直棱柱的性质

直棱柱的概念介绍直棱柱是一种基本的三维几何体，具有特定的形态和性质。

本文将会介绍直棱柱的定义、特点、计算公式以及一些常见的应用。

定义直棱柱是一个多面体，它的底部和顶部是相等且平行的多边形，其他的侧面都是矩形。

直棱柱是一种特殊的棱柱，除了底面和顶面是多边形以外，其他的侧面都是长方形。

直棱柱可以看作是一个将长方体顶部和底部移除后得到的几何体。

特点直棱柱的特点如下：1.底面和顶面是相等且平行的多边形，可以是任意形状的多边形，例如正多边形、矩形、梯形等；2.侧面是矩形，其长度等于底面的边长，并且所有侧面都是相等的；3.每个顶点都连接了底面和顶面，且每个侧面都与底面和顶面相邻；4.所有的侧面都是平行的。

计算公式对于直棱柱，我们可以用一些公式来计算其性质。

表面积直棱柱的表面积由底面积、顶面积以及侧面积三部分组成。

一般来说，直棱柱的表面积可以用以下公式来计算：A=2A base+P side⋅H其中，A表示直棱柱的表面积，A base表示底面的面积，P side表示底面的周长，H表示直棱柱的高度。

体积直棱柱的体积可以用底面积乘以高度来计算，即：V=A base⋅H其中，V表示直棱柱的体积。

对角线长度直棱柱的对角线长度可以通过以下公式计算：D=√H2+L2其中，D表示对角线的长度，H表示直棱柱的高度，L表示底面的边长。

应用直棱柱作为一种常见的几何体，可以在许多领域中找到应用。

以下是一些常见的应用场景：1.建筑设计：直棱柱是一种常用的建筑结构，如柱子、烟囱等都可以看作是直棱柱的特例；2.容器设计：一些长方形的容器，如筒形储物柜、笔筒等都属于直棱柱的范畴；3.数学教学：直棱柱是小学数学几何的基础内容，学生通过学习直棱柱可以培养对于三维空间的认识和理解能力。

总结直棱柱是一种具有特定形态和性质的几何体。

通过本文的介绍，我们了解到直棱柱的定义、特点、计算公式以及常见应用场景。

直棱柱具有广泛的应用领域，在建筑、容器设计以及教学等方面都有重要的作用。

理解棱柱概念，提高推理能力作者：陈伟斌来源：《新高考·数学基础》2019年第03期棱柱是一個重要的几何体，以棱柱为背景的立体几何问题，是高考命题的热点，应引起同学们的高度重视.一、准确理解棱柱的概念一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱，仅仅记住定义不能算理解，在“平移”的过程中形成的两个底面、侧面、侧棱有哪些特点呢？这些特点可以看成棱柱的性质：（1）两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行;（2）侧面都是平行四边形;（3）侧棱平行且相等，还要理解直棱柱、正棱柱的性质，直棱柱除了具有棱柱的性质外还具有：侧棱与底面垂直的性质;正棱柱除了具有直棱柱的性质外还具有：底面是正多边形的性质，还要厘清特殊的四棱柱之间的包含关系：如图1.由此可知正四棱柱是平行六面体的一种特殊情况.简单地说，正四棱柱是长方体的特殊情况，正四棱柱都是长方体（包括正方体和底面为正方形的长方体）.正方体都是正四棱柱，但正四棱柱不都是正方体.长方体都是直四棱柱（底面和侧面垂直的四棱柱），但不一定是正四棱柱（长方体底面不一定为正方形）.例1如图2所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1.（l）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？（2）用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？并指出底面;如果不是，请说明理由.解析（l）是棱柱，并且是四棱柱.因为它可以看成由四边形ADD1A1沿AB方向平移至四边形BCClB1形成的几何体，符合棱柱的定义.（2）截面BCFE右边的部分是三棱柱BEBl -CFC1，其中△BEB1与△CFC1是底面.截面BCFE左边的部分是四棱柱ABEA，-DCFDi，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面.评注 1.解答本题的关键是正确掌握棱柱的几何特征，本题易出现认为所分两部分的几何体，一个是棱柱，一个是棱台的错误.2.在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系与区别，不要认为底面就是上下位置，如此题，底面也可放在前后位置.二、正确运用棱柱的条件l.由棱柱概念可直接推出的结论：（l）上下底面互相平行;（2）上下底面是全等的多边形;（3）上下底面对应边平行且相等;（4）侧棱平行且相等;（5）侧面是平行四边形.2.直棱柱可推出的结论：侧棱垂直于底面.3.有些结论不能直接推出，需要有中间步骤.例如，直棱柱不可直接推出：侧棱垂直于底面的一条直线;侧面与底面垂直.三、突出推理过程的逻辑关系立体几何中的逻辑思维能力是以立体几何中的概念、公理与定理为基本形式，以分析与综合、抽象与概括、归纳与演绎为主要方法，并能准确运用数学语言进行表达的思维能力.因此，我们在学习中要突出推理过程的逻辑关系，必须注意如下几点：1.逻辑段有顺序，一个逻辑段出错，从该段起不得分，并列逻辑段不分顺序;2.推理时也允许同时罗列两个逻辑段条件，然后一起给出结论;3.关键词为每个逻辑段的主要条件和结论，在推理证明过程中不可缺少，关键词不容忍字母、数值的差错.比如“AA.上平面A1B1C1”写成“AA1⊥平面A1C1”，得0分;“AA1⊥ AlC1”写成“AA1⊥A1C”，得0分;4.第（l）小题中已经书写的条件、结论，作第（2）小题中的关键词时需写出，或用“由（l）得”替代.在书写过程中会用“义因为”。

