单片机样条插值算法

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　计算机应用，２０１２，３２（７）：１８６８—１８７０，１８７４　ＩＳＳＮ　１００１．９０８１　ＣＯＤＥＮ　ＪＹＩＩＤＵ　２０１２—０７．Ｏ１　ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｊｏｃａ．ａｎ　文章编号：１００１—９０８１（２０１２）０７—１８６８—０３　ｄｏｉ：１０．３７２４／ＳＰ．Ｊ．１０８７．２０１２．０１８６８　带参数的四次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条　李军成　，刘纯英，杨　炼　（湖南人文科技学院数学与应用数学系，湖南娄底４１７０００）　（￥通信作者电子邮箱ｌｉｊｕｎｃｈｅｎｇ８２＠１２６．ｃｏｒｎ）　摘要：为了克服标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条的不足，给出了一种带参数的四次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条，具有标准三次　Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条完全相同的性质。在插值条件给定时，四次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条的形状可通过改变参数的取值进行调　控。通过选择合适的参数，四次Ｈｅｒｍｉｔｅ曲线能达到Ｇ　连续，而且其整体逼近效果要好于标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样　条。所提出的新样条进一步丰富了Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条理论，也为工程中插值曲线曲面的构造提供了一种新方法。　关键词：三次Ｈｅｒｍｉｔｅ样条；四次Ｈｅｒｍｉｔｅ样条；形状参数；逼近　中图分类号：ＴＰ３９１．４１２　文献标志码：Ａ　Ｑｕａｒｔｉｃ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ　ｓｐｌｉｎｅｓ、　ｎｌ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ＬＩ　Ｊｕｎ—ｃｈｅｎｇ　，ＵＵ　Ｃｈｕｎ—ｙｉｎｇ，ＹＡＮＧ　Ｌｉａｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｕｎａｎ　Ｉｎｓｔｈｕｔｅ　ｏｆＨｕｍａｎｉｔｉｅｓ，Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｏｕｄｉ　Ｈｕｎａｎ　４１７０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ　ｏｖｅｒｃｏｍｅ　ｔｈｅ　ｄｅｆｅｃｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｔａｎｄａｒｄ　ｃｕｂｉｃ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ　ｓｐｌｉｎｅｓ，ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｑｕａｒｔｉｃ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ　ｓｐｌｉｎｅｓ　ｗｉｔｈ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｗａｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｈｉｃｈ　ｉｎｈｅｒｉｔｅｄ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｔａｎｄａｒｄ　ｃｕｂｉｃ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ　ｓｐｌｉｎｅｓ．Ｇｉｖｅｎ　ｔｈｅ　ｓｅｔ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ　ｓｈａｐｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｓｐｌｉｎｅｓ　ｃｏｕｌｄ　ｂｅ　ａｄｊｕｓｔｅｄ　ｂｙ　ｃｈａｎｇｉｎｇ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐ￣ａｍｅｔｅｒｓ．Ｉｆ　ｔｈｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｗｅｒｅ　ｃｈｏｓｅｎ　ｐｒｏｐｅｒｌｙ，ｔｈｅ　ｑｕａｒｔｉｅ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ　ｓｐｌｉｎｅｓ　ｃｏｕｌｄ　ａｃｈｉｅｖｅ　Ｃ２　ｃ０ｎｔｉｎｕｉｔｙ　ａｎｄ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｂｅｔｔｅｒ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　ｓｔａｎｄａｒｄ　ｃｕｂｉｃ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ　ｓｐｌｉｎｅｓ．Ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｎｅｗ　ｓｐｌｉｎｅｓ　ｆｕｒｔｈｅｒ　ｅｎｒｉｃｈｅｄ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｉｅｓ　ｏｆ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ　ｓｐｌｉｎｅｓ，ａｎｄ　ｐｒｏｖｉｄｅｄ　ａ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ｃｕｒｖｅｓ　ａｎｄ　Ｓｕｒｆａｃｅｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃｕｂｉｃ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｓｐｌｉｎｅ；ｑｕａｒｔｉｃ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｓｐｌｉｎｅ；ｓｈａｐｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ；ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　０　引言　１　标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ曲线　在计算机辅助几何设计、计算机图形学及实际工程应用　中，作为一种重要的曲线曲面表示方法，标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插　值样条得到了广泛的研究与应用　Ｊ。但注意到，当插值条　件给定时，标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条存在两点不足：一是其　形状无法修改；二是仅满足Ｃ’连续，逼近效果即被随之确定。　为了在插值条件确定的条件下能灵活地调控曲线曲面的形状　和提高逼近效果，许多学者开始对有理三次插值样条的研究　产生了兴趣　，这些有理型插值样条不仅具有标准三次　Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条的性质，而且带有参数，利用参数的不同取　值不但可以对样条的形状进行调控，而且比传统三次Ｈｅｒｍｉｔｅ　插值样条能更好地逼近被插函数。然而，由于这些样条采用　的是有理形式，因此其表达式变得复杂，计算量也随之变得较　大。　为了克服标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条的不足，本文提出　了一种带参数的四次多项式Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条，该样条不仅　与标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条具有相同的性质，而且其形状　可利用参数的不同取值进行调控。给定插值条件，当参数取　合适值时，四次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条可达到Ｃ　连续，且整体逼　近效果好于标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条。另一方面，所提出　的四次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条避免了使用有理形式，其表达式较　为简洁，计算量也相对较小，从而为插值曲线曲面的构造提供　了一种新方法。　一般地，对于给定的节点０：　０＜　Ｉ＜　２＜…＜　＝ｂ　及数据（　，Ｙ　，ｄ；），其中Ｙ　与ｄ　分别是分划点　（　＝０，１，２，…，　ｎ）处的函数值和一阶导数值，记　＝　＋　一　，ｆ＝　，则区　ｉ　间　，　＋．］上的标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条曲线可表示为：　Ｈｆ（　）＝　ｆ（ｔ）ｙｌ＋　ｆ＋ｔ（ｔ）ｙ　＋ｌ＋口　（ｔ）ｈｌｄｆ＋１３ｌ＋ｌ（ｔ）ｈｉｄｆ＋ｌ；　ｉ＝０，１，２，…，ｎ一１　（１）　其中ｏ／　（ｔ），ｏ／　（ｔ），ｏ／ｌ（ｔ）与　ｆ＋ｌ（ｔ）为标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ基函　数，其表达式为：　ｉ（ｔ）＝１—３ｔ　＋２ｔ　ｔ）＝３ｆ　一２　（２）　（￡）＝ｔ一２ｔ　＋ｔ　＋　（￡）＝一ｔ　＋ｔ　由式（２）定义的标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ基函数满足：　（Ｏ）：　１，　ｆ＋ｌ（０）＝ｏ，　￡（０）：ｏ，｜ｌＢ　＋ｌ（Ｏ）：ｏ，　。（１）＝ｏ，　ｏ／．＋１（１）＝１，　（１）＝ｏ，ＩＢ　（１）＝ｏ，　。（Ｏ）＝ｏ，　（０）：　ｏ，卢　（ｏ）＝１，ＪＢ　ｌ＋ｌ（Ｏ）＝ｏ，　ｆ（１）＝ｏ，ｏ／　ｆ＋ｌ（１）＝ｏ，　（１）：ｏ，　。（１）＝１，且有ａ　（ｔ）＋ｏｔ　（￡）＝１，　（ｔ）＝　一　（１一ｔ）。　由式（１）定义的标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条曲线满足　（　ｆ）＝Ｙｌ，Ｈｉ（ｘⅢ）：Ｙ　，　‘（　ｆ）＝ｄ　，　（　ｆ＋１）＝ｄ…。　标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条是工程中较为常见的一种构　收稿日期：２０１１＿１２・０７；修回日期：２０１２－０２—０９。　基金项目：湖南省教育厅资助科研项目（Ｉ１Ｃ０７０７）。　作者简介：李军成（１９８２一），男，湖北汉川人，讲师，博士研究生，ＣＣＦ会员，主要研究方向：计算机辅助几何设计、图像处理；刘纯英（１９７９一），女，湖　南衡阳人，助教，硕士，主要研究方向：计算机辅助几何设计；杨炼（１９８０一），男，湖南隆回人，讲师，硕士，主要研究方向：计算机辅助几何设计。

