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高等数学不定积分例题及答案

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1 第4章不定积分

内容概要

名称 主要内容

不

定

积

分 不

定

积

分

的

概

念 设()fx，xI，若存在函数()Fx，使得对任意xI均有()()Fxfx

或()()dFxfxdx，则称()Fx为()fx的一个原函数。

()fx的全部原函数称为()fx在区间I上的不定积分，记为

注：（1）若()fx连续，则必可积；（2）若(),()FxGx均为()fx的原函数，则()()FxGxC。故不定积分的表达式不唯一。

性

质 性质1：()()dfxdxfxdx或()()dfxdxfxdx；

性质2：()()FxdxFxC或()()dFxFxC；

性质3：[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx，,为非零常数。

计

算

方

法 第一换元

积分法

（凑微分法） 设()fu的原函数为()Fu，()ux可导，则有换元公式：

第二类

换元积

分法 设()xt单调、可导且导数不为零，[()]()ftt有原函数()Ft，则1()(())()()(())fxdxfttdtFtCFxC

分部积分法

有理函数积分 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。

本章

的地

位与

作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！

课后习题全解

习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1)2dxxx 2 思路:被积函数5221xxx，由积分表中的公式（2）可解。

解：5322223dxxdxxCxx

★(2)31()xdxx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：11411133322213()()24dxxxdxxdxxdxxxCx3x

★(3)22xxdx（）

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln23xxxxdxdxxdxxC（）

★(4)(3)xxdx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：315322222(3)325xdxxdxxdxxxCx

★★(5)4223311xxdxx

思路:观察到422223311311xxxxx后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan11xxdxxdxdxxxCxx

★★(6)221xdxx

思路:注意到222221111111xxxxx，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan.11xdxdxdxxxCxx

