3．2空间向量的坐标
［读教材·填要点]
1．定理1
设e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则
(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3。
(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定,即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′,z＝z′。
2．定理2（空间向量基本定理)
设e1，e2,e3是空间中三个不共面的单位向量,则
（1）空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.
（2）上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定,即:如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′。
3．空间向量运算的坐标公式
(1) 向量的加减法：
（x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2,y1＋y2,z1＋z2）,
(x1，y1，z1）－(x2，y2，z2)＝（x1－x2，y1－y2，z1－z2）．
（2）向量与实数的乘法：
a（x，y，z) ＝(ax，ay，az)．
(3)向量的数量积：
(x1，y1，z1）·（x2，y2，z2）＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
(4)向量v＝(x,y，z)的模的公式：
｜v｜＝错误!。
(5）向量(x1，y1,z1)，（x2，y2,z2)所成的角α的公式：
cos α＝错误!。 4．点的坐标与向量坐标
(1）一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． （2）两点A（x1,y1，z1)，B(x2，y2，z2）的距离dAB为:
dAB＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12。
（3)线段的中点坐标，等于线段两端点坐标的平均值．
[小问题·大思维]
1．空间向量的基是唯一的吗？
提示:由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一组基,所以空间的基有无数个，因此不唯一．
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1.3 空间向量及其坐标的运算
考点一 坐标的运算
【例1】（1）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）设,xyR，向量(,1,1),b(1,,1),c(2,4,2)axy，
,cacb，则||ab（ ）
A．22 B．10 C．3 D．4
（2）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）已知空间向量1,0,1a，1,1,bn，3ab则向量a与b（0）的夹角为（ ） 思维导图
常见考法
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A．6 B．6或56 C．3 D．3或23
【答案】（1）C（2）B
【解析】,241,2,(1,2,1)bcyyb
,ac214+20,acx
1x，(1,1,1),(2,1,2)aab，222||2(1)23ab，故选：C.
（2）,13ababcosabn解得2n，222,?3ncosab
代入得3 2cosab，又向量夹角范围：0,故,ab的夹角为6，则a与b的夹角，
当0时为6；0时为56.故选：B.
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）下列向量中与向量010a，，平行的向量是（ ）
A．100b，， B．010c，，
C．111d，， D．001e，，
【答案】B
【解析】因为//aa，又00a，，，所以A、C、D选项均不符合00a，，的形式，只有ca满足//ca.故选：B.
2．（2020·全国高二课时练习）已知向量1,0,1a，2,0,2b，若2kabakb，则k的值等于（ ）
A．1 B．35
C．25 D．15
【答案】D
【解析】由已知得a=2，b22，且0ab，
《1.3 空间向量及其运算的坐标表示》教案
【教材分析】
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习空间向量及其运算的坐标表示。
通过类比平面向量及其运算的坐标表示，从而引入空间向量及其运算的坐标表示，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算，以及在空间向量基本定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方法基础。
【教学目标与核心素养】
课程目标 学科素养
A. 了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示
B.掌握空间向量运算的坐标表示
C.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用
D.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题 1.数学抽象：
空间向量运算的坐标表示
2.逻辑推理：空间向量垂直与平行的坐标表示及应用；
3.数学运算：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题；
【教学重点】：理解空间向量的坐标表示及其运算
【教学难点】：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题
【教学过程】
教学过程 教学设计意图 一、情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算.
二、探究新知
一、空间直角坐标系与坐标表示
1.空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{𝑖,𝑗,𝑘},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.
高中数学空间向量运算的坐标表示专项练习
1．下列向量中与向量a＝(0,1,0)平行的向量是( )
A．b＝(1,0,0) B．c＝(0，－1,0)
C．d＝(－1，－1,1) D．e＝(0,0，－1)
2．已知向量a＝(1,0,1)，b＝(2,0，－2)，若(ka＋b)·(a＋kb)＝2，则k的值等于( )
A．1 B．35
C．25 D．15
3．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两点A(1,2,2)，B(2，－2,1)，则|AB|＝( )
A．18 B．12
C．32 D．23
4．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为____．
5．已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1,1，－4)．
(1)计算2a－3b和|2a－3b|．
(2)求〈a，b〉．
A组·素养自测
一、选择题
1．已知向量a＝(2,3,1)，b＝(1,2,0)，则|a－b|等于( )
A．1 B．3 C．3 D．9
2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝13，y＝1 B．x＝12，y＝－4
C．x＝2，y＝－14 D．x＝1，y＝－1
3．(2020·福建省南平市高二期末)在空间中，已知AB→＝(1，－1,0)，DC→＝(－1,0,1)，则异面直线AB与DC所成角的大小为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．(多选题)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，a⊥b，则x＋y的值是( CD )
A．3 B．－1
C．－3 D．1
二、填空题
6．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，则k＝____．