２０１４年４月　第３５卷第２期　湘南学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＸｉａｎｇｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ａｐｒ．，２０１４　Ｖ０１．３５　Ｎｏ．２　

样条插值算法在汽车门曲线设计中的应用　

王福鑫，刘石强，廖芳芳　

（湘南学院数学系，湖南郴州４２３０００）　

摘要：在汽车门曲线设计中，运用三次样条插值法构造了严格对角占优的三弯矩方程组，利用追赶法求解方程组，　并用Ｍａｔｌａｂ进行了数值实验得到了数值解，汇出了曲线图，进而，我们将三次样条插值算法与分段线性插值、分段抛物　插值、邻近点插值的结果进行比较，实验结果表明，三次样条插值算法能获得高精度的插值结果．　

关键词：三次样条插值；三弯矩方程组；追赶法；数值解　中图分类号ｉ　１３２４１．３　文献标识码：Ａ　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２—８１７３．２０１４．０２．０２９　

１　问题背景　

汽车造型设计是较为特殊的一个设计范畴，汽车门曲线设计更是一个全新的设计领域，在这个基础上的　

计算机辅助设计因此也具有自身的特点．相对一般产品，汽车门曲线设计的要求非常高，所以汽车门造型设计　

的核心是汽车门的曲线设计．　

在汽车门曲线设计中，为确定满足特定的要求的曲线，所给数据较少时很难有好的近似，但是，如果数据　

很多，那么插值函数变成是高次插值多项式，虽然能得到好的效果，但是计算变得很复杂，随机误差也随之增　

大，从而得不到简单实用的近似函数．所以，目前在汽车门平面曲线设计中，主要采用分段插值．分段线性插值　

与分段二次插值虽然计算简单，也具有一致收敛性，但在各段连接点处只能保证曲线连续而不能保证光滑性　

要求．埃尔米特（Ｈｅｒｍｉｔｅ）插值虽然能保持各节点处都是光滑衔接的，但是要以已知节点导数值为条件，这在　

实际中一般是很难满足的．为了克服尖角问题，需要我们采取一种新的方法一样条插值方法…，即通过分段的　

三次多项式（用样条画出的曲线）．　

将对相邻数据点进行数学模拟，找到得到一条具有二阶连续导数的光滑曲线来拟合所给的数据．这种插　

第５２卷第５期　中山大学学报（自然科学版）　２０１３年９月　ＡＣＴＡ　ＳＣＩＥＮＴＩＡＲＵＭ　ＮＡＴＵＲＡＬＩＵＭ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＡＴＩＳ　ＳＵＮＹＡＴＳＥＮＩ　Ｖｏ１．５２　Ｎｏ．５　Ｓｅｐ．　２０１３　

