (2)1-4t+4t2.解:(1)(a+4)2.(2)(1-2t)2.第2课时一、用完全平方公式分解因式二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第102页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第103页习题4.5的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.把下列各式因式分解:(1)25m2-80m+64; (2)4a2+36a+81;(3)4p2-20pq+25q2; (4)16-8xy+x2y2.【能力提升】2.把下列各式因式分解:(1)a2b2-4ab+4;(2)a4-8a2b2+16b4.【拓展探究】3.把下列各式因式分解:(1)m2n-2m n+1;(2)7a m+1-14a m+7a m-1.【答案与解析】1.解:(1)25m2-80m+64=(5m-8)2.(2)4a2+36a+81=(2a+9)2.(3)4p2-20pq+25q2=(2p-5q)2. (4)16-8xy+x2y2=(4-xy)2.2.解:(1)a2b2-4ab+4=(ab-2)2.(2)a 4-8a 2b 2+16b 4=(a 2-4b 2)2=[(a +2b )(a -2b )]2=(a +2b )2(a -2b )2.3.解:(1)m 2n -2m n +1=(m n -1)2. (2)7a m +1-14a m +7a m -1=7a m -1(a 2-2a +1)=7a m -1(a -1)2.本节课的设计尽量做到了平实无华,将新知教学层层深入,并进行了适当的巩固练习,每一个环节都让学生不感觉吃力,同时在例题讲解过程中注意了题型的变化,引导学生暴露出学习中的问题,这样易于激发学生学习的兴趣,使学生的思维不断被拓展,从而达到强化所学知识和提高能力的目的.运算类型的课往往比较枯燥,学生容易产生浮躁的心理,不利于知识的掌握与运算能力的提高.在教学过程中,要有意识地引导学生再熟悉乘法公式的来历以及乘法公式的结构,多注意培养学生认真观察的良好习惯.随堂练习(教材第102页) 1.解:(1)(3)是完全平方式.(1)x 2-x +=,(3)m 2+3mn +9n 2=.2.提示:(1)(x -6y )2. (2)(4a 2+3b 2)2. (3)-(x +y )2. (4)(2-3x +3y )2. 习题4.5(教材第103页)1.提示:(1)(xy -1)2. (2)(3-2t )2. (3)或(2y +1)2. (4)(5m -8)2.(5). (6)(ab -2)2.2.解:(1)(x +y )2+6(x +y )+9=[(x +y )+3]2=(x +y +3)2.(2)a 2-2a (b +c )+(b +c )2=[a -(b +c )]2=(a -b -c )2.(3)4xy2-4x2y-y3=y(4xy-4x2-y2)=-y·(4x2-4xy+y2)=-y(2x-y)2.(4)-a+2a2-a3=-(a-2a2+a3)=-a(1-2a+a2)=-a(1-a)2.3.解:答案不唯一,如2x,-2x,x4.4.解:能.设这两个连续奇数为2n-1和2n+1(n是整数),则(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1-2n+1)·(2n+1+2n-1)=2×4n=8n.因为n是整数,所以两个连续奇数的平方差能被8整除.复习题(教材第104页)1.提示:(1)7(x+3)(x-3).(2)a(a+1)(a-1). (3)3(a+b)(a-b).(4)-(3x+4y)(3x+2y). (5)(x-y)(a+b+c).(6)(m+n)(x-y+1).(7)(5x-3y)(5y-3x). (8)(a-b)3(a+b). (9)4x(y+z). (10)(x+y-7)2.2.提示:(1)(ab+0.1)(ab-0.1).(2)y(x-y)2. (3)(4+2a+3b)(4-2a-3b).(4)(a+2)2(a-2)2.(5).(6)(ax+8)2.(7)(a+2b)2(a-2b)2.(8)(3+a+b)2.3.解:(1)原式=(3x+2y)2.