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平面向量的数量积及应用参考答案

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平面向量的数量积及应用参考答案

1.【答案】B

【解析】∵(3,3)AC

，(1,1)AB

，∴31310ABAC

.

2.【答案】C

【解析】依据向量的投影，可以确定A、B、D都是正确的

3.【答案】B

【解析】∵2a，∴22222abaabb=4+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴223ab.

4.【答案】C

【解析】2(3,n)ab=，若2ab与b垂直，

则2(2)3+n0abb=-，即2n3，2n12a

5.【答案】B

【解析】B设AB的中点为M，则

1()()()2OPABOMMPABOMABOAOBOBOA

221()62OBOA.故选B.

8.【答案】3

【解析】如图：∵1abab，∴△OAB为正三角形，∴2222221abaabbab，∴1

2ab，∴2221||211232ababab，∴||3ab.

9.【答案】3

【解析】由22(2)()22ababaabb，得2ab，

即由||||cos,2abab，1cos,2ab。故,3ab.

10.

【答案】【解析】∵1，2是平面单位向量，且1•2=，∴1，2夹角为60°，∵平衡向量满足•1=•=1∴与1，2夹角相等，且为锐角，∴应该在1，2夹角的平分线上，即＜，1＞=＜，2＞=30°，||×1×cos30°=1，

∴||=

11.【答案】―25

【解析】由0ABBCCA

可得2()0ABBCCA

，

∴916252()0ABBCBCCACAAB

，

即25ABBCBCCACAAB

12.【解析】03sin21cos20ababxx

12sin21sin2,0cos0662xxbx

72662xx（舍），1152666xx

13.【解析】由题意0ab即有1212(2)()0keeee，

∴221122(12)20kkeeee，又121ee，122,3ee，∴22(12)cos03kk，∴1222kk，∴5

4k.

14.【解析】（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0，即sinx=cosx

sinx=cosx，即tanx=1；

（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos=，即sinx﹣cosx=，

则sin（x﹣）=，

∵x∈（0，）．

∴x﹣∈（﹣，）．

则x﹣=即x=+=．

15.【解析】（1）∵a与2bc垂直，∴(2)20abcabac，

即4sin()8cos()0，

∴tan()2.

（2）(sincos,4cos4sin)bc，

22222sin2sincoscos16cos32cossin16sinbbc

1730sincos1715sin2，∴2bc最大值为32，∴bc的最大值为42.

（3）证明：由tantan16，得sinsin16coscos，

即4cos4cossinsin0，故a∥b.

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向量数量积最值问题、三角形中的向量问题

向量数量积最值问题、三角形中的向量问题

1 平面向量数量积最值问题

近几年,平面向量数量积的最值问题频频出现在各地的高考卷上,成为高考中的一个热点问题,现以几例具体阐述此类问题的解决途径.一、借助基本的向量运算降低问题难度；二、建立直角坐标系降低问题门槛

例1:在ABC中,O为中线AM上一个动点,若2AM,则()OAOBOC的最小值是__________.

分析:(如图)本题的突破口关键在于AM为ABC的中线,故易知

2OBOCOM,所以:()(2)2()OAOBOCOAOMOAOM

从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量积的问题.

练习:1、如图,已知等边ABC的边长为2,又以A为圆心,半径为1作圆,PQ是直径,试求

BPCQ的最大值,并指明此时四边形BCQP的形状.

答案:BPCQ的最大值为3,此时四边形BCQP为矩形.

例2:在RtABC中,BCa,若长为2a的线段PQ以A点为中点,问PQ与

2 BC的夹角取何值时BPCQ的值最大?并求出这个最大值.

巩固练习：

练习：在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足BMCNBCCD，则AMAN的取值范围是

2、已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,90ADC,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|3|PAPB的最小值为 .

三角形背景下的向量问题

在三角形的背景下，考查平面向量知识成为近几年高考的一个热点．

判断三角形的形状

一般要从角或边两个角度来分析：

3 从角的角度，主要是分析三角形是锐角，直角还是钝角三角形．设三角形中最大角是A，则三角形是直角三角形0ABAC；三角形是锐角三角形0ABAC；三角形是钝角三角形0ABAC．

从边的角度，主要是分析三形是等腰还是等边三角形．判断边长是否相等，一是可以通过比较边所对应向量的模；二是可通过几何性质转化，比如若三角形的中线垂直于这条边，则三角形是等腰三角形．

高中数学第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积同步练习含解析新人教A版必修第二册

高中数学第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积同步练习含解析新人教A版必修第二册

课时素养评价 五 向量的数量积

(15分钟 30分)

1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则(a+b)·(2a-b)= (

A. B.- C.- D.

【解析】选A. =2a2-b2+a·b=2-3+1××=.

2.(2020·广州高一检测)已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,a·b=-3,则a与b的夹角是

( )

A.150° B.120 C.60 D.30°

【解析】选B.设a与b的夹角为θ,

则cos θ===-,

因为0°≤θ≤180°,所以θ=120°.

【补偿训练】

已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为 ( )

A. B. C. D.

【解析】选A.|a-b|=

设向量a与a-b的夹角为θ,

则cos θ===, 又因为θ∈[0,π],所以θ=.

