2017年天津市南开区中考二模数学试卷

2017年天津市南开区兴华中学中考数学模拟试卷一、选择题：1．（3分）计算（﹣3）﹣（﹣9）的结果等于（）A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣62．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（）A．B．C．D．3．（3分）上面图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）亚投行候任行长金立群12月1日在北京表示，亚投行将在12月底前正式成立，计划在2016年第二季度开始试营，计划总投入1000亿美元，中国计划投入500亿美元，折合人民币约3241亿元，将3241亿元用科学记数法表示为（）元．A．3.241×103B．0.3241×104 C．3.241×1011D．3.241×10125．（3分）如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（）A．B．C．D．6．（3分）一个正方形的面积为50平方厘米，则正方形的边长约为（）A．5厘米B．6厘米C．7厘米D．8厘米7．（3分）下列算式中，你认为错误的是（）A．B．C．D．8．（3分）已知方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．且k≠09．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1且x≠2 B．x≥1 C．x≠2 D．x≥1且x≠210．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm11．（3分）反比例函数的大致图象为（）A．B．C．D．12．（3分）已知抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m不经过第三象限，且当x＞2时，函数值y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1.5 B．m≥1.5 C．0≤m≤1 D．0＜m≤1.5二、填空题：13．（3分）已知2×4m×8m=216，m=．14．（3分）若使二次根式有意义，则x的取值范围是．15．（3分）在一个不透明的布袋中有除颜色外其它都相同的红、黄、蓝球共200个，某位同学经过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球和蓝色球的频率稳定在35%和55%，则口袋中可能有黄球个．16．（3分）如图，正比例函数y=kx，y=mx，y=nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是．17．（3分）如图，已知等边△ABC的边长为3，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF=1，则AP•AF的值为．18．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=0.6，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A'B'C，其中点B'正好落在AB上，A'B'与AC相交于点D，那么B′D：CD=．三、解答题：19．解不等式组，并把解集表示在数轴上．20．“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．（1）该顾客至多可得到元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．21．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线；（2）若BC=2，sin∠BCP=，求⊙O的半径及△ACP的周长．22．如图，已知在△ABC中，∠ABC=30°，BC=8，sin∠A=，BD是AC边上的中线．求：（1）△ABC的面积；（2）∠ABD的余切值．23．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？24．在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=0.6，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C．（1）如图1，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C 的面积；（2）如图2，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C 顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．25．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．2017年天津市南开区兴华中学中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：1．（3分）计算（﹣3）﹣（﹣9）的结果等于（）A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6【解答】解：原式=（﹣3）+9=（9﹣3）=6，故选：C．2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠C=90°，∴tanA==，设BC=5x，AC=12x，∴AB==13x，∴sinA===．故选D．3．（3分）上面图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．故选：B．4．（3分）亚投行候任行长金立群12月1日在北京表示，亚投行将在12月底前正式成立，计划在2016年第二季度开始试营，计划总投入1000亿美元，中国计划投入500亿美元，折合人民币约3241亿元，将3241亿元用科学记数法表示为（）元．A．3.241×103B．0.3241×104 C．3.241×1011D．3.241×1012【解答】解：3241亿=324100000000=3.241×1011．故选C．5．（3分）如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据正方体的表面展开图，两条黑线在一列，故A错误，且两条相邻成直角，故B错误，正视图的斜线方向相反，故C错误，只有D选项符合条件，故选D6．