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不定积分例题及答案

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第4章 不定积分

内容概要

名称 主要内容

不

定

积

分 不

定

积

分

的

概

念 设()fx, xI,若存在函数()Fx,使得对任意xI均有 ()()Fxfx

或()()dFxfxdx,则称()Fx为()fx的一个原函数;

()fx的全部原函数称为()fx在区间I上的不定积分,记为

注：1若()fx连续,则必可积；2若(),()FxGx均为()fx的原函数,则()()FxGxC;故不定积分的表达式不唯一;

性

质 性质1：()()dfxdxfxdx或()()dfxdxfxdx；

性质2：()()FxdxFxC或()()dFxFxC；

性质3：[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx,,为非零常数;

计

算

方

法 第一换元

积分法

凑微分法 设()fu的 原函数为()Fu,()ux可导,则有换元公式：

第二类

换元积

分法 设()xt单调、可导且导数不为零,[()]()ftt有原函数()Ft,则

1()(())()()(())fxdxfttdtFtCFxC

分部积分法

有理函数积分 若有理函数为假分式,则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定;

本章

的地

位与

作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题,实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分,最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分;从这种意义上讲,不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用,积分的问题会不会求解及求解的快慢程度,几乎完全取决于对这一章掌握的好坏;这一点随着学习的深入,同学们会慢慢体会到

课后习题全解

习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法; 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分

★12dxxx

思路: 被积函数 5221xxx,由积分表中的公式2可解;

解：5322223dxxdxxCxx

★231()xdxx

思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分;

解：11411133322213()()24dxxxdxxdxxdxxxCx3x

★322xxdx（）

思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分;

解：2232122ln23xxxxdxdxxdxxC（）

★4(3)xxdx

思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分;

解：315322222(3)325xdxxdxxdxxxCx

★★54223311xxdxx

思路:观察到422223311311xxxxx后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分;

解：42232233113arctan11xxdxxdxdxxxCxx

★★6221xdxx 思路:注意到222221111111xxxxx,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分;

解：2221arctan.11xdxdxdxxxCxx

注：容易看出56两题的解题思路是一致的;一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分;

★7xdxxxx34134（-+-）2

思路:分项积分;

解：3411342xdxxdxdxxdxxdxxxxx34134（-+-）2

★82232()11dxxx

思路:分项积分;

解：22223211()323arctan2arcsin.1111dxdxdxxxCxxxx

★★9xxxdx

思路:xxx看到11172488xxxxx,直接积分;

解：715888.15xxxdxxdxxC

★★10221(1)dxxx

思路:裂项分项积分;

解：222222111111()arctan.(1)11dxdxdxdxxCxxxxxxx

★11211xxedxe

解：21(1)(1)(1).11xxxxxxxeeedxdxedxexCee ★★123xxedx

思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变,底数相乘;显然33xxxee（）;

解：333.ln(3)xxxxeedxedxCe（）（）

★★132cotxdx

思路:应用三角恒等式“22cotcsc1xx”;

解：22cot(csc1)cotxdxxdxxxC

★★1423523xxxdx

思路:被积函数 235222533xxxx（）,积分没困难;

解：2()2352232525.33ln2ln3xxxxxdxdxxC（（））

★★152cos2xdx

思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分;

解：21cos11cossin.2222xxddxxxC

★★1611cos2dxx

思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分;

解：221111sectan.1cos2222cosdxdxxdxxCxx

★17cos2cossinxdxxx

思路:不难,关键知道“22cos2cossin(cossin)(cossin)xxxxxxx”;

解：cos2(cossin)sincos.cossinxdxxxdxxxCxx

★1822cos2cossinxdxxx

思路:同上题方法,应用“22cos2cossinxxx”,分项积分; 解：22222222cos2cossin11cossincossinsincosxxxdxdxdxxxxxxxx

★★1911()11xxdxxx

思路:注意到被积函数 2221111211111xxxxxxxxx,应用公式5即可;

解：2111()22arcsin.111xxdxdxxCxxx

★★2021cos1cos2xdxx

思路:注意到被积函数 22221cos1cos11sec1cos2222cosxxxxx,则积分易得;

