2020-2021学年上海市黄浦区高二(上)期末数学试卷

上海市黄浦区浦西中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列两个图形一定相似的是()A. 矩形B. 有一个内角为100°的等腰三角形C. 直角三角形D. 菱形2.下列各组线段中，能成比例的是()A. 1㎝，3㎝，4㎝，6㎝B. 30㎝，12㎝，0.8㎝，0.2㎝C. 11㎝，22㎝，33㎝，44㎝D. 12㎝，16㎝，45㎝，60㎝3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则tan A的值是()A. 12B. 2 C. √55D. √524.已知a⃗、b⃗ 、c⃗都是非零向量，如果a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，那么下列说法中，错误的是()A. a⃗//b⃗B. |a⃗|=|b⃗ |C. a⃗+b⃗ =0D. a⃗与b⃗ 方向相反5.如图，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是B，D，F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是()A. 13B. 34C. 23D. 456.如图，已知▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFE：S四边形FCDE为()A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：6二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.若x2=y3，则2x−3yx+y的值为______．8.若2|a⃗|=3，那么3|a⃗|=______．9.已知线段AB=20cm，点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则AC的长为______．10.如图，G为△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长为______ ．11.如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1//l2//l3，AB=6，BC=4，DF=15，那么线段DE的长等于______．12.若tanα=5，则sinα−cosαsinα+3cosα=______．13.如图，在△ABC中，点M、N分别在边AB、AC上，且MN//BC.若AM=2，BM=5，MN=2，则BC=______．14.在△ABC中，AB=12√2，AC=13，cos∠B=√22，则BC边长为______．15.已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2√3，则它的周长是______．16.如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，则△ABC的高AH为_____厘米．17.如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的______．18.如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积为__________．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.已知a5=b7=c8，且3a−2b+c=9，求2a+4b−3c的值．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.计算：√3cos30°−√2sin45°+tan45°cos60°21. 如图，已知点E 在四边形ABCD 的边AB 上，设AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ． (1)试用向量a ⃗ 、b ⃗ 和c ⃗ 表示向量DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)在图中求作：DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ .(不要求写出作法，只需写出结论即可)22. 如图，AD//BE//CF ，AB =6，BC =3，DF =8，求EF 的长．23.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，且sin∠DAB=35，DB=3√2.求：(1)AB的长；(2)∠CAB的正切值．24.已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．(1)求证：AC2=AD⋅AB；(2)若ADAC =DFCG，求证：CG2=DF⋅BG．25.如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF.求证：BE//FD．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A.任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，A错误；B.有一个内角为100°的两个等腰三角形，顶角都为100°，底角都为40°，一定相似，B正确；C.任意两个直角三角形的直角相等，锐角可能不相等，所以不一定相似，C错误；D.任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，D错误，故选：B．根据相似多边形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案．本题考查的是相似形的定义，属于基础题．2.答案：D解析：此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．解：A、1×6≠3×4，故选项错误；B、30×0.2≠12×0.8，故选项错误；C、11×44≠22×33，故选项错误；D、12×60=16×45，故选项正确．故选：D．3.答案：A解析：解析：本题考查锐角三角函数的定义.根据锐角三角函数的定义可得，根据题目所给AC=2BC 即可求解．解：∵∠C=90°，，∵AC=2BC，AC2．故选A．4.答案：C解析：根据平面相等向量的定义、共线向量的定义以及向量的模的计算方法解答．考查了向量，向量是既有方向又有大小的．解：A.因为a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，所以a⃗//b⃗ ，且a⃗与b⃗ 方向相反，故本选项说法正确；B.因为a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，所以|a⃗|=|b⃗ |=|2c⃗|，故选项说法正确；C.因为a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，所以a⃗//b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =0，故本选项说法错误；D.因为a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，所以a⃗//b⃗ ，且a⃗与b⃗ 方向相反，故本选项说法正确；故选：C．5.答案：B解析：本题考查平行线的判定，相似三角形的判定与性质，易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得EFAB =DFDB,EFCD=BFBD，从而可得EFAB+EFCD=DFDB+BFBD=1.然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB//CD//EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴EFAB =DFDB,EFCD=BFBD，∴EFAB +EFCD=DFDB+BFBD=1．∵AB=1，CD=3，∴EF1+EF3=1，4故选B．6.答案：C解析：解：连接CE，∵AE//BC，E为AD中点，∴AEBC =AFFC=12．∴△FEC面积是△AEF面积的2倍．设△AEF面积为x，则△AEC面积为3x，∵E为AD中点，∴△DEC面积=△AEC面积=3x．∴四边形FCDE面积为5x，所以S△AFE：S四边形FCDE为1：5．故选：C．根据AE//BC，E为AD中点，找到AF与FC的比，则可知△AEF面积与△FCE面积的比，同时因为△DEC面积=△AEC面积，则可知四边形FCDE面积与△AEF面积之间的关系．本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题的关键是通过线段的比得到三角形面积的关系．7.答案：−1解析：解：∵x2=y3，∴2y=3x，则y=32x，则2x−3yx+y =2x−3×32xx+32x=−1．故答案为：−1．直接利用比例的性质得出x，y之间的关系进而得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数代替另一未知数是解题关键．8.答案：92解析：解：由2|a⃗|=3得到：|a⃗|=32，故3|a⃗|=3×32=92．故答案是：92．实数的乘除运算法则同样适用于向量的运算．考查了平面向量的知识，解题时，可以与实数的运算法则联系起来考虑，属于基础题．9.答案：(10√5−10)cm解析：解：∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC=√5−12×AB=(10√5−10)cm．故答案为：(10√5−10)cm．根据黄金比值计算即可．本题考查的是黄金分割的概念，把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC 的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．10.答案：8解析：本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．延长AG交BC于D，根据重心的概念得到BD=12BC=5，根据等腰三角形的性质得AD⊥BC，根据勾股定理和重心的性质计算即可．解：延长AG交BC于D，∵G为△ABC的重心，∴BD=12BC=5，∵AB=AC，∴AD⊥BC，由勾股定理得，AD=√AB2−BD2=12，∵G为△ABC的重心，∴AG=23AD=8，故答案为：8．11.答案：9解析：解：设DE长为x，EF为15−x，∵l1//l2//l3，∴ABBC =DEEF，即64=x15−x，解得x=9，∴DE=9．故答案为9．设DE长为x，EF为15−x，利用平行线分线段成比例定理得到ABBC =DEEF，从而可计算出DE的长．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．12.答案：12解析：本题考查同角三角函数的关系，解题的关键熟练运用同角三角函数的关系，本题属于基础题型．根据同角的三角函数的关系即可求出答案．解：．故答案为12．13.答案：7 解析：解：∵MN//BC ， ∴△AMN∽△ACB ， ∴MN BC =AMAB ，∵AB =AM +BM =7，∴2BC =27，∴BC =7，故答案为：7．根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 14.答案：7或17解析：解：∵在△ABC 中，AB =12√2，AC =13，cos∠B =√22，cos∠B =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC ，∴√22=√2)2222×12√2×BC解得BC =7或BC =17．故答案为：7或17．根据在△ABC 中，AB =12√2，AC =13，cos∠B =√22，可以利用余弦定理求得BC 的长，从而可以解答本题．本题考查解直角三角形，解题的关键是明确余弦定理的内容．15.答案：6+4√3解析：解：作AD ⊥BC 于D ，∵AB =AC ，∴BD =DC ，在Rt △ABD 中，∠B =30°，∴AD =12AB =√3，由勾股定理得，BD =√AB 2−AD 2=3，∴BC=2BD=6，∴△ABC的周长为：6+2√3+2√3=6+4√3，故答案为：6+4√3．作AD⊥BC于D，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出BD，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．16.答案：2003解析：[分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．由DG//BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．解：设三角形ABC的高AH为x厘米．由正方形DEFG得，DG//EF，即DG//BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG．由DG//BC得△ADG∽△ABC∴APAH =DGBC．∵PH⊥BC，DE⊥BC，∴PH=ED，AP=AH−PH，∵BC长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，∴x−25x =2540，解得x=2003．即AH为2003厘米．故答案为2003．17.答案：13解析：本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中．根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面积比，再求出S△ABC．解：∵AB被截成三等分，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∴AEAF =12，AEAB=13，∴S△AFG：S△ABC=4：9，S△AEH：S△ABC=1：9，∴S阴影部分的面积=49S△ABC−19S△ABC=13S△ABC．故答案为13．18.答案：124解析：本题主要考查的是相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积的有关知识，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，构成直角三角形可证出Rt△ABE∽Rt△CED，然后得到其面积．解：如图，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，∵∠ABE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠CED，于是Rt△ABE∽Rt△CED，∴SΔCDESΔEAB =(CEAB)2=14，又∠ECF=∠DCF=45°，∴CF 是∠DCE 的平分线，点F 到CE 和CD 的距离相等，，．故答案为124． 19.答案：解：设a 5=b 7=c8=k(k ≠0)，则a =5k ，b =7k ，c =8k ，代入3a −2b +c =9得，15k −14k +8k =9，解得k =1，所以，a =5，b =7，c =8，所以，2a +4b −3c =2×5+4×7−3×8=10+28−24=14．解析：设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入等式求出k 的值，从而得到a 、b 、c 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k 法”求解更简便．20.答案：解：原式=√3×√32−√2×√22+1×12=32−1+12=1．解析：直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．21.答案：解：(1)∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，DC⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ， ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ；EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −(a ⃗ −b ⃗ )=c ⃗ −a ⃗ +b ⃗ ；(2)DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 如图：AC⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求．解析：(1)由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ，直接利用三角形法则求解，即可求得答案； (2)由三角形法则可得：DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，继而可求得答案． 此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．22.答案：解：∵AB =6，BC =3，∴AC =9，∵AD//BE//CF ，∴ABAC =DE DF，即69=DE 8， 解得，DE =163，∴EF =DF −DE =83．解析：根据题意求出AC ，根据平行线分线段成比例定理求出DE ，计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23.答案：解：(1)在Rt △BDE 中，DE ⊥AB ，BD =3√2，∠ABC =45°，∴BE =DE =3，在Rt △ADE 中，sin∠DAB =35，DE =3，∴DE AD =35，∴AD =5， ，有勾股定理得AE =4，AB =AE +BE =4+3=7；(2)作CF ⊥AB 于F ，∵AD 是BC 边上是中线，BD =3√2，∴BC =6√2，∵∠ABC =45°，∴BF =CF =6，∴AF =7−6=1，在Rt △CFA 中，．解析：本题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．(1)在Rt △BDE 中，求得BE =DE =3，在Rt △ADE 中，得到AE =4，根据线段的和差即可得到结论；(2)作CF⊥AB于F，根据已知条件得到BC=6√2，由等腰直角三角形的性质得到BF=CF=6，根据三角函数的定义即可得到结论．24.答案：(1)证明：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AD⋅AB；(2)证明：∵△ACD∽△ABC，∴∠ADF=∠ACG，∵ADAC =DFCG，∴△ADF∽△ACG，∴∠DAF=∠CAF，即∠BAG=∠CAG，AG是∠BAC的平分线，∴ACAB =CGBG，∴DFCG =CGBG，∴CG2=DF⋅BG．解析：本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．(1)证明△ACD∽△ABC，得出对应边成比例AC：AB=AD：AC，即可得出结论．(2)由相似三角形的性质得出∠ADF=∠ACG，由已知证出△ADF∽△ACG，得出∠DAF=∠CAF，AG 是∠BAC的平分线，由角平分线得出，即可得出结论．25.答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD//BC，∵AE=CF，∴DE=BF，又∵DE//BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE//DF．解析：本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．先求出DE=BF，再证明四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论．。

2020-2021学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期末数学试卷试题数：20，总分：01.（填空题，0分）已知集合A={-3，-2，-1，0，1，2，3}，B={x||x-1|≤1}，则A∩B=___ ．2.（填空题，0分）函数f（x）= log2(x−1)x−2的定义域为 ___ ．3.（填空题，0分）若指数函数y=f（x）的图像经过点（12，2）则函数y=f（x）-2x+1的零点为 ___ ．4.（填空题，0分）不等式1|x|＜x的解集为 ___ ．5.（填空题，0分）已知log62=a，用a表示log412=___ ．6.（填空题，0分）已知函数y=（log2a）x在R上是严格减函数，则实数a的取值范围是___ ．7.（填空题，0分）定义区间[a，b]（a＜b）的长度为b-a，若关于x的不等式x2-4x+m≤0的解集区间长度为2，则实数m的值为 ___ ．8.（填空题，0分）设x，y∈（1，+∞），若log2x、log2y的算术平均值为1，则2x、2y的几何平均值的最小值为 ___ ．9.（填空题，0分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且是（-∞，0）上的严格减函数，若f（1）=0，则满足不等式（x-1）f（x）≥0的x的取值范围为 ___ ．10.（填空题，0分）已知a∈{-2，-1，13，23，43，2}，当x∈（-1，0）∪（0，1）时，不等式x a＞|x|恒成立，则满足条件的a形成的集合为 ___ ．11.（填空题，0分）函数y=f（x）（x＜0）的反函数为y=f-1（x），且函数g（x）={f(x)，x＜0log2(x+1)，x≥0是奇函数，则不等式f-1（x）≥-2的解集为 ___ ．12.（填空题，0分）已知函数f（x）=|2x-1|，若函数g（x）=f2（x）+mf（x）+ 14有4个零点，则实数m的取值范围为 ___ ．13.（单选题，0分）已知陈述句α是β的必要非充分条件，集合M={x|x满足α}，集合N={x|x满足β}，则M与N之间的关系为（）A.M⊂NB.M⊃NC.M=ND.M∩N=∅14.（单选题，0分）若log3m＜log3n且log m3＜log n3，则实数m、n满足的关系式为（）A.0＜m＜n＜1B.0＜n＜m＜1C.0＜m＜1＜nD.1＜m＜n15.（单选题，0分）设a1、a2、b1、b2、c1、c2都是非零实数，不等式a1x2+b1x+c1＞0的解集为A，不等式a2x2+b2x+c2＞0的解集为B，则“A=B是“ a1a2=b1b2=c1c2＞0”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件16.（单选题，0分）定义在R上的函数y=f（x）的表达式为f（x）= {x2，x∈Qx，x∈Q，给出下列3个判断：（1）函数y=f（x）是非奇非偶函数；（2）当a＜0且a∈Q时，方程f（x）=a无解；（3）当a＞0时，方程f（x）=a至少有一解；其中正确的判断有（）A.0个B.1个C.2个D.3个17.（问答题，0分）已知集合A={x||x-a|≤2}，不等式2x−1x+2≥1的解集为B．（1）用区间表示B；（2）若全集U=R，且A∩ B =A，求实数a的取值范围．18.（问答题，0分）已知a、b都是正实数，且ba=b-a．（1）求证：a＞1；（2）求b的最小值．19.（问答题，0分）设函数y=f（x）的表达式为f（x）=x2+|x-a|，其中a为实常数．（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；在区间（0，a]上为严格减函数，求实数a的最大值．（2）设a＞0，函数g（x）= f(x)x20.（问答题，0分）已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x，y∈S（x、y可以相同），有x+y∈S且x-y∈S．（1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；（2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z．2020-2021学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：20，总分：01.（填空题，0分）已知集合A={-3，-2，-1，0，1，2，3}，B={x||x-1|≤1}，则A∩B=___ ． 【正确答案】：[1]{0，1，2}【解析】：求出集合B ，利用交集定义能求出A∩B ．【解答】：解：∵集合A={-3，-2，-1，0，1，2，3}， B={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}， ∴A∩B={0，1，2}， 故答案为：{0，1，2}．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.（填空题，0分）函数f （x ）=log 2(x−1)x−2的定义域为 ___ ． 【正确答案】：[1]（1，2）∪（2，+∞） 【解析】：根据使得函数f （x ）= log 2(x−1)x−2的表达式有意义即可解决此题．【解答】：解：要使得函数f （x ）=log 2(x−1)x−2的表达式有意义， 则 {x −1＞0x −2≠0 ，解得x∈（1，2）∪（2，+∞）．∴函数定义域为（1，2）∪（2，+∞）． 故答案为：（1，2）∪（2，+∞）．【点评】：本题考查函数定义域求法，考查数学运算能力，属于基础题．3.（填空题，0分）若指数函数y=f （x ）的图像经过点（ 12 ，2）则函数y=f （x ）-2x+1的零点为 ___ ．【正确答案】：[1]x=1【解析】：利用待定系数法求出f （x ）=4x ，再利用零点的定义求解即可．【解答】：解：设指数函数y=a x ，∵图像经过点（ 12，2），∴ a 12 =2，解得a=4，∴f （x ）=4x ， ∴y=f （x ）-2x+1=4x -2x+1，令y=0，则4x =2x+1，∴2x=x+1，∴x=1， 故答案为：x=1．【点评】：本题考查了待定系数法求的应用，零点的求法，是基础题． 4.（填空题，0分）不等式 1|x| ＜x 的解集为 ___ ． 【正确答案】：[1]（1，+∞）【解析】：结合x 的范围分类讨论，转化为二次不等式进行求解即可．【解答】：解：由题意得， {x |x |＞1x ≠0 ，即 {x ＞0x 2＞1 或 {−x 2＞1x ＜0，解得，x ＞1，所以原不等式的解集（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．【点评】：本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用，属于基础题． 5.（填空题，0分）已知log 62=a ，用a 表示log 412=___ ． 【正确答案】：[1] 1+a2a【解析】：利用换底公式以及对数的运算性质求解．【解答】：解：log 412= log 612log 64 = log 62+12log 62 = 1+a2a， 故答案为： 1+a2a ．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质以及换底公式的应用，是基础题．6.（填空题，0分）已知函数y=（log 2a ）x 在R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是 ___ ． 【正确答案】：[1]（1，2）【解析】：根据指数函数的单调性，可得0＜log2a＜1，结合对数函数的图象和性质，可得实数a的取值范围．【解答】：解：∵函数y=（log2a）x在R上是严格减函数，∴0＜log2a＜1，∴1＜a＜2，故答案为：（1，2）．【点评】：本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，属于基础题．7.（填空题，0分）定义区间[a，b]（a＜b）的长度为b-a，若关于x的不等式x2-4x+m≤0的解集区间长度为2，则实数m的值为 ___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：根据题意利用根与系数的关系，以及解集区间长度为2得到关于m的方程，再求出m即可．【解答】：解：因为不等式x2-4x+m≤0的解集区间长度为2，所以Δ=16-4m＞0，解得m＜4；设方程x2-4x+m=0的解是x1，x2，则x1+x2=4，x1x2=m，因为|x1-x2|=2，所以√(x1+x2)2−4x1x2 =2，所以16-4m=4，解得m=3，所以实数m的值为3．故答案为：3．【点评】：本题考查了不等式与对应方程的应用问题，也考查了根与系数的关系以及转化思想和方程思想，是基础题．8.（填空题，0分）设x，y∈（1，+∞），若log2x、log2y的算术平均值为1，则2x、2y的几何平均值的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：由已知结合对数运算性质可求xy，然后结合基本不等式求出x+y的最小值，再由指数运算性质可求．【解答】：解：由题意得，log2x+log2y=2，所以xy=4，所以x+y ≥2√xy =4，当且仅当x=y=2时取等号，则√2x•2y = √2x+y≥4．故答案为：4．【点评】：本题主要考查了对数与指数的运算性质，考查了算术平均数与几何平均数的概念，还考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．9.（填空题，0分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且是（-∞，0）上的严格减函数，若f（1）=0，则满足不等式（x-1）f（x）≥0的x的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1][-1，0]∪{1}【解析】：偶数形结合分类讨论x＜1和x≥1即可求解．【解答】：解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且是（-∞，0）上的严格减函数，f（1）=0，可得f（0）=0，f（-1）=0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由于（x-1）f（x）≥0，当x＜1时，f（x）≤0，所以-1≤x≤0，当x≥1时，f（x）≥0，所以x=1，综上所述，x的取值范围是[-1，0]∪{1}．故答案为：[-1，0]∪{1}．【点评】：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查不等式的解法，考查分类讨论与数形结合思想的应用，考查运算求解能力，属于基础题．10.（填空题，0分）已知a∈{-2，-1，13，23，43，2}，当x∈（-1，0）∪（0，1）时，不等式x a＞|x|恒成立，则满足条件的a形成的集合为 ___ ．【正确答案】：[1] {−2，23}【解析】：直接利用幂函数的性质进行分类讨论，即可得到答案．【解答】：解：令f（x）=x a，因为当x∈（-1，0）∪（0，1）时，不等式x a＞|x|恒成立，则当x∈（-1，0）∪（0，1）时，幂函数f（x）的图象在y=|x|的图象的上方，如果函数f（x）为奇函数，则第三象限有图象，故f（x）不是奇函数，所以a=-1，a= 13不符合题意；当x∈（0，1）时，函数f（x）=x a＞x，即1＞x1-a，所以1-a＞0，解得a＜1，所以a= 43，a=2不符合题意．综上所述，满足条件的a形成的集合为{−2，23}．故答案为：{−2，23}．【点评】：本题考查了函数恒成立问题，幂函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．11.（填空题，0分）函数y=f（x）（x＜0）的反函数为y=f-1（x），且函数g（x）={f(x)，x＜0log2(x+1)，x≥0是奇函数，则不等式f-1（x）≥-2的解集为 ___ ．【正确答案】：[1][-log23，0）【解析】：当x＜0时-x＞0，所以g（-x）=log2（-x+1），再利用函数g（x）的奇偶性可求出f（x）的解析式，进而求出f-1（x）的解析式，注意不要忽视定义域，从而求出不等式f-1（x）≥-2的解集．【解答】：解：当x＜0时，-x＞0，∴g（-x）=log2（-x+1），又∵g（x）是奇函数，∴g（-x）=-g（x），∴-g（x）=log2（-x+1），即g（x）=-log2（-x+1），∴f（x）=-log2（-x+1）（x＜0），令y=-log2（-x+1），x＜0，则y＜0，∴-x+1=2-y，∴x=1-2-y，∴f-1（x）=1-2-x（x＜0），∴1-2-x≥-2，即2-x≤3，∴-x≤log23，∴x≥-log23，又∵x＜0，∴-log23≤x＜0，即不等式f-1（x）≥-2的解集为[-log23，0），故答案为：[-log 23，0）．【点评】：本题主要考查了利用函数的奇偶性求解析式，考查了求反函数，以及解指数不等式，是中档题．12.（填空题，0分）已知函数f （x ）=|2x -1|，若函数g （x ）=f 2（x ）+mf （x ）+ 14 有4个零点，则实数m 的取值范围为 ___ ． 【正确答案】：[1]（- 54，-1）【解析】：由函数解析式画出函数图象，再令t=f （x ），将g （x ）转化为t 的函数，再由图象求m 的范围即可．【解答】：解：由函数f （x ）=|2x -1|，如图所示；令t=f （x ）， 则h （t ）=t 2+mt+ 14， 则h （t ）=0，t 最多有两解， 而t=f （x ）关于x 最多有两解，故g （x ）=0有4解时，必对应h （t ）与f （x ）均有2解， f （x ）=t 有两解，如图， 只要t∈（0，1）即可，故原问题转化为h （t ）=0的根t 1，t 2∈（0，1），且t 1≠t 2， 由于h （t ）过（0， 14 ）， 对称轴t=- m2 必在（0，1）内， 且顶点处h （t ）＜0，且h （1）＞0， 即 {0＜−m 2＜1ℎ(−m 2)=1−m 24＜0ℎ(1)=54+m ＞0 ，即- 54 ＜m ＜-1，，-1）．故答案为：（- 54【点评】：本题考查函数的零点与方程的关系，属于中档题．13.（单选题，0分）已知陈述句α是β的必要非充分条件，集合M={x|x满足α}，集合N={x|x满足β}，则M与N之间的关系为（）A.M⊂NB.M⊃NC.M=ND.M∩N=∅【正确答案】：B【解析】：利用充要条件与集合间关系的转化即可求解．【解答】：解：∵α是β的必要非充分条件，集合M={x|x满足α}，集合N={x|x满足β}，∴N⫋M，故选：B．【点评】：本题考查了充要条件与集合间关系的转化，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.（单选题，0分）若log3m＜log3n且log m3＜log n3，则实数m、n满足的关系式为（）A.0＜m＜n＜1B.0＜n＜m＜1C.0＜m＜1＜nD.1＜m＜n【正确答案】：C【解析】：根据对数函数的图象和性质即可判断．【解答】：解：∵log3m＜log3n，∴0＜m＜n，∵log m3＜log n3，∴0＜m＜1，n＞1，∴0＜m＜1＜n．故选：C．【点评】：本题考查了对数函数的图象和性质，属于基础题．15.（单选题，0分）设a1、a2、b1、b2、c1、c2都是非零实数，不等式a1x2+b1x+c1＞0的解集为A，不等式a2x2+b2x+c2＞0的解集为B，则“A=B是“ a1a2=b1b2=c1c2＞0”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：B【解析】：根据不等式的基本性质，充分必要条件的定义判断即可．【解答】：解：① 当A=B=∅时，不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0可能是不同的不等式，则a1a2=b1b2=c1c2＞0不一定成立，∴充分性不成立，② 若a1a2=b1b2=c1c2=k＞0时，则不等式a1x2+b1x+c1＞0⇔ka2x2+kb2x+kc2＞0⇔a2x2+b2x+c2＞0，∴A=B，∴必要性成立，∴A=B是a1a2=b1b2=c1c2＞0的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题考查充要条件的判断，不等式的基本性质，属于中档题．16.（单选题，0分）定义在R上的函数y=f（x）的表达式为f（x）= {x2，x∈Qx，x∈Q，给出下列3个判断：（1）函数y=f（x）是非奇非偶函数；（2）当a＜0且a∈Q时，方程f（x）=a无解；（3）当a＞0时，方程f（x）=a至少有一解；其中正确的判断有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：C【解析】：根据函数表达式，分别讨论变量是有理数和无理数，即可得到结论．【解答】：解：（1）若x∈Q，则-x∈Q，则f（-x）=x2=f（x），此时为偶函数，若x∈ Q，则-x∈ Q，则f（-x）=-x=-f（x），此时为奇函数，综上y=f（x）是非奇非偶函数，故（1）正确，（2）当a＜0且a∈Q时，f（x）=x2≥0，则方程f（x）=a无解，故（2）正确，（3）当a＞0时，若a∈Q，则由f（x）=a2=a，得a=1，若a∈ Q，则由f（x）=x=a，得x=a只有一解，故（3）错误，故选：C．【点评】：本题主要考查命题的真假判断，根据分段函数的表达式，利用分类讨论思想进行判断是解决本题的关键，是中档题．17.（问答题，0分）已知集合A={x||x-a|≤2}，不等式2x−1x+2≥1的解集为B．（1）用区间表示B；（2）若全集U=R，且A∩ B =A，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，分析可得2x−1x+2≥1⇔ x−3x+2≥0⇔（x-3）（x+2）≥0且x+2≠0，解可得集合B，即可得答案；（2）根据题意，求出集合A以及B，由A∩ B =A可得A⊆ B，由此分析可得答案．【解答】：解：（1）根据题意，2x−1x+2≥1⇔ x−3x+2≥0⇔（x-3）（x+2）≥0且x+2≠0，解可得：x＜-2或x≥3，即B=（-∞，-2）∪[3，+∞）；（2）由（1）的结论，B=（-∞，-2）∪[3，+∞），则B =[-2，3），A={x||x-a|≤2}=[a-2，a+2]，若A∩ B =A，则A⊆ B，则有-2≤a-2＜a+2＜3，解可得：0≤a＜1，即a的取值范围为[0，1）．【点评】：本题考查不等式的解法，涉及集合之间的关系，属于基础题．18.（问答题，0分）已知a 、b 都是正实数，且 b a =b-a ．（1）求证：a ＞1；（2）求b 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．（2）根据已知条件，结合换元法和基本不等式的公式，即可求解．【解答】：证明：（1）∵ b a =b-a ，∴ b (1−1a )=a ，又∵a ，b 都是正实数，∴ (1−1a )＞0 ，∴ 1a ＜1 ，又∵a ＞0，∴a ＜1，即得证．（2）∵ b a =b-a ，∴ b (1−1a )=a ，∵a ＞1，∴ b =a 2a−1 ，令t=a-1（t ＞0），则b= a 2a−1 = (t+1)2t =t +1t +2≥2√t •1t +2=4 ， 当且仅当t=a-1=1，即a=2时，取得最小值，所以a=2时，b 的最小值为4．【点评】：本题主要考查不等式的证明，掌握基本不等式是解本题的关键，属于基础题．19.（问答题，0分）设函数y=f （x ）的表达式为f （x ）=x 2+|x-a|，其中a 为实常数．（1）判断函数y=f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）设a ＞0，函数g （x ）=f (x )x 在区间（0，a]上为严格减函数，求实数a 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）利用奇函数与偶函数的定义，分a=0和a≠0两种情况讨论即可；（2）利用函数单调性的定义分析，列出关于a 的不等式组，求解即可．【解答】：解：（1）函数f （x ）=x 2+|x-a|的定义域为R ，关于原点对称，f （-x ）=（-x ）2+|-x-a|=x 2+|x+a|，当a=0时，f （-x ）=f （x ），则f （x ）为偶函数，当a≠0时，f （-x ）≠f （x ）且f （-x ）≠-f （x ），则f （x ）为非奇非偶函数．（2）当x∈（0，a]时， g (x )=f (x )x =x 2+|x−a|x =x +a x −1 ， 设0＜x 1＜x 2≤a ，则 g (x 1)−g (x 2)=x 1+a x 1−x 2−a x 2 = (x 1−x 2)(x 1x 2−a )x 1x 2 ，因为0＜x 1＜x 2≤a ，所以x 1-x 2＜0且0＜x 1x 2＜a 2，因为函数g （x ）在区间（0，a]上为严格减函数，所以x 1x 2-a ＜0恒成立，即a ＞x 1x 2恒成立，所以 {a ≥a 2a ＞0，解得0＜a≤1， 故a 的最大值为1．【点评】：本题考查了奇偶性的判断，函数单调性的应用，函数单调性定义的理解与应用，判断函数奇偶性时要先判断函数的定义域是否关于原点对称，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.（问答题，0分）已知非空集合S 的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x ，y∈S （x 、y 可以相同），有x+y∈S 且x-y∈S ．（1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；（2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z．【正确答案】：【解析】：（1）分a∈S，且a≠0和a∈S，且a=0两种情况分别验证即可；（2）结合条件，由5∈S，3∈S，首先证得2的所有整数倍的数都是S中的元素，又3-2=1∈S，所以x=2k+l，k∈Z也是集合S中的元素，即{x|x=2k+1，k=Z}⫋S，所以有{x|x=2k，k∈Z}U{x|x=2k+1，k∈Z}=Z，即证得S=Z．【解答】：解：（1）能，理由如下：若a∈S，且a≠0，由题意知a的所有整数倍的数都是S中的元素，所以S是无限集；若a∈S，且a=0，则S={0}，x+y∈S，x-y∈S符合题意，且S={0}是有限集，所以集合S能为有限集，即S={0}；（2）证明：因为非空集合S的元素都是整数，且x+y∈Z，x-y∈Z，由5∈S，3∈S，所以5-3=2∈S，所以3-2=l∈S，所以1+1=2∈S，1+2=3∈S，1+3=4∈S，…，1-1=0∈S，0-1=-1∈S，-1-1=-2∈S，-2-1=-3∈S…，所以非空集合S是所有整数构成的集合，由5∈S，3∈S，所以5-3=2∈S，因为x+y∈S，x-y∈S，所以2+2=4∈S，2-2=0∈S，2+4=6∈S，2-4=-2∈S，2+6=8∈S，2-6=-4∈S，…，所以2的所有整数倍的数都是S中的元素，即{x|x=2k，k∈Z}⫋S，且3-2=1∈S，所以x=2k+l，k∈Z也是集合S中的元素，即{x|x=2k+1，k=Z}⫋S，{x|x=2k，k∈Z}U{x|x=2k+1，k∈Z}=Z，综上所述，S=Z．【点评】：本题考查了元素与集合的关系，属于难题．。