注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 3 ★(7)xdxxxx34134（-+-）2

思路:分项积分。

解：3411342xdxxdxdxxdxxdxxxxx34134（-+-）2

★(8)2232()11dxxx

思路:分项积分。

解：22223211()323arctan2arcsin.1111dxdxdxxxCxxxx

★★(9)xxxdx

思路:xxx？看到11172488xxxxx，直接积分。

解：715888.15xxxdxxdxxC

★★(10)221(1)dxxx

思路:裂项分项积分。

解：222222111111()arctan.(1)11dxdxdxdxxCxxxxxxx

★(11)211xxedxe

解：21(1)(1)(1).11xxxxxxxeeedxdxedxexCee

★★(12)3xxedx

思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然33xxxee（）。

解：333.ln(3)xxxxeedxedxCe（）（）

★★(13)2cotxdx

思路:应用三角恒等式“22cotcsc1xx”。

解：22cot(csc1)cotxdxxdxxxC 4 ★★(14)23523xxxdx

思路:被积函数235222533xxxx（），积分没困难。

解：2()2352232525.33ln2ln3xxxxxdxdxxC（（））

★★(15)2cos2xdx

思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。

解：21cos11cossin.2222xxddxxxC

★★(16)11cos2dxx

思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。

解：221111sectan.1cos2222cosdxdxxdxxCxx

★(17)cos2cossinxdxxx

思路:不难，关键知道“22cos2cossin(cossin)(cossin)xxxxxxx”。

解：cos2(cossin)sincos.cossinxdxxxdxxxCxx

★(18)22cos2cossinxdxxx

思路:同上题方法，应用“22cos2cossinxxx”，分项积分。

解：22222222cos2cossin11cossincossinsincosxxxdxdxdxxxxxxxx

★★(19)11()11xxdxxx

思路:注意到被积函数2221111211111xxxxxxxxx，应用公式(5)即可。

解：2111()22arcsin.111xxdxdxxCxxx

★★(20)21cos1cos2xdxx 5 思路:注意到被积函数22221cos1cos11sec1cos2222cosxxxxx，则积分易得。

解：221cos11tansec.1cos2222xxxdxxdxdxCx

★2、设()arccosxfxdxxC，求()fx。

知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。

思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()dfxdxfxdx即可。

解：等式两边对x求导数得：

★3、设()fx的导函数为sinx，求()fx的原函数全体。

知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。

思路分析：连续两次求不定积分即可。

解：由题意可知，1()sincosfxxdxxC

所以()fx的原函数全体为：112cossinxCdxxCxC（）。

★4、证明函数21,2xxeeshx和xechx都是sxechxhx-的原函数

知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：只需验证即可。

解：2xxeechxshx，而22[][][]xxxxdddeeshxechxedxdxdx1()2

★5、一曲线通过点2(,3)e，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。

知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。

解：设曲线方程为()yfx，由题意可知：1[()]dfxdxx，()ln||fxxC；

又点2(,3)e在曲线上，适合方程，有23ln(),1eCC，

所以曲线的方程为()ln||1.fxx

★★6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是23(/)tms，问：

（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？

（2） 物体走完360米需要多少时间？

知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。

解：设物体的位移方程为：()yft， 6 则由速度和位移的关系可得：23[()]3()fttfttCddt，

又因为物体是由静止开始运动的，3(0)0,0,()fCftt。

(1)3秒后物体离开出发点的距离为:3(3)327f米；

(2)令33360360tt秒。

习题4-2

★1、填空是下列等式成立。

知识点：练习简单的凑微分。

思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。

解：234111(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212dxdxxdxdxxdxdx

2、求下列不定积分。

知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！

★（1）3tedt

思路:凑微分。

解：33311(3)33tttedtedteC

★(2)3(35)xdx

思路:凑微分。

解：33411(35)(35)(35)(35)520xdxxxxCd

★(3)132dxx

思路:凑微分。

解：1111(32)ln|32|.322322dxdxxCxx

★(4)3153dxx

思路:凑微分。

解：12333311111(53)(53)(53)(53).3325353dxdxxdxxCxx

★(5)(sin)xbaxedx

思路:凑微分。

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不定积分计算例题

不定积分计算例题

高等数学

二、计算题（共 200 小题，）

1、设xxxf12)(，求)(xf的定义

2、设xxxf11)(，确定)(xf的定义域及值域。

3、设)ln(2)(22xxxxxf，求)(xf的定义域。

4、的定义域，求设)(sin512arcsin)(xfxxxf。

5、的定义域，求设xfxfxxxf1)(22ln)(。

6、的定义域求函数22112arccos)(xxxxxf。

7、设)(xf的定义域为 )()()(mxfmxfxFba，．，)0(m，求)(xF的定义域。

8、的定义域，求设 )(16sin)(2xfxxxf。

9、的定义域，求设)(12)(2xfxxxf。

10、设，求的定义域fxxxfx()lg()256。

11、设，求的定义域fxxxfx()arctan()2512。

12、

,2||)1(110xayxyxfay及满足条件，设.)(yxf及求

13、,55lg)(xxxf设的定义域；确定)()1(xf的值，求若)2(lg)()2(gxxgf。

14、),00()(abcxcbxxaxf，　　设成立，对一切，使求数0)()(xxfxmfm。

15、1)()1(3)2(3)3()(2xfxfxfxfcbxaxxf，计算设的值，其中cba，，是给定的常数。

16、)1()11(1)(2xxxfxxxf　，求设。 17、)()0(13)1(243xfxxxxxxxf，求　设。

18、)()0( )11()1(2xfxxxxf，求　设。

19、及其定义域，求，设)(02)(ln2xfxxxxf。

20、时，且当设 2)(1xxtfxy，)(5222xftty，求。

高等数学测试题四(不定积分)

高等数学测试题四(不定积分)