∵x=,y=-,∴原式=3×+2×2=32=9. (2)原式=+-=ab.∵a=-,b=2,∴原式=-×2=-.4.解:(1)原式=2x+2或(2x+1)2. (2)原式=x2+3x+2+=x2+3x+=x+2.5.解:∵257-512=52×7-52×6=(57+56)×(57-56)=56×6×56×4=120×511,∴257-512能被120整除.6.解:∵x+y=1,∴x2+xy+y2=(x2+2xy+y2)=(x+y)2=×12=.7.解:(1)原式=32013(3-1)=2×32013.(2)原式=(-2)100×[(-2)+1]+299=2100×(-1)+299=299×[(-2)+1]=-299.8.解:需要混凝土的体积为πl-πl=πl·≈3.14×300×+×=3.14×300×60×15=847800(cm3),847800 cm3≈0.85 m3.大约需0.85 m3混凝土.9.解:∵正方形的面积是9x2+6xy+y2(x>0,y>0),9x2+6xy+y2=(3x+y)2,∴正方形的边长的代数式为3x+y.10.解:∵x2+2x+1=(x+1)2≥0,∴当x=-1时,多项式x2+2x+1可以取最小值,最小值为0.11.解:设正方形Ⅰ的边长为x cm,正方形Ⅱ的边长为y cm.依题意,得方程组化简为解此方程组得x=32,y=8.所以正方形Ⅰ的边长为32 cm,正方形Ⅱ的边长为8 cm.12.解:△ABC是等腰三角形.理由如下:∵a2-b2+ac-bc=(a+b)(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+b+c)=0,a+b+c≠0,∴a-b=0,即a=b,∴△ABC是等腰三角形.13.解:∵要使100x2-kxy+49y2是一个完全平方式,也就是要使(10x)2-kxy+(7y)2是一个完全平方式,∴-kxy=2·10x·7y或-kxy=-2·10x·7y,∴k=±140.14.解:248-1=(224)2-1=(224+1)(224-1)=(224+1)(212+1)(212-1)=(224+1)(212+1)·(26+1)( 26-1)=(224+1)(212+1)(26+1)(23+1)·(23-1).其中(26+1)=65,(26-1)=63.因此这两个数是65,63.15.(1)(2)(3)原式=.学生在七年级下册第一章中已经学习过完全平方公式,将其逆用就是本节课所涉及的主要知识.对于公式逆用,学生已经不是第一次接触了,在上一节课中学生已经经历过将平方差公式逆用的过程,应该说是比较熟悉的.通过上节课的学习,学生积累了一定的学习经验.本节课的学习模式与上节课基本相同:公式逆用,分析公式的结构特征,整体换元进行因式分解,同时要求分解彻底.这些活动采用的方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法,学生有较好的活动经验.分解因式:4a2b2-(a2+b2-c2)2.解:原式=(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)=[(a+b)2-c2][c2-(a+b)2]=(a+b+c)(a+b-c)(c+a+b)(c-a-b)=-(a+b+c)2(a+b-c)2.易错点对分解因式的方法掌握得不够彻底分解因式:36x2-36x+9.错解:36x2-36x+9=(6x-3)2.错因分析:分解时没有首先考虑提取公因式,导致分解不彻底.正解:36x2-36x+9=9(4x2-4x+1)=9(2x-1)2.分解因式:9a2-4b2.错解:9a2-4b2=(3a-2b)2.错因分析:将平方差公式与完全平方公式混为一谈,从而出现张冠李戴的现象.正解:9a2-4b2=(3a+2b)(3a-2b).分解因式:-3m2n+6mn-3n.错解:-3m2n+6mn-3n=3n(-m2+2m-1).错因分析:首项中的负号没有提出,造成分解不彻底.正解:-3m2n+6mn-3n=-3n(m2-2m+1)=-3n(m-1)2.分解因式:a2-ab+b2.错解:a2-ab+b2=a2-2ab+b2=(a-b)2.错因分析:将代数式的恒等变形与方程的同解变形混淆.正解:a2-ab+b2=(a2-2ab+b2)=(a-b)2.。