2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．半径为1的球的体积为．2．棱长都是2的三棱锥的表面积为．3．已知＝（3，0，2），＝（x，0，4），若∥，则x＝．4．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是．5．直线PA与平面ABC所成角为，则直线PA与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范围是6．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且，用，，表示，则＝．7．长方体的12条棱的总长度为56m，表面积为112m2，那么长方体的对角线长为m．8．一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是30°，斜坡上有一道直道，它和坡脚水平线成60°角，沿这条直道向上行走100米后升高米．9．侧棱长为2的正三棱锥V﹣ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面AEF，则截面△AEF周长的最小值为．10．圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是．11．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为．12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・二、选择题13．已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．下列四种说法中：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；②相等的线段在直观图中仍然相等；③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥．正确的个数是（）A．0B．1C．2D．315．已知平面α∩β＝l，B，C∈l，A∈α且A∉l，D∈β且D∉l，则下列叙述错误的是（）A．直线AD与BC是异面直线B．直线CD在α上的射影可能与AB平行C．过AD有且只有一个平面与BC平行D．过AD有且只有一个平面与BC垂直16．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1上的动点，且BE＝D1F＝λ．设EF与AB所成的角为α，与BC所成的角为β，则α+β的最小值（）A．不存在B．等于60C．等于90D．等于120三、解答题17．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，若异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧面积和体积．18．如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x、y、z轴的正半轴交于A、B、C三点，已知球面上一点D（0，﹣，）．（1）求证：CD⊥OA；（2）求D、C两点在球O上的球面距离．19．如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知∠ACB＝90°，AA'＝，BC＝AC＝1，O为AB的中点．求：（1）圆柱的全面积和体积；（2）求直线A'C与平面ABB'A'所成的角的大小．20．在三棱锥中P﹣ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O是AC的中点，PO⊥底面ABC．（1）求证：OB⊥平面PAC；（2）当k＝，AB＝2时，求点A到平面PBC的距离；（3）当k为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？21．如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．参考答案一、填空题1．半径为1的球的体积为．解：半径为1的球的体积为：＝．故答案为：．2．棱长都是2的三棱锥的表面积为．解：棱长都是2的三棱锥的各个面都为等边三角形，且等边三角形的边长为2，∴每个面的面积都是×2×2×＝，∴表面积S＝4．故答案为：4．3．已知＝（3，0，2），＝（x，0，4），若∥，则x＝6．解：∵＝（3，0，2），＝（x，0，4），∥，∴，解得x＝6．故答案为：6．4．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是60°．解：根据二面角的定义则线面垂直的性质，∵二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，有两条异面直线a，b分别垂直于平面，设异面直线a，b的夹角为θ则θ＝60°．故答案为：60°．5．直线PA与平面ABC所成角为，则直线PA与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范围是[]解：∵一条直线PA与平面ABC成角为，∴根据“最小角定理”，可得这条直线与平面内的直线所成角中最小值为，再根据线线夹角的定义，得到这条直线与平面内的直线所成角中最大值为，这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是[]．故答案为：[]．6．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且，用，，表示，则＝．解：＝．故答案为：7．长方体的12条棱的总长度为56m，表面积为112m2，那么长方体的对角线长为2m．解：设长方体的长、宽、高分别为：a，b，c，长方体的12条棱的总长度为56m，表面积为112m2，可得4（a+b+c）＝56，2（ab+bc+ac）＝112，可得a+b+c＝14，所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝196，所以a2+b2+c2＝84，所以长方体的对角线长为：＝＝2．故答案为：2．8．一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是30°，斜坡上有一道直道，它和坡脚水平线成60°角，沿这条直道向上行走100米后升高米．解：如图，已知CD＝100米，作DH⊥过BC的平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度，在平面DBC内，过点D作DG⊥BC，垂足为G，连接GH，∵DH⊥平面BCH，∴DH⊥BC，∵DG⊥BC，DG∩DH＝D，∴GB⊥平面DGH，又GH⊂平面DGH，∴GH⊥BC，∴∠DGH为坡面DGC与水平面BCH所成二面角的平面角，则∠DGH＝30°，依题意，∠DCG＝60°，则米．故答案为：．9．侧棱长为2的正三棱锥V﹣ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面AEF，则截面△AEF周长的最小值为6．解：如图所示：沿着侧棱VA把正三棱锥V﹣ABC展开在一个平面内，如图（2），则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40＝120°．△VAA′中，由余弦定理可得AA'＝＝＝6，故答案为6．10．圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是2．解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr＝，r＝1；圆锥的高为：＝2．故答案为：2．11．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为2π．解：设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得×2×＝×（3+3+2）r，∴r＝，∴该圆锥内切球的表面积为4πr2＝＝2π，故答案为：2π．12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・解：如图，连结D1A，AC，D1C，∵E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，∴AC∥EF，EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，∴EF∥平面ACD1，∵EG∥AD1，EG⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，∴EG∥平面ACD1，∵EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面ACD1，∵D1P∥平面EFG，∴点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，＝＝，∴当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，最小值为＝．故答案为：．二、选择题13．已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：α、β表示两个不同的平面，直线m⊂α，m∥β，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，需要有另一条和它相交的直线也平行于平面，当两个平面平行时，一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件故选：B．14．下列四种说法中：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；②相等的线段在直观图中仍然相等；③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥．正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：①根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以①不正确，②相等的线段在直观图中不一定相等，故②不正确；③一个直角三角形绕其直角边中的一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥．所以③不正确；故选：A．15．已知平面α∩β＝l，B，C∈l，A∈α且A∉l，D∈β且D∉l，则下列叙述错误的是（）A．直线AD与BC是异面直线B．直线CD在α上的射影可能与AB平行C．过AD有且只有一个平面与BC平行D．过AD有且只有一个平面与BC垂直解：对于A，若直线AD与BC是共面直线，设AD与BC共面γ，∵不共线的三点B，C，D均在β与γ内，∴β与γ重合，又不共线的三点A，B，C均在α与γ内，∴α与γ重合，则α与β重合，与α∩β＝l 矛盾，故直线AD与BC是异面直线，A正确；对于B，当AB⊥l，CD⊥l，且二面角α﹣l﹣β为锐二面角时，直线CD在α上的射影与AB平行，B正确；对于C，在AD上任取一点，过该点作BC的平行线l′，则由AD与l′确定一个平面，该平面与BC平行，若过AD另外有平面与BC平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线BC外的一点A 有两条直线与BC平行，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，故C正确；对于D，只有当AD与BC异面垂直时，过AD有且只有一个平面与BC，否则，不存在过AD与BC垂直的平面，故D错误．故选：D．16．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1上的动点，且BE＝D1F＝λ．设EF与AB所成的角为α，与BC所成的角为β，则α+β的最小值（）A．不存在B．等于60C．等于90D．等于120解：在AA1上取一点M，使EM∥AB，连接MF，则∠MEF＝α，同理可判断α＝β．在△MFE中，，所以，所以αmin＝45°，因此（α+β）min＝90°．故选：C．三、解答题17．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，若异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧面积和体积．解：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，有A1A∥B1B，则∠BB1C为异面直线A1A与B1C所成角，等于arctan，即tan∠BB1C＝tan（arctan）＝＝＝，得BB1＝4，∴正四棱柱的高为4．∴正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧面积S＝4×2×4＝32，体积V＝2×2×4＝16．18．如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x、y、z轴的正半轴交于A、B、C三点，已知球面上一点D（0，﹣，）．（1）求证：CD⊥OA；（2）求D、C两点在球O上的球面距离．解：（1）由题得A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），故重心坐标为（），∴平面ABC的法向量为＝（），∵＝（0，﹣，﹣），＝（1，0，0）∴＝0，即CD⊥OA；（2）由题意，cos∠COD＝＝，∴∠COD＝，∴D，C两点在球O上的球面距离为DC＝．19．如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知∠ACB＝90°，AA'＝，BC＝AC＝1，O为AB的中点．求：（1）圆柱的全面积和体积；（2）求直线A'C与平面ABB'A'所成的角的大小．解：（1）∵直三棱柱内接于高为的圆柱中，∠ACB＝90°，AA'＝，BC＝AC＝1，O为AB的中点．∴圆柱的半径r＝AB＝＝，∴圆柱的全面积S＝+＝3π．圆柱的体积为V＝＝．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC′为z轴，建立空间直角坐标系，A′（1，0，），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），＝（﹣1，0，﹣），＝（0，0，），＝（﹣1，1，0），设平面ABB'A'的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，0），设直线A'C与平面ABB'A'所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，∴直线A'C与平面ABB'A'所成的角的大小为．20．在三棱锥中P﹣ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O是AC的中点，PO⊥底面ABC．（1）求证：OB⊥平面PAC；（2）当k＝，AB＝2时，求点A到平面PBC的距离；（3）当k为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？【解答】（1）证明：连接OB，因为AB＝BC，点O是AC的中点，所以OB⊥AC，因为PO⊥底面ABC，OB⊂平面ABC，所以PO⊥OB，因为AC∩PO＝O，所以OB⊥平面PAC；（2）解：因为k＝，AB＝2，所以PA＝4，因为BC＝AB＝2，AB⊥BC，所以OA＝OB＝OC＝，所以PO＝＝，PB＝PC＝PA＝4，取BC中点D，连接PD，PD＝＝，设点A到平面PBC的距离为h，因为V P﹣ABC＝V A﹣PBC，所以，解得h＝，所以点A到平面PBC的距离为；（3）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设PA＝2，则AB＝BC＝2k，因为AB⊥BC，所以OA＝OB＝OC＝k，PO＝，PB＝PC＝PA＝2，P（0，0，），B（k，0，0），C（0，k），△PBC的重心E（，，），＝（（k，0，﹣），＝（，，），因为O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心E，所以•＝0，于是2k2﹣（4﹣2k2）＝0，解得k＝1，所以当k＝1时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心．21．如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．设为平面CDE的法向量，则，不妨令z＝﹣1，可得；又，可得．又∵直线MN⊄平面CDE，∴MN∥平面CDE；（Ⅱ）解：依题意，可得，，．设为平面BCE的法向量，则，不妨令z＝1，可得．设为平面BCF的法向量，则，不妨令z＝1，可得．因此有cos＜＞＝，于是sin＜＞＝．∴二面角E﹣BC﹣F的正弦值为；（Ⅲ）解：设线段DP的长为h，（h∈[0，2]），则点P的坐标为（0，0，h），可得，而为平面ADGE的一个法向量，故|cos＜＞|＝．由题意，可得，解得h＝∈[0，2]．∴线段DP的长为．。

2020-2021学年上海市黄浦区八年级上册期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.若√x与√5是同类二次根式，则x可以是()A. 0.5B. 50C. 125D. 252.下列计算正确的是()A. 4√3−3√3=1B. √2+√3=√5C. √2+√8=3√2D. 3+2√2=5√23.√a−b的有理化因式是()A. √a−bB. √a+bC. √a−√bD. √a+√b4.关于x的方程kx2+2x−1=0无实数根，则k的取值范围是()A. k≠0B. k<−1C. k≤−1D. k=−15.直线y=kx过点A(m,n)，B(m−3,n+4)，则k的值是()A. 43B. −43C. 34D. −346.在同一直角坐标系中，一次函数y=(k−2)x+k的图象与正比例函数y=kx图象的位置可能是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）7.计算√2x⋅√8xy(x≥0,y≥0)的结果是______．8.计算：√(3−√7)2=______．9.若最简二次根式√2x−1与√3是同类二次根式，则x=．10.不等式5−2x>−3的解集是______．11.函数y=x−32x的定义域是______12.已知函数f(x)=√2x+1，则f(√2)=______．13.方程5x2=4x的根是______ ．14.在实数范围内因式分解：2x2−4x−1=______ ．15.若x=2是关于x的一元二次方程x2−2mx+m=0的一个解，则m的值为______．16.若一元二次方程(1−3k)x2+4x−2=0有实数根，则k的取值范围是______ ．17.某校初三年级组织一次班级篮球赛，赛制为单循环(每两班之间都赛一场)，需安排45场比赛，则共有______ 个班级参加比赛．18.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,1)，将A点沿与x轴平行的直线向左平移，使点A的落在直线y=−3x−2上，则点A平移的距离为______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）19.用配方法解方程：3x2−1=6x．20.先化简，再求值：x2−1(x−1)2÷x2+xx−1+2x，其中x=√3．四、解答题（本大题共7小题，共52.0分）21.计算：3√5+2√12−√20−12√32．22.计算：(1)√18−√8+(√3+1)(√3−1)(2)√12×√323÷√33．23.解下列方程：(1)2x2+x−6=0；(2)(x−5)2=2(5−x)．24.在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象过点(1,2)，且b=k+4．(1)当x=3时，求y的值．(2)若点A(a−1,2a+6)在一次函数图象上，试求a的值．25.如图，学校要围一个面积为48平方米矩形花圃，花圃的一边利用10米长的墙，另三边用总长为20米的篱笆恰好围成，求花圃的AB边的长应为多少米？26.已知正比例函数y=kx图象经过点(2,−4)．(1)求这个函数的解析式；(2)图象上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，如果x1<x2，比较y1，y2的大小．27.如图，一次函数y=−1x+m(m>0)的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在2线段OA上，点C的横坐标为n，点D在线段AB上，且AD=2BD，将△ACD绕点D旋转180°后得到△A 1C 1D．(1)若点C 1恰好落在y轴上，试求n的值；m(2)当n=4时，若△A 1C 1D被y轴分得两部分图形的面积比为3：5，求该一次函数的解析式．答案和解析1.【答案】C，不符合题意；【解析】解：A．√0.5=√22B.√50=5√2，不符合题意；C.√125=5√5，符合题意；D.√25=5，不符合题意；故选C．分别将四个选项中x的值代入化简，再根据同类二次根式的定义判断即可．本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次根式的加减法，掌握运算法则是解题关键.利用二次根式加减运算法则分别判断即可．【解答】解：A.4√3−3√3=√3，故A错误；B.√2与√3不能合并，故B错误；C.√2+√8=√2+2√2=3√2，故C正确；D.3与2√2不能合并，故D错误．故选C．3.【答案】A【解析】解：A.√a−b·√a−b=a−b，符合题意，故A正确；B.√a−b·√a+b=√a2−b2，不符合题意，故B错误；C.√a−b·(√a−√b)=√a2−ab−√ab−b2，不符合题意，故C错误；D.√a−b·(√a+√b)=√a2−ab+√ab−b2，不符合题意，故D错误故选：A．根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号解答即可．本题主要考查了分母有理化因式的定义，比较简单，熟记定义是解题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．【解答】解：(1)当k=0时，−6x+9=0，解得x=12；(2)当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2+2x−1=0无实数根，∴△=22−4k×(−1)<0，解得k<−1，由(1)、(2)得，k的取值范围是k<−1．故选B．5.【答案】B【解析】解：∵直线y=kx过点A(m,n)，B(m−3,n+4)，∴{n=mkn+4=km−3k∴k=−4 3故选：B．将点A，点B坐标代入解析式可求k的值．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上点的坐标满足图象解析式是本题的关键．6.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查一次函数的图象及正比例函数的图像：正比例函数y=kx的图象是过原点的一条直线．当k>0时，直线经过第一、三象限；当k<0时，直线经过第二、四象限．根据正比例函数与一次函数的图象性质作答．【解答】解：当k>2时，正比例函数y=kx图象经过1，3象限，一次函数y=(k−2)x+k的图象1，2，3象限，D选项错误；当0<k<2时，正比例函数y=kx图象经过1，3象限，一次函数y=(k−2)x+k的图象1，2，4象限，A选项错误；当k<0时，正比例函数y=kx图象经过2，4象限，一次函数y=(k−2)x+k的图象2，<0，所以两函数交点的横坐标小于0，B选3，4象限，当(k−2)x+k=kx时，x=k2项错误，C选项正确，故选C．7.【答案】4x√y【解析】【分析】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：√2x⋅√8xy(x≥0,y≥0)=√16x2y=4x√y．故答案为4x√y．8.【答案】3−√7【解析】解：∵3−√7>0，∴√(3−√7)2=3−√7，故答案为：3−√7．根据二次根式的性质√a2=|a|求解可得．本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键熟练掌握二次根式的性质√a2=|a|．9.【答案】2【解析】【分析】本题考查了同类二次根式的概念及一元一次方程的解法，根据同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同列方程可求．【解答】解：∵最简二次根式√2x−1与√3是同类二次根式，∴2x−1=3，解得x=2．故答案为2．10.【答案】x<4【解析】解：−2x>−3−5，−2x>−8，x<4，故答案为：x<4．根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．11.【答案】x≠0【解析】解：根据题意得2x≠0，解得：x≠0．故答案为：x≠0．根据分式有意义的条件：分式的分母不能为0即可列不等式求解．本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12.【答案】3【解析】解：f(x)=√2x+1，则f(√2)=√2×√2+1=2+1=3，故答案为：3．根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．本题考查了函数值，利用自变量与函数值的对应关系是解题关键．13.【答案】x 1=0，x 2=0.8【解析】解：方程移项得：5x 2−4x =0，分解因式得：x(5x −4)=0，解得：x 1=0，x 2=0.8．故答案为：x 1=0，x 2=0.8．方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.【答案】(x −2+√62)(x −2−√62)【解析】【分析】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 令原式为0求出x 的值，即可确定出因式分解的结果．【解答】解：令2x 2−4x −1=0，这里a =2，b =−4，c =−1，∵Δ=16+8=24，∴x =4±2√64=2±√62， 则原式=(x −2+√62)(x −2−√62)，故答案为：(x −2+√62)(x −2−√62) 15.【答案】43【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.先把x =2代入方程x 2−2mx +m =0得4−4m +m =0，然后解关于m 的方程即可．【解答】解：把x=2代入方程x2−2mx+m=0得4−4m+m=0，解得m=4．3．故答案为4316.【答案】k≤1且k≠13【解析】解：∵一元二次方程(1−3k)x2+4x−2=0有实数根，∴1−3k≠0即k≠1，且△≥0，即42−4×(1−3k)×(−2)≥0，解得k≤1，3∴k的取值范围是k≤1且k≠1．3故答案为k≤1且k≠1．3根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义以及根的判别式得到1−3k≠0且△≥0，即42−4×(1−3k)×(−2)≥0，然后解两个不等式即可得到k的取值范围．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义．17.【答案】10【解析】解：设共有x个班级参加比赛，=45，根据题意得：x(x−1)2整理得：x2−x−90=0，即(x−10)(x+9)=0，解得：x=10或x=−9(舍去)．则共有10个班级球队参加比赛．故答案为10．设共有x个班级参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果．此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系“需安排45场比赛”．18.【答案】4【解析】【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征和图形的平移，确定A移动的距离是解题的关键．根据题意确定点A′的纵坐标，根据点A′落在直线y =−3x −2上，求出点A′的横坐标，进而解答即可．【解答】解：由题意可知，点A 移动到点A′位置时，纵坐标不变，∴点A′的纵坐标为1，−3x −2=1，解得x =−1，∴点A 与其对应点A′间的距离为4，故答案为4．19.【答案】解：由方程3x 2−1=6x ，得方程x 2−2x −13=0，把方程x 2−2x −13=0的常数项移到等号的右边，得到x 2−2x =13，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x 2−2x +1=1+13，配方得(x −1)2=43，所以x 1=3+2√33，x 2=3−2√33．【解析】本题考查了解一元二次方程--配方法，属于基础题．先把方程两边都除以3，使二次项的系数为1，然后再配上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．20.【答案】解：原式=(x+1)(x−1)(x−1)2⋅x−1x(x+1)+2x =1x +2x=3x ， 当x =√3时，原式=√3=√3．【解析】先把分子分母因式分解和把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行同分母的加法运算，再把x 的值代入计算即可．本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．21.【答案】解：3√5+2√12−√20−12√32=3√5+2×√22−2√5−12×4√2=3√5+√2−2√5−2√2=√5−√2．【解析】首先化简二次根式进而合并计算得出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．22.【答案】解：(1)原式=3√2−2√2+3−1=√2+2(2)原式=2√3×4√23√3=8√2【解析】根据二次根式的性质即可求出答案．本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．23.【答案】解：(1)∵(x+2)(2x−3)=0，∴x+2=0或2x−3=0，解得：x=−2或x=32；(2)∵(x−5)2+2(x−5)=0，∴(x−5)(x−3)=0，∴x−5=0或x−3=0，解得：x=5或x=3．【解析】(1)十字相乘法因式分解后求解可得；(2)提公因式法因式分解后求解可得．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．24.【答案】解：(1)∵b=k+4，∴y=kx+k+4，把点(1,2)代入一次函数解析式得2k+4=2，解得k=−1；∴y=−x+3．当x=3时，y=0．(2)将A点坐标代入y=−x+3得，1−a+3=2a+6，∴a=−2．3【解析】(1)先把b=k+4代入一次函数解析式中，消去b，然后把(1,2)代入求解即可．(2)将A点坐标代入y=−x+3求解即可．本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入求解一元一次方程即可．25.【答案】解：设AB边的长为x米，则BC边的长为(20−2x)米，x(20−2x)=48解得x=4或x=6．∵20−2x≤10，∴x≥5，∴x=6，答：AB边的长应为6米．【解析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解答本类题目的关键．设AB边的长为x米，则BC边的长为(20−2x)米，利用矩形的面积公式列出方程求解即可．26.【答案】解：(1)把(2,−4)代入y=kx得2k=−4，解得k=−2，所以正比例函数解析式为y=−2x；(2)因为k=−2<0，所以y随x的增大而减小，所以当x1<x2时，y1>y2．【解析】(1)把(2,−4)代入y=kx中求出k即可得到正比例函数解析式；(2)根据一次函数的性质解决问题．本题考查了待定系数法求正比例函数解析式．也考查了一次函数的性质．x+m=m，27.【答案】解：(1)当x=0时，y=−12∴B(0,m)，令y=−12x+m=0，解得x=2m，∴A(2m,0)，如图，过点D作x轴的垂线，交x轴于点E，交直线A1C1于点F，易知△BOA∽△DEA，∴DEEA =BOOA=m2m=12，又∵AD=2BD，∴AE=2OE，∴DE=23m，∴D(23m,23m)，又C(n,0)，∴C1=(43m−n,43m)，∵点C1在y轴上，∴43m−n=0，∴nm =43；(2)由(1)得，当m>3时，点C1在y轴右侧，当2<m<3时，点C1在y轴左侧，①当m>3时，设A1C1与y轴交于点P，连接C1B，由△A1C1D被y轴分得两部分图形的面积比为3：5，∴S△BA1P :S△BC1P=3:1，∴A1P：C1P=3，∴23m=3(43m−4)，∴m=185，∴y=−12x+185，②当2<m<3时，同理可得y=−12x+187．综上所述，y=−12x+185或y=−12x+187．【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，解答的关键是正确作出辅助线，进行分类讨论．(1)首先用含m的式子表示点A和点B的坐标，过点D作x轴的垂线，交x轴于点E，交直线A1C1于点F，易知△BOA∽△DEA，又AD=2BD，得到点D(23m,23m)，C1=(43m−n,43m)，根据点C1在y轴上，即可求出比值；(2)由(1)得，当m>3时，点C1在y轴右侧，当2<m<3时，点C1在y轴左侧，然后分两种情况讨论即可．。

2021-2022学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷一.填空题1．若集合A ＝{﹣1，0，1}，则在A 的所有子集中，含有元素0的集合共有个．2．设A 、B 是两个非空的有限集合，全集U ＝A ∪B ，且U 中含有m 个元素，若∪中含有n 个元素，则A ∩B 中所含有元素的个数为．3．设a 是实数，集合M ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，N ＝{y |ay +2＝0}，若N ⊆M ，则a 的取值集合是．4．不等式＞1的解集为．5．计算（lg 50）2+lg 2×lg 502+（lg 2）2＝．6．设a 2x ＝2，a ＞0，则＝．7．若关于x 的方程x 2+2（m ﹣1）x +4m 2＝0有两个实数根，且这两根互为倒数，则m ＝．8．对任意实数x ，不等式|x +1|+|x ﹣a |≥﹣a +1恒成立，则实数a 的取值范围是．9．已知幂函数y ＝f （x ）＝x α在[0，+∞）上是严格增函数，该幂函数的图像关于y 轴对称，且满足f （）＞，请写出一个满足条件的α的值．10．定义：min {x ，y }为实数x ，y 中较小的数．已知，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是．11．若集合A ＝{x |x 2﹣（a +2）x +2﹣a ＜0，x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是．12．集合M ＝{6666，﹣11135，2333，10，99111，﹣1，﹣198，1000，0，π}有10个元素，设M 的所有非空子集为M i （i ＝1，2，…，1023），每一个M i 中所有元素乘积为m i （i ＝1，2，…，1023），则m 1+m 2+m 3+…+m 1023＝．二.选择题13．若集合M ＝{a ，b ，c }中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形14．俗话说“便宜没好货”，这句话的意思是，“不便宜”是“好货”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要15．已知使不等式x 2+（a +1）x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x ﹣1≤0，则实数a 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数y ＝[x ]（x ∈R ）称为高斯函数，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2，则点集P ＝{（x ，y）|[x]2+[y]2＝1}所表示的平面区域的面积是（）A．1B．πC．4D．π+1三、解答题17．（10分）已知关于x的不等式＜0的解集为S．（1）当m＝9时，求集合S；（2）若5∈S且7∉S，求实数m的取值范围．18．（10分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．19．（10分）设y＝f（x）＝3ax2+2bx+c，若a+b+c＝0，f（0）f（1）＞0．（1）求证：方程f（x）＝0有实根；（2）求的取值范围；（3）设f（x）与x轴交于A、B两点，求线段AB长度的取值范围．20．（10分）（1）证明：设a1、a2都大于0，且a1+a2＝4，a1•a2＜2，则a1、a2中至少有一个小于1；（2）请作一猜想，将上述命题推广到n个数；（3）请证明（2）中你得到的结论．2021-2022学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试卷解析一.填空题1．【解答】解：由题意得，在集合A的子集中，含有元素0的有{0}，{0，﹣1}，{0，1}，{0，﹣1，1}，共4个．故答案为：4．2．【解答】解：因为全集U＝A∪B，且U中含有m个元素，若∪中含有n个元素，因为，所以A∩B中所含有元素的个数为m﹣n．故答案为：m﹣n．3．【解答】解：由题意解得M＝{﹣3，2}，∵N⊆M，①a＝0时，N＝∅，符合题意；②a≠0时，N＝{﹣}，∴﹣＝﹣3或2，解得a＝或﹣1，∴A＝{0，﹣1，}，∴A的取值集合为{0，﹣1，}．故答案为：{0，﹣1，}．4．【解答】解：∵不等式＞1，∴|2x﹣3|＜1且2x﹣3≠0，∴﹣1＜2x﹣3＜1且x≠，∴1＜x＜2且x≠，∴不等式解集为{x|1＜x＜2且x≠}．故答案为：{x|1＜x＜2且x≠}．5．【解答】解：（lg50）2+lg2×lg502+（lg2）2＝lg250+2lg2×lg50+lg22＝（lg50+lg2）2＝（lg100）2＝22＝4，故答案为：4．6．【解答】解：a2x＝2，a＞0，则a x＝，原式＝＝a2x﹣1+a﹣2x＝2﹣1+＝，故答案为：．7．【解答】解：设x1，x2是方程x2+2（m﹣1）x+4m2＝0有两个实数根，则x1x2＝4m2＝1，解得m＝或m＝﹣，又当m＝时，Δ＝[2（m﹣1）2﹣16m2]＜0，舍去m＝，当m＝﹣时，Δ＝[2（m﹣1）2﹣16m2]＞0．故答案为：﹣．8．【解答】解：由绝对值三角不等式可得|x+1|+|x﹣a|≥|x+1﹣（x﹣a）|＝|a+1|，因为对任意实数x，不等式|x+1|+|x﹣a|≥﹣a+1恒成立，所以|a+1||≥﹣a+1，当a＞﹣1时，a+1≥﹣a+1，解得a≥0；当a≤﹣1时，﹣a﹣1≥﹣a+1，即﹣1≥1，不等式不成立，综上，实数a的取值范围是a≥0．故答案为：a≥0．9．【解答】解：∵幂函数y＝f（x）＝xα在[0，+∞）上是严格增函数，∴α＞0，∵该幂函数的图像关于y轴对称，∴α可以为偶数或分子为偶数，∵f（）＞，∴0＜α＜1，故满足条件的α的值可以为，故答案为：．10．【解答】解：∵a，b均为正实数，＝≤，∴当a≥，即a≥时，≤，即≤，∴h＝min{a，}＝≤；当0＜a＜时，h＝min{a，}＜；综上所述，h的最大值为．故答案为：．11．【解答】解：∵x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0且a＞0，∴x2﹣2x+2＜a（x+1），令f（x）＝x2﹣2x+2；g（x）＝a（x+1），∴A＝{x|f（x）＜g（x），x∈Z}，∴y＝f（x）是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；而y＝g（x）一次函数，图象是过一定点（﹣1，0）的动直线．又∵x∈Z，a＞0．数形结合，可得：．故答案为：（，]12．【解答】解：∵M的所有非空子集为M i（i＝1，2，…，1023），这1023个子集分成以下几种情况：①含0的子集有512个，这些子集均满足m i＝0；②不含0，含﹣1且还含有其它元素的子集有255个，③不含0，不含﹣1但含有其它元素的子集有255个，④只含﹣1的子集一个{﹣1}，满足m i＝﹣1；其中②③中的集合是一一对应的，且满足m i对应成相反数，故m1+m2+m3+…+m1023＝512×0+255×0﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1二.选择题13．【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；故选：D．14．【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B．15．【解答】解：解不等式3x﹣1≤0，得x≤，解集为（﹣∞，]．由不等式x2+（a+1）x+a≤0，得（x+1）（x+a）≤0，因为使不等式x2+（a+1）x+a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x﹣1≤0，若a＝1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为{﹣1}，满足{﹣1}⊆（﹣∞，]，符合题意．若a＜1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为[﹣1，﹣a]，则[﹣1，﹣a]⊆（﹣∞，]，所以﹣a≤，解得﹣≤a＜1．若a＞1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为[﹣a，﹣1]，则[﹣a，﹣1]⊆（﹣∞，]，所以a＞1．综上知，实数a的取值范围是[﹣，+∞）．故选：B．16．【解答】解：由题意可得或或或，画出可行域，如图所示，∴点集P＝{（x，y）|[x]2+[y]2＝1}所表示的平面区域的面积是4，故选：C．三、解答题17．【解答】解：（1）当m＝9时，＝，转化为（x+3）（x﹣）（x﹣3）＜0，解得x＜﹣3或，故不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（，3），（2）若5∈S且7∉S，则，解得1≤m＜或25＜m≤49．18．【解答】解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，得，可得：…依题意，知x≥0，y≥0，z≥0，且x、y、z均为整数，∴解得：≤x≤，∴x可取4、5、6…（6分）∴A队胜、平、负的场数有三种情况：当x＝4时，y＝7，z＝1；当x＝5时，y＝4，z＝3；当x＝6时，y＝1，z＝5．…（10分）（2）∵W＝（1500+500）x+（700+500）y+500z＝﹣600x+19300当x＝4时，W最大，W最大值＝﹣60×4+19300＝16900（元）．…（14分）19．【解答】证明：（1）∵f（0）f（1）＞0，∴c（3a+2b+c）＞0，，则c＝﹣a﹣b，（﹣a﹣b）（2a+b）＞0，2a2+3ab+b2＜0，，＝12a2+12ab+4b2＝＝，∴所给方程有实根，解：（2）由2a2+3ab+b2＜0知a2≠0，变形为，解得，∴∈（﹣2，﹣1）．解：（3）∵＝＝∵，结合二次函数的性质，∴，∴|x1﹣x2|∈[，）．20．【解答】解：（1）反证法：假设a1，a2均大于或等于1，设a1＝b1+1，a2＝b2+1，∴b1与b2均等于或大于0，由a1•a2＜2，a1+a3＝4，∴b1•b2≥0，∴（b1+1）（b2+1）＜2，b1+1+b2+1＝4，∴b1b2+b1+b2+1＝b1b2+3＜2，∴b1b2＜﹣1，即b1b2＜0与假设矛盾，故原命题成立；（2）猜想：a1•a2•…•a n＜n，a1，a2，…，a n都大于0，且a1+a2+…+a n＝2n，则a1，a2，…，a n中至少有一个小于1，（3）反证法：设a1＝b1+1，a2＝b2+1，．…，a n＝b n+1，b1，b2，…，b n均大于或等于0，∴a1，a2，…，a n均大于或等于1（b1•b2•…•b n≥0），∴（b1+1）+（b2+1）+…+（b n+1）＝2n，∴b1+b2+…+b n＝n，∴a1•a2•…•a n＝（b1+1）（b2+1）……（b n+1）＜n，又∵b1•b2•……•b n+b1+b2+…+b n≤（b1+1）（b2+1）…（b n+1）＜n，∴b1b2…b n＜0与假设矛盾，故原命题成立．。