解：221cos11tansec.1cos2222xxxdxxdxdxCx

★2、设()arccosxfxdxxC,求()fx;

知识点：考查不定积分原函数与被积函数的关系;

思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()dfxdxfxdx即可;

解：等式两边对x求导数得：

★3、设()fx的导函数为sinx,求()fx的原函数全体;

知识点：仍为考查不定积分原函数与被积函数的关系;

思路分析：连续两次求不定积分即可;

解：由题意可知,1()sincosfxxdxxC

所以()fx的原函数全体为：112cossinxCdxxCxC（）;

★4、证明函数21,2xxeeshx和xechx都是sxechxhx-的原函数

知识点：考查原函数不定积分与被积函数的关系; 思路分析：只需验证即可;

解：2xxeechxshx,而22[][][]xxxxdddeeshxechxedxdxdx1()2

★5、一曲线通过点2(,3)e,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程;

知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数不定积分与被积函数的关系;

思路分析：求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可;

解：设曲线方程为()yfx,由题意可知：1[()]dfxdxx,()ln||fxxC；

又点2(,3)e在曲线上,适合方程,有23ln(),1eCC,

所以曲线的方程为()ln||1.fxx

★★6、一物体由静止开始运动,经t秒后的速度是23(/)tms,问：

（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少

（2） 物体走完360米需要多少时间

知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数不定积分与被积函数的关系;

思路分析：求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可;

解：设物体的位移方程为：()yft,

则由速度和位移的关系可得：23[()]3()fttfttCddt,

又因为物体是由静止开始运动的,3(0)0,0,()fCftt;

1 3秒后物体离开出发点的距离为:3(3)327f米；

2令33360360tt秒;

习题4-2

★1、填空是下列等式成立;

知识点：练习简单的凑微分;

思路分析：根据微分运算凑齐系数即可;

解：234111(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212dxdxxdxdxxdxdx 2、求下列不定积分;

知识点：凑微分第一换元积分法的练习;

思路分析：审题看看是否需要凑微分;直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握;此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍

★13tedt

思路:凑微分;

解：33311(3)33tttedtedteC

★23(35)xdx

思路:凑微分;

解：33411(35)(35)(35)(35)520xdxxxxCd

★3132dxx

思路:凑微分;

解：1111(32)ln|32|.322322dxdxxCxx

★43153dxx

思路:凑微分;

解：12333311111(53)(53)(53)(53).3325353dxdxxdxxCxx

★5(sin)xbaxedx

思路:凑微分;

