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样条函数插值

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样条函数插值

样条函数插值，是在有限的几何点中求出一组平滑函数，可以精确的贴近原来的数据的过程。样条函数插值最早是在19世纪末由V. Schoenberg提出的，用于在复合空间中进行自由流体动力学和扩散模拟的数值方法，随着被提出的时间的推移，样条函数插值得到了不断的发展，现如今被广泛的用于数据拟合、函数拟合、仿射变换、几何曲线建模、机器学习等应用上。

样条函数插值法，通常指用于数据拟合的办法。它是将原先的数据点（插值点）集合连接，形成一系列的平滑曲线，然后在这些曲线上根据每一条曲线规律生成具有明确调整参数的单个函数，即样条曲线函数，该函数可用来表示插值点集合中每一处点，从而可以实现数据拟合。

使用样条函数插值拟合数据的不同之处，就在于样条函数插值拟合完成初始数据可以尽可能的扩展，边界地带可以沿着给定点扩展，此外，它也有良好的几何特性，可以连续变化，具有一定的多参数优化能力，确定多参数的优化问题的逼近度，确定拟合的参数等强大的能力，使其能更有效的完成拟合。

此外，样条函数拟合的原理可以用简单的几何形式来描述，即将整个空间中的点分为三种不同的情况。将首尾的点假定为特定参考点，而中间的点连接成一个平滑曲线，内部每一条曲线段以某种最小二乘拟合方式来生成具体的样条曲线，每条曲线段有两个参数，斜率和曲线弧度。并且根据参数调整，可以使得这条曲线会拟合出原始数据点集中最佳的接近度，同时这条曲线也可以优化在给定参数范围内的定义域内的曲线，以使得样条函数拟合所得结果最接近数据集的原始值。

样条函数拟合的技术广泛应用于数据拟合、函数拟合、图像处理等领域，比如计算机视觉领域中可以应用于精细分割，几何形状拟合，曲线和曲面建模等等。

样条函数拟合一般应用在缺少精确计算的情况下，比如波形拟合和几何图形拟合等情形，它具有在定义域内的精度可控性和多参数优化也很有用，这在曲面建模和机器学习上也有大的应用价值，证明其对普遍的函数估计有着不可忽略的作用。

