理论力学第十章质心运动定理动量定理习题

理论力学11章作业题解11-3 已知均质圆盘的质量为m ，半径为R ，在图示位置时对O 1点的动量矩分别为多大？图中O 1C=l 。

解 (a) 21l m l mv L c O w == ，逆时针转动。

(b) w w 2210||1mR J L v m r L c c c O =+=+´=rr ，逆时针转动。

(c ) )2(2221222121l R m ml mR ml J J c O +=+=+=w w )2(222111l R m J L O O +==，逆时针转动。

(d)ww mR R l mv R l R v mR l mv J l mv L v m r L c c c c c c c O )5.0()5.0(/||2211-=-=-=-=+´= r r，顺时针转动解毕。

v cv cv c11-5 均质杆AB 长l 、重为G 1，B 端刚连一重G 2的小球，弹簧系数为k ，使杆在水平位置保持平衡。

设给小球B 一微小初位移0d 后无初速度释放，试求AB 杆的运动规律。

解 以平衡位置（水平）为0=j ，顺时针转为正。

平衡时弹簧受力为：)5.0(312G G F s +=弹簧初始变形量：k G G k F s st /)5.0(3/12+==d在j 角时弹簧的拉力为（小位移）：3/)5.0(3)3/(12l k G G l k F st s j j d ++=+=¢系统对A 点的动量矩：j j j&&&221233l gG G l l g G J L A A +=×+= 对点的动量矩定理)(/å=Ei A A F M dt dL r ：j j 93/5.033221221kl l F lG lG l g G G s -=¢-+=+&& 0)3(321=++j jG G gk &&，令)3(3212G G gkp +=则有02=+j jp &&，其解为： )cos()sin(pt B pt A +=j由初始条件0| ,/|000====t t l jd j &得l B A / ,00d ==。

第一章静力学公理和物体的受力分析1、画出下列各图中物体构件AB，CD的受力图。

未画重力的各物体的自重不计，所有接触处均为光滑接触。

2、画出下列每个标注字符的物体的受力图与系统整体受力图。

题图中未画重力的各物体的自重不计，所有接触处均为光滑接触。

第二章 平面汇交力系与平面力偶系1、物体重P =20kN ，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另一端接在铰车D 上，如图所示。

