新苏科版8下期末2014.6分式的基本性质及运算复习讲义(修改版)

分式、分式的基本性质、分式的加减【本讲教育信息】 一. 教学内容：分式、分式的基本性质、分式的加减二. 教学目标：1. 了解分式的概念，明确分式与整式的区别，并能用分式表示现实情景中的数量关系，体会分式是表示现实世界中的一种量的数学模型，进一步发展符号感。

2. 领会分式基本性质的深刻内涵，并会熟练运用分式的基本性质进行分式的约分和通分。

3. 会进行简单的分式加、减运算并会解决与之有关的化简、求值问题。

三. 教学重点与难点：重点：1. 分式的概念及分式的基本性质；2. 分式的约分和通分；3. 分式的加减运算。

难点：分式的约分和通分。

四. 课堂教学 （一）知识要点：知识点1：分式的概念：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式BA 叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母。

知识点2：分式无意义、有意义：当分式的分母的值为0时，分式没有意义；当分式的分母的值不为0时，分式有意义。

知识点3：分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

式子表示就是：M B M A B A ⋅⋅=，MB M A B A ÷÷=（其中M 是不等于0的整式） 知识点4：分式的约分：根据分式的基本性质， 把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分。

知识点5：最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。

约分通常要将分式化成最简分式或整式。

知识点6：分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的通分。

知识点7：最简公分母：异分母的分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂和积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

知识点8：分式的加减法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

（2）异分母的分式相加减，先通分，再加减。

通常，分式相加减所得的结果应化成最简分式或整式。

【典型例题】例1. 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）a1 （2）1+x x（3）)(31y x + （4）2221y x - （5）yx yx -+ （6）5a（7）πx （8）yx a 2373.0++（9）31x（10）)3(5-+x m yx解：∵（3）（4）（6）（7）的分母均不含字母，∴它们是整式。

数学书，封面是什么图形？样的过程称为特殊化，我们发现分数与分式具有特殊和一般的关系。

分的依据是什么）化为“分式的基本性质”呢？质”呢？（点评：同学们把分数一般化成了分式）个封面问题入手。

1.组成的大长方形的面积为为2.3.过渡：我们得到这样的一个等式，生活中还有没有呢？我们来看另外一个生活实例；1.2.3.需要修改，你是如何根据哪里发现的。

广，单独的一个数是整式吗？）化。

（（在判断之前，b 是如何想的？这个步骤叫做…（因式分解）察变化。

式分解，再观察变化。

乘以了把分母当成一个整体，答案是…； 由，交流自己的想法和困惑；2.（加简单）（（中不含分数．（简洁要关注分式的符号处理。

过渡：当分式的分子和分母都是单项式时，符号如何处理呢？“－”号。

1.2是什么呢？我们来刨根问底？何？一种方法（3.4. 过渡：如果分子、分母有多项式，我们怎么样呢？条件变式的系数是正数．（1.高次项系数是负数，才的规律得到3 过渡：变形之前，分式的样子差别很大，请再写一个分式，使它的值等于创新变式：请再写一个分式，使它的值等于分式的值变吗？般化来证明。

本节课从分数的基本性质出发，用一般化的思路猜测了分式的基本性质，用了课本排列问题和匀速行驶问题完善并验证了分式的基本性质，在性质使用时，需要深入挖掘隐含条件，整体思想，在分式书写时也需要系数化整、符号的正确处理。

同时也领悟了数学的美——变中的不变美、简洁美。

七、板书设计【框架式板书】分式的基本性质 分式的 基本性质 分式的 基本性质 分数 2613=63 分式s a 特殊化 一般化 文字 语言 符号 语言 分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． A B ＝A ×C B ×C A B ＝A ÷C B ÷C (其中C 是不等于0的整式) 应用 化简 注意 系数化整 符号处理 整体思想 隐含条件。

八年级数学下册第10章《分式》复习教案(新版)苏科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册第10章《分式》复习教案(新版)苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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分式教学目标:1．复习分式方程的有关概念2．进一步巩固解分式方程的一般步骤3．能根据实际问题中的条件列分式方程，体会方程的模型思想 教学重点:分式方程的解法与应用 教学难点: 列分式方程 出示本章知识结构知识回顾1、形如 的式子叫做分式，其中A 、B 是整式,B 中必须含有字母.对于任意一个分式，分母都不能为零。

