b样条插值算法

图像处理之三种常见双立方插值算法

图像处理之三种常见双立方插值算法

双立方插值计算涉及到16个像素点，其中(i’, j’)表示待计算像素点在源图像中的包含

小数部分的像素坐标，dx表示X方向的小数坐标，dy表示Y方向的小数坐标。具体

可以看下图：

根据上述图示与双立方插值的数学表达式可以看出，双立方插值本质上图像16个像素点

权重卷积之和作为新的像素值。

其中R(x)表示插值表达式，可以根据需要选择的表达式不同。常见有基于三角取值、Bell

分布表达、B样条曲线表达式。

1. 基于三角形采样数学公式为 最简单的线性分布，代码实现如下：

1. private double triangleInterpolation( double f )

2. {

3. f = f / 2.0;

4. if( f < 0.0 )

5. {

6. return ( f + 1.0 );

7. }

8. else

9. {

10. return ( 1.0 - f );

11. }

12. }

2.基于Bell分布采样的数学公式如下：

Bell分布采样数学公式基于三次卷积计算实现。代码实现如下：

1. private double bellInterpolation( double x )

2. { 3. double f = ( x / 2.0 ) * 1.5;

4. if( f > -1.5 && f < -0.5 )

5. {

6. return( 0.5 * Math.pow(f + 1.5, 2.0));

7. }

8. else if( f > -0.5 && f < 0.5 )

9. {

10. return 3.0 / 4.0 - ( f * f );

11. }

12. else if( ( f > 0.5 && f < 1.5 ) )

matlab练习程序（B样条曲⾯插值）

可以参考之前的的⽅法。

要想利⽤控制点进⾏B样条曲⾯插值，前提是控制点不能是类似点云⼀样的⽆序点，⼀定要是分布在UV坐标空间中的栅格点。

⽅法就是⾸先对U⽅向进⾏B样条曲线插值，然后利⽤插值的结果再在V⽅向上进⾏B样条曲线插值即可。

下⾯⽤matlab⾃带的Peaks函数作为控制点为例编程。

matlab代码如下：

clear all;close all;clc;

[x,y] = meshgrid(-3:0.3:3);

z = 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ...

- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ...

- 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2);

plot3(x(:),y(:),z(:),'b.');

hold on;

%%对⾏进⾏B样条插值

u = [];v = [];w = [];

[H,~] = size(x);

for k=1:H

re=[];

for i=1:length(x(k,:))-2

for t=0:0.1:1

b0 = 1/2*(1-t)^2;

b1 = 1/2*(-2*t^2+2*t+1);

b2 = 1/2*t^2;

x1=b0*x(k,i)+b1*x(k,i+1)+b2*x(k,i+2);

y1=b0*y(k,i)+b1*y(k,i+1)+b2*y(k,i+2);

z1=b0*z(k,i)+b1*z(k,i+1)+b2*z(k,i+2);

re=[re [x1;y1;z1]];

end

end

u = [u ; re(1,:)];

v = [v ; re(2,:)];

w = [w ; re(3,:)];

end

x = u;y = v;z = w;

plot3(x(:),y(:),z(:),'g.');

%对列进⾏B样条插值

u=[];v=[];w=[];

[~,W] = size(x);

三次b样条插值曲线的节点矢量

B样条曲线是一种用于插值和逼近的数学工具，其优点在于能够产生光滑的曲线，并且对原始数据的变化具有较好的适应性。节点矢量是B样条插值曲线中的一个重要概念，本文将介绍三次B样条插值曲线的节点矢量，并对其原理和应用进行详细讲解。

首先，我们先来了解一下什么是B样条曲线。B样条曲线是一种参数曲线，它是由一些称为控制点的点来定义的。通过调整控制点的位置和权重，我们可以改变曲线的形状和特性。其中，节点矢量是B样条曲线中的一个关键概念，它确定了控制多项式的分段区间。

