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不定积分例题及答案

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第4章 不定积分

内容概要

名称 主要内容

不

疋 不

疋 设 f(X) ， x I，若存在函数F (x)，使得对任意x I均有F (x) f (x)

积

分 积

分 或dF(x) f (x)dx，则称F(x)为f (x)的一个原函数。

的 概 f (x)的全部原函数称为 f (x)在区间1上的不定积分，记为

念

注：(1)若f(X)连续，则必可 积；(2)若F(x),G(x)均为f (x)的原函数，则

F (x) G(x) C。故不定积分的表达式不唯一。

性

质 性质1:

dx f(x)dx f(x)或 d f(x)dx f(x)dx ;

性质 2： F (x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C ;

性质3： [ | f (x) g(x)] dx f (x)dx g(x)dx，,为非零常数。

计

算 第一换元

积分法 设f(u)的原函数为F(u)，u (x)可导，则有换元公式：

方 (凑微分法)

法 第二类

换元积 设x (t)单调、可导且导数不为零， f[ (t)] (t)有原函数F(t)，

分法 则 f(x)dx f( (t)) (t)dt F(t) C F( 1(x)) C

分部积分法

有理函数积 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和； 对真分式的处理

分 按情况确定。

本章 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；

的地 后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求

位与 解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。 从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中

作用 起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度， 几乎完全取决于对这一章掌握的好

坏。这一点随着学习的深入，同学们会曼慢体会到！

课后习题全解

习题4-1

1.求下列不定积分：

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

★(1) x~x

思路 :被积函数 5

2，由积分表中的公式（2）可解。

解： dx

x2 x 5

x 2dx |x2 C

★⑵(? x 1 、&)dx

_. 1

解：(Vx -^)dx

Vx 1 1

(x3 x 2 )dx 1

x3dx 1

x 2dx 1

2x" C

★⑶(2x x2)dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项, 分别积分。

2x

解：(2x X2)dx 2xdx x2dx R 1x3 C

3

★⑷.x(x 3)dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项, 分别积分。

解：\X(x 3)dx 3

x2dx 3 1

x2dx 5 3

x2 2x" C

4 2

思路 :观察到3x一尹 —

x 1 3x2 -后，根据不定积分的线性性质,

1 将被积函数分项，分别积分。

解： c 4 3x 3x 1 , dx x2 1 3x2dx - dx x3 arcta nx C

1 x2

思路:注意到 x2

1 x2 x2 1 1

1 x2 ，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

x

2 x 解： 2dx 1 x dx 2dx

1 x arcta n x

C.

注：容易看出（5）（6） 两题的解题思路是一致的。 一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个

整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★⑺(|-1 + ^3-4T)dx

2 x x x

思路:分项积分。 4

)dx

x xdx 3 x 3dx 4 x 4dx

Ldx x2

思路:分项积分。

「1『）dx x2 1

1 x2 dx 1

dx 3arctanx 2arcsin x C. x2

★★ (9) x x . x dx

思路x x x ？ 看到 1

x2 ，直接积分。

解： .x x xdx 7

x8dx 15 C.

★★ (10) — 1 厂 dx

x (1 x )

思路:裂项分项积分。

解： 1

x2(1 dx x ) Adx

x 1 arcta nx C. x

★

(11)

解： (eL^eL^x (ex 1)dx x C.

★★(12) 3xexdx

思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然 3xex (3e)

2

★★(13) cot xdx

思路:应用三角恒等式“ cot2 x csc2 x 1

★★(15) cos22dx

思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分

解： dx (cosx sin x)dx sinx cosx C.

cosx sin x

cos2x .

★ (18) 2 —dx

cos x sin x

思路:同上题方法，应用“ cos2x cos x sin x ”，分项积分1 1 .x sinx C 2 2 cosx , dx 2

思路: 应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。

解： 1 」 1 」 1 2」 1丄 小

dx 2 dx sec xdx tanx C.