21.2.2 公式法教学过程设计教学反思[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。

本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。

教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。

由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。

学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。

通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。

24.1 圆 (第3课时)教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．O BAC重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：〔1〕我们把顶点在圆心的角叫圆心角．〔2〕在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知问题：如下图的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门，如下图的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言． 老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．〞 〔1〕设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如下图 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12∠AOC 〔2〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．〔3〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，OBACD而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的． 从〔1〕、〔2〕、〔3〕，我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD三、稳固练习1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展例2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin c C=2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin cC=2R ，即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2cR，因此，十清楚显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin aA同理可证：sin b B =2R ，sin cC =2R∴sin a A =sin b B =sin cC=2R五、归纳小结〔学生归纳，老师点评〕 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业1．教材P95 综合运用9、10、[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

3公式法第1课时一等奖创新教案4.3《公式法》第1课时一、教学目标1．经历通过整式乘法公式(a＋b)(a－b)= a2－b2 的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力。

2. 会用平方差公式分解因式。

二、教学重点及难点重点：运用平方差公式分解因式．难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式．正确判断因式分解的彻底性．三、教学用具多媒体课件四、教学过程【问题导入】如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法．问题1：请同学们观察多项式x2－25，9x2－y2，它们有什么共同的特征？讨论结果：因为多项式x2－25，9x2－y2，可分别化为x2－52和(3x)2－y2的形式，所以它们的共同特征是：都是两个数平方差的形式．问题2：尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流．讨论结果：多项式x2－25，9x2－y2的共同特征都是两项，且都是差的形式，各项都能写成平方的形式：x2－25＝x2－52＝(x＋5)(x－5)；9x2－y2＝(3x)2－y2＝(3x＋y)(3x－y)．事实上把乘法公式(a＋b)(a－b)= a2－b2反过来，就得到平方差公式a2－b2=(a＋b)(a－b)．设计意图：利用因式分解是多项式乘法的相反过程这种关系找到新的因式分解的方法．培养学生观察总结能力．【探究新知】1．平方差公式的再认识问题1：上面我们将一个具备一定特征的多项式进行了分解因式，这里的特征就是该多项式是两项差式，各项都能够写成平方形式．现在你能结合平方差公式具体谈谈它的用途吗？讨论结果：公式：从左向右用来处理特殊的整式乘法，而由右向左则用来处理特殊多项式的分解因式问题．由此可以又进一步体会到整式乘法与因式分解的互逆过程．问题2：你能给平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)一个直观的解释吗？讨论结果：如图1，在边长为a的大正方形左下角挖去一个边长为b的小正方形后剩下的图形面积为a2－b2；将图1中下方的阴影部分割补到上方阴影的右侧(如图2)，在图2中阴影的面积为(a＋b)(a －b)，所以有a2－b2＝(a＋b)(a－b)．图1 _ 图2设计意图：问题1是让学生进一步感知整式乘法与分解因式互为逆变形．问题2目的就是加深学生对平方差公式的记忆与理解．【典型例题】例1 把下列各式分解因式：（1）25－16x2；（2）9a2－b2．解：（1）25－16x2＝52－(4x)2＝(5＋4x)(5－4x)；（2）9a2－b2＝(3a)2－(b)2＝(3a＋b)(3a－b)．点评：本题是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，再利用平方差公式分解因式；在（1）中公式中的a指代5，b指代4x；在（2）中公式中的a指代3a，b指代b．例2 把下列各式分解因式：（1）9(m＋n)2－(m－n)2；（2）2x3－8x．解：（1）9(m＋n)2－(m－n)2＝[3(m＋n)]2－(m－n)2＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)＝(4m＋2n)(2m＋4n)＝4(2m＋n)(m＋2n)．（2）2x3－8x＝2x(x2－4)＝2x(x＋2)(x－2)．点评：本题的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后借助于整体方法使用平方差公式分解因式，公式中的a在这里指代的是3(m＋n)，b指代的是m－n；（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法．例3 判断下列分解因式是否正确．错误的加以改正．（1）(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2．（2）a4－1＝(a2)2－1＝(a2＋1)·(a2－1)．解：（1）不正确．本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果未对所给多项式进行因式分解，而是典型的整式乘法化简题，正确应为：(a＋b)2－c2＝(a＋b＋c)(a＋b－c)．（2）不正确．错误原因是因式分解不彻底，因为a2－1还能继续分解成(a＋1)(a－1)．正确解答应为a4－1＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．设计意图：例1是直接利用平方差公式分解因式，应让学生体会公式中的a，b在此问题中分别是什么．例2中的（1）进一步让学生理解平方差公式中的字母a，b不仅可以表示具体的数，而且可以表示其他代数式(注意使用整体方法进行教学)；问题2中的（2）要引导学生体会多项式中若含有公因式，就要先提取公因式，然后再进一步分解，直至不能分解为止．设置例3的目的是明确的，就是让学生明白分解因式的结果必须彻底．【课堂练习】1．判断下列因式分解的正误．（1）x2＋y2＝(x＋y)(x－y)；___ _________ ( )（2）x2－y2＝(x＋y)(x－y)；___ _________ ( )（3）－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)；____________ ( )（4）－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)．____________ ( )2．把下列各式因式分解．（1）a2b2－m2；（2）(m－a)2－(n＋b)2；（3）x2－(a＋b－c)2；（4）－16x4＋81y4．3．把下列各式分解因式．（1）36(x＋y)2－49(x－y)2；（2）(x－1)＋b2(1－x)；（3）(x2＋x＋1)2－1．设计意图：继续巩固新知识，熟练公式的应用．答案：1．解：（1）(×) （2）(√) （3）(×) （4）(×)2．解：（1）a2b2－m2＝(ab)2－m2＝(ab＋m)(ab－m)；（2）(m－a)2－(n＋b)2＝[(m－a)＋(n＋b)][(m－a)－(n＋b)] ＝(m－a＋n＋b)(m－a－n－b)；（3）x2－(a＋b－c)2＝[x＋(a＋b－c)][x－(a＋b－c)]＝(x＋a ＋b－c)(x－a－b＋c)；（4）－16x4＋81y4＝(9y2)2－(4x2)2＝(9y2＋4x2)(9y2－4x2) ＝(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)．3．解：（1）36(x＋y)2－49(x－y)2＝[6(x＋y)]2－[7(x－y)]2 ＝[6(x＋y)＋7(x－y)][6(x＋y)－7(x－y)]＝(6x＋6y＋7x－7y)(6x＋6y－7x＋7y)＝(13x－y)(13y－x)；（2）(x－1)＋b2(1－x)＝(x－1)－b2(x－1)＝(x－1)(1－b2)＝(x －1)(1＋b)(1－b)；（3）(x2＋x＋1)2－1＝(x2＋x＋1＋1)(x2＋x＋1－1)＝(x2＋x＋2)(x2＋x)＝x(x＋1)(x2＋x＋2)．【课堂小结】1．引导学生回顾总结本节你学习了哪些知识与方法，有哪些收获？我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止．2．师生共同归纳总结出分解因式的步骤：（1）观察．观察多项式的结构特征，明确下一步的方向．（2）提取公因式．有公因式的先提取出来，为下一步做好准备．（3）使用平方差公式继续分解．（4）分解因式的最终结果必须彻底．【板书设计】分解因式的步骤：（1）观察．（2）提取公因式．（3）使用平方差公式继续分解．（4）分解因式的最终结果必须彻底．。

