龙源期刊网
平面向量·数量积及其应用
作者：
来源：《高中生学习·高三理综版》2013年第07期
一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）
1. 已知[a=b=a-2b=1]，则[a+2b=]（ ）
A. 9 B. 3 C. 1 D. 2
2. 若非零向量[a，b]满足[a=b，b⋅（2a+b）=0]，则向量[a，b]的夹角为（ ）
A. [23π] B. [π6] C. [π3] D. [56π]
3. 在[ΔABC]中，点[P]满足[AP=t（AB+AC）][（t≠0）]，且[BP⋅AP=CP⋅AP]，则该[ΔABC]是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直三角形
C. 等边三角形 D. 钝角三角形
4. 设[a，b，c]是单位向量，且[a⋅b=0]，则[（a-c）⋅（b-c）]的最小值为（ ）
A. [-2] B. [2-2]
C. [-1] D. [1-2]
5. 已知向量[a，b]是单位正交向量，且[c=5，c⋅a=3，c⋅b=4]，则[∀t1，t2∈R，c-t1a-t2b]取最小值时，[t1+t2]的值为（ ）
A. 5 B. 7 C. 12 D. 13
6. 已知[P]是边长为2的正[ΔABC]边[BC]上的动点，则[AP⋅（AB+AC）]的（ ）
A. 最大值为8 B. 是定值6
C. 最小值为2 D. 与[P]的位置有关
7. 称[d（a，b）=a-b]为两个向量[a，b]间的“距离”. 若向量[a，b]满足：①[b=1]；②[a≠b]；③对任意的[t∈R]，恒有[d（a，tb）≥d（a，b）]. 则（ ） 龙源期刊网
日日 方法指薄 —————— ７妻● ≥蓦
平面向量数量积硇
安庆石化一中 黄玮
平面向量是数学中的重要概念。它是沟通代数、几何和三角函数的有力工具，广泛应用于生 产实践和科学研究中。平面向量的数量积及其性质是平面向量知识的重点内容，在平面向量中 占有重要地位。利用平面向量的数量积及其性质可以解决有关向量长度，两向量夹角、垂直、平 行等问题。下面举例说明。
一、长度问题 求向量长度的依据是：
（１）ｌ口ｌ ：口．口。
（２）设口：（ ，），），贝０Ｉ口ｌ＿、 。十 。 例１ 已知向量口与６的夹角为６０ｏ，ｌａｌ＝２，ｌａ＋ｂｉ＝２ ，求 。 解析ｌ口曲Ｉ ：（口曲）。＝口ｚ＋２ａ．６曲 ：４＋２×２×Ｉｂｌｃｏｓ６０。柏 ：１２， ｌ￣Ｐ ｌｂｌ‘＋２１ｂｌ一８＝０。
．・．Ｉｂｌ＝２或Ｉｂｌ＝一４（舍去）。
．。．Ｉｂｌ＝２。 二、夹角问题 求两非零向量ａ与ｂ夹角的依据是：
重ｌ难Ｉ点ｌ聚『焦 方法指导 》
‘．’ｌａｌ＝１，Ｉｂｌ＝２， ， ， ＇ ， ．・．口‘＝ｌａｌ‘＝１．６‘＝Ｉ６ｌ‘＝４。
．’ ・ｂ＝ｌ。￣，Ｓｔａ与ｂ的夹角为０，
．’－ｃｏｓ ＝丢，又’．‘０≤ ≤ ，－． 詈。
三、平行、垂直问题 判断两向量平行、垂直的依据是：
已知：口＝（戈１，Ｙｔ），６＝（ ２，Ｙ２）， ＋
贝Ｕ：口∥西《 口＝Ａ 《 １ｙ：ｘｚ￣ｔ＝Ｏ（ｂ＃０），
ａ上６々 口・６＝０ ｌ ２＋ｙｌＹ２＝０（ｎ、ｂ＃Ｏ）。
例３ 已知向量口＝（２，一１）， ＝（一１，ｍ），ｃ＝（一１，２），按下列条件求实数ｍ的值。 （１）（ｎ拍）／ｃ。
（２）（ ＿ｃ）上口。 解析’．。口＝（２，一１），６＝（一１，ｍ），ｃ＝（一ｌ，２），
．’ ＋ ＝（１，ｍ一１），ｂ－ｃ＝（Ｏ，ｍ－２）。 （１）（ａ＋ｂ）∥ｃ￣ｌｘ２一（ｍ一１）×（一１）＝０＝ ｍ＝一１。