转动铰车，物体便能升起。

设滑轮的大小、AB 与CB 杆自重及摩擦略去不计，A 、B 、C 三处均为铰链连接。

当物体处于平衡状态时，试求拉杆AB 和支杆CB 所受的力。

2、铰链四杆机构CABD 的CD 边固定，在铰链A 、B 处有力1F 、2F 作用，如图所示。

该机构在图示位置平衡，杆重略去不计。

求力F 1与F 2的关系。

3、在图示结构中，各构件的自重略去不计。

在构件AB上作用一力偶矩为M的力偶，求支座A和C的约束反力。

4、在图示机构中，曲柄OA上作用一力偶，其矩为M；另在滑块D上作用水平力F。

机构尺寸如图所示，各杆重量不计。

求当机构平衡时，力F与力偶矩M的关系。

第三章 平面任意力系1、已知N 1501=F ，N 2002=F ，N 3003=F ，N 200'==F F 。

求力系向点O 的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O 的距离d 。

2、一水平简支梁结构，约束和载荷如图所示，求支座A 和B 的约束反力。

3、水平梁AB 由铰链A 和杆BC 支持，如图所示。

在梁的D 处用销子安装半径为r =0.1m 的滑轮。

有一跨过滑轮的绳子，其一端水平地系在墙上，另一端悬挂有重为P =1800N 的重物。

如AD =0.2m ，BD =0.4m ，ϕ=45°，且不计梁、滑轮和绳子的自重。

求固定铰支座A 和杆BC 的约束力。

4、由AC 和CD 构成的组合梁通过铰链C 连接。

它的支承和受力如图所示。

已知均布载荷强度kN/m 10=q ，力偶矩m kN 40⋅=M ，不计梁重。

1.如图(a)所示，“ ”型木块放在光滑水平地面上，木块水平表面AB 粗糙，光滑表面BC 且与水平面夹角为θ=37°．木块右侧与竖直墙壁之间连接着一个力传感器，当力传感器受压时，其示数为正值；当力传感器被拉时，其示数为负值．一个可视为质点的滑块从C 点由静止开始下滑，运动过程中，传感器记录到的力和时间的关系如图(b)所示．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取10m/s 2．求： (1) 斜面BC 的长度；(2) 滑块的质量；(3) 运动过程中滑块克服摩擦力做的功．2.甲、乙两船在平静的湖面上以相同的速度匀速航行，且甲船在前乙船在后．从甲船上以相对于甲船的速度 ，水平向后方的乙船上抛一沙袋，其质量为m ．设甲船和沙袋总质量为M ，乙船的质量也为M ．问抛掷沙袋后，甲、乙两船的速度变化多少？F/Nt/s-5121 2 3图(b )图(a )AθB C力传感器3.(2011·新课标全国卷)如图，A、B、C三个木块的质量均为m。

置于光滑的水平面上，B、C之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不固连，将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B和C紧连，使弹簧不能伸展，以至于B、C可视为一个整体，现A以初速v沿B、C的连线方向朝B运动，与B相碰并粘合在一起，以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C与A，B分离，已知C离开弹簧后的速度恰为v，求弹簧释放的势能。

4．一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上，其截面如图所示。

图中ab为粗糙的水平面，长度为L；bc为一光滑斜面，斜面和水平面通过与ab和bc均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接。

现有一质量为m的木块以大小为v0的水平初速度从a点向左运动，在斜面上上升的最大高度为h，返回后在到达a点前与物体P相对静止。

重力加速度为g。

求：(1)木块在ab段受到的摩擦力f；(2)木块最后距a点的距离s。

5．( 2010·天津)如图所示，小球A系在细线的一端，线的另一端固定在O点，O点到水平面的距离为h 。

《理论力学》思考题及习题宁夏大学机械工程学院技术基础部使用教材：理论力学（Ⅰ）．哈尔滨工业大学理论力学教研室，第六版．北京：高等教育出版社．说明：以下各章的思考题及习题的页码和题号均以“哈工大”第六版《理论力学》教材为准。

静力学第一章静力学公理和物体的受力分析思考题：１.合矢与合力概念相同吗？２.几何法求合矢时，分矢与合矢怎样区别？３.力沿任意两个轴分解时的两个分力与力向该二轴的投影大小是否相同？４.二力平衡与作用力、反作用力的概念有什么不同？５.二力杆或二力构件的受力特点是什么？６.不计重力但作用有力偶的杆是二力杆吗？７.三力平衡汇交时怎样确定第三个力的作用线方向？８.画受力图的一般步骤是什么？在画物系中各个分离体的受力图时需要注意什么？９.P18思考题。

习题：P20－２１：1-1 (a) (c) (d) (e) (g) (i) (j) (k)； 1-2 (a) (d) (f)（i）(m) (o) 第二章平面汇交力系与平面力偶系思考题：１．汇交力系的几何法与解析法在应用上各有什么特点？２．解平衡问题时的一般步骤与注意事项？３．解物系问题时的注意事项？４．P33思考题。

５．力偶的特点与等效条件是什么？６．解力偶系平衡问题时的一般步骤与注意事项？习题：P３６－４０：2－1；2－3； 2－9； 2--12 (a) (c)；2—14；2—17第三章平面任意力系思考题：１．力线平移定理的含义？２．用二矩式、三矩式求解问题时，附加什么条件才能保证物系平衡？３．求解平衡问题时，有哪些技巧可以使计算方便？４．P61思考题。

