高三数学空间向量夹角与距离(201908)

生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 第3课时 用空间向量解决空间角与距离问题

学习目标 1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角和距离问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．

知识点 空间三种角的向量求法

空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．

角的分类

向量求法 范围

异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b||a||b| 0，π2

直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n| 0，π2

二面角 设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2| [0，π]

(1)直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．(×)

(2)二面角的大小范围是0，π2.(×)

(3)二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．(×)

(4)直线与平面所成角的范围是0，π2.(√)

类型一 求线线角、线面角

例1 (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为________． 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 考点 向量法求直线与直线所成的角

题点 向量法求线线角

答案 3010

解析 如图所示，以C为坐标原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系Cxyz.

设CA＝CB＝CC1＝1，则B(0,1,0)，

M12，12，1，A(1,0,0)，

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1)

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习运用空间向量解决计算空间距离问题。

在向量坐标化的基础上，将空间中点到线、点到面、两条平行线及二平行平面角的距离问题，首先转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决空间距离问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。

课程目标 学科素养

A. 能用向量语言表示点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.

B. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题. 1.数学抽象：向量语言表述空间距离

2.逻辑推理：运用向量运算求解空间距离的原理； 3.数学运算：空间向量的坐标运算解决空间距离问题.

1.教学重点：理解运用向量方法求空间距离的原理

2.教学难点：掌握运用空间向量求空间距离的方法

多媒体

教学过程 教学设计意图

核心素养目标 一、情境导学

如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？

问题：空间中包括哪些距离?求解空间距离常用的方法有哪些?

答案：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离; 传统方法和向量法.

二、探究新知

一、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离

1.点到直线的距离

已知直线l的单位方向向量为μ,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =a,则向量𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l上的投影向量𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ =(a·μ)μ.点P到直线l的距离为PQ=√𝑎2-(𝑎·𝜇)2.

2.两条平行直线之间的距离

求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.

数学教研室个人课堂教学设计

学科 数学

主讲人

课型 常规课 教案序号 1

授课题目 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 授课时间

课标要求 会用向量的方法解决简单的距离、夹角问题

教材分析 这节课位于新教材选修课第一册第一章第四节第二课时的内容，这节课的目标是空间向量的应用，如何利用空间向量解决距离和夹角问题

学情分析 虽然学生已经学习的空间向量，可向量的应用能力还不够，需要教师多加引导，与学生共同推导出求距离与夹角问题的公式，并让学生在练习中掌握。

教学目标

知识与技能.：能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题；

过程与方法：通过具体实例，求解距离，角度问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.

情感态度与价值观：体会转化的思想，了解解决距离，角度的程序

教学重点 理解并掌握用向量方法解决距离、夹角问题的方法和步骤.

教学难点 辨析各种距离、夹角问题并能正确求出各种距离及夹角.

教学方法 引导发现法

教学过程

教学环节 教师活动 学生活动 设计意图

环节一：

课前2分钟 让学生回忆以前如何求点到点，点到直线的距离 回忆并回答

环节二： （一）新课导入 学生复习与回让学生思考向量除了

课堂导入

复习：上节课我们学习了用空间向量研究直线、平面的位置关系，包含哪几部分？

（1）空间中点、直线和平面的向量表示；（2）空间中直线、平面的平行；（3）空间中直线、平面的垂直.

这节课我们继续学习用空间向量研究距离、夹角问题. 答 可以研究直线、平面的位置关系以外，是否还有其它运用，引出新课

环节三：

新课讲授

探究一 用空间向量解决距离问题

问题1 立体几何中的距离问题包括哪些？

（学生自主思考，举手回答，教师总结）

包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离向题等. 直观感受得出立体几何中的距离问题 引出本节课的重点内容

第8课时 空间向量的应用（二）

空间的角与距离 请注意 在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查

异面直线所成角、线面角和面面角的计算，属于中档题，综合

性较强，与平行垂直联系较多. ICT LS |

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③向量求法：设直线4 b的方向向量分别为4, b,其夹角

为(P，则有 cosB =lcos(p 1 =

(2) 直线与平面所成的角.

① 定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内

的射影所成的角.

② 范围：直线和平面所成的角0的取值范围是[0, y].

③ 向量求法：设直线1的方向向量为a,平面的法向量为“，

直线与平面所成的角为e, a与“的夹角为(P，则有sin0 =lcos (P I或 cos0 =sin(p .

(3) 二面角.

① 二面角的取值范围是「0, TT].

② 二面角的向量求法：

(门若人8, CD分别是二面角a—1—0的两个面内与棱1垂直

的异面直线，则二面角的大小就是向量A6与C6的夹角(如图

（ii）设"血分别是二面角a—1—卩的两个面a, p的法向

量，则向量巾1与"2的夹角（或其补角）的大小就是二面角的平面角 的大小（如图②③）. ①

②点面距的求法

如图，设AB为平面a的一条斜线段，〃为平面a的法向量, 则B到平面a的距离d=^p.

R

I夯实双基I

1.判断下面结论是否正确(打“ 丁 ”或“ X ”).

(1) 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.