2020-2021学年上海市闵行区高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设集合A={-1，1，2，5}，B={x|2≤x≤6}，则A∩B=___ ．2.（填空题，0分）函数y=lg（2-x）的定义域是___ ．3.（填空题，0分）已知a＞0，b＞0，化简：4a 23b2(a 16b56)(−23a12b)=___ ．4.（填空题，0分）已知α、β是方程2x2+4x-3=0的两个根，则1α+1β=___ ．5.（填空题，0分）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），若函数y=f（x）的图象经过点（4，2），则f(2√2) =___ ．6.（填空题，0分）设y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），则f（-2）=___ ．7.（填空题，0分）若a，b都是正数，且a+b=1，则（a+1）（b+1）的最大值___ ．8.（填空题，0分）已知函数y1=k（x-3），y2=x a的图象如图所示，则不等式y1y2≥0的解集是___ ．9.（填空题，0分）关于x的不等式|x+2|-|x-1|≤a的解集为R，则实数a的取值范围是___ ．10.（填空题，0分）已知函数y=a•b x+c（b＞0，b≠1）（x∈[0，+∞））的值域为[-1，2），则该函数的一个解析式可以为y=___ ．11.（填空题，0分）若函数y=k|x|与y=2|log2(x+1)|的图象恰有两个公共点，则实数k的取值范围为___ ．12.（填空题，0分）垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东-西，南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（2，1），（2，3），（-2，4），（4，5），（6，6）为垃圾回收点，请确定一个格点 ___ （除回收点外）为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短．13.（单选题，0分）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A.y=x2B.y=2xC.y=lnxD.y=x+ 1x14.（单选题，0分）用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为（）A.a、b都能被5整除B.a、b不都能被5整除C.a、b至多有一个能被5整除D.a、b至少有一个都能被5整除15.（单选题，0分）若实数x、y满足2020x-2020y＜2021-x-2021-y，则（）A.x-y＜0B.x-y＞0＜1C. yx＞1D. yx16.（单选题，0分）对于定义在R上的函数y=f（x），考察以下陈述句：q：y=f（x）是R上的严格增函数；p1：任意x1，x2∈R，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时，都有f（x）＞0；p2：当f（x1）＜f（x2）时，都有x1＜x2．关于以上陈述句，下列判断正确的是（）A.p1、p2都是q的充分条件B.p1、p2中仅p1是q的充分条件C.p1、p2中仅p2是q的充分条件D.p1、p2都不是q的充分条件≥0}，B={x∈R|x2-2（a+1）x+a（a+2）≤0}．17.（问答题，0分）已知集合A={x| x−21+x（1）当a=1时，求A∩B；（2）若B⊂ A，求实数a的取值范围．18.（问答题，0分）已知函数f（x）= 2x+a，设a∈R．2x+1（1）是否存在a，使y=f（x）为奇函数；（2）当a=0时，判断函数y=f（x）的单调性，并用单调性的定义加以证明．19.（问答题，0分）由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢复常态，某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）=8+ 8x （千人），且游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143-|x-22|（元），1≤x≤30，x∈N．（1）求该园区第x天的旅游收入p（x）（单位：千元）的函数关系式；（2）记（1）中p（x）的最小值为m，若以0.3m（千元）作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回投资成本？20.（问答题，0分）已知f（x）=x2-2ax+5，a∈R．（1）当a=3时，作出函数y=|f（x）|的图象，若关于x的方程|f（x）|=m有四个解，直接写出m的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（3）若y=f（x）是（-∞，2]上的严格减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总|f（x1）-f （x2）|≤4，求实数a的取值范围．21.（问答题，0分）已知f（x）=log2x．（1）若log516=m，试用m表示f（10）；+t)，函数y=g（x）只有一个零点，求实数t的取值范围；（2）若g(x)=2f(x)+f(1x）|成立，其中k为正（3）若存在正实数a、b（a≠b），使得|f（a）|=|f（b）|=|f（√k(a+b)2整数，求k的值．2020-2021学年上海市闵行区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设集合A={-1，1，2，5}，B={x|2≤x≤6}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{2，5}【解析】：进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={-1，1，2，5}，B={x|2≤x≤6}，∴A∩B={2，5}．故答案为：{2，5}．【点评】：本题考查了列举法和描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（填空题，0分）函数y=lg（2-x）的定义域是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，2）【解析】：直接由对数式的真数大于0求解一元一次不等式得答案．【解答】：解：由2-x＞0，得x＜2．∴函数y=lg（2-x）的定义域是（-∞，2）．故答案为：（-∞，2）．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3.（填空题，0分）已知a＞0，b＞0，化简：4a 23b2(a 16b56)(−23a12b)=___ ．【正确答案】：[1] −6b 1 6【解析】：利用指数的性质、运算法则直接求解．【解答】：解：∵a＞0，b＞0，∴ 4a 23b2(a 16b56)(−23a12b)= −6a23−16−12b2−56−1 =-6 b16．故答案为：-6 b 1 6．【点评】：本题考查指数式化简求值，考查指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.（填空题，0分）已知α、β是方程2x2+4x-3=0的两个根，则1α+1β=___ ．【正确答案】：[1] 43【解析】：利用一元二次方程根与系数的关系可得答案．【解答】：解：已知α、β是方程2x2+4x-3=0的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得：α+β=-2，αβ=- 32；则1α+1β= α+βαβ= −2−32= 43．故答案为：43．【点评】：本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．5.（填空题，0分）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），若函数y=f（x）的图象经过点（4，2），则f(2√2) =___ ．【正确答案】：[1] 32【解析】：根据题意得到log a4=2，然后求出a，再求出f(2√2)的值．【解答】：解：∵f（x）=log a x的图象经过点（4，2），∴log a4=2，∴a2=4，且a＞0，∴a=2，∴ f(2√2)=log2232=32．故答案为：32．【点评】：本题考查了利用待定系数法求函数的解析式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．6.（填空题，0分）设y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），则f（-2）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0，结合f（x+2）=-f（x）可得f（-2）=-f（-2+2）=f（0），即可得答案．【解答】：解：根据题意，y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，又由f（x）满足f（x+2）=-f（x），则f（-2）=-f（-2+2）=f（0）=0，故答案为：0．【点评】：本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，属于基础题．7.（填空题，0分）若a，b都是正数，且a+b=1，则（a+1）（b+1）的最大值___ ．【正确答案】：[1] 94【解析】：先利用基本不等式可得ab≤14，再将（a+1）（b+1）展开即可得到答案．【解答】：解：∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴ 1=a+b≥2√ab，即ab≤14，当且仅当a=b时取等号，∴ (a+1)(b+1)=ab+1+1≤14+2=94，即（a+1）（b+1）的最大值为94．故答案为：94．【点评】：本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．8.（填空题，0分）已知函数y1=k（x-3），y2=x a的图象如图所示，则不等式y1y2≥0的解集是___ ．【正确答案】：[1]（0，3]【解析】：利用数形结合对x分段讨论即可求解．【解答】：解：由图象可得：当x＜0时，y1y2＜0，当x=0时，y1y2无意义，当0＜x＜3时，y1y2＞ 0，当x=3时，y1y2=0，当x＞3时，y1y2＜0，综上，y1y2≥0的解集为（0，3]，故答案为：（0，3]．【点评】：本题考查了函数的图象的问题，考查了学生的数形结合思想的能力，属于基础题．9.（填空题，0分）关于x的不等式|x+2|-|x-1|≤a的解集为R，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][3，+∞）【解析】：由绝对值三角不等式即可求得a的取值范围．【解答】：解：|x+2|-|x-1|≤|x+2-x+1|=3，因为关于x的不等式|x+2|-|x-1|≤a的解集为R，所以a≥3，即实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用，属于基础题．10.（填空题，0分）已知函数y=a•b x+c（b＞0，b≠1）（x∈[0，+∞））的值域为[-1，2），则该函数的一个解析式可以为y=___ ．【正确答案】：[1]-3• (12)x+2【解析】：根据题意求出a、c的值，再判断b的取值范围，即可写出函数的一个解析式．【解答】：解：函数y=a•b x+c中，x∈[0，+∞）的值域为[-1，2），所以x=0时，y=a+c=-1；x→+∞时，y=a•0+c=2，所以c=2，a=-3，且b∈（0，1），所以该函数的一个解析式可以为y=-3• (12)x+2．故答案为：-3• (12)x+2．【点评】：本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．11.（填空题，0分）若函数y=k|x|与y=2|log2(x+1)|的图象恰有两个公共点，则实数k的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]{4}【解析】：作出两函数的图象，当x≥0时，k＞1，在[0，+∞）上有一个交点，只需当x＜0时两函数图象有且只有一个交点，最后根据一元二次方程只有一个根建立关系式，从而可求出所求．【解答】：解：由 y =2|log 2(x+1)| 得 y ={1x+1，−1＜x ＜0x +1，x ≥0，由y=k|x|得 y ={−kx ，x ＜0kx ，x ≥0 ，作出两函数的图象如下图：当x≥0时，k ＞1，在[0，+∞）上有一个交点，而函数y=k|x|与 y =2|log 2(x+1)| 的图象恰有两个公共点， 所以当x ＜0时两函数图象有且只有一个交点，即y=-kx 与y= 1x+1相切， 即-kx=1x+1（x ＜0），即kx 2+kx+1=0，Δ=k 2-4k=0，解得k=4或0（舍去） 所以实数k 的取值范围为{4}． 故答案为：{4}．【点评】：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的思想和转化的能力，属于中档题．12.（填空题，0分）垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东-西，南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（2，1），（2，3），（-2，4），（4，5），（6，6）为垃圾回收点，请确定一个格点 ___ （除回收点外）为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短． 【正确答案】：[1]（2，4）【解析】：首先表示横轴和纵轴方向的距离之和，再根据含有绝对值的三角不等式进行求解最值，即可得到答案．【解答】：解：设格点的坐标为（x，y），则-2≤x≤6，1≤y≤6，根据含有绝对值三角式|a|+|b|≥|a-b|可得横轴方向距离和为d（x）=2|x+2|+2|x-2|+|x-4|+|x-6|=（|x+2|+|x-6|）+（|x+2|+|x-4|）+2|x-2|≥|（x+2）-（x-6）|+|（x+2）-（x-4）|+2×0=14，此时d（x）的最小值时14，此时三个等号成立的条件是-2≤x≤6，-2≤x≤4，x=2，所以x=2时，d（x）的最小值时14，纵轴方向的距离和为f（y）=|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|≥|（y-1）-（y-6）|+|（y-2）-（y-5）|+|（y-3）-（y-4）|=9，此时d（y）的最小值是9，三个等号成立的条件是1≤y≤6，2≤y≤5，3≤y≤4，即y=3或4，当y=3时，此时格点的位置是（2，3），是垃圾回收点，故舍去；当y=4时，此时格点的位置是（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】：本题是具有实际应用背景的习题，涉及了含有绝对值问题的求解，解题的关键是正确理解题意，并能转化为横轴距离和纵轴距离进行研究，属于中档题．13.（单选题，0分）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A.y=x2B.y=2xC.y=lnxD.y=x+ 1x【正确答案】：B【解析】：根据函数性质分别求出函数的值域进行判断即可．【解答】：解：y=x2≥0，即函数的值域为[0，+∞），不满足条件．y=2x＞0，即函数的值域为（0，+∞），满足条件．y=lnx的值域为R，不满足条件．当x＜0时，y＜0，则函数的值域不是（0，+∞），不满足条件．故选：B．【点评】：本题主要考查函数值域的判断，结合函数的值域性质是解决本题的关键，是基础题．14.（单选题，0分）用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为（）A.a、b都能被5整除B.a、b不都能被5整除C.a、b至多有一个能被5整除D.a、b至少有一个都能被5整除【正确答案】：D【解析】：根据用反证法证明数学命题的方法，命题“a与b都不能被5整除”的否定为“a，b至少有一个能被5整除”，从而得出结论．【解答】：解：根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立．而命题“a与b都不能被5整除”的否定为“a，b至少有一个能被5整除”，故选：D．【点评】：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．15.（单选题，0分）若实数x、y满足2020x-2020y＜2021-x-2021-y，则（）A.x-y＜0B.x-y＞0C. y＜1xD. y＞1x【正确答案】：A是R 【解析】：条件即2020x-2021-x＜2021y-2021-y，由于f（t）=2020t-2021-t=2020t- 12021t上的增函数，f（x）＜f（y），可得结论．【解答】：解：实数x、y满足2020x-2020y＜2021-x-2021-y，∴2020x-2021-x＜2021y-2021-y，是R上的增函数，f（x）＜f（y），由于f（t）=2020t-2021-t=2020t- 12021t∴x＜y，故选：A．【点评】：本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．16.（单选题，0分）对于定义在R上的函数y=f（x），考察以下陈述句：q：y=f（x）是R上的严格增函数；p1：任意x1，x2∈R，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时，都有f（x）＞0；p2：当f（x1）＜f（x2）时，都有x1＜x2．关于以上陈述句，下列判断正确的是（）A.p1、p2都是q的充分条件B.p1、p2中仅p1是q的充分条件C.p1、p2中仅p2是q的充分条件D.p1、p2都不是q的充分条件【正确答案】：B【解析】：根据函数的奇偶性与单调性的定义判定函数的性质，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】：解：对于p1：令x1=x2=0，则f（0）=2f（0），所以f（0）=0；令x1=x，x2=-x，则f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，所以此函数为奇函数；设x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1），因为x2-x1＞0，所以f（x2-x1）＞0，所以f（x2）＞f（x1），所以函数f（x）在R上单调递增，故p1是q的充分条件；对于p2，不能表示任意性，不符合单调性的定义，故p2不是q的充分条件；综上所述，p1、p2中仅p1是q的充分条件．故选：B．【点评】：本题主要考查了函数的单调性，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题．≥0}，B={x∈R|x2-2（a+1）x+a（a+2）≤0}．17.（问答题，0分）已知集合A={x| x−21+x（1）当a=1时，求A∩B；（2）若B⊂ A，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）把a的值代入集合B解出集合B，再解出集合A，即可求解；（2）分别解出集合A的补集，以及集合B，根据集合的包含关系即可求解．【解答】：解：（1）当a=1时，B={x|x2-4x+3≤0}=[1，3]，A={x|x≥2或x＜-1}，所以A∩B=[2，3]，（2）A=[−1，2)，B=[a，a+2]，因为B ⊂A，则{a≥−1a+2＜2，解得-1≤a＜0，即实数a的取值范围为[-1，0）．【点评】：本题考查了集合间的交并补运算以及集合间的包含关系，涉及到解分式不等式以及一元二次不等式，考查了学生的运算能力，属于基础题．18.（问答题，0分）已知函数f（x）= 2x+a2x+1，设a∈R．（1）是否存在a，使y=f（x）为奇函数；（2）当a=0时，判断函数y=f（x）的单调性，并用单调性的定义加以证明．【正确答案】：【解析】：（1）利用函数为奇函数，则有f（0）=0，求出a的值，再利用奇函数的定义进行检验即可；（2）求出当a=0时f（x）的解析式，然后利用函数单调性的定义进行证明即可．【解答】：解：（1）因为函数f（x）= 2x+a2x+1，定义域为R，且为奇函数，所以f（0）=0，即1+a1+1=0，解得a=-1，经检验，此时对任意的x都有f（-x）=-f（x），故存在a=1，使y=f（x）为奇函数；（2）当a=0时，f(x)=2x2x+1=1−12x+1，函数f（x）在R上为单调递增函数，证明如下：设x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=(1−12x1+1)−(1−12x2+1)= 12x2+1−12x1+1=2x1−2x2(2x2+1)(2x1+1)，因为x1＜x2，所以2x1−2x2＜0，(2x2+1)(2x1+1)＞0，故f（x1）-f（x2）＜0，所以f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上为单调递增函数．【点评】：本题考查了函数性质的综合应用，涉及了函数奇偶性的应用、函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数的性质并能够进行灵活的运用，属于中档题．19.（问答题，0分）由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢复常态，某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）=8+ 8x （千人），且游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143-|x-22|（元），1≤x≤30，x∈N．（1）求该园区第x天的旅游收入p（x）（单位：千元）的函数关系式；（2）记（1）中p（x）的最小值为m，若以0.3m（千元）作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回投资成本？【正确答案】：【解析】：（1）直接利用题意得到p（x）=f（x）g（x），然后去掉绝对值化为分段函数表示即可；（2）分类讨论，分别利用基本不等式和函数的单调性求解分段函数两段的最值，分别比较即可得到答案．【解答】：解：（1）根据题意可得，p（x）=f（x）•g（x）= (8+8x)(143−|x−22|) ={8x+968x+976，1≤x≤22，x∈N∗−8x+1320x+1312，22＜x≤30，x∈N∗；（2）① 当1≤x≤22，x∈N*时，p（x）= 8x+968x +976≥2√8x•968x+976=1152，当且仅当x=11时取等号，所以p（x）min=p（11）=1152，② 当22＜x≤30，x∈N*时，p(x)=−8x+1320x+1312在（22，30]上单调递减，所以p（x）min=p（30）=1116，又1152＞1116，所以日最低收入为m=1116千元，又0.3m=33.48千元＞30千元，所以该园区能收回投资成本．【点评】：本题考查了函数在实际生产生活中的应用，涉及了分段函数的应用、基本不等式求最值的应用、函数单调性的应用，解题的关键是正确理解题意，从中抽出数学模型进行研究，属于中档题．20.（问答题，0分）已知f（x）=x2-2ax+5，a∈R．（1）当a=3时，作出函数y=|f（x）|的图象，若关于x的方程|f（x）|=m有四个解，直接写出m的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（3）若y=f（x）是（-∞，2]上的严格减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总|f（x1）-f （x2）|≤4，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）代入a的值，画出函数y=|f（x）|的图象，结合图象求出m的范围即可；（2）根据一元二次函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）的对称轴x=a与区间[1，a]再结合一元二次函数的单调性即可求出值域．（3）由于要使对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，则必有[f（x）]max-[f （x）]min≤4，即因此需求出函数在[1，a+1]上的最大最小值．【解答】：解：（1）a=3时，f（x）=x2-6x+5，画出函数y=|f（x）|的图象，如图示：，若关于x的方程|f（x）|=m有四个解，则0＜m＜4，即m∈（0，4）；（2）∵函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1），∴f（x）开口向上，对称轴为x=a＞1，∴f（x）在[1，a]是单调减函数，∴f（x）的最大值为f（1）=6-2a，f（x）的最小值为f（a）=5-a2，∴6-2a=a，且5-a2=1，∴a=2．（3）函数f（x）=x2-2ax+5=（x-a）2+5-a2，开口向上，对称轴为x=a，∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，对称轴大于等于2，∴a≥2，a+1≥3，f（x）在（1，a）上为减函数，在（a，a+1）上为增函数，f（x）在x=a处取得最小值，f（x）min=f（a）=5-a2，f（x）在x=1处取得最大值，f（x）max=f（1）=6-2a，∴5-a2≤f（x）≤6-2a，∵对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，∴6-2a-（5-a2）≤4，解得：-1≤a≤3；综上：2≤a≤3．【点评】：本题考查二次函数的最值问题，考查函数的单调性，确定函数的单调性是关键，此题是一道函数的恒成立问题，第二问难度比较大，充分考查了函数的对称轴和二次函数的图象问题，是中档题．21.（问答题，0分）已知f（x）=log2x．（1）若log516=m，试用m表示f（10）；（2）若g(x)=2f(x)+f(1x+t)，函数y=g（x）只有一个零点，求实数t的取值范围；（3）若存在正实数a、b（a≠b），使得|f（a）|=|f（b）|=|f（√k(a+b)2）|成立，其中k为正整数，求k的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用换底公式得到log25= 4m，化简f（10）=log210=1+log25，即可得出答案．（2）方程转化为若x+tx2=1，讨论参数t的值得解．（3）利用已知和函数单调性得到ab=1，把等式转化为√k（a2+1）=2a2，对k取值讨论得解．【解答】：解：（1）因为log516=m，所以log216log25 =m，即4log25=m，所以log 25= 4m ，所以f （10）=log 210=1+log 25=1+ 4m ．（2）g （x ）=2f （x ）+f （ 1x +t ）=2log 2x+log 2（ 1x +t ）=log 2（ 1x +t ）x 2=log 2（x+tx 2）， 令g （x ）=log 2（x+tx 2）=0，所以x+tx 2=1（x ＞0，t+ 1x ＞0）只有一个正根，当t=0时，x=1满足题意，当t ＞0时，h （x ）=tx 2+x-1的对称轴为x=- 12t ＜0，所以h （x ）=tx 2+x-1在（0，+∞）上单调递增，且h （0）=-1＜0，所以满足题意有一个正根，当t ＜0时，h （x ）=tx 2+x-1的对称轴为x=- 12t ＜0，所以h （x ）=tx 2+x-1在（0，+∞）上不单调，若有一个正根，则Δ=1+4t=0，解得t=- 14 ，综上，m 的取值范围为{- 14 }∪[0，+∞）．（3）f （x ）=log 2x ，因为a≠b ，|f （a ）|=|f （b ）|，所以f （a ）=-f （b ），所以f （a ）+f （b ）=0，即log 2ab=0，解得ab=1，|f （a ）|=|f （b ）|=|f （√k (a+b )2 ）|， 不妨设 √k (a+b )2 =a= 1b， 所以 √k （a+b ）=2a ，所以 √k （a+ 1a ）=2a ，即 √k （a 2+1）=2a 2，当k=1时，a 2+1=2a 2，所以a=1，此时b=1与已知矛盾，舍去，当k=2时， √2 （a 2+1）=2a 2，所以（2- √2 ）a 2= √2 ，此时a 有正解，满足题意， 当k=3时， √3 （a 2+1）=2a 2，所以（2- √3 ）a 2= √3 ，此时a 有正解，满足题意， 当k≥4时， √k （a 2+1）=2a 2，所以（2- √k ）a 2= √k ，此时2- √k ≤0无解，不满足题意， 综上得k=2或k=3．【点评】：本题考查函数的性质，零点，参数的取值，属于解题中需要一定的逻辑推理能力，属于中档题．。