1 高等数学测试题（四）不定积分部分

一、选择题（每小题4分，共20分）

1、 已知函数2(1)x为()fx的一个原函数，则下列函数中（ ）是()fx的原函数。

A 21x B 21x C 22xx D 22xx

2、已知 ()sinxxefxdxexC，则()fxdx=（ ）

A sinxC B cosxC C cossinxxC D cossinxxC

3、若函数lnxx为()fx的一个原函数，则不定积分()xfxdx=（ ）

A 1lnxCx B 1lnxCx C 12lnxCx D 12lnxCx

4、已知函数()fx在(,)内可导，且恒有()fx=0，又有(1)1f，则函数()fx=（ ）

A -1 B -1 C 0 D x

5、若函数()fx的一个原函数为lnx，则一阶导数()fx=（ ）

A 1x B 21x C lnx D lnxx

二、填空题（每小题4分，共20分）

1、 函数2x为 的一个原函数。

2、 已知一阶导数 2(())1fxdxx ，则(1)f= 2 3、 若()arctanxfxdxxC，则1()dxfx=

4、 已知()fx二阶导数()fx连续，则不定积分

()xfxdx=

5、 不定积分coscos()xxde=

三、解答题

1、（7分）计算 22(1)dxxx

2、（7分）计算 1xdxe

3、（7分）计算 321xdxx

3 4、（7分）计算 254dxxx

5、（8分）计算 65dxxx

高数不定积分例题

高数不定积分例题

1 不定积分例题

例1、设)(xf的一个原函数是xe2，则)(xf（ ）

A、xe2 B、2xe2 C、4xe2 D、4xe2

分析：因为)(xf的一个原函数是xe2

所以)(xf)(2xe2xe2

答案：B

例2、已知cxdxxxfsin)(，则)(xf（ ）

A、xxsin B、xxsin C、xxcos D、xxcos

分析：对cxdxxxfsin)(两边求导。

得xxxfcos)(，所以)(xfxxcos

答案：C

例3、计算下列不定积分

1、dxxx23)1(

2、dxxeexxx)sin3(2

分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形

解：1、dxxx23)1(dxxxx)12(3

cxxxdxxdxxxdx22321ln22112

2、dxxeexxx)sin3(2dxxdxex2sin1)3(cxexcot3ln1)3(

例4、计算下列积分 2 1、dxxx21

2、dxeexx2)1(

分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(xu，设法将对x求积分转化为对)(xu求积分。

解：1、dxxx21cxxdx2221)1(1121

2、dxeexx2)1(ceedexxx11)1()1(12

例5、计算xdxxsin)1(

分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u，v的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dxv，即dvdxv，使积分变为udv；②代公式，udvvduuv，计算出dxudu；③计算积分vdu

不定积分例题及答案_理工类

不定积分例题及答案_理工类

第4章 不定积分 内容概要名称 主要内容 不 设 f x ， x

I ，若存在函数 F x ，使得对任意 x I 均有 F x f x 定 积 或

dF x f xdx ，则称 F x 为 f x 的一个原函数。 分 的 f x 的全部原函数称为 f x 在区间 I 上的不定积分，记为 概 念 f

xdx F x C 注： 1）若 （ f x 连 续 ， 则 必 可 积 ； 2 ）

若 F x G x 均 为 f x 的 原 函 数 ， 则 （ F x G x C 。故不定积分的表达式不唯一。 性 d f xdx f x 或 d f xdx f

xdx ； dx 性质 1： 质不 性质 2： F xdx F x C 或 dF x F x

C ；定积 性质 3： f x g xdx f xdx g xdx ， 为非零常数。分 计 设 f u 的 原函数为 F u ， u x 可导，则有换元公式：

算 第一换元 方 积分法 法 （凑微分法） f x xdx f xd x F x

C 第二类 设x t 单调、可导且导数不为零， f t t 有原函数 F

t ， 换元积 分法 f xdx f t t dt F t C F 1 则 x C 分部积分法

u xv xdx u xdv x u xv x v xdu x 有理函数积 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理

分 按情况确定。本章 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；的地 后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求位与 解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中作用 起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好 坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解习题 4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ dx★1 x 2 x 5 1思路: 被积函数 x 2 ，由积分表中的公式（2）可解。 x2 x 5 3 dx 2解： x 2 x x dx x 2 C 3