第十二章弯曲变形

第十二章

组合变形的强度计算

思 考 题

1 何谓组合变形？如何计算组合变形杆件横截面上任一点的应力？

2 何谓平面弯曲？何谓斜弯曲？二者有何区别？

3 何谓单向偏心拉伸（压缩）？何谓双向偏心拉伸（压缩）？

4 将斜弯曲、拉（压）弯组合及偏心拉伸（压缩）分解为基本变形时，如何确定各基本变形下正应力的正负？

5 对斜弯曲和拉（压）弯组合变形杆进行强度计算时，为何只考虑正应力而不考虑剪应力？

6 什么叫截面核心？为什么工程中将偏心压力控制在受压杆件的截面核心范围内？

习 题

1 矩形截面悬臂梁受力如图所示，Ｆ通过截面形心且与ｙ轴成角，已知Ｆ＝1.2ｋN，ｌ＝２ｍ，5.1,12bh，材料的容许正应力［σ］＝10MPa，试确定ｂ和ｈ的尺寸。

2 承受均布荷载作用的矩形截面简支梁如图所示，ｑ与ｙ轴成角且通过形心，已知ｌ＝4ｍ，ｂ＝10ｃｍ，ｈ＝15ｃｍ，材料的容许应力［σ］＝10MPa，试求梁能承受的最大分布荷载maxq。

题 1 图 题 2 图

3 如图所示斜梁横截面为正方形，a＝10ｃｍ，Ｆ＝３ｋＮ作用在梁纵向对称平面内且为铅垂方向，试求斜梁最大拉压应力大小及其位置。

4 矩形截面杆受力如图所示，Ｆ 1和Ｆ2的作用线均与杆的轴线重合，Ｆ3作用在杆的对称平面内，已知Ｆ1＝5ｋN，Ｆ2＝10ｋN，Ｆ3.＝1.2ｋN， ＝2ｍ，ｂ＝12cm，ｈ=18cm，试求杆中的最大压应力。

题 3 图 题 4 图

5 图为起重用悬臂式吊车，梁ＡＣ由№18工字钢制成，材料的许用正应力[σ]

=100MPa。当吊起物重（包括小车重）Ｑ＝25ｋＮ，并作用与梁的中点Ｄ时，试校核梁ＡＣ的强度。

6 柱截面为正方形，边长为ａ，顶端受轴向压力Ｆ作用，在右侧中部挖一个槽（如图），槽深4a。求开槽前后柱内的最大压应力值。

习题解答 第十二章 组合变形

157 第十二章 组合变形

习 题

12.1 矩形截面杆受力如图所示。已知kN 8.01F，kN 65.12F，mm 90b，mm 180h，材料的许用应力MPa 10，试校核此梁的强度。

Oxyz1F2F1m1mbh

题12.1图

解：危险点在固定端

maxyzzyMMWW

max6.69[]10MPaMPa

12.2 受集度为q的均布载荷作用的矩形截面简支梁，其载荷作用面与梁的纵向对称面间的夹角为030，如图所示。已知该梁材料的弹性模量GPa 10E；梁的尺寸为m 4l，mm 160h，mm 120b；许用应力MPa 12；许可挠度150lw。试校核梁的强度和刚度。

题12.2图

22zmax11cos3088yMqlql解：

22ymax11sin3088zMqlql 习题解答

第十二章 组合变形

158 22ymaxzmax2211cos30sin308866zyqlqlMMbhbhWW

26cos30sin30 ()8qlbhhb

326316210422 ()8120160100.1600.120

6 11.971012.0,PaMPa强度安全

44z35512sin30384384zyqlqlWEIEhb

4435512cos30384384yyzqlqlWEIEhb

42222max22512cos30sin30()()384yzqlWWWEhbhb

432962231512421022 ()()3841010120160100.160.12

4 0.0202150mwm刚度安全。

普通高等教育“十一五”国家级规划教材 （ 第 3 版 ）

高 等 教 育 出 版 社 Engineering Mechanics

第9章 弯曲应力与弯曲变形

9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力

9.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力

9.3 弯曲切应力简介

9.4 弯曲变形的概念

9.5 梁的挠曲线近似微分方程

9.6 用积分法求弯曲变形

9.7 用叠加法求弯曲变形

9.8 梁的刚度校核

9.9 提高梁强度和刚度的措施

小 结

思 考 题 第9章 弯 曲 应 力 与 弯 曲 变 形

9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力

9.1.1 梁的纯弯曲

前一章讨论了梁弯曲时梁横截面上的内力——剪力和弯矩。但要解决梁的强度问

题，必须进一步了解横截面上应力的分布规律。剪力和弯矩是横截面上分布内力的

合成结果。切应力对应的内力为剪力，正应力对应的内力为弯矩。

梁（或某段梁）的各个横截面上仅有弯矩而无剪力，从而仅有正应力而无切应力

的弯曲，称为纯弯曲。而横截面上同时存在弯矩和剪力，即既有正应力又有切应力

的弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。

例如，图9 - 1a所示简支梁。由图可知梁的CD段为纯弯曲，AC和DB段为横力弯曲。

图9 – 1 y a a F F B x z A C

(a) D

x FS F

F (c) a a F F

B C D

(b) A

FA FB

(d) Fa M

x 9.1.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力

研究纯弯曲时梁横截面上的正应力，需从几何、物理和静力关系等三方面考虑。

由以上试验结果可作如下假设：原为平面的横截

面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后梁的轴

线，只是绕横截面内某一轴旋转一角度。这就是弯

曲变形的平面假设。 1. 变形几何关系

取截面具有纵向对称轴（例如矩形截面）的等直

梁，在其侧面画两条横向直线mm及nn，并在横向线

间靠近顶面和底面画两条纵向线段aa与 bb（图9 –

2a）。然后在梁的纵向对称面内两端施加一对等值、

1 第9章 弯曲应力与弯曲变形 习题解答

题9 – 1 试计算下列各截面图形对z轴的惯性矩Iz（单位为mm）。

解：（a）mm317400250500350200400250250500350cy

49323mm107314002502003171240025050035025031712500350.IZ

（b）mm431550400800500375550400400800500cy

410323mm1054615504003754311255040080050040043112800500.IZ

（c）mm3060202060506020102060cy

46323mm103616020503012602020601030122060.ZI 350

50 50 C z

500 400 C z

C 20

60 z

(a) (b) (c)

题9-1图 500

800

80 100

150

100

20 2 题9–2 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。设q = 60kN/m，F = 100kN。试求（1）梁1

– 1截面上A、B两点的正应力。（2）整个梁横截面上的最大正应力和最大切应力。

解：（1）求支反力

kN220100260AF （↑）

mkN32021001260AM（ ）

（2）画FS、M图

（3）求1-1截面上A、B两点的正应力

mkN1305016011001.M mkN320 100kN 220kN FS