高中数学选修4-2《矩阵与变换》.1.1 矩阵的概念

高等数学教材矩阵在高等数学教材中，矩阵是一个重要的概念。

矩阵具有广泛的应用，并在许多领域中起着关键作用，如线性代数、概率论、计算机图形学等等。

本文将详细介绍矩阵的定义、基本运算、特殊矩阵等内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵。

一、矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。

其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵中的每个元素可以是任意的数值，可以是实数或复数。

我们用大写字母A、B等来表示矩阵。

二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对于两个行数和列数相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B，即A和B的对应元素相加得到新的矩阵。

2. 矩阵的数乘：将一个矩阵A的每个元素都乘以一个常数k，得到新的矩阵kA。

3. 矩阵的乘法：对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，即A的行与B的列相乘，得到一个新的m行p列的矩阵。

三、特殊矩阵1. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。

2. 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称为单位矩阵，用I表示。

3. 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的矩阵称为对角矩阵。

4. 转置矩阵：将矩阵A的行和列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。

四、矩阵的性质与定理1. 矩阵的加法具有交换律和结合律。

2. 数乘与矩阵的加法满足分配律。

3. 矩阵的乘法具有结合律，但一般不满足交换律。

4. 矩阵的转置满足转置的转置法则，即(A^T)^T = A。

五、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：矩阵可用于解决线性方程组，通过矩阵的运算，可以转化为求解矩阵的逆或行列式等问题。

2. 矩阵的特征值与特征向量：通过矩阵的特征值和特征向量，可以研究矩阵的稳定性、振动问题等。

3. 矩阵在图像处理中的应用：计算机图形学中，矩阵可以用于表示和处理图像，如图像的旋转、缩放、平移等操作。

总结：矩阵是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。

选修4－2 矩阵与变换A[最新考纲]1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质． 4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.知 识 梳 理1．矩阵的乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则： [a 11 a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21 b 12b 22＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ， 其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc－c ad －bca ad －bc . 3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征多项式与特征方程 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ， 故⎩⎨⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的特征方程． (3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎨⎧ x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎨⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征值，ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量． 诊 断 自 测1. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝________.解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1×5＋0×7 0×5＋(－1)×7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－7.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－72．若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212，则AB ＝________. 解析AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0 3．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则AB 的逆矩阵为________． 解析 ∵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 0 ∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 4．函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10014变换作用下的结果为________． 解析 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 14y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′，y ＝4y ′， 代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2，即y ＝14x 2. 答案 y ＝14x 25．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 56 2，则A 的特征值为________． 解析 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2 ＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 答案 7和－4考点一 矩阵与变换【例1】 (2014·苏州市自主学习调查)已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1所对应的变换将直线x －y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎨⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)，在直线x ＋2y ＝1上，所以 (2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎨⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.规律方法 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．【训练1】 已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0,3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T . 解 设T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c bd ，则T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤30→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤03，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1；T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤21→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 解得⎩⎨⎧c ＝1，d ＝－3，综上可知T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －3. 考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解 依题意得由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1，得|M |＝1， 故M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12. 从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1 32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3，故⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3，∴A (2，－3)为所求． 规律方法 求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB )－1＝B －1A －1性质的应用． 【训练2】 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32， (1)求矩阵A 的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0.解 (1)法一 设逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ， 则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2132⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，得⎩⎨⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32. 法二 由公式知若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2132，(2)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0，可转化为⎩⎨⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3，即AX ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，且由(1)， 得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1 －32. 因此，由AX ＝B ，同时左乘A －1，有 A －1AX ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1 －32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－75. 即原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－7，y ＝5.考点三 求矩阵的特征值与特征向量【例3】 已知a ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a21对应的线性变换把点P (1,1)变成点P ′(3,3)，求矩阵A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量． 解 由题意⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a21 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33， 得a ＋1＝3，即a ＝2，矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2 －2λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)， 令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3. ①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝0，2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.因此，α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量； ②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎨⎧2x －2y ＝0，－2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.因此，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量． 规律方法 已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ，求特征值和特征向量，其步骤为： (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(λ－a )－c －b(λ－d )＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ； (2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．【训练3】 (2014·扬州质检)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1－13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解 由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－311λ－3＝ (λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值． 设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程【典例】 二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换T 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．[审题视点] (1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解． (2)知道直线l 在变换T 作用下的直线m ，求原直线，可用坐标转移法． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4. (2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x ′－y ′＝4， 所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即x ＋y ＋2＝0，∴直线l 的方程是x ＋y ＋2＝0.[反思感悟] (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法 .(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误． 【自主体验】(2014·南京金陵中学月考)求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 02，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－101. 解 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－202. 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－202⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′， 于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y2，代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1.所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.一、填空题1．已知变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋4y 5x ＋6y ，则该变换矩阵为________． 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ＋4y ，y ′＝5x ＋6y ，可写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 45 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 45 6 2．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 75 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1等于________． 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 75 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3×2－75×2－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 23．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1的逆矩阵为________． 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1＝5，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：9x ＋y －91＝0，则a ＝________，b ＝________. 解析 取l 上两点(0,7)和(3.5,0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7a 91，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3.5 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.53.5b . 由已知(7a,91)，(10.5,3.5b )在l ′上，代入得a ＝0，b ＝－1. 答案 0 －15．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 －36 －3的特征值为________． 解析 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 3－6 λ＋3＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0. ∴λ＝0或λ＝3. 答案 0或3 6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3，则M (2α＋4β)＝________.解析 2α＋4β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8，M (2α＋4β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14－26.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－26 7．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121的作用下变换为曲线C 2，则C 2的方程为________．解析 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′ y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y . 因为P ′是曲线C 1上的点， 所以C 2的方程为(x －2y )2＋y 2＝1. 答案 (x －2y )2＋y 2＝18．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，则满足AX ＝B 的二阶矩阵X 为________．解析 由题意，得A －1＝ AX ＝B ， ∴X ＝A －1B ＝. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1 9．已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，则矩阵A 为________．解析 设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3. 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 10.答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 10 二、解答题10．(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝错误!，求矩阵A 的特征值． 解 因为AA －1＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝错误!，所以A ＝(A －1)－1＝错误!， 于是矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－2 －3λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 11．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.12．(2012·福建卷)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a0b1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，依题意得⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.因为a ＞0，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1. 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－21.。