高二数学棱柱人教版知识精讲【同步教育信息】一. 本周教学内容：棱柱1. 棱柱的概念与性质2. 直棱柱是特殊的棱柱，具有棱柱的性质且还有自身的特点：（1）侧棱都相等且互相平行，等于棱柱的高；（2）侧面是矩形；（3）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；（4）过不相邻的两条侧棱的侧面（对角面）是矩形。

长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。

3. 特殊的四棱柱：平行六面体①平行六面体的概念与性质【典型例题】例1. 斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1和底面相邻两边AB、AC都成45°角，求这个三棱柱的侧面积。

分析：求斜棱柱的侧面积一般有两种方法一是定义法，一是公式法。

解1：∵AA1和底面AB、AC成等角，且为45°角。

∴A1在底面ABC上的射影在∠BAC的平分线AG上。

又△ABC为正三角形∴AG⊥BC。

∵A1A在底面ABC上的射影在AG上。

∴BC⊥A1A 又A1A∥B1B∴B1B⊥BC，即侧面B1BCC1为矩形∴S B1BCC1＝B1B·BC＝ab又侧面A1ABB1和侧面A1ACC1都是平行四边形，全等。

解2：过点B，在侧面ABB1A1内，作BM⊥A1A，连结CM。

在△ABM和△ACM中，AB＝AC，∠MAB＝∠MAC＝45°，MA为公共边。

∴△ABM≌△ACM ∴∠AMC＝∠AMB＝90°∴A1A⊥截面BMC，即截面BMC为斜三棱柱的直截面。

说明：本题是棱柱侧面积公式的正面应用，公式正用的关键是创造公式中的应用条件，比如作直截面，并确定其周长C1就是为了创造这种条件。

例2. 如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1。

（1）求证：BE＝EB1。

（2）若AA1＝A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。

分析：（1）着眼点：空间线面关系及正三棱柱性质的应用。

柱体、锥体的习题棱柱的性质：（1） 棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的侧面都是全等的矩形。

（2） 与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。

（3） 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。

平行六面体的性质：（1） 平行六面体的任何一个面都可以作为底面；（2） 平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平行；（3） 平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；（4） 长方体的一条对角线的平方等于各棱的平方和。

例1、（1）求证：若长方体一条对角线与同一顶点的三条棱所成的角为αβγ、、， 则222cos cos cos 1αβγ++=（2）求证：若长方体一条对角线与同一顶点的三个侧面所成的角为αβγ、、， 则222cos cos cos 2αβγ++=棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。

正棱锥的性质：（1） 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，斜高都相等。

（2） 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。

例2：已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中心，求异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值。

练习：具有下列哪些性质的三棱锥必定是正三棱锥。

（1） 顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等；（2） 侧面是等腰三角形；（3） 底面三角形的各边分别与相对的侧棱垂直；（4） 底面是正三角形，并且与侧面所成的二面角都相等。

正六棱锥的底面边长为24，侧面与底面所成角为60°，求：（1）棱锥的高；（2）斜高；（3）侧棱长，（4）侧棱与底面所成的角。

圆柱圆柱是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体。

正直棱柱的概念正直棱柱是一种几何体，由底面、顶面和连接底面和顶面的侧面组成。

底面和顶面是相似且平行的多边形，而侧面是连接底面和顶面的矩形。

正直棱柱的特点是其侧面是垂直于底面和顶面的矩形，使得棱柱的所有侧面形成直角。

以下将详细介绍正直棱柱的概念。

正直棱柱是由两个平行且相似的多边形底面和顶面所围成，并由连接底面和顶面的矩形侧面组成的几何体。

这里的多边形底面和顶面可以是任意多边形，但它们需要是相似的，即对应边的比例相等。

而侧面则是通过连接底面和顶面的对应顶点，并在底面和顶面之间形成矩形，因此侧面是垂直于底面和顶面的。

这样就使得正直棱柱的每个侧面形成直角，它们之间互相垂直。

除此之外，正直棱柱的其他要素如下：1. 棱：正直棱柱的每个侧面都有一条边沿着底面或顶面，并且与相邻的侧面的边构成一条棱。

因此，正直棱柱共有两组相等的棱，每组由底面和顶面相对应的边构成。

2. 高：正直棱柱的高是指连接底面和顶面的垂直距离，也就是侧面的宽度。

由于正直棱柱的侧面是矩形，因此高实际上就是矩形的高。

3. 底面和顶面的面积：正直棱柱的底面和顶面是相似的多边形，因此它们的面积也相等，可以通过求底面的面积得到。

正直棱柱的性质：1. 定义唯一性：正直棱柱的形状由底面和顶面的多边形以及连接底面和顶面的矩形侧面决定，因此在已知这些要素的情况下，可以唯一确定一个正直棱柱。

2. 平行性质：正直棱柱的底面和顶面是平行的，而且它们的对应边是相似的。

侧面是垂直于底面和顶面的矩形，因此所有侧面两两平行。

3. 对称性质：正直棱柱具有许多对称性质。

例如，底面和顶面是相似的，因此它们之间可以通过某种对称变换相互转换。

正直棱柱的每个侧面也都具有对称性，可以通过绕着底面或顶面上的棱进行180度旋转来相互转换。

正直棱柱在生活中有许多应用。

它是一种常见的几何形状，出现在许多建筑、物体和自然界中。

例如，许多建筑物的柱子就是正直棱柱的形状。

它们可以用来提供结构支持、承受压力或装饰建筑物。