2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数111y x =-+的值域是（ ） A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(,)-∞+∞【答案】C 【分析】由反比例函数的性质可知101x ≠+，从而推出所求函数的值域. 【详解】解：由反比例函数的性质可知：101y x =≠+，则1111y x =-≠+，故值域为()(),11,+-∞⋃∞. 故选：C.2．若,0a b c a b c >>++=，则下列各式正确的是（ ）A ．ab bc >B ．ac bc >C ．a b b c >D ．ab ac > 【答案】D【分析】已知a b c >>，且0a b c ++=，于是可以推出得到最大数0a >和最小数0c <,而b 为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的b ,逐一验证.【详解】a b c >>且0a b c ++=.当0a ≤时,0c b a <<,则0a b c ++<,与已知条件0a b c ++=矛盾,所以必有0a >,同理可得0c <.A 项,当1a =,0b =,1c =-时,ab bc =,故A 项错误;B 项,()0ac bc c a b -=-<，即ac bc <，故B 项错误;C 项,0b =时,a b c b =,故C 项错误;D 项,()0ab ac a b c -=->，即ab ac >，故D 项正确.故选：D3．已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若2()()F x x f x =⋅，则()F x 是（ ）A ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格减函数B ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格增函数C ．偶函数，在(,0)-∞上严格减，在(0,)+∞上严格增D ．偶函数，在(,0)-∞上严格增，在(0,)+∞上严格减【答案】B【分析】由()()f x f x -=-可知()f x 为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设2()()F x x f x =⋅的奇偶性,从而得到答案.【详解】1,01,0()0,00,0()1,01,0x x f x x x f x x x ⎧->>⎧⎪⎪-===-==-⎨⎨⎪⎪<-<⎩⎩()f x ∴为奇函数,又2()()F x x f x =⋅22()()()()()F x x f x x f x F x ∴-=-⋅-=-⋅=-()F x ∴是奇函数,可排除C,D.又222,0()()0,0,0x x F x x f x x x x ⎧>⎪=⋅==⎨⎪-<⎩()F x ∴在(,)-∞+∞上单调递增.故选：B4．设0a b c >>>，则()221121025a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为（ ） AB ．2C ．4 D．【答案】A 【分析】转化条件为原式211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--，结合基本不等式即可得解. 【详解】()221121025a ac c ab a a b ++-+- 2211()()21025()ab a a b ab a a b a ac c ab a a b =+++----+-+- 2211()1025()ab a a b a ac c ab a a b =+++-+-+-211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--04≥=， 当且仅当1()15ab a a b a c =⎧⎪-=⎨⎪=⎩，即a =2b =5c =时，等号成立. 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、填空题5．已知全集{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A =_________.【答案】[]7,10【分析】根据补集的定义写出补集即可.【详解】解：{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A ={}|710x x ≤≤.故答案为：[]7,10.6．设实数a 满足2log 4a =，则a =_________.【答案】16【分析】根据对数式与指数式的互化即可求解.【详解】因为2log 4a =，所以4216a ==，故答案为：167．已知幂函数235()(1)mm f x m x --=-的图像不经过原点，则实数m =_________.【答案】2【分析】先由幂函数的定义求出m ，再检验得解.【详解】依题意得11m -=，解得2m =．此时()771f x x x -==，其图像不经过原点，符合题意， 因此实数m 的值为2．故答案为: 28．函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3上为严格减函数的充要条件是_________.【答案】3a ≥【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3为严格减函数，所以二次函数对称轴3x a =≥，故答案为：3a ≥9．函数22()log (1)f x x =-的定义域为_________.【答案】(1,1)-【分析】根据对数的真数大于0求解即可.【详解】()()22log 1f x x =-， 210x ∴->，解得11x -<<所以函数()()2log 1a f x x =-的定义域为()1,1-， 故答案为：()1,1-10．设函数f （x ）200x x x x -≤⎧=⎨⎩，，＞，若f （α）＝9，则α＝_____． 【答案】﹣9或3 【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得09αα≤⎧⎨-=⎩或209αα⎧⎨=⎩＞， ∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或3【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.11．若函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-上的最大值为4，则其最小值为_________.【答案】12【分析】根据指数函数的单调性即可求解.【详解】因为函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-单调递增，所以24a =，解得2a =，当1x =-，1min 1()(1)22f x f -=-==， 故答案为：1212．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，若()1f a =-，则a 的值是______. 【答案】13- 【分析】根据函数的对称性求出()f x 的解析式，代入a 求解即可.【详解】解：因为函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，则()3log g x x =， 又函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，则()3()log f x x =-，()3()log 1f a a =-=-，则13a =-. 故答案为：13- 【点睛】知识点点睛：（1）()y g x =与x y a =图像关于直线y x =对称，则()log a g x x =；（2）()y f x =与()y g x =关于y 轴对称，则()()f x g x =-；（3）()y f x =与()y g x =关于x 轴对称，则()()f x g x =-；13．如果关于x 的方程53x x a -++=有解，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[)8,+∞【分析】根据绝对值的几何意义求得53x x -++最小值为8，即可求出实数a 的取值范围．【详解】因为53x x -++表示数轴上的x 对应点到-3和5对应点的距离之和，其最小值为8， 故当8a ≥时，关于x 的方程53x x a -++=有解，故实数a 的取值范围为[8,)+∞，故答案为：[8,)+∞．14．若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是严格增函数，且(4)0f -=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是_________.【答案】(,4)(4,)-∞-⋃+∞【分析】由函数的奇偶性和零点，分别求出()0f x >和()0f x <的解集，再分别讨论当0x >和0x <时()0xf x >的解集即可求出结果.【详解】解：因为()f x 为奇函数，且有(4)0f -=，则()f x 在(,0)-∞上是也严格递增，且(4)0f =，所以()0f x >的解集为：()()4,04,-+∞；()0f x <的解集为：()(),40,4-∞-，则当0x >时，()0xf x >的解为()4,+∞，当0x <时，()0xf x >的解为(),4-∞-故()0xf x >成立的x 的取值范围是()(),44,-∞-+∞. 故答案为：()(),44,-∞-+∞【点睛】思路点睛：类似求()0xf x >或求()0f x x >的解集的问题，往往是根据函数的奇偶性和单调性先求出()0f x >或()0f x <的解，再结合x 的范围进行求解.15．函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】](,1-∞-【分析】函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，即()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，利用均值不等式求解即可.【详解】设()221x x g x a -=++-，由()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，知()221x x g x a -=++-可以取所有的正值，又()22111x x g x a a a -=++-≥-=+，当且仅当0x =时等号成立，故()g x 的值域为[1,)a ++∞，所以只需满足[)()1,0,a ++∞⊇+∞即可，即1a ≤-故答案为：](,1-∞-【点睛】关键点点睛：求出()221x x g x a -=++-的值域，由题意知()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，转化为()g x 的值域包含()0,∞+是解题的关键，属于中档题.16．．若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一个“友好点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0(){2,0x x x x f x x e++<=≥，则()f x 的“友好点对”有 个. 【答案】2【详解】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=2x 2+4x+1（x ＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y="2" /e x （x≥0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f （x ）的“友好点对”有：2个．故答案为2三、解答题17．已知函数2()21f x ax ax =++.（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间(不需要过程)；（2）已知函数()y f x =在区间[3,2]-上的最大值为2，求实数a 的值.【答案】（1）增区间是(1,)-+∞，减区间是(,1)-∞-；（2）18a =或1a =-. 【分析】（1）求出()f x 的单调区间，然后根据复合函数的单调性写出()3f x y =的单调区间即可；（2）根据二次函数的性质，讨论0a <，0a =，0a >不同范围下()f x 的最值，解出a .【详解】解：（1）1a =时，()221f x x x =++，在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增；则()3f x y =的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞.（2）()()222111f x ax ax a x a =++=++-，对称轴为1-， 当0a <时，()f x 在1x =-处取得最大值，()112f a -=-=，解得：1a =-当0a =时，()1f x =不成立；当0a >时，()f x 在()3,1--上单调递减，在()1,2-上单调递增，且对称轴为1x =-，()max f x =()2f ()2912f a a =+-=，解得：18a =综上所述：1a =-或18a =. 【点睛】本题考查复合函数的单调性以及二次函数的最值，属于基础题.思路点睛：（1）复合函数的单调性：分别判断内层函数和外层函数的单调性，根据同增异减的原则写出单调区间即可；（2）()221f x ax ax =++的最高次项系数为a ，不一定为二次函数，需讨论a 与0的关系； 18．设函数()|2|,()2f x x a g x x =-=+.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）求证：1,,222b b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12. 【答案】（1）1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）利用反证法证明即可．【详解】（1）当a ＝1时，|2x －1|≤x ＋2， 化简可得12122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-≤+⎩或12212x x x ⎧<⎪⎨⎪-≤+⎩ 解得1132x -≤≤或132x <≤ 综上，不等式的解集为)1|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.(2)证明：假设1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都小于12，则1122112211122a ba ba⎧-<+<⎪⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩，前两式相加得－12<a<12与第三式12<a<32矛盾.因此假设不成立，故1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12.【点睛】关键点点睛：证明至少、至多类命题时，考虑反证法是解题的关键，首先要根据题意恰当反设，正常推理，寻求矛盾是重点，属于中档题.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x∈时，曲线是函数0.880log()y x a=++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x=的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）20.81(12)84,(0,16]()4log(15)80,(16,40]x xf xx x⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.【分析】（1）根据题意，分别求得(0,16]x∈和(16,40]x∈上的解析式，即可求解；（2）当(0,16]x∈和(16,40]x∈时，令()68f x<，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当(0,16]x∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b=-+<，因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()(12)844f x x =--+， 当(16,40]x ∈时，0.8()log ()80f x x a =++， 由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+， 综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684f x x =--+<，即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟.20．已知1()log 1a mx f x x -=-(0a >､1a ≠)是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明；（3）当(,2)x n a ∈-时，()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值.【答案】（1）1m =-；（2）1a >时()f x 在(1,)+∞上严格减；01a <<时.()f x 在(1,)+∞上严格增；（3）21a n ==.【分析】（1）根据奇函数的定义可知f （﹣x ）+f （x ）＝0，建立关于m 的等式关系，解之即可；（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a 的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；（3）先求函数的定义域，讨论（n ，a ﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n 和a 的值．【详解】（1）∵函数()11amx f x log x -=-（a ＞0，a ≠1）是奇函数． ∴f （﹣x ）+f （x ）＝0 即11log log 011aa mx mx x x +-+=---， 所以11log 011a mx mx x x +-⋅=---， 即222111m x x-=- 解得1m =±，当1m =时，1()log log (1)1a a xf x x -==--无意义，舍去. 故1m =-.（2）由（1）及题设知：()11ax f x log x +=-， 设11221111x x t x x x +-+===+---， ∴当x 1＞x 2＞1时，()()()211212122221111x x t t x x x x --=-=---- ∴t 1＜t 2．当a ＞1时，log a t 1＜log a t 2，即f （x 1）＜f （x 2）． ∴当a ＞1时，f （x ）在（1，+∞）上是减函数． 同理当0＜a ＜1时，f （x ）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f （x ）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n ＜a ﹣2≤﹣1时，有0＜a ＜1．由（1）及（2）题设知：f （x ）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知11121an log n a +⎧=⎪-⎨⎪-=-⎩（无解）； ②当1≤n ＜a ﹣2时，有a ＞3．由（1）及（2）题设知：f （x ）在（n ，a ﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知1113a n a log a =⎧⎪-⎨=⎪-⎩得2a =+n ＝1．【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.21．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.(1)已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；(2)已知函数()f x x =，且()f x 是区间[]4,2--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；(3)如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()g x x =是，2()h x x =不是，理由见解析；(2)9；(3)(1,1)a ∈-. 【分析】(1)利用给定定义推理判断或者反例判断而得； (2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；(3)根据题设条件，写出函数f (x )的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【详解】(1)g (x )定义域R ，3333[1,0],(),()()()02222x x R g x g x x x ∀∈-+∈+-=+-=>，g (x )是， 取x =-1，311(1)()1(1)224h h h -+==<=-，h (x )不是， 函数()g x x =是区间[]1,0-上的32-增长函数，函数2()h x x =不是；(2)依题意，2[4,2],()()||||20x f x n f x x n x nx n ∀∈--+>⇔+>⇔+>， 而n>0，关于x 的一次函数22nx n +是增函数，x =-4时22min (2)8nx n n n +=-， 所以n 2-8n>0得n>8，从而正整数n 的最小值为9；(3)依题意，2222222,?(),?2,?x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，而,(4)()x R f x f x ∀∈+>， f (x )在区间[-a 2,a 2]上是递减的，则x ，x +4不能同在区间[-a 2,a 2]上，4>a 2-(-a 2)=2a 2， 又x ∈[-2a 2，0]时，f (x )≥0，x ∈[0，2a 2]时，f (x )≤0，若2a 2<4≤4a 2，当x =-2a 2时，x +4∈[0，2a 2]，f (x +4)≤f (x )不符合要求， 所以4a 2<4，即-1<a<1.因为：当4a 2<4时，①x +4≤-a 2，f (x +4)>f (x )显然成立；②-a 2<x +4<a 2时，x <a 2-4<-3a 2，f (x +4)=-(x +4)>-a 2，f (x )=x +2a 2<-a 2，f (x +4)>f (x )； ③x +4>a 2时，f (x +4)=(x +4)-2a 2>x +2a 2≥f (x )，综上知，当-1<a<1时，()f x 为R 上的4-增长函数， 所以实数a 的取值范围是(-1，1).【点睛】(1)以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决；(2)分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论.。

2021-2022学年上海市黄浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）1.4和9的比例中项是( )A. 6B. ±6C. 169D. 8142.如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应角平分线的比为( )A. 1：4B. 1：2C. 1：16D. 1:√23.已知a⃗，b⃗ ，c⃗是非零问量，下列条件中不能判定a⃗//b⃗ 的是( )A. a⃗//c⃗，b⃗ //c⃗B. a⃗=3b⃗C. |a⃗|=|b⃗ |D. a⃗=12c⃗，b⃗ =−2c⃗4.已知Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=3，那么下列各式中正确的是( )A. sinA=23B. cosA=23C. tanA=23D. cotA=235.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，下列各比例式不一定能推得DE//BC的是( )A. ADBD =AECEB. ADAB =AEACC. ADAB =DEBCD. ABBD =ACCE6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么点P(b,ac)在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.计算：如果xy =23，那么x−yy=______.8.如图，已知AB//CD//EF，它们依次交直线l1、l2于点A，D，F和点B，C，E.如果ADDF =23，BE=20，那么线段BC的长是______.9. 如图，D 、E 分别是△ABC 的边BA 、CA 延长线上的点，DE//BC ，EA ：AC =1：2，如果ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，那么向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______(用向量a ⃗ 表示).10. 在Rt △ABC 中，∠C =90∘，如果ACAB =√32，那么∠B =______.11. 已知一条抛物线经过点(0,1)，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物线的表达式可以是______(写出一个即可).12. 如果抛物线y =−x 2+bx −1的对称轴是y 轴，那么顶点坐标为______.13. 已知某小山坡的坡长为400米，山坡的高度为200米，那么该山坡的坡度i =______. 14. 如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，∠ADE =60∘，如果BD =1，那么CE =______.15. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，CD 是AB 边上的中线，若CD =5，BC =6，则cos∠ACD 的值是______.16. 如图，在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点O ，如果△AOE 的面积是4，那么四边形OECD 的面积是______.17. 如图，在△ABC 中，AB =4，AC =5，将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在AC 边上的点D 处，点C 落在点E 处，如果点E 恰好在线段BD 的延长线上，那么边BC 的长等于______.18. 若抛物线y 1=ax 2+b 1x +c 1的顶点为A ，抛物线y 2=−ax 2+b 2x +c 2的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上，则称抛物线y 1与抛物线y 2互为“关联抛物线”， 已知顶点为M 的抛物线y =(x −2)2+3与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果tan∠MDO =34，那么顶点为N 的抛物线的表达式为______.19. 计算：tan30∘2cos30∘+cot 245∘−sin 245∘.20. 已知二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过A(2,−3)、B(5,0)两点． (1)求二次函数的解析式；(2)将该二次函数的解析式化为y =a(x +m)2+k 的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．21. 已知：如图，在△ABC 中，DE//BC ，AFDF=AD DB. (1)求证：EF//CD ；(2)如果EFCD =45，AD =15，求DF 的长．22. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，过点D 作DF//CB ，分别交AC 、AB 点E 、F ，且满足AB ⋅AF =DF ⋅BC. (1)求证：∠AEF =∠DAF ；(2)求证：AFAB=DE 2CD 2.23.如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37∘方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN.经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．(1)求AB两地的距离；(结果保留根号)(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．(参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37≈0.75.)24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−3ax−4a(a<0)与x轴交于A(−1,0)、B两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点D，与x轴交于点E.(1)求抛物线的对称轴及B点的坐标；(2)如果MD=15，求抛物线y=ax2−3ax−4a(a<0)的表达式；8(3)在(2)的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC的下方，∠CFB=∠BCO，求点F的坐标．25.如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB=∠DAB=90∘，AB2=BC⋅BD，AB=3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，连接DF.(1)求证：AE=AC；(2)设BC=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及其定义域；EF(3)当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：两外项之积等于两内项之积，设它们的比例中项是x，则x2=4×9，解得x=±6.故选：B.本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项，求比例中项根据比例的基本性质进行计算．根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积求解．2.【答案】A【解析】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，∴两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们的对应角平分线的比为1：4.故选：A.本题主要考查相似三角形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用．利用相似三角形的性质：相似三角形的对应周长的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比，据此作答即可．3.【答案】C【解析】解：∵a⃗//c⃗，b⃗ //c⃗，∴a⃗//b⃗ ，故A能；∵a⃗=3b⃗ ，∴a⃗//b⃗ ，故B能；∵|a⃗|=|b⃗ |，不能判断a⃗与b⃗ 方向是否相同或相反，故C不能；∵a⃗=1c⃗，b⃗ =−2c⃗，2b⃗ ，∴a⃗=−14∴a⃗//b⃗ ，故D能.故选：C.本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键． 根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．4.【答案】D【解析】解：如图：由勾股定理得：AB =√AC 2+BC 2=√22+32=√13， 所以sinA =BC AB=3√13=3√1313，cosA =AC AB=2√13=2√1313，tanA =BC AC=32，cotA =AC BC=23，所以只有选项D 正确，选项A 、B 、C 都错误． 故选：D.本题考查了锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt △ACB 中，∠C =90∘，则sin⁡A =∠A 的对边斜边，cos⁡A =∠A 的邻边斜边，tan⁡A =∠A 的对边∠A 的邻边，cot⁡A =∠A 的邻边∠A 的对边.根据勾股定理求出AB ，根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答案．5.【答案】C【解析】解：∵ADBD =AEEC ， ∴DE//BC ，故A 正确； ∵AD AB=AE AC， ∴DE//BC ，故B 正确； 由ADAB =DEBC ，不能得出DE//BC ， 故C 错误； ∵ABDB =AC EC ，∴DE//BC ，故D 正确. 故选：C.本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理判断即可．6.【答案】C【解析】解：∵抛物线开口向上， ∴a >0，∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴−b 2a>0，即b <0，∵抛物线与y 轴交点在x 轴下方， ∴c <0， ∴a c<0，∴点P 在第三象限． 故选：C.本题考查二次函数的图象性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y 轴交点位置确定a ，b ，c 的符号，进而求解．7.【答案】−13【解析】解：∵x y=23，∴x −y y =x y −1=23−1=−13. 故答案为：−13.本题考查了比例的性质，解题的关键是把x−yy 化成xy −1. 先把x−yy 化成xy −1，再把xy =23代入进行计算即可得出答案．8.【答案】8【解析】解：∵AB//CD//EF ， ∴ADDF =BC CE=23，∴23=BC20−BC， ∴BC =8.故答案为：8.本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理解答即可．9.【答案】2a ⃗【解析】解：∵DE//BC ， ∴△DEA ∽△BCA ， ∴EAAC =EDBC =12，∴ED =12BC ，则BC =2ED ， ∵ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ .故答案为：2a ⃗ .本题考查了相似三角形的判定与性质，平面向量等知识，熟练掌握相似三角形判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定与性质求出BC =2ED 即可求解．10.【答案】60∘【解析】解：在Rt △ABC 中，∠C =90∘，AC AB =√32， 那么sinB =ACAB =√32，∴∠B =60∘.故答案为：60∘.本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键． 根据∠B 的正弦值即可判断．11.【答案】y =−x 2+2x +1(答案不唯一)【解析】解：∵对称轴右侧的部分是下降的， ∴开口向下，∵抛物线经过点(0,1)，∴抛物线的表达式可以是y =−x 2+2x +1(答案不唯一). 故答案为：y =−x 2+2x +1(答案不唯一).本题考查了二次函数性质、二次函数图象上点的坐标特征，掌握三个知识点的应用，根据已知得到开口方向及递增情况是解题关键．根据对称轴右侧的部分是下降的，可得开口向下，再根据抛物线经过点(0,1)，可得解析式．12.【答案】(0,−1)【解析】解：∵抛物线y =−x 2+bx −1的对称轴是y 轴， ∴对称轴x =−b2×(−1)=0，解得b =0，∴函数为y =−x 2−1， ∴顶点坐标为(0,−1). 故答案为：(0,−1).本题考查二次函数的性质，掌握对称轴的公式求得b 的值是解决问题的关键．由抛物线的对称轴x=−b−2=0，求得b=0，得到抛物线的顶点式即可．13.【答案】1：√3【解析】解：∵小山坡的坡长为400米，山坡的高度为200米，∴坡角为30∘，∴山坡的坡度i=tan30∘=√3：3=1：√3.故答案为：1：√3.本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的垂直高度h和水平距离l的比是解题的关键．根据题意求出坡角，根据坡度的概念计算即可．14.【答案】23【解析】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60∘，AB=BC=3，∴CD=BC−BD=3−1=2，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADE=60∘，即∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∴∠CDE=∠BAD，而∠B=∠C，∴△CDE∽△BAD，∴CE BD =CDAB，即CE1=23，∴CE=23.故答案为：23.本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质进行几何运算，也考查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=60∘，AB=BC=3，再证明∠CDE=∠BAD，然后可判断△CDE∽△BAD，从而利用相似比可求出CE.15.【答案】45【解析】解：∵∠ACB=90∘，CD是AB边上的中线，CD=5，∴CD=AD=12AB，∴AB=10，∴AC=√AB2−BC2=√102−62=8，∴cosA=ACAB =810=45，∵CD=AD，∴∠A=∠ACD，∴cos∠ACD=4 5.故答案为：45.本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，利用等边对等角，把cos∠ACD转化为cosA是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，证明CD=AD，求出AB的长，从而得∠CAD=∠ACD，然后进行计算即可解答．16.【答案】8【解析】解：在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，∴点O是△ABC的重心，∴AO：OD=2：1，BO：OE=2：1，∵△AOE的面积是4，∴△AOB的面积=2×△AOE的面积=8，∴△BOD的面积=12×△AOB的面积=4，∴△ABD的面积=△AOB的面积+△BOD的面积=12，∴△ADC的面积=△ABD的面积=12，∴四边形OECD的面积=△ADC的面积−△AOE的面积=12−4=8.故答案为：8.本题考查了三角形重心的定义及性质，重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，也考查了三角形的面积．由重心的定义得出点O是△ABC的重心，根据重心的性质求出AO：OD=2：1，BO：OE=2：1，根据等高的两个三角形面积之比等于底边之比得出△AOB的面积=2×△AOE的面积=8，△BOD的面积=12×△AOB的面积=4，再求出△ABD的面积=△AOB的面积+△BOD的面积=12，△ADC 的面积=△ABD的面积=12，进而得到四边形OECD的面积=△ADC的面积−△AOE的面积=8.17.【答案】√5【解析】解：∵将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在AC 边上的点D 处，点C 落在点E 处，AB =4，AC =5，∴AD =AB =4，AE =AC =5，∠BAC =∠DAE ，∴△BAC ≌△DAE(SAS)，∴∠C =∠E ，DE =BC ，∵∠BDC =∠ADE ，∴△ADE ∽△BDC ， ∴BC AE =CD DE ， ∴BC5=5−4BC， ∴BC =√5.故答案为：√5.本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质定理是解题的关键．根据旋转的性质得到AD =AB =4，AE =AC =5，∠BAC =∠DAE ，根据全等三角形的性质得到∠C =∠E ，DE =BC ，根据相似三角形的性质即可得到结论．18.【答案】y =−(x −54)2+5716【解析】解：∵y =(x −2)2+3，∴M(2,3)，如图所示，过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，∴tan∠MDO =MH HD =34，易得MH =3，∴HD =4，则OD =6，∴D(6,0)，设MD 所在直线函数解析式为y =kx +b (k ≠0)，解得：{k =−34b =92， ∴MD 所在直线函数解析式为y =−34x +92，∴设N(n,−34n +92)，∵点N 在抛物线y =(x −2)2+3上，∴(n −2)2+3=−34n +92，解得：n =54或n =2(舍去)，∴N(54,5716)， 由互为“关联抛物线”的定义知，点N 所在抛物线的二次项系数为−1，∴顶点为N 的抛物线的表达式为y =−(x −54)2+5716.故答案为：y =−(x −54)2+5716.本题考查二次函数的性质，掌握“关联抛物线”是解题关键．根据已知抛物线可以得出顶点M 的坐标，过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，根据tan∠MDO =34，可以求出点D 坐标，再用待定系数法求直线MD 的函数解析式，设点N(n,−34n +92)，再把点N 坐标代入y =(x −2)2+3，可解出n ，得出点N 的坐标为(54,5716)，再根据互为“关联抛物线”的定义得出a =−1，然后写出以点N 为顶点的函数解析式．19.【答案】解：tan30∘2cos30∘+cot 245∘−sin 245∘=√332×√321−(√22)2 =13+1−12=56. 【解析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．20.【答案】解：(1)把x =2，y =−3；x =5，y =0，分别代入y =x 2+bx +c ，得{4+2b +c =−325+5b +c =0，∴二次函数的解析式为：y=x2−6x+5；(2)y=x2−6x+5=x2−6x+9−4=(x−3)2−4，则该二次函数图象的开口向上，顶点坐标为(3,−4)，对称轴是直线x=3.【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的三种形式，掌握这几个知识点的综合应用，用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题关键．(1)把x=2，y=−3；x=5，y=0，分别代入y=x2+bx+c列出方程组求出解集，写出二次函数的解析式；(2)用配方法把y=x2−6x+5化为顶点式，并写出对应的二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．21.【答案】解：(1)证明：∵DE//BC，∴AD DB =AEEC，∵AF DF =ADDB，∴AE EC =AFDF，∴AE AC =AFAD，∵∠FAE=∠DAC，∴△AEF∽△ACD，∴∠AEF=∠ACD，∴EF//CD；(2)∵△AEF∽△ACD，∴AF AD =EFCD=45，∴AF=45AD=45×15=12，∴DF=AD−AF=15−12=3.【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质进行几何运算．(1)先根据平行线分线段成比例定理得到ADDB =AEEC，则AEEC=AFDF，利用比例的性质得到AEAC=AFAD，则可证明△AEF∽△ACD，利用相似三角形的性质得到∠AEF=∠ACD，从而得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到AF AD =EF CD =45，则AF =12，然后计算AD −AF 即可． 22.【答案】(1)证明：∵AB//CD ，DF//CB ，∴四边形FBCD 是平行四边形，∴DC =FB ，DF =CB ，∵AB ⋅AF =DF ⋅BC ，∴AB DF =BC AF ，∵DF//CB ，∴∠B =∠AFD ，∴△ABC ∽△DFA ，∴∠ACB =∠DAF ，∵DF//CB ，∴∠AEF =∠ACB ，∴∠AEF =∠DAF ；(2)证明：∵AB//CD ，∴△DCE ∽△FAE ，∴DC AF =DE EF ，∴DE CD =EF AF ， ∴DE 2CD 2=EF 2AF 2，∵∠AEF =∠DAF ，∠AFE =∠DFA ，∴△AFE ∽△DFA ，∴EF AF =AF DF ，∴AF 2=EF ⋅DF ，∴DE 2CD 2=EF 2AF 2=EF 2EF⋅DF =EF DF =EF BC ， ∵DF//CB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴EF BC =AF AB ， ∴AF AB =DE 2CD 2.【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．(1)根据DF//CB ，可得∠B =∠AFD ，根据AB ⋅AF =DF ⋅BC ，证明△ABC ∽△DFA ，进而可以解决问题；(2)由△DCE ∽△FAE ，可得DE CD =EF AF ，所以DE 2CD 2=EF 2AF 2，再由△AFE ∽△DFA ，可得AF 2=EF ⋅DF ，由△AEF ∽△ACB ，得EF BC =AF AB ，进而可得结论．23.【答案】解：(1)过点A 作AC ⊥OB 于点C ，由题意，得OA =60千米，OB =30千米，∠AOC =37∘，∴在Rt △AOC 中，AC =OAsin37∘≈60×0.60=36(千米)，OC =OA ⋅cos∠AOC ≈60×0.8=48(千米)，∴BC =OC −OB =48−30=18(千米)，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=√362+182=18√5(千米)，故AB 两地的距离为18√5千米；(2)如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN 靠岸，理由：延长AB 交l 于点D ，∵∠ABC =∠OBD ，∠ACB =∠BOD =90∘，∴△ABC ∽△DBO ，∴BC AC =OB OD ， ∴1836=30OD， ∴OD =60(千米)，∵60>58+1，∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN 靠岸．【解析】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力，计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．(1)过点A 作AC ⊥OB 于点C.可知△ABC 为直角三角形．根据勾股定理解答；(2)延长AB 交l 于点D ，比较OD 与OM +MN 的大小即可得出结论．24.【答案】解：(1)∵抛物线解析式为y =ax 2−3ax −4a(a <0)，∴抛物线的的对称轴是直线x =−−3a 2a =32，∵抛物线y =ax 2−3ax −4a(a <0)与x 轴交于A(−1,0)、B 两点，∴点B(4,0)；(2)当x =32时，y =94a −92a −4a =−254a ，∴点M(32,−254a)，∵抛物线y =ax 2−3ax −4a(a <0)，与y 轴交于点C ，∴点C(0,−4a)，又∵点B(4,0)，∴直线BC 的解析式为y =ax −4a ，当x =32时，y =32a −4a =−52a ，∴点D(32,−52a)，∵MD =158， ∴158=−254a +52a ，∴a =−12，∴抛物线的解析式为y =−12x 2+32x +2；(3)如图，易得点B(4,0)，点A(−1,0)，点C(0,2)，∴OA =1，OC =2，OB =4，AB =5，∴AO OC =OCOB ，又∵∠AOC =∠BOC =90∘，∴△AOC ∽△COB ，∴∠CAO =∠BCO ，∵∠CFB =∠BCO ，∴∠CAO =∠CFB ，∴点A ，点C ，点B ，点F 四点共圆，∵∠CAO +∠ACO =90∘，∴∠BCO +∠ACO =90∘，∴∠ACB =90∘，∴AB 是直径，∴点E是圆心，∴EF=AE=BE=52，∴点F(32,−52).【解析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．(1)先求出抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可求点B坐标；(2)先求出点M，点D坐标，由MD=158可列等式，可求a的值，即可求解；(3)通过证明△AOC∽△COB，可得∠CAO=∠BCO，可证点A，点C，点B，点F四点共圆，即可求解．25.【答案】解：(1)证明：∵AB2=BC⋅BD，∴AB BD =BCAB，∴AB 2BD2=BC2AB2，∴AB 2BD2−AB2=BC2AB2−BC2，∵∠ACB=∠DAB=90∘，∴AB 2AD2=BC2AC2，∴AB AD =BCAC，∵∠C=∠BAD=90∘，∴△ABC∽△DBA，∴∠ADB=∠BAC，∵∠BAD=90∘，∴∠ADB+∠ABD=90∘，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90∘，∴∠EAB+∠ABD=90∘，∴∠BAE=∠ADB，∴∠BAE=∠BAC，∵∠AEB=∠C=90∘，AB=AB ∴△BAE≌△BAC(AAS)，∴AE=AC；(2)如图1，作AG//BE交BC的延长线于点G，作GH⊥AB交AB于点H，∴△FBE∽△FGA，∠ABE=∠BAG，∴AF EF =AGBE，由(1)△BAE≌△BAC(AAS)得，∠EAB=∠BAC，BC=BE，∠ABE=∠ABC，∴∠ABC=∠BAG，∴AG=BG，∴△BAG是等腰三角形，∴BH=AH=12AB=32，∵cos∠ABC=BCAB =BHBG，∴x 3=32BG，∴BG=92x，∴AG=92x，∴AF EF =92xx，∴AF EF =92x2，∴AF−EFEF =9−2x22x2，∴AE EF =9−2x22x2，∴y=9−2x22x2(0<x<3√22)；(3)如图2，当△ACB∽△DEF时，∠EDF=∠BAC，由(1)知∠ADB =∠BAC ，∴∠EDF =∠ADE ，∵∠DEF =∠DEA ，DE =DE ， 在△DEF 和△DEA 中，{∠FDE =∠ADE DE =DE ∠DEF =∠DEA，∴△DEF ≌△DEA(ASA)，∴EF =AE ，∴y =1， ∴9−2x 22x 2=1，∴x 1=32，x 2=−32(舍去)，∴BC =32；如图3，当△ACB ∽△FED 时，∠BAC =∠DFE ， ∵∠BAE =∠BAC ，∴∠DFE =∠BAE ，∴DF//AB ，∴AEEF =BE DE， ∵∠AEB =∠DAB =90∘，∠ABE =∠DBA ， ∴△ABE ∽△DBA ，∴AB BD=BE AB ， ∴3BD =x 3，∴BD =9x，∴DE =BD −BE =9x −x ，∴AE EF =9−2x 22x 2=x 9x−x ， ∴x 1=√3，x 2=−√3(舍去)，∴BC=√3.综上所述：BC=32或√3.【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线和正确分类，计算能力也很关键．(1)将AB2=BC⋅BD转化为ABBD =BCAB，进而根据勾股定理和比例性质推出ABAD=BCAC，进而△ABC∽△DBA，进一步证明△BAE≌△BAC，从而命题得证；(2)作AG//BE交BC的延长线于点G，作GH⊥AB交AB于点H，推出△FBE∽△FGA和cos∠ABC=BC AB =BHBG，再根据比例性质求得结果；(3)两种情形：△ACB∽△DEF和△ACB∽△FED，当△ACB∽△DEF时，由y=1求得结果；当△ACB∽△FED时，推出DF//AB，从而AEEF =BEDE，根据△ABE∽△DBA，推出BD=9x，进而可求得结果．第21页，共21页。