课题 用公式法解一元二次方程教学目标：1、知识与技能：能用公式法解一元二次方程。

2、过程与方法：⑴对比一元一次方程方程ab=0a ≠0它的解是=-ab ，提出一元二次方程a 2bc=0a ≠0的解能否用a 、b 、c 来表示的设想，激发学生对新知的学习兴趣。

⑵在回忆前课运用直接开平方、配方法的基础上，引入公式法的学习。

⑶在理解一元二次方程求根公式推导过程中，使学生能体会配方的意义、完全平方公式、平方根的概念及二次根式的性质等数学思想和方法。

3、情感态度与价值观：⑴利用本节课教学，让学生感觉到公式法解一元二次方程比配方法方便，体会数学中化繁为简的思想，进一步培养他们学习探索新知的兴趣，提高解决问题能力。

⑵在公式的推导过程中，培养他们数学推理的严密性和严谨性，以及求简意识和创新精神，渗透分类讨论和转化的数学思想方法。

教学重点：公式法解一元二次方程。

教学难点：推导一元二次方程的求根公式。

教学过程：一、复习前知：请学生板演练习题：用直接开平方法解方程：⑴2-36=0 ⑵12=3用配方法解方程：⑴26-7=0 ⑵22-51=0点评：⑴开平方的条件；⑵ 配方法的一般步骤。

二、引导探究：对比一元一次方程ab=0a ≠0它的解是=-ab ，可用a 、b 表示，那么一元二次方程a 2bc=0a ≠0的解能否用a 、b 、c 来表示呢如： 解方程：a 2bc=0a ≠0试用配方法来分析：因为a ≠0二次项系数化为1 2a b ac =0 配方得 22·a b 2a b 22a c -ab 22=0ab 222244a b ac -=0 移项得 ab 22=-2244a b ac - ab 22=2244a ac b - 接下来，我们应该进行的是开平方运算，那么等式右边的条件具备吗要讨论，因为a ≠0，所以4a 2＞0故， 当b 2-4ac ≥0时，2244a ac b -≥0，这时才可将以上方程两边开平方 ab 2=±a ac b 24-2 说明：以上结果，分母可写成2a ，字母a 的符号不会影响代数式前面的符号。

一元二次方程的解法4（公式法）一、学情分析：本节是在学生已经掌握了配方法解一元二次方程的基础上，从问题入手，推导求根公式，并能用公式法解简单系数的一元二次方程。

二、教学目标：情感态度与价值观：1形成积极参与数学活动的学习态度。

2在数学学习中获得独立解决问题的成功体验。

过程与方法：1经历探索一元二次方程的求根公式的过程。

2体会用公式法解一元二次方程的具体操作步骤。

知识与技能：1会用公式法解一元二次方程。

2初步了解从具体到抽象，从特殊到一般的认识规律。

三、重点难点：1、重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；2难点：用配方法导出一元二次方程的求根公式。