第二节 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量1．矩阵的逆矩阵(1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．(2)设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E ，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵．(3)(性质1)设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的，A 的逆矩阵记为A －1.(4)(性质2)设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A－1.(5)二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 可逆，当且仅当det A ＝ad －bc ≠0时，A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d det A －b det A －c det A a det A . 2．二阶行列式与方程组的解对于关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若将方程组中行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y，则当D ≠0时，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝D x D.y ＝DyD .3．矩阵特征值、特征向量的相关概念 (1)定义：设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，如果存在实数λ以及非零向量ξ，使得A ξ＝λξ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2)一般地，设ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k ，kξ也是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量．(3)一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线． (4)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，称f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A 的特征多项式，方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0为矩阵A 的特征方程．4．特征向量的应用(1)设A 是一个二阶矩阵，α是矩阵A 的属于特征值λ的任意一个特征向量，则A n α＝λn α(n ∈N *)．(2)性质1 设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2(其中t 1，t 2为实数)，则对任意的正整数n ，有A n α＝t 1λn 1ξ1＋t 2λn2ξ2.1．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0的逆矩阵是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－12．若矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 k 可逆，则k 的值不可能是________．答案：1523．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－a 21 a ＋1不可逆，则实数a 的值为________．解析：由题意|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 1－a 21 a ＋1 ＝2×(a ＋1)－1×(1－a 2)＝a 2＋2a ＋1＝0，∴a ＝－1.答案：－14．对任意实数x ，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3＋m 2－m 2总存在特征向量，则m 的取值范围是________．解析：由条件得f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－x －3－m m －2 λ－2 ＝(λ－x )(λ－2)－(m －2)(－3－m )＝λ2－(x ＋2)λ＋2x ＋(m ＋3)(m －2)＝0有实数根，所有Δ1＝(x ＋2)2－4(2x ＋m 2＋m －6)≥0对任意实数x 恒成立， 所以Δ2＝16＋4(4m 2＋4m －28)≤0， 解得m 的取值范围是－3≤m ≤2. 答案：－3≤m ≤2.5．已知矩阵M 的特征值λ1＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并有特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.则矩阵M ＝________.解析：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－4，故⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝2，c －2d ＝－4，联立以上两个方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244例1 求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 221的逆矩阵．【解析】 法一：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 22 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 故⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3，从而矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 2 －3. 法二：∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 22 1，∴det A ＝－1.∴A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1 －2－1－2－1 3－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 22 －3.【点评】 方法一是待定系数法；方法二是公式法．1．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)、Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)、Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1：如不可逆，请说明理由．【解析】 (1)假设所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，依题意，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4及⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2所以所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 2(2)∵det A ＝2×2－(－1)×1＝5， ∴A 可逆A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25 －15－1(－1)525＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫251－51525.步骤-求⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1a 2 b 2的逆矩阵-求方程组的解例2 (1)求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0.【解析】 (1)法一：设矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2.∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2.法二：∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2， ∴|A |＝4－3＝1，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 －31－11 21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－12.(2)二元一次方程组的系数矩阵为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2，由(1)知A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－1 2. 因此方程⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7 5.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－7，y ＝5. 【点评】 二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1a 2x ＋b 2y ＝c 2(a 1，b 1不同时为零，a 2，b 2不同时为零)的系数矩阵为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1a 2 b 2，只有当|A |≠0时，方程组有唯一解A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 1c 2，若|A |＝0，则方程组有无数解或无解．2．用矩阵方法求解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，4x －5y ＝2.解析：原方程组可以写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 －5⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤82，记M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 －5，其行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 14 －5＝2×(－5)－1×4＝－14≠0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤514 11427－17. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤82＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2例3 给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－14，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(1)求A 的特征值λ1，λ2及对应特征向量α1，α2；(2)求A 4B .【解析】 (1)设A 的一个特征值为λ，由题意知：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λ－1 －21 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21； 当λ2＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11(2)由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝α1＋α2.故A 4B ＝A 4(α1＋α2)＝(24α1)＋(34α2)＝16α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11397. 【点评】 求矩阵的特征值及对应的特征向量是矩阵与变换的重点和难点，解决此类问题首先要利用行列式求出特征徝，然后求出相应的特征向量．请注意每一个特征值对应无数个特征向量，选择坐标为整数的解就能使后面计算简单、方便．3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4.A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12.一、填空题 1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3a6可逆，则实数a 的取值范围是________．解析：矩阵A 可逆当且仅当det(A )≠0， 即6－3a ≠0，∴a ≠2，∴a 的取值范围为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 答案：(－∞，2)∪(2，＋∞)2．