第17章 分式§17、1、1 分式的概念教学目标:1、经历实际问题的解决过程,从中认识分式,并能概括分式2、使学生能正确地判断一个代数式就是否就是分式3、能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件,渗透数学中的类比,分类等数学思想。
教学重点:探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。
教学难点:能通过回忆分数的意义,探索分式的意义。
教学过程:一、做一做(1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另一边长为_____米;(2)面积为S 平方米的长方形一边长a 米,则它的另一边长为________米;(3)一箱苹果售价p 元,总重m 千克,箱重n 千克,则每千克苹果的售价就是___元;二、概括: 形如BA (A 、B 就是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式、其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母、整式与分式统称有理式, 即有理式 整式,分式、三、例题:例1 下列各有理式中,哪些就是整式？哪些就是分式？ (1)x 1; (2)2x ; (3)y x xy +2; (4)33y x -、 解:属于整式的有:(2)、(4);属于分式的有:(1)、(3)、注意:在分式中,分母的值不能就是零、如果分母的值就是零,则分式没有意义、例如,在分式a S 中,a ≠0;在分式nm -9中,m ≠n 、 例2 当x 取什么值时,下列分式有意义？ (1)11－x ; (2)322+-x x 、 分析 要使分式有意义,必须且只须分母不等于零、解 (1)分母1－x ≠0,即x ≠1、所以,当x ≠1时,分式11－x 有意义、 (2)分母23+x ≠0,即x ≠-23、 所以,当x ≠-23时,分式322+-x x 有意义、 四、练习:P5习题17、1第3题(1)(3)1.判断下列各式哪些就是整式,哪些就是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -,91-x2、 当x 取何值时,下列分式有意义？(1) (2) (3)3、 当x 为何值时,分式的值为0？(1) (2) (3)五、小结:什么就是分式？什么就是有理式？六、作业:P5习题17、1第1、2题,第3题(2)(4)七、教学后记§17、1、2 分式的基本性质教学目标:1、掌握分式的基本性质,掌握分式约分方法,熟练进行约分,并了解最简分式的意义。
2、使学生理解分式通分的意义,掌握分式通分的方法及步骤。
教学重点:让学生知道约分、通分的依据与作用,学会分式约分与通分的方法。
教学难点:1、分子、分母就是多项式的分式约分;2、几个分式最简公分母的确定。
教学过程:1、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变、用式子表示就是: MB M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=, ( 其中M 就是不等于零的整式)。
与分数类似,根据分式的基本性质,可以对分式进行约分与通分、2、例3 约分 (1)4322016xyy x -; (2)44422+--x x x 分析 分式的约分,即要求把分子与分母的公因式约去、为此,首先要找出分子与分母的公因式、4522--x x x x 235-+23+x x x 57+x x 3217-xx x --221解(1)4322016xy y x -＝－y xy x xy 544433⋅⋅＝－y x 54、 (2)44422+--x x x ＝2)2()2)(2(--+x x x ＝22-+x x 、 约分后,分子与分母不再有公因式、 分子与分母没有公因式称为最简分式．．．．、 3、练习:P5 练习 第1题:约分(1)(3)4、例4 通分 (1)b a 21,21ab ; (2)y x -1,y x +1; (3)221y x -,xy x +21 解 (1)b a 21与21ab的最简公分母为a 2b 2,所以 b a 21＝b b a b ⋅⋅21＝22b a b , 21ab ＝a ab a ⋅⋅21＝22b a a 、 (2)y x -1与yx +1的最简公分母为(x -y )(x +y ),即x 2－y 2,所以 y x -1＝))((1y x y x y x +-+⋅）（＝22y x y x -+, y x +1＝))(()(1y x y x y x -+-⋅＝22yx y x --、 请同学们根据这两小题的解法,完成第(3)小题。
5、练习P5 练习 第2题:通分6、小结:(1)请您分别用数学语言与文字表述分式的基本性质;(2)分式的约分运算,用到了哪些知识？让学生发表,互相补充,归结为:①因式分解;②分式基本性质;③分式中符号变换规律;约分的结果就是,一般要求分、分母不含“－”。
(3)把几个异分母的分式,分别化成与原来分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分。
分式通分,就是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式,根据分式基本性质,通分前后分式的值没有改变。
通分的关键就是确定几个分式的公分母,从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”,才能化成同一分母。
确定公分母的方法,通常就是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母,这样的公分母叫做最简公分母。
7、作业:P5练习 1约分:第(2)(4)题,习题17、1第4题8、课后反思:§17、2 分式的运算§17、2、1 分式的乘除法教学目标:1、让学生通过实践总结分式的乘除法,并能较熟练地进行式的乘除法运算。
2、使学生理解分式乘方的原理,掌握乘方的规律,并能运用乘方规律进行分式的乘方运算3、引导学生通过分析、归纳,培养学生用类比的方法探索新知识的能力教学重点:分式的乘除法、乘方运算教学难点:分式的乘除法、混合运算,以及分式乘法,除法、乘方运算中符号的确定。
教学过程:一、复习与情境导入1、(1) :什么叫做分式的约分？约分的根据就是什么？(2):下列各式就是否正确？为什么？2、尝试探究:计算:(1)abba32232⋅; (2)baba232÷、概括:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母、如果得到的不就是最简分式,应该通过约分进行化简、分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘、(用式子表示如右图所示)二、例题:例1计算:(1)xbaybyxa2222⋅; (2)222222xbyzazbxya÷、解(1)xbaybyxa2222⋅=xbbyayxa2222⋅⋅=33ba、 (2)222222xbyzazbxya÷=yzaxbzbxya222222⋅=33zx、例2计算:493222--⋅+-xxxx、解原式＝)2)(2()3)(3(32-+-+⋅+-xxxxxx＝23+-xx、三、练习:P7 第1题四、思考回忆:如何计算10965⨯、4365÷？从中可以得到什么启示。
