第九章梁的弯曲变形

7.7 梁的刚度

7.7.1 梁的刚度条件

计算梁的变形的主要目的是为了判别梁的刚度是否足够以及进行梁的设计。工程中梁的刚度主要由梁的最大挠度和最大转角来限定，因此，梁的刚度条件可写为：

][][maxmaxww （7-10）

其中，max)(maxxww，max)(maxx分别是梁中的最大挠度和最大转角，][w，][分别是许可挠度和许可转角，它们由工程实际情况确定。工程中][通常以度（）表示，而许可挠度通常表示为：

mlw][ 是大的自然数是梁长，ml(

上述两个刚度条件中，挠度的刚度条件是主要的刚度条件，而转角的刚度条件是次要的刚度条件。

7.7.2 刚度条件的应用

与拉伸压缩及扭转类似，梁的刚度条件有下面三个方面的应用。

（1）校核刚度

给定了梁的载荷，约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，还给定了梁的许可挠度和许可转角。计算梁的最大挠度和最大转角，判断其是否满足梁的刚度条件式（7-15）和式（7-16），满足则梁在刚度方面是安全的，不满足则不安全。

很多时候工程中的梁只要求满足挠度刚度条件式（7-15）即可，而梁的最大转角由于很小，一般情况下不需要校核。

（2）计算许可载荷

给定了梁的约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的载荷的上限值。如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个载荷的上限值，两个载荷上限值中最小的那个就是梁的许可载荷。

（3）计算许可截面尺寸

给定了梁的载荷，约束，材料以及长度等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的截面尺寸的下限值。如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个截面尺寸的下限值，两个截面尺寸下限值中最大的那个就是梁的许可截面尺寸。