1 cos2x 2cos x 2 2 ★

(17) cos2x , dx cosx sin x ★★

(16)

思路 :不难，关键知道“ cos2x cos2 x sin2x (cosx sin x)(cosx sin x) 解：3xexdx (3e)xdx 便)C.

In (3e)

解： 2 2

cot xdx (csc x 1)dx cotx x C

★★ (14) 2 3x 5 2x

x dx 3x

思路:被积函数 2 3x 5 2x 2 x

5(-)，积分没困难。

3

2 3x 5 2x 解：—AF (2 5(2)x)dx 2x 5止

3 In2 In 3 C.

1 dx 1 cos2x

2 ■ 2 cos2x cos x sin x 解：

思路 :注意到被积函数 - —dx 2 2~dx x sin x 1 —dx sin : 1

2 x

cos x

x x

C. 2 2arcs

inx x2 x2

dx

.1 x2 丄 ，应用公式(5)即可。

.1 x2

思路 :注意到被积函数 1 cos2 x 1 cos2 x

1 cos2x c 2

2cos x 1 2 sec x 2 1，则积分易得。

2

解：1 2 1 cos x dx cos2x -sec2 xdx

2 1 dx

2 tan x x C.

★ 2、设 xf(x)dx arccosx C，求 f(x)

知识点: 考查不定积分(原函数)与被积函数的关系

思路分析： 直接利用不定积分的性质 f(x)dx] f (x)即可o

解 :等式两边对x求导数得：

设f (x)的导函数为sinx ,求 f(x)的原函数全体o

知识点：仍为考查不定积分(原函数) 与被积函数的关系

思路分析:连续两次求不定积分即可o

解： 由题意可知,f (x) sin xdx cosx Ci

所以 f (x)的原函数全体为：(cosx CJdx sin

x Gx C2 o

1

证明函数一e2x,exshx和exchx都是

2 的原函数

chx-shx

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不定积分计算例题

不定积分计算例题

高等数学

二、计算题（共 200 小题，）

1、设xxxf12)(，求)(xf的定义

2、设xxxf11)(，确定)(xf的定义域及值域。

3、设)ln(2)(22xxxxxf，求)(xf的定义域。

4、的定义域，求设)(sin512arcsin)(xfxxxf。

5、的定义域，求设xfxfxxxf1)(22ln)(。

6、的定义域求函数22112arccos)(xxxxxf。

7、设)(xf的定义域为 )()()(mxfmxfxFba，．，)0(m，求)(xF的定义域。

8、的定义域，求设 )(16sin)(2xfxxxf。

9、的定义域，求设)(12)(2xfxxxf。

10、设，求的定义域fxxxfx()lg()256。

11、设，求的定义域fxxxfx()arctan()2512。

12、

,2||)1(110xayxyxfay及满足条件，设.)(yxf及求

13、,55lg)(xxxf设的定义域；确定)()1(xf的值，求若)2(lg)()2(gxxgf。

14、),00()(abcxcbxxaxf，　　设成立，对一切，使求数0)()(xxfxmfm。

15、1)()1(3)2(3)3()(2xfxfxfxfcbxaxxf，计算设的值，其中cba，，是给定的常数。

16、)1()11(1)(2xxxfxxxf　，求设。 17、)()0(13)1(243xfxxxxxxxf，求　设。

18、)()0( )11()1(2xfxxxxf，求　设。

19、及其定义域，求，设)(02)(ln2xfxxxxf。

20、时，且当设 2)(1xxtfxy，)(5222xftty，求。

不定积分练习题及答案

不定积分练习题及答案

1 不定积分练习题

211sin)_________2xdx一、选择题、填空题：、（

22()(ln)_______xefxxfxdx、若是的原函数，则：

3sin(ln)______xdx、

2224()(tan)sec_________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1()7(),_________;18()arcsin,______()xxxefxfxxdxdxyxxFxfxfaxbdxfefxdxcdxxexfxdxxcdxfx、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族中，过点的积分曲线是、则、设则、设则____;9'(ln)1,()________;10()(,)(,)()______;()()()()11()sinsin,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(fxxfxfxababfxABCDxfxdxxxxdxfxFxfxxfxfxdxAFxBxCx、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()cDFxxc