2021-2022学年上海市黄浦区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）设m∈R ，已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则m=___ ．2.（填空题，4分）不等式|x-1|＜1的解集是 ___ ．3.（填空题，4分）若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为 ___ ．4.（填空题，4分）设a ＞0且a≠1，若函数y=a x 的反函数的图像过点（2，-1），则a=___ ．5.（填空题，4分）若线性方程组的增广矩阵为 (23c 101c 2) 解为 {x =3y =5 ，则c 1-c 2=___ ．6.（填空题，4分）圆x 2+y 2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离为 ___ ．7.（填空题，5分）以双曲线 x 24 - y 25 =1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ___ ．8.（填空题，5分）若O 为△ABC 内一点，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 9.（填空题，5分）设无穷等比数列{a n }的公比为q ，且a 1=q 2+1，则该数列的各项和的最小值为 ___ ．10.（填空题，5分）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，若要求男、女教师都有，则选取方式的种数为 ___ .（结果用数值表示）11.（填空题，5分）设b∈R ，若曲线y 2=-|x|+1与直线y=-x+b 有公共点，则b 的取值范围是 ___ ．12.（填空题，5分）若数列{a n }满足a 0=0，且|a k |=|a k-1+3|（k∈N *），则|a 1+a 2+⋯+a 19+a 20|的最小值为 ___ ．13.（单选题，5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ） A.y=x -2 B.y=x -1 C.y=x 2 D. y =x 1314.（单选题，5分）若z 1、z 2∈C ，则“z 1、z 2均为实数”是“z 1-z 2是实数”的（ ）条件 A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.非充分非必要15.（单选题，5分）下列不等式中，与不等式x+8x2+2x+3＜2解集相同的是（）A.（x+8）（x2+2x+3）＜2B.x+8＜2（x2+2x+3）C. 1x2+2x+3＜2x+8D. x2+2x+3x+8＞1216.（单选题，5分）设ω为正实数，若存在a、b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa=sinωb=1，则ω的值可以是（）A.1B.2C.3D.417.（问答题，14分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC= π2，AB=BC=1．（1）求异面直线B1C1与AC所成角的大小；（2）若A1C与平面ABC所成角为π4，求三棱锥A1-ABC的体积．18.（问答题，14分）已知直线x=t（t∈R）与函数y=sin2x、y=cos（2x+ π6）的图像分别交于M、N两点．（1）当t= π4时，求|MN|的值；（2）求|MN|关于t的表达式f（t），写出函数y=f（t）的最小正周期，并求其在区间[0，2π]内的零点．19.（问答题，14分）某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：（1）求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到0.1万吨）（2）该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？20.（问答题，16分）设常数m＞0且m≠1，椭圆Γ：x2+y2=1，点P是Γ上的动点．m2（1）若点P的坐标为（2，0），求Γ的焦点坐标；（2）设m=3，若定点A的坐标为（2，0），求|PA|的最大值与最小值；，若Γ上的另一动点Q满足OP⊥OQ（O为坐标原点），求证：O到直线PQ的（3）设m= 12距离是定值．21.（问答题，18分）设函数y=f（x）定义在区间（a，b）上，若对任意的x1、x2、x1'、x2'∈（a，b），当x1+x2=x1'+x2'且|x1'-x2'|＜|x1-x2|时，不等式f（x1）+f（x2）＜f（x1'）+f（x2'）成立，就称函数y=f（x）具有M性质．（1）判断函数f（x）=2x，x∈（-3，3）是否具有M性质，并说明理由；（2）已知函数y=f（x）在区间（a，b）上恒正，且函数y=lgf（x），x∈（a，b）具有M性）]2；质，求证：对任意的x1、x2∈（a，b），且x1≠x2，有f（x1）•f（x2）＜[f（x1+x22（3）① 已知函数y=f（x），x∈（a，b）具有M性质，证明：对任意的x1、x2、x3∈（a，b），有f（x1）+f（x2）+f（x3）≤3f（x1+x2+x3），其中等号当且仅当x1=x2=x3时成立；3）具有M性质，若A、B、C为三角形ABC的内角，求② 已知函数f（x）=sinx，x∈（0，π2sinA+sinB+sinC的最大值．2021-2022学年上海市黄浦区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）设m∈R，已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则m=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：结合集合的并集运算及集合元素的互异性即可求解．【解答】：解：因为A={1，3，m}，B={3，4}，若A∪B={1，2，3，4}，所以m=2．故答案为：2．【点评】：本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．2.（填空题，4分）不等式|x-1|＜1的解集是 ___ ．【正确答案】：[1]（0，2）【解析】：先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．【解答】：解：∵|x-1|＜1，∴-1＜x-1＜1⇒0＜x＜2．故答案为：（0，2）．【点评】：此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型，此题是一道基础题．3.（填空题，4分）若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为 ___ ．【正确答案】：[1]4π【解析】：由题意结合圆柱的表面积公式即可直接求解．【解答】：解：由题意得，表面积S=2π×1×1+2π×1×1=4π．故答案为：4π．【点评】：本题主要考查了圆柱的表面积公式的应用，属于基础题．4.（填空题，4分）设a ＞0且a≠1，若函数y=a x 的反函数的图像过点（2，-1），则a=___ ． 【正确答案】：[1] 12【解析】：结合互为反函数的函数关系，代入即可求解．【解答】：解：由题意得，函数y=a x 的反函数的图像过点（-1，2）， 所以a -1=2， 所以a= 12 ． 故答案为： 12 ．【点评】：本题主要考查了互为反函数的函数关系，属于基础题． 5.（填空题，4分）若线性方程组的增广矩阵为 (23c 101c 2) 解为 {x =3y =5 ，则c 1-c 2=___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：根据增广矩阵的定义得到 {x =3y =5 ，是方程组 {2x +3y =c 1y =c 2 的解，解方程组即可．【解答】：解：由题意知 {x =3y =5 ，是方程组 {2x +3y =c 1y =c 2 的解，即 {c 1=6+15=21c 2=5 ，则c 1-c 2=21-5=16， 故答案为：16．【点评】：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键． 6.（填空题，4分）圆x 2+y 2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离为 ___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．【解答】：解：∵x 2+y 2-2x-4y+4=0，即（x-1）2+（y-2）2=1， ∴圆心为（1，2），∴圆心（1，2）到直线3x+4y+4=0的距离d= √32+42=3 ．故答案为：3．【点评】：本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．7.（填空题，5分）以双曲线 x 24 - y 25 =1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ___ ．【正确答案】：[1]y 2=12x【解析】：由题意知抛物线的顶点为（0，0），焦点为（3，0），所以抛物线方程．【解答】：解：双曲线x 24−y 25=1 的中心为O （0，0），该双曲线的右焦点为F （3，0）， ∴抛物线的顶点为（0，0）， 焦点为（3，0）， ∴p=6，∴抛物线方程是）y 2=12x ． 答案：y 2=12x ．【点评】：本题考查圆锥曲线的基本性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用． 8.（填空题，5分）若O 为△ABC 内一点，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]0【解析】：由向量的线性运算及数量积运算性质即可求解．【解答】：解： OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB⃗⃗⃗⃗⃗ = OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ OC ⃗⃗⃗⃗⃗ - OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）+ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）+ OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ） = OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • OC ⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • OA ⃗⃗⃗⃗⃗ - OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • OC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．故答案为：0．【点评】：本题主要考查平面向量的线性运算及数量积的性质，考查运算求解能力，属于基础题．9.（填空题，5分）设无穷等比数列{a n }的公比为q ，且a 1=q 2+1，则该数列的各项和的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]2（ √2−1 ）【解析】：先写出无穷等比数列各项和的表达式，然后利用基本不等式求解即可．【解答】：解：∵{a n }是公比为q 的无穷等比数列， ∴{a n }数列各项的和为 lim n→+∞(q 2+1)(1−q n )1−q=q 2+11−q，其中q∈（-1，0）∪（0，1），又∵-1＜q ＜1且q≠0， ∴0＜1-q ＜2且1-q≠0， ∴ q 2+11−q =[(1−q )−1]2+11−q=（1-q ）+ 21−q -2≥2 √2 -2=2（ √2−1 ），当且仅当1-q= 21−q ，即q=1- √2 时取等号， ∴数列{a n }的各项和的最小值为2（ √2−1 ）， 故答案为：2（ √2−1 ）．【点评】：本题考查等比数列的通项公式，考查学生的运算能力，属于中档题．10.（填空题，5分）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，若要求男、女教师都有，则选取方式的种数为 ___ .（结果用数值表示） 【正确答案】：[1]120【解析】：利用间接法，从所有9人中任选5人的选法中，去掉5人全是女教师的选法，即为所求的结果．【解答】：解：不按性别，从9人中任选5人的选法数为： C 95=126， 5人全是女教师的选法数为： C 65=6 ，故男、女教师都有选取方式的种数为：126-6=120． 故答案为：120．【点评】：本题考查组合的应用题，本题采用了间接法求解，属于基础题．11.（填空题，5分）设b∈R ，若曲线y 2=-|x|+1与直线y=-x+b 有公共点，则b 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1] [−54，54]【解析】：作出曲线对应的图形，联立方程组，求出判别式等于0时b 的值，结合图象，即可得到答案．【解答】：解：曲线y 2=-|x|+1= {−x +1，x ≥0x +1，x ＜0 ，作出图形如图所示，联立方程组 {y 2=−x +1y =−x +b ，可得x 2+（1-2b ）x+b 2-1=0，则Δ=（1-2b ）2-4（b 2-1）=0，解得 b =54， 同理联立y=-x+b 与y 2=x+1，可得 b =−54 ， 曲线y 2=-|x|+1与直线y=-x+b 有公共点， 则b 的取值范围是 [−54，54] ． 故答案为： [−54，54] ．【点评】：本题考查了直线与抛物线位置关系的理解与应用，曲线方程的理解与应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．12.（填空题，5分）若数列{a n }满足a 0=0，且|a k |=|a k-1+3|（k∈N *），则|a 1+a 2+⋯+a 19+a 20|的最小值为 ___ ． 【正确答案】：[1]6【解析】：先得到 a 12 =9，且a k 为整数，再利用累加法得到|a 1+a 2+...+a 20|= 16 | a 212 -189|，最后利用|a 1+a 2+...+a 20|为整数求解即可．【解答】：解：∵a 0=0，且|a k |=|a k-1+3|，∴ a 12 =9，且a k 为整数， ∵|a k |=|a k-1+3|，∴ a k 2 = a k−12 +6a k-1+9， ∴6a k-1= a k 2 - a k−12 -9，∴6（a 1+a 2+...+a 20）= a 212 - a 12 -9×20= a 212 -189， ∴|a 1+a 2+...+a 20|= 16 | a 212 -189|， ∵a 为整数，∴|a +a +...+a |为整数，∴当a212 =225时，|a1+a2+...+a20|取得最小值为16|225-189|=6，故答案为：6．【点评】：本题考查了数列递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.（单选题，5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A.y=x-2B.y=x-1C.y=x2D. y=x13【正确答案】：A【解析】：根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的性质，即可得到答案．【解答】：解：函数y=x-2，既是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故A正确；函数y=x-1，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故B错误；函数y=x2，是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，故C错误；函数y=x 13，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，故D错误；故选：A．【点评】：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，其中指数部分也幂函数性质的关系是解答本题的关键．14.（单选题，5分）若z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1-z2是实数”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要【正确答案】：A【解析】：根据复数运算即可解决此题．【解答】：解：∵两个实数的差一定是实数，∴若z1、z2均为实数，那么z1-z2一定是实数；若z1-z2是实数，z1、z2不一定均为实数，例如z1=1+i、z2=2+i．∴“z、z均为实数”是“z-z是实数”的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题考查复数运算及充分、必要条件判定，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．15.（单选题，5分）下列不等式中，与不等式x+8x2+2x+3＜2解集相同的是（）A.（x+8）（x2+2x+3）＜2B.x+8＜2（x2+2x+3）C. 1x2+2x+3＜2x+8D. x2+2x+3x+8＞12【正确答案】：B【解析】：根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式x+8x2+2x+3＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论．【解答】：解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式x+8x2+2x+3＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．16.（单选题，5分）设ω为正实数，若存在a、b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa=sinωb=1，则ω的值可以是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：D【解析】：存在a、b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa=sinωb=1等价于存在整数m，n（m＜n）使得ωπ≤2mπ+ π2＜2nπ+ π2≤2ωπ，然后分ω≥4和0＜ω＜4两种情况求出ω的范围．【解答】：解：由π≤a＜b≤2π，可得[ωa，ωb]⊆[ωπ，2ωπ]，存在a，b（π≤a＜b≤2π），使得sinωa=sinωb=1等价于存在整数m，n（m＜n）使得ωπ≤2mπ+ π2＜2nπ+ π2≤2ωπ ① ，当ω≥4时，区间[ωπ，2ωπ]的长度不小于4π，故必存在m，n满足① 式；当0＜ω＜4时，注意到[ωπ，2ωπ]⊆（0，8π），故仅需考虑如下几种情况：（i）ωπ≤ π2＜5π2≤2ωπ，此时ω≤ 12且ω≥ 54，无解；（ii）ωπ≤ 5π2＜9π2≤2ωπ，此时94≤ω≤ 52；（iii）ωπ≤ 9π2＜13π2≤2ωπ，此时134≤ω≤ 92，又0＜ω＜4，所以134≤ω＜4，综上，ω的取值范围为[ 94，52]∪[ 134，+∞），结合选项知ω的值可以是4．故选：D．【点评】：本题考查了三角函数的值域和不等式的性质，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．17.（问答题，14分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC= π2，AB=BC=1．（1）求异面直线B1C1与AC所成角的大小；（2）若A1C与平面ABC所成角为π4，求三棱锥A1-ABC的体积．【正确答案】：【解析】：（1）利用异面直线所成角的定义得到∠BCA（或其补角）即为异面直线B1C1与AC 所成的角，在三角形中，利用边角关系求解即可；（2）先确定∠A1CA即为直线A1C与平面ABC所成的角，求出所需线段的长度，利用锥体的体积公式求解即可．【解答】：解：（1）因为BC || B1C1，则∠BCA（或其补角）即为异面直线B1C1与AC所成的角，因为∠ABC=90°，AB=BC=1，则∠BCA=45°，所以异面直线B1C1与AC所成的角为45°；（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，则∠A1CA即为直线A1C与平面ABC所成的角，所以∠A1CA=45°，在Rt△ABC中，AB=BC=1，则AC= √2，在Rt△AA1C中，AA1=AC= √2，所以V A1−ABC =13S△ABC•AA1 = 13×12×1×1×√2 = √26．【点评】：本题考查了异面直线所成角的求解和线面角的应用，锥体体积公式的理解与应，属于中档题．18.（问答题，14分）已知直线x=t（t∈R）与函数y=sin2x、y=cos（2x+ π6）的图像分别交于M、N两点．（1）当t= π4时，求|MN|的值；（2）求|MN|关于t的表达式f（t），写出函数y=f（t）的最小正周期，并求其在区间[0，2π]内的零点．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，把t的值代入函数的解析式，并且函数值相减后取绝对值，可得结论．（2）先利用三角恒等变换化简f（t），再根据正弦函数的零点，得出结论．【解答】：解：（1）∵直线x=t（t∈R）与函数y=sin2x、y=cos（2x+ π6）的图像分别交于M、N两点，∴当t= π4时，|MN|=|sin π2-cos 2π3|= 32．（2）由题意可得，f（t）=|MN|=|sin2t-cos（2t+ π6）|=| 32sin2t- √32cos2t|=| √3 sin（2t- π6）|，故函数y=f（t）的最小正周期为12×2π2= π2．令f（t）=0，求得sin（2t- π6）=0，∴2t- π6=kπ，k∈Z，求得t= kπ2 + π12，k∈Z．结合t在区间[0，2π]内，故令k=0，1，2，3，可得t= π12，7π12，13π12，19π12，故f（t）在区间[0，2π]内的零点为π12，7π12，13π12，19π12．【点评】：本题主要考查三角函数的周期性，三角恒等变换，三角函数的零点，属于中档题．19.（问答题，14分）某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：（1）求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到0.1万吨）（2）该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？【正确答案】：【解析】：（1）设从2020年起每年生活垃圾的总量构成数列{a n}，每年以环保方式处理的垃圾总量构成数列{b n}，由等差数列和等比数列的通项公式可得a n，b n，计算（a2-b2）+（a3-b3）+（a4-b4），可得所求值；（2）令b n＞12a n，通过计算n=1，2，...，6，可得结论．【解答】：解：（1）设从2020年起每年生活垃圾的总量构成数列{a n}，每年以环保方式处理的垃圾总量构成数列{b n}，所以数列{a n}是以20为首项，1+5%为公比的等比数列，数列{b n}是以6为首项，1.5为公差的等差数列，则a n=20×1.05n-1，b n=6+1.5（n-1），1≤n≤10；则2021年至2023年，该地区这三年通过填埋方式处理的垃圾总量为（a2-b2）+（a3-b3）+（a4-b4）=（a2+a3+a4）-（b2+b3+b4）=20（1.05+1.052+1.053）-（18+1.5+3+4.5）=20×（1.05+1.1025+1.157625）-27≈39.2，则该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计39.2万吨；（2）设b n＞12 a n，即6+1.5（n-1）＞12×20×1.05n-1，即为4.5+1.5n＞10×1.05n-1，当n=1时，6＞10不成立；当n=2时，7.5＞10.5不成立；当n=3时，9＞11.025不成立；当n=4时，10.5＞11.57625不成立；当n=5时，12＞12.1550625不成立；当n=6时，13.5＞12.762815625成立．所以该地区在2025年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%．【点评】：本题考查数列模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的数列模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立数列模型，进行计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.（问答题，16分）设常数m＞0且m≠1，椭圆Γ：x2m2+y2=1，点P是Γ上的动点．（1）若点P的坐标为（2，0），求Γ的焦点坐标；（2）设m=3，若定点A的坐标为（2，0），求|PA|的最大值与最小值；（3）设m= 12，若Γ上的另一动点Q满足OP⊥OQ（O为坐标原点），求证：O到直线PQ的距离是定值．【正确答案】：【解析】：（1）由点P的坐标求出m的值，即可求出c的值，从而得到焦点坐标；（2）利用两点间距离公式表示出|PA|2，由二次函数的性质求解最值即可；（3）当直线PQ的斜率存在时，设方程为y=kx+t，与椭圆方程联立，得到韦达定理，结合OP⊥OQ，求出k和t的关系，利用点到直线的距离公式分析证明即可，当直线PQ的斜率不存在时，求出直线方程，即可证明结论．【解答】：（1）解：椭圆Γ：x 2m2+y2=1，点P（2，0）是椭圆上的点，所以m=2，则c=√m2−1=√4−1=√3，所以Γ的焦点坐标为(−√3，0)，(√3，0)；（2）解：设P（x，y），其中-3≤x≤3，且A（2，0），则 x 29+y 2=1 ，即 y 2=1−x 29， 所以 |PA|2=(x −2)2+y 2=(x −2)2+1−x 29 = 89(x −94)2+12 ，因为-3≤x≤3，所以当x=-3时，|PA|2取得最大值为25， 当x= 94 时，|PA|2取得最小值为 12 ， 所以|PA|的最大值为5，最小值为 √22 ；（3）证明：当m= 12 时，椭圆的方程为4x 2+y 2=1， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y=kx+t ，联立方程组 {y =kx +t4x 2+y 2=1 ，可得（4+k 2）x 2+2ktx+t 2-1=0， 所以 x 1+x 2=−2kt4+k 2，x 1x 2=t 2−14+k 2 ， 则Δ=（2kt ）2-4（t 2-1）（4+k 2）＞0， 因为OP⊥OQ ，所以 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ •OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0 ， 即x 1x 2+（kx 1+t ）（kx 2+t ）=0， 即 (1+k 2)x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2=0 ， 所以 (1+k 2)•t 2−14+k 2+kt •−2kt 4+k 2+t 2=0 ，化简可得1+k 2=5t 2，满足Δ＞0， 故点O 到直线PQ 的距离d=√1+k 2=√5t2= √55为定值； 当直线PQ 的斜率不存在时，因为OP⊥OQ ， 则直线PQ 的方程为x= ±√55， 所以点O 到直线PQ 的距离d= √55为定值． 综上所述，O 到直线PQ 的距离是定值．【点评】：本题考查了椭圆标准方程的求解与应用、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.（问答题，18分）设函数y=f （x ）定义在区间（a ，b ）上，若对任意的x 1、x 2、x 1'、x 2'∈（a ，b ），当x 1+x 2=x 1'+x 2'且|x 1'-x 2'|＜|x 1-x 2|时，不等式f （x 1）+f （x 2）＜f （x 1'）+f （x 2'）成立，就称函数y=f（x）具有M性质．（1）判断函数f（x）=2x，x∈（-3，3）是否具有M性质，并说明理由；（2）已知函数y=f（x）在区间（a，b）上恒正，且函数y=lgf（x），x∈（a，b）具有M性质，求证：对任意的x1、x2∈（a，b），且x1≠x2，有f（x1）•f（x2）＜[f（x1+x22）]2；（3）① 已知函数y=f（x），x∈（a，b）具有M性质，证明：对任意的x1、x2、x3∈（a，b），有f（x1）+f（x2）+f（x3）≤3f（x1+x2+x33），其中等号当且仅当x1=x2=x3时成立；② 已知函数f（x）=sinx，x∈（0，π2）具有M性质，若A、B、C为三角形ABC的内角，求sinA+sinB+sinC的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）取x1=-2，x2=2，x1'=-1，x2'=1，进而检验不满足M性质的定义，进而判断；（2）设x1，x2∈（a，b）且x1≠x2，令x1′=x2′=x1+x22，进而根据对数函数的单调性与M性质的定义证明即可；（3）① ，对任意的x1，x2，x3∈（a，b），令A=x1+x2+x33，x1'=A，x2'=x2，x3'=x1+x3-A，进而x1+x3=x1'+x3'，且|x1'-x3'|＜|x3-x1|，故f（x1）+f（x2）+f（x3）＜f（x1'）+f（x2'）+f（x3'），又x2'+x3'=A+A，且|x2'-x3'|≥|A-A|，故f（x1'）+f（x2'）+f（x3'）＜f（A）+f（A）+f（A）=3f（A），综合即可证明；② 分△ABC是锐角三角形，直角三角形，钝角三角形时，结合① 的结论求解即可．【解答】：（1）解：令x1=-2，x2=2，x1'=-1，x2'=1，此时f(x1)+f(x2)=2−2+22=174，f(x1′)+f(x2′)=2−1+21=52，所以f（x1）+f（x2）＞f（x'1）+f（x'2），不满足f（x1）+f（x2）＜f（x'1）+f（x'2），所以函数f（x）=2x，x∈（-3，3）不具有M性质．（2）证明：设x1，x2∈（a，b）且x1≠x2，令x1′=x2′=x1+x22，显然x1+x22∈(a，b)，且|x1'-x2'|=0＜|x1-x2|，因为函数y=lgf（x），x∈（a，b）具有M性质，所以1gf(x1)+lgf(x2)＜f(x′1)+f(x′2)=2lgf(x1+x22)，即lgf(x1)⋅f(x2)＜lg[f(x1+x22)]2，因为函数y=lgx在（0，+∞）上单调递增，所以f(x1)⋅f(x2)＜[f(x1+x22)]2．（3）① 证明：对任意的x1，x2，x3∈（a，b），令A=x1+x2+x33，显然A∈（a，b），令x1'=A，x2'=x2，x3'=x1+x3-A，所以x1+x3=x1'+x3'，且|x1'-x3'|=|A-（x1+x3-A）|=|-（x3-A）+（A-x1）|＜|-（x3-A）|+|A-x1|=x3-A+A-x1=x3-x1=|x3-x1|，所以f（x1）+f（x3）＜f（x1'）+f（x3'），所以f（x1）+f（x2）+f（x3）＜f（x1'）+f（x2'）+f（x3'），又x2'+x3'=x2+（x1+x3-A）=A+A，且|x2'-x3'|=|x2-（x1+x3-A）|≥0=|A-A|，所以f（x2'）+f（x3'）≤f（A）+f（A），所以f（x1'）+f（x2'）+f（x3'）＜f（A）+f（A）+f（A）=3f（A），综上，f(x1)+f(x2)+f(x3)≤3f(x1+x2+x33)，其中等号当且仅当x1=x2=x3时成立；② 解：当△ABC是锐角三角形时，由① 知，sinA+sinB+sinC≤3sin(A+B+C3)=3√32，当且仅当A=B=C时成立；当△ABC是直角三角形时，不妨设C为直角，于是sinA+sinB+sinC=sinA+cosA+1=√2sin(A+π4)+1≤√2+1＜3√32；当△ABC是钝角三角形时，不妨设C为钝角，此时0＜π−C＜π2，于是sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+sin(π−C)≤3sin(A+B+π−C3)=3sin2(π−C)3，由于0＜π−C＜π2，所以0＜2(π−C)3＜π3，所以0＜sin2(π−C)3＜√32，所以0＜3sin2(π−C)3＜3√32，综上，sinA+sinB+sinC的最大值为3√32．【点评】：本题主要考查函数方程及其应用，函数中的新定义问题等知识，属于难题．。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