例7-21 如图7-41（a）所示的梁，其长度为m1L，抗弯刚度为25Nm109.4EI，当梁的最大挠度不超过梁长的300/1时，试确定梁的许可载荷。

第４卷第１期　２ＯＯ７年２月　铁道科学与工程学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＲＡＩＬＷＡＹ　ＳＣＩＥＮＣＥ　ＡＮＤ　ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ　ＶｏＩ．４　Ｆｅｂ．　Ｎｏ．１　２Ｏ０７　蜂窝梁弯曲变形的实用算法　周朝阳，刘纯洁　（中南大学土木建筑学院，湖南长沙４１００７５）　摘要：基于对蜂窝梁抗弯刚度准确值的确定，对蜂窝梁弯曲变形计算中抗弯刚度既有取值进行评价。费氏空腹桁架比拟　法过去长期用于估计蜂窝梁的挠度，其抗弯刚度倒数按实腹截面和空腹截面取算术平均值。对比结果表明，采用该刚度算　法普遍高估了实际值，其原因在于开孔削弱了实腹梁段的抗弯效率，并提出了增大空腹截面刚度权重的加权平均法，提高　了计算精度。虽然空腹截面抗弯刚度低估了蜂窝梁平均刚度，鉴于其形式简单，提出了直接采取空腹截面刚度表达式但折　减其孔高的计算方法，具有实用价值。采用本文方法所得抗弯刚度值可直接代入经典力学公式计算蜂窝梁和局部蜂窝梁　的弯曲挠度。　关键词：蜂窝梁；抗弯刚度；弯曲挠度；六边形孔；圆孔　中图分类号：ＴＵ３７５　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２—７０２９（２００ｒ７）０１—００７２—０５　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｆｌｅｘｕｒａＩ　ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｃａｓｔｅｌｌａｔｅｄ　ｂｅａｍｓ　ＺＨＯＵ　Ｃｈａｏ—ｙａｎｇ，ＬＩＵ　Ｃｈｕｎ—ｊｉｅ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＣｉｖｉｌ　ａｎｄ　ＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｓｏｕｔｈ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ｃｈ８ｎ　ａ４１００７５，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｉｎｇ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｆｌｅｘｕｍｌ　ｓｔｉｆｎｅｓｓ　ｏｆ　ｃａｓｔｅｌｌａｔｅｄ　ｂｅａｍｓ　ａｌｅ　ｅｖａｌｕａｔｅｄ　ｂｙ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅｉｒ　ａｃ—　ｃｕｒａｔｅ　ｖａｌｕｅｓ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ　ｉｎ　ａ　ｒｅｃｅｎｔ　ｐａｐｅｒ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ａｕｔｈｏｒ．Ｔｈｅ　Ｖｉｅｒｅｎｄｅｃｌ’Ｓ　ｏｐｅｎ—ｗｅｂ　ｔｒｕｓｓ　ａｎａｌｏｇｙ　Ｗａｓ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｐｒｅｄｉｃｔ　ｔｈｅ　ｄｅｎｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃａｓｔｅｌｌａｔｅｄ　ｂｅａｍｓ．Ｔｈｅ　ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ　ｏｆ　ｆｌｅｘｕｒａｌ　ｓｔｉｆｎｅｓｓ　ｗａｓ　ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌｌｙ　ｔａｋｅｎ　ａｓ　ｔｈｅ　ａｒｉｔｈ—　ｍｅｔｉｃ　ａｖｅｒａｇｅ　ｏｆ　ｔｈａｔ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｏｐｅｎ　ｓｅｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈａｔ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｏｌｉｄ　ｏｎｅ．Ｉｔ　ｉｓ　ｆｏｕｎｄ　ｔｈａｔ　ｓｕｃｈ　ｔｒｅａｔｍｅｎｔ　ａｌｗａｙｓ　ｇｉｖｅｓ　ｈｉｇｈｅｒ　ｓｔｉｆｎｅｓｓ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　ｒｅａｌ　ｏｎｅ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｏｖｅｒｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｉＳ　ｄｕｅ　ｔｏ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｏｐｅｎｉｎｇ　ｒｅｄｕｃｅｓ山ｅ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｉｄ　ｓｅｃｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｒｅｓｉｓｔ　ｂｅｎｄｉｎｇ　ｍｏｍｅｎｔ．Ｔｏ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ａｃｃｕｒａｃｙ，ａ　ｎｅｗ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｏｆ　ｓｔｉｆｎｅｓｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍ　ｏｆ　ｗｅｉｇｈｅｄ　ａｖｅｒａｇｅ　ｉｓ　ｐｒｏ—　ｐｏｓｅｄ　ｗｉｔｈ　ｓｕｐｅｒｉｏｒ　ｗｅｉｇｈｔ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｏｐｅｎ　ｓｅｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｓｔｉｆｎｅｓｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｏｐｅｎ　ｓｅｃｔｉｏｎ　ｕｎｄｅｒｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ｔｈｅ　ｓｔｉｆｆ－　ｎｅｓｓ　ｏｆ、ｃａｓｔｅｌｌａｔｅｄ　ｂｅａｍｓ．Ｉｎ　ｖｉｅｗ　ｏｆ　ｉｔｓ　ｓｉｍｐｌｅ　ｆｏｒｍ，ｉｔ　ｉｓ　ａｄｏｐｔｅｄ　ｔｏ　ｃａｌｃｕｌａｔｅ　ｔｈｅ　ｓｔｉｆｎｅｓｓ　ｏｆ　ｃａｓｔｅｌｌａｔｅｄ　ｂｅａｍｓ　ｂｙ　ｒｅ—　ｄｕｃｉｎｇ　ｔｈｅ　ｄｅｐｔｈ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｈｏｌｅｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ａｎｄ　ｓａｔｉｓｆａｃｔｏｒｙ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｒｅ　ａｃｈｉｅｖｅｄ．Ｔｈｅ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ　ｒｅｃｋｏｎｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｔｗｏ　ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ　ｓｕｇｇｅｓｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　Ｃａｎ　ｂｅ　ｉｎｓｅｒｔｅｄ　ｄｉｒｅｃｔｌｙ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｔｏ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ　ｔｈｅ　ｆｌｅｘｕｒａｌ　ｄｅｆｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃａｓｔｅｌｌａｔｅｄ　ｂｅａｍｓ　ａｎｄ　ｂｅａｍｓ　ｗｉｔｈ　ｃａｓｔｅｌｌａｔｅｄ　ｐａｒｔｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃａｓｔｅｌｌａｔｅｄ　ｂｅａｎａ；ｆｌｅｘｕｒａｌ　ｓｔｉｆｎｅｓｓ；ｆｌｅｘｕｒａｌ　ｄｅｆｔｅｃｔｉｏｎ；ｈｅｘａｇｏｎａｌ　ｈｏｌｅ；ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｈｏｌｅ　蜂窝梁是一种侧向成排开孔的“工”字形截面　钢梁，其孔洞形状多种多样，最初是六边形，后来又　有了八边形、矩形、圆形或半圆与矩形组合形（也有　称之为椭圆形的），有时同一根梁上孔洞形状还不　止１种。蜂窝梁的制作方法可分为２种：有把既有　“工”字钢梁按一定的折线或曲线切割后错位焊接　而成的，不妨叫做错位成孔法；也有在实心腹板上　直接成孔的，大多采用切割，美国也有用锻压的，当　原材料非“工”字型钢而是钢板时，此后再焊翼板。　与实腹“工”字形截面梁相比，蜂窝梁能够节省材　收稿日期－＇２００６—１０—１７　基金项目：湖南省建设科技计划项目（２Ｏ０４—２５）　作者简介：周朝阳（１９６４一），男，湖南衡阳人，教授，博士生导师，从事工程结构分析、

