2022-2023学年上海中学高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年上海市宝山区高二上学期期末数学试题一、填空题1．函数的导数__________.()sin f x x =()f x '=【答案】cos x【分析】利用导数运算求得正确答案.【详解】由于，()sin f x x =所以.()cos f x x'=故答案为：cos x2．已知一个等比数列的第5项是4，公比是2，它的第1项是__________.【答案】##140.25【分析】设数列为，首项为，化简即得解.{}n a 1a 54a =【详解】设数列为，首项为，则，{}n a 1a 54a =所以.411124,4a a ⨯=∴=所以第一项是.14故答案为：143．在的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）61x ⎫⎪⎭【答案】15【分析】利用二项展开式的通项公式计算可得.【详解】解：，令，解得，所以常数项为()6133122166(1)k k k k k k k T C x x C x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭3302k -=2k =()4122123615T C x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭故答案为：15.4．已知是独立事件，，则__________.A B ､()()0.3,0.6P A P B ==()P A B ⋂=【答案】0.18【分析】根据相互独立事件的概率计算公式，即可得到结果.【详解】因为是独立事件，且，A B ､()()0.3,0.6P A P B ==则()()()0.30.60.18P A B P A P B ⋂==⨯=故答案为:0.185．为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：kg ）：56､56､57､58､59､59､61､63､64､65､66､68､70､71､73､74､83.据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为________.【答案】70【分析】根据百分位数的求法求解即可.【详解】，170.7512.75⨯=数据从小到大第个数是，1370所以第75百分位数为70kg故答案为：706．电视台在电视剧开播前连续播放5个不同的广告，其中3个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有__________种.【答案】72【分析】不相邻的问题利用插空法求解即可.【详解】先将3个商业广告排好，有种，33A 再将2个公益广告插入个空中，有种，424A 所以不同的播放方式共有种.3234A A 72=故答案为：.727．若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则此圆锥的高为______.π664π【答案】4【分析】设圆锥的高和底面圆的半径，利用体积和线面角建立方程求解即可.【详解】设圆锥的高为，底面圆的半径为，因为圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，h r π664π所以，解得.21π64π3r r h ⎧=⎪⎨=⎪⎩4h =故答案为：48．已知关于的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为(12)nx -x _________.【答案】1【分析】试题分析：因为只有第项的二项式系数最大，所以 ，43n =因此展开式的系数之和为()612 1.-=【解析】二项式系数性质9．某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，已知男生比女生少抽了10人，则该年级的女生人数是__________.【答案】360【分析】先求分层抽样比例，然后设元，根据题意列方程求解.【详解】抽取比例为，50160012=设该年级的女生人数是 ，则男生人数为，x 600x -因为男生比女生少抽了10人，所以，11(600)101212x x =-+解得 ，360x =故答案为：360.10．某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生相邻且农场主站在中间的概率等于__________（用数字作答）.【答案】4105【分析】根据题意，由排列数公式计算“农场主与6名同学站成一排”和“2名女生相邻且农场主站在中间”的站法数目，再由古典概型公式计算即可．【详解】根据题意，农场主与6名同学站成一排，有种不同的站法，77A 5040=2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；第二步：相邻女生排在一起有种；22A 第三步：4名男生排在剩下的位置有种.44A 因此2名女生相邻且农场主站在中间共有种站法，24244A A 192=则2名女生相邻且农场主站在中间的概率，19245040105P ==故答案为：．410511．已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，P 2212516x y +=M N ､22(3)3x y ++=22(3)1x y -+=则的最大值为__________.PM PN +【答案】1111【分析】设圆和圆的圆心分别为，则根据椭圆的性质可知22(3)2x y ++=22(3)1x y -+=,A B 为定值，再根据三角形两边之和大于第三边可知的最大值为与两圆半PA PB +PM PN +PA PB +径的和可得答案.【详解】由题设圆和圆的圆心分别为，22(3)3x y ++=22(3)1x y -+=,A B半径分别为，则椭圆的焦点为，121r r ==2212516x y +=()(),3,03,0A B -，2510+=⨯=PA PB 又，，故，1PA r PM +≥2PB r PN +≥12PM PN PA PB r r +≤+++当且仅当分别在的延长线上时取等号，,M N ,PA PB此时最大值为.1211+++=PA PB r r故答案为：1112．如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边：接着画正五边形，对这个正五边形不画第五边：接着画正六边形，…，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线，称为比尔折线.设第n 条线段与第n +1条线段所夹的角为，则n θ()()*N ,0,πn n θ∈∈__________.2020θ=【答案】174.46【分析】根据正三角形、正方形、正五边形的角的度数规律，类比出多边形个角的度数表达n n 1-式，再计算出2022条线段所在的正多边形的边数，进一步求出夹角.【详解】第一条线段与第二条线段所夹的角，由此类推， ，，160θ= 290θ= 390θ= ，，，，，，，4108θ= 5108θ= 6108θ= 7120θ= 8120θ= 9120θ= 9120θ= ⋯⋯观察规律，三角形会有个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，1正方形有个，正五边形有个，正六边形有个， 290 3108 4120⋯⋯多边形有个，n ∴2n -()1802n n - 又观察图形得：正三角形画条线段，正方形画条线段，正五边形画条线段，正六边形画条2234线段，，正边形画条线段；⋯⋯n 2n -画到正多边形时，画线段的条数为，∴n ()()32234222n n m n -=+++++-=+ 当时，；当时，，65n =2017m =66n =2081m =第条线段应在正边形中，∴202265202218063174.4665θ⨯∴=≈ 故答案为：.174.46 二、单选题13．若，则（ ）277C C x =x =A ．2B ．5C ．2或5D ．7【答案】C【分析】由组合数的性质，即可求解.【详解】由组合数性质，可知或.C m n m n n C -=2x =5x =故选：C14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（ ）A ．36B ．64C ．72D ．81【答案】A【分析】通过排列组合，先分组，再分配即可.【详解】4名同学分成1，1，2三组：11243222C C C 6A =三组去三个不同的小区：33A 6=所以全部的种类数：；6636⨯=故选：A.15．已知某射击爱好者打靶成绩（单位：环）的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的标准差为（精确到0.01）（）A ．0.35B ．0.59C ．0.40D ．0.63【答案】B 【分析】根据茎叶图求平均值，再由标准差与均值的关系求x s 【详解】由茎叶图可得数据的平均数为，5.7 5.9 6.1 6.2 6.7 6.77.27.5 6.58x +++++++==则数据的标准差为s ===很接近，且小于0.6，故只有B 选项满足，120.620==0.6故选：B16．已知直线与圆有公共点，且公共点的横､纵坐标均为整数，则满足:1x y l a b +=22100x y +=的有（ ）ab ≥l A ．40条B ．46条C ．52条D ．54条【答案】A【分析】通过分析得出圆上的整数点共有12个，由直线为截距式，先排除掉关于原点22100x y +=对称的两点所连直线，关于x 轴对称的两点所连直线（不含），0x =关于y 轴对称的两点所连直线（不含），再结合变形为，利用0y=ab≥几何意义得到原点到直线的距离小于等于:1x y l a b +=利用垂径定理，弦长越小，原点到直线的距离越大，故先求解最小弦长，进而求出原点到此类直线的距离，与线的距离，与.【详解】圆上的整数点共有12个，分别为22100x y +=，()()()()()()6,8,6,8,8,6,8,6,10,0,0,10±-±±-±±±如图所示，由题意可知：直线的横、纵截距都不为0，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，所以关于原点对称的两点所连直线不合题意，有6条，舍去，关于x 轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去，0x =关于y 轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去0y =其中变形为，ab ≥≤几何意义为原点到直线的距离小于等于:1x y l a b +=这12个点所连的直线中，除去以上不合要求的直线外，根据弦长从小到大分为类，以下为具体情况：的直线有4条，=，不合要求，舍去=>，弦长为的直线有8条，==>8条，=，满足要去，=④其他情况弦长均大于由组合知识可知：满足要求的直线条数为：212C 6444840-----=故选：A【点睛】对于比较复杂一些的排列组合知识，直接求解比较困难的时候，可以先求解出总的个数，再减去不合要求的个数，得到答案.三、解答题17．已知函数.()31423f x x x =-+(1)求函数在处的切线方程；()f x 3x =(2)求函数在上的最大值与最小值.()f x []0,3【答案】(1)516y x =-(2)最大值为2，最小值为103-【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）求导分析函数在的单调性与极值再求最值即可[0,3]x ∈【详解】（1）因为，所以.则所求切线的斜率为，31()423f x x x =-+()24f x x '=-2(3)345f '=-=且，()391221f =-+=-故所求切线方程为，即；()15(3)y x --=-516y x =-（2）因为，，所以.31()423f x x x =-+[0,3]x ∈()240f x x '=-=令，得（舍去），()240f x x '=-=2x =2x =-当，，函数单调递减，[]0,2x ∈()0f x '≤()f x 当，，函数单调递增，[]2,3x ∈()0f x '≥()f x 所以的极小值为.又，，()f x 810(2)8233f =-+=-(0)2f =(3)1f =-所以的最大值为2，最小值为.()f x 103-18．如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为，设为侧P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD 2,3PA =E 棱的中点.PC (1)求正四棱锥的体积；E ABCD -V (2)求直线与平面所成角的大小.BE PCD θ【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据锥体体积公式求得正四棱锥的体积.E ABCD -V （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的大小.BE PCD θ【详解】（1）设，则是的中点，AC BD O = O ,AC BD 连接，由于是的中点，所以，，OE E PC //OE PA 1322OE PA ==由于平面，所以平面，PA ⊥ABCD OE ⊥ABCD 所以.()1322232V =⨯⨯⨯=（2）依题意可知两两相互垂直，,,AB AD PA 以为原点建立如图所示空间直角坐标系，A ，()()()()32,0,0,0,0,3,2,2,0,1,1,,0,2,02B P C E D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()31,1,,2,0,0,0,2,32BE DC PD ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭ 设平面的法向量为，PCD (),,n x y z = 则，故可设，20230n DC x n PD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ()0,3,2n = 设直线与平面所成角为，BE PCD θ则，sin θ=由于，所以.π02θ≤≤θ=19．某中学为了解高中一年级学生对《生涯规划》读本学习情况，在该年级名学生中随机抽取600了名学生作为样本，对他们一周内对《生涯规划》读本学习时间进行调查，经统计，这些时间40全部介于至单位分钟之间.现将数据分组，并制成如图所示的频率分布直方图.为了研究的1060(：)方便，该年级规定，若一周学习《生涯规划》读本时间多于分钟的学生称为“精生涯生”，若一周50学习《生涯规划》读本时间小于分钟的学生称为“泛生涯生”.20(1)求图中的值；a (2)用样本估计总体，估计该年级“精生涯生”和“泛生涯生”的数量各为多少人？(3)从样本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任选名学生，求这两名学生一周内对《生涯规划》读本2学习时间的差不超过分钟的概率.10【答案】(1)0.020(2)60人；30人(3)715【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1求解即可；（2）先求解“精生涯生” 和 “泛生涯生”的频率，在通过总数频率=频数进行计算；⨯（3）根据古典概型和组合知识进行求解.【详解】（1）由题意，得，解得.()0.0050.0350.0300.010101a ++++⨯=0.020a =（2）“精生涯生”的频率是，“泛生涯生”的频率是，100.0100.1⨯=100.0050.05⨯=故该年级600名学生中“精生涯生”约有人，6000.160⨯=“泛生涯生”约有人.6000.0530⨯=（3）样本中“精生涯生”有人，“泛生涯生”有人，400.14⨯=400.052⨯=从6人中选2人时间的差不超过分钟，即2人同在一个时间组内，10则时间的差不超过分钟的概率.1022422266C C 7C C 15P =+=20．已知等差数列和正项等比数列.{}n a {}117514，，n b a b a b ====(1)求；n n a b ，(2)设，记数列的前项和为，求的最小值：2log 5n n n c b a =+-{}n c n n S n S (3)设的前项和为，是否存在常数､，使恒成立？若存在，求出{}n b n nTp c ()2log n n a p T c =++的值；若不存在，说明理由.p c ､【答案】(1)；11122；n n n a n b -=+=(2)；10-(3)存在，其中，.(22l og p =-1c =【分析】（1）由题干条件可求出等差数列公差与等比数列公比，后可得通项公式；（2）由（1）可得，后由数列单调性结合项的正负性可得的最小值；5n c n =-n S （3）可求得，后由可得))11nn T =+-+()2log nn ap T c =++，后比较相关系数可得答案.n⋅))11nc =+-++【详解】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为.d ()0q q >则由题有：，711712a a d -==-4514b b q q ==⇒=故；()111111122；n n n n a a n d n b b q --=+-=+==（2）由（1）可得，21111log 5552222n n n c b a n n n =+-=-++-=-则是以为首项，公差为的递增等差数列，注意到，{}n c 4-1456101，，c c c =-==则，即求的最小值为；45432110n S S S ≥==----=-n S 10-（3）123n nT b b b b =++++=.)11n⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦))11n=+-+因，则若，可得()112n a n =+()2log n n a p T c =++()))211112l og nn p c ⎡⎤+=++-++⇒⎢⎥⎣⎦.注意到()))211112l og nn p c ⎡⎤+-=+-++⎢⎥⎣⎦，()()1112222111222l og l og l og n nn p p n p ++-⎡⎡⎤+-==⋅=⋅⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎣则恒成立，从而可得n⋅))11nc =+-++；(21222l og p p =+⇒==-⇒=-.)101c c -++=⇒=+则存在常数，，使恒成立.(22log p =-1c =+()2log n n a p T c =++【点睛】关键点点睛：本题涉及求数列通项，前n 项和，及数列中的恒成立问题.本题难点在于第三问，关键需整理出关于，的等式，后通过比较系数可得关于，的方程.p c p c 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦22Γ:132x y +=F AB ，CD ，设AB ，CD 中点分别为，.M N(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；F (2)证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标；(3)若弦AB ，CD 的斜率均存在，求面积的最大值.FMN 【答案】(1)答案见解析.(2).3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭(3).425【分析】（1）由题意的方程可得的值，进而求出的值，求出右焦点的坐标及该椭圆的离心,a b c F 率；（2）分直线AB ，CD 的斜率存在和不存在两种情况，设AB 直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和，可得AB 的中点，由题意可得的坐标，分 ，的横坐标相等和不相等两M N M N 种情况，分别求出直线MN 的方程，进而可得直线MN 必过的定点的坐标.（3）由（2）可得直线MN 必过的定点的坐标及，的纵坐标，代入三角形的面积公式，换元，由函数的单调性，求M N 出三角形面积的最大值.【详解】（1）由椭圆的方程，可得，可得，所以22Γ:132x y +=223,2a b ==222321c a b =-=-=，即右焦点的坐标为，离心率,所以椭圆右焦点的坐标为，离1c =F ()1,0c e a ===F ()1,0（2）证明：当直线AB ，CD 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为，1x my =+设联立，1122(,),(,)A x y B x y 221132x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理可得：，22(23)440m y my ++-=可得，，122423m y y m +=-+121226()223+=++=+x x m y y m 所以AB 的中点，2232(,2323-++mM m m 同理可得的坐标，即，N 2212()3(,112()32()3---+-+m m m 22232(,2323++m m N m m 当，的横坐标不相等时，则，M N 22222222()5232333332323--++==-⎛⎫- ⎪++⎝⎭MNm mm m m k m m m m 所以MN 的方程为，222253((233323--=-+-+m m y x m m m 整理可得253(335=--m y x m 所以直线恒过定点.3,05⎛⎫⎪⎝⎭当，的横坐标相等时，，即时，则轴，M N 222332323=++m m m 21m =MN x ⊥且此时MN 的方程为，显然也过，35x =3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭可证得直线MN 必过定点.3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）由（2）可得直线MN 必过的定点，3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭可得221322122(1)()()32252323523=⨯-⨯-+=+++++ FMN m m S m m m m m m，2210101()65613+=++m m m m 设，则，12t m m=+≥21102()15616==++FMN t S t t t 在上单调递减，所以，2t ≥24125622≤=⨯+FMN S所以面积的最大值为.FMN 425。

过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A 、 B 两点，
由切线长定理可得 AM AN ， F1M F1G ， F2G F2N ，
所以， AF2 F1F2 AF1 AN F2N F1G F2G AM F1M
F2N F2G 2 F2G 2c 2a ，则 F2G c a ，所以点 G 的横坐标为 c c a a .
n
a1
1 2
2a1 d
d
0，
与已知 Sn 0 恒成立，矛盾， 所以，假设不成立，所以 d 0 .
所以an 是严格增数列，故②正确； 对于③，设数列an 公比为 q ，则由已知可得 a1 0 ， q 1.
所以
S2023
a2023
a1
1 q2023 1 q
a1q2022
a12q2022
【详解】对于①，设 an 公差为d ，则 an1 an d ，
an1
2 2 2 则
an1 an
d
2an
个常数，所以 2an 为等比数列，故①正确；
是 对于②，设d 0，显然有a1 0.
则当 n 2a1 1时，有 n 1 2a1 ，
d
d
有
Sn
na1
nn 1ห้องสมุดไป่ตู้
2
d
n
a1
n 1d 2
0 3
0
即可得出答案.
【详解】将直线方程 2x my 3m 0 化为 2x m y 3 0 .
x 0
x 0
解
y
3
0
，可得
y
3
，
所以，当 m 变动时，所有直线都通过定点 0, 3 .
故答案为： 0, 3 .
2. 已知直线 l1 ： x 2y 3 0 ， l2 ： x ay 1 0 ，若 l1 l2 ，则实数 a 的值为______.