（3分）一个正方形的面积为50平方厘米，则正方形的边长约为（）A．5厘米B．6厘米C．7厘米D．8厘米【解答】解：设正方形的边长是x平方厘米，则x2=50，∵x＞0，∴x≈7，故选C．7．（3分）下列算式中，你认为错误的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、原式==1，本选项正确；B、原式=1××=，本选项错误；C、原式==﹣，本选项正确；D、原式=•=，本选项正确．故选B．8．（3分）已知方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．且k≠0【解答】解：由题意得：1﹣4k＞0；k≠0，解得：k＜且k≠0，故选D．9．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1且x≠2 B．x≥1 C．x≠2 D．x≥1且x≠2【解答】解：由分式及二次根式有意义的条件可得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，解得：x≥1，x≠2，故选：D．10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm【解答】解：∵平行四边形ABCD∴OA+OB=（BD+AC）=9cm又∵△AOB的周长为13cm，∴AB=CD=4cm，又∵CD：DA=2：3，∴BC=AD=6cm故选A．11．（3分）反比例函数的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：∵k=2，可根据k＞0，∴反比例函数图象在第一、三象限；故选C．12．（3分）已知抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m不经过第三象限，且当x＞2时，函数值y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1.5 B．m≥1.5 C．0≤m≤1 D．0＜m≤1.5【解答】解：∵当x＞2时，抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m满足y随x的增大而增大，∴≤2，解得，m≤1.5．∵抛物线开口向上，且不经过第三象限，∴2m≥0，解得，m≥0，∴0≤m≤1.5，故选：A．二、填空题：13．（3分）已知2×4m×8m=216，m=3．【解答】解：由幂的乘方，得4m=22m，8m=23m．由同底数幂的乘法，得21+2m+3m=216．5m+1═16．解得m=3，故答案为：3．14．（3分）若使二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2．【解答】解：∵二次根式有意义，∴2x﹣4≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．15．（3分）在一个不透明的布袋中有除颜色外其它都相同的红、黄、蓝球共200个，某位同学经过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球和蓝色球的频率稳定在35%和55%，则口袋中可能有黄球20个．【解答】解：∵某位同学经过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球和蓝色球的频率稳定在35%和55%，∴摸到黄球的概率=1﹣35%﹣55%=10%，∴口袋中黄球的个数=200×10%=20，即口袋中可能有黄球20个．故答案为20．16．（3分）如图，正比例函数y=kx，y=mx，y=nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是k＞m＞n．【解答】解：∵正比例函数y=kx，y=mx的图象在一、三象限，∴k＞0，m＞0，∵y=kx的图象比y=mx的图象上升得快，∴k＞m＞0，∵y=nx的图象在二、四象限，∴n＜0，∴k＞m＞n，故答案为：k＞m＞n．17．（3分）如图，已知等边△ABC的边长为3，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF=1，则AP•AF的值为3．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∵∠APE=60°，∴∠C=∠APE，∵∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF；∴AE：AF=AP：AC，∵AC=3，AE=1，∴AP•AF=3，故答案为：3．18．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=0.6，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A'B'C，其中点B'正好落在AB上，A'B'与AC相交于点D，那么B′D：CD=0.35．【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，∵∠C=90°，cosB=，∴=；设BC=3λ，则AB=5λ，由勾股定理得AC=4λ，由射影定理得：BC2=BM•AB，∴BM=λ．由旋转变换的性质得：CB=CB′，A′C=AC=4λ，∠A′=∠A；而CM⊥BB′，∴B′M=BM，AB′=5λ﹣λ=λ，∵∠A′=∠A，∠A′DC=∠ADB′，∴△A′DC∽△ADB′，∴==0.35，故答案为：0.35；三、解答题：19．解不等式组，并把解集表示在数轴上．【解答】解：，由①得，x＞2，由②得，x≤4，故此不等式组的解集为：2＜x≤4．在数轴上表示为：．20．“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．（1）该顾客至多可得到70元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．【解答】解：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；故答案为：70；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的有6种情况，∴该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为：=．