第7章 弯曲变形1

7.7 梁的刚度

7.7.1 梁的刚度条件

计算梁的变形的主要目的是为了判别梁的刚度是否足够以及进行梁的设计。工程中梁的刚度主要由梁的最大挠度和最大转角来限定，因此，梁的刚度条件可写为：

][][maxmaxww （7-10）

其中，max)(maxxww，max)(maxx分别是梁中的最大挠度和最大转角，][w，][分别是许可挠度和许可转角，它们由工程实际情况确定。工程中][通常以度（）表示，而许可挠度通常表示为：

mlw][ 是大的自然数是梁长，ml(

上述两个刚度条件中，挠度的刚度条件是主要的刚度条件，而转角的刚度条件是次要的刚度条件。

7.7.2 刚度条件的应用

与拉伸压缩及扭转类似，梁的刚度条件有下面三个方面的应用。

（1）校核刚度

给定了梁的载荷，约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，还给定了梁的许可挠度和许可转角。计算梁的最大挠度和最大转角，判断其是否满足梁的刚度条件式（7-15）和式（7-16），满足则梁在刚度方面是安全的，不满足则不安全。

很多时候工程中的梁只要求满足挠度刚度条件式（7-15）即可，而梁的最大转角由于很小，一般情况下不需要校核。

（2）计算许可载荷

给定了梁的约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的载荷的上限值。如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个载荷的上限值，两个载荷上限值中最小的那个就是梁的许可载荷。

（3）计算许可截面尺寸

给定了梁的载荷，约束，材料以及长度等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的截面尺寸的下限值。如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个截面尺寸的下限值，两个截面尺寸下限值中最大的那个就是梁的许可截面尺寸。

例7-21 如图7-41（a）所示的梁，其长度为m1L，抗弯刚度为25Nm109.4EI，当梁的最大挠度不超过梁长的300/1时，试确定梁的许可载荷。

普通高等教育“十一五”国家级规划教材 （ 第 3 版 ）

高 等 教 育 出 版 社 Engineering Mechanics

第9章 弯曲应力与弯曲变形

9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力

9.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力

9.3 弯曲切应力简介

9.4 弯曲变形的概念

9.5 梁的挠曲线近似微分方程

9.6 用积分法求弯曲变形

9.7 用叠加法求弯曲变形

9.8 梁的刚度校核

9.9 提高梁强度和刚度的措施

小 结

思 考 题 第9章 弯 曲 应 力 与 弯 曲 变 形

9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力

9.1.1 梁的纯弯曲

前一章讨论了梁弯曲时梁横截面上的内力——剪力和弯矩。但要解决梁的强度问

题，必须进一步了解横截面上应力的分布规律。剪力和弯矩是横截面上分布内力的

合成结果。切应力对应的内力为剪力，正应力对应的内力为弯矩。

梁（或某段梁）的各个横截面上仅有弯矩而无剪力，从而仅有正应力而无切应力

的弯曲，称为纯弯曲。而横截面上同时存在弯矩和剪力，即既有正应力又有切应力

的弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。

例如，图9 - 1a所示简支梁。由图可知梁的CD段为纯弯曲，AC和DB段为横力弯曲。

图9 – 1 y a a F F B x z A C

(a) D

x FS F

F (c) a a F F

B C D

(b) A

FA FB

(d) Fa M

x 9.1.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力

研究纯弯曲时梁横截面上的正应力，需从几何、物理和静力关系等三方面考虑。

由以上试验结果可作如下假设：原为平面的横截

面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后梁的轴

线，只是绕横截面内某一轴旋转一角度。这就是弯

曲变形的平面假设。 1. 变形几何关系

取截面具有纵向对称轴（例如矩形截面）的等直

梁，在其侧面画两条横向直线mm及nn，并在横向线

间靠近顶面和底面画两条纵向线段aa与 bb（图9 –

2a）。然后在梁的纵向对称面内两端施加一对等值、

1 第9章 弯曲应力与弯曲变形 习题解答

题9 – 1 试计算下列各截面图形对z轴的惯性矩Iz（单位为mm）。

解：（a）mm317400250500350200400250250500350cy

49323mm107314002502003171240025050035025031712500350.IZ

（b）mm431550400800500375550400400800500cy

410323mm1054615504003754311255040080050040043112800500.IZ

（c）mm3060202060506020102060cy

46323mm103616020503012602020601030122060.ZI 350

50 50 C z

500 400 C z

C 20

60 z

(a) (b) (c)

题9-1图 500

800

80 100

150

100

20 2 题9–2 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。设q = 60kN/m，F = 100kN。试求（1）梁1

– 1截面上A、B两点的正应力。（2）整个梁横截面上的最大正应力和最大切应力。

解：（1）求支反力

kN220100260AF （↑）

mkN32021001260AM（ ）

（2）画FS、M图

（3）求1-1截面上A、B两点的正应力

mkN1305016011001.M mkN320 100kN 220kN FS

7.7 梁的刚度

7.7.1 梁的刚度条件

计算梁的变形的主要目的是为了判别梁的刚度是否足够以及进行梁的设计。工程中梁的刚度主要由梁的最大挠度和最大转角来限定，因此，梁的刚度条件可写为：

][][maxmaxww （7-10）

其中，max)(maxxww，max)(maxx分别是梁中的最大挠度和最大转角，][w，][分别是许可挠度和许可转角，它们由工程实际情况确定。工程中][通常以度（）表示，而许可挠度通常表示为：

mlw][ 是大的自然数）是梁长，ml(

上述两个刚度条件中，挠度的刚度条件是主要的刚度条件，而转角的刚度条件是次要的刚度条件。

7.7.2 刚度条件的应用

与拉伸压缩及扭转类似，梁的刚度条件有下面三个方面的应用。

（1）校核刚度

给定了梁的载荷，约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，还给定了梁的许可挠度和许可转角。计算梁的最大挠度和最大转角，判断其是否满足梁的刚度条件式（7-15）和式（7-16），满足则梁在刚度方面是安全的，不满足则不安全。

很多时候工程中的梁只要求满足挠度刚度条件式（7-15）即可，而梁的最大转角由于很小，一般情况下不需要校核。

（2）计算许可载荷

给定了梁的约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的载荷的上限值。如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个载荷的上限值，两个载荷上限值中最小的那个就是梁的许可载荷。

（3）计算许可截面尺寸

给定了梁的载荷，约束，材料以及长度等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的截面尺寸的下限值。如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个截面尺寸的下限值，两个截面尺寸下限值中最大的那个就是梁的许可截面尺寸。

例7-21 如图7-41（a）所示的梁，其长度为m1L，抗弯刚度为25Nm109.4EI，当梁的最大挠度不超过梁长的300/1时，试确定梁的许可载荷。