13()[()]()()[()]()()()()()()()dAdfxdxfxBfxdxfxdxdxCdfxfxDdfxfxc、下列各式中正确的是：

(ln)14(),_______11()()ln()()lnxfxfxedxxAcBxcCcDxcxx、设则： 2 115______(1)1()arcsin()arcsin()2arcsin(21)2()arcsin(21)dxxxAxcBxcCxcDxc、

16()[,][,]()()()()()()()()'()fxababAfxBfxCfxDfxfx、若在上的某原函数为零，则在上必有____的原函数恒等于零；的不定积分恒等于零；恒等于零；不恒等于零,但导函数恒为零。

高数不定积分例题

高数不定积分例题

1 不定积分例题

例1、设)(xf的一个原函数是xe2，则)(xf（ ）

A、xe2 B、2xe2 C、4xe2 D、4xe2

分析：因为)(xf的一个原函数是xe2

所以)(xf)(2xe2xe2

答案：B

例2、已知cxdxxxfsin)(，则)(xf（ ）

A、xxsin B、xxsin C、xxcos D、xxcos

分析：对cxdxxxfsin)(两边求导。

得xxxfcos)(，所以)(xfxxcos

答案：C

例3、计算下列不定积分

1、dxxx23)1(

2、dxxeexxx)sin3(2

分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形

解：1、dxxx23)1(dxxxx)12(3

cxxxdxxdxxxdx22321ln22112

2、dxxeexxx)sin3(2dxxdxex2sin1)3(cxexcot3ln1)3(

例4、计算下列积分 2 1、dxxx21

2、dxeexx2)1(

分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(xu，设法将对x求积分转化为对)(xu求积分。

解：1、dxxx21cxxdx2221)1(1121

2、dxeexx2)1(ceedexxx11)1()1(12

例5、计算xdxxsin)1(

分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u，v的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dxv，即dvdxv，使积分变为udv；②代公式，udvvduuv，计算出dxudu；③计算积分vdu

高数不定积分62道经典例题

高数不定积分62道经典例题

- 1 - 高数不定积分62道经典例题

有时，许多学生发现自己在学习不定积分时遇到了困难。不定积分是高数中重要的内容，但它可能有些难懂。为了让学生们能够更加深入地理解不定积分，本文将介绍62道典型的不定积分例题，以帮助大家了解不定积分的概念和方法。

首先，在进行不定积分复习之前，学生们需要了解关于积分的基本知识。积分是用来计算曲线或其他函数下面积的一种数学技术。它可以用来计算从一个曲线下面某一点到另一个曲线下面某一点之间的面积。不定积分是求解不定积分的一种方法，它可以用来解决函数的极限问题。

其次，下面是向大家展示的62道不定积分的例题：

（1）计算cosx dx

（2）计算sinx dx

（3）计算2x^2+3x+1dx

（4）计算∫ex^2dx

（5）计算∫tanxdx

（6）计算∫secx dx

（7）计算sin(2x)dx

（8）计算∫cos2x dx

（9）计算∫(x+1)^2dx

（10）计算∫e^x dx

（11）计算∫cos(2x+1) dx - 2 - （12）计算∫x^2+2x+1dx

（13）计算∫e^(-x^2) dx

（14）计算∫sin^3xdx

（15）计算∫sin2x dx

（16）计算∫cotxdx

（17）计算∫tan2x dx

（18）计算∫3x+2 dx

（19）计算∫sin(3x+1)dx

（20）计算∫tan^2(x) dx

（21）计算∫sec^2x dx

（22）计算∫2x+3 dx

（23）计算∫3x^3+2x^2+5x+1dx

（24）计算∫(x+1)^3 dx

（25）计算∫cos^2x dx

（26）计算∫cos(3x+1) dx