四、教学过程：（一）复习旧知1用配方法解下列方程：09-16-42=x x2回忆用配方解一元二次方程的步骤是什么（二）探索新知 1提出问题：能否用配方法将一般形式的一元二次方程a 2bc = 0a ≠0转化呢2教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：用配方法求一元二次方程a 2＋b ＋c ＝0（a ≠0）的根（1）一元二次方程a 2bc ＝0（a ≠0）的根是由一元二次方程的系数a 、b 、c 确定的．（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2－4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的值代入aac b b x 242-±-=（b 2－4ac ≥0）中，可求得方程的两个根。

（3）当b2−4ac<0时，方程无实数根。

（三）应用新知1例：用公式法解下列方程：01)4(021243)3(414)2(0352122222=++=---=+=+-x x x x x x x x ）（2. 学生总结用公式法解一元二次方程的一般步骤：3. 学生练习：（四）升华提高1观察以上所解方程，方程根的情况与“ac b 42-”的值有什么关系当ac b 42->0时，方程有两个不相等的实数根；当ac b 42-=0时，方程有两个相等的实数根；当ac b 42-<0时，方程没有实数根。

本课在整个单元中，属于比较重要的环节。

除了起到承接上个课时、转接下课时的作用之外，还有一些重点的计算知识和转化相应的课时。

本单元在学科核心素养中，具体体现出非常重要的一环，就是在高效课堂的设计和转化过程中，注意学生主体意识的培养和学生学习兴趣的提高。

学习兴趣之于学生，是非常重要而且更加有意义的教学活动。

对于不同层次的学生来讲，环节上的应用更加大了不同学生之间互相弥合的意义。

11.3公式法――完全平方公式教学设计思想：利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质．教学目标知识与技能：1．会用完全平方公式对多项式进行因式分解，提高分解因式的灵活性2．提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．过程与方法：3．经历用公式法分解因式的探索过程，进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识，体会从正逆两方面认识和研究事物的方法情感态度价值观：4．通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。

教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式．难点：灵活运用完全平方公式分解因式．关键：把握住因式分解的基本思路，观察多项式的特征，灵活地运用“换元”和“划归思想”教学用具多媒体或小黑板课时安排1课时教学过程设计一、复习1．问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解．我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法．2．把下列各式分解因式：（1）ax4－ax2（2）16m4－n4．解（1） ax4－ax2=ax2（x2－1）=ax2（x+1）（x－1）（2） 16m4－n4=（4m2）2－（n2）2=（4m2+n2）（4m2－n2）=（4m2+n2）（2m+n）（2m－n）．问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?答：有完全平方公式．请写出完全平方公式．完全平方公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2, （a－b）2=a2－2ab+b2．这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解．二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=（a+b）2； a2－2ab+b2=（a－b）2．这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方．式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式．运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式．问：具备什么特征的多项式是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子（或数）的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子（或数）的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式．问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?（1）x2+6x+9；（2）x2+xy+y2；（3）25x4－10x2+1；（4）16a2+1．答：（1）式是完全平方式．因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=（x+3）2．（2）不是完全平方式．因为第三部分必须是2xy ．（3）是完全平方式．25x 4=（5x 2）2，1=12，10x 2=2×5x 2·1，所以25x 4－10x 2+1=（5x －1）2．（4）不是完全平方式．因为缺第三部分．请同学们用箭头表示完全平方公式中的a ，b 与多项式9x 2+6xy+y 2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?答：完全平方公式为： a 2+2ab+b 2=（a+b ）2．9x 2+6xy+y 2=（3x ）2+2·（3y ）·y+y 2=（3x+y ）2．a 2+2ab+b 2=（a+b ）2其中a=3x ，b=y ，2ab=2·（3x ）·y． 例3 把下列各式分解因式； （1）t 2＋22t ＋121；（2）m 2＋41n 2-mn （1）分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“t 2”是t 的平方，第三项“121”是11的平方，第二项“22t ”是t 与11的积的2倍．所以多项式t 2＋22t ＋121是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式．（2）问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?解：（1）t 2＋22t ＋121 =t 2＋2×11t ＋112 =（t ＋11）2； （2）m 2＋41n 2-mn =m 2－2·m ·21n+（21n ）2=（m －21n ）2 例4 把下列各式分解因式： （1）ax 2＋2a 2x ＋a 3;（2）（x ＋y ）2－4（x ＋y ）＋4; （3）（3m-1）2＋（3m-1）+41解：（1）ax 2＋2a 2x ＋a 3=a （x 2＋2ax ＋a 2） =a （x ＋a ）2；（2）（x ＋y ）2－4（x ＋y ）＋4 =（x ＋y ）2－2·（x ＋y ）·2＋22 =（x ＋y －2）2（3）（3m-1）2＋（3m-1）+41 =（3m-1）2－2·（3m-1）·21＋（21）2=（3m －1＋21）2=（3m －21）2注：例4让有学生自己完成，并找部分学生上台讲解，出现问题，老师及时给予纠正 三、课堂练习（投影） 1．填空：（1）x 2－10x+（ ）2=（ ）2； （2）9x 2+（ ）+4y 2=（ ）2； （3）1－（ ）+m 2/9=（ ）2．2．下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多 项式改变为完全平方式．（1）x 2－2x+4；（2）9x 2+4x+1；（3）a 2－4ab+4b 2； （4）9m 2+12m+4；（5）1－a+a 2/4． 3．把下列各式分解因式：（1）a 2－24a+144；（2）4a 2b 2+4ab+1； （3）91 x 2+2xy+9y 2；（4）41 a 2－ab+b 2答案：1．（1）25，（x －5） 2；（2）12xy ，（3x+2y ） 2；（3）32m , （1－31m ）2．（1）不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x 2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x 2－2x+1，它是完全平方式． （2）不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x 2+6x+1，它是完全平方式．（3）是完全平方式，a 2-4ab+4b 2=（a －2b ）2． （4）是完全平方式，9m 2+12m+4=（3m+2） 2． （5）是完全平方式，1－a+a 2/4=（1－21a ）23．（1）（a －12） 2；（2）（2ab+1） 2； （3）（31 x+3y ） 2；（4）（21a －b ）2．四、小结运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：1．首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解．有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解．2．在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a 2+2ab+b 2=（a+b ） 2；如果是负号，则用公式a 2－2ab+b 2=（a －b ） 2．3．特别强调：分解因式时，有公因式时应先提取公因式，再看能否用公式法进行因式分解。