2022-2023学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末数学试题一、填空题1．半径为1cm 的球的体积是___________3cm . 【答案】4π3【分析】根据球体积公式计算． 【详解】由题意球体积为()3344π1πcm 33V =⨯=． 故答案为：4π3．2．设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为______. 【答案】63##163 【分析】设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，可知O 为底面正三角形的中心，然后求解直角三角形得答案．【详解】如图，设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，四面体为正四面体，∴O 为底面正三角形的中心， 连接CO 并延长交BD 于G ，则G 为BD 中点， 底面边长为1，2212213()332CO CG ∴==-22223613AO AC CO ⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴66 3．两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为______.【答案】35##0.6【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.【详解】两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为：22213534--=+.故答案为：35.4．若直线l 的一个法向量为()1,3-，则过原点的直线l 的方程为______. 【答案】30x y -=【分析】根据直线法向量，可设出直线方程，由直线过原点，求出未知系数. 【详解】若直线l 的一个法向量为()1,3-，可设直线方程为30x y c -++=， 由直线过原点，∴0c ，故所求直线方程为30x y -+=，即30x y -=. 故答案为：30x y -=5．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中1O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为______.6【分析】根据直观图和平面图的关系可求出O A ''，进而利用面积公式可得三角形A B C '''的面积 【详解】由已知可得31322O A ''==则132622A B C S '''=⨯=66．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___． 【答案】2π【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．【详解】由题意，圆锥底面周长为2π×1=2π，又母线长为2，所以圆锥的侧面积12222S ππ=⨯⨯=．故答案为：2π.7．一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.【解析】根据已知可知：2a b =，再代入离心率公式e =.【详解】由题知：222a b =⨯，即2a b =.c e a =【点睛】本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题. 8．已知直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，则直线l 的倾斜角的取值范围是______. 【答案】π3π[0,][,π)44⋃【分析】由题意可得直线l 的斜率cos [1,1]k θ=-∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]β∈-，[0,π)β∈，再根据正切函数的性质即可求得答案.【详解】解：因为直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈， 所以直线l 的斜率cos k θ=-， 所以[1,1]k ∈-， 设直线l 的倾斜角为β， 则有tan [1,1]k β=∈-， 又因为[0,π)β∈， 所以π3π[0,][,π)44β∈⋃.故答案为：π3π[0,][,π)44⋃9．已知正三棱台111ABC A B C 上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.【分析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.【详解】上底面的面积为111sin 602⨯⨯⨯︒=122sin 602⨯⨯⨯︒棱台的体积为113⨯⨯⎝10．已知圆22:16C x y +=，直线()():20l a b x b a y a -+--=（a 、b 不同时为0），当a 、b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为______.【答案】【分析】由题意知直线l 恒过定点(1,1)--，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C 被直线l 截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线()():20l a b x b a y a -+--=化为(21)()0a x y b x y --+-+= ，210101x y x x y y --==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩，恒过定点(1,1)--， 当圆C 被直线l 截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(1,1)--=圆心到直线()():20l a b x b a y a -+--=此时直线弦长为最小值故答案为：11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________. 【答案】8π【分析】由正方体性质确定三棱锥M NPQ -的性质，从而确定其外接球球心O 所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半径得表面积． 【详解】如图，取PQ 中点K ，11A DAD H =，由正方体性质知HK ⊥平面11BCC B ，由已知NPQ △是等腰直角三角形，PQ 是斜边，则三棱锥M NPQ -的外接球球心O 在HK 上，连接,OM OP ，由HK ⊥平面11BCC B 知1,HK KB HK PQ ⊥⊥，同理111A B B K ⊥，1OKB M 是直角梯形，11MB =，1B K 1KP =，设外接球半径为R ，则1OK =在直角三角形OPK 中，222(11R =+，解得R = 所以球表面积为248S R ππ==． 故答案为：8π．【点睛】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是找到外接球的球心，一般外接球球心必在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．确定球心位置后通过直角梯形与直角三角形求得半径．12．如图，已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，A 为椭圆的下顶点，点P 是椭圆上任意一点，以PF为直径作圆N ，射线ON 与圆N 交于点Q ，则AQ 的取值范围为______.【答案】23,23⎡⎤-+⎣⎦【分析】由题意求得点Q 轨迹，根据轨迹判断计算AQ 的取值范围. 【详解】F '为椭圆右焦点，连接PF '，如图所示：,O N 分别为,FF FP '的中点，12ON PF '=，PF 为直径，12NQ PF =， ()1112222OQ ON NQ PF PF PF PF ''=+=+=+=，所以点Q 轨迹是以O 为圆心2为半径的圆，(0,A 在圆内，所以AQ 的最小值为2，最大值为2AQ 的取值范围为2⎡⎣.故答案为：2⎡⎣二、单选题13．设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】由公理2的推论()()12即可得到答案. 【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面, 可得1234P P P P 、、、在同一平面, 故充分条件成立; 由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面, 可得,当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、12l l 时,1234P P P P 、、、在同一个平面上,但1234P P P P 、、、中无三点共线, 故必要条件不成立; 故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题; 公理2的三个推论：()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;()2经过两条平行直线,有且只有一个平面; ()3经过两条相交直线,有且只有一个平面;14．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最小值为 A ．22- B ．12C ．22+D ．1【答案】B【详解】试题分析：设点，所以，由此可得(,)(1,)OP FP x y x y ⋅=⋅-，[2,2]x ∈，所以OP FP ⋅的最小值为12.【解析】向量数量积以及二次函数最值．15．已知曲线C ：()3222216x y x y +=，命题p ：曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q ：曲线C 上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（ ） A ．p 、q 都是真命题 B ．p 是真命题，q 是假命题 C ．p 是假命题，q 是真命题 D ．p 、q 都是假命题【答案】A【分析】结合均值不等式得到当且仅当22x y =时，等号成立，以及224x y +≤，从而可判断命题q 的真假性，检验点()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------是否在曲线上即可判断命题p 的真假性. 【详解】因为()2223222216162x y x y x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当22x y =时，等号成立，所以224x y +≤，因此曲线C 所围成的区域的在圆224x y +=222x y ，故曲线C 上的点到原点的最大距离是2，因此命题q 为真命题， 圆224x y +=上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------，其中点()0,0显然在曲线C 上，但是()()()()()()()()1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------不在曲线上， 故曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题p 为真命题，故选：A.16．四面体ABCD 的所有棱长都为1，棱AB 平面α，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（ ）A ．21,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．31,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．21,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．23,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，分别讨论11C D 、在11A B 两侧、11C D 、其中一点在11A B 上、11C D 、在11A B 同侧时的投影图形，其中11C D 、在11A B 同侧时，CD α⊥时面积最小、平面ABD α时面积最大，结合正四面体的几何性质及投影性质即可求面积.【详解】四面体ABCD 的所有棱长都为1，则为正四面体，由正四面体的性质可知AB CD ⊥,正四面体的侧面上的高为213122h，正四面体的高2226133h h .∵棱AB平面α，设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，则111A B AB ==，i.当11C D 、在11A B 两侧时，构成的图形即为四边形1111A C B D ，此时1111A B C D ，11h C D CD ，即11613C D ，则所求面积即11111111161,262A B C D S A B C D ；ii.当11C D 、在11A B 同侧或其中一点在11A B 上时，构成的图形即为111A B C △，1D 在111A B C △的高1C E 上（或1C 在111A B D 的高上，由对称性，只研究其中一种即可），其中①当平面ABDα时，163C Eh ； ②当平面ABD α时，132C Eh； ③当CD α⊥时，1C E 为CD 到面α的距离，即2211222C Eh. 1232C E，则所求面积即111111123,244A B C S A B C E . 综上，四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是23⎡⎢⎣⎦.故选：D三、解答题17．已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程． 【答案】（１）22(2)(4)5x y -+-= ；（２）250250x y x y -+=+-=或【详解】试题分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦AB 的垂直平分线的方程与2y x =联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线l 斜率不存在时，与圆相切，方程为=1x -；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出k 的值.试题解析：（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--， 故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=， 解方程组260{2x y y x -+==得2{4x y ==，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C 的半径5r AC =C 的方程是()()22245x y -+-=（2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y k x -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C 相切，所以有224351k k k -++=+，解得2k =或12k =-．所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=.18．如图，在三棱锥D ABC -中，平面ACD ⊥平面ABC ，AD AC ⊥，AB BC ⊥，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.(1)求证：直线//EF 平面ABD ；(2)若直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，直线CD 与平面ABD 所成角为30°，求二面角B AD C --的大小.【答案】(1)证明见解析； (2)45【分析】（1）根据//EF BD 即可证明；（2）证明AD ⊥平面ABC ，BC ⊥平面ABD ，进而结合已知条件证明ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠=，再根据二面角的概念求解即可.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点. 所以，在BCD △中，//EF BD ， 因为EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， 所以，直线EF 平面ABD（2）解：因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，AD ⊂平面ACD AD AC ⊥, 所以AD ⊥平面ABC ，所以，DCA ∠是直线CD 与平面ABC 所成的角， 因为直线CD 与平面ABC 所成的角为45°， 所以，45DCA ∠=， 所以AD AC =因为AD ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥，AD AB ⊥，因为AB BC ⊥，AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ，所以，BDC ∠是直线CD 与平面ABD 所成角，因为直线CD 与平面ABD 所成角为30°，所以30BDC ∠=， 所以1,32BC CD BD BC ==， 不妨设1BC =，则2,3,2,1CD BD AD AC AB =====，所以，ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠=因为AD AB ⊥，AD AC ⊥，所以BAC ∠是二面角B AD C --的平面角，所以二面角B AD C --的大小为4519．如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km 、710km 5.测得tan 3MON ∠=-，6km OA =.以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头Q 在第一象限，且三个码头A 、B 、Q 均在一条航线上.(1)求码头Q 点的坐标；(2)海中有一处景点P （设点P 在平面xOy 内，PQ OM ⊥，且6km PQ =），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.【答案】(1)()42Q ，(2)(1,5)C【分析】（1）根据已知条件，写出直线ON 方程，再求解Q 点坐标.（2）由直线AQ 的方程求解B 点坐标，进而求解AB 的直线方程.由（1）知C 为垂足，可联立直线AB 与PC 方程，即可求解C 点坐标.【详解】（1）由已知得，(6,0)A ，直线ON 方程：3y x =-设00(,2)(0)Q x x >，由032710510x +=及图，得04x =，()42Q ∴，. （2）直线AQ 的方程为(6)y x =--即60x y +-=由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，解得39x y =-⎧⎨=⎩，即(3,9)B - 则直线AB 方程60x y +-=，点P 到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C ，因为PQ OM ⊥，且6km PQ =，()42Q ，， (4,8)P ∴，则直线PC 方程为40x y -+=联立6040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得15x y =⎧⎨=⎩轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标为(1,5).20．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11DD DA ==，2AB =，点E 在棱AB 上运动.(1)证明：11B C D E ⊥；(2)设E 为棱AB 的中点，在棱1CC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面1DEC ，若存在，求1CF CC 的值，若不存在，说明理由；(3)求直线AB 与平面1DEC 所成角的取值范围.【答案】(1)证明详见解析(2)存在，且112CF CC = (3)15arcsin 3⎡⎢⎣⎦【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得11B C D E ⊥.（2）根据向量法列方程，从而求得1CF CC . （3）利用向量法求得直线AB 与平面1DEC 所成角的正弦值，结合不等式的性质求得所成角的取值范围.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()()()1110,0,1,1,2,1,0,2,0,1,0,1D B C B C =--，设()1,,0,02E t t ≤≤，则()11,,1D E t =-，111010D E BC ⋅=-++=，所以11B C D E ⊥. （2）若E 是AB 的中点，则()1,1,0E ，()10,2,1C ，设平面1DEC 的法向量为()111,,x n y z =，则11111020n DE x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可设()1,1,2n =--， 设()0,2,,01F λλ≤≤，()()1,2,0,1,0,B BF λ=-，若//BF 平面1DEC ，BF ⊄平面1DEC ， 则1120,2n BF λλ⋅=-==，所以F 是1CC 的中点，所以112CF CC =. （3）()0,2,0AB =，设()1,,0,02E t t ≤≤，设平面1DEC 的法向量为()222,,m x y z =，则22122020m DE x ty m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可设(),1,2m t =--， 设直线AB 与平面1DEC 所成角为π,02θθ≤≤，则sin 2m ABm ABθ⋅==⋅⨯由于2202,04,553t t t ≤≤≤≤≤+≤，所以1sin 3θ⎡⎢⎣⎦，所以15arcsin ,arcsin 35θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.21．已知椭圆22:142x y C +=，过动点()()0,0M m m >的直线l 交x 轴于点N ，交C 于点A 、P （P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .设()11,A x y 、()22,B x y .(1)若点N 的坐标为()2,0-，求PNQ 的周长；(2)设直线PM 的斜率为k ，QM 的斜率为k '，证明：k k '为定值； (3)求直线AB 倾斜角的最小值.【答案】(1)8(2)证明见解析(3)直线AB 倾斜角的最小值为6【分析】（1）利用椭圆C 的标准方程和点N 的坐标，结合题中条件可得PNQ 为焦点三角形，周长为4a ；（2）设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，求出直线PM 的斜率，QM 的斜率，推出k k '为定值． （3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．直线PA 的方程为y kx m =+直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程椭圆与椭圆方程，利用韦达定理，求解AB 坐标，然后求解AB 的斜率的表达式，利用基本不等式求解斜率的最小值，即可得到直线AB 倾斜角的最小值．【详解】（1）椭圆22:142x y C +=，由方程可知，椭圆两焦点坐标为()， 若点N的坐标为()，点N 为左焦点，点()0,M m 是线段PN 的中点，故点P的坐标为)m ，PQ 垂直于x 轴， 则PQ 与x 轴交点为椭圆右焦点， 可得PNQ 的周长为点P 到两焦点距离之和加上点Q 到两焦点距离之和，,P Q 都在椭圆上，所以PNQ 的周长为8. （2）证明：设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，所以直线PM 的斜率002m m m k x x -==，QM 的斜率0023m m m k x x '--==-，所以0033mk x m kx -'==-， 所以k k'为定值． （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得222(21)4240k x mkx m +++-=， 根据根与系数可得20122421m x x k -=+，可得21202(2)(21)m x k x -=+，所以211202(2)(21)k m y kx m m k x -=+=++， 同理222222002(2)6(2),(181)(181)m k m x y m k x k x ---==+++， 所以22222122220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)m m k m x x k x k x k k x -----=-=++++， 22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k m k m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++， 所以221216111644AB y y k k k x x k k -+⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭．由0m >，00x >，可得0k >，所以16k k +≥16k k =，即k =m = 所以直线ABAB倾斜角的最小值为arctan。

