人教版高中数学选修4-4课件：第一讲四柱坐标系与球坐标系简介

1 高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介互动课堂学案 新人教A版选修４－4

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2 四 柱坐标系与球坐标系简介

互动课堂

重难突破

本课时的重点与难点均为对柱坐标系、球坐标系概念的理解及简单应用.

一、柱坐标系

1．定义:如图，建立空间直角坐标系Ｏ—ｘyz，设P是空间任意一点，它在Ｏxｙ平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,０≤θ<２π）来表示点Ｑ在平面Ｏxy上的极坐标。这时点P的位置可用有序数组(ρ,θ，ｚ)(ｚ∈R)表示.这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组（ρ,θ,z）叫做点P的柱坐标,记作P(ρ,θ，z），其中ρ≥０，0≤θ<２π,—∞〈z<+∞。

2。空间点Ｐ的直角坐标（x，ｙ，z）与柱坐标(ρ,θ，z)之间的变换公式为.,cos,coszzyx

二、球坐标系

1.定义:如图，建立空间直角坐标系O-xyz,设P是空间任意一点，连结OP，记｜ＯＰ｜=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Ｑ,Ｏx轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ。这样点P的位置就可以用有序数组（r，φ,θ）表示。这样,空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系）,有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，记作P（r,φ,θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ〈2π。 3

四 柱坐标系与球坐标系简介

课题：球坐标系与柱坐标系

教学目的：

知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法

能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系

教学难点：利用它们进行简单的数学应用

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。

问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？

学生回顾

在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法

极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理

二、讲解新课：

1、球坐标系

设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，连接OP，记| OP

|=r，OP与OZ轴正向所夹的角为，P在oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，点P的位置可以用有序数组),,(r表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)

有序数组),,(r叫做点P的球坐标，其中r≥0，0≤≤，0≤＜2。

空间点P的直角坐标),,(zyx与球坐标),,(r之间的变换关系为：

cossinsincossin2222rzryrxrzyx

2、柱坐标系

设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在

平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系

有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R

空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：

1 四柱坐标系与球坐标系简介

课标解读

1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．

2．知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题.

1．柱坐标系

图1－4－1

如图1－4－1所示，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点．它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R.

2．球坐标系

图1－4－2

建立如图1－4－2所示的空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)．

有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记做P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π)．

3．空间直角坐标与柱坐标的转化

空间点P(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，z＝z .

4．空间直角坐标与球坐标的关系 2 空间点P(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ .

1．要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？

【提示】 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离．

2．在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r＝1分别表示空间中的什么曲面？

(四)柱坐标系与球坐标系

介绍柱坐标系与球坐标系，目的是使学生对坐标系有一个比较完整的认识，能更好地体会和理解坐标法思想.在高中阶段，只对柱坐标系和球坐标系作简单介绍，不要求学生求空间曲线和曲面的方程，用坐标法研究空间曲线和曲面.

1.柱坐标系

为了使学生感到引进柱坐标系的实际需要，教科书选择了确定圆形体育馆看台座位的位置这一现实问题.从问题中所给的条件可以看到，我们需要用“与体育场中心O的距离”“看台距底层的高度”和“以正东方向为基准的方位角”等来描述位置A.在极坐标系的学习中学生已经看到，涉及角度和距离的问题，可以考虑采用极坐标系进行解决，只是这里要刻画的是空间中点的位置，而极坐标系刻画的是平面内点的位置.因此，只要在极坐标系的基础上作适当扩展，把看台距底层的高度也作为一个分量考虑进去，就可以描述位置A了.这就是教科书第17页提出的“类比平面极坐标系”的根据．另一方面，在《数学2(必修)》中．学生学习了空间直角坐标系.而空间直角坐标系可以看成是在平面直角坐标系的基础上增加竖坐标z而得到的.这也是在极坐标系的基础上，通过引进竖坐标z而建立柱坐标系的一个基础.

教学中要注意利用教科书提供的问题情境，引导学生联系已有的关于坐标系的知识，通过学生自己的思考来建立坐标系刻画点A的位置，在此基础上再引出柱坐标系的定义.给出定义后，应当提醒学生注意各坐标分量的取值范围.

教科书的边空给出了空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(,，z)的变换公式.如果学生理解了柱坐标系与极坐标系、空间直角坐标系之间的关系，那么这个公式就容易理解，实际上，它的本质仍然是极坐标与直角坐标的互化.

因为“课标”对柱坐标系的要求很低，只要学生有所了解即可，因此教科书没有给练习和习题，只以“思考”的方式给了两个思考题.教学中应注意把握这个尺度.