2、分式的加减法则：3、分式的乘除法则:4、分式的乘方法则： 综合运用例1、下列各有理式中，哪些是分式？哪些是整式?例2：当 m 取何值时，分式 有意义?值为零？解：由 m – 3 ≠0，得 m≠3。

所以当 m≠3 时, 分式有意义；由 m 2– 9 =0，得 m=±3.而当 m=3 时，分母 m – 3 =0，分式没有意义，故应舍去， 所以当 m= — 3时，分式的值为零。

()=+c b c a 1c ba +()=+d cb a 2bd bcad +()=⨯c d a b 1ac bd ()=÷c d a b 2ad bcd c a b =⨯24,2,61),(31,23,2,312---+-x x b a y x m x π满足什么条件？应，的值为零时，实数、分式b a a b a 11+-________;3212x x x 无意义，则、若分式=+-392--m m例3、计算：同步练习（ A ）扩大5倍( B ）扩大15倍 （ C ）不变（ D ）是原来的思考:如果把分式 中x 、y 都扩大5倍，则分式的值如何变化？例4:解方程矫正补偿 解分式方程工程问题例5：甲乙两队人员搬运一些电力器材上山,甲队单独完成任务比乙队单独完成任务少用50分钟，若甲、乙两队一起搬运1小时可以完成，问甲、乙两队单独搬运，各需几分钟完成？行程问题例6、甲、乙两地相距150千米,一轮船从甲地逆流航行至乙地，然后又从乙地返回甲地，已知水流的速度为3千米/时，回来时所用的时间是去时的四分之三，求轮船在静水中的速度。

初二数学 10.2 分式的基本性质（2）【学习目标】1．进一步理解分式的基本性质，了解分式约分的依据；2．理解最简分式的概念，会通过约分将分式化为最简分式；【创设情境】1．填空，并说出下列等式的右边是怎样从左边得到的，依据是什么．（1）2()2＝ba a；（2）2()＝ac ca；（3）2216()＝xx y．2．想一想对分数812怎样化简？类比分数：把一个分式的分子，分母都除以公因式之后，就完成了约分．【试一试】例1 约分：(1)32366ab cabc； (2)3()()()＋＋－a ba b a b(3))(9)(242xyyx--．例2 约分：（1）＋－＋－ma mb mca b c；（2）22211－＋－a aa(3)1681623+--xxxx．【练习】1．约分：（1）236a bab；（2）22(1)8(1)－－a aab a；（3）218()24()－－b aa b．2．约分：（1）2222444－＋－a ab ba b；（2）42121－＋＋aa a；（3）22()10()25()25＋－＋＋＋－x y x yx y．【课堂小结】说说本节课的收获。

