第二学期期末高二数学(理科)试题及答案

肇庆市中小学教学目标管理

2011—2012学年第二学期统一检测题

高二数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知点P的极坐标为)4,2(，则点P的直角坐标为

A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1）

2. 一物体作直线运动，其运动方程为ttts2)(2，则t=0时其速度为

A. -2 B. -1 C. 0 D. 2

3. 设biaz（Rba,），则z为纯虚数的必要不充分条件是

A. a0且b=0 B. a0且b0 C. a=0 D. a=0且b0

4. 直线)20sin(,20cos3tytx（t为参数）的倾斜角是

A. 20 B. 70 C. 110 D. 160

5. 已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且6826.0)42(XP，则)2(XP

A. 0.1588 B. 0.1587 C. 0.1586 D. 0.1585

6. 由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，2都不与5相邻的五位数的个数是

A. 24 B. 28 C. 32 D. 36

7. 函数xxxf11)(，记)()(1xfxf，)]([)(1xffxfkk（*Nk），则)(2012xf

A. x1 B. x C. 11xx D. xx11

8.实数a，b，c满足a+b+c=0，abc>0，则cba111的值

A. 一定是正数 B. 可能是零 C. 一定是负数 D. 无法确定

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 请把答案填在题中横线上.

9.已知复数iz43，则||z ▲ . 10. 计算0sinxdx ▲ .

11. 5)1(xx的展开式中含3x项的二项式系数为 ▲ .

12. 圆心在)4,1(A，半径为1的圆的极坐标方程是 ▲ .

13.定点A（-1，-1）到曲线sincos1yx（为参数）上的点的距离的最小值是 ▲ .

14.设20，已知cos21a，nnaa21，则猜想na的值为 ▲ .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

15．（本小题满分12分）

随机抽取100个行人，了解他们的性别与对交通规则的态度之间的关系，得到如下的统计表：

男行人 女行人 合计

遵守交通规则 31 49 80

不遵守交通规则 19 1 20

合计 50 50 100

（1）求男、女行人遵守交通规则的概率分别是多少；

（2）能否有99.9%的把握认为男、女行人遵守交通规则有差别？

附：

)(2kKP 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001

k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

))()()(()(22dbcadcbabcadnK.

16．（本小题满分12分）

为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系： 时间x 1 2 3 4

5

命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6

0.4

（1）求小李这5天的平均投篮命中率；

（2）用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率.（线性回归方程axbyˆˆˆ中系数计算公式niiniiixxyyxxb121)())((ˆ，xbyaˆˆ，其中x，y表示样本均值.

17．（本小题满分14分）

有两盒卡片，一个盒子装有4张，分别标有数字1、1、2、3，另一个盒子也装有4张，分别标有数字2、2、3、4. 现从两个盒子中各取一张卡片.

（1）求取出的两张卡片上的数字为相邻整数的概率；

（2）记ξ为所取两张卡片上的数字之和，求ξ的分布列和数学期望.

18．（本小题满分14分）

设函数cbxxaxxf23231)(，曲线)(xfy在点P(0，f(0))处的切线方程为1y.

（1）求b，c的值；

（2）求函数)(xf的单调区间.

19．（本小题满分14分）

已知数列{an}满足211a，且nnaa111（*Nn）.

（1）证明：121na；

（2）证明：11)52(61||nnnaa.

20．（本小题满分14分）

已知函数xxxaxf11ln)(.

（1）若函数)(xf在（0，+）上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）设0qp，求证：qpqpqplnln.

2011—2012学年第二学期统一检测题

高二数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 A D C A B D B

C

二、填空题

9. 5

10. -2 11.

5

12. )4sin(2或)4cos(2 13. 15

14. 12cos2n

三、解答题

15．（本小题满分12分）

解：（1）男行人遵守交通规则的概率为62.05031； （3分）

女行人遵守交通规则的概率为98.05049. （6分）

（2）25.2050502080)1949131(100))()()(()(222dcbadbcabcadnK. （10分）

因为828.1025.202K，

所以有99.9%的把握认为男、女行人遵守交通规则有差别. （12分）

16．（本小题满分12分）

证明：（1）小李这5天的平均投篮命中率为5.054.06.06.05.04.0y. （4分）

（2）小李这5天打篮球的平均时间3554321x（小时） （5分）

01.0210)1()2()1.0(21.011.000)1()1.0()2()())((ˆ22222121niiniiixxyyxxb （7分）

47.0301.05.0ˆˆxbya （9分）

所以47.001.0ˆˆˆxaxby （10分）

当x=6时，53.0ˆy，故预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53. （12分）

17．（本小题满分14分）

解：（1）从两个盒子中各取一张卡片共有161414CC种取法，取出的两个数字恰为相邻整数的情况有8种，所以取出的两张卡片上的数字为相邻整数的概率为21168P. （4分）

（2）由题意可知ξ的可能取值为3，4，5，6，7. （6分）

4116)3(1212ccP，4116)4(1212ccP，165161)5(1212ccP，

811611)6(P，161)7(P.

所以ξ的分布列为：

ξ 3 4 5 6 7

P

41 41 165 81 161

（11分）

ξ的数学期望为5.416178161655414413E. （14分）

18．（本小题满分14分）

解：（1）baxxxf2)( （2分）

由题意，得,0)0(,1)0(ff 即.0,1bc （6分）

（2）由（1），得)()(2axxaxxxf （7分）

①当a>0时，有x（-，0）时，0)(xf；x（0，a）时，0)(xf；

x（a，+）时，0)(xf. （9分）

②当a=0时，有x（-，+）时，0)(xf. （10分）

③当a<0时，有x（-，a）时，0)(xf；x（a，0）时，0)(xf；

x（0，+）时，0)(xf. （12分）

故当a>0时，函数)(xf的单调增区间为（-，0）与（a，+），单调减区间为（0，a）；当a=0时，函数)(xf的单调增区间为（-，）；当a<0时，函数)(xf的单调增区间为（-，a）与（0，+），单调减区间为（a，0）. （14分）

19．（本小题满分14分）

证明：（1）用数学归纳法证明：121na.

①当n=1时，211a，结论成立； （2分）

②假设当n=k（*Nn）时，结论成立，即121ka， （3分）

那么，当n=k+1时，kkaa111，

因为121ka，所以2123ka，所以32211ka， （4分）

所以1211ka，即当n=k+1时，结论也成立. （5分）

根据①和②，知对任意的*Nn，结论均成立. （6分）

（2）)1)(1(|||1111|||1111nnnnnnnnaaaaaaaa， （7分） 当2n时，由（1）有252)1)(111()1)(1(1111nnnnnaaaaa，（10分）

所以||)52(||)52(||52||12121211aaaaaaaannnnnnn， （13分）

又321112aa，61|2132|||12aa，所以11)52(61||nnnaa. （14分）

20．（本小题满分14分）