平面向量的数量积及向量的应用习题及详解
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平面向量的数量积及向量的应用习题及详解
（理）（2010 •四川广元市质检）已知向量a=
（2,1） ,b= ( — 1, 2)，且 m= ta+ b, n= a — kb(t、k€ R)，则
、选择题
1.（文）（2010 •东北师大附中）已知|a| = 6,b|= 3,a・b=— 12,则向量a在向量b方向上的投影是（
A. —
4 B. 4
［答案］A
a - b — 12
［解析］a在b方向上的投影为仃厂=—厂=—4.
1 b| 3
（理）（2010 •浙江绍兴调研）设a • b= 4,若a在b方向上的投影为 2,且b在a方向上的投影为1,
与b的夹角等于（
） 2n 或"a
［答案］B
［解析］由条件知, …=2心=1 a・b= 4
| b| , |a| , , |b| = 2,
••• cos
〈 a, b>= a • b =丄=1
|a| •I b| 4x2 2'
2 .（文）（2010 •云南省统考）设e1, e2是相互垂直的单位向量，并且向量 a= 3&+ 2e2, b = xe1 + 3e2, 如果
aL b,那么实数x等于（
） 9
A.— 2 D. 2
［答案］C
［解析］ 由条件知 | = | e2| = 1, e1 • e2= 0,
•- a • b= 3x + 6= 0,二 x=—
2.
mL n的充要条件是（
） A. t + k = 1 .t • k= 1
［答案］D
［解析］ m= ta+ b= (2 t — 1, t + 2) , n= a— kb= (2 + k, 1 — 2k),
•/ rnLn,「. m- n= (2t — 1)(2 + k) + (t +
2)(1 —2k) = 5t — 5k= 0,「. t — k=
0.
3.(文)(2010 •湖南理)在 Rt△ ABC中，/ C= 90 ,AC= 4,^UAC等于( )
A. —
16 D . 16
［答案］D
［解析］ 因为/ C= 90°,所以 AC- CB= 0，所以 AB- AC=(心 CB • AC= | AC|2+ AC- CB= AC= 16.
(理)(2010 •天津文)如图，在△ ABC中, ADL AB 童=(3灵 | AD = 1,则 AD=( ) A. 2 3
［答案］D
［解析］•/Xo= XB+ BC= XB+ 3BD,
-> -> -> -------- > -> -> -> ------- > ->
••• AC- AD= (AB+ 3BD) - AD= AB- AM 3BD- AD
又••• AB! AD • AB- AD= 0 ,
•- AC- AD= i/3BD- AD=-」'3| BD •丨 AD| - cos/ ADB= J3| BD ■ cos/ ADB=—；3 ・| AD = J3.
4. (2010 •湖南省湘潭市)设非零向量a、b、c满足| a| = | b| = | c| , a+ b= 6则〈a, b〉=( )
A. 150° B. 120° C . 60° D. 30°
［答案］B
［解析］ T a+ b= c, | a| = | b| = | c| 丰0,
2 2 2 2
• |a+ b| = |c| = | a| , • |b| + 2a - b= 0,
2
• | b| + 2| a| -| b| - cos < a, b>= 0,
•- cos < a, b>=— q,
•/ < a, b〉€ ［0 ° , 180° ］ ,•••〈 a, b>= 120°.