2022-2023学年上海市徐汇区高二上册期末数学质量检测试题一、填空题1．三条互相平行的直线最多可确定____个平面．【正确答案】3【分析】讨论三条直线的位置关系即可得到答案.【详解】解：若三条直线在同一个平面内，则此时三条直线只能确定一个平面，若三条直线不在同一个平面内，则此时三条直线能确定三个平面，所以三条互相平行的直线最多可确定3个平面.故3.2．过点()1,2A 且与直线2310x y -+=平行的直线方程为______．（用一般式表示）【正确答案】2340x y -+=【分析】根据平行关系可设直线方程为230x y D -+=，将点()1,2A 代入求得D ，即得.【详解】设与直线2310x y -+=平行的直线为230x y D -+=,又()1,2A 在直线230x y D -+=上,所以2320D -⨯+=，即4D =，所以所求直线方程为2340x y -+=.故答案为.2340x y -+=3．古希腊数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆221273x y +=，则该椭圆的面积为______．【正确答案】9π【分析】根据椭圆方程求出a 、b ，依题意椭圆的面积πS ab =，从而计算可得.【详解】对于椭圆221273x y +=，则a =、b =所以椭圆的面积π9πS ab ==；故9π4．若直线2y x m =+是圆2220x y x y ++-=的一条对称轴，则m =______．【正确答案】2【分析】根据圆的方程求得圆心坐标，代入直线方程，即可求解.【详解】由题意，圆2220x y x y ++-=，可得圆心坐标为1(,1)2-，把圆心1(,1)2-代入直线2y x m =+，可得112()2m =⨯-+，解得2m =.故答案为.25．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为16π，则球的表面积为______．【正确答案】16π【分析】设球的半径为r ,根据圆柱的体积可求得r ，利用球的表面积公式即可求得答案.【详解】设球的半径为r ,则圆柱的底面直径和高皆为2r ，故圆柱的体积为2π216π,2r r r ⨯=∴=，故球的表面积为24π16πr =，故16π6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，设11AA =，2AB =，3AD =，则11CC BD -=______．【分析】根据长方体的结构特征，结合空间向量减法的几何意义及已知条件，求目标向量的模即可.【详解】由111111CC BD BB BD D B DB -=-====7．一条沿直线传播的光线经过点()2,6P -和()1,4Q -，然后被直线10x y +-=反射，则反射光线所在直线方程为______（用一般式表示）【正确答案】210x y +-=【分析】根据题意，先得到PQ 所在直线方程，然后联立两直线方程得到入射点M 坐标，再求得点()1,4Q -关于直线10x y +-=的对称点N 的坐标，即可得到反射光线MN 的直线方程.【详解】由题意可得PQ 所在直线方程为:()644121y x --=+-+，即220x y +-=，联立直线方程22010x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得入射点()1,0M ，设点()1,4Q -关于直线10x y +-=的对称点为(),N x y 则()4111141022y x x y -⎧⨯-=-⎪⎪+⎨-++⎪+-=⎪⎩，解得32x y =-⎧⎨=⎩，所以()3,2N -，即反射光线MN 方程为:()2131y x =---，即210x y +-=故答案为:210x y +-=8．直线10x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是______．【正确答案】15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先由直线方程求得,A B 坐标，得到AB ；利用点到直线距离公式求得圆心到直线AB 的距离1d ，从而得到点P 到直线距离2d 的范围，利用三角形面积公式可求得结果.【详解】由题意得：()1,0A -，()0,1B-AB ∴=由圆()2222x y -+=知：圆心()2,0，半径r =∴圆心到直线10x y ++=距离12d ==P ∴到直线10x y ++=距离[]211,d d r d r ∈-+，即222d ∈⎣⎦2115,222ABP S AB d ⎡⎤∴=⋅∈⎢⎥⎣⎦故15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是__________．【正确答案】11b -<≤或b =【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线x =221(0)x y x +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =+是倾斜角为4π的直线与曲线x =（1）直线与半圆相切，根据d r =，所以1d =，结合图像可得b =；（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知11b -<≤.故11b -<≤或b =.方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果x 或y 有限制，需要数形结合进行分析.10．一动圆与圆2240x y x ++=外切，同时与圆224600x y x +--=内切，则动圆圆心的轨迹方程为______．【正确答案】2212521x y +=【分析】根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再根据椭圆的定义即得.【详解】圆2240x y x ++=，即()2224x y ++=，圆心为(2,0)A -，1=2r ，圆224600x y x +--=，即()22264x y -+=，圆心为(2,0)B ，28r =，设动圆的圆心为P ，半径为r ，由题意得||2PA r =+，||8PB r =-，则104PA PB AB +=>=，所以动圆的圆心为P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，可设方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则210a =，2c =，所以5a =，221b =，所以动圆圆心的轨迹方程为2212521x y +=.故答案为.2212521x y +=11．已知圆柱底面半径为2，一个与底面成45°角的平面截这个圆柱，则截面上的椭圆离心率为______．【正确答案】2【分析】由题意作出图像，结合图像和椭圆的性质，求得,,a b c 的值，利用离心率的定义，即可求解.【详解】如图所示，圆柱的底面直径为4，所以椭圆的短轴长24b CD ==，即2b =，又因为椭圆所在的平面与圆柱底面所成的角为45 ，所以4c s4542oAB a == ，解得a ==2c ，所以椭圆的离心率为2c e a ==.故212．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 作平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．【正确答案】2【详解】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 62二、单选题13．下列说法正确的是（）A ．直线的倾斜角越大，它的斜率越大；B ．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；C ．任何一条直线都有唯一的斜率；D ．任何一条直线都有唯一的倾斜角．【正确答案】D【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可.【详解】对于A :直线的倾斜角2ππ,,33αβαβ==>,1212tan 0,tan 0,k k k k αβ=<=><,所以A 错误；对于B :两直线的倾斜角相等为π2,斜率不存在,所以B 错误；对于C :当直线的倾斜角为π2时直线斜率不存在，所以C 错误；对于D :任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以D 正确.故选.D14．已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【正确答案】B【分析】通过假设//a b ，可得,a b 平行于,αβ的交线，由此可得c 与交线相交或异面，由此不可能存在////a b c ，可得正确结果.【详解】设l αβ= ，且l 与,a b 均不重合假设：////a b c ，由//a b 可得：//a β，//b α又l αβ= ，可知//a l ，//b l又////a b c ，可得：//c l因为,,αβγ两两互相垂直，可知l 与γ相交，即l 与c 相交或异面若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：B本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.1512=，化简的结果是（）A ．221364x y +=B ．2213632x y +=C ．2213616x y +=D ．2213616y x +=【正确答案】B 【分析】由条件利用椭圆的定义、标准方程，即得.12=，可得点(),M x y 到定点()12,0F ，()22,0F -的距离之和等于12，即1212124MF MF F F +=>=，所以动点(),M x y 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则212a =，2c =，所以6a =，b =故方程为2213632x y +=.故选：B.16．对于圆()()()2220x a y b r r -+-=>上任意一点(),P x y ，当m n ≠时，22x y m x y n -++-+的值与x ，y 无关，有下列结论：①点(),a b 的轨迹是一个圆；②点(),a b 的轨迹是一条直线；③当4m n -=时，r ；④当r =，1m =时，[)11,n ∈+∞．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】A【分析】由d =，将已知条件看作(,)P x y 到直线20x y m -+=、20x y n -+=且已知圆在平行线20x y m -+=、20x y n -+=2r ≥，再结合各项描述分析正误.【详解】令d =，可看作(,)P x y 到直线20x y m -+=、20x y n -+=由()22x y m x y n m n -++-+≠的值与,x y 无关，所以距离之和与P 在圆上的位置无关，故已知圆在平行线20x y m -+=、20x y n -+=之间，2r ≥，2r =时，(),a b 的轨迹是平行于20x y m -+=、20x y n -+=直线，①错误；2r >时,(),a b 的轨迹不是直线,②错误③4m n -=时，5r ≤=，正确；④1r m ==时r =≤，则|1|10n -≥，故][(),911,n ∈-∞-⋃+∞，④错误.所以正确的有③.故选：A三、解答题17．已知()1,3A ，()5,7B (1)求线段AB 垂直平分线所在直线方程(2)若直线l 过()1,0-，且A 、B 到直线l 距离相等，求l 方程【正确答案】(1)80x y +-=；(2)10x y -+=或5450x y -+=.【分析】（1）由题可得AB 的中点坐标，再根据互相垂直的直线斜率之间的关系及点斜式方程即得；（2）根据点到直线距离公式结合条件即得.【详解】（1）因为点()1,3A ，()5,7B ．所以线段AB 的中点坐标为()3,5，直线AB 的斜率为73151-=-，因此直线AB 的中垂线的斜率为1-，因此线段AB 的垂直平分线所在直线方程为()53y x -=--，即80x y +-=；（2）因为直线l 过点()1,0-，()1,3A ，()5,7B ，当直线l 的斜率不存在时，显然不合题意，设直线l 的方程为()1y k x =+，即0kx y k -+=，=1k =或54k =，所以直线l 的方程为10x y -+=或5450x y -+=.18．已知()1,0A -，()10B ,，C BC =．(1)求点C 的轨迹方程；(2)设直线l 经过点()2,2-，且l 与点C 的轨迹相交所得弦长为，求直线l 的方程；【正确答案】(1)()223+8x y +=(2)34140x y -+=或20x +=【分析】(1)根据两点间距离公式应用已知条件化简即可得轨迹方程;(2)设直线方程,把半径,弦长和圆心到直线距离转化为关于k 的方程求解即可.【详解】（1）设(),C x y 因为()1,0A -，()10B ,BC =化简得()()22222121x y x y ++=-+,即得22+610x y x ++=点C 的轨迹方程为()223+8x y +=（2）因为点C 的轨迹方程为()223+8x y +=,圆心为()3,0C -,半径r =设l 的方程为()22y k x -=+或2x =-又因为l 与点C 的轨迹相交所得弦长为所以圆心()3,0C -到直线l 的距离1d =1d =,即得22441k k k -+=+解得34k =,且2x =-符合题意.l 的方程为()3224y x -=+或2x =-所以l 的方程为34140x y -+=或20x +=19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．(1)求：异面直线1BC 与AE 所成角的大小；(2)求：直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．【正确答案】(1)arccos10；(2)23.【分析】（1）利用坐标法，求出1BC 和AE 的坐标，由空间向量夹角公式即可求解；（2）求出平面1AD E 的法向量和1AA 的坐标，由空间向量夹角公式即得.【详解】（1）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体棱长为2，则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()12,2,2C ，()12,0,2D ，()0,2,1E ，所以()12,0,2BC = ，()0,2,1AE = ，所以111,10o c s BC AEBC AEBC AE⋅=，所以直线1BC与1D E所成的角为arccos10；（2）由题可知()0,0,0A、()10,0,2A、()12,0,2D、()0,2,1E，所以()12,0,2AD=，()0,2,1AE=，()10,0,2AA=，设平面1AD E的法向量为(),,n x y z=，由122020n AD x zn AE y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y=，则()2,1,2n=-，设直线1AA与平面1AD E所成角为α，则sinα11142cos,323n AAn AAn AA⋅===-=⨯⋅，因此直线1AA与平面1AD E所成角的正弦值为23.20．已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的长轴长为8，O是坐标原点，1F，2F分别为椭圆C的左、右焦点，点(),2M x在椭圆C上，且12MF F△的面积为4．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线():0,0l y kx m k m=+>>与椭圆C交于E，F两点，且直线OE，OF的斜率之和为2k-．①求直线l经过的定点的坐标；②求OEF的面积的最大值．【正确答案】(1)2211612x y+=(2)①(0,;②【分析】（1）根据长轴长为8可求出a，再根据12MF F△的面积公式可求出c，进而确定椭圆的方程；（2）①设出直线方程与椭圆进行联立，标准设而不求的步骤后，将韦达定理代入斜率和为2-的表达式中可得定点；②将①中求出的参数代入韦达定理，表示出OEF的面积，求此表达式的最大值即可.【详解】（1）由题意可知121228,2MF MF a F F c +===，所以有121211222422MF F M S F F y c c =⨯=⨯⨯== ，所以2c =，因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）①设()()1122,,,E x y F x y ，联立22,1,1612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理，得()2223484480k x kmx m +++-=，所以()()2222Δ644344480k m k m =-+->，可得221216m k <+，21212228448,3434km m x x x x k k -+=-=++，设直线,OE OF 的斜率分别为12,k k ，因为直线,OE OF 的斜率之和为2k -，所以122k k k +=-，即()()2121212221212122242224401212k m m x x y y kx m kx m km k k k k m x x x x x x m m -+++-++=++=+=+⋅==--，所以224m =，又0m >，所以m =，所以直线l经过的定点的坐标为(0,.②设直线l经过的定点为(0,N ，则1212OEF OEN OFN S S S x =-=⨯-==，设0>t，则2166OEF t S t t t==≤=++ 当且仅当6tt =时，即t =294k =时取等号，此时0∆>，所以OEF S ≤OEF 的面积的最大值为。

2022-2023学年上海市华东师范大学第一附属中学高二上学期期末数学试题一、填空题1．若排列数，则________6654mP =⨯⨯m =【答案】3【详解】 由，所以，解得.665(61)654m P m =⨯⨯-+=⨯⨯614m -+=3m =2．一个球的体积为，则该球的表面积为______.36π【答案】36π【分析】设球的半径为，由球的体积求出的值，再由球的表面积公式即可求解.r r 【详解】设球的半径为，由题意可得：，所以r 34π36π3r =327r =解得：，3r =所以该球的表面积为,224π4π336πr =⨯=故答案为：.36π3．在空间直角坐标系中，点关于yOz 平面的对称点的坐标是______.()1,2,3A -【答案】()1,2,3--【分析】根据关于yOz 平面的对称点横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标保持不变即可求解.【详解】关于yOz 平面的对称点横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标保持不变，所以点关于yOz 平面的对称点的坐标是，()1,2,3A -()1,2,3--故答案为:.()1,2,3--4．从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量（单位：）如下：kg 7.8 7.9 8.0 8.3 8.4 8.5 8.5 8.5 8.6 8.9 9.0 9.9，则这组数据的95百分位数是______.【答案】9.9【分析】根据百分位数的概念，即可得出答案.p 【详解】因为，根据百分位数的概念可知，120.9511.4⨯=p 这组数据的95百分位数是.9.9故答案为：.9.95．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有2431_____________种．（用数字填写答案）【答案】16【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的63选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.【详解】［方法一］：反面考虑没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，34C 4=6336C 20=故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．120416-=故答案为：.16［方法二］：正面考虑若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；1224C C 12⋅=若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有2124C C 4⋅=种．12416+=故答案为：.16【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限1制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．6．已知随机变量X 服从正态分布，且，则()22,N σ(2 2.5)0.36P X <≤=____________．( 2.5)P X >=【答案】##．0.14750【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为，所以，因此()22,X N σ ()()220.5P X P X <=>=．()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=故答案为：．0.147．若，则_________．()5234501234512x a a x a x a x a x a x +=+++++135a a a ++=【答案】【详解】试题分析：令，令501234513x a a a a a x a =⇒+++++=，01234511x a a a a a x a =-⇒-----=-.5135311222a a a +++==【解析】二项式展开式.8．事件A 、B 互斥，它们都不发生的概率为，且，则______.25()()2P A P B =()P A =【答案】##0.425【分析】根据互斥事件概率的运算性质求解.【详解】因为事件A 、B 都不发生的概率为，25所以,23()()155P A P B +=-=又因为代入上式可得，()()2P A P B =13()()25P A P A +=所以，2()5P A =故答案为: .259．如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足1111ABCD A B C D -P ABCD 与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______.1D P1CC 6πDP【答案】12π【分析】根据题设描述易知的轨迹是以扫过的P D DP 面积.【详解】由题设，，要使与直线所成角的大小为，只需与直线所成角11//DD CC 1D P 1CC 6π1D P 1DD 的大小为，6π∴绕以夹角旋转为锥体的一部分，如上图示：的轨迹是以1D P 1DD 6πPD 分之一圆，∴在上扫过的面积为.DP ABCD 21412ππ⨯⨯=故答案为：.12π10．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，1213，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第次按下233525()1,n n n ≥∈N 按钮后出现红球的概率为，则的通项公式为______.nP {}n P n P =【答案】，1149381519n n P -⎛⎫=⨯-+⎪⎝⎭,1n n ∈≥N 【分析】根据条件概率分别求出第次出现红球、绿球情况下第n 次出现红球的概率，利用全概n 1-率公式计算数列的递推公式，再根据递推公式求通项公式.{}n P 【详解】设“第次出现红球”，“第次出现绿球”，D ＝“第n 次出现红球”，1=C n 1-2=C n 1-则，，，，()11n P C P -=()211n P C P -=-()113P D C =()235P D C =由全概率公式得()()()()()1122n P P D P C P D C P C P D C ==+()．()1111343135155n n n P P P ---=⨯+-⨯=-+,1n n ∈≥N 即，，143155n n P P -=-+,1n n ∈≥N 所以，,1949191519n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭191911921938P -=-=所以数列是首项为，公比为的等比数列，919n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭138415-所以，即，，1914193815n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭1149381519n n P -⎛⎫=⨯-+⎪⎝⎭,1n n ∈≥N 故答案为：，1149381519n n P -⎛⎫=⨯-+⎪⎝⎭,1n n ∈≥N 11．定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，{}n a {}n a 2m m m 2k m ≤中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有____个．12,,,k a a a 4m =【答案】14【详解】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：10a =81a=由图可知，不同的“规范01数列”共有14个.故答案为14.二、双空题12．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020则有______%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价______（有或无）差异附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】 95 有【分析】完善列联表，利用公式求得观测值并与临界值比较分析.【详解】由题意可得：满意不满意总计男顾客401050女顾客302050总计7030100则，()2210040203010100 4.7625050703021K ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯∵，4.762 3.841,>∴能有%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.95故答案为：95；有.三、单选题13．设，为两个平面，则的充要条件是αβ//αβA ．内有无数条直线与平行αβB ．内有两条相交直线与平行αβC ．，平行于同一条直线αβD ．，垂直于同一平面αβ【答案】B【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平αβ//αβ行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是//αβαβαβ的必要条件，故选B ．//αβ【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．,,//a b a b αβ⊂⊂//αβ14．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（ ）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为,所以错；70%75%70%2+>A讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的80%,485%90%正确率的平均数大于,所以B 对；85%讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为，100%80%20%-=讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.95%60%35%20%-=>D 故选:B.15．设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，01p <<ξp ()0,1ξ12P12p -122p A ．减小B ．增大()D ξ()D ξC ．先减小后增大D ．先增大后减小()D ξ()D ξ【答案】D【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.【详解】，111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+ ，2222111111()(0)(1)(22222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++，∴先增后减，因此选D.1(0,1)2∈ ()D ξ【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（ ）A ．26B ．24 ，C ．26，D ．24 1221-【答案】A【分析】将该多面体分为三层，分别数出每一层的面数，求和即可得正多面体的面数；设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面，为正八边形，利用多面体棱长与正方体的棱长的关系列方程即a 可求解【详解】可以将该多面体分为三层，上层个面，中层个面，下层个面，上下底各个面，8881所以共有个面，8881126++++=设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面如图，截面图为正八边形，a 由图可得，，12aCD -=CE a =因为为等腰直角三角形，所以，即，CDE CE =12a a -=解得：，1a ==-1故选：A.四、解答题17．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一D O ABC P DO 点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO ，求三棱锥P −ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）根据已知可得，进而有≌，可得PA PB PC ==PAC △PBC ，即，从而证得平面，即可证得结论；90APC BPC ∠=∠= PB PC ⊥PC ⊥PAB （2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角l r 形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论.ABC APC AP Rt APO PO 【详解】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，,,OA OB OC D O OD ∴⊥ABC 在上，，P DO ,OA OB OC PA PB PC ==∴==是圆内接正三角形，，≌，ABC AC BC ∴=PAC △PBC ，即，90APC BPC ∴∠=∠=︒,PB PC PA PC ⊥⊥平面平面，平面平面；,PA PB P PC =∴⊥ ,PAB PC ⊂PAC ∴PAB ⊥PAC（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，l r ,rl rl π==，解得，，2222OD l r =-=1,r l ==2sin 60AC r ==在等腰直角三角形中，APC AP ==在中，Rt PAO PO ===三棱锥的体积为.∴-P ABC 11333P ABC ABC V PO S -=⋅==△【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.18．若展开式中前三项的系数成等差数列，求：n+(1)展开式中x 项的系数；(2)展开式中系数最大的项．【答案】(1)358(2)或747x 527x【分析】（1）写出前三项的系数即可得到方程，求出，再写出展开式的通项，即可求出项的系n x 数；（2）设设展开式中项的系数最大，即可得到不等式组，求出，即可得解；1r T +r 【详解】（1）解：前三项的系数为：，，，0C 1n=11C 22n n ⋅=2281C (21)n n n ⎛⎫⋅=⎪- ⎝⎭故有，(1)18n n n -+=即解得或（舍去）；2980n n -+=8n =1n =则二项式展开式的通式为．88342441881122C C r r r r r r r r T x x x ---+=⋅⋅⋅=⋅⋅令，解得，所以，故展开式中项的系数为．3414r-=4r =4584152C 38T x x =⋅⋅=x 358（2）解：不妨设展开式中项的系数最大，则，1r T +1881188111C C 2211C C 22rr r r r r rr ++--⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩即，解得，即或，()1812181112r r r r -⎧≥⋅⎪+⎪⎨-+⎪≥⎪⎩23r ≤≤2r =3r =故展开式中系数最大的项为，．35422238272C 1T x x -=⋅⋅=9743444831C 72T x x -=⋅⋅=19．如图是我国2016年至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.注：年份代码1—7分别对应年份2016—2022.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：，.719.32i i y ==∑7140.17i i i t y ==∑0.55= 2.646≈参考公式：相关系数r =回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，.