解：11(sin)sin()()cosxxxbbbxaxedxaxdaxbedaxbeCaba

★★6costdtt

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不定积分计算例题

不定积分计算例题

高等数学

二、计算题（共 200 小题，）

1、设xxxf12)(，求)(xf的定义

2、设xxxf11)(，确定)(xf的定义域及值域。

3、设)ln(2)(22xxxxxf，求)(xf的定义域。

4、的定义域，求设)(sin512arcsin)(xfxxxf。

5、的定义域，求设xfxfxxxf1)(22ln)(。

6、的定义域求函数22112arccos)(xxxxxf。

7、设)(xf的定义域为 )()()(mxfmxfxFba，．，)0(m，求)(xF的定义域。

8、的定义域，求设 )(16sin)(2xfxxxf。

9、的定义域，求设)(12)(2xfxxxf。

10、设，求的定义域fxxxfx()lg()256。

11、设，求的定义域fxxxfx()arctan()2512。

12、

,2||)1(110xayxyxfay及满足条件，设.)(yxf及求

13、,55lg)(xxxf设的定义域；确定)()1(xf的值，求若)2(lg)()2(gxxgf。

14、),00()(abcxcbxxaxf，　　设成立，对一切，使求数0)()(xxfxmfm。

15、1)()1(3)2(3)3()(2xfxfxfxfcbxaxxf，计算设的值，其中cba，，是给定的常数。

16、)1()11(1)(2xxxfxxxf　，求设。 17、)()0(13)1(243xfxxxxxxxf，求　设。

18、)()0( )11()1(2xfxxxxf，求　设。

19、及其定义域，求，设)(02)(ln2xfxxxxf。

20、时，且当设 2)(1xxtfxy，)(5222xftty，求。

不定积分练习题及答案

不定积分练习题及答案

1 不定积分练习题

211sin)_________2xdx一、选择题、填空题：、（

22()(ln)_______xefxxfxdx、若是的原函数，则：

3sin(ln)______xdx、

2224()(tan)sec_________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1()7(),_________;18()arcsin,______()xxxefxfxxdxdxyxxFxfxfaxbdxfefxdxcdxxexfxdxxcdxfx、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族中，过点的积分曲线是、则、设则、设则____;9'(ln)1,()________;10()(,)(,)()______;()()()()11()sinsin,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(fxxfxfxababfxABCDxfxdxxxxdxfxFxfxxfxfxdxAFxBxCx、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()cDFxxc

13()[()]()()[()]()()()()()()()dAdfxdxfxBfxdxfxdxdxCdfxfxDdfxfxc、下列各式中正确的是：

(ln)14(),_______11()()ln()()lnxfxfxedxxAcBxcCcDxcxx、设则： 2 115______(1)1()arcsin()arcsin()2arcsin(21)2()arcsin(21)dxxxAxcBxcCxcDxc、

16()[,][,]()()()()()()()()'()fxababAfxBfxCfxDfxfx、若在上的某原函数为零，则在上必有____的原函数恒等于零；的不定积分恒等于零；恒等于零；不恒等于零,但导函数恒为零。

高数不定积分例题

高数不定积分例题

1 不定积分例题

例1、设)(xf的一个原函数是xe2，则)(xf（ ）

A、xe2 B、2xe2 C、4xe2 D、4xe2

分析：因为)(xf的一个原函数是xe2

所以)(xf)(2xe2xe2

答案：B

例2、已知cxdxxxfsin)(，则)(xf（ ）

A、xxsin B、xxsin C、xxcos D、xxcos

分析：对cxdxxxfsin)(两边求导。

得xxxfcos)(，所以)(xfxxcos

答案：C

例3、计算下列不定积分

1、dxxx23)1(

2、dxxeexxx)sin3(2

分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形

解：1、dxxx23)1(dxxxx)12(3

cxxxdxxdxxxdx22321ln22112

2、dxxeexxx)sin3(2dxxdxex2sin1)3(cxexcot3ln1)3(

例4、计算下列积分 2 1、dxxx21

2、dxeexx2)1(

分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(xu，设法将对x求积分转化为对)(xu求积分。

解：1、dxxx21cxxdx2221)1(1121

2、dxeexx2)1(ceedexxx11)1()1(12

例5、计算xdxxsin)1(

分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u，v的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dxv，即dvdxv，使积分变为udv；②代公式，udvvduuv，计算出dxudu；③计算积分vdu

高数不定积分例题[1]

高数不定积分例题[1]

1 不定积分例题

例1、设)(xf的一个原函数是xe2，则)(xf（ ）

A、xe2 B、2xe2 C、4xe2 D、4xe2

分析：因为)(xf的一个原函数是xe2

所以)(xf)(2xe2xe2

答案：B

例2、已知cxdxxxfsin)(，则)(xf（ ）

A、xxsin B、xxsin C、xxcos D、xxcos

分析：对cxdxxxfsin)(两边求导。

得xxxfcos)(，所以)(xfxxcos

答案：C

例3、计算下列不定积分

1、dxxx23)1(

2、dxxeexxx)sin3(2

分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形

解：1、dxxx23)1(dxxxx)12(3

cxxxdxxdxxxdx22321ln22112

2、dxxeexxx)sin3(2dxxdxex2sin1)3(cxexcot3ln1)3(

例4、计算下列积分 2 1、dxxx21

2、dxeexx2)1(

分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(xu，设法将对x求积分转化为对)(xu求积分。

解：1、dxxx21cxxdx2221)1(1121

2、dxeexx2)1(ceedexxx11)1()1(12

例5、计算xdxxsin)1(

分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u，v的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dxv，即dvdxv，使积分变为udv；②代公式，udvvduuv，计算出dxudu；③计算积分vdu