第二学期期末高二数学(文科)试题及答案

肇庆市中小学教学质量评估

2011—2012学年第二学期统一检测题

高二数学（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知点P的极坐标为)4,2(，则点P的直角坐标为

A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1）

2. 计算2)1(i

A. 2i B. -2i C. 2+2i D. 2-2i

3. 一物体作直线运动，其运动方程为ttts2)(2，则t=0时其速度为

A. -2 B. -1 C. 0 D. 2

4. 设biaz（Rba,），则z为纯虚数的必要不充分条件是

A. a0且b=0 B. a0且b0 C. a=0 D. a=0且b0

5. 直线)20sin(,20cos3tytx（t为参数）的倾斜角是

A. 20 B. 70 C. 110 D. 160

6. 曲线3xy在点P处的切线斜率为k=3，则点P的坐标为

A.（2，8） B.（-2，-8） C.（1，1）或（-1，-1） D. )81,21(

7. 若x是纯虚数，y是实数，且iyyix)3(12，则yx

A. i251 B. i251 C. i251 D. i251

8. 函数xxxfln2)(2的单调增区间是

A. )21,0( B. ),21( C. )21,21( D. )21,(和),21(

9. 函数xxxf11)(，记)()(1xfxf，)]([)(1xffxfkk（*Nk），则)(2012xf

A. x1 B. x C. 11xx D. xx11 10.实数a，b，c满足a+b+c=0，abc>0，则cba111的值

A. 一定是正数 B. 可能是零 C. 一定是负数 D. 无法确定

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

11.已知复数iz43，则||z ▲ .

12.圆心在)2,1(A，半径为1的圆的极坐标方程是 ▲ .

13.定点A（-1，-1）到曲线sincos1yx（为参数）上的点的距离的最小值是 ▲ .

14.设20，已知cos21a，nnaa21，则猜想na的值为 ▲ .

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分12分）

随机抽取100个行人，了解他们的性别与对交通规则的态度之间的关系，得到如下的统计表：

男行人 女行人 合计

遵守交通规则 31 49 80

不遵守交通规则 19 1 20

合计 50 50 100

（1）求男、女行人遵守交通规则的概率分别是多少；

（2）能否有99.9%的把握认为男、女行人遵守交通规则有差别？

附：

)(2kKP 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001

k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

))()()(()(22dbcadcbabcadnK.

16．（本小题满分12分）

为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：

时间x 1 2 3 4

5

命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6

0.4

（1）求小李这5天的平均投篮命中率；

（2）用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率.（线性回归方程axbyˆˆˆ中系数计算公式niiniiixxyyxxb121)())((ˆ，xbyaˆˆ，其中x，y表示样本均值.

17．（本小题满分14分）

设函数cbxxaxxf23231)(，其中0a，曲线)(xfy在点P(0，f(0))处的切线方程为1y.

（1）求b，c的值；

（2）求函数)(xf的单调区间.

18．（本小题满分14分）

设数列}{na的前n项和为Sn，已知11a，nnanS)1(2（*Nn）.

（1）求2a，3a，4a的值；

（2）猜想na的表达式，并加以证明.

19．（本小题满分14分）

如图，用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为am2. 为使所用材料最省，底宽应为多少？

20．（本小题满分14分）

已知函数xxxaxf11ln)(.

（1）若函数)(xf在（0，+）上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）设0qp，求证：qpqpqplnln.

2011—2012学年第二学期统一检测题

高二数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

答案 A B D C A C D B B

C

二、填空题

11. 5 12. sin2 13. 15 14. 12cos2n

三、解答题

15．（本小题满分12分）

解：（1）男行人遵守交通规则的概率为62.05031； （3分） 女行人遵守交通规则的概率为98.05049. （6分）

（2）25.2050502080)1949131(100))()()(()(222dcbadbcabcadnK. （10分）

因为828.1025.202K，

所以有99.9%的把握认为男、女行人遵守交通规则有差别. （12分）

16．（本小题满分12分）

证明：（1）小李这5天的平均投篮命中率为5.054.06.06.05.04.0y. （4分）

（2）小李这5天打篮球的平均时间3554321x（小时） （5分）

01.0210)1()2()1.0(21.011.000)1()1.0()2()())((ˆ22222121niiniiixxyyxxb （7分）

47.0301.05.0ˆˆxbya （9分）

所以47.001.0ˆˆˆxaxby （10分）

当x=6时，53.0ˆy，故预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53. （12分）

17．（本小题满分14分）

解：（1）baxxxf2)( （2分）

由题意，得,0)0(,1)0(ff 即.0,1bc （6分）

（2）由（1），得)()(2axxaxxxf（a>0） （7分）

当x（-，0）时，0)(xf； （9分）

当x（0，a）时，0)(xf； （11分）

当x（a，+）时，0)(xf. （13分）

故函数)(xf的单调增区间为（-，0）与（a，+），单调减区间为（0，a）.（14分）

18．（本小题满分14分）

解：（1）因为11a，nnanS)1(2（*Nn），所以，

当n=2时，2213)(2aaa，得22a； （1分）

当n=3时，33214)(2aaaa，得33a； （2分）

当n=4时，443215)(2aaaaa，得44a. （3分）

（2）猜想)(*Nnnan. （7分）

由nnanS)1(2 ①，可得)2(211nnaSnn ②， （8分）

①-②，得1)1(2nnnnaana， （10分）

所以1)1(nnnaan，即)2(11nnanann， （12分）

也就是1121121anananannn，故)(*Nnnan. （14分）

19．（本小题满分14分）

解：如图，设矩形的底宽为xm，则半圆的半径为2xm，

半圆的面积为28xm2，所以矩形的面积为)8(2xam2，

所以矩形的另一边长为)8(xxam. （2分）

因此铁丝的长为xaxxxaxxxl2)41()8(22)(，ax80， （7分）

所以2241)(xaxl. （9分）

令0241)(2xaxl，得48ax（负值舍去）. （10分）

当)48,0(ax时，0)(xl；当)8,48(aax时，0)(xl. （12分）

因此，48ax是函数)(xl的极小值点，也是最小值点. （13分） xm所以，当底宽为48am时，所用材料最省.

（14分）

20．（本小题满分14分）

解：（1）函数)(xf的定义域为（0，+）. （1分）

222)1(2)1()1(2)(xxxxaxxaxf. （3分）

因为)(xf在（0，+）上单调递增，所以0)(xf在（0，+）上恒成立，

即02)1(2xxa在（0，+）上恒成立. （5分）

当x（0，+）时，由02)1(2xxa得2)1(2xxa. （6分）

设)0(212)1(2)(2xxxxxxg，所以21)(xg（当且仅当x=1时取等号），（7分）

所以21a，即实数a的取值范围为,21. （8分）