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 3232 －12，则矩阵M 的特征向量可以是________．解析：矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－12 －32－32 λ＋12＝λ2－1.由于f (λ)＝0得矩阵M 的特征值为 λ1＝1，λ2＝－1.经计算可得，矩阵M 属于特征值λ＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，而属于特征值λ＝－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－33．设可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 34 5的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c a －1，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：由AA －1＝E得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab ＋3a ac －34b ＋5a 4c －5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝3，4b ＋5a ＝0，4c －5＝1，ab ＋3a ＝1解方程组得a ＝2，b ＝－52，c ＝32.答案：2 －52 324．已知二元一次方程组⎩⎨⎧22x －22y ＝－1，22x ＋22y ＝1，从线性变换的角度求解时应把向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1绕原点作顺时针旋转________的旋转变换．解析：因为方程组⎩⎨⎧22x －22y ＝－1，22x ＋22y ＝1，的矩阵形式是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，它是把向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 绕原点作逆时针旋转π4变换得到⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11，所以解方程组就是把向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1绕原点作顺时针旋转π4的旋转变换．答案：π45．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－3232 12，则A －1＝________.解析：A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－101 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－32－1－323212， ∵|A |＝1－32×12－－1－32×32＝1≠0.∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1＋32－32 1－32. 答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1＋32－32 1－326．现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为：a →1，b →2，…，z →26，双方约定的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 402，发送方传递的密码为67,30,31,8，此组密码所发信息为________．解析：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 40 2，所以det A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 40 2＝2≠0，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 12，而密码矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤67 3130 8，故明码矩阵X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤67 3130 8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 1515 4，对应信息为“good ”．答案：good7．矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1252 3的特征值与特征向量分别为________． 解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 －2－52 λ－3＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)(－52)＝λ2－2λ－8＝0，得矩阵M 的特征值为λ1＝4，λ2＝－2.设属于特征值λ1＝4的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则它满足方程(λ1＋1)x ＋(－2)y ＝0，即5x －2y ＝0.故可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤25为属于特征值λ1＝4的一个特征向量． 设属于特征值λ2＝－2的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，同理可得x ＋2y ＝0.故可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1为属于特征值λ2＝－2的一个特征向量．综上所述，矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1252 3有两个特征值λ1＝4，λ2＝－2，属于λ1＝4的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25；属于λ2＝－2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1. 答案：λ1＝4，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25和λ2＝－2，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1 8．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，则满足方程AX ＝B 的二阶矩阵X ＝________. 解析：∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－4 3， ∴|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －1－4 3＝2×3－(－1)×(－4)＝2≠0. ∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1.∵AX ＝B ，∴X ＝A －1B ， ∴X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －15 －1.答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －15 －1 二、解答题9．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－2 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，求满足AXB ＝C 的矩阵X .解析：AXB ＝C ，所以(A －1A )XB ·B －1＝A －1CB －1而A －1AXB·B －1＝EXBB －1＝X (BB －1)＝X ，所以X ＝A －1CB －1因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1， B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2， 所以X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －31 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1. 10．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤624 4.(1)求矩阵A 的特征值及对应的特征向量；(2)计算矩阵A n .解析：(1)矩阵A 的特征方程为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16＝0. 得矩阵A 的特征值为λ1＝8，λ2＝2.当λ1＝8时，A 属于λ1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，A 属于λ2的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2. (2)设A n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d A n α1＝8n α1，A n α2＝2n α2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n 8n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2n－2·2n ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8nc ＋d ＝8n a －2b ＝2n c －2d ＝－2·2n 解得a ＝2×8n ＋2n 3，b ＝8n －2n 3， c ＝2×8n －2n ＋13，d ＝8n ＋2n ＋13. 故A n ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×8n ＋2n 3 8n －2n 32×8n －2n ＋13 8n ＋2n ＋13. 11．给定矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.(1)求证：M 和N 互为逆矩阵；(2)求证：向量α同时是M 和N 的特征向量；(3)指出矩阵M 和N 的一个公共特征值．解析：(1)证明：因MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，且NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤211 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以M 和N 互为逆矩阵．(2)证明：因为Mα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 所以α是N 的特征向量．因为Nα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 所以α是N 的特征向量． (3)由(2)知，M 对应于特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1的特征值为1，N 对应于特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1的特征值也为1，故1是矩阵M 和N 的一个公共特征值．12．(2011年福建)设矩阵M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a00 b (其中a >0，b >0)①若a ＝2，b ＝3，求M 的逆矩阵M －1；②若曲线C ：x 2＋y 2＝1，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值． 解析：①设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. ∴2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1.即x ＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13. ∴M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1200 13. ②设C 上任一点P (x ，y )，在M 作用下得点P ′(x ′，y ′)则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′by ＝y ′又点P ′(x ′，y ′)在C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1. 即a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程． 又C 的方程为x 2＋y 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.。