ˆˆˆy a bt =+()()()121niii ni i t t y y b t t==--=-∑∑ ˆˆa y bt =-【答案】(1)答案见解析；(2)，预测2024年我国生活垃圾无害化处理量将约亿吨.0.1002ˆ.9yt =+ 1.82【分析】（1）根据相关系数的计算公式，直接计算求解即可得到相关系数，根据数据即可说明线性相关性；（2）根据最小二乘法计算出回归方程的系数，进而代入预测值，即可求解.【详解】（1）由折线图中的数据和附注中的参考数据可得：，，，4t =()72128i i t t =-=∑719.32ii y==∑，，7140.17i ii t y==∑0.55=()()177140.1749.32 2.879i ii iii tty y t y t y ==--==-⨯=-∑∑所以.2.890.990.552 2.646r ≈≈⨯⨯因为y 与t 的相关系数近似为，说明y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合0.99y 与t 的关系.（2）由及（1）得，9.32 1.3317y =≈()()()71721ˆiii i i t t y y bt t==--=-∑∑ 2.890.10328=≈.1.3310.10340.ˆ92ˆa y bt =-≈-⨯≈所以y 关于t 的回归方程为：.0.1002ˆ.9yt =+因为，将对应的代入回归方程得：.202420159-=20249t =0.1090.9.ˆ2182y=⨯+=所以预测2024年我国生活垃圾无害化处理量将约亿吨.1.8220．如图，在三棱柱中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，侧面111ABCA B C -为菱形，点在底面上的投影为AC 的中点D ，且.11AA C C 1A 2AB =(1)若M 、N 分别为棱AB 、的中点，求证：；11B C 1B M CDN 平面(2)求点C 到侧面的距离；11AA B B (3)在线段上是否存在点E ，使得直线DE 与侧面11A B 11AA BB 出的长；若不存在，请说明理由.1A E 【答案】(1)证明见解析(3)存在，且11A E =【分析】（1）由已知利用中位线性质分别得出且，与且MD BC 2MD BC=1MD B N ，证明四边形为平行四边形，即，即可证明结论；1MD B N=1B NDM1B M ND （2）由已知结合投影性质与等腰直角三角形性质，证明直线DB ，DC ，两两垂直，并得出需1DA 要线段长，再建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与，即可代入公式求解答案；11AA B B AC（3）假设存在，并设出关系，得到，再由向量运算得到，即可由线面角公式结合已知列式1A E DE求解.【详解】（1）证明：连接MD ，为AB 的中点，D 为AC 的中点，M 且，MD BC ∴ 2MD BC =为的中点，N 11B C 则在三棱柱中，且，111ABC A B C -1B N BC ∴ 12B N BC =且，1MD B N ∴ 1MD B N =四边形为平行四边形，∴1B NDM ，1B M ND ∴ 平面CDN ，且平面CDN ，ND ⊂ 1B M ⊄；1B M CDN ∴ 平面（2）点在底面上的投影为AC 的中点D ，1A 平面ABC ，1A D ∴⊥且，1A D AC ∴⊥1A D BD ⊥底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，，BD AC ∴⊥侧面为菱形，且，11AA C C 1A D AC ⊥，11A C A A AC ∴==，2AB =，DB DA DC ∴===1DA =直线DB ，DC ，两两垂直，1DA 故以点D 为坐标原点，直线DB ，DC ，分别为x，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，1DA 则，，，，，()0,0,0D ()0,A)B ()C (1A 则，，，)AB =()0,AC =(1AA =设平面的一个法向量为，11AA B B (),,n x y z = 则，即，100AB n AA n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩00x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩取，则，1z=)n=则点C 到侧面的距离为：11AA B Bd =（3）假设存在满足条件的点E，并设，，)111,0A E AB AB λλ=⋅=⋅=[]0,1λ∈则，11DE DA A E =+=直线DE 与侧面11AA B B，,DE 解得，，则，214λ=[]0,1λ∈ 12λ=故存在满足条件的点E ，且，1112A E AB ==21．某批件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验.n (1)当，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？500n =5000n =50000n =(2)当，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多500n =5000n =50000n =少？(3)（1）、（2）分别对应哪种分布，并结合（1）（2）探究两种分布之间的联系.【答案】(1)；0.057624(2)见解析；(3)见解析.【分析】（1）当时，如果放回，是二项分布，计算概率值； 500n =（2）如果不放回，是超几何分布，分别计算概率值；（3）对超几何分布与二项分布关系的认识从共同点、不同点和联系三个方面进行说明．【详解】（1）若以有回放的方式抽取，每次抽取时都是从这件产品中抽取，从而抽到次品的概率n 都为，0.02可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这样抽到的次品数，()~3,0.02X B 恰好抽到1件次品的概率为.()()21231C 0.0210.0230.020.980.057624P X ==⨯⨯-=⨯⨯=（2）若以不回放的方式抽取，抽到的次品数是随机变量，服从超几何分布，的分布与产品X X X 的总数有关，n 所以需要分3种情况分别计算：①时，产品的总数为500件，其中次品的件数为件，合格品的件数为490件，500n =5002%10⨯=从500件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为.()1210490350049048910C C 2110.057853500499499C 321P X ⨯⨯⨯===≈⨯⨯⨯⨯②时，产品的总数为5000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为5000n =50002%100⨯=4900件，从5000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为.()1210049003500049004899100C C2110.057647500049994998C321P X ⨯⨯⨯===≈⨯⨯⨯⨯③时，产品的总数为50000件，其中次品的件数为件，合格品的件数50000n =500002%1000⨯=为49000件，从50000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为.()1210004900035000049000489991000CC2110.057626500004999949998C321P X ⨯⨯⨯===≈⨯⨯⨯⨯（3）对超几何分布与二项分布关系的认识：共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败．不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布．。

进才中学2022学年第一学期数学期末时间90分钟，满分100分，（2023年1月）一、选择题:共20题，1－10题每题3分，11－20题每题4分，总计70分.1．过点(5,7)P -，倾斜角为135︒的直线方程为（）A ．120x y -+=B ．20x y +-=C ．120x y +-=D ．20x y -+=2．已知曲线经过点(1,2)P ，根据该点坐标可以确定标准方程的曲线是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．以上都不可能3．已知直线1l ：()310a x y -+-=和2l ：()41030ax a y +-+=，则“2a =”是“直线1l 与直线2l 垂直”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．已知方程2220x y x my m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．(),2-∞C ．[)2,+∞D ．()(),22,-∞+∞ 5．若双曲线22:1824x y C -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为（）A ．1B ．2C ．4D ．66．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,3AB AD AA ===，P 是线段11A C 上的动点，则下列直线中，始终与直线BP 异面的是（）A ．1DDB ．1BC C ．1D C D ．AC7．已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（）A ．4322πB ．2162πC ．1442πD ．122πA ．211．当点A 在椭圆24x +A ．()222022164x y -+=C ．()22101114x y -+=12．已知圆的方程为x 面积为（）A ．50313．已知直线l 经过抛物线为钝角，则t 的取值范围为（A ．(8,0)-C ．(4,0)-14．已知直线l ：x =(1)求证：AC CD ⊥；(2)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为经过面ABC 与面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点22．已知椭圆C ：2222x y a b+为1B ，2B .(1)求椭圆C 的方程；(2)点Q 是椭圆C 上的一个动点，求(3)若M ，N 为椭圆C 上相异两点（均不同于点MN 必过定点，并求出定点坐标11//BB DD ，当P 是11A C 与当点P 与1C 重合时，BP 当点P 与1A 重合时，因为长方体因为AC ⊂平面ABCD ，故选：D 7．C【分析】分别求出圆锥的底面半径和高即可求出圆锥的体积【详解】解：由题意在圆锥中，设底面半径为圆锥的侧面展开图为一个半径为∴1202π2π18360r ︒=⨯⨯︒解得：6r =由几何知识得圆锥的高：22186h =-∴圆锥体积：21π3V r h =依题意，1(1,0,0),(0,0,A D 111(1,0,2),(2AD A E =-=-离心率sin sin e βα=，则2c m a n ==由于2a c MF a c -<<+，得(a +222()()2a c a c a c a +-=-<显然成立，由222()a a c <+有2a a c <+，即所以椭圆离心率取值范围为(2故选：C 19．D【分析】当0m <时，曲线1C 为双曲线，则曲线（1）当0m <时，曲线1C 即14m ≤-时，曲线C 1和（2）当0m >时，曲线C 由1641240m 骣琪=-+=琪桫i.故当34m =时，曲线C 1ii.当304m <<时，曲线iii.当314m <<时，曲线iv.当1m =时，曲线C 1和v.当1m >时，曲线C 1综上，曲线C 1和C 2恰有两个不同的交点，实数故选：D 20．B【分析】根据给定条件，求出曲线【详解】依题意，令1F 则有22()(x c y x ++⋅-显然22()()x c y -++-⋅即点(,)M x y 关于原点对称点.由（1）知=90ACD ∠︒，在图1中，因为AB ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，所以又因为1AB BC CD ===，所以45ACB ∠=︒，故在图2中，135BCD ∠=︒，所以在图2中，在BCD △中，由余弦定理得2BD BC =+所以彩带的最小长度为22+.22．(1)221124x y +=；(2)2(52)+；(3)证明见解析，定点(0,1)-.【分析】（1）利用离心率求出a ，b 的关系，再利用椭圆过的点求出方程作答（2）设出点Q 的坐标，利用点到直线距离公式列式，求出点（3）设出直线MN 的方程，与椭圆方程联立结合斜率关系求解即可作答【详解】（1）椭圆C 离心率为63e =，则2222a b e a -==则229113b b+=，于是得224,12b a ==，22x y。

2022-2023学年上海市浦东新区高二上册期末数学质量检测试题一、填空题1．已知复数12i z =-（i 是虚数单位），则z 的虚部为______．【正确答案】2【分析】根据共轭复数的定义和虚部的定义即可求解.【详解】12i z =-，所以12z i =+，所以则z 的虚部为：2.故2.2．直线2y =与直线21y x =-的夹角大小等于_________.【正确答案】arctan 2【分析】求出两直线的倾斜角，从而得到夹角的大小.【详解】21y x =-的斜率为2，倾斜角为arctan 2θ=，2y =的斜率为0，倾斜角为0α=，故两直线的夹角为arctan 2θα-=故arctan 23．函数12y x =-的定义域为______．【正确答案】[)()1,22,⋃+∞【分析】由被开方数大于等于0、对数的真数大于0及分母不为0，列不等式组即可求解.【详解】由解析式可得20log 020x x x >⎧⎪≥⎨⎪-≠⎩，解得012x x x >⎧⎪≥⎨⎪≠⎩，可得[)()1,22,x ∈⋃+∞.故答案为:[)()1,22,⋃+∞.4．函数cos y x x =-的最大值为______．【正确答案】2【分析】由两角差的正弦公式化简函数式，然后由正弦函数性质得最大值．【详解】cos y x x =-12(cos )2sin(223x x x π=-=-，所以232x k πππ-=+，即52,Z 6x k k ππ=+∈时，max 2y =．故2.5．已知集合(){},20A x y x ay =-+=，(){},440B x y ax y =-+=，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为______．【正确答案】2-【分析】根据交集和空集的定义以及方程的联立即可求解.【详解】联立20440x ay ax y -+=⎧⎨-+=⎩，解得22484244a x a a y a -+⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，若A B ⋂=∅，则240a -=，所以2a =±.①当2a =时，两个集合的条件都变为220x y -+=，因此交集不为空集.②当2a =-时，两个集合的条件都变为220x y ++=和220x y +-=，所以交集为空集.故答案为.2-6．已知函数()y f x =的图象关于原点对称，且x ＞0时，()22f x x x =+，则()2f -=______．【正确答案】8-【分析】根据奇函数的性质即可求解.【详解】因为函数()y f x =的图象关于原点对称，所以()y f x =为奇函数，所以()()f x f x -=-，x ＞0时，()22f x x x =+，所以()222228f =+⨯=，所以()2(2)8f f -=-=-.故答案为.8-7．直线l 过点()4,0-且与圆22(1)(2)9x y ++-=相切，那么直线l 的方程为__________.【正确答案】4x =或512200x y ++=【分析】当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 的方程为4x =-，与圆相切，成立；当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为40kx y k -+=，圆心()12C -，到直线l 的距离3d ==，求出斜率k ，由此能出直线l 的方程．【详解】 直线l 过点()4,0-且与圆22(1)(2)9x y ++-=相切，∴圆22(1)(2)9x y ++-=的圆心()1,2C -，半径3r =，当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 的方程为4x =-，与圆相切，成立；当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为()4y k x =+，即40kx y k -+=，圆心()1,2C -到直线l 的距离3d =，解得512k =-，∴直线l 的方程为550123x y ---=，即512200x y ++=．综上，直线l 的方程为4x =-或512200x y ++=．故4x =-或512200x y ++=．8．已知空间中三点()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -，则以向量AB、AC 为一组邻边的平行四边形的面积为______．【正确答案】【分析】根据空间中两点间的距离公式，判断出三角形ABC 为等边三角形即可进一步求解.【详解】AB ==AC ==BC ==，所以ABC 为等边三角形，所以2ABCS==平行四边形的面积为2ABCS =.故答案为.9．已知椭圆C ：22221x y a b +=的面积公式为πS ab =，若抛物线24y x =上到焦点的距离为2的一点P 在椭圆C ：22221x y a b+=上，则该椭圆面积的最小值为______．【正确答案】4π【分析】设()00,P x y ，根据抛物线的定义可求0x ，代入抛物线方程可得20y ，代入椭圆方程可得22141a b +=，利用基本不等式可得4ab ≥，根据椭圆面积公式即可求解.【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，准线方程为=1x -，设()00,P x y ，由题意可得012PF x =+=，解得01PF x ==.所以20414y =⨯=.因为()00,P x y 在22221x y a b+=上，所以2200221x y a b+=，即22141a b +=.所以221441a b ab=+≥=，可得4ab ≥，当且仅当222,8a b ==时取等号.所以π4πS ab =≥，即该椭圆面积的最小值为4π.故答案为:4π.10．已知矩形ABCD P ，是矩形内一点，AP =P 到AB 的距离为2．若将矩形ABCD 绕AD 顺时针旋转3π，则线段AP 扫过的区域面积为__________．【分析】由题可得线段AP 扫过的区域为圆锥的16侧面，再根据圆锥侧面积公式求解即可【详解】线段AP132ππ即16，故 11ππ666S S rl ==⋅=侧；故π611．已知圆M ：22x (y 1)1+-=，圆N ：22x (y 1) 1.++=直线12l l ，分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于A ，B 两点，2l 与圆N 相交于C ，D 两点，点P 是椭圆22x y 194+=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅ 的最小值为______．【正确答案】8【分析】由题意可知，2PA PB PM 1 ⋅=-，2PC PD PN 1⋅=- ，结合P 为椭圆22x y 194+=上的点，可用P的坐标表示，然后结合椭圆的性质即可求解【详解】由题意可得，()M 0,1，()N 0,1-，M N r r 1==，()()()22PA PB PM MA PM MB PM PM MA MB MA MB PM 1⋅=+⋅+=+⋅++⋅=- ，()()()22PC PD PN NC PN ND PN PN NC ND NC ND PN 1⋅=+⋅+=+⋅++⋅=- ，P 为椭圆22x y 194+=上的点，()2222210x PA PB PC PD PM PN 22x y 89∴⋅+⋅=+-=+=+由题意可知，3x 3-≤≤，210x 88189∴≤+≤，故答案为8．本题主要考查了平面向量数量积的运算及求椭圆中最值问题，属于知识的简单综合应用．12．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，ABDC ，AD AB ⊥，2DC =，1AD AB ==，直线PA 与平面ABCD 成45︒角.设四面体PBCD 外接球的圆心为O ，则球的体积为__________.【分析】先证明出△PCD 和△PBC 均为直角三角形，得到O 点位置，可求得外接球的半径，可求其体积．【详解】在底面ABCD 上，//AB DC ，AD ⊥AB ，DC ＝2，AD ＝AB ＝1，所以∠ADB ＝∠ABD ＝45°，所以BD ==，在△BCD 上，2,45BD DC CDB ︒==∠=，由余弦定理可得：BC ==，所以222CD BD CB =+，所以∠CBD ＝90°．所以BD ⊥CB ．又因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥BC ．又PD ∩BD ＝D ，PD ⊂面PBD ，BD ⊂面PBD 所以BC ⊥面PBD ，所以BC ⊥PB ．则△PCD 和△PBC 均为直角三角形，当O 点为PC 中点时，OP ＝OD ＝OB ＝OC ，此时O 为四面体PBCD 的外接球的球心．∵直线PA 与平面ABCD 成45°角．PD ⊥平面ABCD ，则∠PAD ＝45°，∴PD ＝AD ＝1，又PC =，∴四面体PBCD 外接球的半径为2，所以四面体PBCD 外接球的体积为34π()π326V ==．故π6．二、单选题13．已知集合21A x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2,3B =-，则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}1,0,3-D ．{}1,3-【正确答案】C【分析】解不等式可得集合A ，再根据集合的运算即可求解.【详解】因为{}2102A x x x x ⎧⎫=≥=<≤⎨⎬⎩⎭,所以{0A x x =≤或}2x >.因为{}1,0,1,2,3B =-，所以{}1,0,3A B ⋂=-.故选:C.14．已知直线():0l y kx m m =+<过双曲线222:12x y C a -=的左焦点()12,0F -，且与C 的渐近线平行，则l 的倾斜角为（）A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4【正确答案】D【分析】由双曲线焦点坐标求出双曲线的标准方程，然后写出双曲线的渐近线，然后分析所求直线所过的点可知它和双曲线的那一条渐近线平行即可.【详解】由双曲线方程为：22212x y a -=，所以22b =，由左焦点为()12,0F -，所以2c =，由222+=a b c ，所以222422a c b =-=-=，所以该双曲线的标准方程为：22122x y -=，所以渐近线方程为：y x =±，直线():0l y kx m m =+<恒过点()0,m ，且0m <，且过()12,0F -，所以直线l 与渐近线y x =-平行，故1k =-，设直线l 的倾斜角为θ，则tan 1θ=-，又0πθ≤<，所以3π4θ=，故选：D.15．一间民房的屋项有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；⑤四向倾斜.记三种盖法是屋项面积分别为1P 、2P 、3P ，若屋顶倾斜面与水平面所成的角都是θ，则（）A ．321P P P >>B ．321P P P >=C ．321P P P =>D ．321P P P ==【正确答案】D【分析】因为三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都相等，且三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积均相等，由面积射影公式S 影=S 侧cos θ⋅，知屋顶面积1P 、2P 、3P ，均相等．【详解】∵三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都是θ，三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积都相同，射影面积可设为S ，则由面积射影公式，得：123P cosS P cos S P cos S θθθ⋅=⋅=⋅=，，，∴321P P P ==．故选:D ．本题是二面角知识在实际生活中的应用，由面积射影公式S 影=S 侧cos θ⋅，容易得出结论，是基础题．16．已知平面直角坐标系中的直线12:l y x =、2:2=-l y x 设到1l 、2l 距离之和为12c 的点的轨迹是曲线1C ，到1l 、2l 距离平方和为22c 的点的轨迹是曲线2C ，其中12,0c c >.则1C 、2C 公共点的个数不可能为（）A ．0个B ．4个C ．8个D ．12个【正确答案】D【分析】由题意结合点到直线距离公式，整理等式，可判断曲线1C 为矩形，曲线2C 为椭圆，则由图形的对称性即可得到结果.【详解】由题意，直线1l 与直线2l 相互垂直，设曲线1C 上的点为(),x y 12c =，即122x y x y -++=，则当20x y ->，20x y +>时，1x =；当20x y ->，20x y +<时，1y =；当20-<x y ，20x y +>时，1y =；当20-<x y ，20x y +<时，12x =-，所以曲线1C 是以11⎫⎪⎪⎝⎭、11⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、11,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、11,⎫⎪⎪⎝⎭为顶点的矩形，设曲线2C 上的点为(),x y ''，满足2222c ⎛+= ⎝，即222544y x c ''+=，所以2C 是椭圆222544y x c +=，所以二者公共点的个数只可能是0、4、8个，故选：D三、解答题17．已知数列{}n a 为等比数列，且为严格增数列，2410a a +=，2416a a ⋅=，22log 6n n b a =-．(1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；(2)求数列{}n b 的前n 项和n T 的最小值．【正确答案】(1)12n n a -=，21n n S =-；(2)12-.【分析】（1）根据题意可求242,8a a ==，从而可求公比，根据等比数列的通项公式即可求数列{}n a 的通项公式.根据等比数列的求和公式即可求n S ；（2）根据对数的运算可得28n b n =-，可得数列{}n b 为等差数列，分析数列{}n b 的正负项，根据等差数列的求和公式即可求n T 的最小值．【详解】（1）因为{}n a 为严格增数列，2410a a +=，2416a a ⋅=，所以242,8a a ==.所以2424a q a ==，解得2q =或2q =-（舍）.所以2212222n n n n a a q ---==⨯=.又11a =，所以122112nn n S -==--.（2）由（1）得12n n a -=，所以()22log 621628n n b a n n =-=--=-.所以数列{}n b 为等差数列，首项为16b =-，公差为2，当13n ≤≤时，0n b <；当4n =时，0n b =；当5n ≥时，0n b >.所以n T 的最小值为3432632122T T ⨯==-⨯+⨯=-.18．如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径，圆柱OO 1的表面积为24π，OA ＝2，∠AOP ＝120°．(1)求三棱锥A 1﹣APB 的体积．(2)求异面直线A 1B 与OP 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【正确答案】(1)3(2)arccos4【分析】（1）根据表面积得到14AA =，计算ABP S =△，再计算体积得到答案.（2）L 为1AA 的中点，连接,LO LP ，证明1LO A B ∥，在OPL △中，计算各条边长，再利用余弦定理计算夹角得到答案.【详解】（1）2r OA ==，2112π2π8π4π24πS r r AA AA =+⋅=+⋅=，故14AA =.120A O P ∠=︒，则30BAP ∠=︒，4sin 60AP =︒=，4sin 302BP =︒=，11222ABP S AP BP =⨯⨯=⨯=△，111184333A B BP A AP V S AA -=⋅=⨯=△.（2）如图所示：L 为1AA 的中点，连接,LO LP ，L 为1AA 的中点，O 为AB 中点，则1LO A B ∥，112LO A B ===2OP =，4LP ==，在OPL △中，222cos24OP OL PL POL OP OL +-∠=-⋅.故异面直线A 1B 与OP 所成角的大小为.19．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，其中)2F ，O 为原点．椭圆上任意一点到1F ，2F 距离之和为（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）过点()0,2P 的斜率为2的直线l 交椭圆于A 、B 两点．求的OAB 面积．【正确答案】（1）2213x y +=（2【分析】（1）根据题意和椭圆的定义可知,a c ，再根据222b a c =-，即可求出b ，由此即可求出椭圆的方程和离心率；（2）求出直线l 的方程，将其与椭圆方程联立，设()()1122,,,A x y B x y ，求出1212x x x x +，，根据弦长公式求出AB 的长度，再根据点到直线的距离公式求出点O 到直线AB 的距离，再根据面积公式即可求出结果.