21．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线；（2）若BC=2，sin∠BCP=，求⊙O的半径及△ACP的周长．【解答】（1）证明：连接AN，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC是⊙O的直径，∴AN⊥BC，∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠CAN=∠BCP．∵∠CAN+∠ACN=90°，∴∠BCP+∠ACN=90°，∴CP⊥AC∵OC是⊙O的半径∴CP是⊙O的切线；（2）解：∵∠ANC=90°，sin∠BCP=，∴=，∴AC=5，∴⊙O的半径为如图，过点B作BD⊥AC于点D．由（1）得BN=CN=BC=，在Rt△CAN中，AN==2在△CAN和△CBD中，∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，∴△CAN∽△CBD，∴=，∴BD=4．在Rt△BCD中，CD==2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3，∵BD∥CP，∴=，=∴CP=，BP=∴△APC的周长是AC+PC+AP=20．22．如图，已知在△ABC中，∠ABC=30°，BC=8，sin∠A=，BD是AC边上的中线．求：（1）△ABC的面积；（2）∠ABD的余切值．【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB与点E，在RT△BCE中，∵BC=8，∠ABC=30°，∴BE=BC•cos∠ABC=8×=4，CE=BC•sin∠ABC=8×=4，在RT△ACE中，∵sin∠A=，∴AC===4，∴AE===8，则AB=AE+BE=8+4，故S=•AB•CE=×（8+4）×4=16+8；△ABC（2）过点D作DH⊥AB与点H，∵CE⊥AB，∴DH∥CE，又∵D是AC中点，∴AH=HE=AE=4，DH=CE=2，∴在RT△BDH中，cot∠ABD===2+2．23．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？【解答】解（1）由图象可知，300=a×302，解得a=，n=700，b×（30﹣90）2+700=300，解得b=﹣，∴y=，（2）由题意﹣（x﹣90）2+700=684，解得x=78，∴=15，∴15+30+（90﹣78）=57分钟所以，馆外游客最多等待57分钟．24．在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=0.6，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C．（1）如图1，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C 的面积；（2）如图2，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C 顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．【解答】解：（1）①证明：∵AB=AC，B1C=BC，∴∠BB1C=∠B，∠B=∠ACB，∵∠A1CB1=∠ACB（旋转角相等），∴∠BB1C=∠A1CB1，∴BB1∥CA1，②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，∵cos∠ABC=0.6，AB=5，∴BF=3，∴BC=6∴B1C=BC=6∵CE⊥AB，∴BE=B1E=×6=，∴BB1=，CE=，∴AB1=，∴△AB1C的面积为：=；（2）如图3，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值．此时在Rt△BFC中，CF=4.8，∴CF1=4.8，∴EF1的最小值为4.8﹣3=1.8；如图，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1'，EF1'有最大值．此时EF1'的最大值为EC+CF1'=3+6=9，∴线段EF1的最大值与最小值的差为9﹣1.8=7.2．25．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO==3，∴OB=3OA=3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC=OB=3，OD=OA=1，∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入解析式为，解得：．∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣=﹣1，∴E点的坐标为（﹣1，0）．如图，当∠CEF=90°时，PE：CE=2：1，CO：OD=3：1，此时△CEF与△COD不相似．当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．∴，∴MP=3EM．∵P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．∵P在第二象限，∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，∴﹣t2﹣2t+3=﹣（t﹣1）（t+3），解得：t1=﹣2，t2=﹣3（因为P与C重合，所以舍去），∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．∴P（﹣2，3）．∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线CD的解析式为：y=x+1．设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，t+1），∴NM=t+1．∴PN=PM﹣NM=﹣t2﹣2t+3﹣（t+1）=﹣t2﹣+2．∵S=S△PCN+S△PDN，△PCD=PN•CM+PN•OM∴S△PCD=PN（CM+OM）=PN•OC=×3（﹣t2﹣+2）=﹣（t+）2+，的最大值为．∴当t=﹣时，S△PCD。