５．物系问题的解题思路？怎样选取研究对象？怎样列方程？６．销钉既受力又连接两个以上物体时的受力分析需掌握什么原则？７．怎样能做到一个方程求解一个未知数？８．节点法的本质是什么？９．截面法的本质是什么？１０．怎样判断零杆？习题：Ｐ６３－７１：３－１；３－４；３－６；３－１２（a）；３－１３；３－２２；３－３４第四章空间力系思考题：１．空间力系化简结果与平面力系化简结果的关系？２．什么力系有六个平衡方程？什么力系有三个平衡方程？什么力系有两个平衡方程？什么力系只有一个平衡方程？３．计算重心的常用方法。

动量定理习题参考答案及解答1．题图1所示系统中各杆都为均质杆。

已知：杆OA 、CD 的质量各为m ，杆AB 质量为2m ，且OA =AC =CB =CD =l ，杆OA 以角速度ω 转动，求图示瞬时各杆动量的大小并在图中标明其动量的方向。

答案：ωωωml p ml p ml p CD AB OA 22 ,22 ,2===，方向如图。

注意：图中所示仅是动量的方向，并不表示合动量的作用线。

2．一颗质量为m ＝30g 的子弹，以v 0=500m/s 的速度射入质量m A =4.5kg 的物块A 中。

物块A 与小车BC 之间的动摩擦系数f D =0.5。

已知小车的质量m BC =3.5kg ，可以在光滑的水平地面上自由运动。

试求：（1）车与物块的末速度v ；（2）物块A 在车上距离B 端的最终位置。

提示：整体而言，根据水平方向动量守恒可先求得车与物块的末速度v ；子弹射入物块瞬时物块与子弹的速度v 1；然后计算物块与小车之间的动滑动摩擦力F D ；进而求得小车和物块的加速度，再分别求得小车和物块的位移；最后求得相对位移和物块A 在车上距离B 端的最终位置。

答案：)(113)2(),/(868.1)1(mm s m v =3．如题图3所示，均质杆AB ，长l ，直立在光滑水平面上。

求它从铅直位置无初速地倒下时，端点A 相对图示坐标系的轨迹。

提示：水平方向质心守恒。

答案： 2224l y x =+4．质量为m 1的棱柱体A ，其顶部铰接一质量为m 2、边长为a 和b 的棱柱体B ，初始静止，如图所示。

忽略棱柱A 与水平面的摩擦，若作用在B 上的力偶使其绕O 轴转动90o （由图示的实线位置转至虚线位置），试求棱柱体A 移动的距离。

设A 与B 的各边平行。

提示：水平方向质心守恒。

答案：棱柱体A 移动的距离 )(2)(212m m b a m x ++= （向左） 5．如图所示水平面上放一均质三棱柱A ，在其斜面上又放一均质三棱柱B 。

第十章 质心运动定理与动量定理思 考 题10-1 分析下列陈述是否正确：（１） 动量是一个瞬时的量，相应地，冲量也是一个瞬时的量。

（２） 将质量为m 的小球以速度向上抛，小球回落到地面时的速度为。

因与的大小相等，所以动量也相等。

　1v 2v 1v 2v （３） 力F 在直角坐标轴上的投影为、、，作用时间从t ＝０到t ＝t x F y F z F １，其冲量的投影应是111,,t F I t F I t F I z z y y x x ===。