【详解】（1）由题意，2c a ==，2221a b a c ∴==-=，所以椭圆的标准方程为2213x y +=，离心率为e =；（2）直线l 的方程为22y x =+，代入椭圆方程得2132490x x ++=设()()1122,,,A x y B x y ，则121224*********x x x x ∆=>+=-=，，∴12AB x x =-，又∵点O 到直线AB 的距离d ==1122OABSd AB ∴=⨯=⨯即OAB关键点点睛：本题主要考查了圆锥曲线中弦长公式12AB x =-=应用.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，π2∠=∠=ABC BAD ，2PA AD ==，1AB BC ==.(1)证明：AB PD ⊥；(2)线段CP 上是否存在一点M ，使得直线AM 垂直平面PCD ，若存在，求出线段AM 的长，若不存在，说明理由；(3)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长.【正确答案】(1)证明见解析.(2)存在，线段AM【分析】（1）通过定义法证明线面垂直，即可证出两线垂直.（2）通过建立空间直角坐标系，表达坐标点，进而根据线面垂直的性质，证明直线AM 与CD 和PD 都垂直，求出点M 的坐标，进而求出线段AM 的长.（3）通过向量关系表达出BQ ，再表达出CQ，列出直线CQ 与DP 所成的角的表达式，求出最值和最值成立的条件，进而求出线段BQ 的长.【详解】（1）由题意，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB ABCD ⊂面,AD ABCD ⊂面，∴PA AB ⊥，PA AD⊥在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，π2∠=∠=ABC BAD ∵AD ADP ⊂面，AP ADP ⊂面∴AB ADP ⊥面∵PD ADP ⊂面∴AB PD⊥（2）由题意及（1）得，存在一点M ，使得直线AM 垂直平面PCD ，在四棱锥P ABCD -中，2PA AD ==，1AB BC ==作出空间直角坐标系如下图所示：由几何知识得，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，∴()1,1,2PC =- ，()1,1,0CD =- ，()0,2,2PD =-，设()111,,M x y z ，则()111,,2PM x y z =-,∴1112112x y z t -===-∴(),,22M t t t -+，(),,22AM t t t =-+若AM ⊥面PCD()00022220AM CD t t AM PD t t ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+--+=⎪⎩解得：23t =∴222,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭AM ==（3）由题意及（1）（2）得，()0,2,2DP =- ，()0,1,0CB =- ，()1,0,2BP =-设()(),0,201BQ BP λλλλ==-≤≤∴(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，cos ,CQ DP CQ DP CQ DP ⋅==设12λμ+=，13μ≤≤，∴22229cos ,101520999CQ DP μ==≤⎛⎫-+⎪⎝⎭当且仅当95μ=即2=5λ时，cos ,CQ DP最大，为10，在cos y x =中，π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，∴cos ,CQ DP 最大时，直线CQ 与DP 所成的角最小，∵BP ==∴25BQ BP =∴当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ.21．已知0p >，函数0x y x ⎧≥⎪=<的图象为曲线Γ.A 、B 是Γ上的两点，A 在第一象限，B 在第二象限.设点()11,0F 、2,02pF ⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)若B 到2F 和到直线2x =的距离相等，求p 的值；(2)已知12//F A F B ，证明：OA OB ⋅为定值，并求出此定值（用p 表示）；(3)设2p =，且直线OA 、OB 的斜率之和为1-.求原点O 到直线AB 距离的取值范围.【正确答案】(1)4p =(2)证明见解析，32p (3)04<<d【分析】（1）根据函数表达式可设(,B x 2x -，整理即可求解；（2）设(1,A x ，(2,B x ，则可得到1F A uuu r ，2F B，由平行关系可得0=，整理即可证明；（3）设直线OA 、OB 的斜率分别为k 、1k --（0k >），代入函数表达式可得A ，B 的坐标，即可得到直线AB 的表达式，利用点到直线距离公式，进而求解.【详解】（1）设(,B x （0x <）2x =-.而22222p p x px x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0x <知，22p x x -=-，故4p =.（2）设(1,A x ，(2B x 1>0x 20x <，则(111,F A x =-，22,2p F B x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，故由12//F A F B ，得(1212px x ⎫-=+⎪⎭，即0=，0，故122p x x =-，所以1232OA OB x x p ⋅=+=为定值.（3）由题，设直线OA 、OB 的斜率分别为k 、1k --（0k >），则244,A k k ⎛⎫⎪⎝⎭，()244,11B k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，故直线AB 的方程为22244221k k y x k k k k+⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭，设20u k k =+>，则()()21840ux u y k -+++=，所以O 到直线AB 距离为d =当0u >时，()22541511,4141u u u u u ++=+∈+∞++，故04<<d .。

2022-2023学年上海市上海财经大学附属中学高二上学期期末数学试题一、填空题1．在的二项展开式中，系数最大的项为______.81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】70【分析】写出二项展开式的通项公式，得到当时，二项展开式的系数为正，求出各项，0,2,4,6,8r =得到系数最大的项.【详解】的二项展开式为，81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()8182188C 1C r r r r r r r T x x x ---+=-=-显然当时，二项展开式的系数为正，当时，二项展开式的系数为负，0,2,4,6,8r =1,3,5,7r =其中，，()()2408824440183858C ,1C 28,1C 70T x x T x x T x ===-==-=()6644781C 28T x x --=-=，()8888981C T xx --=-=故系数最大的项为.570T =故答案为：702．已知球的两个平行截面的面积分别为和，球的半径为10，则这两个平行截面之间的距19π36π离为______.【答案】1或17【分析】根据球的两个平行截面的面积分别为和，分别求得两个平行截面的半径和球心到19π36π截面的距离，再分截面圆在球心的同侧和异侧求解.【详解】解：因为球的两个平行截面的面积分别为和，19π36π6，则球心到截面，1O9=球心到截面，2O 8=当截面圆在球心的同侧时，如图所示：这两个平行截面之间的距离为12981O O =-=当截面圆在球心的异侧时，如图所示：这两个平行截面之间的距离为 ，129817O O =+=故答案为：1或173．有8种不同型号的手机供4位顾客选购，每人只购一台，则共有______种不同的选法.【答案】4096【分析】按分步计数原理计算可得.【详解】由已知得，每位顾客都有8种选法，所以共有种方法，4888884096⨯⨯⨯==故答案为：40964．现有6位教师要带4个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案共有______种.【答案】432【分析】因甲、乙不能单独带队，故分甲乙一起带队和甲、乙分别于另外一位老师一起带队两种情况进行分类计算即可.【详解】由于每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，所以分以下两类情况：①甲乙一起带队，则需要把其余的四位老师分成三组，共有种分法，再将四组老师分到4个班24C 级共有种分法；44A即甲乙同队共又种；2444C A 144=②甲、乙分别于另外一位老师一起带队，先将其他四位老师分到4个班级共有种分法，再将甲、44A 乙分别分到两个不同的班级共有种分法；24A 即甲、乙不同队共有；4244A A 288=综上可知，不同的带队方案共有种.144288432+=故答案为：4325．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数16080260200740560好评率0.40.30.20.250.30.15（好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值）从这六类电影中随机选取一部电影，则估计这部电影没有获得好评的概率为______.【答案】##0.75294125【分析】直接查出总电影数和获奖的电影数，然后根据古典概率计算公式进行求解即可.【详解】根据已知条件，一共有部电影，160802602007405602000+++++=其中获得好评的电影共有.1600.4800.32600.22000.257400.35600.15496⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故选取一部电影没有获得好评的概率为.496150494120002000125-==故答案为：941256．除以17的余数为______.504【答案】16【分析】由题得，根据二项式展开解决即可.5502(1741)=-【详解】由题知，，250250124121522412425025252525252505(1471)17(1)17(1)17(1)....17(1)17(1)C C C C C =-=-+-+-++-+-因为是17的倍数，只有最后一项不能被17整除，17n1-所以除以17的余数为16，1-所以除以17的余数为：16504故答案为：167．8个男生和4个女生排成一排，要求女生不排在两端，则4个女生排在一起的概率为______.【答案】7450【分析】根据排列组合计算排法，结合古典概型的概率计算公式，可得答案.【详解】8个男生和4个女生排成一排，则排法总数为，1212A 女生排在两端的情况，则排法数为，即女生不排在两端的排法数为，210410A A 1221012410A A A -女生排在一起，不排在两端的排法数为，481487A A C 则4个女生排在一起的概率为，4814871221012410A A C 4!8!74!77A A A 12!4310!121110943109450⨯⨯⨯===--⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯故答案为：.74508．某高中已经从高一、高二、高三3个年级中各挑选出4男5女，现从这27人中选出一人评选区三好学生，则此人是男生或是高二年级学生的概率是______.【答案】1727【分析】利用古典概型的概率计算公式，可得答案.【详解】选出的27人中有12名男生，有9名高二学生，其中此人是男生或高二年级学生的人数为17人，此人是男生或是高二年级学生的概率是，1727故答案为：.17279．甲乙两队进行一场排球比赛，采用五局三胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛），已知每局甲队胜乙队的概率是，且各局比赛的胜负相互独立，则最终甲队获胜的概率为______.14【答案】53512【分析】分别求出比赛场数为时甲队获胜的概率，即可得出答案.3,4,5【详解】设甲队获胜时进行了场比赛，，X 3,4,5X =，，()3113464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()22313194C 444256P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2224131275C 444512P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故最终甲队获胜的概率为：.()()()19275334564256512512P P X P X P X ==+=+==++=故答案为：5351210．某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，现在将10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序310固定，则共有______种不同的站队方法.【答案】25200【分析】由已知得10名学生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可.【详解】设10名学生中，有女生人，男生人，x ()10x -则10名学生中选取3人，恰有1名女生的概率，()()1210310109C C 32C12010x x x x x P ---⨯===整理得：，即()()10972x x x --=321990720x x x -+-=因式分解可得：，()()()61120x x x ---=解得：或（舍去）或（舍去）61x =>1x =12x =所以10名学生中，有女生6人，男生4人，将6名女生排成一排有种方法，再将4名男生插到7个空中有种方法，66A 6467A A 因为男生的左右相对顺序固定，而4名男生排成一排有种方法，44A 所以一共有，646744A A 654321765425200A 4321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯故答案为：2520011．已知球的表面积为，点A 、、在球的表面上，且，O 676πB C O 7AB =，，则球心到平面的距离为______.8AC =120BAC∠=︒O ABC 【分析】球心到平面的距离即为球心到的外心的距离，由余弦定理求得BC ，再由O ABC O ABC 正弦定理求得外接圆半径，即可最后由勾股定理的所求距离.ABC 【详解】球心在平面的投影为，则球心到平面的距离为，O ABC 1O O ABC 1OO球的表面积为，则球的半径满足，解得，即，O 676πO r 2π676πr =26r =26OA OB OC ===则为的外心，111O A O B O C ==1O ABC∵，，，由余弦定理得，由正弦定理7AB =8AC =120BAC ∠=︒BC得，外接圆半径ABC 112sin120BC O A =×故到平面1OO O ABC12．用一根长为54的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A 、、，将半径为6的球放置在这个B C 框架上（如图），若是球上任意一点，则四面体体积的最大值是______.M MABC【答案】【分析】设的内切圆心为，球心为，由几何关系求出，即可求出到底面的ABC 1O O 1OO M ABC 高的最大值，即可求体积的最大值.h【详解】正的边长为18，设的内切圆心为，半径为，则ABC ABC 1O r 13r =´=设球心为，则，则到底面的高的最大值为.O 13OO =M ABC h 369+=故四面体体积的最大值为.MABC 1118932æç´´´´=çè故答案为：二、单选题13．在下列各事件中，发生可能性最大的是（ ）A ．抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚正面朝上B ．抛掷一颗质地均匀的骰子，点数大于2C ．有1000张彩票，其中50张有奖，从中随机买1张中奖D ．一个袋子中有20个红球8个白球，从中摸出1个球是红球【答案】A【分析】根据概率的定义，逐个选项进行计算，比较大小即可得解.【详解】对于A ，抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以至少有一枚正面朝上的概率；34P =对于B ，抛掷一颗质地均匀的骰子，点数可以为1，2，3，4，5，6，点数大于2的概率为；4263P ==对于C ，有1000张彩票，其中50张有奖，从中随机买1张中奖的概率；501100020P ==对于D ，袋子中共有28个球，红球有20个，摸出1个是红球的概率；205287P ==又，故发生可能性最大的是A ；352147320>>>故选：A 14．已知，，，则事件与的关系是（ ）()2532P A B =()78P A =()34P B =A B A ．与互斥不对立B ．与对立A B A B C ．与相互独立D ．与既互斥又独立A B A B 【答案】C【分析】利用计算出，可得到则能得到与不互()78P A =()18P A =()()()78P A P B P A B +=≠ A B 斥，不对立；再利用算出即可得到答案()()()()P A B P A P B P A B =+- ()332P A B ⋂=【详解】由可得，()78P A =()()711188P A P A =-=-=因为，则与不互斥，不对立，()()()78P A P B P A B +=≠ A B 由可得，()()()()P A B P A P B P A B =+- ()332P A B ⋂=因为，所以与相互独立()()()332P A P B P A B ⨯==⋂A B 故选：C15．已知的二项展开式中，第项与第项的系数相等，则所有项的系数之和为（ ）()1nx +511A ．B ．C ．D ．162152142132【答案】C【分析】利用二项式定理求得的展开通项，从而利用与的系数相等得到关于的方程，()1nx +5T 11T n 进而求得的值，由此得解.n 【详解】因为的展开通项为()1nx +1C 1C k n k k k kk n n T x x -+==又因为第项与第项的系数相等，所以，511410C C n n =由二项式系数的性质知，则，故，1010C C n n n -=410C C n n n -=14n =所以的二项展开式中所有项的系数之和为.()1nx +1422n =故选：C.16．已知，则（ ）()727012752x a a x a x a x -=++++ 0127a a a a ++++=A ．128B ．2187C ．78125D ．【答案】D【分析】由展开式通项公式可得系数小于0，系数大于0，由赋值法令0246a a a a 、、、1357a a a a 、、、，所求值即为.=1x -()7-5-1-2⨯⎡⎤⎣⎦【详解】的展开式中第项为，故系数()752x -1k +()()()77771777C 52C 52=kkkkk kk kk k T x x a x ----+-=-=-，()777C 52kk kk a --=-即当为奇数时，系数小于0，当为偶数时，系数大于0.k 0246a a a a 、、、k 1357a a a a 、、、.()7012701234567-823543----5-1-2a a a a a a a a a a a a ++++=++++=⨯=⎡⎤⎣⎦故选：D三、解答题17．如图所示，已知一个半径为6的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径ABC 所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，求该几何体的表面积和体积.AB C【答案】表面积为，体积为(144π+(48π-【分析】作，三角形是等腰三角形，得到O 为圆心，分别求得圆锥AO 和圆锥BO 的CO AB ⊥ABC 底面半径，高和母线长求解.【详解】解：作，如图所示：CO AB ⊥因为三角形是等腰三角形，ABC 所以O 为圆心，因为，所以，6r =6AC BC CO ===所以，6AOBOS S π==⨯⨯=圆锥侧圆锥侧所以；(2462144AOBOS S SSππ=++=⨯+⨯=+几何体球圆锥侧圆锥侧则，1663AO BOV Vπ==⨯⨯=圆锥圆锥所以.()(2462483AO BO V V V V ππ=-+=⨯-⨯=-几何体球圆锥圆锥18．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm ，圆柱筒高为3cm.(1)求这种“浮球”的体积；(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？【答案】(1)3400πcm 3(2)26400克π【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；（2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解出一个的表面积，然后乘以3000得总面积，按照规定再乘以0.1即可解决问题.【详解】（1）由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，由球体的体积为：，313344256ππ4πcm 333V R ===⨯圆柱体积为：，2232ππ4348πcm V R h =⋅=⨯⨯=所以浮球的体积为：.312256400π48ππcm 33V V V =+=+=（2）上下半球的表面积：，22214π4π464πcm S R ===⨯圆柱侧面积：，222π2π4324πcm S Rh ==⨯⨯=所以，1个浮球的表面积为，264π24π88πcm S =+=3000个浮球的表面积为：，2300088π=264000πcm ⨯因此每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶克.264000π0.1=26400π⨯19．已知（为正整数）的二项展开式中.nn(1)若，求所有项的系数之和；024C C C 256n n n +++= (2)若，求展开式中的有理项的个数；012C C C 821n n n ++=(3)若，求系数最大的项.30n =【答案】(1)932⎛⎫⎪⎝⎭(2)11(3)101011301C 2T ⎛⎫= ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意求出，令中，即可得出答案.9n=91x =（2）求出，写出的通项，要使展开式为有理项，则，求解即可；40n=40310Z 4r -∈（3）设二项式展开式第项的系数最大，求出的通项，则，1r+4011303011303011C C 2211C C 22rr r r r r r r --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解不等式即可得出答案.【详解】（1）因为，0123C C C C C 2n nn n n n n +++++= 而，0241351C C C C C C 2n n n n n n n -+++=+++= 所以.122569n n -=⇒=所以令中，则所有项的系数之和为：.91x =9913122⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）若，则，12C C C 821nnn++=()118212n n n -++=，解得：.()()40410n n -+=40n =则的通项为：，40340104140401C C 2r rrr r r T x--+⎛⎫== ⎪⎝⎭其中，要使展开式为有理项，{}0,1,2,3,,40r ∈则，则，310Z4r -∈0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40r =故展开式中的有理项的个数为.11（3）若，则的通项为：，30n=30303304130301C C 2r rrrrr r T x--+⎛⎫== ⎪⎝⎭则设二项式展开式第项的系数最大，1r +则，得，11303011303011C C 2211C C 22rr r r r r r r --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()()()()()()1130!130!1!30!21!31!230!130!1!30!21!29!2r r r r r r r r r r r r -+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭⎩化简得：，解得：.()11231113021r r r r ⎧≥⎪-⎪⎨⎪≥-+⎪⎩283133r ≤≤因为，则，所以系数最大的项为.r ∈Z 10r =101011301C 2T ⎛⎫= ⎪⎝⎭20．如图，在正三棱柱中，底面的面积为60，是的中点.111ABC A B C -ABCD AB (1)求异面直线与所成的角的大小；1C DAC (2)求直线与平面所成的角的大小.1C D 11ACC A 【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据正三棱柱的性质，建立空间直角坐标系，取直线的方向向量，可得答案.（2）根据（1）的空间直角坐标系，求得平面的法向量，可得答案.【详解】（1）在正三棱柱中，，111ABC A B C -21sin 602ABC S AB =⋅⋅= 4AB =由侧面积为，则，解得，601360AB AA ⋅=15AA =取中点，连接，而是为中点，则，11A B 1D 1,CD DD D AB 11,//CD AB DD AA ⊥又平面，平面，有，因此，两两垂直，1AA ⊥ABC CD ⊂ABC 1AACD ⊥1DD CD ⊥1,,DBDC DD 以点D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，()10,C ()0,0,0D ()2,0,0A -()0,C 即，，异面直线与所成的角，()10,DC =()2,AC =1CD AC θ则，111||cos |cos ,|||||DC AC DC AC DC AC θ⋅====θ=故异面直线与所成的角为.1C D AC （2）由（1）知，，令平面的法向量，1(0,0,5)CC = 11ACC A (,,)n x y z = 则，令，得，令直线与平面所成的角为，12050n AC x n CC z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1y =(n = 1C D 11ACC A α则，111||sin |cos ,|||||n DCn DC n DC α⋅====α=所以直线与平面所成的角的大小为1C D 11ACC A 21．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，为的中点，且，P ABCD -PA ⊥ABCD Q BC 2AB =，.4=AD 3PA =(1)求点到平面的距离；A PQD (2)求二面角的大小；A PD Q --(3)已知为的中点，若一只蚂蚁从点出发，沿着四棱锥的表面爬行，求这只蚂蚁爬到点的E PDB E 最短距离（结果精确到0.01）.【答案】(2)(3)3.61【分析】(1)应用等体积法可求点到平面距离;(2)建立空间直角坐标系,空间向量法求出二面角平面角;(3)分三种情况进行求侧面展开图求距离最小;【详解】（1）连接，AQ设点到平面的距离为,A PQD A h 因为,又因为平面,所以.A PQDP AQDV V --=PA ⊥ABCD 1133PQD A AQD S h S PA ⋅=⨯ 因为，，,底面是矩形，2AB =4=AD 3PA =ABCD所以,所以，5PQ QD PD ===222PQ QD PD +=则12PQD S == 14242AQD S =⨯⨯= 所以,即得1133PQD A AQD S h S PA ⋅=⨯ 1433A h =⨯⨯A h ==（2）如图建系,()()()()0,0,0,0,0,3,0,4,0,2,2,0A P D Q 设平面的法向量为,设平面的法向量为APD ()1,0,0n =PDQ (),,m x y z =()()0,4,3,2,2,0PD QD =-=-可得,即,,所以00m PD m QD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 430220y z x y -=⎧⎨-+=⎩334x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩()3,3,4m = 设二面角的平面角为A PD Q --θcos =所以θ=（3）该蚂蚁可能沿着和到达点，故将和展开在一个平面内,设PBC PDC △E PBC PDC △,,BPC CPD γβ∠=∠=因为5,BC 4,CD 2,PC 2PB PE =====所以，，222PB BC PC +=222PD CD PC +=所以cos γγββ====，()1cos cos cos cos sin sin BPE γβγβγβ∠=+=-=在中,PBE △22211112cos BE PB PE PB PE BPE =+-⨯⨯∠25513242=+-774=该蚂蚁可能沿着和到达点，故将和展开在一个平面内,PBA △PDA E PBA △PDA ，25,4,2,52DE AD AB PD ====4cos 5ADP ∠=在中,2DBE ，2222222cos BE DB DE DB DE BDP=+-⨯⨯∠2554257336261242544=+-⨯⨯⨯=+=该蚂蚁可能沿着矩形和到达点，故将矩形和展开在一个平面内,ABCD PDA E ABCD PDA ，35,4,2,5,32PE AD AB PD PA =====33cos 5BPE ∠=在中,，3PBE △22233332cos BE PB PE PB PE BPE =+-⨯⨯∠2553256525251042544=+-⨯⨯⨯=+=因为，22137765044BE BE -=-=<所以，222132BE BE BE <<因为所以，223.612.96,3.6113.0321,==217732540 3.6113.02429BE -⨯≈-≈所以，1 3.61BE 所以蚂蚁从点出发，沿着四棱锥的表面爬行，这只蚂蚁爬到点的最短距离为.B E 3.61。