2017年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，2}，集合B＝{﹣x|x∈A，且2﹣x∉A}，则B＝（）A．{1}B．{﹣2}C．{﹣1，﹣2}D．{﹣1，0}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+3y+1的最大值为（）A．11B．10C．9D．8.53．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题4．（5分）由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．1C．D．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为（）A．3B．2C．4D．6．（5分）若（﹣）n的展开式中各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x的系数为（）A．15B．10C．﹣15D．﹣107．（5分）设F是抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．28．（5分）已知函数f（x）＝x﹣[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数．若关于x的方程f（x）＝kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数z＝∈R，则实数a的值是．10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．11．（5分）如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是．12．（5分）已知直线C1：（t为参数），C2：（θ为参数），当α＝时，则C1与C2的交点坐标为．13．（5分）已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝60°，E是线段AD上靠近A的三等分点，F是线段DC的中点，若AB＝2，AD＝，则＝．14．（5分）将A，B，C，D，E五个字母排成一排，若A与B相邻，且A与C 不相邻，则不同的排法共有种．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）＝sin2x+2sin x cos x+sin（x+）sin（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）若x＝x0（x0∈[0，]）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值．16．（13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（13分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：直线AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值；（Ⅲ）当＝λ时，异面直线DE和AC所成的角为90°，求CE的长．18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝，{b n}为等差数列，且a1＝b1，a2（b2﹣b1）＝a1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．19．（14分）已知点F是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右焦点，点M在椭圆E上，以M为圆心的圆与x轴切于点F，与y轴交于A、B两点，且△ABM 是边长为2的正三角形；又椭圆E上的P、Q两点关于直线l：y＝x+n对称．（I）求椭圆E的方程；（II）当直线l过点（0，）时，求直线PQ的方程；（III）若点C是直线l上一点，且∠PCQ＝，求△PCQ面积的最大值．20．（14分）函数f（x）＝2（a﹣1）ln（e x﹣1）+e x，g（x）＝（4a﹣2）x，其中a为常数（a＞），f′（x）为函数f（x）的导函数．（Ⅰ）当a＝时，证明f′（x）≥4；（Ⅱ）当a＝时，x0满足f（x0）＝4x0，证明：当x＞x0时，f（x）＞4x；（Ⅲ）设x1，x2分别是函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的极大值点和极小值点，且x2﹣x1＞ln2，求a的取值范围．2017年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，2}，集合B＝{﹣x|x∈A，且2﹣x∉A}，则B＝（）A．{1}B．{﹣2}C．{﹣1，﹣2}D．{﹣1，0}【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，2}，集合B＝{﹣x|x∈A，且2﹣x∉A}，﹣1∈A，且2﹣（﹣1）＝3∉A，故1∈B；0∈A，但2﹣0＝2∈A，不满足题意；2∈A，但2﹣2＝0∈A，不满足题意；故B＝{1}，故选：A．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+3y+1的最大值为（）A．11B．10C．9D．8.5【解答】解：做出可行域如图所示：将目标函数转化为，欲求z的最大值，只需求直线l：在y轴上的截距的最大值即可．作出直线l0：，将直线l0平行移动，得到一系列的平行直线当直线经过点A时在y轴上的截距最大，此时z最大．由可求得A（3，1），将A点坐标代入z＝2x+3y+1解得z的最大值为2×3+3×1+1＝10故选：B．3．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题【解答】解：对于A：命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x ≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件．因为x＝﹣1⇒x2﹣5x ﹣6＝0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故选：D．4．（5分）由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．1C．D．【解答】解：由曲线y＝和曲线y＝x2可得交点坐标为（0，0），（1，1），则曲线y＝和曲线y＝x2围成的封闭图形的面积为S＝（﹣x2）dx＝（﹣x3）＝﹣＝．故选：D．