专题2.1 坐标平面上的直线【章节复习专项训练】【考点1】 ：直线的方程例题1．（2020·上海师大附中高二期末）直线方程20x y m -+=的一个方向向量d 可以是（ ） A ．(2,1)- B ．(2,1) C ．(1,2)- D ．(1,2)【答案】D【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量. 【详解】解：依题意，()2,1-为直线的一个法向量，∴方向向量为()1,2， 故选：D .【变式1】（2021·上海市奉贤中学高二期末）如图，平面上过点P (1，2)的直线与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B .过点P 分别作直线垂直于x 轴与y 轴，垂足分别为M ，N .则满足2020PAMPBNS S-=的直线有（ ）条A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】设直线AB 为y =k (x -1)+2()0k <，分别令x =0，y =0，求得点A ，B 的坐标， 然后由2020PAMPBNSS-=求解.【详解】因为过点P (1，2)，且斜率存在， 设直线AB 为y =k (x -1)+2()0k <， 令x =0，y =2-k ； 令y =0，x =2k k- 2(,0),(0,2)k A B k k-∴-， 2,2,AM PM BN k k∴=-==-，2020PAMPBNSS-=，121()21()202022k k ∴⨯-⨯-⨯⨯-=， 即2404040k k --=，0k <，所以k 的取值只有一个， 故这样的直线有一条. 故选：B【变式2】（2021·上海高二期末）直线1123x y l -+=:的一个方向向量可以是（ ） A ．(2，3) B ．(2-，3)C ．(3，2)D ．(3-，2)【答案】A【分析】将直线方程转化为()3112y x +=-，求得斜率即可. 【详解】直线1123x y l -+=:可化为：()3112y x +=-，所以直线的斜率为32k， 所以直线的一个方向向量可以是(2,3) 故选：A【变式3】（2020·上海曹杨二中高二期末）已知直角坐标系xOy 平面上的直线1x ya b+=经过第一、第二和第四象限，则,a b 满足（ ） A ．0,0a b >> B ．0a >，0b < C ．0a <，0b < D ．0a <，0b <【答案】A【分析】求出直线与坐标轴的交点，即可得出答案. 【详解】令0x =，则y b =；令0y =，则x a = 所以(0,),(,0)b a 在直线1x ya b+=上因为直线1x ya b+=经过第一、第二和第四象限 所以0,0a b >> 故选：A【点睛】本题主要考查了由直线所过象限求参数范围，属于基础题.例题2．（2020·上海市建平中学高二期末）过点()1,2C ，且与直线20x y --=垂直的直线方程为______. 【答案】30x y +-=【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程 【详解】解：因为所求直线与直线20x y --=垂直， 所以所求直线的斜率为1-， 因为所求直线过点()1,2C ，所以所求直线方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=， 故答案为：30x y +-=【点睛】此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题【变式1】（2020·上海曹杨二中高二期末）过点()3,2P -且与直线210x y ++=垂直的直线方程是______. 【答案】270x y --=【分析】根据直线的垂直关系，设出所求直线方程，将()3,2P -代入方程，即可求解. 【详解】所求直线与直线210x y ++=垂直， 设该直线方程为20x y c -+=，()3,2P -代入上式方程得7c =-，所以所求的直线方程为270x y --=. 故答案为：270x y --=.【点睛】本题考查直线的位置关系求方程，利用直线的位置关系合理设方程是解题的关键，属于容易题. 【变式2】（2020·上海市控江中学高二期末）经过点()1,0，且以()2,5d =为一个方向向量的直线l 的方程为_____.【答案】5250x y --=【分析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】直线l 的斜率为52k =，所以，直线l 的方程为()512y x =-，即5250x y --=. 故答案为：5250x y --=.【点睛】本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题. 【变式3】（2020·上海高二期末）已知点()1,2A ,()3,0B ,则线段AB 的垂直平分线的方程是_____． 【答案】10x y --=【分析】先求出AB 的中点M 的坐标,再求出直线AB 的斜率,根据两直线垂直时斜率乘积为1-得到垂直平分线的斜率,最后用点斜式公式即可求出直线方程. 【详解】解:设M 的坐标为(),x y ， 则1322x,2012y,所以()2,1M . 因为直线AB 的斜率为120113k , 所以线段AB 垂直平分线的斜率2111k , 则线段AB 的垂直平分线的方程为112y x 化简得10x y --=. 故答案为：10x y --=【点睛】本题考查求线段AB 的垂直平分线:即要求垂直平分线线上一点与直线的斜率，根据中点坐标公式求出AB 的中点M 的坐标利用A 与B 的坐标求出直线AB 的斜率根据两直线垂直时斜率乘积为1-得到垂直平分线的斜率根据M 的坐标和求出的斜率写出AB 的垂直平分线的方程即可.【变式4】（2020·上海高二期末）若直线l 过点3(2,)A -且平行于向量(6,5)d =，则直线l 的点方向式方程是___________. 【答案】2365x y -+= 【分析】利用直线l 的点方向式方程即可得出． 【详解】由已知可得：直线l 的点方向式方程是2365x y -+=．故答案为：2365x y -+=． 【点睛】本题考查直线的点方向式方程，考查推理能力与计算能力，属于基础题．【变式5】（2021·上海市松江二中高二期末）若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =________ 【答案】2-【分析】根据方程组无解，得到直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，所以24024m m m m ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，解得：2m =-.故答案为：2-【点睛】本题主要考查由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的判定条件，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.【变式6】（2020·上海师大附中高二期末）直线10x y -+= 上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转90°得直线l ，则直线l 的方程是____________． 【答案】70x y +-=【详解】(,3,4)P l 的倾斜角为4590135,tan1351k ︒-︒=︒=︒=-， 则其方程为43y x -=-+，即70x y +-=. 故答案为：70x y +-=.【变式7】（2021·上海市奉贤中学高二期末）数学家欧拉在1765年提出定理；三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC 的顶点A (4，0)，B (0，2)，AC BC =，则ABC 的欧拉线所在直线方程为___________.【答案】2x -y -3=0【分析】根据题意求出线段AB 的垂直平分线即可求解. 【详解】线段AB 的中点为(2，1)，201042AB k -==--， 线段AB 的垂直平分线为：y =2(x -2)+1，即2x -y -3=0 AC =BC ，∴三角形的外心､重心､垂心依次位于AB 的垂直平分线上，因此ABC 的欧拉线方程为2x -y -3=0. 故答案为：2x -y -3=0.【变式8】（2020·华东师范大学附属周浦中学高二期末）直线l 经过点(3,5)P -，且(1,2)n =是直线l 的一个法向量，则直线l 的一般式方程是________. 【答案】270x y ++=【分析】由直线的法向量可得直线的方向向量，进而可得直线的斜率，由直线方程的点斜式即可得出结果. 【详解】直线的法向量为(1,2)n =，则直线的方向向量为(2,1)m =-，直线的斜率为12k =- 由点斜式可得：1(5)(3)2y x --=--，即270x y ++= 故答案为：270x y ++=【变式9】（2020·上海市三林中学高二期末）过点()1,0且与直线20x y +=垂直的直线的方程______. 【答案】210x y --=【分析】方法一，利用两条直线互相垂直，斜率之积等于-1，求出垂线的斜率，再求垂线的方程； 方法二，根据两条直线互相垂直的关系，设出垂线的方程，利用垂线过某点，求出垂线的方程. 【详解】方法一，直线20x y +=的斜率是-2， 则与这条直线垂直的直线方程的斜率是12， ∴过点()1,0且与直线20x y +=垂直的直线方程为()1012y x -=-， 即210x y --=；方法二，设与直线20x y +=垂直的直线方程为20x y a -+=， 且该垂线过过点()1,0，∴11200a ⨯-⨯+=，解得1a =-，∴这条垂线的直线方程为210x y --=. 故答案为：210x y --=.【点睛】本题考查了直线方程的求法与应用问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题目.例题3．（2021·上海高二期末）已知直线l 与直线250x y +-=平行，并且直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的一般式方程. 【答案】240x y ++=或240x y +-=【分析】设所求直线方程为()205x y C C ++=≠-，求出直线l 与两坐标轴的交点坐标，结合已知条件可得出关于C 的方程，进而可求得直线l 的方程.【详解】由于直线l 与直线250x y +-=平行，设直线l 的方程为()205x y C C ++=≠-， 在直线l 的方程中，令0x =，可得y C =-；令0y =，可得2Cx =-. 所以，直线l 交x 轴于点,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭，交y 轴于点()0,C -. 由于直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则214224C C C ⨯-⨯-==，解得4C =±. 因此，直线l 的方程为240x y ++=或240x y +-=.【变式1】（2020·上海高二期末）已知直线1:220l x y +-=和2:10l mx y -+=. (1)当12l l //时，求m 的值； (2)当1l 与2l 的夹角为4π时，求m 的值. 【答案】(1)2-；(2)3或13-. 【分析】（1）直接利用线线平行的充要条件的应用求出结果． （2）直接利用夹角公式的应用求出结果．【详解】（1）直线1:220l x y +-=和2:10l mx y -+=． 所以20m --=，解得：2m =-．（2）由于1:220l x y +-=的斜率12k =-，2:10l mx y -+=的斜率2=k m ．所以2112tan||141k kk kπ-==+，解得3m=或13-．【点睛】本题考查的知识要点：线线平行的充要条件的应用，夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．【考点2】：直线的倾斜角和斜率例题1．（2020·上海市杨浦高级中学高二期末）直线210x y+-=的倾斜角为（）.A．arctan2B．arctan2-C．()arctan2π--D．arctan2π-【答案】D【分析】先根据所给直线的斜率-2，直线的斜率是倾斜角的正切，得到[)tan=20ααπ-∈，，，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果.【详解】因为直线210x y+-=的斜率2k=-，所以[)tan=20ααπ-∈，，，所以=arctan2απ-.所以直线210x y+-=的倾斜角为arctan2π-.故选：D【点睛】求斜率的方法：①定义法：()tan90kαα=≠；②两点法求斜率：()212121y yk x xx x-=≠-；③由直线方程求斜率；④由直线的方向向量求斜率.【变式1】（2020·上海高二期末）下图中的直线1l、2l、3l的斜率分别为1k、2k、3k,则（）A．123k k k<<B．312k k k<<C．321k k k<<D．132k k k<<【答案】D【分析】根据斜率与直线倾斜角的关系判断即可.【详解】由图可知：10k <,20k >,30k >,且直线3l 的倾斜角小于直线2l 的倾斜角,所以32k k <,综上可知：132k k k <<.故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.【变式2】（2020·上海高二期末）已知l 过定点()4,5的直线的一个方向向量是()2,3d =-，则直线l 的点方向式方程可以为（ ） A ．()()3425x y -=- B ．45=23x y --- C ．()()34250x y -+-= D ．45=32x y -- 【答案】B【分析】利用直线的点向式方程可以直接得到所求的方程． 【详解】因为直线l 的方向向量为()2,3d =-且经过点()4,5， 故直线l 的点向式方程为45=23x y ---． 故选：B ．【点睛】本题考查直线的点向式方程，注意点向式方程的标准形式，此题属于基础题．【变式3】．（2021·上海市建平中学高二期末）直线l 的倾斜角为θ，则直线l 关于直线y =x 对称的直线l '的倾斜角不可能为（ ） A ．θ B ．2θπ- C ．πθ-D ．32πθ- 【答案】C【分析】可分类讨论求出对称直线l '的倾斜角，然后判断． 【详解】当[0,]2πθ∈时，直线l '的倾斜角为2θπ-，当,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线l '的倾斜角为32πθ-，当4πθ=时，直线l '的倾斜角为4πθ=，因此ABD 均可能，只有C 不可能．实际上当直线l '倾斜角为πθ-时，直线l '与直线l 关于和x 轴垂直的直线对称． 故选：C ．【变式4】．（2020·上海市洋泾中学高二期末）若直线0ax by c 的一个法向量()3,1n =-，则该直线的倾斜角为（ ） A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 【答案】B【分析】根据直线的方程可得直线的法向量，结合题设条件可得,a b 的关系，从而可求直线的斜率进而得到直线的倾斜角.【详解】由直线的方程为0ax by c可得直线的法向量为(),m a b =，故,m n 共线，所以()1b a ⨯-=，即ab-=，设直线的倾斜角为[)()0,θθπ∈，则tan θ=3πθ=.故选：B.例题2．（2020·上海市进才中学高二期末）直线210x y -+=的倾斜角为________． 【答案】1arctan2【分析】根据直线方程求出直线的斜率，从而求出倾斜角. 【详解】直线210x y -+=的斜率12k =， 所以直线的倾斜角是1arctan 2. 故答案为：1arctan2. 【变式1】（2020·上海高二期末）直线40x my 的倾斜角为4π,则m 的值是_____． 【答案】1【分析】由直线的倾斜角求出斜率,再由斜率列式求得m 值. 【详解】解：直线40x my 的倾斜角为4π. 所以该直线的斜率为tan 14π=,所以11m=,解得：1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,是基础题.【变式2】（2020·上海市七宝中学）直线l 的倾斜角范围是__________； 【答案】0,【分析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度. 范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 【变式3】（2020·上海高二期末）若直线l 的倾斜角的范围为,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则l 的斜率的取值范围是__________.【答案】【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出． 【详解】直线l 的倾斜角,43θππ⎡⎫⎪⎢∈⎣⎭，则l 的斜率tan [1θ∈．故答案为：．【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 【变式4】（2020·上海复旦附中高二期末）一个方向向量为(1,3d =的直线的倾斜角的大小是__________． 【答案】60︒【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角.【详解】因为直线的方向向量为(1,3d =，所以直线的斜率为k = 所以直线的倾斜角的大小是60︒. 故答案为：60︒.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，明确直线的方向向量与直线的斜率间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.【变式5】（2020·上海市金山中学高二期末）直线l ：4y =+的倾斜角的大小为______.【答案】3π；【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得tan θ=. 【详解】解：设直线的倾斜角为θ，由直线l 的方程为：4y =+可得tan θ= 又[)0,θπ∈， 所以3πθ=，故答案为：3π.【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题.【变式6】（2021·上海市松江二中高二期末）若直线l 的参数方程是2,()12x t t y t =+⎧∈⎨=--⎩R ，则l 的斜率为________． 【答案】-2【分析】把参数方程消参化为斜截式方程即可求出斜率．【详解】由2,()12x t t y t =+⎧∈⎨=--⎩R ，消去参数t 可得23y x =-+， 所以直线的斜率2k =- 故答案为2-【点睛】本题考查直线的参数方程与一般方程的互化，属于基础题．【变式7】（2021·上海市奉贤中学高二期末）直线23y x =-+的倾斜角是___________(结果用反三角表示). 【答案】arctan 2π-【分析】根据斜率公式tan k α=化简即可.【详解】解：由题意得tan 2,arctan 2k ααπ==-∴=- 故答案为：arctan 2π-.【变式8】（2021·上海高二期末）直线1:10l x y +-=与直线2:20l x y -+=夹角的大小为___________. 【答案】2π 【分析】根据直线方程求得两直线的斜率，进而可求得倾斜角，即可求得答案.【详解】直线1:10l x y +-=的斜率为-1，因为倾斜角[0,)απ∈，即tan 1α=-，所以1l 的倾斜角为34π， 同理直线2:20l x y -+=的斜率为1，所以2l 的倾斜角为4π， 所以直线1l 与2l 的夹角为3442πππ-=. 故答案为：2π 【变式9】（2021·上海曹杨二中高二期末）若直线l 的倾斜角为34π，则l 的一个方向向量d 可以是______.(只需填写一个) 【答案】()1,1-【分析】利用直线倾斜角确定直线斜率，进而确定方向向量的横纵坐标之比，写出方向向量. 【详解】直线l 的倾斜角为34π，故直线的斜率3tan 14k π==-， 故方向向量的横纵坐标之比为1-， 故d 可以是()1,1-， 故答案为：()1,1-.【变式10】（2020·上海曹杨二中高二期末）设()1,2A ，()3,1B -，若直线2y kx =-与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是______. 【答案】(][),14,-∞-+∞【分析】画出图象求出定点与A 、B 两点连线的斜率，即可求出实数k 的取值范围．【详解】解：直线2y kx =-恒过定点()0,2-，由题意平面内两点()1,2A ，()3,1B -，直线2y kx =-与线段AB 恒有公共点，如图求出定点与A 、B 两点连线的斜率，()122410k --==-．()212130k --==---，所以直线2y kx =-与线段AB 恒有公共点，则实数k 的取值范围是(][),14,-∞-+∞，故答案为：(][),14,-∞-+∞【点睛】本题考查直线斜率的求法，考查数形结合的思想的应用，考查计算能力．【变式11】（2020·上海高二期末）已知直线l 的一个方向向量是(1,2)，则它的斜率为______________. 【答案】2【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系求斜率即可. 【详解】直线l 的一个方向向量是(1,2)，则直线的斜率为：2=21故答案为：2【点睛】本题考查直线方向向量以及直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题. 【变式12】（2020·上海高二期末）直线210x y +-=的倾斜角为________． 【答案】arctan 2π-【分析】先求直线210x y +-=的斜率,进而用反三角函数转化为倾斜角即可. 【详解】直线210x y +-=的斜率为2k =-,设倾斜角为α,所以tan 2α,则arctan 2απ-= 故答案为：arctan 2π-【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题,考查计算能力．【变式13】（2020·上海市控江中学高二期末）若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为25，则实数k 的值为_____.【答案】34【分析】设直线20x y -=的倾斜角为α，记β=k 的方程，进而可求得实数k 的值.【详解】设直线20x y -=的倾斜角为α，记β=，则tan 2α=，cos 5β=，sin 5β=，1tan 2β=，由题意可得tan 21tan 1tan 122k k k k αβα--===++，解得34k =.故答案为：34. 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，涉及两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 【变式14】．（2020·上海交大附中高二期末）直线223x ty t =+⎧⎨=+⎩（参数t R ∈）的倾斜角为_________.【答案】12arctan【分析】代入消参，将参数方程化为普通方程，再根据斜率求得倾斜角. 【详解】由3y t =+可得3t y =-，代入22x t =+，可得()223x y =+- 整理得：直线的一般式方程为240x y -+= 则直线的斜率为12k =，设其倾斜角为θ，[)0,θπ∈ 故12arctanθ=. 故答案为：12arctan. 【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题.例3．（2019·上海高二期末）已经直线:1l y kx =-与两点()()1,5,4,2.A B - （1）若l 与直线AB 平行，求它们之间的距离以及l 的倾斜角；（2）若l 与线段AB 无公共点，求k 的取值范围. 【答案】（1）d =；3arctan 5θπ=-；（2）36,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由两点连线斜率公式可求得AB k ，即k ，从而得到直线l 方程及tan θ、直线AB 方程；根据反三角函数可求得倾斜角θ，利用平行直线间距离公式可求得所求距离d ；（2）首先确定直线恒过定点()0,1C -，可知临界状态为,AC BC ，利用两点连线斜率公式求得,AC AB k k ，可知(),AC AB k k k ∈，从而得到结果. 【详解】（1）由,A B 坐标可得：523145AB k -==--- ∴直线AB 方程为：()3245y x -=--，即35220x y +-= l 与直线AB 平行 35AB k k ∴==- 3:15l y x ∴=--，即3550x y ++=设直线l 倾斜角为θ 3tan 5θ∴=- 3arctan 5θπ∴=-直线l 与直线AB之间距离34d ==（2）由题意知，直线l 恒过点()0,1C -51610AC k +∴==---，213404BC k +==- l 与线段AB 无公共点 (),AC AB k k k ∴∈，即36,4k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【点睛】本题是对直线部分知识的综合考查，涉及到直线斜率与倾斜角的关系、两条直线平行的位置关系的应用、平行直线间距离公式、根据直线与线段交点情况求解斜率范围的问题，属于基础题. 【考点3】 ：两条直线的位置关系例题1．（2020·上海高二期末）直线210x y ++=与直线36100x y 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．重合C ．平行D ．垂直【答案】C【分析】根据直线的一般方程满足111222A B C A B C =≠,则两直线平行. 【详解】解: 直线210x y ++=与直线36100x y ,满足1213610, 故直线210x y ++=与直线36100x y 平行. 故选:C【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,若两直线满足111222A B C A B C =≠,则两直线平行. 【变式1】．（2020·上海市金山中学高二期末）已知两条直线1l 与2l 不重合，则“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】“1l 与2l 的平行”则有“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】解：因为两条直线1l 与2l 不重合，由“1l 与2l 的斜率相等”可得“1l 与2l 的平行”； 由“1l 与2l 的平行”则可得“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”， 即“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的充分不必要条件， 故选：A.【点睛】本题考查了两直线平行的充分必要条件，重点考查了直线的斜率，属基础题. 【变式2】．（2020·上海市嘉定区封浜高级中学高二期末）14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的（ ）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】对a 分类讨论，利用两条相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出． 【详解】解：对于：直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=， 当0a =时，分别化为：10x +=，30x y -+-=，此时两条直线不垂直，舍去；当1a =-时，分别化为：310y -+=，230x --=，此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足条件； 当1a ≠-，0时，两条直线的斜率分别为：13a a +-，11a a -+，由于两条直线垂直，可得11131a aa a +--⨯=-+，解得14a =或1-（舍去）． 综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：14a =或1-． ∴14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的充分而不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查了两条相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力，属于中档题．例题2．（2021·上海闵行中学高二期末）过点()3,5与直线y x m =+垂直的直线方程是___________. 【答案】80x y +-=【分析】设与y x m =+垂直的直线方程为y x n =-+，利用过的点，求出n 即可. 【详解】设所求直线为y x n =-+ 过点()3,5，故8n = 直线方程为80x y +-= 故答案为：80x y +-=【变式1】．（2021·上海位育中学高二期末）已知直线1:230l ax y a ++=与直线2:3(1)70l x a y a +-+-=互相垂直，则a =________ 【答案】25【分析】利用两条直线垂直的等价条件可得()3210a a +-=，解方程即可求a 的值. 【详解】因为直线1:230l ax y a ++=与直线2:3(1)70l x a y a +-+-=互相垂直， 所以()3210a a +-=，解得：25a =， 故答案为：25.【变式2】．（2021·上海市进才中学高二期末）若直线1:210l ax y ++=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直，则a 的值为_________. 【答案】23-【分析】根据两个直线垂直的公式代入计算. 【详解】因为12l l ⊥，所以2(1)0a a ++=，得23a =-. 故答案为：23-【变式3】．（2021·上海市复兴高级中学高二期末）已知直线220x y +-=和10x y -+=的夹角为______. 【答案】arctan 3【分析】求出两直线的斜率，利用相交两直线的夹角公式求解而得. 【详解】直线220x y +-=和10x y -+=的斜率分别为k 1=-2，k 2=1， 设直线220x y +-=和10x y -+=的夹角为(0)2πθθ<≤，而两直线不垂直，由夹角公式得：121221tan ||||311(2)1k k k k θ---===++-⋅，所以arctan 3θ=. 答案为：arctan 3【变式4】．（2020·上海闵行中学高二期末）已知直线1:10l ax y -+=，2:10l x ay --=，且12l l ⊥，则实数a =_________. 【答案】0【分析】依据两条直线垂直充要条件12120A A B B +=直接计算即可. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()1100a a a ⨯+-⨯-=⇒= 故答案为：0【变式5】．．（2020·上海高二期末）已知直线1:42l mx y m +=+，2:l x my m +=，若12//l l ，则实数m =________．【答案】2-【分析】根据直线互相平行的判定公式得到结果. 【详解】直线1:42l mx y m +=+，2:l x my m +=， 若12//l l ，则24102m m -⨯=⇒=±，当2m =时，1l 和2l 化简为：1:22l x y +=，2:22l x y +=，此时，1l 与2l 重合，故2m =时不符合题意当2m =-时，1l 和2l 化简为：1:20l x y -=，2:220l x y -+=，此时，1l 与2l 不重合且平行，故2m =-时符合题意 故答案为：2-.【点睛】这个题目考查了已知两直线的位置关系求参数的应用，属于基础题.【变式6】．（2020·上海高二期末）直线10x y ++=与直线30x y -+=的夹角大小等于___________. 【答案】2π【分析】算出两条直线的斜率，根据它们的乘积为1-可得它们的夹角． 【详解】设两条直线的夹角为θ，直线10x y ++=的斜率为11k =-，直线30x y -+=的斜率为21k =， 因为121k k =-，所以两条直线垂直，所以2πθ=．故答案为：2π． 【点睛】本题考查直线的夹角，注意先判断它们是否垂直，如果不垂直，则利用夹角公式1212tan 1k k k k θ-=+来计算，本题属于容易题．【变式7】．（2020·上海市洋泾中学高二期末）已知直线1:220++=l x ay 与直线2:(1)310l a x y -++=平行，则实数a 的值为__________ 【答案】2-或3【分析】根据两直线平行，直接列式求解. 【详解】12//l l ，22131a a ∴=≠-，解得：2a =-或3a =. 故答案为：2-或3【变式8】．（2020·上海高二期末）直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的夹角为______________. 【答案】90︒【分析】先利用斜率之积为1-，判定两直线垂直，即可得解.【详解】由直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的方程可知，两直线的斜率分别为：1212,2k k ==-，∴121k k =-，∴12l l ⊥,∴两直线的夹角为90︒. 故答案为：90︒.【点睛】本题考查两直线的夹角的求法，关键根据两直线的方程求得斜率，根据斜率是否乘积为1-，从而判定两直线是否垂直是关键点.【变式9】．（2020·上海格致中学高二期末）若直线1:2310l x y +-=的方向向量是直线2:20l ax y a -+=的法向量，则实数a 的值等于__________. 【答案】32【分析】由题意结合直线方向向量、法向量的概念可得12l l ⊥，再由直线垂直的性质即可得解. 【详解】直线1l 的方向向量是直线2l 的法向量，∴12l l ⊥，∴230a -=，解得32a =. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了直线方向向量、法向量概念的应用，考查了直线垂直的性质，属于基础题.【变式10】．（2020·上海高二期末）已知直线1l ：210ax y -+=、2l ：()130x a a y ++-=，若12l l ⊥，则实数a =_________.【答案】0或12- 【分析】若直线1l ：1110A x B y C ++=与直线2l ：2220A x B y C ++=垂直，则12120A A B B +=，代入数据计算即得. 【详解】直线1l ：210ax y -+=、2l ：()130x a a y ++-=，且12l l ⊥，()()1+210a a a ∴⨯-⨯+=,即220a a +=，解得0a =或12a =-. 故答案为：0a =或12a =-. 【点睛】本题考查直线的位置关系，属于基础题.【变式11】．（2020·上海市三林中学高二期末）已知直线1l ：()6180x t y +--=，直线2l ：()()46160t x t y +++-=，若1l 与2l 平行，则t =______.【答案】-5【分析】由平行关系可得()()()6641t t t ⨯+=+-，解方程验证排除重合可得.【详解】由题意可得()()()6641t t t ⨯+=+-，解方程可得5t =-或8t =，经验证8t =时直线重合，应舍去故当5t =-时，两直线平行.故答案为：-5.【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题.【变式12】．（2021·上海市奉贤中学高二期末）已知直线()()1:3410l k x k y -+-+=与()2:23230l k x y --+=平行，则k 的值是____．【答案】3或5【分析】由两直线平行得出()()()23243k k k --=--，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证. 【详解】直线()()1:3410l k x k x y -+-++=与()2:23230l k x y --+=平行，()()()23243k k k ∴--=--，整理得()()350k k --=，解得3k =或5.当3k =时，直线1:10l y +=，23:02l y -=，两直线平行； 当5k =时，直线1:210l x y -+=，23:202l x y -+=，两直线平行. 因此，3k =或5.故答案为3或5.【点睛】本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证，考查运算求解能力，属于基础题.例题3．（2020·上海高二期末）已知二元一次方程组()()32232120k x y k x k y k ⎧--=⎪⎨++++=⎪⎩无解，求k 的值： 【答案】32k 【分析】根据题意知两直线平行,根据直线与直线平行的关系建立方程,求解验证即可.【详解】解:因为二元一次方程组()()32232120k x y k x k y k ⎧--=⎪⎨++++=⎪⎩无解, 则()322k x y k --=与()32120x k y k ++++=平行, 由3223212k k k k ---=≠++，解得：32k ． 经过验证满足题意． 32k ∴=时方程组无解． 【点睛】本题考查两直线平行,求参数,是基础题.【考点4】 ：点到直线的距离例题1．（2020·上海市七宝中学）直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______．【答案】2x =-或4350x y ++=【分析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程．【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++=∵点()1,2--A 到l 的距离为1，1=，解之得43k =-， 得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=．故答案为：2x =-或4350x y ++=【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．【变式1】．（2020·上海高二期末）若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为______________.【分析】线段OP 的最小值，就是原点到已知直线的距离，根据点到直线的距离公式即可得出．【详解】解：原点到直线的距离d==故||OP【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、转化方法，属于基础题．【变式2】．（2020·上海高二期末）已知点()4,1P,点Q的坐标(),x y满足212x y=,则点P与点Q距离的最小值为_____．【分析】先将212x y=转化为直线220x y--=,再求点P到直线220x y--=的距离即可.【详解】解: 点Q的坐标(),x y满足212x y=,则点Q在直线220x y--=上,则点P与点Q距离的最小值即为点P到直线220x y--=的距离:d===故点P与点Q故答案为:【点睛】本题考查二阶行列式的运算,考查点到直线的距离公式,是基础题.【变式3】．（2019·上海市进才中学高二期末）圆22240x y x y+-+=的圆心到直线3450x y+-=的距离等于________。