教学目标〔三维目标〕知识技能目标：掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．过程与方法目标：通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，培养学生准确快速的计算能力．情感态度与价值观目标：通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想．教学重点、难点重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．关键：掌握一元二次方程的求根公式，•并应用求根公式法解简单的一元二次方程．课型新授教学准备、教学方法教科书相应内容；集体合作讨论交流，归纳总结预习导航预习教材P9—12内容板书设计教学过程一、情境导入一、复习引入【问题】〔学生总结，老师点评〕〔1〕6x2-7x+1=0 〔2〕4x2-3x=522．总结用配方法解一元二次方程的步骤。

〔1〕移项；〔2〕化二次项系数为1；〔3〕方程两边都加上一次项系数的一半的平方；〔4〕原方程变形为〔x+m〕2=n的形式；〔5〕如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，那么一元二次方程无解．复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫二、新知探究〔设计活动与知识点相对应〕二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．【问题】ax2+bx+c=0〔a≠0〕且b2-4ac≥0，试推导它的两个创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导根为x 1=242b b ac a -+-，x 2=242b b aca---分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a 配方，得：x 2+b a x+〔2b a 〕2=-c a +〔2b a〕2 即〔x+2b a 〕2=2244b aca -∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b aca -≥0直接开平方，得：x+2b a =±242b aca-即x=242b b aca-±-∴x 1=242b b ac a -+-，x 2=242b b aca ---【说明】这里aac b b x 242-±-= 〔042≥-ac b 〕是一元二次方程的求根公式出一元二次方程的求根公式三、例题讲解三、例：利用公式法解以下方程，从中你能发现什么？〔1〕2320;x x -+= 〔2〕2222-=-x x 〔3〕24320x x -+=引导学生总结步骤：确定c b a ,,的值、算出ac b 42-的值、代入求根公式求解．在教师的引导下，学生答复，教师板书主在学生归纳的根底上，老师完善以下几点： 〔1〕一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是由一元二次方程的系数c b a ,,确定的；〔2〕在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在042≥-ac b 的前提下，把c b a ,,的值代入aac b b x 242-±-= 〔042≥-ac b 〕中，可求得方程的两个根；〔3〕我们把公式aacb b x 242-±-=〔042≥-ac b 〕称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；〔4〕由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．例：某数学兴趣小组对关于x 的方程〔m+1〕22mx ++〔m-2〕x-1=0提出了以下问题．〔1〕假设使方程为一元二次方程，m 是否存在？假设存在，求出m 并解此方程．〔2〕假设使方程为一元二次方程m 是否存在？假设存在，请求出．你能解决这个问题吗？ 分析：能．〔1〕要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足〔m+1〕≠0．〔2〕要使它为一元一次方程，必须满足:①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或 ②21020m m ⎧+=⎨-≠⎩或 ③1020m m +=⎧⎨-≠⎩解：〔1〕存在．根据题意得：m 2+1=2m 2=1 m=±1当m=1时，m+1=1+1=2≠0体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．当m=-1时，m+1=-1+1=0〔不合题意，舍去〕∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0a=2，b=-1，c=-1b2-4ac=〔-1〕2-4×2×〔-1〕=1+8=9x=(1)913224 --±±=⨯x1=1，x2=-1 2因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-12．〔2〕存在．根据题意得：①m2+1=1，m2=0，m=0因为当m=0时，〔m+1〕+〔m-2〕=2m-1=-1≠0所以m=0满足题意．②当m2+1=0，m不存在．③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0解得x=-1 3因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-13．四、稳固练习分三个层次单一知识点相对应练习、知识点综合训练、拔高训练，习题设计有选择余地教材P12练习第1、2题．补充习题：用公式法解以下方程．〔1〕x2-5x-6=0 〔2〕7x2+2x-1=0 〔3〕3x2-5x+2=0〔4〕5x2+2x-6=0 〔5〕4x2-7x+2=0 〔6〕2x2-12x-32=0五、课堂小结小结：〔1〕求根公式的概念及其推导过程；〔2〕公式法的概念；〔3〕应用公式法解一元二次方程；六、作业设计习题21．2 第4、5题教学反响签字[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