回忆:如何计算5251+、6141+, 从中可以得到什么启示？ 怎样进行分式的乘方呢？试计算:(1)(m n )3 (2)(mn )k (k 就是正整数) (1)(m n )3 =m n m n m n ⋅⋅＝)()(m m m n n n ••••＝________; (2)(m n )k = 个k m n m n m n ⋅⋅⋅＝)()(m m m n n n •••••• ＝___________、 仔细观察所得的结果,试总结出分式乘方的法则、五、小结:1、怎样进行分式的乘除法？2、怎样进行分式的乘方？六、作业: P9习题19、2第1题 P7练习:第2题:计算七、课后反思:§17、2、2 分式的加减法教学目标:1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减,能熟练地进行同分母,异分母分式的加减运算。
2、通过同分母、异分母分式的加减运算,复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分式通分,培养学生分式运算的能力。
3、渗透类比、化归数学思想方法,培养学生的能力。
教学重点:让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。
教学难点:分式的分子就是多项式的分式减法的符号法则,去括号法则应用。
教学过程:一、实践与探索1、回忆:同分母的分数的加减法法则:同分母的分数相加减,分母不变,把分子相加减。
2、试一试: 计算:(1)a a b 2+;(2)ab a 322-3、总结一下怎样进行分式的加减法？概括同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减、二、例题1、例3计算:xyy x xy y x 22)()(--+ 2、例4 计算:1624432---x x 、 分析．． 这里两个加项的分母不同,要先通分、为此,先找出它们的最简公分母、 注意到162-x =)4)(4(-+x x ,所以最简公分母就是)4)(4(-+x x解 1624432---x x ＝)4)(4(2443-+--x x x ＝)4)(4(24)4)(4()4(3-+--++x x x x x ＝)4)(4(24)4(3-+-+x x x ＝)4)(4(123-+-x x x ＝)4)(4()4(3-+-x x x ＝43+x 三、练习:P9第1题(1)(3)、第2题(1)(3)四、小结:1、同分母分式的加减法:类似于同分母的分数的加减法;2、异分母分式的加减法步骤:①、 正确地找出各分式的最简公分母。
求最简公分母概括为:(1)取各分母系数的最小公倍数;(2)凡出现的字母为底的幂的因式都要取;(3)相同字母的幂的因式取指数最大的。
取这些因式的积就就是最简公分母。
②、 准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。
③、 用公分母通分后,进行同分母分式的加减运算。
④、 公分母保持积的形式,将各分子展开。
⑤、 将得到的结果化成最简分式(整式)。
五、作业:P9习题17、2第2、3、4题六、课后反思:§17、3 可化为一元一次方程的分式方程(1)教学目标:1、使学生理解分式方程的意义,会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程、2、使学生理解增根的概念,了解增根产生的原因,知道解分式方程须验根并掌握验根的方法、3、使学生领会“ 转化”的思想方法,认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解、4、培养学生自主探究的意识,提高学生观察能力与分析能力。
教学重点:使学生理解分式方程的意义,会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程、教学难点:使学生理解增根的概念,了解增根产生的原因,知道解分式方程须验根并掌握验根的方法、教学过程:一、问题情境导入轮船在顺水中航行80千米所需的时间与逆水航行60千米所需的时间相同、已知水流的速度就是3千米/时,求轮船在静水中的速度、分 析设轮船在静水中的速度为x 千米/时,根据题意,得360380-=+x x 、 (1) 概 括方程(1)中含有分式,并且分母中含有未知数,像这样的方程叫做分式方程、思 考怎样解分式方程呢？有没有办法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢？试动手解一解方程(1)、方程(1)可以解答如下:方程两边同乘以(x +3)(x -3),约去分母,得80(x -3)=60(x +3)、解这个整式方程,得x =21、所以轮船在静水中的速度为21千米/时、概 括上述解分式方程的过程,实质上就是将方程的两边乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程来解、所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母、二、例题:1、例1 解方程:12112-=-x x 、 解 方程两边同乘以(x 2-1),约去分母,得x +1=2、解这个整式方程,得x =1、解到这儿,我们能不能说x =1就就是原分式方程的解(或根)呢？细心的同学可能会发现,当x =1时,原分式方程左边与右边的分母(x －1)与(x 2－1)都就是0,方程中出现的两个分式都没有意义,因此,x =1不就是原分式方程的解,应当舍去、所以原分式方程无解、我们瞧到,在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含未知数的整式,并约去了分母,有时可能产生不适合原分式方程的解(或根),这种根通常称为增根、因此,在解分式方程时必须进行检验、2、例2 解方程:730100-=x x 、 解 方程两边同乘以x (x -7),约去分母,得100(x -7)=30x 、解这个整式方程,得x =10、检验:把x =10代入x (x -7),得10×(10-7)≠0所以,x =10就是原方程的解、三、练习:P14第1题四、小结:⑴、什么就是分式方程？举例说明;⑵、解分式方程的一般步骤:在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程.解这个整式方程.、验根,即把整式方程的根代入最简公分母,瞧结果就是不就是零,若结果不就是0,说明此根就是原方程的根;若结果就是0,说明此根就是原方程的增根,必须舍去.⑶、解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？五、作业:P14 习题17、3第1题(1)(2)、第2题六、课后反思:§17、3 可化为一元一次方程的分式方程(2)教学目标:1、进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程。