3.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是 (

A.· B.·

C.· D.·

【解析】选A.由于⊥,故其数量积是0,可排除C;与的夹角是,故其数量积小于零,可排除D;设正六边形的边长是a,

则·=||||cos 30°=a2,

·=||||cos 60°=a2.

4.如图,AB是圆C的弦,设=a,=b,则向量在向量上的投影向量为 (用a或b表示).

【解析】如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D,连接CB,则向量在向量上的投影向量为.

因为CA=CB,所以D是AB的中点, 所以==.

答案:

5.△ABC三边的长分别为AC=3,BC=4,AB=5,若=,=,则·=

__.

【解析】由题知·=(+)·

=(+)·=·

=+·=×42+0=.

答案:

6.已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角.

【三轮复习】回归课本-专题6 平面向量及其应用

【三轮复习】回归课本-专题6 平面向量及其应用

专题6 平⾯向量及其应⽤

1.如图，O是平⾏四边形ABCD外⼀点，⽤表示.

【答案】【解析】【详解】由，，，即可得到结论.解：.向量的线性运算向量运算定义法则（或⼏何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋（－b）数乘求实数λ与向量a的积的运算|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的⽅向相同；当λ<0时，λa与a的⽅向相反；当λ＝0时，λa＝0λ（μ a）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ（a＋b）＝λa＋λb平⾯向量线性运算问题的求解策略：（1）进⾏向量运算时，要尽可能地将它们转化到三⻆形或平⾏四边形中，充分利⽤相等向量、相反向量，三⻆形的中位线及相似三⻆形对应边成⽐例等性质，把未知向量⽤已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形⼿段在线性运算中同样适⽤．（3）⽤⼏个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三⻆形或多边形；③运⽤法则找关系；④化简结果.（2022·新⾼考Ⅰ卷T3）,,OA−⇀OB−⇀OC−⇀−OD−⇀−

=−+OD−⇀−OA−⇀OB−⇀OC−⇀−=+OD−→−OA−→−AD−→−=AD−→−BC−→−=−BC−→−OC−→−OB−→−=+=+=+−=−+OD−→−OA−→−AD−→−OA−→−BC−→−OA−→−OC−→−OB−→−OA−→−OB−→−OC−→−

在中，点D在边AB上，．记，则（ ）A．B．C．D．【⼀题多变1】

【⼀题多变2】

【⼀题多变3】

【⼀题多变4】

7.已知是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，求实数的值．【答案】【解析】【详解】解：根据平⾯向量的共线的充要条件列出等式计算即可.解：由已知，∵与是共线向量，∴存在，使，即，∴，∴∴的值为．共线向量定理向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯⼀的⼀个实数λ，使得.共线向量定理的主要应⽤：（1）证明向量共线：对于⾮零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．（2）证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．,e1⇀e2⇀=−2a⇀e1⇀e2⇀=2+kb⇀e1⇀e2⇀a⇀b⇀k−4a≠0a⇀b⇀λ∈R=λb⇀a⇀2+k=λ(−2)e1⇀e2⇀e1⇀e2⇀2+k=λ−2λe1⇀e2⇀e1⇀e2⇀{⇒{2=λ,k=−2λλ=2,k=−4,k−4b=λa

2021高三统考北师大版数学一轮学案：第5章第3讲平面向量的数量积及应用含解析

2021高三统考北师大版数学一轮学案：第5章第3讲平面向量的数量积及应用含解析

学必求其心得，业必贵于专精

2021高三统考北师大版数学一轮学案：第5章第3讲 平面向量的数量积及应用含解析

第3讲 平面向量的数量积及应用

基础知识整合

1．向量的夹角

定义 图示 范围 共线与垂直

已知两个非零向量a和b，作错误!＝a，错误!＝b，则错误!∠AOB就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是020°≤θ≤180° 错误!θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，错误!θ＝90°⇔a⊥b

2．平面向量的数量积

定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量错误!｜a｜｜b｜·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b

投影 错误!|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，

错误!|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影

几何

意义 数量积a·b等于错误!a的长度｜a｜与错误!b在a的方向上的投影｜b|cosθ的乘积

学必求其心得，业必贵于专精

3．向量数量积的运算律

交换律 a·b＝错误!b·a

分配律 (a＋b）·c错误!a·c＋b·c

数乘结合律 (λa）·b＝λ（a·b)＝12a·（λb)

4．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1），b＝(x2，y2），a与b的夹角为θ.

结论 几何表示 坐标表示

模 ｜a｜＝错误! ｜a｜＝错误!错误!

夹角 cosθ＝错误! cosθ＝

错误!错误!

a⊥b的

充要条件 a·b＝0 错误!x1x2＋y1y2＝0

|a·b｜与

｜a|｜b|的关系 ｜a·b|≤|a|｜b｜ |x1x2＋y1y2|≤

错误!

1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0）不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．

2．数量积不满足结合律，即（a ·b)·c≠a·(b·c)．

3．当a与b同向时,a·b＝｜a｜|b｜；当a与b反向时,a·b＝－｜a||b|，特别地,a·a＝a2或｜a|＝错误!. 学必求其心得，业必贵于专精

4．有关向量夹角的两个结论：