数学人教A版选修4-4学案：第一讲四柱坐标系与球坐标系

四 柱坐标系与球坐标系简介

1．借助具体实例了解柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法．

2．与空间直角坐标系中刻画点的位置方法相比较，体会它们的区别与联系．

1．柱坐标系

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组________(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作________，其中________________________．

(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为__________

【做一做1－1】 设点P的直角坐标为(1,1,3)，则它的柱坐标是__________．

【做一做1－2】 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是________．

2．球坐标系

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角θ.这样点P的位置就可以用有序数组________表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作__________，其中______________________．

(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为______________

在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r，φ，θ)的方位角，π2－φ称为高低角．

【做一做2】 已知点M的球坐标为(4，π4，3π4)，则它的直角坐标是______，它的柱坐标是______．

答案：1．(1)(ρ，θ，z) P(ρ，θ，z) ρ≥0，0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞

(2) x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，z＝z.

【做一做1－1】 (2，π4，3)

【做一做1－2】 以Oz轴所在直线为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱侧面

2．(1)(r，φ，θ) P(r，φ，θ) r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π

(2) x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ.

【做一做2】 (－2,2,22) (22，3π4，22)

1．空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别

剖析：它们都是三维的坐标，球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标基础上建立的．

在直角坐标中，我们需要三个长度x，y，z，而在柱坐标与球坐标中，我们需要长度，还需要角度．它们是从长度、方向来描述一个点的位置，需要ρ，θ，z或者r，φ，θ.

空间直角坐标：设点M为空间一已知点．我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P，Q，R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x，y，z.于是空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组x，y，z.这组数x，y，z就叫做点M的坐标，并依次称x，y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示)．

坐标为(x，y，z)的点M通常记为M(x，y，z)．这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系．

如果点M在yOz平面上，则x＝0；同样，zOx面上的点，y＝0；如果点M在x轴上，则y＝z＝0；如果M是原点，则x＝y＝z＝0等．

几种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同．

2．建立空间坐标系的方法

剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等．

坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．

当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系．

有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．

有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．

题型一 直角坐标与柱坐标的互化

【例1】 设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标．

分析：把直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，z＝z，求出ρ，θ即可．

反思：由直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，z＝z求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2求ρ，利用tan θ＝yx求θ，在求θ时，要特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．

题型二 直角坐标与球坐标的互化

【例2】 已知点M的球坐标为(2，3π4，3π4)，求它的直角坐标．

分析：利用变换公式 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ求解，其中r＝x2＋y2＋z2，cos φ＝zr，tan θ＝yx.

反思：由直角坐标求球坐标时，可先设点M的球坐标为(r，φ，θ)，利用变换公式 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝yx，cosφ＝zr来求．需要特别注意的是在求φ和θ时，要先弄清楚点M所在的位置．

题型三 求空间一点的坐标

【例3】 一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来．

反思：找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度．

题型四 柱坐标系、球坐标系的应用

【例4】 已知点P1的球坐标是P1(23，π3，π4)，P2的柱坐标是P2(6，π6，1)，求|P1P2|.

分析：可把两点坐标均化为空间直角坐标，再用空间两点间的距离公式求距离．

反思：柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解决．

题型五 易错辨析

【例5】 设点M的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标．

错解：点M的球坐标为(2，2，2)．

答案：【例1】 解：设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，

则有 1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z＝1，解之得ρ＝2，θ＝π4.

因此，点M的柱坐标为(2，π4，1)．

【例2】 解：设点M的直角坐标为(x，y，z)，则有

 x＝2sin3π4cos3π4＝2×22×－22＝－1，y＝2sin3π4sin3π4＝2×22×22＝1，z＝2cos3π4＝2×－22＝－2.

∴点M的直角坐标为(－1,1，－2)．

【例3】 解：以圆形体育场中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m，极轴Ox按逆时针方向旋转17π16，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为2.8 m，因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置．

∴点A的柱坐标为(203，17π16，2.8)．

【例4】 解：设P1的直角坐标为P1(x1，y1，z1)，

则 x1＝23sinπ3cosπ4＝322，y1＝23sinπ3sinπ4＝322，z1＝23cosπ3＝3，

∴P1的直角坐标为(322，322，3)．

设P2的直角坐标为P2(x2，y2，z2)，

则 x2＝6cosπ6＝322，y2＝6sinπ6＝62，z2＝1，

∴P2的直角坐标为(322，62，1)．

∴|P1P2|＝0＋322－622＋3－12

＝30－102.

【例5】 错因分析：球坐标和柱坐标与直角坐标互化的公式记忆混淆，错用公式 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，z＝z.

正解：∵r＝x2＋y2＋z2＝12＋12＋22＝2，

z＝rcos φ＝2，

∴cos

φ＝22.∴φ＝π4.

又∵tan

θ＝yx＝1，∴θ＝π4.

∴点M的球坐标为(2，π4，π4)．

1在空间直角坐标系Oxyz中，方程x＝1表示( )．

A．点 B．直线 C．平面

D．以上都不对

2在空间球坐标系中，方程r＝2(0≤φ≤2，0≤θ＜2π)表示( )．

A．圆 B．半圆 C．球面

D．半球面

3点M的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( )．

A．3(22,,)46 B．(22,,)46

C．(22,,)43 D．3(22,,)43

4空间点P的柱坐标为(6，3，4)，则点P关于z轴的对称点为________．

5把下列用柱坐标表示的各点用直角坐标表示出来．

(1)(2,0，－2)；(2)(π，π，π)

6把下列用球坐标表示的各点用直角坐标表示出来．

(1)(2，,63)；(2)(2，7,44)．

答案：1．C 由空间点的直角坐标的定义知，方程x＝1表示与x轴垂直且到原点的距离为1的平面．

2．D 由空间点的球坐标的定义可知，方程r＝2(0≤φ≤2，0≤θ＜2π)表示半球面．

3．A 设M的球坐标为(r，φ，θ)，