高三数学棱柱、棱锥的概念和性质1

沙城中学补习班数学第一轮复习学案 编录：刘世亮第64讲：棱柱、棱锥的概念和性质一、棱柱(1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2) 棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形. (3)棱柱的分类：①按底面多边形的边数分类：②按侧棱与底面的位置关系分类: (4)特殊的四棱柱:四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱 →正方体.请在“→”上方添上相应的条件.(5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和. (6)棱柱的体积公式:Sh V 柱,S 是棱柱的底面积,h 是棱柱的高. 二、棱锥1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥. 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.2.正棱锥的性质：(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.3.一般棱锥的性质——定理：棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，则截面和底面相似，且其面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比.4.棱锥的体积: V=13Sh ，其S 是棱锥的底面积，h 是高.三、求体积常见方法有：①直接法（公式法）；②利用体积比：（ⅰ）底面积相同积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的体积之比等于其底面积的比；③分割法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；1.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（BA .B.C .D .2.（2009·开封模拟）已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（CA .23B .14C .5D .63.平行于棱锥底面的截面把棱锥某侧面分成面积比1∶3两部分，则棱锥的侧棱分成两部分长度比（从上到下）为 （ A ） A .1∶1 B .1∶3C .1∶2D .1∶54.已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于2 .典例剖析例1 如图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 是AC 中点.1）求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1（2）求证：AB1∥平面BEC 13）若221=ABA A ，求二面角E —BC 1—C 的大小.（1）证明 ∵ABC —A1B 1C 1A 1A ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AA 1.∵△ABC 是正三角形，E 是AC BE ⊥AC ，又AA 1∩AC =A ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1又∵BE⊂平面BEC 1BEC 1⊥平面ACC 1A 1.（2）证明 连结B 1C ，设BC 1∩B 1C =D ，连结DE .∵ABC —A1B 1C 1BCC 1B 1是矩形，D 是B 1C 的中点.∵E 是AC 的中点，∴AB1∥DE .∵DE ⊂平面BEC 1，AB 1⊄平面BEC 1AB 1∥平面BEC 1.（3）解 作CF ⊥EC 1于F FG ⊥BC 1于G ，连结CG .BEC 1⊥平面ACC 1A 1∴CF ⊥平面BEC1.FG 是CG 在平面BEC 1上的射影.根据三垂线定理得，CG ⊥BC 1.∴∠CGF 是二面角E —BC1—C 的平面角.AB =a ，∵221=AB A A ，则AA 1=22a . 在Rt △ECC1中，CF =.6611a EC CC EC =⋅Rt △BCC 1中，CG =.3311a BC CC BC =⋅在Rt △CFG sin ∠CGF =22=CG CF ，∴∠CGF =45°.E —BC 1—C 的大小为45°.例2 在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 是矩形且AB =2BC =2，侧面△ADE 是正三角形且垂直于底面ABCD ， F 是AB 的中点，AD 的中点为O .求：（1）异面直线AE 与CF 所成的角；（2）点O 到平面EFC（3）二面角E —FC —D 的大小.解 （1）取EB 的中点G ，连结FG ，则FG ∥AE ，∴∠GFC 为AE 与CF 所成的角，∵平面AED ⊥平面ABCD ，∴底面ABCD 是矩形，∴AB ⊥AD∴AB ⊥平面EAD ，∴AB ⊥EA EB =522=+AB EA 同理，EC =5.∴在△EBC 中，由余弦定理得CG =27.FG =21EA =21，CF =222=+BF BC . ∴△CFGcos ∠CFG =42=CF FG ，∴异面直线AE 与CF 所成的角为arccos 42.（2）AD 的中点为O ，则EO ⊥平面ABCD OR ⊥CF 且与CF 交于点R ，则CF ⊥ER∴CF ⊥平面EOR ，又∵CF ⊂平面EFC EOR ⊥平面EFC .过O 作OH ⊥ER 且与ER 交于H ,OH ⊥平面EFC∴OH 的长即为点O 到平面EFC 的距离.S△CFO =S 矩形ABCD —S △AOF -S △CBF -S △COD ，∴OR =423. 在Rt △EOR 中，OH =1053·=ER OR EO .∴所求距离为1053.（3）∠ERO 即为二面角E —FC —D an ∠ERO =EO OR ==∴所求二面角的大小是arctan 36.例3在三棱柱ABC —A1B 1C 1中，AB =2a ，BC =CA =AA 1=a ，A 1在底面ABC 上的射影O 在AC 上. （1）求AB 与侧面A1ACC 12）若O 恰为AC 的中点，求此三棱柱的侧面积.解 （1）∵A1O ⊥平面ABC A 1ACC 1⊥平面ABC .在△ABC 中，由BC =AC =aAB =2a得∠ACB =90°，∠CAB =45°,∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面A 1ACC 1AB 与侧面A 1ACC 1所成的角为∠CAB =45°.（2）O 是AC Rt △AA 1O AA 1=a ，AO =21a A 1AC =60°，过C 作CD ⊥CC 1交AA 1于D ，连结BD ，由（1）知BC ⊥平面A 1ACC 1， ∴BC ⊥CC 1，又BC ⊂平面BCD CD ⊂平面BCD ，BC ∩CD =C ，∴CC 1⊥截面BCD ，∴CC 1⊥BD∴AA 1⊥BDRt △ACD 中，CD =23a ，在Rt △BCD 中，BD =,274322a a a =+ 则S 三棱柱侧=111111C CB B A A CC A A B B S S S ++=AA 1·BD +AA 1·DC +CC 1·BC =.)732(212a ++ 例4.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BCD =90°,PA =PD =DC =CB =21AB ,E 是BP 的中点.1）求证：EC ∥面APD ；（2）求BP 与平面ABCD 所成角的正切值.3）求二面角P —AB —D的大小.1）证明 如图，取PA 中点F ，连结EF 、FDE 是BP∴EF ∥AB 且EF =21AB .DC ∥AB ，DC =21AB EF ∥CD 且EF =CD.∴四边形EFDC 是平行四边形，故得EC ∥FD. 又∵EC ⊄平面PADFD ⊂平面PAD ，∴EC ∥平面ADP.（2）解 取AD 的中点H ，连结PH ，BH PA =PD ，∴PH ⊥AD. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PH ⊥平面ABCD.∴HB 是PB 在平面ABCD 内的射影.PBH 是PB 与平面ABCD 所成的角.由已知∠ABC =∠BCD =90°,∴四边形ABCD 是直角梯形，DC =CB =21AB. 设AB =2a ，则BD =2aADB 中，易得∠DBA =45°,∴AD =2a.PH =a a a DH PD 22212222=-=-.又∵BD 2+AD 2=4a 2=AB2∴△ABD 是等腰直角三角形，∠ADB =90°.∴HB =a a a DB DH 2102212222=+=+.∴在Rt △PHB 中，tan ∠PBH=PH HB（3）解 在平面ABCD 内过点H 作AB 的垂线交AB 于G 点，连结PG ，则HG 是PG 在平面ABCD内的射影，故PG ⊥AB ，所以∠PGH 是二面角P —AB —D由AB =2a ，HA =22a ，又∠HAB =45°,∴HG =21a .Rt △PHG 中，tan ∠PGH=PH HG=∴二面角P —AB —D 的大小为arctan 2. 例5如图所示，三棱锥P ABC -中，PA a =，2AB AC a ==，PABPAC ∠=∠60BAC =∠=︒，求三棱锥P ABC -的体积.(要求用四种不同的方法)PABC。