（２）（ ）＿１＿ａ＝＊．Ｏｘ２＋（ｍ－２）ｘ（－１）＝Ｏ ｍ＝２。 四、不等式、最值问题 主要考查向量模或夹角的最值问题。
平面向量的数量积是《向量》这一章的重要内容，它是把向量问题代数化的重要手 段．以向量的平行、垂直、所成角为载体考查向量的数量积的问题一直是高考的热点， 与三角、解析几何、不等式等知识点的综合也是我们复习时要值得关注的方向．
平面向量的数量积及其应用 ・－・－・－・－・・・・・・ ・－・・・・・・・一・－・・・・－・・・・－・・一・・・・・－・ ０福建厦门外国语学校邱小瑾
； 逝辩 ， 黪 一一……………………一一一 瑟 重点：①掌握向量的数量积的 定义．体会平面向量的数量积与向 量投影的关系，并理解其几何意义； ②掌握平面向量数量积的重要性质 及运算律，掌握数量积的坐标表达 式，会进行平面向量积的运算；③能 运用平面向量的数量积处理三角、 几何等问题． 难点：①从数与形两个方面体 会向量数量积的定义，理解向量数
ｍ 瓣 螭趣 一一——…— 蕊函麓篷 蠢誊 树 粼 晦 嘴 潲 在解决关于向量数量积的问题 时，一是要善于运用向量的平移、伸 缩、合成、分解等变换，正确地进行 向量的各种运算．进一步加深对“向 量”这一二维性的量的本质的认识． 并体会用向量处理问题的优越性： 二是向量的坐标运算体现了数与形 互相转化和密切结合的思想，所以 要通过向量法和坐标法的运用．进 一步体会数形结合思想在解决数学 量积的相关性质并能进行简单的探 究；②运用向量数量积工具性的作 用，灵活处理向量与几何、圆锥曲 线、三角函数等其他数学知识的综 合问题．
问题上的作用．本节内容常见的题 型与方法是： （１）数量积概念的考查：要理解 向量的数量积为“数”的意义．要注 意向量的数量积的运算律不同于实 数乘法的运算律，向量的数量积运 算不满足结合律等． （２）数量积公式与性质的应用： 分为“基底法”与“坐标法”两类处理． 求长度：ａ・口 ２＝Ｉａ Ｉ ＋
攀 一…一…～ 瑟
＊例１设ａ，西，ｃ是任意的非零 向量，且互不共线．已知下列命题： ①（口・６）・ｃ一（ｃ・ａ）・ｂ＝０； ②１ａｌ—ＩｂＩ＜Ｉｎ—ｂＩ； 证垂直、平行：口］＿ｂＣ＝＞ＸｌＸ２＋ｙ１Ｙ２＝ ０；口∥ｂｃ：：￣ｘｌｙ２－ｘ２．ｙ１＝０． 求两直线夹角：ｃｏｓ０＝ （Ｅｒａ于判定角是 、ｖ／ ＋ ・、／ ； ； 。’。’。。。 锐角还是钝角）． （３）数量积与其他数学知识的交 汇与融合．
平面向量的数量积与平面向量应用举例
[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
【知识通关】
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．
2．平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3.平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝a·a |a|＝x21＋y21
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
夹角 cos θ＝a·b|a||b| cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与
|a||b|的 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|
≤x21＋y21·x22＋y22 关系
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
