质心系动量定理

Newton 第三定律和动量守恒Newton 第二定律给出了任何物体的加速度与作用在它上面的力之间的关系，在这个基础上，原则上可以解决任何力学问题。

例如，为了确定几个粒子的运动，人们可以利用前面一节中所展开的数值方法。

但是我们有充分的理由来进一步研究Newton 定律。

首先，有一些十分简单的运动不仅可以用数值方法分析，也可以直接进行数学分析。

比如：虽然我们可以按数值方法计算简谐振子的位置，但是分析这个运动并找到一般解cos x t =，则更令人满意。

同样，一个行星由引力决定的绕太阳的运行固然可以用上一节的数值解法逐点地加以计算，从而找到轨道的一般形状，但能够得到准确的形状——分析表明这是一个完整的椭圆——就更好了。

因此，当存在一种简单而又更为精确的方法以得出结果时，再去用一系列麻烦的算术运算就毫无必要了。

遗憾的是，只有很少问题能够以分析方法精确求解。

例如就简谐振子来说，如果弹簧力不是正比于位置，而是更为复杂的话，人们就只得又回到数值解法上来。

或者，假如有两个天体绕太阳运行，使天体的总数是三个，那么分析法就无法得出一个简单的运动公式，实际上这个问题只能作数值解。

这就是有名的三体问题，今天，它已作为常规计算准确地按上一节所描述的方式进行充分的演算后，加以解决了。

十分有趣的是，人们曾经化了那么长时间才领悟到也许数学分析的能力是有限的，因而使用数值解法是必要的这个事实。

然而，也有一些两种方法都失效的情况：对简单的问题我们可以用分析方法，对适当困难的问题可以用数值和算术方法；但是对非常困难的问题则这两种方法都不能用了。

例如：两辆汽车的碰撞，或者甚至气体中分子的运动，就是一种复杂的问题。

在一立方厘米的气体中有数不清的粒子，而试图用这么许多变量(约个——即一万亿亿个)来作计算将是荒谬的。

任何问题，如果不是只有二、三个行星绕太阳运行，而是诸如象气体、木块、铁块中的分子或原子的运功，或在球状星团中许多恒星的运动之类这样的问题，我们就不能直接去解，因此只好借助于其他手段。

动量定理质心运动定理动量定理质心运动定理质点的动量定理可以表述为:质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。

用公式d(mv),Fdt表达为 (17-7)d(mv),Fdt (17-8)tptp2211设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，将(17-8)式积分，积分区tt21间为从到，得t2p,p,Fdt21,t 1 (17-9)t2Fdt,I,tttF211记，称为力在到时间间隔内的冲量。

式(17-9)为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。

(e)(i)MFFiii对于质点系而言，设为质点所受到的外力，为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得dv(e)(i)im,F，F(e)(i)iiima,F，Fdtiiii 即mi除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。

如果质点的质量不dmv()(e)(i)ii,F，Fiidt变，则有上式对质点系中任一点都成立，n个质点有n个这样的方程，把这n个方程两端相加，得ndm(v),iinn()()ei,1i,，FF,,iidt,1,1iinn(e)(i)FF,,iii,1i,1 质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和等于零。

上式中是质点dp(e),F(e)RFdtR系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作，则上式可写为(17-10)1这就是质点系动量定理的微分形式，它表明:质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。

(e)dp,Fdt 将式(17-10)写成微分形式 Rtptptt222111 设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，上式从到积分，得t2(e)p,p,Fdt21R,t,I1 (17-11)p,p0 当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。

第五章质心刚体质心运动定理ca m F v v =合外质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。

牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。

特殊的质点系——刚体m1l5.1.2 质点系动力学量的分解质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。

在质心系中质心静止==c c v r v v常矢量质心系中的运动图象各质点从质心四面散开，或向质心八方汇聚。

质心成为一个运动中心，运动时时刻刻是“各向同性的”。

质点系的动量质点系的动量等于质心的动量c p p v v =质点系相对质心的动量总是为零0=′=′∑ii i v m p vv 质点系中各质点m i 相对质心的运动),(i i v r ′′v v m iO Ci r ′v ir v Cr v 在任一参考系中质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系核反应中的资用能质点系的角动量i c i i c i v v v r r r ′+=′+=v v v v v v ,∑×=iii i v m r L v v v ∑∑∑∑′×′+×⎟⎠⎞⎜⎝⎛′+⎟⎠⎞⎜⎝⎛′×+⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=i i i i c i i i i i i c c i i c v m r v r m v m r v m r L v v v v v v v v v ∑′×′=′×=′+=ii i i c c c c v m r L v m r L L L L vv v v v v v v v , ,质点系的角动量可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和同一参考点质心为参考点m iOCi r ′v ir v Cr v 其中5.1.3 质心参考系质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力ci a m v −在质心系中质点系的动能定理和角动量定理质心系中质点系的动量恒为零，质点系的动量定理不必考虑。

第五章质心刚体质心运动定理ca m F v v =合外质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。

牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。

特殊的质点系——刚体m1l5.1.2 质点系动力学量的分解质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。