当我们在日常办公时 ,经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料 .这些资料因为用的比拟少 ,所以在全网范围内 ,都不易被找到 .您看到的资料 ,制作于2021年 ,是根据最新版课本编辑而成 .我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师 ,进行集体创作 ,将日常教学中的一些珍贵资料 ,融合以后进行再制作 ,形成了本套作品 .本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验 ,经过创作、审核、优化、发布等环节 ,最终形成了本作品 .本作品为珍贵资源 ,如果您现在不用 ,请您收藏一下吧 .因为下次再搜索到我的时机不多哦 !公式法教学目标：1、掌握用平方差公式分解因式的方法；掌握提公因式法 ,平方差公式法分解因式综合应用；能利用平方差公式法解决实际问题 .2、经历探究分解因式方法的过程 ,体会整式乘法与分解因式之间的联系 .3、通过对公式的探究 ,深刻理解公式的应用 ,并会熟练应用公式解决问题 .4、通过探究平方差公式特点 ,学生根据公式自己取值设计问题 ,并根据公式自己解决问题的过程 ,让学生获得成功的体验 ,培养合作交流意识 .教学重点：应用平方差公式分解因式．教学难点：灵活应用公式和提公因式法分解因式 ,并理解因式分解的要求．教学过程：一、复习准备 导入新课1、什么是因式分解 ?判断以下变形过程 ,哪个是因式分解 ?①(x ＋2)(x －2) =24x -②()()243223x x x x x -+=+-+③()77771m n m n --=--2、我们已经学过的因式分解的方法有什么 ?将以下多项式分解因式 .(1) x 2 +2x(2) a 2b -ab3、根据乘法公式进行计算：(1) (x ＋3 )(x －3) = (2)(2y ＋1)(2y －1) = (3)(a ＋b)(a －b) =二、合作探究 学习新知(一) 猜一猜：你能将下面的多项式分解因式吗 ?(1 )29x - = (2)241y - = (3)22a b - =(二)想一想 ,议一议: 观察下面的公式: 22a b -＝ (a ＋b ) (a -b ) (这个公式左边的多项式有什么特征：_______________________________公式右边是_______________________________________________________这个公式你能用语言来描述吗 ? _______________________________________(三)练一练：1、以下多项式能否用平方差公式来分解因式 ?为什么 ?①22x y + ②22x y - ③22x y -+ ④22x y --2、你能把以下的数或式写成幂的形式吗 ?(1)24x =( )2 (2)22x y =( )2 (3)20.25m =( )2 (4)449a = ( )2(5)36a 4 =( )2(6)2 =( )2 (7) 81n 6=( )2(8) 100p 4q 2 =( )2 (四 )做一做：例3 分解因式： (1) 4x 2 - 9 (2) (x +p)2 - (x +q)2(五 )试一试：例4 下面的式子你能用什么方法来分解因式呢 ?请你试一试 . (1) x 4 - y 4(2) a 3b - ab(六 )想一想：某学校有一个边长为85米的正方形场地 ,现在场地的四个角分别建一个边长为5米的正方形花坛 ,问场地还剩余多大面积供学生课间活动使用 ?三、课堂练习课本第168页 "练习〞第2题 .友情提示：1、运用平方差公式进行因式分解的条件①是一个二项式 (或可看成一个二项式 )； ②每项可写成平方的形式； ③两项的符号相反 .2、考前须知①有公因式要先提取公因式； ②再应用公式分解； ③每个因式要化简 ,并且分解彻底 .四、课堂小结1、这节课你有哪些收获 ?还有哪些疑问没有解决 ?要及时与同学们和老师交流 ,及时解决!2、你说 ,我说 ,大家说 !有什么好的方法或者建议请记录下来 ,让我们共同学习 ,共同进步吧 !建议：五、拓展延伸1、给出以下算式: 32－12=8 =8×1；52－32 =16 =8×2；72－52 =24 =8×3；92－72 =32 =8×4.(1)观察上面一系列式子 ,你能发现什么规律 ?_________________________(2)用含n 的式子表示出来____________________________ (n 为正整数 ).2、对于任意的自然数n ,22(7)(5)n n +--能被24整除吗? 为什么?本课教学反思英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力 .写作是综合性较强的语言运用形式 , 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进 .因此 , 写作教案具有重要地位 .然而 , 当前的写作教案存在 " 重结果轻过程〞的问题 , 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上 ,无视了语言的输入 .这个话题很容易引起学生的共鸣 ,比拟贴近生活 ,能激发学生的兴趣 , 在教授知识的同时 ,应注意将本单元情感目标融入其中 ,即保持乐观积极的生活态度 ,同时要珍惜生活的点点滴滴 .在教授语法时 ,应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心 ,因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句 ,一个清晰的脉络能为后续学习打下根底 .此教案设计为一个课时 ,主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括 ,下一个课时那么对语法知识进行讲解 .在此教案过程中 ,应注重培养学生的自学能力 ,通过辅导学生掌握一套科学的学习方法 ,才能使学生的学习积极性进一步提高 .再者 ,培养学生的学习兴趣 ,增强教案效果 ,才能防止在以后的学习中产生两极分化 .在教案中任然存在的问题是,学生在"说〞英语这个环节还有待提高,大局部学生都不愿意开口朗读课文,所以复述课文便尚有难度,对于这一局部学生的学习成绩的提高还有待研究.。