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带参数的四次Hermite插值样条

带参数的四次Hermite插值样条

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　计算机应用，２０１２，３２（７）：１８６８—１８７０，１８７４　ＩＳＳＮ　１００１．９０８１　ＣＯＤＥＮ　ＪＹＩＩＤＵ　２０１２—０７．Ｏ１　ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｊｏｃａ．ａｎ　文章编号：１００１—９０８１（２０１２）０７—１８６８—０３　ｄｏｉ：１０．３７２４／ＳＰ．Ｊ．１０８７．２０１２．０１８６８　带参数的四次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条　李军成　，刘纯英，杨　炼　（湖南人文科技学院数学与应用数学系，湖南娄底４１７０００）　（￥通信作者电子邮箱ｌｉｊｕｎｃｈｅｎｇ８２＠１２６．ｃｏｒｎ）　摘要：为了克服标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条的不足，给出了一种带参数的四次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条，具有标准三次　Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条完全相同的性质。在插值条件给定时，四次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条的形状可通过改变参数的取值进行调　控。通过选择合适的参数，四次Ｈｅｒｍｉｔｅ曲线能达到Ｇ　连续，而且其整体逼近效果要好于标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样　条。所提出的新样条进一步丰富了Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条理论，也为工程中插值曲线曲面的构造提供了一种新方法。　关键词：三次Ｈｅｒｍｉｔｅ样条；四次Ｈｅｒｍｉｔｅ样条；形状参数；逼近　中图分类号：ＴＰ３９１．４１２　文献标志码：Ａ　Ｑｕａｒｔｉｃ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ　ｓｐｌｉｎｅｓ、　ｎｌ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ＬＩ　Ｊｕｎ—ｃｈｅｎｇ　，ＵＵ　Ｃｈｕｎ—ｙｉｎｇ，ＹＡＮＧ　Ｌｉａｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｕｎａｎ　Ｉｎｓｔｈｕｔｅ　ｏｆＨｕｍａｎｉｔｉｅｓ，Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｏｕｄｉ　Ｈｕｎａｎ　４１７０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ　ｏｖｅｒｃｏｍｅ　ｔｈｅ　ｄｅｆｅｃｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｔａｎｄａｒｄ　ｃｕｂｉｃ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ　ｓｐｌｉｎｅｓ，ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｑｕａｒｔｉｃ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ　ｓｐｌｉｎｅｓ　ｗｉｔｈ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｗａｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｈｉｃｈ　ｉｎｈｅｒｉｔｅｄ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｔａｎｄａｒｄ　ｃｕｂｉｃ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ　ｓｐｌｉｎｅｓ．Ｇｉｖｅｎ　ｔｈｅ　ｓｅｔ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ　ｓｈａｐｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｓｐｌｉｎｅｓ　ｃｏｕｌｄ　ｂｅ　ａｄｊｕｓｔｅｄ　ｂｙ　ｃｈａｎｇｉｎｇ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐ￣ａｍｅｔｅｒｓ．Ｉｆ　ｔｈｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｗｅｒｅ　ｃｈｏｓｅｎ　ｐｒｏｐｅｒｌｙ，ｔｈｅ　ｑｕａｒｔｉｅ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ　ｓｐｌｉｎｅｓ　ｃｏｕｌｄ　ａｃｈｉｅｖｅ　Ｃ２　ｃ０ｎｔｉｎｕｉｔｙ　ａｎｄ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｂｅｔｔｅｒ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　ｓｔａｎｄａｒｄ　ｃｕｂｉｃ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ　ｓｐｌｉｎｅｓ．Ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｎｅｗ　ｓｐｌｉｎｅｓ　ｆｕｒｔｈｅｒ　ｅｎｒｉｃｈｅｄ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｉｅｓ　ｏｆ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ　ｓｐｌｉｎｅｓ，ａｎｄ　ｐｒｏｖｉｄｅｄ　ａ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ｃｕｒｖｅｓ　ａｎｄ　Ｓｕｒｆａｃｅｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃｕｂｉｃ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｓｐｌｉｎｅ；ｑｕａｒｔｉｃ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｓｐｌｉｎｅ；ｓｈａｐｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ；ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　０　引言　１　标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ曲线　在计算机辅助几何设计、计算机图形学及实际工程应用　中，作为一种重要的曲线曲面表示方法，标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插　值样条得到了广泛的研究与应用　Ｊ。但注意到，当插值条　件给定时，标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条存在两点不足：一是其　形状无法修改；二是仅满足Ｃ’连续，逼近效果即被随之确定。　为了在插值条件确定的条件下能灵活地调控曲线曲面的形状　和提高逼近效果，许多学者开始对有理三次插值样条的研究　产生了兴趣　，这些有理型插值样条不仅具有标准三次　Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条的性质，而且带有参数，利用参数的不同取　值不但可以对样条的形状进行调控，而且比传统三次Ｈｅｒｍｉｔｅ　插值样条能更好地逼近被插函数。然而，由于这些样条采用　的是有理形式，因此其表达式变得复杂，计算量也随之变得较　大。　为了克服标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条的不足，本文提出　了一种带参数的四次多项式Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条，该样条不仅　与标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条具有相同的性质，而且其形状　可利用参数的不同取值进行调控。给定插值条件，当参数取　合适值时，四次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条可达到Ｃ　连续，且整体逼　近效果好于标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条。另一方面，所提出　的四次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条避免了使用有理形式，其表达式较　为简洁，计算量也相对较小，从而为插值曲线曲面的构造提供　了一种新方法。　一般地，对于给定的节点０：　０＜　Ｉ＜　２＜…＜　＝ｂ　及数据（　，Ｙ　，ｄ；），其中Ｙ　与ｄ　分别是分划点　（　＝０，１，２，…，　ｎ）处的函数值和一阶导数值，记　＝　＋　一　，ｆ＝　，则区　ｉ　间　，　＋．］上的标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条曲线可表示为：　Ｈｆ（　）＝　ｆ（ｔ）ｙｌ＋　ｆ＋ｔ（ｔ）ｙ　＋ｌ＋口　（ｔ）ｈｌｄｆ＋１３ｌ＋ｌ（ｔ）ｈｉｄｆ＋ｌ；　ｉ＝０，１，２，…，ｎ一１　（１）　其中ｏ／　（ｔ），ｏ／　（ｔ），ｏ／ｌ（ｔ）与　ｆ＋ｌ（ｔ）为标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ基函　数，其表达式为：　ｉ（ｔ）＝１—３ｔ　＋２ｔ　ｔ）＝３ｆ　一２　（２）　（￡）＝ｔ一２ｔ　＋ｔ　＋　（￡）＝一ｔ　＋ｔ　由式（２）定义的标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ基函数满足：　（Ｏ）：　１，　ｆ＋ｌ（０）＝ｏ，　￡（０）：ｏ，｜ｌＢ　＋ｌ（Ｏ）：ｏ，　。（１）＝ｏ，　ｏ／．＋１（１）＝１，　（１）＝ｏ，ＩＢ　（１）＝ｏ，　。（Ｏ）＝ｏ，　（０）：　ｏ，卢　（ｏ）＝１，ＪＢ　ｌ＋ｌ（Ｏ）＝ｏ，　ｆ（１）＝ｏ，ｏ／　ｆ＋ｌ（１）＝ｏ，　（１）：ｏ，　。（１）＝１，且有ａ　（ｔ）＋ｏｔ　（￡）＝１，　（ｔ）＝　一　（１一ｔ）。　由式（１）定义的标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条曲线满足　（　ｆ）＝Ｙｌ，Ｈｉ（ｘⅢ）：Ｙ　，　‘（　ｆ）＝ｄ　，　（　ｆ＋１）＝ｄ…。　标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条是工程中较为常见的一种构　收稿日期：２０１１＿１２・０７；修回日期：２０１２－０２—０９。　基金项目：湖南省教育厅资助科研项目（Ｉ１Ｃ０７０７）。　作者简介：李军成（１９８２一），男，湖北汉川人，讲师，博士研究生，ＣＣＦ会员，主要研究方向：计算机辅助几何设计、图像处理；刘纯英（１９７９一），女，湖　南衡阳人，助教，硕士，主要研究方向：计算机辅助几何设计；杨炼（１９８０一），男，湖南隆回人，讲师，硕士，主要研究方向：计算机辅助几何设计。