5. （2010 •四川双流县质检）已知点P在直线AB上，点O不在直线 AB上，且存在实数t满足OP= 2tPA+
2t t
T p在直线 AB上，• 2t + 1 + 2t + 1 = 1,A t = 1,
S 2S 1 S
• OP= ; OA^ - OB 3 3
-S -S -S 1 -S 1 -S ••• PA= OA- OP= ;OA- ZOB 3 3
_S _S _S 2_S 2_S _S PB= OB- OP= 3OB- ZOA=— 2PA
• LPA.=1
i PB 2
1 2
6.(文)平面上的向量 MA SB满足|陥2 + lSB2 = 4，且MA- MB= 0,若向量MC= 3MAF3MB则| SC的最大 D. 3
［答案］
［解析］ •/ SP= 2t(dA— SP+tOB, |PB ［答案］D
［解析］•/ MA- MB= 0 ,••• MAL 尬B 又•/ | MA2 + | MEB2= 4,
••• | AB = 2,且M在以AB为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系,
y），则 x2+ y2= 1,
MA= ( - 1 -x,- y), (1 -x,- y),
T — 2T 1
••• MC= 3MA- §MB= 3-x, - y ,
T 2 1 2 2 10 2
•-1 MC = 3- x + y =百-gx,
_T 16
•.• - 1 < xw 1 ,• x=- 1时，| M©取得最大值为 —,
• I MC的最大值是|.
(理)(2010 •山东日照)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，贝U AN- AM勺
最大值为（ )
A. 8 B. 6 C . 5 D. 4
［答案］ B
［解析］ 建立直角坐标系如图，•••正方形 ABCD边长为2,
• A(0,0) ,N2 , - 1) , AN= (2 , - 1), 设M坐标为（x, y）, AM= （x , y）由坐标系可知
0w
xW2 ①
-2w yw 0 ②
•/ XN- AM= 2x- y，设 2x- y= z,
易知，当x= 2, y =-2时，z取最大值6,
• XN- AM勺最大值为6,故选B.
7.如图，△ ABC的外接圆的圆心为 O AB= 2, AC= 3, BC= .7,则AO- BC等于( )
C. 2 D. 3
［答案］B
［解析］AO- BC= AO・(AC— Ab = AO- AC- Ab- AB 因为 OA= OB所以 At在ABh的投影为 1| XB ，所以
XO- XB=扌| AB •)AB = 2,同理 AO- AC= #| AC -| AC = 2 故 AO> BC= 9-2=|. 值是（ ）
B. 1
则点 A( - 1,0)，点 B(1,0),设点 Mx, 8. （文）已知向量a、b满足|a| = 2, | b| = 3, a・（b— a） = - 1，则向量a与向量b的夹角为（ ）3
4
［答案］C
［答案］A
［解析］ 设〈AB EBO = a ,^ AB- EBC= | AB •) BCJcos a , S= 7| AB • BCC • sin( n— a ) = 7| XB •) E3C
3 3
由条件知cot a <
8 8
—X —X n n T AB- BO。，.，, a 为锐角，•a . 6 4
9. （文）（2010 •云南省统考）如果A是抛物线x2 = 4y的顶点，过点 D（0,4）的直线I交抛物线x2= 4y于B、
C两点，那么AB- AC等于（ ）
3 B. 0 C . — 3 D.—— 4
［答案］B
［解析］ 由题意知 A（0,0），设 B（xi, yi）, C（x2, y2），直线 I : y = kx + 4,
x2 = 4y 2
由 消去 y得，x — 4kx— 16=0,
y= kx + 4
• X1 + X2= 4k, X1X2=— 16,
2 2 2
• y - y2= ( kx1 + 4)( kx2 + 4) = k X1X2+ 4k(X1 + X2) + 16=— 16k + 16k + 16= 16,
• XB- AC= X1X2 + y$2= 0.
（理）（2010 •南昌市模考）如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且BF= 2FA若DE是圆 ［解析］ 根据向量夹角公式“cos〈 a, b〉= 求解”.
由条件得a • b— a =— 1，即卩a • b= — 3，设向量a, b的夹角为a，贝U cos a a • b _ 3
|a|| b| = 2^3 1
刁所以
（理）（2070 •黑龙江哈三中）在厶ABC中, XB- ,其面积 3
S= 76, 则AB与 B（夹角的取值范围是
| • sin a ••• | AB •］ BC = 3
8sin a
• XB- X 3cos a 3
BC= =8cot
3 .3
8 • 1 w cot 71