选修4－2矩阵与变换 2.1.1 矩阵的概念编写人： 编号：001学习目标1、 了解矩阵的产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题。

2、 了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示。

学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：问题1：已知向量OP ，O(0,0),P(1,3).因此把)3,1(=OP ，如果把OP 的坐标排成一列，可简记为 。

问题2：某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表，并简记为问题3：将方程组⎩⎨⎧=+-=++2423132z y x mz y x 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，并简记为（二）建构数学1. 矩阵:我们把形如⎥⎦⎤⎢⎣⎡31，⎥⎦⎤⎢⎣⎡85609080，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42332m 这样的矩形数字阵列称为矩阵。

用大写黑体拉丁字母A,B,…来表示矩阵2. 矩阵的行：3. 矩阵的列：4. 矩阵的元素：5. 零矩阵：6. 行矩阵：7.列矩阵：练习征？问该图形有什么几何特表示平面中的图形，请现用矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=02204310M 二、课堂训练：例1．用矩阵表示ABC ∆，其中A(-1,0),B(0,2),C(2,0)例2．某种水果的产地为21,A A ,销地为21,B B ，请用矩阵表示产地i A 运到销地j B 水果数量)(ij a ，其中,2,1,2,1==j i例3．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,,例4.的量。

两矿区向三个城市送煤万吨。

请用矩阵表示从万吨、万吨、送煤的量分别是万吨；从乙矿区向城市万吨、万吨、是送煤的量分别矿区向城市向三个城市送煤：从甲某公司负责从两个矿区820360400,,160240200,,C B A C B A三、课后巩固：1、写出方程组⎩⎨⎧-=+=-2312my x y x 变量x,y 的系数矩阵.2、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=c b d a A 23,⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=d a c b B 245，若A=B ，求a ，b ，c ，d.3、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件是C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件4、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 2000是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，求a ，b.5. 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=1sin cos sin cos 1ββααA ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1221B 若A=B ，求α，β.。