第七章弯曲变形案例

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精品文档 7-2c 梁受力、尺寸、刚度如图所示，求A处的转角，以及C、D截面的挠度。

解：（1）求反力写弯矩方程：

)3()(2)(2211xaPxMBCxPxMAB

（2）分段积分

''1112)(EIyxPxMAB

''222)3()(EIyxaPxMBC

121'14CxPEIy 222'2)3(2CxaPEIy

11131112DxCxPEIy

222322)3(6DxCxaPEIy

（3）边界、连续条件定积分常量

00,0111Dyx

25673)23(2)2(402)23(602)2(1202322221221222313212121PaDPaCPaCCaaPCaPDaCaaPaCaPyyaxx时，

(4)该梁的转角方程为

]3,2[(67)3(2]2,0[(3422221221'aaxPaxaPaxPaxPEIy

该梁的挠曲线方程为 精品文档

精品文档 ]3,2[(2567)3(6]2,0[(31223223211231aaxPaxPaxaPaxxPaxPEIy

(5)将横坐标值代入相应的式子可求出

EIPayEIPayEIPaDCA4,,3332

P/2x1DPCaaBa3P/2x2qABPCa2aABCqABCPqCθPθCPyCθBq

习题7-2c图 习题7-5图

7-5 用叠加法求图示外伸梁C 截面的挠度和转角。

解：（1）将原结构的荷载分解，如图所示。

（2）查表可得各简单载荷作用下的θC、yC 之值。并将其叠加，得所求θC、yC 之值。 精品文档

第七章 梁弯曲时的变形

§7−1 概 述

图7−1所示的简支梁，任一横截面的形心即轴线上的点在垂直于x轴方向的线位移，称为挠度，用y表示；横截面绕中性轴转动的角度，称为该截面的转角，用θ表示，如图中C截面转过的角度θ即为C截面的转角。

梁变形后的轴线可用下式表示：

)(xfy （7−1）

称为挠曲线方程。

)(ddtanxfxy （7−2）

称为转角方程。

§7−2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分

在小变形情况下，梁的挠曲线为一平坦的曲线，挠曲线近似微分方程为

EIxMxy)(dd22 （7−3）

式中的正负号取决于22ddxy与)(xM的正负号的规定。在如图11−2所示的坐标系中，y轴以向下为正，当M(x)>0时，梁的挠曲

线向下凸，此时0dd22xy；当M(x)<0时，梁的挠曲线向上凸，此时0dd22xy。)(xM与22ddxy的符号关系如图11−2所示。这样，在图示坐标系中，)(xM与22ddxy的符号总是相反，所以式（7−3）中应取负号，即： x

x

y

y

O

O

M<0

0dd22xy M

M

M

M

图7−2

M>0

0dd22xy C'

θ

C

B

A

图7−1 y

xy

y

θ

EIxMxy)(dd22 （7−4）

对该挠曲线近似微分方程进行积分，可求得任一截面的挠度及转角。

当梁为等截面直梁时，弯曲刚度EI为常数，对式（7−4）积分一次，得

CxxMEIxyd)(1dd （7−5）

再积分一次，可得

DCxxxMEIy2d1 （7−6）

以上两式中，C、D为积分常数，可通过梁的边界条件及变形连续条件确定。例如在简支梁（图7−3a）中，A、B支座处的挠度都等于零；在悬臂梁（图7−3b）中，固定端处挠度和转角都等于零。积分常数C、D确定后，代入式（7−5）、（7−6），便可求得梁的转角方程和挠曲线方程，进而可求得梁上任一横截面的转角和挠度。

材料力学教学案例素材——弯曲刚度与强度

台湾丰原高中礼堂坍塌事故原因分析

建筑物坍毁是工程事故发展的最终阶段，因此所有坍塌事故均属于恶性事故。按照《建筑结构设计统一标准》(GB 68—84、GB 50068—2001)和结构抗震设计“小震不坏，中震可修，大震不倒”三准则的要求，所有坍塌事故，包括地震灾后的坍塌事故，都属于责任事故，应该追究当事人责任。只有经过分析鉴定，确认事故原因存在设计安全水准以外的意外因素时，才能界定为天灾，豁免当事人责仟。下面列举的坍塌事故都是近年来发生在国内外的引起全社会关注的恶性事故，并且都是人为过失事故。说明在所有工程事故中，人为过失事故占了很大比例，值得警惕!