上海市黄浦区2024届高三二模数学试题2024年4月（完成试卷时间：120分钟总分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．若集合[]1,4A =，[]2,5B =，则A B ⋃=.2．抛物线24y x =的焦点到准线的距离是.3．若(3cos ,sin )a θθ= ，(cos ,3sin )b θθ= ，其中R θ∈，则a b ⋅=.4．若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为.5．若251()ax x+的展开式中4x 的系数是80-，则实数=a .6．在ABC 中，3cos 5A =-，1AB =，5AC =，则BC =.7．随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，若()2 2.50.36P X <≤=，则()|2|0.5P X ->=.8．若实系数一元二次方程20x ax b ++=有一个虚数根的模为4，则a 的取值范围是.9．某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为.10．已知数列{}n a 是给定的等差数列，其前n 项和为n S ，若9100a a <，且当0m m =与0n n =时，m nS S -{}()*,|30,m n x x x ∈≤∈N 取得最大值，则00mn -的值为.11．如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为百米.12．在四面体PABC 中，2PD PA PB=+u u u r u u r u u r ，523PE PB PC =+uur uu r uu ur ，23PF PC PA =-+ ，设四面体PABC 与四面体PDEF 的体积分别为1V 、2V ，则21V V 的值为.二、选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（）A ．2515500300C C +B ．2515500300C C ⋅C ．2020500300C C +D ．2020500300C C ⋅14．函数212cos 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数15．设函数()2220,4023,04x ax x f x ax x x ⎧-++-≤≤=⎨-+<≤⎩，若()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5,116⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”.对于命题：①存在“T 数列”{}n a ，使得数列{}n S 为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”.下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．设R a ∈，函数2()21x x af x +=-.(1)求a 的值，使得()y f x =为奇函数；(2)若(2)f a =，求满足()f x a >的实数x 的取值范围.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，点E 是棱PD 上的一点，//PB 平面AEC .(1)求证：点E 是棱PD 的中点；(2)若PA ⊥平面ABCD ，2AP =，AD =PC 与平面ABCD 所成角的正切值为13，求二面角D AE C --的大小.19．某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格.组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]频数926655347(1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为20500.80.2⎛⎫⎪⎝⎭.若从这200个成年市民中随机选取1人，记X （单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求X 的分布及数学期望；(2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.20．如图，已知1Γ是中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，2Γ是以1Γ的焦点12,F F 为顶点的等轴双曲线，点54(,)33M 是1Γ与2Γ的一个交点，动点P 在2Γ的右支上且异于顶点.(1)求1Γ与2Γ的方程；(2)若直线2PF 的倾斜角是直线1PF 的倾斜角的2倍，求点P 的坐标；(3)设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，直线1PF 与1Γ相交于点,A B ，直线2PF 与1Γ相交于点,C D ，11||||AF BF ⋅m =，22||||CF DF n ⋅=，求证：121k k =且存在常数s 使得m n +sm n =.21．若函数 ()y f x =的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数 ()y f x =的图象的“自公切线”，称这两点为函数 ()y f x =的图象的一对“同切点”.(1)分别判断函数1 ()sin f x x =与2 ()ln f x x =的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；(2)若R a ∈，求证：函数ππ()tan ((,))22g x x x a x =-+∈-有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；(3)设*N n ∈，ππ()tan π((,))22h x x x n x =-+∈-的零点为n x ，ππ(,)22t ∈-，求证：“存在(2π,)s ∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“ t 是数列{}n x 中的项”.1．[]1,5【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合[]1,4A =，[]2,5B =，则A B ⋃=[]1,5.故答案为：[]1,5.2．2【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2.3．3【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】223cos 3sin 3a b θθ⋅=+=，故答案为：34．12π【分析】将圆柱的侧面展开，得到矩形的两边长，求出面积即可.【详解】将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3，另一边为2π24π⨯=，故侧面积为34π12π⨯=.故答案为：12π5．2-【分析】根据通项公式得到1034r -=，求出2r =，从而得到方程，求出2a =-.【详解】通项公式为51025103155C C r rr r r r rr T a x x a x -----+=⋅=，令1034r -=，解得2r =，故235C 80a =-，解得2a =-.故答案为：2-6．【分析】根据余弦定理建立方程，可得答案.【详解】在ABC 中，根据余弦定理可得：222cos 2+-=⋅⋅AB AC BC A AB AC ，设()0BC x x =>，则231255215x +--=⨯⨯，整理可得232x =，解得x =故BC =故答案为：7．0.28##725【分析】根据正态曲线的性质计算可得.【详解】因为2(2,)X N σ 且()2 2.50.36P X <≤=，所以()()1.522 2.50.36P X P X ≤<=<≤=，则()()1|2|0.512 2.520.36082.2P P X X ≤->=-<=-⨯=.故答案为：0.288．(8,8)-【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为i m n +和i m n -，则2216m n +=，又()()22i i 16b m n m n m n =+-=+=，再由Δ0<可求a 的取值范围.【详解】设实系数一元二次方程20x ax b ++=的两个虚数根为i m n +和i m n -，则2216m n +=.所以()()22i i 16b m n m n m n =+-=+=.由Δ0<⇒24160a -⨯<⇒88a -<<.故答案为：(8,8)-9．35##0.6【分析】求出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的场数和抽签总共的可能场数，即可得出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率.【详解】由题意，若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有1333C A 332118=⨯⨯⨯=种，若甲第二个上场，乙则可以第4,5个上场，有1323C A 232112=⨯⨯⨯=种，若甲第三个上场，乙则可以第1,5个上场，有1323C A 232112=⨯⨯⨯=种，若甲第四个上场，乙则可以第1,2个上场，有1323C A 232112=⨯⨯⨯=种，若甲第五个上场，乙则可以第1,2,3个上场，有1333C A 332118=⨯⨯⨯=种，共有181212121872++++=种，而所有的上场顺序有5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种，∴甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：7231205P ==,故答案为：35.10．21【分析】不妨设数列{}n a 的公差大于零，不妨取m n >，则1mm n ii n S S a=+-=∑，设3030910i i k S S a ==-=∑，再分9,30n m >=和9,30n m <=两种情况讨论，可得出0n 的值，再讨论30m <，即可求出0m ，即可得解.【详解】不妨设数列{}n a 的公差大于零，由于9100a a <，得9100,0a a <>，且9n ≤时，0n a <，10n ≥时，0n a >，不妨取m n >，则1mm n ii n S S a=+-=∑，设3030910i i k S S a ==-=∑，若9,30n m >=，则030301n ii n S S ak =+-≤<∑，此时式子取不了最大值；若9,30n m <=，则09301n ii n S S a k =+-≤+∑，又9i ≤时，0i a <，因为09301n ii n S S a k k =+-≤+<∑，此时式子取不了最大值；因此这就说明09n n ==必成立.若30m <，则0910m m i i S S a k =-≤<∑，这也就说明030m <不成立，因此030m =，所以0021m n -=.故答案为：21.11．2【分析】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，借助相似三角形性质用x 表示CE ，结合对称性求出步道长度关于x 的函数关系，利用导数求出最大值即得.【详解】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，显然90AEB ∠= ，由点O 为线段,AB CD 的中点，得两个半圆步道及直道,CE DF 都关于过点O 垂直于AB 的直线对称，则11,22AC x BC x =-=+，又CE AB ⊥，则Rt ACE ∽Rt ECB V ，有2CE AC BC =⋅，即有214DF CE x ==-，因此步道长221()2π14π4f x x x x x =-+=-+，102x <<，求导得24()π14x f x x '=-+-，由()0f x '=，得2π2π4x =+，当2π02π4x <<+时，()0f x '>，函数()f x 递增，当2π122π4x <<+时，()0f x '<，函数()f x 递减，因此当2π2π4x =+时，222max 22πππ4()14()22π42π4f x +=-+=++，所以步道的最大长度为2π42+百米.故答案为：2π42+12．720##0.35【分析】根据空间向量的加法与数乘运算，可得点的位置并作图，利用三角形的等积变换可得底面的面积比，可得答案.【详解】由2PD PA PB =+u u u r u u r u u r ，2PD PA PB PA PA =+-+，()2PD PA PB PA -=- ，则2AD AB = ；由523PE PB PC =+uur uu r uu u r ，52333PE PB PC PB PB =+-+，()()53PE PB PC PB -=- ，则53BE BC = ；由23PF PC PA =-+ ，2333PF PC PA PC PC =-+-+，()()23PF PC PA PC -=- ，则23CF CA = ；显然四面体PABC 与四面体PDEF 共顶点且底面共面，则其高相同可设为h ，结合题意可作图如下：在底面连接FB，作图如下：由23CF CA = ，即23AC FC =，则23ABC FBC S AC S FC == ，易知13FAB FBC S S = ；由2AD AB = ，即12BD BA =，则12DBF ABF S BD S BA == ，易知16DBF FBC S S = ；由53BE BC = ，即25EC BC =，则25ECF BCF S EC S BC == ；由12BD BA =，35BE BC =，则1332510DEB ABC S S =⨯= ，易知3211035DBE FBC S S =⨯= ；7130ECF FDE DBF DBE FBC FBC BCF FBC S S S S S S S S =--= ，73730220FDE ABC S S =⨯= ；211731203DEF ABC hS V V hS == .故答案为：720.13．B【分析】由分层抽样先求出初中部和高中部应抽取的学生，再由组合数公式和分步计数原理即可得出答案.【详解】该校初中部和高中部分别有500和300名学生，所以初中部应抽取50054040258008⨯=⨯=名学生，高中部应抽取30034040158008⨯=⨯=名学生，所以不同的抽样结果的种数为2515500300C C ⋅.故选：B.14．A【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简函数，再利用三角函数的周期公式以及奇偶函数的定义即可求解.【详解】2212cos 2cos 1cos 2sin 2442y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()()()sin 2sin 2f x x x f x -=--==-，所以为奇函数，周期22T ππ==，所以此函数最小正周期为π的奇函数，故选：A.15．D【分析】分40x -≤≤和04x <≤两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.【详解】当40x -≤≤时，2200x ax -++>恒成立，即220ax x >-恒成立，当0x =时，上式成立；当40x -≤<，20a x x <-，明显函数20y x x=-在[)4,0-上单调递增，所以min 20144y ---==，所以1a <；当04x <≤时，2230ax x -+>恒成立，即232a x x >-恒成立，令11,4t x ∞⎡⎫=∈+⎪⎢⎣⎭，则223a t t >-在1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，又223y t t =-开口向下，对称轴为11,34t ∞⎡⎫=∈+⎪⎢⎣⎭，所以223y t t =-的最大值为211123333⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以13a >，综上：实数a 的取值范围是1,13⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.16．A【分析】根据题意，结合“T 数列”的定义，举出实例说明①②，即可得出答案.【详解】对于命题①，对于数列{}n a ，令21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，则11,12,2n n n S n -=⎧=⎨≥⎩，数列{}n S 为公比不为1的等比数列，当1n =时，11S =是数列{}n a 中的项，当2n ≥时，12n n S -=是数列{}n a 中的项，所以对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，故命题①正确；对于命题②，等差数列{}n a ，令1a d =-，则()()112n a a n d n d =+-=-，则()()()123222n n n d n d n a a n n S d ⎡⎤-+-+-⎣⎦===，因为21n -≥-且2Z n -∈，()2313912228n n n -⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭，且()3N*,Z 2n n n -∈∈，所以对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，所以对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”，故命题②正确；故选：A.17．(1)1a =(2)(0,2)【分析】（1）由奇函数的性质可得(1)(1)f f -=-，代入解方程即可得出答案；（2）由(2)f a =，可得2a =，则22221x x +>-，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.【详解】（1）由()f x 为奇函数，可知(1)(1)f f -=-，即(12)(2)a a -+=-+，解得1a =，当1a =时，212112(),()()212112x x xx x xf x f x f x --+++=-===----对一切非零实数x 恒成立，故1a =时，()y f x =为奇函数.（2）由(2)f a =，可得43aa +=，解得2a =，所以2224()201242121x x xx x f x a +->⇔>⇔<⇔<<--解得：02x <<，所以满足()f x a >的实数x 的取值范围是(0,2).18．(1)证明见解析(2)arctan【分析】（1）作出辅助线，由线面平行得到线线平行，结合点F 是BD 的中点，得到证明；（2）方法一：作出辅助线，得到PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成角，从而根据正切值得到AB =，证明出线面垂直，得到CGD ∠是二面角D AE C --的平面角，求出各边长，从而得到arctan CGD ∠=方法二：作出辅助线，得到PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成角，建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用法向量夹角余弦值得到二面角的大小.【详解】（1）连接BD ，它与AC 交于点F ，连接EF ，四边形ABCD 为矩形，F ∴为BD 的中点，//PB 平面AEC ，平面PBD 经过PB 且与平面AEC 交于EF ，//PB EF ∴，又点F 是BD 的中点，∴点E 是棱PD 的中点.（2）方法一：∵PA ⊥平面ABCD ，,,AC AD CD ⊂平面ABCD ，,,PA AC PA AD PA CD ∴⊥⊥⊥且PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成的角，故1tan 3PAPCA AC ∠===，解得AB =.四边形ABCD 为矩形，AD CD ∴⊥，又PA CD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两相交直线，CD \^平面PAD .在平面PAD 内作DG AE ⊥，垂足为G ，连接GF ，则CG AE ⊥，CGD ∴∠是二面角D AE C --的平面角.在直角三角形PAD 中，2,PA AD == E 是PD 的中点，π6EAD ADE ∴∠=∠=，且πsin 6DG AD ==CD ⊥ 平面,PAD DG ⊂平面PAD ，CD DG ∴⊥，故tanDC CGD DG ∠===，所以arctan CGD ∠=，故二面角D AE C --的大小为arctan 方法二：∵PA ⊥平面ABCD ，,,AC AD CD ⊂平面ABCD ，,,PA AC PA AD PA CD ∴⊥⊥⊥且PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成的角，又 四边形ABCD 为矩形，AB AD ∴⊥，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，设1,(,,1)AB t n x y ==是平面AEC 的一个法向量，二面角D AE C --的大小为θ，由1tan 3PA PCA AC ∠==，可得t =则AC AE ==，故()()11(,,1)20(,,1)0,10n AC x y n AE x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，解得6x =且3y =，所以1n ⎫=⎪⎝⎭ ，又2(1,0,0)n =是平面AED 的一个法向量，且θ为锐角，故12121cos 3n n n n θ⋅==⋅ ，可得1arccos 3θ=.所以二面角D AE C --的大小为1arccos 3.19．(1)分布列见解析，39(2)36%，98:27【分析】（1）依题意，X 的所有可能取值为20,50,40,70,100，利用独立事件的概率乘法公式求解相应的概率，进而得到X 的分布，再结合期望公式求解即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式求解.【详解】（1）随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为534750%200+=，21(100)0.20.022P X ==⨯=，121(70)C 0.20.80.162P X ⨯==⨯⨯=，1(50)0.20.12P X ==⨯=，21(40)0.80.322P X ==⨯=，1(20)0.80.42P X ==⨯=，所以X 的分布为X20405070100P0.40.320.10.160.02()1000.02700.16500.1400.32200.439E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即X 的数学期望为39；（2）设“从该社区成年市区随机抽取1人，此人年龄在60岁以下”为事件A ，“从该社区成年市民随机抽取1人，此人安全知识合格”为事件B ，则()70%,()30%P A P A ==，()56%,()50%P B A P B ≈≈∣，由()()()()(P B P A P BA P A PB A =⋅+⋅∣∣，可得50%70%56%30%()P BA ≈⋅+⋅∣，所以()36%PB A ≈∣，所求比值()()()()70%56%98()()()()30%36%27P A B P A P B A P B P A B P B P A P B A ⋅⋅==⋅≈=⋅⋅∣∣∣∣.估计60岁及以上人员的合格率约为36%，成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比约为98:27.20．(1)22154x y +=与221x y -=(2)(3)证明见解析【分析】（1）设12ΓΓ、的方程分别为22221(0)x ya b a b+=>>与222(0)x y c c -=>，将点M 的坐标代入2Γ的方程可求出c ，利用椭圆的定义可求出a 的值，从而可得b ，进而可得12ΓΓ、的方程；（2）分点P 在第四象限和第一象限时两种情况讨论求出点P 的坐标；（3）利用两点的斜率公式及点P 在2Γ上即可证明211k k =，设1PF 的方程为(1)y k x =+，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示,m n ，化简11m n+为常数，即可得出答案.【详解】（1）设12ΓΓ、的方程分别为22221(0)x y a b a b +=>>与222(0)x y c c -=>，由225433⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2c ，得1c =，故12,F F 的坐标分别为(1,0),(1,0)-，所以122a MF MF =+=+=2a b ===，故1Γ与2Γ的方程分别为22154x y +=与221x y -=.（2）当点P 在第四象限时，直线12,PF PF 的倾斜角都为钝角，不适合题意；当P 在第一象限时，由直线2PF 的倾斜角是直线1PF 的倾斜角的2倍，可知2121F F P F PF ∠=∠，故2122PF F F ==，设P 点坐标为(,)x y ，可知22(1)4x y -+=且221(0,0)x y x y -=>>，解得2,x y ==，故点P的坐标为，（3）设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，点P ，A ，B 的坐标分别为()()()001122,,,,,x y x y x y ，则22220000001222000011,11111y y y x x y k k x x x x --==⋅===+---，1PF 的方程为(1)y k x =+，代入22154x y +=可得()222458160k y ky k +--=，故21221645k y y k-=+，所以()2111121222111611145k m AF BF y y y y k k +⎛⎫=⋅⋅⋅=+= ⎪+⎝⎭，同理可得()222216145k n k +=+，又211k k =，故()212116145k n k +=+，故()()22112211454511161161k k m n k k +++=+++()()212191916161k k +==+，即916m n mn +=，所以存在s ，使得m n smn +=.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．(1)函数1()f x 的图象存在“自公切线”；函数2()f x 的图象不存在“自公切线”，理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）由直线1y =切sin y x =的图象于点π5π(,1),(,1)22判断1 ()sin f x x =，由导数确定意见性判断2 ()ln f x x =.（2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明112sin2x x =在π(0,)2上无解即得.（3）求出在点(,sin )s s 与(,sin )t t 处的切线方程，利用（2）的结论，结合诱导公式，及充要条件的证明方法推理即得.【详解】（1）显然直线1y =切sin y x =的图象于点π5π(,1),(,1)22，直线1y =是sin y x =的图象的一条“自公切线”，因此函数1()f x 的图象存在“自公切线”；对于221()ln ,()(0)f x x f x x x'==>是严格减函数，则2()f x 在不同点处的切线斜率不同，所以函数2()f x 的图象不存在“自公切线”.（2）由22221sin ()1tan 0cos cos xg x x x x '=-==≥恒成立，且仅当0x =时()0g x '=，则()y g x =是ππ(,)22-上的严格增函数，可得它至多有一个零点，令1ππ()sin ()cos ([,])22g x x x a x x =--∈-，由y =1()g x 的图象是连续曲线，且11ππ(()1022g g -=-<，因此1()g x 在ππ(,22-上存在零点，即在ππ(,)22-上1()()cos g x g x x =存在零点，所以()g x 有唯一零点；假设()g x 的图象存在“自公切线”，则存在12ππ,(,)22x x ∈-且12x x ≠，使得()g x 的图象在1x x =与2x x =处的切线重合，即2212tan tan x x =，有21x x =-，不妨设1π(0,2x ∈，切线211111:tan tan ()l y x x a x x x -+-=⋅-，222222:tan tan ()l y x x a x x x -+-=⋅-，有相同截距，即2211112222tan tan tan tan x x x x a x x x x a -+-+=-+-+，而21x x =-，则2211111111tan tan tan tan x x x x x x x x -+-=-+，即2111(1tan )tan x x x +=，则有111sin cos x x x =，即112sin2x x =，令()sin ,0πx x x x ϕ=-<<，()1cos 0x x ϕ'=->，即函数()ϕx 在(0,π)上单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，因此当π()0,x ∈时，sin x x >，即112sin2x x =在π(0,)2上无解，所以()g x 的图象不存在“自公切线”.（3）对给定的*n ∈N ，由（2）知()h x 有唯一零点，即n x 唯一确定，又()h x 在点(,sin )t t 处的切线方程为sin cos ()y t t x t -=-，即cos sin cos y x t t t t =+-，()h x 在点(,sin )s s 处的切线方程为cos sin cos y x s s s s =+-，若存在(2,)s π∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =图象的一对“同切点”，则()cos cos sin cos sin cos s t s t s s s t t t⎧=≠⎨-=-⎩，又ππ(,)22t ∈-，则cos 0t >，所以()cos cos tan tan s t s t s s t t⎧=≠⎨-=-⎩，cos cos s t =且tan tan s t =-，从而存在*n ∈N ，使得2πs n t =-，代入tan tan s s t t -=-，可得tan π0t t n -+=，则n x t =，即t 是数列{}n x 中的项；反之，若t 是数列{}n x 中的项，则存在*n ∈N ，使得n x t =，即tan π0t t n -+=，由（2）中的()g x 严格增，可知()h x 严格增，又(0)π0h n =>且()0h t =，可知0t <，令2πs n t =-，则(2π,)s ∈+∞且cos cos ,tan (tan )2(tan π)0s t s s t t t t n =---=--=，即tan tan s s t t -=-，可得sin cos sin cos s s s t t t -=-，所以存在(2π,)s ∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =的图象的一对“同切点”.所以存在(2π,)s ∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =图象的一对“同切点”的充要条件是“t 是数列{}n x 中的项”.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期中数学试卷试题数：18，总分：01.（填空题，0分）若实数x ，y 满足xy=1，则x 2+2y 2的最小值为___ ．2.（填空题，0分）已知直线a 、b 和平面α，若a || b ，b⊂α，则a 与α的关系是___ ．3.（填空题，0分）分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___ ．4.（填空题，0分）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为___ ．5.（填空题，0分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则异面直线A 1E 与C 1F 所成角的余弦值为___ ．6.（填空题，0分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为___ ．7.（填空题，0分）已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD ，且PA=8，则该四棱锥的体积是___ ．8.（填空题，0分）如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是___ ． 9.（填空题，0分）在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，则A 、B 两点的球面距离为___ ．10.（填空题，0分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是___ ．11.（单选题，0分）设A 1，A 2，…，A 2021是空间中给定的2021个不同的点，则使 MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋅⋅⋅+MA 2021⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ 成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.2020D.202112.（单选题，0分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V≈ 136 L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ 275 L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A. 227B. 258C. 15750D. 35511313.（单选题，0分）如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（ ）A. 34B. 45C. 35D. −3514.（单选题，0分）如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、AB 上的点，若∠NMC 1=90°，那么∠NMB 1（ ）A.大于90度B.小于90度C.等于90度D.不能确定15.（问答题，0分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC ̂ 长为 23 π， A1B1̂ 长为 π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧． （1）求三棱锥C-O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．16.（问答题，0分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]，且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2，存在x0∈[0，2-m]，使得f（x0）=f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．)，并说明理由；（1）已知函数f(x)=√1−(x−1)2，判断f（x）是否具有性质P(12（2）求证：任取m∈（0，2），函数f（x）=（x-1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）．17.（问答题，0分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB || DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1，求k的值（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为67（3）现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）18.（问答题，0分）正三棱柱P-A0A1A2中，∠A0PA1=α，侧棱PA0长为2，点B0是棱PA的中点，定义集合{B1，B2，…}如下：点B n是棱PA n上异于P的一点，使得B n-1B n=PB n-1（n≥1），我们约定：若n除以3的余数r，则A n=A1（例如：A3=A0、A2015=A2等等），求三棱锥P-B0B1B2的体积；（1）若α=π3（2）若{B1，B2，…}是一个只有两个元素的有限集，求α的范围；（3）若{B1，B2，…}是一个无限集，求各线段PB0，PB1，PB2，…的长度之和（用α表示）．．（0＜|q|＜1））（提示：无穷等比数列各项和公式为S=a11−q2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：18，总分：01.（填空题，0分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为___ ．【正确答案】：[1]2 √2，代入要求的式子，由基本不等式可得．【解析】：由已知可得y= 1x【解答】：解：∵xy=1，∴x2+2y2≥2 √2 xy=2 √2，4时取等号，当且仅当x2=2y2，即x=± √2故答案为：2 √2．【点评】：本题考查基本不等式，属基础题．2.（填空题，0分）已知直线a、b和平面α，若a || b，b⊂α，则a与α的关系是___ ．【正确答案】：[1]a || α或a⊂α【解析】：由题意画图说明a || α或a⊂α，再由反证法说明a与α不相交．【解答】：解：如图，由a || b，b⊂α，可得a || α或a⊂α，a与α不可能相交，若a与α相交，则a与b相交或异面，与a || b矛盾．故答案为：a || α或a⊂α．【点评】：本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．3.（填空题，0分）分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___ ．【正确答案】：[1]相交或异面【解析】：画出草图，当点D与点B重合时，两条直线相交，当点D与点B不重合时，两条直线异面，即可得到结论．【解答】：解：已知直线a与b是异面直线，直线AB与直线CD分别与两条直线a与直线b相交于点A，B，C，D，根据题意可得当点D与点B重合时，两条直线相交，当点D与点B不重合时，两条直线异面．故答案为：相交或异面【点评】：本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．4.（填空题，0分）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为___ ．【正确答案】：[1]6π【解析】：求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．【解答】：解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为：1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．【点评】：本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力．5.（填空题，0分）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、BB1的中点，则异面直线A1E与C1F所成角的余弦值为___ ．【正确答案】：[1] 25【解析】：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与C 1F 所成角的余弦值．【解答】：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A 1（2，0，2），E （2，1，0），C 1（0，2，2），F （2，2，1），A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，-2）， C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-1），设异面直线A 1E 与C 1F 所成角为θ，则异面直线A 1E 与C 1F 所成角的余弦值为： cosθ= |A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= 25 ． 故答案为： 25 ．【点评】：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力等数学核心素养，是基础题．6.（填空题，0分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为___ ．【正确答案】：[1] √63【解析】：建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，求出直线的方向向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】：解：设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A （1，0，0），C （0，1，0），B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），B （1，1，0），所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，1，0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，1)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，0，1) ，设平面AB 1C 的法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) ，则有 {n ⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {−x +y =0y +z =0 ， 令x=1，则y=1，z=-1，故 n ⃗ =(1，1，−1) ，所以 |cos ＜BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=2√2×√3= √63 ， 故BC 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为 √63 ．故答案为： √63 ．【点评】：本题考查了空间角的求解，主要考查了线面角的求解，对于空间角问题，经常选择建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行研究，属于中档题．7.（填空题，0分）已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD ，且PA=8，则该四棱锥的体积是___ ．【正确答案】：[1]96【解析】：四棱锥的高已知，先求底面面积，再利用棱锥的体积公式求体积．【解答】：解：底面是边长为6的正方形，故其底面积为36，又侧棱PA⊥底面ABCD ，且PA=8，故棱锥的高为8由棱锥体积公式得 V =13×36×8=96 ．故答案为96．【点评】：本题考点是锥体的体积公式，考查空间想象能力与应用公式求解的能力．8.（填空题，0分）如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是___ ． 【正确答案】：[1]（-4，3，2）【解析】：由 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），分别求出A 和C 1的坐标，由此能求出结果．【解答】：解：如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵ DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2），∴ AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，3，2) ．故答案为：（-4，3，2）．【点评】：本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．9.（填空题，0分）在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，则A 、B 两点的球面距离为___ ．【正确答案】：[1] 13πR 【解析】：由于A 、B 两地在同一纬度圈上，可以先计算出它们的经度差和45°的纬圆半径，再求出A 、B 两地对应的AB 弦长，即可求出A 、B 两点在球面距离．【解答】：解：设北纬45°圈的半径为r ，∵点A 在东经70°处，点B 在东经160°处，∴纬圆半径是r=Rcos45°= √22 R 经度差是90°，∴A 、B 两点在纬度圈上的劣弧长为 √24π R ，∵AB= √2r =R ，∴∠AOB= π3 ，∴A 、B 两点的球面距离为 13πR ，故答案为： 13πR ．【点评】：本题主要考查了球面距离及相关计算，考查空间想象力，属于基础题．10.（填空题，0分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0， √6+√2 ）【解析】：根据三棱锥的相对位置，将底面三角形的三边长分成两种情形： ① 当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a 此时a 取最大值， ② 当底面三角形的边长分别为a ，2，2，其他各边长为2，2，a ，有最小值，从而求得a 的取值范围．【解答】：解：根据三棱锥的相对位置，将底面三角形的三边长分成两种情形：① 当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a ，如图1，此时a 取最大值，可知AD= √3 ，SD= √a 2−1 ，由于SD ＜SA+AD ，则有 √a 2−1 ＜2+ √3 ，即 a 2＜8+4√3=(√6+√2)2 ，即有a ＜ √6+√2② 构当底面三角形的边长分别为a ，2，2，其他各边长为2，2，a ，如图所示，此时a 可以取最大为2 √2 任意正数；综上则a 的取值范围是（0， √6+√2 ）；故答案为：（0， √6+√2 ）．【点评】：本小题主要考查棱锥的结构特征、解三角形等基础知识，考查空间想像能力，分类讨论思想，属于基础题．11.（单选题，0分）设A 1，A 2，…，A 2021是空间中给定的2021个不同的点，则使 MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋅⋅⋅+MA 2021⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ 成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.2020D.2021【正确答案】：B【解析】：可设出A 1，A 2，•••，A 2021及M 点的坐标，根据题意可求出M 点的坐标，有几组M 点的坐标，就有几个满足条件的点M ．【解答】：解：设A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A 2021（x 2021，y 2021），M （a ，b ），则： （x 1-a ，y 1-b ）+（x 2-a ，y 2-b ）+…+（x 2021-a ，y 2021-b ）=（0，0）， ∴x 1+x 2+•••+x 2021-2021a=0，y 1+y 2+•••+y 2021-2021b=0， ∴a= 12021 （x 1+x 2+•••+x 2021），b= 12021 （y 1+y 2+•••+y 2021）， ∴满足条件的点M 的个数为1个． 故选：B ．【点评】：本题考查通过坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法运算，属于中档题．12.（单选题，0分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V≈ 136L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ 275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A. 227 B. 258 C. 15750 D.355113 【正确答案】：B【解析】：根据近似公式V≈ 275 L 2h ，建立方程，即可求得结论．【解答】：解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则L=2πr ， ∴ 13πr 2ℎ = 275 （2πr ）2h ， ∴π= 258 ． 故选：B ．【点评】：本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．13.（单选题，0分）如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（）A. 34B. 45C. 35D. −35【正确答案】：C【解析】：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线与轴所成角为θ，求出圆锥的高，利用体积相等，求出2θ的余弦值．【解答】：解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线与轴所成角为θ，则tanθ= rℎ，所以圆锥的高为h= rtanθ；所以圆锥的体积为V1= 13πr2•h= 13πr3• 1tanθ，半球的体积为V2= 23πr3，因为V1=V2，即13πr3• 1tanθ= 23πr3，解得tanθ= 12，所以cos2θ=cos2θ-sin2θ= cos2θ−sin2θsin2θ+cos2θ = 1−tan2θ1+tan2θ= 1−141+14= 35，即圆锥的轴截面顶角的余弦值是35．故选：C．【点评】：本题考查了旋转体的体积计算问题，也考查运算求解能力，是基础题．14.（单选题，0分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、AB上的点，若∠NMC1=90°，那么∠NMB1（）A.大于90度B.小于90度C.等于90度D.不能确定【正确答案】：C【解析】：由B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，得MN⊥B 1C 1，由∠NMC 1=90°，得MN⊥MC 1，从而MN⊥平面MB 1C 1，由此能求出∠NMB 1的大小．【解答】：解：∵正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、AB 上的点， ∴MN 、MB 1⊂平面ABB 1A 1， ∵B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∴MN⊥B 1C 1， ∵∠NMC 1=90°，∴MN⊥MC 1，∵MC 1∩B 1C 1=C 1，MC 1、B 1C 1⊂平面MB 1C 1， ∴MN⊥平面MB 1C 1，∵MB 1⊂平面MB 1C 1，∴MN⊥MB 1， ∴∠NMB 1=90°． 故选：C ．【点评】：本题考查的角大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力等数学核心素养，是基础题．15.（问答题，0分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC ̂ 长为 23 π， A1B1̂ 长为 π3 ，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧． （1）求三棱锥C-O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）连结O1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而S△O1A1B1 = √34，由此能求出三棱锥C-O1A1B1的体积．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1 || AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．【解答】：解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1= π3，∴△O1A1B1为正三角形，∴ S△O1A1B1 = √34，V C−O1A1B1 = 13×OO1×S△O1A1B1= √312．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1 || AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1= π3，∠AOC=2π3，∴∠BOC= π3，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=1，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．【点评】：本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16.（问答题，0分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]，且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2，存在x0∈[0，2-m]，使得f（x0）=f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．（1）已知函数f(x)=√1−(x−1)2，判断f（x）是否具有性质P(12)，并说明理由；（2）求证：任取m∈（0，2），函数f（x）=（x-1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）．【正确答案】：【解析】：（1）根据新定义可知m= 12，即f（x0）=f（x0+ 12），代入求x0即可进行判断；（2）根据条件验证f（x0）=f（x0+m）时m的取值范围即可；【解答】：解：（1）当m= 12时，设x0∈[0，32]，令f（x0）=f（x0+ 12），则1-（x0-1）2=1-（x0+ 12-1）2，解得x0= 34∈[0，32]，故f（x）具有性质P（12）；（2）证明：任取x0∈[0，2-m]，令f（x0）=f（x0+m），则（x0-1）2=（x0+m-1）2，因为m≠0，解得x0=- m2 +1，又0＜m＜2，所以0＜- m2+1＜1，当0＜m＜2，x0=- m2 +1时，（2-m）-x0=（2-m）-（- m2+1）=1-=- m2+1＞0，即0＜- m2+1＜2-m，即任取实数m∈（0，2），f（x）都具有性质P（m）．【点评】：本题是新定义问题，利用函数基本性质及函数与方程的关系是关键，属于中当题17.（问答题，0分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB || DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为67，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）【正确答案】：【解析】：（1）取DC 得中点E ，连接BE ，可证明四边形ABED 是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD ，即CD⊥AD ，又侧棱AA 1⊥底面ABCD ，可得AA 1⊥DC ，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD 1A 1，BCC 1B 1，上或下面ABCD ，A 1B 1C 1D 1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f （k ）．【解答】：（1）证明：取DC 的中点E ，连接BE ，∵AB || ED ，AB=ED=3k ， ∴四边形ABED 是平行四边形，∴BE || AD ，且BE=AD=4k ，∴BE 2+EC 2=（4k ）2+（3k ）2=（5k ）2=BC 2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD ，又∵BE || AD ，∴CD⊥AD ．∵侧棱AA 1⊥底面ABCD ，∴AA 1⊥CD ， ∵AA 1∩AD=A ，∴CD⊥平面ADD 1A 1．（2）解：以D 为坐标原点， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A （4k ，0，0），C （0，6k ，0），B 1（4k ，3k ，1），A 1（4k ，0，1）． ∴ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4k ，6k ，0) ， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，3k ，1) ， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1) ．设平面AB 1C 的一个法向量为 n ⃗ =（x ，y ，z ），则 {n ⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4kx +6ky =0n ⃗ •AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3ky +z =0 ，取y=2，则z=-6k ，x=3．∴ n ⃗ =(3，2，−6k) ．设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则 sinθ=|cos ＜AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞| = |AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |n ⃗ |= √36k 2+13= 67，解得k=1，故所求k=1．（3）由题意可与左右平面ADD 1A 1，BCC 1B 1，上或下面ABCD ，A 1B 1C 1D 1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f （k ）= {72k 2+26k ，0＜k ≤51836k 2+36k ，k ＞518【点评】：本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．18.（问答题，0分）正三棱柱P-A0A1A2中，∠A0PA1=α，侧棱PA0长为2，点B0是棱PA的中点，定义集合{B1，B2，…}如下：点B n是棱PA n上异于P的一点，使得B n-1B n=PB n-1（n≥1），我们约定：若n除以3的余数r，则A n=A1（例如：A3=A0、A2015=A2等等），求三棱锥P-B0B1B2的体积；（1）若α=π3（2）若{B1，B2，…}是一个只有两个元素的有限集，求α的范围；（3）若{B1，B2，…}是一个无限集，求各线段PB0，PB1，PB2，…的长度之和（用α表示）．．（0＜|q|＜1））（提示：无穷等比数列各项和公式为S=a11−q【正确答案】：【解析】：由正三棱锥P-A0A1A2及B n-1B n=PB n-1（n≥1），可知数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列．时，三棱锥P-B0B1B2为正四面体，则可求其高、底面积，从而求出体积；（1）当α=π3（2）{B1，B2，...}是一个只有两个元素的有限集等价于PB2≤PA2=2，且PB3＞PA0=2，由等比数列可分别求出PB2和PB3，解不等式组，即可求出α的范围；（3）{B1，B2，…}是一个无限集且PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），可知数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列，结合无穷等比数列的求和公式，即可得到结果．【解答】：解：因为点B n是棱PA n上异于P的一点，且B n-1B n=PB n-1（n≥1），所以△PB n-1B n是等腰三角形，且B n-1B n，PB n-1是两腰，又正三棱锥P-A0A1A2中，∠A0PA1=α，所以∠A0PA1=∠B1PB2=•••=∠B n-1PB n=α，PB n=2PB n-1•cos∠B n-1PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），则数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列，时，PB2=PB1=PB0=1，且∠B0PB1=∠B1PB2=∠B2PB0，（1）当α=π3则三棱锥P-B0B1B2为正四面体，其高h= √1−(1×√32×23)2=√63，底面积S△B0B1B2=√34×12=√34，所以其体积为V P−B0B1B2=13×√34×√63= √212；（2）{B1，B2，...}是一个只有两个元素的有限集，∴B2∈PA2，B3∉PA0，即{PB2≤PA2=2 PB3＞PA0=2，由PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），得PB2=（2cosα）2=4cos2α，PB3=（2cosα）3=8cos3α，∴由{4cos2α≤28cos3α＞2解得（12）23＜cosα≤（12）12，∴α∈[arccos（12）12，arccos（12）23）；（3）{B1，B2，…}是一个无限集，且PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），则数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列，∴PB0+PB1+…+PB n+…= 11−2cosα．【点评】：本题的关键是发现△PB n-1B n是等腰三角形，且B n-1B n，PB n-1是两腰，从而得到PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），则可知数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列．所以本题重点考察等比数列的性质及求和公式，属于中档题型．。