（４） 一物体受到大小为10 N 的常力F 作用，在t ＝3 s 的瞬时，该力的冲量的大小I = Ft = 30 N ·s。

10-2 当质点系中每一质点都作高速运动时，该系统的动量是否一定很大？为什么? 10-3 炮弹在空中飞行时，若不计空气阻力，则质心的轨迹为一抛物线。

炮弹在空中爆炸后，其质心轨迹是否改变?又当部分弹片落地后，其质心轨迹是否改变?为什么?10-4 质量为的楔块A 放在光滑水平面上。

质量为的杆BC 可沿铅直槽运动，其一端放在楔块A 上。

在思考题10-４附图所示瞬时，楔块的速度为，加速度为，求此时系统质心的速度及加速度。

1m 2m A v Aa思考题10-4附图 思考题10-5附图 10-5 质点系由三个质量均为m 的质点组成。

在初瞬时，这三个质点位于思考题10-5 附 0t 图所示位置，并分别具有初速度。

已知CO BO AO v v v ,,,235.1,200k j i v k v ++==B A i v 30=C 。

试 求此时质点系质心的位置及速度。

长度单位为m ，时间单位为s 。

6-6 试求思考题10-6附图所示各均质物体的动量，设各物体质量均为m 。

思考题10-6附图10-7 两个半径和质量相同的均质圆盘A,B ，放在光滑的水平面上，分别受到力 的作用，如思考题10-7附图所示，且B A F F ,B A F F =。