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为（）A．3B．2C．4D．【解答】解：∵cos C＝，∴sin C＝＝，又∵a＝3，b＝2，∴S＝ab sin C＝＝4．△ABC故选：C．6．（5分）若（﹣）n的展开式中各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x的系数为（）A．15B．10C．﹣15D．﹣10【解答】解：（﹣）n的展开式中各项系数绝对值之和与的展开式中各项系数之和相等．对，令x＝1，则其展开式中各项系数之和＝4n．∴4n＝1024，解得n＝5．∴的通项公式T r+1＝＝（﹣3）r，令＝1，解得r＝1．∴展开式中x的系数＝﹣3×＝﹣15．故选：C．7．（5分）设F是抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意得F（，0），准线为x＝﹣，设双曲线的一条渐近线为y＝x，则点A（，），由抛物线的定义得|PF|等于点A到准线的距离，即＝+，∴＝1，e＝＝，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝x﹣[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数．若关于x的方程f（x）＝kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝x﹣[x]的图象如下图所示：y＝kx+k表示恒过A（﹣1，0）点斜率为k的直线若方程f（x）＝kx+k有3个相异的实根．则函数f（x）＝x﹣[x]与函数f（x）＝kx+k的图象有且仅有3个交点由图可得：当y＝kx+k过（2，1）点时，k＝，当y＝kx+k过（3，1）点时，k＝，当y＝kx+k过（﹣2，1）点时，k＝﹣1，当y＝kx+k过（﹣3，1）点时，k＝﹣，则实数k满足≤k＜或﹣1＜k≤﹣．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数z＝∈R，则实数a的值是．【解答】解：∵z＝＝∈R，∴3﹣4a＝0，即a＝．故答案为：．10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝﹣12+22﹣32+42的值∵S＝﹣12+22﹣32+42＝10故答案为：1011．（5分）如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是36+128π．【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一平放的直三棱柱，下部为圆柱体的组合体．上部一平放的直三棱柱形状如图，底面三角形一边为3，对应的高为4．直三棱柱高为4其体积V1＝S1h1＝＝36下部圆柱体的体积V2＝S2h2＝π××8＝128π所以V＝V1+V2＝36+128π故答案为：36+128π12．（5分）已知直线C1：（t为参数），C2：（θ为参数），当α＝时，则C1与C2的交点坐标为（1，0），（，﹣）．【解答】解：（Ⅰ）当α＝时，C1的普通方程为y＝（x﹣1），C2的普通方程为x2+y2＝1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0），（，﹣）．故答案为（1，0），（，﹣）．13．（5分）已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝60°，E是线段AD上靠近A的三等分点，F是线段DC的中点，若AB＝2，AD＝，则＝．【解答】解：过B作BM⊥DC于M，故AB＝DM＝2，因为BM＝AD＝，∠BCD＝60°，故CM＝1，＝（+）•（+）＝•+•＝××（﹣1）+2×＝，故答案为：14．（5分）将A，B，C，D，E五个字母排成一排，若A与B相邻，且A与C 不相邻，则不同的排法共有36种．【解答】解：依题意，可分三步，先排D，E，有种方法，产生3个空位，将AB捆绑，看作一个元素，插入三个空位之一，有3种方法，再将AB松绑，有种方法，这时AB、D、E产生四个空位，最后将C插入与A不相邻的三个空位之一，有3种方法，根据分步乘法计数原理得：共有•••＝36种，故答案为：36．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）＝sin2x+2sin x cos x+sin（x+）sin（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）若x＝x0（x0∈[0，]）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值．【解答】解：函数f（x）＝sin2x+2sin x cos x+sin（x+）sin（x﹣），x∈R化简可得：f（x）＝cos2x+sin2x+sin（x﹣）cos（x﹣），＝﹣cos2x+sin2x+sin﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x+＝2sin（2x﹣）．（Ⅰ）∴f（x）的最小正周期T＝值域为：[，]．（Ⅱ）令f（x0）＝0，可得sin（2x0﹣）＝＜0∵x0∈[0，]，∴2x0﹣∈[﹣，0]，cos（2x0﹣）＝那么：sin2x0＝sin[（2x0﹣）﹣]＝sin（2x0﹣）cos（）﹣cos（2x0﹣）sin＝．16．（13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2＝1，解得a＝0.0375，因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.0375×2＝3（人）．（2）乙班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.05×2＝4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间（10，12]的人数为3人，在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以随机变量ξ的分布列为：．17．（13分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：直线AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值；（Ⅲ）当＝λ时，异面直线DE和AC所成的角为90°，求CE的长．