2020-2021学年上海市杨浦区八年级(上)期中数学试卷(附答案详解)1.若二次根式√2x−1有意义，则x≥1/2.2.同类二次根式是√18和√12.3.有理化因式为(x+1)/(√x+1)。

4.根为0和1/2.5.函数图象经过第三象限。

6.m的取值范围为m>5/4.7.另一个根为1-k。

8.a的取值范围为a<1/2.9.x2−x−1=(x+1/2−√5/2)(x+1/2+√5/2)。

10.√(x+1)2=|x+1|。

11.解集为x>1/3.12.x=3/2，x=-√3/2.13.x=2n-4.14.4x2+5xx+x2=4.15.A。

16.A。

17.xx2+xx+x=0(其中a、b、c是常数)。

在图中，点A和点C在y轴的正半轴上，点B在y轴的负半轴上，点D在x轴上，且BD=2AB。

根据平行线截切定理，可得AC//BD，且AC=2AB。

所以△xxx与△xxx的面积之和为(1/2)AC×OD+(1/2)AB×BD=5/2.所以k=5/2-1=3/2.2x√x+6√2x．解析】化简式子，可以先将24分解为2*2*2*3，然后将2和3分别提出来，得到√24=2√6，√1/3=1/√3，√48=4√3，带入原式得到：24×√1/3−2√6÷√48=2√6×1/√3−2√6/4√3=2√2−√2/2=√2故答案为√2．本题考查了根式的化简，需要掌握分解质因数和根式的基本化简方法．3.【答案】2x2−4x+1=0，解得：x1=1，x2=1/2．解析】用配方法解方程，将2x2−4x−1=0化为(2x−1)2=2，得到2x−1=±√2，解得：x1=1，x2=1/2．故答案为2x2−4x+1=0，解得：x1=1，x2=1/2．本题考查了一元二次方程的解法之一：配方法．4.【答案】m=2，方程的根为x=-1/2，-1．解析】根据判别式的值为1，得到(x−1)2−4x=1，化简得到x2−6x+1=0，解得：x=3±2√2，由于方程有两个根，根据XXX定理得到：x1x2=x/(x+1)=-1，代入可得到：x=2，解得：x1=-1/2，x2=-1．故答案为m=2，方程的根为x=-1/2，-1．本题考查了一元二次方程的解法之一：XXX定理．5.【答案】(1) 反比例函数的解析式为y=k/x，OB的正比例函数解析式为y=kx；(2) BC的长为2√2．解析】(1) 由于x(8,1)与x(0,0)在直线y=x上，所以x的坐标为(1,8)，根据反比例函数的性质可得到：x=8，反比例函数的解析式为y=8/x，由于直线OB与y轴垂直且经过点(4,x)，所以OB的解析式为y=kx，代入可得到：k=2m，故OB的正比例函数解析式为y=2mx；(2) 由于△xxx∽△xxx，所以BC/AB=BO/OA，代入可得到：BC/4=1/8，故BC的长为2√2．故答案为(1) 反比例函数的解析式为y=k/x，OB的正比例函数解析式为y=kx；(2) BC的长为2√2．本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，以及相似三角形的性质．6.【答案】(1) 二次函数的解析式为y=2x2-5x+3；(2) 函数的最小值为2/3，最大值为11/3．解析】(1) 由于函数在x=1处取得最小值，所以可列出方程组：2a-b+c=1，a+b+c=3，a-b+c=1，解得：a=2，b=5，c=3，故函数的解析式为y=2x2-5x+3；(2) 由于函数的开口向上，所以函数的最小值为顶点的纵坐标，最大值为x趋近于正无穷时的值，代入可得到：最小值为2/3，最大值为11/3．故答案为(1) 二次函数的解析式为y=2x2-5x+3；(2) 函数的最小值为2/3，最大值为11/3．本题考查了二次函数的性质，以及求解二次函数的过程．7.【答案】(1) 该函数为奇函数；(2) 该函数在x=0处有铅直渐近线，无水平渐近线．解析】(1) 将函数代入可得到f(-x)=-(-x)3+4(-x)=-x3-4x=-f(x)，故该函数为奇函数；(2) 当x趋近于正无穷或负无穷时，f(x)趋近于正无穷或负无穷，故无水平渐近线；当x趋近于0时，f(x)趋近于0，而f(x)在x=0处不连续，故有铅直渐近线x=0．故答案为(1) 该函数为奇函数；(2) 该函数在x=0处有铅直渐近线，无水平渐近线．本题考查了奇函数和渐近线的概念，需要掌握函数的基本性质和极限的求解方法．8.【答案】(1) 函数的定义域为x≥0，值域为y≥0；(2) 函数在x=0处无极限，x趋近于正无穷时趋近于0，有铅直渐近线x=0．解析】(1) 由于x≥0时，根号内的部分非负，所以函数的定义域为x≥0，而y=√x+1，所以函数的值域为y≥0；(2) 当x 趋近于正无穷时，根号内的部分趋近于正无穷，所以函数趋近于0，故有铅直渐近线x=0；而当x趋近于0时，根号内的部分趋近于1，所以函数在x=0处无极限．故答案为(1) 函数的定义域为x≥0，值域为y≥0；(2) 函数在x=0处无极限，x趋近于正无穷时趋近于0，有铅直渐近线x=0．本题考查了函数的定义域和值域，以及渐近线和极限的概念．9.【答案】(1) 函数的定义域为x≠-1，值域为y≠0；(2) 函数在x=-1处有一个垂直渐近线，无水平渐近线．解析】(1) 由于分母不能为0，所以函数的定义域为x≠-1，而当x趋近于-1时，分子趋近于0，分母趋近于-2，所以函数的值域为y≠0；(2) 当x趋近于-1时，函数趋近于正无穷或负无穷，故有垂直渐近线x=-1；而当x趋近于正无穷或负无穷时，函数趋近于0，故无水平渐近线．故答案为(1) 函数的定义域为x≠-1，值域为y≠0；(2) 函数在x=-1处有一个垂直渐近线，无水平渐近线．本题考查了函数的定义域和值域，以及渐近线的概念．10.【答案】(1) 函数的定义域为x≠0，值域为y≠0；(2) 函数在x=0处有一个水平渐近线，无垂直渐近线．解析】(1) 由于分母不能为0，所以函数的定义域为x≠0，而当x趋近于0时，分子趋近于1，分母趋近于0，所以函数的值域为y≠0；(2) 当x趋近于正无穷或负无穷时，函数趋近于0，故无垂直渐近线；而当x趋近于0时，函数趋近于正无穷或负无穷，故有水平渐近线y=0．故答案为(1) 函数的定义域为x≠0，值域为y≠0；(2) 函数在x=0处有一个水平渐近线，无垂直渐近线．本题考查了函数的定义域和值域，以及渐近线的概念．1.根据二次根式的性质，可以将√18化简为3√2，√12化简为2√3，因此与√12同类的二次根式是√3/4.本题考查了二次根式的化简和同类二次根式的定义。

2022-2023学年上海黄浦区七年级上册期末数学试卷及答案一．选择题（本大题共6小题，每题3分，满分18分）1.，73，3.14，2π-）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】【分析】根据有理数的定义，有理数包括整数和分数，分数为有限小数或无限循环小数，找出其中的有理数即可．【详解】解：根据题意，有理数有：73，3.143=，共3个；故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的定义，解题的关键是熟记有理数与无理数的定义．2. 下列运算中一定正确的是（ ）=B. 5=C. 11--a=【答案】C 【解析】【分析】根据二次根式的加减运算，二次根式的性质，进行计算即可．【详解】A≠B 、55=-≠，故该选项运算错误，不符合题意；C、11--，故该选项运算正确，符合题意；D 、a a =≠，故该选项运算错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，次根式的性质，熟练掌握以上运算法则和性质是解题的关键．3. 现有2cm ，3cm ，5cm ，6cm 长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（ ）A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可．【详解】四条木棒的所有组合：2，3，5和2，3，6和3，5，6和2，5，6，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，只有3，5，6和2，5，6能组成三角形．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．4. 如图，下列说法中错误的是（ ）A. ,GBD HCE ∠∠是同位角B. ,ABD ACH ∠∠是同位角C. ,FBC ACE ∠∠是内错角D. ,GBC BCE ∠∠是同旁内角【答案】A 【解析】【分析】根据同位角、同旁内角、内错角的定义结合图形判断．【详解】解：A 、∠GBD 和∠HCE 不符合同位角的定义，故本选项合题意； B 、∠ABD 和∠ACH 是同位角，故本选项不合题意；C 、∠FBC 和∠ACE 是内错角，故本选项不合题意；D 、∠GBC 和∠BCE 是同旁内角，故本选项不合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了同位角、同旁内角、内错角的定义，属于基础题，正确且熟练掌握同位角、同旁内角、内错角的定义和形状，是解题的关键．5. 在直角坐标平面内，A 是第二象限内的一点，如果它到x 轴、y 轴的距离分别是3和4，那么点A 的坐标是（ ）A. ()3,4-B. ()3,4-C. ()4,3- D. ()4,3-【答案】D 【解析】【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x 轴的距离等于纵坐标的长度，到y 轴的距离等于横坐标的长度解答．【详解】解：∵点A 在第二象限，到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，∴点A 的横坐标是4-，纵坐标是3，∴点A 的坐标为()4,3-．故选：D ．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x 轴的距离等于纵坐标的长度，到y 轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．6. 如图，点P 是AB 上任一点，∠ABC=∠ABD,从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出ΔAPC ≌ΔAPD.的是( )A. BC=BD.B. ∠ACB=∠ADB.C. ∠CAB=∠DABD. AC=AD.【答案】D 【解析】【分析】根据题意，∠ABC=∠ABD ，AB 是公共边，结合选项，逐个验证得出正确结果．【详解】解：A 、补充BC=BD ，先证出△ABC ≌△ABD ，后能推出△APC ≌△APD ，故此选项错误；B 、补充∠ACB=∠ADB ，先证出△ABC ≌△ABD ，后能推出△APC ≌△APD ，故此选项错误；C 、补充∠CAB=∠DAB ，先证出△ABC ≌△ABD ，后能推出△APC ≌△APD ，故此选项错误；D 、补充AC=AD ，不能推出△APC ≌△APD ，故此选项正确.故选D.【点睛】本题考查三角形全等判定，三角形全等判定定理：有AAS ，SSS ，ASA ，SAS ．注意SSA 是不能证明三角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项．二．填空题（本大题共12小题，每题2分，满分24分）的7. 16的平方根是___________．【答案】4±【解析】【分析】根据平方根的定义即可求解．【详解】即：16的平方根是4±故填：4±【点睛】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义．8. 比较大小：--填“>”“<”或“=”)．【答案】<【解析】【分析】先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法比较大小即可．【详解】解：-=-=，∴<即-<-故答案为：<【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．9. 2022年上海常住人口约为24758900人，用科学记数法表示24758900并保留三位有效数字______．【答案】72.4810⨯【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法和有效数字的取舍解答即可【详解】解：根据题意，得724758900 2.4810=⨯；故答案为：72.4810⨯【点睛】此题考查了科学记数法和有效数字．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．10. 计算：21332183⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭______．【答案】2【解析】【分析】根据幂乘方逆运算法则和积的乘方逆运算法则求解即可．【详解】解：12112111133333333224418181818823399⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=⨯=⨯=⨯==⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；故答案为：2．【点睛】本题考查了分数指数幂、幂的乘方和积的乘方，熟练掌握幂的运算性质是解题关键．11. 如果点()1,23+-P m m 在x 轴上，则点P 的坐标是______．【答案】5(,0)2【解析】【分析】根据x 轴上点的横坐标为0列方程求出m 的值，再求解即可．【详解】解：∵()1,23+-P m m 在x 轴上，∴230m -=，解得：32m =，则512m +=，∴点P 的坐标是5(,0)2，故答案为：5(,0)2．【点睛】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，熟记在x 轴上的点，纵坐标等于0；在y 轴上的点，横坐标等于0是解题的关键．12.直角坐标平面内点()向左平移3个单位得到的点的坐标为______．【答案】(3,1)【解析】【分析】坐标系中点的平移遵循：上加下减，左减右加，据此即可解答．的【详解】解：点()向左平移3个单位得到的点的坐标为(3,1)-．故答案为：(3,1)-．【点睛】本题考查了坐标系中点的平移，熟知平移的规律是解题关键．13. 如图，在BDE △中，90E ∠=︒，AB CD ∥，20ABE ∠=︒，则EDC ∠=__________．【答案】70︒【解析】【分析】过E 作EF ∥AB ，由平行线的性质，几何图形中角的和差关系进行计算，即可得到答案.详解】解：如图，过E 作EF ∥AB ，，∴AB CD ∥∥EF ，∴20BEF ABE ∠=∠=︒，EDC FED ∠=∠，∵90BEF FED ∠+∠=︒，∴902070EDC ∠=︒-︒=︒；故答案为：70°.【点睛】本题考查了平行线的性质，几何图形中角的和差关系，解题的关键是熟练掌握平行线的性质求角的度数.14. 如图，将一副三角板如图摆放（一块三角板的直角边与另一块三角板的斜边在同一直线上），那么α∠=______°．【【答案】75【解析】【分析】由题意知45EFB ∠=︒，60ABC ∠=︒，再利用三角形的内角和可得答案．【详解】解：由题意知：45EFB ∠=︒，60ABC ∠=︒，18075FCB EFB ABC ∴∠=︒-∠-∠=︒75α∴∠=︒，故答案为：75．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和为180︒，熟练掌握三角形的内角和性质是解题的关键，难度适中．15. 如图，在ABC 中，AD BC ⊥，CEAB ⊥，垂足分别是D 、E ，AD 、CE 交于点H ，要使得AEH △CEB ≌ ，可添加一个适当的条件：______．【答案】EH EB =（答案不唯一）【解析】【分析】由垂直的定义和余角的性质可得90AEH BEC ∠=∠=︒，EAH BCE ∠=∠，故只需要添加一个边的条件即可．【详解】解：∵AD BC ⊥，CEAB ⊥，∴90,90,90AEH BEC BAD B ECB B ∠=∠=︒∠+∠=︒∠+∠=︒，∴EAH BCE ∠=∠，∴要使得AEH △CEB ≌ ，根据“角角边”可添加EH EB =（答案不唯一）；故答案为：EH EB =（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题关键．16. 已知30∠=AOB °，点P 在AOB ∠的内部，点1P 与点P 关于OB 对称，点2P 与点P 关于OA 对称，若5OP =，则12=PP ______．【答案】5【解析】【分析】连接OP ，根据轴对称的性质可得OP 1=OP=OP 2，∠BOP=∠BOP 1，∠AOP=∠AOP 2，然后求出∠P 1OP 2=2∠AOB=60°，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定．【详解】解：如图，连接OP ，∵P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，∴OP 1=OP=OP 2，∠BOP=∠BOP 1，∠AOP=∠AOP 2，∴OP 1=OP 2，∠P 1OP 2=∠BOP+∠BOP 1+∠AOP+∠AOP 2=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB ，∵∠AOB=30°，∴∠P 1OP 2=60°，∴△P 1OP 2是等边三角形．∴P 1P 2 =OP 2=OP=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握轴对称的性质求出△P 1OP 2的两边相等且有一个角是60°是解题的关键，作出图形更形象直观．17. 如图，在ABC 中，90C ∠=︒，4AC BC ==，AB =，AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥于点E ，则DEB 的周长是______．【答案】【解析】【分析】由角平分线的性质可得DC DE =，可证得()Rt Rt HL ACD AED ≌△△，结合DEB C DE DB BE =++△，即可求解．【详解】解：∵AD 平分CAB ∠，90C ∠=︒，DE AB ⊥于点E ，∴DC DE =，∵AD AD =，∴()Rt Rt HL ACD AED ≌△△，∴AC AE =，∵DEB C DE DB BE DC DB BE BC BE =++=++=+△，又∵4AC BC ==，AB =∴DEB C AC BE AE BE AB =+=+==△故答案为：．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．18. 如图，已知ADC △的面积为4，AD 平分BAC ∠，且AD BD ⊥于点D ，那么ABC 的面积为__________．【答案】8【解析】【分析】延长BD 交AC 于点E ，则可知△ABE 为等腰三角形，则S △ABD =S △ADE ，S △BDC =S △CDE ，可得出S △ADC =12S △ABC ．即可求出答案.【详解】解：如图，延长BD 交AC 于点E ，∵AD 平分∠BAE ，AD ⊥BD ，∴∠BAD=∠EAD ，∠ADB=∠ADE ，在△ABD 和△AED 中，BAD EAD AD AD BDA EDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABD ≌△AED （ASA ），∴BD=DE ，∴S △ABD =S △ADE ，S △BDC =S △CDE ，∴S △ABD +S △BDC =S △ADE +S △CDE =S △ADC ，∴S △ADC =12S △ABC ，∴248ABC S ∆=⨯=；故答案为：8.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定和性质，由BD=DE 得到S △ABD =S △ADE ，S △BDC =S △CDE 是解题的关键．三．简答题（本大题共6小题，每题6分，满分36分）19.计算：21023272)--+-+．【答案】2-+【解析】【分析】先计算除法，算术平方根，负整数指数幂，零指数幂，然后进行加减运算即可．【详解】解：原式31=-+-2=-．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．20. 计算：(2．－1【解析】【分析】利用乘法分配律和完全平方公式进行运算，然后进行加减混合运算即可．【详解】解：(2-+＝6＋2－＋3－1【点睛】此题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式等知识，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．21. ．【答案】4【解析】【分析】将各根式化为同底数幂的形式，再利用同底数幂的乘除法法则计算．÷453362222=⨯÷22=4=．【点睛】此题考查了分数指数幂的计算，将各根式正确化为同底数幂的形式及正确掌握分数指数幂的计算法则是解题的关键．22. 阅读并填空：如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，D 是边AC 延长线上的一点，E 在边AB 上且联接DE 交BC 于O ，如果OE OD =，那么CD BE =，为什么？解：过点E 作EF AC 交BC 于F所以ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）D OEF ∠=∠（________）在OCD 与OFE △中()________COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE △≌△，（________）所以CD FE =（________）因为AB AC =（已知）所以ACB B =∠∠（________）所以EFB B ∠=∠（等量代换）所以BE FE =（________）所以CD BE=【答案】见解析【解析】【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE △≌△，写出证明过程和依据即可．【详解】解：过点E 作//EF AC 交BC 于F ，∴ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），∴D OEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等），在OCD 与OFE △中()()()COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩对顶角相等已知已证，∴OCD OFE △≌△，（ASA ）∴CD FE =（全等三角形对应边相等）∵AB AC =（已知）∴ACB B =∠∠（等边对等角）∴EFB B ∠=∠（等量代换）∴BE FE =（等角对等边）∴CD BE =；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.23. 如图，已知在ABC 中，45ABC ∠= ，AD 是ABC 的高，点E 在边AC 上，BE 与AD 交于点F ，且DF DC =，试说明BE AC ⊥．解：∵AD 是ABC 的高（已知）∴90ADB ADC ∠=∠= （垂直的意义）∵180∠+∠+∠= ABD BAD ADB ，45ABC ∠=∴______45∠=∠=ABD ∴BD AD =．在BDF V 和ADC △中（请继续完成以下说理过程）【答案】BAD ；见解析【解析】【分析】由AD 是ABC 的高可得45BAD ABD ∠=∠= ，进而可证BD AD =，再利用SAS 可证明BDF ADC ≌V V ，进而可得DBF CAD ∠=∠，结合BFD AFE ∠=∠，可得90∠=∠= AEF BDF ，即可证明BE AC ⊥．【详解】解：∵AD 是ABC 的高（已知）∴90∠=∠= ADC ADC （垂直的意义）∵180∠+∠+∠= ABD BAD ADB ，45ABC ∠= ∴45∠=∠=BAD ABD ∴BD AD =．在BDF V 和ADC △中BD AD BDF ADCDF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS BDF ADC ≌△△∴DBF CAD ∠=∠（全等三角形对应角相等）∵BFD AFE ∠=∠（对顶角相等）∴90∠=∠=AEF BDF ∴BE AC ⊥．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等角对等边，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．24. 如图，在直角坐标平面内，已知点()0,4A 、()2,3B --、()2,3C -，（1）点C 关于原点对称的点C '的坐标是______；（2）ABC '△的面积是______；（3）在x 轴负半轴上找一点D ，使''=DBC ABC S S △△，则点D 坐标为______．【答案】（1）()2,3C -（2）6 （3）()4,0D -【解析】【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特点进行求解即可；（2）根据三角形的面积公式可得答案；（3）根据面积相等列方程求解即可．【小问1详解】∵点C 的坐标为()2,3-，∴点C 关于原点对称的点C '的坐标为()2,3-．故答案为：()2,3-．【小问2详解】连接AB ，AC '，BC '，如图：则ABC '△的面积为16262⨯⨯=．故答案为：6．【小问3详解】设点D 的坐标为(),0a -，则1622DBC S a '=⨯⨯- ，即16622a =⨯⨯-，解得：4a =或0a =（舍去）则点D 坐标为()4,0-．故答案为：()4,0-．【点睛】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，借助网格求三角形的面积等，掌握三角形的面积公式是解题的关键．四．解答题（本大题共3小题，第25、26题7分，第27题8分，满分22分）25. 如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 分别在BC 、AC 的延长线上，AD AE =，30∠=︒CDE ．（1）如果设B x ∠=︒，用含x 的代数式来表示E ∠，并说明理由；（2）求BAD ∠的度数．【答案】（1）150E x ∠=︒-︒，理由见解析（2）60︒【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出ACB B x ∠=∠=︒，根据180DCE E CDE ∠+∠+∠=︒，30∠=︒CDE 即可求解；（2）根据三角形内角和定理得出1802BAC x ∠=-︒，根据AE AD =，可得150E ADE x ∠=∠=-︒，根据180EAD E ADE ∠+∠+∠=︒，可得2120EAD x ∠=-︒，根据60BAD BAC EAD ∠=∠+∠=︒，即可求解．【小问1详解】解：∵AB AC =，B x ∠=︒，∴ACB B x ∠=∠=︒，∴DCE ACB x ∠=∠=︒，∵180DCE E CDE ∠+∠+∠=︒，30∠=︒CDE ，∴150E x ∠=︒-︒，【小问2详解】∵180BAC B ACB ∠+∠+∠=︒，∴1802BAC x ∠=-︒，∵AE AD =，∴150E ADE x ∠=∠=-︒，∵180EAD E ADE ∠+∠+∠=︒，∴2120EAD x ∠=︒-︒，∴60BAD BAC EAD ∠=∠+∠=︒．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．26. 如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AB 上一点，且BD AD CD ==，过B 作BE CD ⊥，分别交AC 于点E 、交CD 于点F ．（1）求证：A EBC ∠=∠；（2）如果2AC BC =，请猜想BE 和BD 的数量关系，并证明你的猜想．【答案】（1）见解析 （2）BD BE =，证明见解析【解析】【分析】（1）由BE CD ⊥与90ACB ∠=︒得90ACD BCD ∠+∠=︒和90EBC BEC ∠+∠=︒可得ACD EBC ∠=∠，由AD CD =得DAC ACD ∠=∠，从而得证；（2）过D 作DG AC ⊥于G ，根据已知条件可证明CG BC =．再证明()ASA DCG EBC △≌△，即可得解．【小问1详解】∵BE CD⊥∴90BFC ∠=︒∴18090EBC BCF BFC ∠+∠=︒-∠=︒∵90ACB BCF ACD ∠=∠+∠=︒∴EBC ACD∠=∠∵AD CD=∴A ACD∠=∠∴A EBC ∠=∠；小问2详解】BD BE =，证明如下：过D 作DG AC ⊥于G∵,DA DC DG AC=⊥∴2AC CG=∵2AC BC=∴CG BC=∵90,90DGC ECB ∠∠=︒=︒∴DGC ECB∠=∠在DGC 和ECB 中DGC ECBCG BCDCG EBC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA DCG EBC △≌△【∴CD BE=∵CD BD=∴BD BE =．【点睛】此题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．27. 如图，在直角坐标平面内，已知点()4,3A -、()3,4B ，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为点D 、E ．（1）说明OA OB ⊥的理由；（2）求AOB 的面积（3）在x 轴上找到点P ，使BOP △是以OB 为腰的等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）见解析 （2）252（3）()6,0P 或()5,0或()5,0-【解析】【分析】（1）由题意易证ADO OEB ≌△△，可知A O D O B E ∠=∠，进而证明90BOE AOD ∠+∠=︒可得90AOB ∠=︒，即可证得结论；（2）利用梯形面积减去两个直角三角形面积即可求解；（3）分两种情况：①当以O 顶点，即5OB OP ==时，②当以B 顶点，即5BO BP ==时，分别进行讨论即可求解．【小问1详解】解：∵()4,3A -、()3,4B ，AD x ⊥轴，BE x ⊥轴，∴3AD OE ==，4==DO BE ，90ADO OEB ∠=∠=︒，则90BOE OBE ∠+∠=︒，的∴ADO OEB ≌△△，∴A O D O B E ∠=∠，则90BOE AOD ∠+∠=︒，∴90AOB ∠=︒，∴OA OB ⊥；【小问2详解】AOB 的面积()1125347342222=⨯+⨯-⨯⨯⨯=；【小问3详解】由勾股定理可得：5OB ==，①当以O 顶角顶点，即5OB OP ==时，此时点P 的坐标为()5,0或()5,0-；②当以B 为顶角顶点，即5BO BP ==时，由勾股定理可得：3EP ==，则6OP =，此时点P 的坐标为()6,0；综上，()6,0P 或()5,0或()5,0-．【点睛】本题考查图形与坐标，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．21。