关于多项式插值与样条插值补充题

关于多项式插值与样条插值补充题

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关于多项式插值与样条插值补充题

1．试用两种不同的方法求一个三次多项式

()px使在节点010,1xx上满足条件

''''(0)(0)0,(1)(1)1,(0)(0)3,(1)(1)9.pfpfpfpf

2． 已知函数()fx在节点0,x12,xx上的函数值以及一阶导数值如下表：

求一个5次多项式(),px满足

''()()(0,1,2)()()iiiipxfxipxfx

3．求出满足下列插值条件的三次多项式3():Hx

'333(1)2,(0)1,(1)4,(0)0HHHH

4确定系数,,,,abcd使得下列23233(1)2(1)(1),12()(2)(2)(2),23xxxxsxabxcxdxx

是一个三次样条，且23''1()sxdx最小。 x 0 1 2

()fx 0 0 4

'()fx 0 2 0

三次样条插值函数

三次样条插值函数

沈阳航空航天大学

数学软件课程设计

（设计程序）

题目 三次样条插值函数

班级 / 学号

学 生 姓 名

指 导 教 师

沈阳航空航天大学

课 程 设 计 任 务 书

课 程 名 称 数学软件课程设计

院（系） 理学院 专业 信息与计算科学

班级 学号 姓名

课程设计题目 三次样条插值函数

课程设计时间: 2010 年 12月 20日至 2010 年 12月 31日

课程设计的内容及要求：

1. 三次样条插值函数

给出函数在互异点处的值分别为。

(1) 掌握求三次样条插值函数的基本原理；

(2) 编写程序求在第一边界条件下函数的三次样条插值函数；

(3) 在区间上取n=10，20，分别用等距节点对函数

作三次样条插值函数，利用(1)的结果画出插值函数的图形，并在该图形界面中同时画出的图形。

[要求]

1. 学习态度要认真，要积极参与课程设计，锻炼独立思考能力；

2. 严格遵守上机时间安排；

3. 按照MATLAB编程训练的任务要求来编写程序；

4. 根据任务书来完成课程设计论文；

5. 报告书写格式要求按照沈阳航空航天大学“课程设计报告撰写规范”；

6. 报告上交时间：课程设计结束时上交报告；

7. 严谨抄袭行为。

指导教师 年 月 日

负责教师 年 月 日

学生签字 年 月 日

沈阳航空航天大学

课 程 设 计 成 绩 评 定 单

课 程 名 称 数学软件课程设计

c、插值B样条曲线

c、插值B样条曲线

c、插值B样条曲线

摘要：利用Bézier曲线的端点插值性质，得到了构造三次插值样条曲线曲面的一种新的基函数―BB基函数。由BB基函数构造了C1保形三次插值样条曲线；构造了C1双三次插值样条曲面。

关键词：BB基函数 曲线曲面 插值样条 保形

1 引言

参数曲线曲面是CAGD研究的主要内容[1-3]，其中的Bézier方法、B样条方法,NURBS方法因其良好的光顺性、凸包性、形状可调性等，而受到人们的重视，并广泛应用于机械、汽车、航天等各个领域。

然而这几种方法在插值方面却有不足之处, Bézier方法的光滑拼接条件苛刻，B样条方法和NURBS方法不具有插值功能。传统的方法是反算控制顶点[3-4]，这种方法需解大型线性方程，计算费用较大，且曲线的形状难以局部修改。

本文介绍一种具有保形均匀三次B样条插值曲线.在给定的控制多边形的每2个顶点之间插入2个deBoor点，形成一个新的控制多边形，由此所产生的均匀B样条曲线插值于给定的控制多边形的所有顶点.进一步建立相邻四个插值点与新的控制顶点的关系，从而构造一组插值基函数，插值曲线由所构造的基函数和型值点直接表示，插值曲线具有保形凸性和连续性。

2 均匀B样条曲线及其性质

参考文献

[1] Bohemtal W, A survey of curve and surface methods in

CAGD[J]。CAGD，1984，（1）：1－60

[2] Tgoodman T N，Ong B H. Shape preserving interpolation by

space curve[J]。CAGD，1997，15：1－17

[3] 施法中, 计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M]。北京：高等教育出版社，2001

[4] 王天军, 一个反求Bézier曲线控制点的算法[J]。计算机辅助设计与图形学学报，1992，4（3）：36－40