2022-2023学年上海市浦东新区高二上学期期末数学试题一、填空题1．过平面外一点与该平面平行的平面有 _____个． 【答案】1【分析】假设过平面外一点与该平面平行的平面不止一个，由面面平行的性质推出矛盾，得出结果为1.【详解】由面面平行的传递性知，若平面α∥平面β，平面α∥平面γ，则平面β∥平面γ， 假设过平面外一点与该平面平行的平面不止一个，则这些平面均相交，与上述结论相矛盾， 所以假设不成立，所以过平面外一点与该平面平行的平面有1个． 故答案为：1．2．小王做投针实验，观察针压住平行线的次数，所得的数据是______．（用“观测数据”或“实验数据”填空） 【答案】实验数据【分析】根据具体的实验，得到具体的实验数据.【详解】由题意 ，小王做具体投针实验，观察针压住平行线的次数，所得的数据是实验数据. 故答案为：实验数据.3．某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表所示. 胆固醇降低的人数 没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 12073则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于______. 【答案】##0.614 307500【分析】根据经验概率的定义可求出结果.【详解】依题意使用药物后胆固醇降低的人数为，又试验总次数为， 307500所以使用药物后胆固醇降低的经验概率等于. 307500故答案为：3075004．已知球的表面积为,则该球的体积为______. 36π【答案】36π【分析】设球半径为，由球的表面积求出，然后可得球的体积． R 3R =【详解】设球半径为， R ∵球的表面积为， 36π∴， 24π36R π=∴， 3R =∴该球的体积为． 3344V ππ33633R π==⨯⨯=故答案为．36π【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果．5．“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有__________人. 【答案】68【分析】根据题意可知，随机抽查比例是，算出被抽查的100名学生中对“二十四节气歌”一句4:1也说不出的人数，按比例计算即可得出结果.【详解】由题意可知，随机抽查100名学生中有人一句也说不出， 100453817--=又抽查比例为，4:1所以，该校高二年级的400名学生中共有人对“二十四节气歌”一句也说不出. 4001768100⨯=故答案为：686．某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 ___________． 【答案】0.7##710【分析】利用方差的公式求解.【详解】解：数据为6，6.5，7，7，8.5， 所以平均数为：， ()16 6.5778.575++++=则方差为， ()()()()()222222167 6.5777778.570.75S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦故答案为：0.77．已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为___________．【分析】倍即可得出结果. 【详解】由题意可知，原图形面积为， 224S ==. 4=8．已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面π6的距离为_________． 【答案】3【分析】作出图形，根据题意结合直角三角形运算求解. 【详解】如图，设二面角为，点，且， l αβ--π6A α∈,6AB l AB ⊥=过点A 作平面，垂足为，连接， AC ⊥βC BC ∵平面，， AC ⊥β,l BC β⊂∴，,AC l AC BC ⊥⊥又∵，平面ABC ， ,AB l AB AC A ⊥=I ,AB AC ⊂∴平面ABC ，l ⊥平面ABC ，则，BC ⊂l BC ⊥故二面角的平面角为， l αβ--π6ABC ∠=在Rt △ABC 中，， sin 3AC AB ABC =∠=故点A 到平面的距离为3. β故答案为：3.9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为的正方体截去八个一样的四面1体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为________．【答案】56【分析】利用割补法可得二十四等边体的体积，计算即可得解.【详解】棱长为的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体， 1则该几何体的体积为.3311158=18()3226V V V =--⨯⨯⨯=正方体四面体故答案为:5610．已知事件、互斥，，且，则_______. A B ()35P A B =U ()()2P A P B =()P B =【答案】##0.8 45【分析】由已知事件、互斥，且，可求， A B ()()2P A P B =()P B 进而根据对立事件概率公式得到答案.【详解】解：事件、互斥，且，A B ()()2P A P B = ()()()()335P A B P A P B P B =+==U 解得, ∴()15P B =. ()()145115P P B B ∴=-=-=故答案为：. 4511．小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱 ，每一局赢的概率都仅为. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采用0.4_________________.(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”) 【答案】三局两胜制【分析】分别计算出“三局两胜制”和“五局三胜制”下小明赢的概率，比较概率大小，确定选法. 【详解】因为小明每一局赢的概率都为，所以采用“三局两胜制”时小明获胜的概率为0.4，采用“五局三胜制”时小明获胜的概率为()22122C 0.4C 0.40.60.40.352+⨯⨯⨯=，()()()()3222322334C 0.4C 0.40.60.4C 0.40.60.40.31744+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=所以小明选择“三局两胜制”时在比赛中赢的几率更大些，故答案为：三局两胜制.12．如图，有一边长为2cm 的正方形，分别为、的中点.按图中的虚线翻折，使ABCO ,D E AO AB 得三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：,,A B O①三棱锥的表面积为； 4②三棱锥的体积为；13③三棱锥的外接球表面积为； 6π④三棱锥的内切球半径为.1则以上结论中，正确结论是______________ . （请填写序号） 【答案】①②③【分析】根据折叠规则可确定三棱锥的表面积与原正方形面积相等，即可判断①；再利用垂直关系找出三棱锥的底面积和高可求得其体积，能判断②；利用三条棱两两垂直可构造长方体求外接球的半径，即可判断③；利用等体积法可求得三棱锥的内切球半径判断④，得出结论. 【详解】根据题意可知，三棱锥的表面积与正方形的面积相等为，即①正确； ABCO 4设三点重合于点，则制成三棱锥如下图所示：,,A B O P P CDE -易知2,1,CP PD PE DE ====根据几何关系可知，所以平面,,CP PD CP PE PD PE P ⊥⊥⋂=⊥CP PDE 所以三棱锥的体积，即②正确；11111123323PDE V S CP =⋅=⨯⨯⨯⨯= 由可知，三棱锥的外接球与以为棱构造的长方体的外接球,,CP PD CP PE PD PE ⊥⊥⊥,,CP PD PE 相同，设三棱锥的外接球半径为，则满足 R 222241164CP PD PE R ++=++==所以，其表面积为，故③正确；24π6πR =设三棱锥的内切球半径为，由①知三棱锥的表面积为r 4S =利用等体积法可知，得，1111133333PDE CDE PDC PCE V rS rS rS rS rS =+++= 14r =所以三棱锥的内切球半径为，即④错误； 14故答案为：①②③二、单选题13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（ ） A ．条形图 B ．茎叶图C ．散点图D ．扇形图【答案】C【分析】根据相关图的特征理解判断.【详解】条形图：是用宽度相同的条形的高度（或长度）表示数据的频数，故符合题意； 茎叶图：即可以保留原始数据又可以方便记录数据，故符合题意；散点图：用两组数据构成多个坐标点，通常用于比较跨类别的成对数据，不符合题意；扇形图：是用整个圆表示总体，用圆内各个扇形的大小表示各个部分占总体的百分数，扇形图可以容易看出各个部分所占总体的比例，故符合题意； 故选：C.14．下列说法正确的是（ ）A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥 【答案】B【分析】根据空间几何体的概念和性质可判断.【详解】球面上两点与球心共线时，有无数个大圆，故A 错误.底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面的射影是底面的中心，所以是正棱锥，B 正确.用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故C 错误.以直角三角形任意一直角边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体都是圆锥，故D 错误. 故选：B15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（ ）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C ．甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为89 【答案】D【分析】A. 利用极差的定义求解判断； B.利用中位数的定义求解判断； C.利用平均数的定义求解判断； D.利用百分位数的定义求解判断.【详解】对A ，甲班参赛同学得分的极差为，乙班参赛同学得分的极差为，937617-=947123-=故正确；对B ，甲班参赛同学得分的中位数是，乙班参赛同学得分的中位数是，故8284832+=828583.52+=正确；对C ，甲班参赛同学得分的平均数为，故正确；7679808284889093848+++++++=对D ，乙班参赛同学得分为71，80，81，82，85，89，90，94，，取第6个与第7个数的3864⨯=平均数为第75百分位数，即为，故错误. 899089.52+=故选：D16．先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论： ①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件 ③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件 ④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 14以上结论中，正确的个数为（ ）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】①本实验是一个古典概型，考虑正反面出现的次数及顺序有关或无关判断；②分别列举事件“至少2次正面朝上”和事件“至少2次反面朝上”判断；③列举事件“至少1次正面朝上”判断；④利用古典概型的概率求解判断.【详解】①本实验是一个古典概型，可只考虑正反面出现的次数或既考虑次数也考虑顺序，所以可以从不同的观察角度写出不同的样本空间，故正确；②事件“至少2次正面朝上”为2正2反，3正1反，4正，事件“至少2次反面朝上”为2反2正，3反1正，4反，不互斥，故错误；③事件“至少1次正面朝上”为1正3反，2正2反，3正1反，4正，与事件“4次反面朝上”互为对立事件，故正确；④样本空间为“4反，1正3反，2正2反，3正1反，4正”，共4种，事件“1次正面朝上3次反面朝上”有1种，所以事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是，故正确； 14故选：C.17．过坐标原点作直线的垂线，垂足为，则的取值范围O :(2)(1)60l a x a y -+++=(,)H m n 22m n +是（ ）A ．B ．C ．D ．0,⎡⎣(0,[]0,8(]0,8【答案】D【分析】求出直线直线过的定点A ，由题意可知垂足是落在以OA 为直径()():2160l a x a y -+++=的圆上，由此可利用的几何意义求得答案,22m n +【详解】直线，即 ，()():2160l a x a y -+++=()260a x y x y +-++=令 ，解得 ， 0260x y x y +=⎧⎨-++=⎩22x y =⎧⎨=-⎩即直线过定点 ,()():2160l a x a y -+++=(2,2)A -由过坐标原点作直线的垂线，垂足为， O ()():2160l a x a y -+++=(,)H m n 可知：落在以OA 为直径的圆上，(,)H m n 而以OA 为直径的圆为 ，如图示：22(1)(1)2x y ++-=故可看作是圆上的点到原点距离的平方， 22m n +(,)H m n而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为 ，||OA =但将原点坐标代入直线中， 不成立， :(2)(1)60l a x a y -+++=60=即直线l 不过原点，所以不可能和原点重合， (,)H m n 故， 22(0,8]m n +∈故选：D18．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 为平面上两点，且，M 为线段AB 中0OA OB ⋅=点，其坐标为，则的最小值为（ ） (),a b 4b +-OMA B C D 【答案】B【分析】由已知可得以为直径的圆过点O AB 发得到圆M 与直线相切，从而得到圆M 的半径最小值为点到直线的距240x y +-=O 240x y +-=离的一半，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】因为，所以，即以为直径的圆过点O ， 0OA OB ⋅=OA OB ⊥ AB因为M 为线段AB 中点，坐标为， (),a b 4b +-几何意义为圆M 的半径与点M 到直线的距离相等， 240x y +-=即圆M 与直线相切，240x y +-=则圆M 的半径最小值为点到直线的距离的一半， O 240x y +-=12=故选：B三、解答题19．如图，在正方体中，为的中点.1111ABCD A B C D -E 1DD(1)求异面直线与所成的角；1BD 1CC (2)判断与平面的位置关系，并说明理由. 1BD AEC【答案】(1)(2)平面，理由见解析 1BD //AEC【分析】（1）通过平移找到异面直线所成的角，在三角形中求解即可. （2）通过线面平行判定定理判断.【详解】（1）因为，所以就是异面直线与所成的角. 11//BB CC 11B BD ∠1BD 1CC设，则，，所以1BB a =11B D =1BD =11tan ∠=B BD所以异面直线与所成的角为（结果也可写成. 1BD 1CC （2）平面1BD //AEC 连接，交于，连接,BD AC O OE在中，分别为、中点，为的中位线，所以. 1BDD ,O E BD 1DD OE 1BDD 1//OE BD 因为平面上，而平面上，OE ⊂AEC 1BD ⊄AEC由直线与平面平行的判定定理得，平面.1BD //AEC 20．不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.(1)甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；(2)甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为，放回m 后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为. 如果，算甲赢；否则算乙赢. 这种游n 5m n +>戏规则公平吗？请说明理由.【答案】(1) 14(2)不公平，理由见解析【分析】(1)列出样本空间，根据古典概型概率公式求事件两球编号均为奇数的概率；(2)由(1)分别求出事件甲赢和乙赢的概率，比较概率大小判断游戏是否公平.【详解】（1）设事件两球编号均为奇数为事件，A 由已知随机试验的样本空间为()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,共16个基本事件，事件包含基本事件，所以()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,A ()()1,1,1,3,()()3,1,3,3， ()41164P A ==所以事件两球编号均为奇数的概率为； 14（2）由(1)事件包含基本事件，所以5m n +>()2,4,()()3,3,3,4,()()()4,2,4,3,4,4， ()635168P m n +>==所以事件甲赢的概率为，故事件乙赢的概率为， 3858因为事件甲赢的概率与事件乙赢的概率不相等，所以这种游戏规则不公平.21．如图，在直角中，，斜边，是中点，现将直角以直角边AOB π6OAB ∠=8AB =D AB AOB 为轴旋转一周得到一个圆锥.点为圆锥底面圆周上一点，且. AO C π2BOC ∠=(1)求圆锥的体积与侧面积；(2)求直线与平面所成的角的正切值.CD BOC【答案】， 32π【分析】（1）根据旋转体的几何特征可求得圆锥底面积和高，利用圆锥体积公式可求得体积，再利用侧面展开图和扇形面积公式可得侧面积；（2）根据线面角的定义作出直线与平面所成的角，在直角三角形中即可求得其正切值.CD BOC【详解】（1）由题意可得，4,OB OA ==所以底面圆面积，圆锥的高， 2π16πS OB =⋅=h OA ==所以圆锥的体积为. 1116π33V Sh ==⨯⨯=圆锥侧面展开图的半径为，弧长为底面圆周长8R AB ==2π8πl OB =⋅=圆锥的侧面积为. 132π2S Rl ==侧（2）取中点，连接，如下图所示：BO H ,DH CH在中，中位线，易知平面AOB //DH AO AO ⊥BOC 可得平面，DH ⊥BOC 所以即为直线与平面所成的角，DCH ∠CD BOC易知，又，所以 12DH AO ==π2BOC ∠=CH ==所以tan DH DCH HC ∠===所以直线与平面CD BOC 22．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：(1)求的值；a (2)根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）； (3)为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天[50,60)[60,70)[80,90)阅读时间位于的概率．[80,90)【答案】(1)0.02a =(2)平均数为74分钟(3) 35【分析】（1）结合频率分布直方图的所有矩形面积之和为1列出方程求解即可；（2）将各组的频数计算出来，直接计算平均值即可3；（3）先算出每组要抽取的人数，编号写出样本空间，再计算概率.【详解】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以，(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=得，0.02a =（2）各区间的中点值为55、65、75、85、95对应的频数分别为10、20、45、20、5这100名大一新生每天阅读时间的平均数为 551065207545852095574.0100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74分钟.（3）由题意，阅读时间位于分组，和的学生数分别为[50,60)[60,70)[80,90)10人、20人、20人，因此中抽取1人，记为a ,[50,60)中抽取2人，记为b,c ，[60,70)中抽取2人，记为d,e ，[80,90)再从中任选2人进行调查，样本空间共10个样本点，{},,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de Ω=设事件A 为“恰好有1人每天阅读时间位于”，[80,90)共6个样本点，{},,,,,A ad bd cd ae be ce =故其中恰好有1人每天阅读时间位于的概率为 [80,90). 63=105P =23．如图，已知四面体中，平面，.ABCD AB ⊥BCD BC CD ⊥(1)求证：；AC CD ⊥(2)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉臑”，若此“鱉臑”中，，有一根彩带经过面与面，且彩带的两个端点分别固定在点和点1AB BC CD ===ABC ACD B D 处，求彩带的最小长度；(3)若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率1P 为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为. 试比较概率、、的2P 3P 1P 2P 3P 大小.【答案】(1)证明见解析(3)312P P P <<【分析】（1）由线面垂直得到，结合得到线面垂直，进而证明出线线垂直； AB CD ⊥BC CD ⊥（2）将面与面沿展开成如图所示的平面图形，连接BD ，即为所求，利用余弦定理ABC ACD AC 求出答案即可；（3）利用组合知识及列举法求出、、的大小，比较出大小关系.1P 2P 3P 【详解】（1）因为平面，平面BCD ，AB ⊥BCD CD ⊂所以，AB CD ⊥又，，平面ABC ，BC CD ⊥AB BC B ⋂=,AB BC ⊂所以平面，CD ⊥ABC 因为平面ABC ，AC ⊂所以；AC CD ⊥（2）将面与面沿展开成如图所示的平面图形，连接BD ，ABC ACD AC 由（1）知：∠ACD =90°，因为平面，平面BCD ，AB ⊥BCD BC ⊂所以AB ⊥BC ，因为，1AB BC CD ===所以∠ACB =45°，故展开后， 3π4BCD ∠=所以彩带的最小长度为此平面图中长.BD由余弦定理得： BD ===；（3）6条棱中任选2条，共有种情况，2615C =其中，,,,,AB BC AB BD AB CD AC CD BC CD ⊥⊥⊥⊥⊥所以， 151153P ==四个面任取两个面，共有种情况，24C 6=其中平面平面BCD ，平面平面ACD ，平面ABD ⊥平面BCD ， ABC ⊥ABC ⊥故， 23162P ==任取一个面和不在此面上的一条棱，先从四个平面任选一个平面，有种情况，14C 再从不在此面上的三条棱中选1条，有种情况，故共有种情况，13C 1134C C 12=其中满足垂直关系的有2种，分别为平面BCD 和棱AB ，平面ABC 和棱CD ， 故， 321126P ==所以.312P P P <<。

2022-2023学年上海市黄浦区高二上册期末数学质量检测试题一、填空题1．已知()1,2,3A -，B 两点关于原点对称，则点B 的坐标为______.【正确答案】()1,2,3--【分析】两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标、竖坐标全部相反，故得解.【详解】因为()1,2,3A -，B 两点关于原点对称，所以B 点坐标为()1,2,3--.故答案为.()1,2,3--2．两条平行直线4350x y -+=和4350x y --=的距离为______.【正确答案】2【分析】根据平行线间距离公式即可求解.【详解】根据平行线间距离公式可得d =，故23．已知直线210ax y +-=和直线()1430a x y ++-=平行，则实数a 的值为______.【正确答案】1.【分析】利用两直线平行列方程即可求得.【详解】直线210ax y +-=可化为：122a y x =-+，直线()1430a x y ++-=可化为.1344a y x +=-+因为两直线平行，所以1241324aa +⎧-=-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，解得.1a =故答案为.14．直线520x y -+=和直线3270x y +-=的夹角的大小为______.【正确答案】π4【分析】分别求出两直线的方向向量，利用向量的夹角公式即可求得.【详解】直线520x y -+=的方向向量为()1,5m = ，直线3270x y +-=的方向向量为31,2m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以直线520x y -+=和直线3270x y +-=的夹角的余弦值为：cos ,2m n m n m n⋅==⨯，因为两直线的夹角π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以直线520x y -+=和直线3270x y +-=的夹角为π4.故π45．已知()2,0-是某双曲线的一个顶点，且该双曲线的离心率为32，则该双曲线的标准方程为______.【正确答案】22145x y -=【分析】由已知得2a =，3c =，再利用222b c a =-，进而得解.【详解】由已知得2a =，32c a =，3c ∴=又222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145x y -=.故答案为.22145x y -=6．已知()1,0A -，()10B ,两点，则满足2PA PB -=的动点P 的轨迹方程为______.【正确答案】()01y x =≥【分析】根据2PA PB AB -==即可求解.【详解】由于()1,0A -，()10B ,是两个定点，则满足2PA PB AB -==,因此动点P 的轨迹是AB 的延长线上,且点P 在x 轴上点()10B ,的右侧（包含B ），故其方程为()01y x =≥，故()01y x =≥7．已知()5,2A -，B 两点关于直线100x y +-=对称，则点B 的坐标为______.【正确答案】(8,15)【分析】设点(,)B a b ，由题意可得2(1)155210022b a a b -⎧⋅-=-⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩，求解即可.【详解】解：设点(,)B a b ，因为直线100x y +-=的斜率为1k =-，则有2(1)155210022b a a b -⎧⋅-=-⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩，解得：815a b =⎧⎨=⎩，所以点B 的坐标为(8,15).故(8,15)8．已知()3,4,12d =- 是直线l 的一个方向向量，n 是平面α的一个单位法向量，且l α⊥，则向量n的坐标为______.【正确答案】3412(,,131313-或3412(,,131313--.【分析】根据线面关系确定d 与n共线的关系，再根据单位向量即可求解.【详解】根据()3,4,12d =- 是直线l 的一个方向向量，l α⊥，n 是平面α的一个单位法向量，所以d 与n 共线，且n是单位向量，所以3412(,,)131313dn d -===或3412(,,)131313d n d =-==--故3412(,,131313-或3412(,,131313--.9．经过点()5,15，可作圆222x y r +=的两条切线，已知其中一条切线的方程为5x =，则另一条切线的方程为______（用一般式表示）【正确答案】43250x y -+=【分析】由题意可知圆222x y r +=的圆心为()0,0，半径为5，设另一条切线的方程为()155y k x -=-，根据切线的基本性质即可求解.【详解】由题意，圆222x y r +=的圆心为()0,0，半径为5，即=5r ，设另一条切线的方程为()155y k x -=-，即5150kx y k --+=，5=，解得43k =，所以另一条切线的方程为42015033x y --+=，即43250x y -+=.故答案为.43250x y -+=10．已知(),2,1AB a b a =- ，()2,2,4AC a b =+- ，且AB AC ⊥，则BC uu u r 为______.【分析】根据向量垂直的数量积为0，可求得,a b ，再利用向量的减法及模长公式可求解.【详解】(),2,1AB a b a =- ，()2,2,4AC a b =+- ，且AB AC ⊥，()()2222410AB AC a b b a ∴⋅=++--=，即()()2222222110a b a b a b +-++=-++=，解得1,1a b ==-又()()()2,1,41,2,01,3,4BC AC AB -=---=-=BC ∴11．过点()4,10A 分别作斜率为2和3的两条直线，前者交椭圆22159x y +=于B ，C 两点，后者交y 轴于D 点，则BCD △的周长为______.【正确答案】12【分析】根据直线方程可得与y 轴的交点，进而可知()0,2D -,()0,2E 为椭圆的焦点,故根据椭圆的焦点三角形即可求解周长.【详解】由题意可知：直线BC 方程为：()241022y x y x =-+Þ=+，故直线BC 与y 轴的交点坐标为()0,2E ,直线AD 方程为：()341032y x y x =-+Þ=-，故直线AD 与y 轴的交点坐标为()0,2D -,由椭圆方程22159x y +=可知3,a b ==故()0,2D -,()0,2E 为椭圆的焦点,故BCD △的周长为22412BC CD AD CE CD BE BD a a a ++=+++=+==，故1212．