函数的奇偶性

函数的奇偶性

（一） 主要知识：

1.函数的奇偶性的定义：设()yfx，xA，如果对于任意xA，都有()()fxfx，则称函数()yfx为奇函数；如果对于任意xA，都有()()fxfx，则称函数()yfx为偶函数；

2.奇偶函数的性质：

1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；

2()fx是偶函数()fx的图象关于y轴对称；

()fx是奇函数()fx的图象关于原点对称；

3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的

单调性.

3.()fx为偶函数()()(||)fxfxfx．

4.若奇函数()fx的定义域包含0，则(0)0f．

（二）主要方法：

1.判断函数的奇偶性的方法：

1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()fxfx或()()fxfx是否定义域上的恒等式；

2图象法；

3性质法：①设()fx，()gx的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域12DDD上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；

②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；

2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0fxfx，()1()fxfx．

（三）典例分析：

问题1．判断下列各函数的奇偶性：

1 1()(1)1xfxxx； 2 2lg(1)()|2|2xfxx；

3 2()lg(1)fxxx； 4 22(0)()(0)xxxfxxxx

问题2．1已知()fx是R上的奇函数，且当(0,)x时，3()(1)fxxx，

则()fx的解析式为

2(04上海)设奇函数()fx的定义域为5,5若当0,5x时,

()fx的图象如右图,则不等式()0fx的解是

y

x O 2  5  ()yfx

 2已知函数21()axfxbxc()()2()()fxyfxyfxfy（a、b、cZ）为奇函数，又(1)2f，(2)3f，

求a、b、c的值 .

问题5．1已知()fx是偶函数，xR，当0x时，()fx为增函数，

若120,0xx，且12||||xx，则

A.12()()fxfx B.12()()fxfx

C.12()()fxfx D. 12()()fxfx

2设定义在2,2上的偶函数()fx在区间0,2上单调递减，若(1)()fmfm，

求实数m的取值范围

（四）巩固练习：

1.已知函数2()fxaxbxc,23,1xa是偶函数,则ab

2.已知1()21xfxm为奇函数，则(1)f的值为

3.已知5)(357dxcxbxaxxf，其中dcba,,,为常数，若7)7(f，

则)7(f_______

4.若函数)(xf是定义在R上的奇函数，则函数)()()(xfxfxF的图象关于

.Ax轴对称 .By轴对称 .C原点对称 .D以上均不对

5.函数)0)(()1221()(xxfxFx是偶函数，且)(xf不恒等于零，则)(xf

.A是奇函数 .B是偶函数

.C可能是奇函数也可能是偶函数 .D不是奇函数也不是偶函数

函数的周期性 1．周期函数：对于()fx定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()()fxTfx恒成立，则称函数()fx具有周期性，T叫做()fx的一个周期，则kT（,0kZk）也是()fx的周期，所有周期中的最小正数叫()fx的最小正周期．

2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数yfx满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），

(1)fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；

(2)fxafx，则fx是以2Ta为周期的周期函数；

(3)1fxafx，则fx是以2Ta为周期的周期函数；

(4)fxafxb，则fx是以Tab为周期的周期函数；

以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。

(5)函数()yfx满足()()faxfax（0a），若()fx为奇函数，则其周期为4Ta，若()fx为偶函数，则其周期为2Ta．

(6)函数()yfxxR的图象关于直线xa和xbab都对称，则函数()fx是以2ba为周期的周期函数；

(7)函数()yfxxR的图象关于两点,0Aa、,0Bbab都对称，则函数()fx是以2ba为周期的周期函数；

(8)函数()yfxxR的图象关于,0Aa和直线xbab都对称，则函数()fx是以4ba为周期的周期函数；

（9）有些题目中可能用到构造，类似于常数列。

【例1】 （2006年安徽卷理）函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff__________。

【例2】 （2005天津卷）设f(x)是定义在R上的奇函数，且yfx的图象关于直线12x对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________.

【例3】 已知函数yfx满足1(1)xfxxfx，求5()2ff的值。

【例4】 （2011全国卷2）设()fx是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()fx=2(1)xx，则5()2f (A) -12 (B)1 4 (C)14 (D)12

【例5】 （2011山东卷）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）的图像在区间[0,6]上与x轴的交点个数为

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

【例6】 已知()fx是定义在R上的函数，(10)(10)fxfx且(20)(20)fxfx，则()fx是（ ）

A. 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数

C. 周期为40的奇函数 D. 周期为40的偶函数

【例7】 （2005福建卷()fx是定义在R上的以3为周期的偶函数，且(2)0f，则方程()fx=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【例8】 定义在R上的函数()fx满足(3)()0fxfx，且函数32fx为奇函数．给出以下3个命题：

①函数()fx的周期是6；

②函数()fx的图象关于点302，对称；

③函数()fx的图象关于y轴对称，其中，真命题的个数是（ ）．

A．3 B．2 C．1 D．0

【例9】 已知定义在R上的函数()fx的图象关于点304，成中心对称图形，且满足3()2fxfx，(1)1f，(0)2f．那么，(1)(2)(2006)fff的值是（ ）

A．1 B．2 C．1 D．2

【例10】 (2006年山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 ( )

(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2

【例11】 设fx是,上的奇函数，2fxfx，当0≤x≤1时，fxx，则f（7.5）等于（ ）

A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5

【例12】 已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004)

【例13】 函数()fx在R上有意义，且满足：⑴()fx是偶函数；⑵(0)999f；⑶()(1)gxfx是奇函数，求(2008)f．

函数对称性

（一）函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）

若()()fxafxb，则()fx具有周期性；若()()faxfbx，则()fx具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、)()(xbfxaf )(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称

推论1：)()(xafxaf )(xfy的图象关于直线ax对称

推论2、)2()(xafxf )(xfy的图象关于直线ax对称

推论3、)2()(xafxf )(xfy的图象关于直线ax对称

2、cxbfxaf2)()( )(xfy的图象关于点),2(cba对称

推论1、bxafxaf2)()( )(xfy的图象关于点),(ba对称

推论2、bxafxf2)2()( )(xfy的图象关于点),(ba对称

推论3、bxafxf2)2()( )(xfy的图象关于点),(ba对称

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、偶函数)(xfy与)(xfy图象关于Y轴对称

2、奇函数)(xfy与)(xfy图象关于原点对称函数

3、函数)(xfy与()yfx图象关于X轴对称

4、互为反函数)(xfy与函数1()yfx图象关于直线yx对称

5.函数)(xafy与)(xbfy图象关于直线2abx对称

推论1:函数)(xafy与)(xafy图象关于直线0x对称

推论2:函数)(xfy与)2(xafy 图象关于直线ax对称

推论3:函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称

（三）抽象函数的对称性与周期性

1、抽象函数的对称性