2022年“华渔杯”全国中小学教师信息化教学设计能手大赛---教学设计课题：§一元二次方程的解法第二课时——公式法教材分析方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，应用比较广泛，而从实际问题中抽象出方程，并通过解方程来解决实际问题是培养学生实践能力的关键。

本节课是上海科学技术出版社八年级下册第十七章第二节第二课时的内容，是本章的难点之一。

本节课内容是在学完直接开平方法、配方法解一元二次方程的基础上，掌握求根公式解一元二次方程，培养学生由特殊到一般的解题思想。

它不仅是解一元二次方程的基本方法，又是后续学习一元二次方程根的判别式，根与系数关系的依据，所以这节课既能起到了承上启下的作用，又能在探究求根公式过程中让学生进一步体会方程模型的实际意义、体会由特殊到一般，类比转化的数学思想方法，这对于以后的方程、函数等知识学习奠定了基础，具有很好地导向作用。

学情分析在此之前，学生已经了解和学习过一元二次方程的概念及一般形式，掌握了一些根据实际问题列方程的能力，并且学生已经学习了直接开平方法、配方法解一元二次方程。

八年级的学生数学思维已有一定程度的发展，具有一定分析推理能力，同时在探索、讨论、交流学习等方面有较为丰富的知识和经验，因此，用类比配方法求解系数是字母的一元二次方程，探究得出一元二次方程的求根公式对学生来说是水到渠成的。

鉴于上述分析，所以我确定这节课的教学目标、重点和难点如下：教学目标1、知识与技能①会熟练应用公式法解一元二次方程；②理解一元二次方程求根公式的推导过程;③能利用方程解决实际问题，增强学生的数学应用意识和能力。

2、过程与方法经历探索求根公式的过程，培养学生的推理能力，发展分析问题、解决问题的能力。

3、情感态度与价值观：培养学生积极参与﹑主动探究的精神与意识，让学生体念到通过自身努力，学会运用数学知识解决实际问题后的成功喜悦与乐趣。

教学重点掌握一元二次方程的求根公式，并能用它熟练地解一元二次方程。