在三次B样条插值曲线中，我们通常将曲线分成一些小的片段，每个片段由四个控制点来定义。节点矢量可以看作是一个有序的数列，其中的元素决定了每个片段的长度。具体而言，节点矢量中的每个元素代表一个节点值，节点值决定了一个控制多项式的作用范围。节点值的个数通常比控制点的个数多一个，这是为了保证曲线的连续性和光滑性。 节点矢量的构造方法有多种，其中一种常用的方法是等间距节点矢量。在等间距节点矢量中，节点值之间的间隔是均匀的，即每个节点值的差值相等。例如，如果有n个控制点，则等间距节点矢量可以表示为：

[t0, t1, t2, ..., tn] = [0, 1, 2, ..., n]

另一种常用的节点矢量是端点重复节点矢量。在端点重复节点矢量中，首尾的节点值重复出现，而中间的节点值则是等间距分布的。这种节点矢量的好处是可以保证曲线在端点处的光滑性。例如，如果有n个控制点，则端点重复节点矢量可以表示为：

[t0, t1, t2, ..., tn] = [0, 0, 1, 2, ..., n-1, n, n]

除了等间距节点矢量和端点重复节点矢量之外，还有一些其他的节点矢量构造方法，如强度矢量和均匀紧急矢量等。这些方法基本上都是为了满足不同的曲线需求和控制点配置。

在实际应用中，节点矢量的选择对于曲线的形状和特性有着重要的影响。较小的节点间隔可以产生更精细的曲线，但是也会增加计算量；较大的节点间隔可以提高计算效率，但是会导致曲线的精度下降。因此，根据具体的应用需求，我们需要权衡曲线质量和计算效率，选择合适的节点矢量。

第２９卷第１１期　振动与冲击　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ　ＡＮＤ　ＳＨＯＣＫ　

基于Ｂ样条插值的局部均值分解方法研究　

王明达，张来斌，梁伟，段礼祥　

（中国石油大学（北京）机械与储运工程学院，北京１０２２４９）　

摘要：局部均值分解（ＬｏｃａｌＭｅａｎＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＬＭＤ）方法是一种较新的自适应信号分析方法。ＬＭＤ算法的核　

心思想是将原始信号分解为多个乘积函数（Ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ＰＦ），其中每个ＰＦ都是一个包络函数和一个纯调频函数　

的乘积。在ＬＭＤ算法中需要提取信号的局部均值函数和包络估计，然而常规的提取方法会带来局部误差且分解速度慢。　

为了解决此问题，提出了利用三次Ｂ样条对信号上、下极值点进行插值得到上、下包络线，进而获取信号局部均值和包络　

估计的新方法。对仿真信号和机械振动信号的对比实验验证了该方法的优越性。　

关键词：局部均值分解；三次Ｂ样条；样条插值；机械振动信号　

中图分类号：ＴＮ９１１．６　文献标识码：Ａ　

现实中存在着大量的非平稳信号，此类信号包含　

了诸多有用信息，但却难以用常规的频谱分析法进行　

准确提取，因此对此类信号的研究一直是信号处理的　

热点和难点。希尔伯特一黄变换（Ｈｉｌｂｅｒｔ—Ｈｕａｎｇ　Ｔｒａｎｓ—　

ｆｏｒｍ，ＨＨＴ）是近年来发展起来的一种应用于处理非平　

稳信号的方法，其核心内容为经验模态分解（Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ　

Ｍｏｄｅ　Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＥＭＤ）和Ｈｉｌｂｅｒｔ谱分析。对于一　

个复杂非平稳信号来说，首先利用ＥＭＤ将其分解成若　

干个本征模态函数（Ｉｎｔｒｉｎｓｉｃ　Ｍｏｄｅ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ＩＭＦ），每　

个ＩＭＦ都近似为一个单分量时间序列，即某一时刻只　

存在一个频率，然后对各个ＩＭＦ进行Ｈｉｌｂｅｒｔ变换获得　

各自的瞬时频率和瞬时幅值，最后经复合就可以得到　

原始信号完整的时频谱图。目前该方法已在生物医　

学、地震信号处理、机械故障诊断等领域得到了较好地