设两圆盘受力后自静止开始运动，在某一瞬时两圆盘的动量分别为。

动量定理精选习题一、单选题（本大题共7小题，共28.0分）1.如图所示，质量相等的五个物块在光滑水平面上，间隔一定距离排成一条直线.具有初动能E0的物块1向其它4个静止的物块运动，依次发生碰撞，每次碰撞后不再分开.最后5个物块粘成一个整体.这个整体的动能等于()A. E0B. 45E0 C. 15E0 D. 125E02.如图所示，小车静止在光滑水平面上，AB是小车内半圆弧轨道的水平直径，现将一小球从距A点正上方h高处由静止释放，小球由A点沿切线方向经半圆轨道后从B点冲出，在空中能上升的最大高度为0.8ℎ，不计空气阻力.下列说法正确的是()A. 在相互作用过程中，小球和小车组成的系统动量守恒B. 小球离开小车后做竖直上抛运动C. 小球离开小车后做斜上抛运动D. 小球第二次冲出轨道后在空中能上升的最大高度为0.6ℎ3.如图所示，半径为R、质量为M的14光滑圆槽置于光滑的水平地面上，一个质量为m的小木块从槽的顶端由静止滑下.则木块从槽口滑出时的速度大小为()A. √2gRB. √2gRMM+mC. √2gRmM+mD. √2gR(M−m)M4.如图所示，甲、乙两人各站在静止小车的左右两端，当他俩同时相向行走时，发现小车向右运动.下列说法不正确的是(车与地面之间无摩擦)()A. 乙的速度必定大于甲的速度B. 乙对小车的冲量必定大于甲对小车的冲量C. 乙的动量必定大于甲的动量D. 甲、乙动量总和必定不为零5.质量为m的物体，沿半径为R的轨道以速率v做匀速圆周运动，如图所示，取v B方向为正方向，求物体由A至B过程所受的合外力在半周期内的冲量()A. 2mvB. −2mvC. mvD. −mv6.两球A、B在光滑水平面上沿同一直线，同一方向运动，m A=1kg，m B=2kg，v A=6m/s，v B=2m/s.当A追上B并发生碰撞后，两球A、B速度的可能值是()A. v A′=5m/s，v B′=2m/sB. v A′=2m/s，v B′=4m/sC. v A′=−4m/s，v B′=7m/sD. v A′=7m/s，v B′=1.5m/s7.有一条捕鱼小船停靠在湖边码头，小船又窄又长，甲同学想用一个卷尺粗略测定它的质量，他进行了如下操作：首先将船平行码头自由停泊，然后他轻轻从船尾上船，走到船头后停下，另外一位同学用卷尺测出船后退的距离d，然后用卷尺测出船长L.已知甲同学的质量为m，则渔船的质量为( )A. m(L+d)d B. m(L−d)dC. mLdD. m(L+d)L二、多选题（本大题共3小题，共12.0分）8.如图所示，在质量为M(含支架)的小车中用轻绳悬挂一小球，小球的质量为m0，小车和小球以恒定速度v沿光滑水平地面运动，与位于正对面的质量为m的静止木块发生碰撞，碰撞的时间极短.在此碰撞过程中，下列哪个或哪些说法是可能发生的？()A. 在此过程中小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为v1、v2、v3，满足(M+m0)v=Mv1+mv2+m0v3B. 在此碰撞过程中，小球的速度不变，小车和木块的速度分别为v1和v2，满足(M+m0)v=Mv1+mv2C. 在此碰撞过程中，小球的速度不变，小车和木块的速度都变成u，满足Mv=(M+m)uD. 碰撞后小球摆到最高点时速度变为为v1，木块的速度变为v2，满足(M+m0)v=(M+m0)v1+mv29.一静止的铝原子原子核 1327Al俘获一速度为1.0×107m/s的质子p后，变为处于激发状态的硅原子核 1428Si，下列说法正确的是()A. 核反应方程为p+ 1327Al→ 1428SiB. 核反应方程过程中系统动量守恒C. 核反应过程中系统能量不守恒D. 核反应前后核子数相等，所以生成物的质量等于反应物的质量之和E. 硅原子核速度的数量级105m/s，方向与质子初速度方向一致10.如图所示，质量M=3kg的滑块套在水平固定着的轨道上并可在轨道上无摩擦滑动.质量m=2kg的小球(视为质点)通过长L=0.75m的轻杆与滑块上的光特轴O连接，开始时滑块静止、轻杆处于水平状态.现给小球一个v0=3m/s的竖直向下的初速度，取g=10m/s2则()A. 小球m从初始位置到第一次到达最低点的过程中，滑块M在水平轨道上向右移动了0.3mB. 小球m从初始位置到第一次到达最低点的过程中，滑块对在水平轨道上向右移动了0.5mC. 小球m相对于初始位置可以上升的最大高度为0.27mD. 小球m从初始位置到第一次到达最大高度的过程中，滑块M在水平轨道上向右移动了0.54m三、计算题（本大题共10小题，共100.0分）11.如图所示，质量为5kg的木板B静止于光滑水平面上，物块A质量为5kg，停在B的左端.质量为1kg的小球用长为0.45m的轻绳悬挂在固定点O上，将轻绳拉直至水平位置后，由静止释放小球，小球在最低点与A发生碰撞后反弹，反弹所能达到的最大高度为0.2m，物块与小球可视为质点，不计空气阻力.