1．案例背景

该礼堂位于一栋19．5m×49．5m的两层长方形建筑的第2层(底层为教室)，层高6m，平面如图1所示。屋顶结构由跨度19．5m、中心间距4．5m的钢桁架承重。桁架端部高125cm，跨中高135cm，次桁架起纵向支撑的作用，并与主桁架相连接构成整体，由40cm×60cm的钢筋混凝土柱与纵向连系梁组成纵向排架支承，并在⑤～⑧轴处从联系梁则面悬挑出一很大的钢筋混凝土雨篷。屋盖系统如图2所示。

施工过程中，由于某种原因，在底层教室完工后，曾有10个月的停工间隙期，因而在第2层楼面以上的钢筋混凝土立柱中，存在施工缝的处理问题。

该建筑于1975年1月竣工。由于出现严重的屋面渗漏现象，在1983年6月对屋面进行返修。返修时，为了改善屋面的保温隔热性能，在屋顶上增加了一个蓄水保温系统。

1983年8月24日，该礼堂屋顶结构发生坍塌。虽然事故的前一天曾经下过雨，但在事故发生的时候，并未在结构上施加任何临时额外荷载，坍毁前也没有出现异兆。

2．可用于事故原因分析的线索

（1）节点连接的施工质量问题

台湾技术学院的C．Y．林教授经过现场考察认为，结构系统的坍毁很可能是始于下弦拉杆的某一焊接头断裂，或者是由于垂直杆与斜撑杆的螺栓接头松图1 中学礼堂平面图 图2 礼堂顶层结构简图 材料力学教学案例素材——弯曲刚度与强度

第七章 梁弯曲时的变形

§7−1 概 述

图7−1所示的简支梁，任一横截面的形心即轴线上的点在垂直于x轴方向的线位移，称为挠度，用y表示；横截面绕中性轴转动的角度，称为该截面的转角，用θ表示，如图中C截面转过的角度θ即为C截面的转角。

梁变形后的轴线可用下式表示：

)(xfy （7−1）

称为挠曲线方程。

)(ddtanxfxy （7−2）

称为转角方程。

§7−2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分

在小变形情况下，梁的挠曲线为一平坦的曲线，挠曲线近似微分方程为

EIxMxy)(dd22 （7−3）

式中的正负号取决于22ddxy与)(xM的正负号的规定。在如图11−2所示的坐标系中，y轴以向下为正，当M(x)>0时，梁的挠曲

线向下凸，此时0dd22xy；当M(x)<0时，梁的挠曲线向上凸，此时0dd22xy。)(xM与22ddxy的符号关系如图11−2所示。这样，在图示坐标系中，)(xM与22ddxy的符号总是相反，所以式（7−3）中应取负号，即： x

x

y

y

O

O

M<0

0dd22xy M

M

M

M

图7−2

M>0

0dd22xy C'

θ

C

B

A

图7−1 y

xy

y

θ

EIxMxy)(dd22 （7−4）

对该挠曲线近似微分方程进行积分，可求得任一截面的挠度及转角。

当梁为等截面直梁时，弯曲刚度EI为常数，对式（7−4）积分一次，得

CxxMEIxyd)(1dd （7−5）

再积分一次，可得

DCxxxMEIy2d1 （7−6）

以上两式中，C、D为积分常数，可通过梁的边界条件及变形连续条件确定。例如在简支梁（图7−3a）中，A、B支座处的挠度都等于零；在悬臂梁（图7−3b）中，固定端处挠度和转角都等于零。积分常数C、D确定后，代入式（7−5）、（7−6），便可求得梁的转角方程和挠曲线方程，进而可求得梁上任一横截面的转角和挠度。