已知P 为直线210x y +-=上的一个动点，Q 为曲线423242210x x y x x --++=上的一个动点，则线段PQ 长度的最小值为______.【分析】先把曲线转化为22112122y x x x =-++，判断出线段PQ 的最小值即为与1122y x =-+平行的直线与423242210x x y x x --++=相切时，两平行线间的距离.利用导数求出切点坐标，利用点到直线的距离公式求解.【详解】直线210x y +-=可化为.1122y x =-+对于曲线423242210x x y x x --++=.当0x =时，代入10=不成立，所以0x ≠.所以423242210x x y x x --++=可化为22112122y x x x =-++，导数为31142y x x-'=-所以线段PQ 的最小值即为与1122y x =-+平行的直线与423242210x x y x x --++=相切时，两平行线间的距离.设切点(),Q m n .由题意可得：322111422112122m m n m m m ⎧--=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，即32214112122m m n m m m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得：234m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或234m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩.当,324Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭时，PQ =；当24Q ⎛-+ ⎝⎭时，PQ =综上所述：线段PQ故答案为二、单选题13．双曲线22154y x -=的焦点坐标为（）A ．()1,0±B ．()0,1±C ．()3,0±D ．()0,3±【正确答案】D【分析】根据双曲线的标准方程确定c ，从而可以确定焦点坐标.【详解】双曲线225,4a b ==，所以222549c a b =+=+=，且焦点在y 轴，所以焦点坐标为()0,3±.故选：D.14．设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是n ，则“a n ⊥”是“//l α”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B根据线面平行的位置关系及直线的方向向量、平面的法向量定义再结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由//l α，得：a n ⊥ ，则“a n ⊥”是“//l α”的必要条件，而a n ⊥ 不一定有//l α，也可能l ⊂α，则“a n ⊥”不是“//l α”的充分条件.故选：B.15．已知点()1,1在圆220x y ax a +++=外，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,-+∞B ．()1,0-C ．()()1,04,-⋃+∞D ．()(),04,-∞⋃+∞【正确答案】C【分析】利用点在圆外，列不等式组，即可解得.【详解】因为点()1,1在圆220x y ax a +++=外，所以222041110a a a a ⎧->⎪⎨⎪++⨯+>⎩，解得.()()1,04,a ∈-⋃+∞故选：C16．已知直线x a =与双曲线22221x y a b -=的两条渐近线分别交于M ，N 两点，P 为该双曲线上的任意一点，设O 为原点，OP mOM nON =+ ，m ，n 为实数，则1mn的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】D【分析】求出双曲线渐近线方程，得到M ，N 点坐标，进而得到(),P ma na mb nb +-，代入双曲线方程，即可得出结果.【详解】由已知可得，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，代入x a =可得y b =±，不妨设(),M a b ，(),N a b -.由OP mOM nON =+()(),,m a b n a b =+-(),ma na mb nb =+-，可得(),P ma na mb nb +-.因为，点P 在双曲线上，有()()22221ma na mb nb ab+--=，即()()221m n m n +--=，所以41mn =，所以14mn=.故选：D.三、解答题17．已知直线1:0l ax y a +-=和直线2:630l x ay a -+-=.(1)求证：对任意实数a ，直线1l 和2l 各经过一个定点（依次设为A 和B ），并求A ，B 的坐标；(2)设直线1l 和2l 交于点P ，求证：点P 的轨迹是一个圆，并求其标准方程.【正确答案】(1)证明过程见详解；A (1,0)B (3,6)(2)证明过程见详解；22(2)(3)10x y -+-=【分析】（1）根据参数确定直线所过定点即可求解；（2）根据1AP BP k k ⋅=-证明AP BP ⊥，再根据直径确定圆心和半径即可求解.【详解】（1）1:0l ax y a +-=可以转化为：1:(1)0l a x y -+=，所以1l 经过定点A (1,0);2:630l x ay a -+-=可以转化为：2:(6)30l x y a +--=，所以2l 经过定点B (3,6).（2）联立12:0:630l ax y a l x ay a +-=⎧⎨-+-=⎩，解得2222631621a a x a a a y a ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以22226362(,)11a a a aP a a -+-++，所以222222262620116263111APa a a aa a k a a a a a a ---++===--+-+-++，2222222622661116326311BPa a a a a k a a a a aa a ----++===-+---++，所以1AP BP k k ⋅=-，所以AP BP ⊥，所以点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，圆心为：(2,3)，半径为R ==所以圆的标准方程是.22(2)(3)10x y -+-=18．如图，四面体ABCD 的各棱长均为2，E ，F 分别为棱DA ，BC 的中点，又设DA a = ，DB b =，DC c =；(1)用向量a ，b ，c的线性组合表示向量BE ，DF ；(2)求向量BE，DF 的夹角的大小.【正确答案】(1)1,2BE a b =-1122DF b c=+(2)2arccos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解，（2）根据向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）1,2BE DE DB a b =-=-()111222D DF DB C b c=+=+（2）由四面体ABCD 的各棱长均为2，可知四面体ABCD 为正四面体，所以a ，b ，c两两夹角为60 ，因此1==22222a b c a b a c b c，=⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，2211111111==222244222BE a b b c a b c DF a c b b b ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅+⋅+⋅--⋅=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111222a b b c，-=+=1112222cos =1113222DF DF D a b b BE BE BE a b b cF ，⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⋅-⎝⎭⎝⎭=-+，由于[]0πDF BE ，，∈，所以2=arccos 3B D E F ，⎛⎫- ⎪⎝⎭19．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，E ，F 分别为棱1AA ，1DD 上的点，且11EA DF ==；如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -；利用所学空间向量知识，求：(1)点A 到平面1EFC 的距离；(2)平面1EFC 与平面1111D C B A 所成的锐二面角的大小.【正确答案】(1)7(2)【分析】（1）求出点的坐标，利用点A 到平面1EFC 的距离为1nAC n⋅ ，即可求解；（2）利用空间向量方法求面面夹角.【详解】（1）由已知得()10,0,0C ，()3,3,1E ，()3,0,2F ，()3,3,3A 则()13,3,1C E = ，()13,0,2C F = ，()13,3,3AC =---设平面1EFC 的法向量为(),,n x y z =，则11330320n C E x y z n C F x z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令2x =，则()2,1,3n -=- 所以点A 到平面1EFC的距离为1147n n AC ⋅=（2）由（1）知，平面1EFC 的法向量为()2,1,3n -=-，平面1111D C B A 的法向量为()10,0,3C C =，设平面1EFC 与平面1111D C B A 所成的锐二面角为θ，则111cos cos ,C C nC C n C C nθ⋅===⋅，即arc cos 14θ=，所以平面1EFC 与平面1111D C B A所成的锐二面角为arccos14.20．如图，双曲线()22210k x y k -=>的两条渐近线与圆()2225x y ++=在x 轴的上方部分交于A ，B 两点.(1)已知A ，B 两点的横坐标1x 和2x 恰为关于x 的方程()2210k x bx c +++=的两个根，求b ，c 的值；(2)如果线段AB 的长为2，求k 的值.【正确答案】(1)4,1b c ==-；(2)2k =.【分析】（1）由题意可知双曲线的两条渐近线方程为y kx =±，与圆联立方程组，消去y ，得到关于x 的方程，再根据A ，B 两点的横坐标1x 和2x 为方程的两个根，从而可求出,b c ；（2）由题意得1122(,),(,)A x kx B x kx -，再根据两点间的距离公式和根与系数的关系可求出k 的值.【详解】（1）由题意可知双曲线的两条渐近线方程为y kx =±，由()2225y kx x y =±⎧⎪⎨++=⎪⎩，得222(2)5x k x ++=，化简得22(1)410k x x ++-=，因为A ，B 两点的横坐标1x 和2x 恰为关于x 的方程()2210k x bx c +++=的两个根，所以4,1b c ==-；（2）由题意得1122(,),(,)A x kx B x kx -，所以2AB =，所以2221212()()4x x k x x -++=，所以222221122(1)(22)(1)4k x k x x k x ++-++=，即22221212(1)()(22)4k x x k x x +++-=，即221212(1)()44k x x x x ++-=，由（1）可知12122241,11x x x x k k --+==++，所以2222161(1)44(1)1k k k ++⨯=++，化简得215k +=，解得2k =或2k =-（舍去）.21．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，()0,P a 是y 轴正半轴上的一点；过P 作斜率为1-的直线，交二次函数214y x =图象于Q ，R 两点；如图2，把平面xOy 沿y 轴折起来，成为一个直二面角Q OP R --；如图3，建立空间直角坐标系O xyz -.(1)如图3，上述二次函数在折叠后有一部分图象位于平面xOy 上，设S 是该曲线上的一点；如果3a =，试求SQ 的最小值，并求此时S 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标；(2)如图3，如果πQPPR QPR∠=（QPR∠的大小用弧度表示），试求a的值.【正确答案】(1)SQ有最小值为，此时()S；(2)24a=.【分析】（1）根据已知求出点Q在图1中的坐标，然后转化为在图3的坐标.根据已知设出S的坐标，根据两点之间的距离公式列出关系式，即可求出最小值；（2）联立直线与二次函数的方程可解出,Q R的坐标，进而得到)1QP=，)1PR=-.然后根据坐标关系可得出,Q R在空间直角坐标系下的坐标，得到22432RQ a=+，在PQR中，根据余弦定理可解出2π3QPR∠=.然后即可得到等量关系，求出结果.【详解】（1）解：当3a=时，直线方程为3y x=-+.联立直线方程与二次函数214y x=的方程2143y xy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩可解得，21xy=⎧⎨=⎩或69xy=-⎧⎨=⎩，由图1知，()2,1R，()6,9Q-.将二次函数折叠成图3时，可知()2,1,0R，()0,9,6Q.因为S在平面xOy上，设(),0S s，0s>.所以()()()22220906SQ s=-+-+-()221411776868s s s=-+=-+≥，当且仅当7s=时，SQ有最小值为()S.（2）解：直线方程为y x a=-+.联立直线与二次函数的方程214y xy x a⎧=⎪⎨⎪=-+⎩解得，22xy a⎧=--⎪⎨=++⎪⎩22xy a⎧=-+⎪⎨=+-⎪⎩，则(22R a-++-，(22Q a--++.所以，)21QP=，)1PR==-，所以有QP PR =又点R 在图3中的坐标为()22R a -++-，点Q 在图3中的坐标为(0,22Q a +++，所以()(()22222222432RQ a =++=+，在PQR 中，由余弦定理可得，222cos 2QP PR RQQPR QP PR +-∠=⋅()2281812432a +-+=()()1611624321162a a a ++-+==-，又0πQPR <∠<，所以2π3QPR ∠=，所以ππ32π23QP PR QPR ∠===，32=5=，所以24a =.本题考察形式非常新颖，很容易产生畏惧心理.对于新颖的题目，首先要找准题目中的关键点.对于第2问中，出现的条件πQP PR QPR∠=中的QPR ∠该如何处理，是本题的关键点.若考虑问题重点在角和边之间的等量关系，可能会首先想到扇形或圆，这样便会误入歧途.本思考问题首先应考虑回归本质，在角的考察中，三角形与三角函数最为频繁，可以将其与三角形联系，尤其是出现坐标便可以考虑余弦定理或向量，即可找到突破点.。

2022-2023学年上海市闵行区高二上学期期末数学试题一、填空题1．直线的一个法向量为____________.4350x y +-=【答案】(答案不唯一)()4,3【分析】根据直线的法向量的求法写出一个即可.【详解】解：由题知直线的一个方向向量为,4350x y +-=()3,4-故该直线的一个法向量可为.()4,3故答案为：(答案不唯一)()4,32．若是，的等差中项，则_________.a 4m +4m -=a 【答案】4【分析】根据等差中项的性质得到方程，解得即可.【详解】解：因为是，的等差中项，a 4m +4m -所以，所以.244a m m =++-4a =故答案为：43．以点为圆心，且经过原点的圆的方程为________.()3,4【答案】()()223425x y -+-=【分析】设圆的方程为，再把原点坐标代入求出可得答案.()()22234x y r -+-=2r 【详解】由题设圆的标准方程为，()()()222340x y r r -+-=>因为原点在圆上，所以，()()222304025=-+-=r 所以圆的标准方程为.()()223425x y -+-=故答案为：.()()223425x y -+-=4．双曲线的离心率为______.221416y x -=【分析】根据双曲线方程求出、，即可得解.a c【详解】解：双曲线，则，，221416y x -=24a =216b =所以，，2a=c ==所以离心率ce a ==5．过点作直线与抛物线有且仅有一个交点，这样的直线可以作出_______条.()0,42yx =【答案】3【分析】讨论三种情况：当直线的斜率不存在时符合题意；当直线的斜率存在，当时符合题k 0k =意；当时，过点的直线与抛物线相切符合题意．0k ≠()0,4l 2y x =【详解】解：（1）当过点的直线斜率不存在时，显然与抛物线有且只有一个交点，()0,40x =2yx =（2）①当过点且直线与抛物线的对称轴平行，即斜率为时，显然与抛物线()0,42yx =04y =有且只有一个交点，2y x =②当直线过点且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，()0,4设直线方程为，代入到抛物线方程，消得：，4y kx =+2y x =y ()2281160k x k x +-+=由已知有，则 ，解得，即直线方程为，0k ≠()2281640k k ∆=--=116k =6411y x =+综上可得：过点的直线l 与抛物线有且只有一个交点的直线l 共有3条()0,42yx =故答案为：36．直线与直线的夹角记为，则___________.1:330l x y -+=2:0l x y +=θcos θ=【分析】根据直线方程可确定两直线倾斜角的正切值，由，结合两角和差正切()12tan tan θθθ=-公式可求得，进而由同角三角函数关系求得.tan θcos θ【详解】设直线的倾斜角分别为，则，，12,l l 12,θθ11tan 3θ=2tan 1θ=-，()1212124tan tan 3tan tan 221tan tan 3θθθθθθθ-∴=-===+又，.π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos θ∴=7．已知集合与满足，则(){}22,4M x y x y =+≤()()(){}222,|11,0N x y x y r r =-+-≤>M N N ⋂=的取值范围是_______r【答案】(0,2【分析】分别求出两圆的圆心坐标与半径，由，可得，即两圆内切或内含，通M N N ⋂=N M ⊆过半径关系即可求得答案．【详解】解：方程表示以为圆心，的圆，224x y +=()0,0O 12r =表示以为圆心，的圆，()()22211x y r -+-=()1,1A 2r r =则集合表示以为圆心，的圆形区域内点的集合（包含边界），(){}22,4M x y x y =+≤()0,0O 12r =集合表示以为圆心，的圆形区域内点的集合（包()()(){}222,|11,0N x y x y r r =-+-≤>()1,1A 2r r =含边界），因为，所以圆与圆内切或内含，M N N ⋂=A O且，解得.2r≤-0r >02r <≤-(0,2r ∈故答案为：(0,28．若点,在双曲线的渐近线上,且的面积为1（为坐标原点）,则长P Q 222023x y -=OPQ △O PQ度的最小值为_______.【答案】2【分析】先求出渐近线方程,发现两渐近线垂直,设出,两点坐标,根据面积为1,得出坐标P Q OPQ △之间关系,用坐标表示,再用基本不等式即可.PQ【详解】解:由题知双曲线方程为,222023x y -=所以双曲线渐近线为,y x =±故两条渐近线斜率之积为-1,即两渐近线垂直,故为直角三角形,OPQ △记,()()1122,,,P x x Q x x -==因为三角形的面积为1,OPQ 所以,112OP OQ ⋅=,解得,121x x ⋅==≥=,2=当且仅当时取等,121x x ==故长度的最小值为2.PQ故答案为:29．若直线与椭圆恒有两个不同的公共点，则的取值范围是______.()12y k x -=-22116x y m +=m 【答案】()4,1616,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 【分析】首先求出直线过定点及方程表示椭圆时参数的取值范围，依题意定点在椭圆内部，m ()2,1即可得到不等式，解得即可.【详解】解：因为表示椭圆，且，22116x y m +=0m ∴>16m ≠对于直线，令，解得，即直线恒过定点，()12y k x -=-2010x y -=⎧⎨-=⎩21x y =⎧⎨=⎩()2,1因为直线与椭圆恒有两个不同的公共点，()12y k x -=-22116x y m +=所以点在椭圆内部，所以，解得或，()2,12221116m +<43m >0m <综上可得.()4,1616,3m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭ 故答案为：()4,1616,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 10．若点在曲线上,且不等式恒成立,则的取值范围是______.(),P x y ()22314x y +-=20x y t +-<t 【答案】6t >【分析】不等式恒成立,即恒成立,取,可20x y t +-<()max2t x y >+2cos ,3sin x y αα==+[)0,2πα∈知在曲线上,代入,利用辅助角公式即可求得最大值,求出范围.(),x y 2x y +【详解】解:由题知不等式恒成立,20x y t +-<即恒成立,2t x y >+只需即可,()max2t x y >+因为在曲线上,(),P x y ()22314x y +-=取,,2cos ,3sin x y αα==+[)0,2πα∈即,()2cos ,3sin P αα+所以2co 2s 2sin 6x y αα+=++()6αϕ=++,6≤当时等式成立,π2αϕ+=故,()max 62x y +=即.6t >故答案为: 6t >11．设直线：，其中，，成等差数列.过原点作直线的垂线，垂足为，则l 0ax by c ++=a 2b c O l P 到直线距离的最大值为________.P 4370x y -+=【答案】##4.6235【分析】根据等差中项的性质得到，即可得到直线恒过定点，求出点到直线4a c b +=l ()1,4A -A 的距离，即可得解.4370x y -+=【详解】解：因为，，成等差数列，所以，a 2b c 4a c b +=直线：，则直线恒过点，l 0ax by c ++=()1,4A -则点到直线的距离，()1,4A -4370x y -+=235d 过原点作直线的垂线，垂足为，所以到直线距离的最大值.O l P P 4370x y -+=235故答案为：23512．如图，设曲线C 是由：和：组成，对于点1C ()2168044y x y =-+-≤≤2C ()2444y x y =-≤≤，若在曲线C 上恰好存在6个不同的点，，，，，，使得和，和(),0B b 1P 2P 1Q 2Q 1M 2M 1P 2P1Q ，和都关于点B 对称，则b 的取值范围是_____________.2Q 1M 2M 【答案】5,42⎛⎫⎪⎝⎭【分析】首先判断这三对点中必有两组对称点，每一组对称点有一点在曲线上，()2444y x y =-<<而另一点在曲线上，设，关于对称，即可得到方()2168044y x y =-+-<<()11,x y ()22,x y (),0B b 程组，从而得此式到，再根据此式有两个不同解，求出的取值范围，即可得解.2133280y b =-b 【详解】解：若是曲线上一点，即，()00R ,x y ()2444y x y =-≤≤2004y x =如果它关于的对称点也在此段曲线上，即，(),0B b ()00,R x y '''2004y x ''=而，即，所以，所以垂直于轴，()00102y y +='00y y '=-22000044y y x x ''===RR 'x同理，若曲线上一点，如果它关于的对称点也在此段曲线上，则()2168044y x y =-+-≤≤(),0B b 它们的连线垂直于轴，x 结合抛物线的对称性，可知，对于任意的(0,5)之间的,有且只有一对不同的点关于点对称.b (),0B b 为了在曲线上有三对不同的点关于对称，则必须有两组对称点，(),0B b 每一组对称点中必须有一点在曲线上，而另一点在曲线()2444y x y =-<<上，()2168044y x y =-+-<<设，关于对称，则，，()11,x y ()22,x y (),0B b ()()21122212124801612102y x y x x x b y y ⎧=⎪=-⎪⎪⎨+=⎪⎪+=⎪⎩()124,4y y <<-从而，即，此式要在（-4,4）之间有两个不同解，()22111241680y y x x -=+-2133280y b =-即，解得，即.0328048b <-<542b <<5,42b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：5,42⎛⎫⎪⎝⎭二、单选题13．“”是“方程表示椭圆”的（ ）35m -<<22153x y m m +=-+A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先根据椭圆知识求出方程表示椭圆的充要条件，再根据必要不充分条件22153x y m m +=-+的概念可得结果.【详解】因为方程表示椭圆的充要条件是，即且，故22153x y m m +=-+503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩35m -<<1m ≠“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件.35m -<<22153x y m m +=-+故选：B.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了必要不充分条件，属于基础题.14．是定直线外的一定点，则过点且与定直线相切的圆的圆心轨迹是（ ）A A A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【答案】D【分析】设动圆的圆心为，因为圆是过定点与定直线相切的，所以，由抛物线的定C C A l CA d=义，即可判断轨迹．【详解】解：设动圆的圆心为，定直线为，C l 因为圆是过定点与定直线相切的，C A l 所以，||CA d =即圆心到定点和定直线的距离相等．且在外，C A l A l 由抛物线的定义可知，的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．C A l 故选：D ．15．已知三角形中三边长为，，，若，，成等差数列，则直线与直线a b c lg a lg b lg c ax by a +=的位置关系为（ ）bx cy b +=A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．重合【答案】D【分析】根据等差中项的性质及对数的运算可得，再根据两直线的位置关系判断即可.2ac b =【详解】解：因为，，成等差数列，所以，即，lg a lg b lg c lg lg 2lg a c b +=2ac b =对于直线与直线，满足，ax by a +=bx cy b +=a b a b c b ==所以直线与直线重合.ax by a +=bx cy b +=故选：D16．设双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上的点满足，且()22210y x b b -=>1F 2F P OP b =，则（ ）.213PF PF =b =A B C D 【答案】A【分析】根据双曲线方程求出，再根据双曲线的定义及，求出、，再分别a 213PF PF =1PF 2PF 在、中利用余弦定理，即可得到，从而求出，即可得解.2 POF 1POF △225c b +=2b 【详解】解：双曲线，则，因为且，()22210y x b b -=>1a =213PF PF =1222PF PF a -==所以，，设，则，13PF =21PF =2POF α∠=1πPOF α∠=-在中，即①，2 POF 2222222cos PF OF OP OF OP α=+-⋅2212cos c b bc α=+-在中，即②，1POF △()2221112cos πPF OF OP OF OP α=+-⋅-2292cos c b bc α=++所以①②得，则，+()22102c b =+225c b +=又，解得，所以.221c b =+22b =b =故选：A三、解答题17．已知圆：.C ()2221x y -+=(1)判断直线与圆的位置关系并说明理由；y x =(2)过点向圆作切线，求切线的方程.()3,2【答案】(1)相离(2)和3x =3410x y --=【分析】（1）根据圆心到直线的距离即可判断直线与圆的位置关系.y x =（2）分别讨论切线的斜率存在和不存在的情况，根据圆心到切线的距离等于半径求解即可.【详解】（1）圆：，圆心，半径，C ()2221x y -+=()2,0C 1r =圆心到直线的距离，()2,0C y x =1d =所以直线与圆的位置关系为相离.（2）当切线的斜率不存在时，设切线为，3x =则圆心到直线的距离，符合条件.()2,0C 3x =231d r=-==当切线的斜率存在时，设切线为：，即，()23y k x -=-230kx y k -+-=圆心到直线的距离，()2,0C 230kx y k -+-=1d 解得，即切线为：.34k =3410x y --=综上切线为：和3x =3410x y --=18．在等差数列中，已知.{}n a 45a =(1)若，求数列的通项公式；21a ={}n a (2)若数列的前5项和，求公差的取值范围.510S >【答案】(1)23n a n =-(2)3d <【分析】（1）首先根据求出公差，即可求出通项公式；4242a a d -=-（2）设数列的公差为，依题意可得，再根据等差数列求和公式得到，{}n a d 153a d =-5255S d =-从而得到不等式，解得即可.