在质心系中质心静止==c c v r v v常矢量质心系中的运动图象各质点从质心四面散开，或向质心八方汇聚。

质心成为一个运动中心，运动时时刻刻是“各向同性的”。

质点系的动量质点系的动量等于质心的动量c p p v v =质点系相对质心的动量总是为零0=′=′∑ii i v m p vv 质点系中各质点m i 相对质心的运动),(i i v r ′′v v m iO Ci r ′v ir v Cr v 在任一参考系中质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系核反应中的资用能质点系的角动量i c i i c i v v v r r r ′+=′+=v v v v v v ,∑×=iii i v m r L v v v ∑∑∑∑′×′+×⎟⎠⎞⎜⎝⎛′+⎟⎠⎞⎜⎝⎛′×+⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=i i i i c i i i i i i c c i i c v m r v r m v m r v m r L v v v v v v v v v ∑′×′=′×=′+=ii i i c c c c v m r L v m r L L L L vv v v v v v v v , ,质点系的角动量可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和同一参考点质心为参考点m iOCi r ′v ir v Cr v 其中5.1.3 质心参考系质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力ci a m v −在质心系中质点系的动能定理和角动量定理质心系中质点系的动量恒为零，质点系的动量定理不必考虑。

Newton 第三定律和动量守恒Newton 第二定律给出了任何物体的加速度与作用在它上面的力之间的关系，在这个基础上，原则上可以解决任何力学问题。

例如，为了确定几个粒子的运动，人们可以利用前面一节中所展开的数值方法。

但是我们有充分的理由来进一步研究Newton 定律。

首先，有一些十分简单的运动不仅可以用数值方法分析，也可以直接进行数学分析。

比如：虽然我们可以按数值方法计算简谐振子的位置，但是分析这个运动并找到一般解cos x t =，则更令人满意。

同样，一个行星由引力决定的绕太阳的运行固然可以用上一节的数值解法逐点地加以计算，从而找到轨道的一般形状，但能够得到准确的形状——分析表明这是一个完整的椭圆——就更好了。

因此，当存在一种简单而又更为精确的方法以得出结果时，再去用一系列麻烦的算术运算就毫无必要了。

遗憾的是，只有很少问题能够以分析方法精确求解。

例如就简谐振子来说，如果弹簧力不是正比于位置，而是更为复杂的话，人们就只得又回到数值解法上来。

或者，假如有两个天体绕太阳运行，使天体的总数是三个，那么分析法就无法得出一个简单的运动公式，实际上这个问题只能作数值解。

这就是有名的三体问题，今天，它已作为常规计算准确地按上一节所描述的方式进行充分的演算后，加以解决了。

十分有趣的是，人们曾经化了那么长时间才领悟到也许数学分析的能力是有限的，因而使用数值解法是必要的这个事实。

然而，也有一些两种方法都失效的情况：对简单的问题我们可以用分析方法，对适当困难的问题可以用数值和算术方法；但是对非常困难的问题则这两种方法都不能用了。

例如：两辆汽车的碰撞，或者甚至气体中分子的运动，就是一种复杂的问题。

在一立方厘米的气体中有数不清的粒子，而试图用这么许多变量(约个——即一万亿亿个)来作计算将是荒谬的。

任何问题，如果不是只有二、三个行星绕太阳运行，而是诸如象气体、木块、铁块中的分子或原子的运功，或在球状星团中许多恒星的运动之类这样的问题，我们就不能直接去解，因此只好借助于其他手段。

质心系角动量定理质心系角动量定理是指：在不受外力矩作用的情况下，质心系的角动量保持不变。

如果系统的总质量为M，质心的角动量为L_cm，则质心系角动量定理可以用以下数学表达式表示：dL_cm/dt = 0其中，dL_cm表示角动量的变化率，dt表示时间的微小变化量。

质心系角动量定理可以通过质心系动量矩阵的变化和角动量的定义来进行推导。

在质心系中，系统的总动量等于零，即：dP_cm/dt = 0其中，dP_cm表示动量的变化率。

由牛顿第二定律可知，总外力矩等于总动量的变化率，即：M*dV_cm/dt = dP_cm/dt其中，M表示系统的总质量，dV_cm表示质心速度的变化率。

又根据角动量的定义可以得到：L_cm = r_cm x P_cm其中，r_cm表示质心相对于某一点的位置矢量，P_cm表示质心的动量。

对上式求时间的导数，可得：dL_cm/dt = d(r_cm x P_cm)/dt根据向量的微分运算性质和叉乘的定义，可得：dL_cm/dt = (d(r_cm)/dt) x P_cm + r_cm x (dP_cm/dt)由于质心相对于某一点的位置矢量的导数为质心速度，即：d(r_cm)/dt = V_cm所以可以重新写成：dL_cm/dt = V_cm x P_cm + r_cm x (dP_cm/dt)由于质心系中系统的总动量等于零，即：dP_cm/dt = 0所以上式可以简化为：dL_cm/dt = V_cm x P_cm由于质心速度V_cm与质心的动量P_cm垂直，所以：V_cm x P_cm = 0于是可以得到：dL_cm/dt = 0这就是质心系角动量定理的数学表达式。