【家庭作业】课课练今日课时。

?分式?章节复习总结、复习目标与要求1 .本章主要学习了分式的根本概念和性质,分式的加减法和乘除法、含有字母系数的一元一次方程和分式方程的解法以及可化为一元一次方程的分式方程及其应用.2 .应当注意理解分式、有理式的概念,会求分式有意义的条件.应注意掌握分式的根本性质,能用它将分式变形,并能熟练进行通分和约分,掌握分式加减、乘除的运算法那么,进行分式的运算.3 .掌握含有字母系数的一元一次方程的解法,会进行简单的公式变形,深入理解分式方程的概念,掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,并能判定分式方程的增根,掌握可化为一元一次方程的分式方程的应用题的解法.4 .在进行分式加减运算时要注意通分,在进行分式的乘除运算中,注意对结果的约分化简.5 .在解含有字母系数的一元一次方程时,用含有字母的式子去乘或除方程的两边时,这个式子的 值不能为零,如果无法判断是否为零,那么应当进行讨论.定义；含字母系数的一元一衩方程 可化为一元一次方程的分式方程的解法 列方式方程就应用题1 .分式及分式的根本性质2 .分式的运算(1)约分：①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.②分式约分的依据：分式的根本性质. ③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的6.解分式方程时,由于可能会产生增根,因而一定要进行检验.分式定义 二、知识结构梳理概念有关耦念 ,有理式 最荷分式 最简公分母分式分式的根本性僦A JxM ¥ = BxM 4 =学皆M 是不等于零的整式) ,oB TM加演法分式的运直 除法中4ab d be分式方程三、重点知识梳理乘方乘.一了就公因式.④约分的结果：最简分式(分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式)(2)分式的乘法：乘法法测：-£ =变.b d bd(3)分式的除法：除法法那么：-^- = - .9=史b d bc bc(4)分式的乘方：求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是(自)：■,bn...... ............. ................. ............................... a a分式的乘方,是把分子、分母各自乘方.用式子表不为：(一)n=F(n为正整数)b b n3.分式方程及其应用(1)分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程注意：它和整式方程的区别就在于分母中是否含未知数(2)分式方程的解法①方程两边都乘以最简公分母,去分母,化为整式方程；②解这个整式方程；③验根(3)分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②设：设未知数；③找：找出相等关系；④列：列出分式方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：检验,既要验证根是否是原分式方程的根,又要验是否符合题意；⑦答：写出答案四、易混、易错,问题辨析1.符号错误a b例1.不改变分式的值,使分式 a b的分子、分母第一项的符号为正.一a 一b诊断：约分的根据是分式的根本性质,将分子、分母的公因式约去,假设分子、分母是多项式,须先分解因式,再约去公因式.错解:一a b a b -a -ba -b诊断：此题错误的原因是把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号.正解:-a b -(a -b) a -b -a -b - (a b) a b2 .运算顺序错误2a - 4 a - 2 例 2.计算：22a 4 a-^ .(a 3)a 4a 3 a 3 错解：原式=2(a -2)+ (a -2) = i-2 ---------------------------- .a 4a 3 a 4a 3诊断：分式的乘除混合运算是同一级运算,运算顺序应从左至右.正解: 原式2a -4 a 3 2(a ： ~2 ------------ ■ ------- .(a 3)= -------------- a 4a 3 a-2 a-13 .错用分式根本性质3.2a - 一 b 例3.不改变分式的值,把分式 ——2一的分子、分母各项系数都化为整数.-a b3(2a --b) 2错解：原式=22------(2 a b) 3 34a -3b2a 3b诊断：应用分式的根本性质时, 分式的分子、分母必须同乘以同一个不为 0的整式,分式的值不变,而此题分子乘以2,分母乘以3,分式的值改变了.(2a --b) 6 正解：原式= ------------- 2 ---------(2a b) 6 312a -9b4a 6b4 .约分中的错误例4.约分:a 2 ab ~22a 2ab b 错解：原式1 1 12 b 23 b 2诊断：此题错误在于添加分数线时,忽略了分数线的括号作用.丘gqx 3 x 2 x 1x 3(x - 1)(x 2 x 1)x 3 x 3 -1 1正解：原式=—— ------- ----------- =—— -(----------- ------------ ) = —————x -11 x -1x -1x - 1 x - 1 x - 1五、典型问题梳理例1.判断以下各代数式中,哪些是分式?a(a b)正斛：原式= ----------- 2(a b)5 .结果不是最简分式例5.计算：力 x -yx 2y 2x - 3y ~22 + ―2 2 ,x 7 x 「y错解:原式=(x 3y )-(x 2y ) (2x -3y ) 2x -2y诊断：分式运算的结果必须化为最简分式,而上面所得结果中分子、分母还有公因式,必须进一步约分化简.正解：原式(x 3y) -(x 2y) (2x -3y) 2x -2y 2(x- y) 222二—2 2 二 IT 二x -yx —y (x y)(x-y) x y6 .误用分配律…、— m 2m 2 例 6.计算： ------------- 〒(m + 2 -------- ).2m -4 m - 21 J 3 -m 2(m -2)2 - 2(m -2)- m 2错解：原式=m --(m - 2) 2(m -2)2(m -2) m -2 诊断：乘法对加法有分配律,而除法对加法没有分配律.