【解答】解：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO、∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，连接B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD．在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD．（Ⅱ）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连接AF，由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD，∴∠AFG为二面A﹣A1D﹣B的平面角，在△AA1D中，由等面积法可求得AF＝，又∵AG＝＝AB1＝，∴sin∠AFG＝，所以二面角A﹣A1D﹣B的正弦值：（Ⅲ）：取BC中点O，连接AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC、∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，取B1C1中点O1，以0为原点，OB，OO1 ，OA的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系则B（1，0，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，），A（0，0，），B1（1，2，0），，.∵异面直线DE和AC所成的角为90°，∴，解得λ＝2．即∴，∴CE的长为18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝，{b n}为等差数列，且a1＝b1，a2（b2﹣b1）＝a1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n＝（）﹣（）＝，﹣1经验证当n＝1时，此式也成立，所以，从而b1＝a1＝1，，又因为{b n}为等差数列，所以公差d＝2，∴b n＝1+（n﹣1）•2＝2n﹣1，故数列{a n}和{b n}通项公式分别为：，b n＝2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以+（2n﹣1）•2n﹣1①①×2得+（2n﹣3）•2n ﹣1+（2n﹣1）•2n②①﹣②得：﹣（2n﹣1）•2n＝＝1+2n+1﹣4﹣（2n﹣1）•2n＝﹣3﹣（2n﹣3）•2n．∴数列{c n}的前n项和．19．（14分）已知点F是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右焦点，点M在椭圆E上，以M为圆心的圆与x轴切于点F，与y轴交于A、B两点，且△ABM 是边长为2的正三角形；又椭圆E上的P、Q两点关于直线l：y＝x+n对称．（I）求椭圆E的方程；（II）当直线l过点（0，）时，求直线PQ的方程；（III）若点C是直线l上一点，且∠PCQ＝，求△PCQ面积的最大值．【解答】解：（I）由题意可知：M（c，2）且c为正三角形的高，所以c＝将点M坐标代入椭圆方程可得：与a2＝b2+3联立可得：a2＝9，b2＝6，所以椭圆方程为：（II）设PQ：y＝﹣x+m代入椭圆方程2x2+3y2＝18整理得5x2﹣6mx+3m2﹣18＝0△＝36m2﹣4•5•（3m2﹣18）＞0，则令P（x1，y1），Q（x2，y2），故，则P、Q的中点为由于l方程为，故，得m＝﹣1则直线PQ的方程为y＝﹣x﹣1（III）[1+（﹣1）2]＝的最大值为则当m＝0时，S△POQ20．（14分）函数f（x）＝2（a﹣1）ln（e x﹣1）+e x，g（x）＝（4a﹣2）x，其中a为常数（a＞），f′（x）为函数f（x）的导函数．（Ⅰ）当a＝时，证明f′（x）≥4；（Ⅱ）当a＝时，x0满足f（x0）＝4x0，证明：当x＞x0时，f（x）＞4x；（Ⅲ）设x1，x2分别是函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的极大值点和极小值点，且x2﹣x1＞ln2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a＝时，由e x﹣1＞0得f（x）的定义域是（0，+∞），则f′（x）＝e x﹣1++2≥2+2＝4；（Ⅱ）证明：构造函数F（x）＝f（x）﹣4x＝ln（e x﹣1）+e x﹣4x，∵f（x0）＝4x0，∴F（x0）＝0，由（Ⅰ）得F′（x）＝+e x﹣4≥0，故F（x）在定义域内是增函数，∴x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，故f（x）＞4x；（Ⅲ）∵h（x）＝2（a﹣1）ln（e x﹣1）+e x﹣（4a﹣2）x，∴h′（x）＝2（a﹣1）+e x﹣（4a﹣2），令h′（x）＝0，化简得：e2x﹣（2a+1）e x+（4a﹣2）＝0，解得：x＝ln2或ln（2a﹣1），①2a﹣1＞2即a＞时，x1＝ln2，x2＝ln（2a﹣1），∵x2﹣x1＞ln2，∴ln（2a﹣1）﹣ln2＞ln2，∴a＞；②2a﹣1＜2即a＜时，x1＝ln（2a﹣1），x2＝ln2，∵x2﹣x1＞ln2，∴ln2﹣ln（2a﹣1）＞ln2，∴＜a＜1，③2a﹣1＝2即a＝时，无极值点，不满足题意，综上，a的范围是（，+∞）或（，1）．。

南开区2017-2018-2018学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数学试卷（理工类） 05本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第I卷l至2页，第II卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：l.答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科p涂在答题卡上；2．每小题选出答案赢，翊铅笔把答题．f上对应题翻的答案标号涂关．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3.本卷共8小题，每小题5分，共40分，参考公式：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)i 是虚数单位，复数242(1)412i i i i =（）． (A)0 (B)2(C) -4i (D) 4i(2)“1sin 2a”是“1cos22a ”的( )， (A)充分丽不必要条件 (B)必要两不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(3)如果执行右面的程序框图，那么输出的S=( )。