一种基于Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值的流形学习算法　

顾艳春　，马争鸣　，梁宇滔　（１．佛山科学技术学院电子与信息工程学院，广东佛山５２８０００；　２．中山大学信息科学与技术学院，广东广州５１０２２０）　

摘　要：作为一种有效的非线性降维方法，流形学习在众多领域吸引了广泛的关注并取得了长足的发展。但当　样本点较为稀疏时，样本点的局部邻域很难满足流形学习局部同胚的前提条件，此时流形学习算法往往效果变　差甚至失效。一种有效的解决方法是增加一些新的插值点。但已有的插值方法选取的插值点与原样本点均存在　线性关系。从线性代数的理论来说，由插值点和原有邻域点张成的线性子空间与原有邻域点张成的子空间是一　样的，因此，不会改善线性逼近的误差。而且，插值点没有反应出流形的本质结构和特征，从理论上背离了数　据降维的目的。为此，提出了一种基于Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ非线性插值技术的流形学习算法ＢｂＭＬＡ。由于是从高维曲面　逼近的角度非线性的选择插值点，插值出的样本点不会被原有邻域点线性表示，从而能更好的重构原样本点。　将ＢｂＭＬＡ应用到多个数据集后，图示说明了插值点能够有效的改善邻域内的样本点结构，同时插值后的流形学　习算法具有较好的有效性和稳定性。　关键词：流形学习；数据降维；曲面拟合；插值　中图分类号：ＴＰ３９１．４　文献标志码：Ａ　文章编号：０５２９—６５７９（２０１３）０５—００８２—１０　

Ａ　Ｍａｎｉｆｏｌｄ　Ｌｅａｒｎｉｎｇ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ　

Ｓｐｌｉｎｅ　Ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ　

ＧＵ　Ｙａｎｃｈｕｎ　一，ＭＡ　Ｚｈｅｎｇｍｉｎｇ　，ＬＩＡＮＧ　Ｙｕｔａｏ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｆｏｓｈａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｏｓｈａｎ　５２８０００，Ｃｈｉｎａ；　

第３５卷第２期　２０１５年３月　杭州电子科技大学学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈａｎｇｚｈｏｕ　Ｄｉａｎｚｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｖ０ｌ＿３５　Ｎｏ．２　Ｍａｒ．２Ｏ１５　

ＤＯＩ：１０．１３９５４／ｊ．ｃｎｋｉ．ｈｄｕ．２０１５．０２．０１９　

非均匀三次Ｂ样条曲线插值的ＧＳ・ＰＩＡ算法　

刘晓艳，邓重阳　

（杭州％ｉｆ－科技大学理学院，浙江杭州３１００１８）　

摘要：提出了非均匀三次Ｂ样条曲线插值的ＧＳ。ＰＩＡ算法。该算法与解线性方程组的高斯一赛德尔　迭代法有同样的优点，即把已经更新的点参与到迭代过程来优化迭代过程；同时也具有渐进迭代逼　近方法的优点，即有明确的几何意义，并能得到一系列逐次逼近插值点的非均匀三次Ｂ样条曲线。　关键词：非均匀三次Ｂ样条；迭代算法；渐进逼近　中图分类号：０２４２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１－９１４６（２０１５）０２—００７９—０４　

０　引　言　

数据拟合是求解现实世界中科学与工程问题的基本工具之一。渐进迭代逼近（Ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｖｅ　

Ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ，ＰＩＡ）是一种将数据点拟合成为曲线或曲面的技术。文献［１］在研究样条拟合　

问题时，就基于盈亏修正思想提出了均匀三次Ｂ样条曲线的几何迭代算法。文献［２］在一次学术交　

流讨论会中也阐述了这一思想。文献［３］证明了对于非均匀三次Ｂ样条曲线和曲面同样具有ＰＩＡ性　

质。文献［４］将ＰＩＡ推广到了拥有归一化全正基函数的混合曲线、曲面中。文献［５］证明了有理Ｂ　

样条曲线曲面同样具有这个ＰＩＡ性质。文献［６］比较了不同种类基函数的选取对于收敛速度的影　

响，并且证明了Ｂ样条基函数不仅具有保形和ＰＩＡ性质，而且具有最快的收敛速度。文献［７］设计了　

一种ＰＩＡ方法，本质上来说就是均匀周期三次Ｂ样条的ＰＩＡ方法。文献［８］设计了一种带权值的　

ＰＩＡ来加快拟合的收敛速度。文献［９］发现了ＰＩＡ的局部性质，即渐进迭代逼近可以为每一个数据