正解：原式_2___,m 2 , m -m -6 m 2 m -2 1--------- ~ -------------- = --------- - ----------------- - ------------2(m -2) m -22(m -2) (m 2)(m -3) 2(m -3)7 .忽略分数线的括号作用3例 7.计算：——— x 2 -x -1 .x -1x 3 (x -1)(x 2 - x -1)x -1 x -12x 2 -1 x -1错解:2x - x -11(1) 1+- (2) x (3) x —3x a5解：如果式子分母中含有字母,那么叫做分式,因此(1) (2)是分式,(3)不是分式.例2.使分式(x +7)(x -2)有意义的条件是什么?使分式的值为零的条件是什么？ |x|-7解：使分式有意义的条件是分母的值为零,所以当 |x|—7W0,即XW 土时,分式有意义；使分式值为零的条件是分式分子的值不能为零,分母的值不等于零,所以当 x+7=0或x — 2=0且xw±j 即x=2时,分式的值为零.2m -3m- 29 -m2〃 m -3m m(m -3) m解： -------- 厂二 --- --------------- 二 -- ------9 -m (m 3)(m -3) m 3说明：①当分式的分子、分母为多项式时,先要进行因式分解,才能够依据分式的根本性质进行约 分.②注意对分子、分母符号的处理. 一 x x 4x例5.先化简,再求值：( --------------------- )+——,其中x=2005x -2 x 2 x -2j -r V 14例6.斛方程 --------- --2 ------- =1 .y -1 y -1解：两边同乘以(y+1)(y —1),去分母,得(y+1)2-4=y 2- 1, y 2+2y+1 — 4=y 2—1, y=1检验：把y=1代入最简公分母：(y+1)(y —1)=(1+1)(1 — 1)=0,,y=1是增根.所以,原方程无解...、一一2x 3 -m例7.关于x 的万程 ----------- + ------- =3有增根,求 m 的值.x 122r x解：方程两边都乘以(x-2),得2x-(3-m)=3(x- 2),把x=2代入上面得到的整式方程,得 4-3+m=0.所以 m= — 1.说明：假设分式方程有增根,那么增根一定是使最简公分母等于零的未知数的值 ；反过来,使最简公分母 等于零的未知数的值不一定是方程的增根.例8.某自来水公司水费计算方法如下：假设每户每月用水不超过5 m 3,那么每立方米收费1.5元；假设每户每月用水超过5 m 3,那么超出局部每立方米收取较高的定额费用 .1月份,张家用水量是李家用水量的 3 , 张家当月水费是17.5元,李家当例4.解：原式=x 2 2x -x 2 2x (x 2)(x -2)x -2 1 14x - x 2 - 2007月水费是27.5元.超出5 m3的局部每立方米收费多少元？解：设超出5 m3局部的水,每立方米收费设为x元,根据等量关系,得17.5 -1.5 5 27.5 —1.5 5 2 加、人士加 /曰n------------------ +5= ( ----------------------- +5) X-.解这个万程,得x=2.经检验x=2是所列方程的根.答：超出 5 m3局部的水,每立方米收费2元.六、链接中考x —2 4x 1例9.有一道题先化简,再求值：( ----- 十^——)得———,其中x = -J3. 小玲做题时把x 2 x —4 x —4'x = -J3〞错抄成了‘x =百〞,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事？2x -八5 / x.2 4x 、 1 x .4x 4 4x , 2 ,、 2解：先化间：( ----------- 十二----- )〒二----- = --------- 2 ---------- ^(x — 4) = x +4, 由于x = J3 或x 2 x -4 x -4 x -4x=-石,x2的值均为3,原式的计算结果都是7,所以把‘x = -J3〞错抄成‘x = J3〞,计算结果也是正确的.例9.如图,小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为 3 km,王老师家到学校的路程为0.5 km,由于小明父母战斗在抗非典〞第一线,为了使他能按时到校,王老师每天骑自行车接小明上学.王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍,每天比平时步行上班多用了20分钟,问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？// •学校解：分析题目中的等量关系：王老师骑车速度=王老师步行速度M；厂.王老师家王老师从家出发骑车接小明所用的时间=平时步行上学所用时间+20分钟. /设王老师步彳T速度为x km/h,那么骑自行车的速度为3xkm/h.依题意,得2父3+0.5 ="+型,解得x=5,经检验x=5是原方程的根,•小明家3x x 60这日3 3x=15.答：王老师步行速度为 5 km/h,骑自行车的速度为15 km/ h..例11我市受14号台风云娜〞的影响后,局部街道路面积水比拟严重.为了改善这一状况,市政公司决定将一总长为1200m的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工.假设甲、乙两队合做需12天完成此项工程；假设甲队先做了8天后,剩下的由乙队单独做还需18天才能完工.问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？又甲队每施工一天需要费用2万元,乙队每施工一天需要费用1万元,要使完成该工程所需费用不超过35万元,那么乙工程队至少要施工多少天？解：设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x天,y天.1 1 1——+ —=---- 『依题意得I工y12 解之得「二20,8 18 i y = 30.—+——=1・1「1 y经检验知它们适合方程组和题意.那么甲队每天施工1200及0=60m,乙队每天施工1200 T0=40m.设甲、乙两队实际完成此项工程分别需要a天,b天.依题意得J 解之得b>35[2a+i<35.答：甲、乙两队单独完成此项工程分别需要20天,30天；要使完成该工程所需费用不超过35万元, 那么乙工程队至少要施工15天.。