(A) 22 (B) 46(c) 94 (D)190(4)偶函数()f x 在区间0,a （a>0）上是单凋函数，且(0)()0f f a ．则方程()0f x 在区间,a a 内根的个数是( ). (A)l (B)2(C)3 (D)0(5)若11()11n x 的展开式中第三项系数等于6，则n 等于( )．(A)4 (B)8(C) 12 (D) 16(6)在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ．C 的对边，22232,sin sin sin 2C A B C A sinBsinC ，则cosC=( )．(A)18 (B)716 (C)74 ( D)716(7)设圆22:3C xy ，直线:360l x y ，点00(,)P x y ∈l ，若存在点Q ∈C ，使60OPQ 。

（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )．(A)1,12 B.60,5 (C)0,1 (D)13,22(8)如图，在△ABC 中，2CM MB ，过点M 的直线分别交射线AB 、AC 于不同的两点P 、Q ，若,AP mAB AQ nAC ，则mn+m 的最小值为( )．(A) 63 (B)23(C)6 (D)2南开区2013～2017-2018学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答题纸（理工类）第Ⅱ卷注意事项：。

2017年中考数学模拟题一、选择题：1.计算(－3)－(－6)的结果等于（）A.3B.－3C.9D.182.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧AmB上的一点，则cos∠APB的值是（）A.45°B.1C.D.无法确定3.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )4.2016年2月19日,经国务院批准,设立无锡市新吴区，将无锡市原新区的鸿山、旺庄、硕放、梅村、新安街道划和滨湖区的江溪街道归新吴区管辖．新吴区现有总人口322819人，这个数据用科学记数法（精确到千位）可表示为（）A.323×103B.3.22×105C.3.23×105D.0.323×1065.下列几何体的主视图与其他三个不同的是（）6.16的算术平方根和25平方根的和是（）A.9B.－1C.9或－1D.－9或17.计算的正确结果是（）A.0B.C.D.8.若关于x的一元二次方程为ax2＋bx＋5=0(a≠0)的解是x=1,则2013－a－b的值是( )A.2 018B.2 008C.2 014D.2 0129.当实数x的取值使得有意义时，函数y=x+1 中y的取值范围是（）A.y≥﹣3B.y≥﹣1C.y＞﹣1D.y≤﹣310.下列判断错误的是（）A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.四个内角都相等的四边形是矩形C.四条边都相等的四边形是菱形D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形11.已知反比例函数，当1＜x＜2时，y的取值范围是( )A.0＜y＜5B.1＜y＜2C.5＜y＜10D.y＞1012.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）二、填空题：13.分解因式：x3﹣6x2+9x= ．14.函数y=的自变量的取值范围是15.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是．16.某地市话的收费标准为：（1）通话时间在3分钟以内（包括3分钟）话费0.5元；（2）通话时间超过3分钟时，超过部分的话费按每分钟0.15元计算．在一次通话中，如果通话时间超过3分钟，那么话费y（元）与通话时间x（分）之间的关系式为．17.如图,AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,则SⅠ:SⅡ:SⅢ= .18.如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形____________(用相似符号连接)．三、解答题：19.解不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集．20.有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3cm、7cm、9cm；乙盒子中装有4张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写着5cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度．（1）请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；（2）求这三条线段能组成直角三角形的概率．21.如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA=3时，求AP的长．22.如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．（1）求出此时点A到岛礁C的距离；（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）23.小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？（2）在（1）的条件下，该服装店在6月21日“父亲节”当天对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？24.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=0.6，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△AB1C。