【详解】（1）解：因为，，所以公差，所以.45a =21a =42242a a d -==-()2223n a a n d n =+-=-（2）解：设数列的公差为，因为，所以，则，{}n a d 45a =135ad +=153a d =-所以，因为，()515454552552325S a d d d d -⨯⨯=+=+=-510S >所以，解得.25510d ->3d <19．如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形PQRS 、内部的抛物线以及水平的杠杆AB 组成，其中PS 和QR 分别与抛物线相切于A ，B ，A ，B 分别是PS 和QR 的中点.梯形的高和CD 的长度都是4米.(1)求杠杆AB 的长度；(2)求等腰梯形的周长.【答案】(1)(2)米【分析】（1）以所在的直线为轴，为原点，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，PQ x O PQ y 设分别与轴的交点为点，根据已知条件求出AB CD 、y M N 、坐标，设抛物线的解析式为，代入求出抛物线方程，令解得可得答C D ，()20y ax a =<D =2y -x 案；（2）由（1），直线的解析式为，2+==PQ SR AB ()(),00->P p p AP ()0y kx b k =+≠把代入解得，利用直线的解析式与抛物线方程联立，再由解得，可A P 、,k b AP Δ0=12==p p 得， A ，B 分别是PS 和QR 的中点得，从而得出答案.AP 2==QR PS AP 【详解】（1）以所在的直线为轴，为原点，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，PQ x O PQ y 设分别与轴的交点为点，则轴为图象的对称轴，AB CD 、y M N 、y 且，，米，，12AM MB AB ==12==CN ND CD2==MN OM 2+=PQ SR AB 所以，设抛物线的解析式为，()()2424，-，，--C D ()20y ax a =<代入得解得，所以，()24，-D ()20y ax a =<1a =-()222=--<<y x x当时，解得，=2y -22x -=-x =())22--A B所以，(==AB所以杠杆AB 的长度为（2）由（1），设，且2+==PQ SR AB ()2-A ()(),00->P p p ≠p 直线的解析式为，AP ()0y kx bk =+≠把代入得，解得，A P 、20b pk b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以直线的解析式为，与抛物线方程联立得，AP =y20=x 因为PS 和QR 分别与抛物线相切于A ，B ，所以，20∆=-=40⎫=⎪⎭p ，解得，40=p p 经检验，p =所以，由勾股定理得0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭P==AP 因为A ，B 分别是PS 和QR 的中点，所以2===QR PS AP 所以+++==QR PS PQ SR 即等腰梯形的周长为米.20．已知双曲线：的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双C ()222210,0x y a b a b -=>>1F 2F l 2F 曲线交于、两点.C A B (1)若双曲线，求双曲线的焦点坐标；C C(2)设，的斜率存在，且，求的斜率；1a =b =l ()110F A F B AB +⋅= l (3)设，且，求双曲线的离心率.l OA OB OA OB+=-C 【答案】(1)((2)(3)2【分析】（1）由离心率公式和的关系，即可得到结果；,,a b c （2）求出右焦点的坐标，设出直线方程，与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件，即可求出直线的斜率．（3）设直线的方程为，与双曲线方程联立，消元，运用韦达定理，结合由题意得出的l ()y k x c =-，即可得到、的关系，从而求出离心率．0OA OB ⋅=a c【详解】（1）解：由题意得，2222cb ec a b a====+解得1,a b c ===故双曲线的焦点坐标为．C (（2）解：双曲线，可得，2213y x -=2(2,0)F 设，直线的斜率为：，()()1122,,,A x y B x y l 2121y y k x x -=-设直线的方程为，l (2)y k x =-联立直线与双曲线的方程，22213y kx k y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去得，y ()222234430kxk x k -+--=由直线与双曲线有两个交点，则且，即，230k -≠()23610k∆=+>k ≠可得，则，212243k x x k +=-()21212224124433k k y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭又，()1112,F A x y =+()1222,F B x y =+，可得，()110F A F B AB +⋅= ()()112221124,,0x x y y x x y y +++⋅--=即，()()()()1121222140x x x x y y y y ++-++-=将代入上式，可得，2121y y k x x -=-()121240x x y y k ++++=得，可得，2224124033k k k k k ++⋅=--235k =解得的斜率为k =l （3）解：右焦点为，设直线的方程为，，2(,0)F c l ()y k x c =-()()1122,,,A x y B x y 联立直线与双曲线的方程，2222()1y k x c x y a b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去得：，y ()2222222222220b a k x ca k x a k c a b -+--=，()()24422222222 440c a k b a k a k c a b ∆=+-+>，222222212122222222,ca k a k c a b x x x x b a k b a k ---+==--则，()2222222212121212222()()a b b c y y k x c x c k x x c c x x k a k b -⎡⎤=--=+-+=⋅⎣⎦-由，得，OA OB OA OB +=- ()()22OA OB OA OB +=- 整理得，则，0OA OB ⋅=12120x x y y +=即，()22222222220a b a k c k a b b c ++-=则，()()2222222222220a b a k a b k a b b a b +⎡+++⎤⎣⎦-=整理得，2224422 a b k b a a b =--因为的斜率，整理得，l k =22442235a b b a a b =--223b a =则，，，2223c a a -=224c a =2c a =所以离心率.2c e a ==21．已知椭圆方程为，左右焦点分别为，，是长轴的右端点.点C 在椭圆223144x y +=1F 2F ()2,0A 上，C 关于原点的对称点为B .过C 作直线垂直于x 轴，与x 轴相交于M .l(1)当C 为椭圆的上顶点时，求三角形的周长（直接写出结果）；12F F C (2)若C 在第一象限，且直线BM 与直线AC 的斜率乘积为，求；12-tan BAC ∠(3)在（2）的条件下，设PQ 是椭圆上位于第四象限的两点（Q 在P 的右边），直线与线段PQ 相l 交于N ，且满足.判断四边形AQPB 的形状，并说明理由.PN QCPC QN⋅=⋅【答案】(1)；4(2)2；(3)四边形是梯形，理由见解析．AQPB 【分析】（1）由椭圆方程求出，结合椭圆性质即可得；,,a b c （2）设，由已知斜率之积为和点在椭圆上，求得点坐标后，判断出，00(,)C x y 12-C C AC BC ⊥在直角三角形中计算；（3）由得，由三角形面积公式得出，则PN QC PC QN⋅=⋅PN PCQN QC=PCN QCN ∠=∠，设的斜率为，直线的方程为，则直线的方程为PC CQk k =-QC k QC 1(x 1)y k -=-PC ，直线方程与椭圆方程联立后求得坐标，计算出后即可得．1(1)y k x -=--,QP PQ k 【详解】（1），，2a =b =c ==C 为椭圆的上顶点时，，122CF CF a ===122F F c ==∴的周长为12CF F △224a c +=（2）设，（），则，，又，00(,)C x y 000,0x y >>00(,)B x y --00(),M x (2,0)A ，，代入，得，解得或00001222BM ACy y k k x x =⋅=--2000(2)y x x =--22003144x y +=200320x x -+=01x =（与重合，舍去），∴，即，02x =A 01y =(1,1)C由，，得，10112AC k -==--1BC k =AC BC ⊥，∴；=BC ==tan 2BCBAC AC∠==（3）设，1122(,),(,P x y Q x y ）由得，PN QC PC QN⋅=⋅PN PCQN QC=，∴，1sin 21sin 2PCNQCNPC CN PCN PN PC S QN S QC QC CN QCN ∠===∠ sin sin PCN QCN ∠=∠与均为锐角，所以，则，PCN ∠∠QCN PCN QCN ∠=∠PC CQ k k =-设的斜率为，直线的方程为，则直线的方程为，QC k QC 1(x 1)y k -=-PC 1(1)y k x -=--由，得，22341(1)x y y k x ⎧+=⎨-=-⎩222(13)6(1)3610k x k k x k k ++-+--=是此方程的一根，∴，同理，1x =22236113k k x k --=+21236113k k x k +-=+，，22(1)1y k x =-+11(1)1y k x =--+所以，2222211222212122361361(2)(2)1131336136131313PQ k k k k k y y k x x k k k k k k k x x x x k k +---+--+-++====--+----++又，即，所以，由椭圆的对称性，101123AB k --==--AB PQ k k =//AB PQ BP AQ ≠所以四边形是梯形．AQPB 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交问题，解题关键在于由判断PN QC PC QN⋅=⋅出直线与的斜率相反，因此引入直线的斜率为参数，求出点坐标，然后通过计算PC QC QC k ,Q P 出得平行的结论．。

2022-2023学年上海市第十中学高二上学期期末数学试题一、填空题1．已知αβ，表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的________条件【答案】必要不充分【分析】根据直线和平面的位置关系以及充分必要条件的定义可判断.【详解】若αβ⊥，m 与面β不一定垂直，若m β⊥，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，故答案为：必要不充分.2．一个总体分为,A B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．已知B 层中每个个体被抽到的概率都是112 ，则总体中的个体数为________． 【答案】240【分析】根据分层抽样每个个体抽到的概率相等，即可求出结论【详解】因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．由B 层中每个个体被抽到的概率都为112 ，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是112， 所以总体中的个体数为12024012÷=． 故答案为：240.3．已知数据12345x x x x x 、、、、是互不相等的正整数，且3x =，中位数是3，则这组数据的方差是________．【答案】2【分析】根据题意可求得五个数据，利用方差公式可求得结果.【详解】设12345x x x x x <<<<，则33x =，又因为数据是互不相等的正整数，所以121,2x x ==， 45453,9,4,5x x x x x =∴+===，222222123451(3)(3)(3)(3)(3)25s x x x x x ⎡⎤∴=-+-+-+-+-=⎣⎦. 故答案为：2.4．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60︒角，则11A C 到底面ABCD 的距离为__________.【分析】确定11A C 到底面ABCD 的距离为正四棱柱1111ABCD A B C D -的高，即可求得结论．【详解】∵正四棱柱1111ABCD A B C D -，∴平面//ABCD 平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，11//A C ∴平面ABCD ,11AC ∴到底面ABCD 的距离为正四棱柱1111ABCD A B C D -的高∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60︒角，1AA ∴=故答案为5．某学校有学生1485人，教师132人，职工33人.为有效预防甲型H1N1流感，拟采用分层抽样的方法从以上人员中抽取50人进行抽查，则在学生中应抽取___________人.【答案】45【分析】根据分层抽样的性质，先求出抽样比例，进而可求出结果.【详解】由题意可知：分层抽样的抽样比为501=1485+132+3333， 所以学生中应抽取114854533⨯=， 故答案为：45.6．过正方形ABCD 之顶点A 作PA ⊥平面ABCD ，若PA AB =，则平面ABP 与平面CDP 所成的锐二面角的度数为________．【答案】45︒【分析】将四棱锥补成正方体即可求解.【详解】根据已知条件可将四棱锥补成正方体如图所示：连接CE ，则平面CDP 和平面CPE 为同一个平面，由题可知PE ⊥平面BCE ，,BE CE ⊂平面BCE ，∴PE ⊥BE ，PE ⊥CE ，又平面ABP 和平面CDP PE =，BE ⊂平面ABP ，CE ⊂平面CDP ， ∴CEB ∠为平面ABP 和平面CDP 所成的锐二面角的平面角，大小为45︒.故答案为：45︒.7．ABC 的三边长分别为3、4、5，P 为平面ABC 外一点，它到三边的距离都等于2，则P 到平面ABC 的距离是________． 【答案】3【分析】作PO ⊥平面ABC 于O ，由题可得O 是ABC 的内切圆圆心，可得半径1r =，进而即得.【详解】如图ABC ，3,4,5AB BC AC ===，则ABC 为直角三角形，作PO ⊥平面ABC 于O ，PD AB ⊥于D ，PE BC ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，连接,,OD OE OF ，由题可知2PD PE PF ===，故OD OE OF ==，由PO ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥AB ，又AB PD ⊥，,PD PO P PD =⊂平面POD ，PO ⊂平面POD ，AB ∴⊥平面POD ，DO ⊂平面POD ，AB OD ∴⊥，同理,BC OE AC OF ⊥⊥，故O 是Rt ABC △的内切圆圆心，设其半径为r ，则()113434522r ⨯⨯=⨯++， 所以1r OD ==，所以21213PO =-=.故答案为：3.8．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率为0.6，那么摸出白球的概率为__________．【答案】0.25【详解】设摸出白球、红球、黄球的事件分别为,,A B C ，根据互斥事件概率加法公式()()()0.65P A B P A P B +=+=，()()()0.6P A C P A P C +=+=，()()()()1P A B C P A P B P C ++=++=，解得()0.25P A =.9．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 、【答案】45，46【详解】10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1A D 与1BC 所成的角为π2，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为________【答案】12##0.5【分析】由题可得1111ABCD A B C D -为正方体，根据正方体的性质结合条件可得1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成角，进而即得.【详解】因为在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，∴上下底面为正方形，连接1AD ，则11//BC AD ，1A D 与1BC 所成的角为π2， ∴1A D 与1AD 所形成的角为π2，即1A D ⊥1AD ， ∴11AA D D 为正方形，1111ABCD A B C D -为正方体，设1111AC B D O =，则111C O B D ⊥，因为1B B ⊥平面1111D C B A ，1C O ⊂平面1111D C B A ，所以1B B ⊥1C O ，又11111,B B B D B B B =⊂平面11BB D D ，11B D ⊂平面11BB D D ，所以1C O ⊥平面11BB D D ，连接BO ，则1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成角，由题可知1Rt C BO 中，122BC =，12C O =，∴11sin 2C BO ∠=，即1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为12. 故答案为：12.11．如图，在三棱柱111–ABC A B C 中，90ACB ∠=︒， 160ACC ∠=︒，145BCC ∠=︒，侧棱1CC 的长为1，则该三棱柱的高等于________【答案】12##0.5【分析】过1C 作平面ACB 、直线BC AC 、的垂线，交点分别为O ，D ，E ，可得四边形OECD 为矩形，结合条件可得1C D =2，12OD =，进而即得．【详解】过1C 作平面ACB 、直线BC AC 、的垂线，交点分别为O ，D ，E ，连接OD 、OC 、OE ，则1C O 即为三棱柱的高，由1C O ⊥平面ACB ，AC ⊂平面ACB ，可得1C O ⊥AC ，又AC 1C E ⊥，1111,O E C C C O C =⊂平面1C OE ，1C E ⊂平面1C OE ，所以AC ⊥平面1C OE ，又OE ⊂平面1C OE ，所以AC ⊥OE ，同理可得OD BC ⊥，又90ACB ∠=︒，所以四边形OECD 为矩形，在直角三角形1ECC 和1DCC 中，160ACC ∠=︒，145BCC ∠=︒，侧棱1CC 的长为1， 则11212CE CC ==，1CD C D ==2， 所以12OD CE ==， 所以1OC =221DC OD -12， 即三棱柱的高等于12. 故答案为：12.12．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为__________【答案】4320【分析】根据频率分布直方图结合醉酒驾车的含义即得.【详解】由题意结合频率分布直方图可得，醉酒驾车，即血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上的人数约为：()288000.010.005104320⨯+⨯=.故答案为：4320．二、单选题13．已知l 是直线，,αβ是两个不同平面，下列命题中的真命题是（ ）A ．若//,//l l αβ，则//αβB ．若,//αβα⊥l ，则l β⊥C ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥D ．若//,//l ααβ，则//l β【答案】C【分析】利用空间中线、面的平行和垂直的性质和判定定理即可判断.【详解】若,//,,m l m l l αβαβ⋂=⊄⊄，则有//,//l l αβ，故可判断A 错误.若,//,m l m l αβα⋂=⊄，则//l β或l β⊂，故B 错误.若,//l l αβ⊥，则β存在直线与l 平行，所以αβ⊥，故C 正确.若//,//l ααβ，则//l β或l β⊂，故D 错误.故选：C.14．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成30°角的直线有且只有：A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 【答案】B【分析】过A 与平面α成30°角的直线形成一个圆锥的侧面（即圆锥的母线与底面成30°角），然后考虑这些母线中与直线l 成30°角的直线有几条，通过圆锥的轴截面可得．【详解】如图，AO α⊥，以AO 为轴，A 为顶点作一个圆锥，圆锥轴截面顶角大小为120°，则圆锥的母线与平面α所成角为30°，因此过A的所有与平面α成30°角的直线都是这个圆锥母线所在直线，'，交底面圆于,B C两点，圆锥的母线中与直线l'夹角为30°的直线是过圆锥底面圆心O作直线//l lAB AC，也只有这两条直线，母线,故选：B．15．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°的角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的是()A．①②B．③④C．②③D．①③【答案】D【详解】将展开图还原为正方体，由于EF∥ND，而ND⊥AB，∴EF⊥AB；显然AB与CM平行；EF与MN是异面直线，MN与CD也是异面直线，故①③正确，②④错误.16．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D 【详解】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.【解析】众数、中位数、平均数、方差三、解答题17．如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P 、Q 分别在BD 和SC 上，并且:1:2=BP PD ，//PQ 平面SAD ，求线段PQ 的长．6 【分析】过P 作//PM BC ，交CD 于M ，根据线面平行即面面平行的判定定理可得平面//PQM 平面SAD ，进而//MQ SD ，然后利用余弦定理结合条件即得．【详解】如图，过P 作//PM BC ，交CD 于M ，连结QM ，因为//PM BC ，//AD BC ，所以//PM AD ，又PM ⊄平面SAD ，AD ⊂平面SAD ，所以//PM 平面SAD ，又//PQ 平面SAD ，又PM PQ P =，,PM PQ ⊂平面PQM ，所以平面//PQM 平面SAD ，又平面PQM平面SDC MQ =，平面SDC 平面SAD SD =，//MQ SD ∴， 由:1:2=BP PD ，可得2233PM BC a ==，1233QM SD a ∴==， //SD QM ，//AD MP ，PMQ ADS ∴∠=∠，12cos 4ADADS SD ∠==， 所以22222244162cos 299492233a PQ PM QM PM QM PMQ a a a a =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 所以线段PQ 6． 18．如图所示是一多面体的表面展开图，,,M Q P 分别为展开图中线段,,BC CD DE 的中点，则在原多面体中，求直线ME 与平面APQ 所成角的正弦值.【答案】1442【分析】先还原几何体，建立空间直角坐标系，计算线面角正弦值.【详解】还原多面体为长方体，以D 为原点，,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，由题意得(0,0,0),(2,0,0),(0,1,0),(0,0,2),(0,0,4),(1,2,0)D A Q P E M ,(2,0,2),(0,1,2),(1,2,4)PA PQ ME ∴=-=-=--,设面APQ 的法向量(,,)n x y z =，则00n PA n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即22020x z y z -=⎧⎨-=⎩，令1x =得(1,2,1)n = 设直线ME 与平面APQ 所成角为α， 则14sin 42n MEn ME α⋅==⋅. 19．设在直三棱柱111ABC A B C 中，12AB AC AA ===,90BAC ∠=︒,,E F 依次为1C C ,BC 的中点．(1)求异面直线1,A B EF 所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；(2)求点1B 到平面AEF 的距离．【答案】(1)6arc cos3(2)6【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线所成的角.（2）先求出平面AEF 的法向量，利用空间向量求点到面的距离.【详解】（1）以A 为原点建立如图空间坐标系，则11(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,1),(1,1,0)A B B E F ,1(2,0,2)A B =-， (1,1,1)EF =-- ， 11|6cos ||||||223A B EF A B EF θ⋅∴===⨯ 6arc θ∴=. （2）设平面AEF 的一个法向量为(,,)n x y z =， (0,2,1)AE =， (1,1,0)AF =，020,00n AE y z x y n AF ⎧⋅=+=⎧⎪∴⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ 解得：(,,2)n x x x =-令1x =可得(1,1,2)n =-，∵ 1(2,0,2)AB =1||6||6AB n d n ⋅⋅===∴点1B 到平面AEF ﹒20．为预防甲型H1N1病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33.(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？(3)已知465,25y z ≥≥，求不能通过测试的概率．【答案】(1)660x =(2)90(3)211【分析】(1)根据概率与频率的关系求解；(2)根据分层抽样的抽取方法求解；(3)利用古典概率模型求解.【详解】（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.332000x =，所以660x =. （2）C 组的样本个数为2000(6737766090)500y z +=-+++=，所以应在C 组抽取500360902000⨯=. （3）由（2）可知，500y z +=，且,y z ∈N ，所以样本空间包含的基本事件有：()()()()()()465,35,466,34,467,33,468,32,469,31,470,30,()()()()()471,29,472,28,473,27,474,26,475,25,共有11个，若测试不能通过，则779020000.1z ++>⨯，解得33z >，所以包含的样本点由()()465,35,466,34共2个， 所以不能通过测试的概率为211. 21．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点，(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB;（Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB;（Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；【答案】1/3【分析】(Ⅰ)要证明线面平行，先本题先要作直线和直线FH 平行；再利用线面平行的判定定理证明即可；(Ⅱ)要证明线面垂直，只需证明直线和同一平面内的两条相交直线垂直即可.由已知四边形ABCD 是正方形可得AC BD ⊥，EG BD G ⋂=，所以只需再证明AC EG ⊥即可；(Ⅲ)要求四面体的体积，需求四面体的底面积和高即可；根据已知得BF CDEF ⊥平面，所以BF 为四面体B-DEF 的高；由EF BFC ⊥平面，得EF FC ⊥，即FC 为底面DEF 底边EF 上的高，可算出底面的面积；再代入四面体的体积公式即可.【详解】(Ⅰ)证明：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连结GE ，GH ，由于H 为BC 的中点，故1,//2GH AB GH AB =， 又1EF AB,EF //AB 2=，∴//,EF GH EF GH =，∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EG ∥FH ，而EG 平面EDB ，∴FH //EDB 平面.(Ⅱ)证明：由四边形ABCD 为正方形，有AB BC ⊥，又//EF AB ，∴EF BC ⊥，而EF FB ⊥，∴EF BFC ⊥平面，∴EF FH ⊥，∴AB FH ⊥，又BF FC =，H 为BC 的中点，∴FH BC ⊥，∴FH ABCD ⊥平面，∴FH AC ⊥，又FH//EG ，∴AC EG ⊥，又AC BD ⊥，EG BD G ⋂=，∴AC EDB ⊥平面.(Ⅲ)解：∵EF FB BFC 90⊥∠=︒，，∴BF CDEF ⊥平面，所以BF 为四面体B-DEF 的高，又BC=AB=2， ∴2BF FC =又EF BFC ⊥平面，即EF FC ⊥,∴12DEF S EF FC ∆=⋅, 111122323B DEF V -=⨯⨯=. 【解析】直线与平面平行的判定与性质；四面体的体积；直线与平面垂直的判定与性质.。