第七章 梁弯曲时的变形

§7−1 概 述

图7−1所示的简支梁，任一横截面的形心即轴线上的点在垂直于x轴方向的线位移，称为挠度，用y表示；横截面绕中性轴转动的角度，称为该截面的转角，用θ表示，如图中C截面转过的角度θ即为C截面的转角。

梁变形后的轴线可用下式表示：

)(xfy （7−1）

称为挠曲线方程。

)(ddtanxfxy （7−2）

称为转角方程。

§7−2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分

在小变形情况下，梁的挠曲线为一平坦的曲线，挠曲线近似微分方程为

EIxMxy)(dd22 （7−3）

式中的正负号取决于22ddxy与)(xM的正负号的规定。在如图11−2所示的坐标系中，y轴以向下为正，当M(x)>0时，梁的挠曲

线向下凸，此时0dd22xy；当M(x)<0时，梁的挠曲线向上凸，此时0dd22xy。)(xM与22ddxy的符号关系如图11−2所示。这样，在图示坐标系中，)(xM与22ddxy的符号总是相反，所以式（7−3）中应取负号，即： x

x

y

y

O

O

M<0

0dd22xy M

M

M

M

图7−2

M>0

0dd22xy C'

θ

C

B

A

图7−1 y

xy

y

θ

EIxMxy)(dd22 （7−4）

对该挠曲线近似微分方程进行积分，可求得任一截面的挠度及转角。

当梁为等截面直梁时，弯曲刚度EI为常数，对式（7−4）积分一次，得

CxxMEIxyd)(1dd （7−5）

再积分一次，可得

DCxxxMEIy2d1 （7−6）

以上两式中，C、D为积分常数，可通过梁的边界条件及变形连续条件确定。例如在简支梁（图7−3a）中，A、B支座处的挠度都等于零；在悬臂梁（图7−3b）中，固定端处挠度和转角都等于零。积分常数C、D确定后，代入式（7−5）、（7−6），便可求得梁的转角方程和挠曲线方程，进而可求得梁上任一横截面的转角和挠度。

7.7 梁的刚度

7.7.1 梁的刚度条件

计算梁的变形的主要目的是为了判别梁的刚度是否足够以及进行梁的设计。工程中梁的刚度主要由梁的最大挠度和最大转角来限定，因此，梁的刚度条件可写为：

][][maxmaxww （7-10）

其中，max)(maxxww，max)(maxx分别是梁中的最大挠度和最大转角，][w，][分别是许可挠度和许可转角，它们由工程实际情况确定。工程中][通常以度（）表示，而许可挠度通常表示为：

mlw][ 是大的自然数）是梁长，ml(

上述两个刚度条件中，挠度的刚度条件是主要的刚度条件，而转角的刚度条件是次要的刚度条件。

7.7.2 刚度条件的应用

与拉伸压缩及扭转类似，梁的刚度条件有下面三个方面的应用。

（1）校核刚度

给定了梁的载荷，约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，还给定了梁的许可挠度和许可转角。计算梁的最大挠度和最大转角，判断其是否满足梁的刚度条件式（7-15）和式（7-16），满足则梁在刚度方面是安全的，不满足则不安全。

很多时候工程中的梁只要求满足挠度刚度条件式（7-15）即可，而梁的最大转角由于很小，一般情况下不需要校核。

（2）计算许可载荷

给定了梁的约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的载荷的上限值。如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个载荷的上限值，两个载荷上限值中最小的那个就是梁的许可载荷。

（3）计算许可截面尺寸

给定了梁的载荷，约束，材料以及长度等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的截面尺寸的下限值。如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个截面尺寸的下限值，两个截面尺寸下限值中最大的那个就是梁的许可截面尺寸。

例7-21 如图7-41（a）所示的梁，其长度为m1L，抗弯刚度为25Nm109.4EI，当梁的最大挠度不超过梁长的300/1时，试确定梁的许可载荷。