已知A、B间的动摩擦因数为0.1，为使A、B达到共同速度前A不滑离木板，重力加速度g=10m/s2，求：(1)碰撞后瞬间物块A的速度大小为多少；(2)木板B至少多长；(3)从小球释放到A、B达到共同速度的过程中，小球及A、B组成的系统损失的机械能．12.如图所示，宽为L=0.1m的MN、PQ两平行光滑水平导轨分别与半径r=0.5m的相同竖直半圆导轨在N、Q端平滑连接，M、P端连接定值电阻R，质量M=2kg的cd绝缘杆垂直静止在水平导轨上，在其右侧至N、Q端的区域内充满竖直向上的匀强磁场，B=1T.现有质量m=1kg的ab金属杆，电阻为R o，R o=R=1Ω，它以初速度v0=12m/s水平向右与cd绝缘杆发生正碰后，进入磁场并最终未滑出，cd 绝缘杆则恰好能通过半圆导轨最高点，不计其它电阻和摩擦，ab金属杆始终与导轨垂直且接触良好，取g=10m/s2，求：(1)碰后瞬间cd绝缘杆的速度大小v2与ab金属杆速度大小v1；(2)碰后ab金属杆进入磁场瞬间受到的安培力大小F ab；(3)ab金属杆进入磁场运动全过程中，电路产生的焦耳热Q．13.如图所示，在光滑的水平面上有一带半圆形光滑弧面的小车，质量为M，圆弧半径为R，从距车上表面高为H处静止释放一质量为m的小球，它刚好沿圆弧切线从A点落入小车，求(1)小球到达车底B点时小车的速度和此过程中小车的位移；(2)小球到达小车右边缘C点处，小球的速度．14.如图所示，质量为3m的木块静止放置在光滑水平面上，质量为m的子弹(可视为质点)以初速度v0水平v0，试求：向右射入木块，穿出木块时速度变为25①子弹穿出木块后，木块的速度大小；②子弹穿透木块的过程中产生的热量．15.在光滑水平面上静止有质量均为m的木板AB和滑块CD，木板AB上表面粗糙，滑块CD上表面是光圆弧，他们紧靠在一起，如图所示.一个可视为质点的物块P，质量也为m，它从木板AB的右端滑的14以初速度v0滑上木板，过B点时速度为v0，然后又滑上滑块CD，最终恰好能滑到滑块CD圆弧的最高2点C处.若物体P与木板AB间的动摩擦因数为μ，求：(1)物块滑到B处时木板AB的速度v1的大小；(2)木板AB的长度L；(3)滑块CD最终速度v2的大小．16.质量为M的平板车P高h，质量为m的小物块Q的大小不计，位于平板车的左端，系统原来静止在光滑水平面地面上.一不可伸长的轻质细绳长为R，一端悬于Q正上方高为R处，另一端系一质量也为m 的小球(大小不计).今将小球拉至悬线与竖直位置成60∘角，由静止释放，小球到达最低点时与Q的碰撞时间极短，且无能量损失，已知Q离开平板车时速度大小是平板车速度的两倍，Q与P之间的动摩擦因数为μ，M：m=4：1，重力加速度为g.求：(1)小物块到达最低点与Q碰撞之前瞬间的速度是多大？(2)小物块Q离开平板车时平板车的速度为多大？(3)平板车P的长度为多少？(4)小物块Q落地时距小球的水平距离为多少？17.如图所示，水平地面上竖直固定一个光滑的、半径R=0.45m的1圆弧轨道，A、B分别是圆弧的端点，4圆弧B点右侧是光滑的水平地面，地面上放着一块足够长的木板，木板的上表面与圆弧轨道的最低点B 等高，可视为质点的小滑块P1和P2的质量均为m=0.20kg，木板的质量M=4m，P1和P2与木板上表面的动摩擦因数分别为μ1=0.20和μ2=0.50，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力；开始时木板的左端紧靠着B，P2静止在木板的左端，P1以v0=4.0m/s的初速度从A点沿圆弧轨道自由滑下，与P2发生弹性碰撞后，P1处在木板的左端，取g=10m/s2.求：(1)P1通过圆弧轨道的最低点B时对轨道的压力；(2)P2在木板上滑动时，木板的加速度为多大？(3)已知木板长L=2m，请通过计算说明P2会从木板上掉下吗？如能掉下，求时间？如不能，求共速？18.如图所示，质量为M的平板车P高h，质量为m的小物块Q的大小不计，位于平板车的左端，系统原来静止在光滑水平面地面上.一不可伸长的轻质细绳长为R，一端悬于Q正上方高为R处，另一端系一质量也为m的小球(大小不计).今将小球拉至悬线与竖直位置成60∘角，由静止释放，小球到达最低点时与Q的碰撞时间极短，且无能量损失，已知Q离开平板车时速度大小是平板车速度的两倍，Q与P之间的动摩擦因数为μ，M：m=4：1，重力加速度为g.求：(1)小物块Q离开平板车时速度为多大？(2)平板车P的长度为多少？(3)小物块Q落地时距小球的水平距离为多少？19.如甲图所示，光滑导体轨道PMN和是两个完全一样轨道，是由半径为r的四分之一圆弧轨道和水平轨道组成，圆弧轨道与水平轨道在M和点相切，两轨道并列平行放置，MN和位于同一水平面上，两轨道之间的距离为L，之间有一个阻值为R的电阻，开关K是一个感应开关(开始时开关是断开的)，是一个矩形区域内有竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场，水平轨道MN离水平地面的高度为h，其截面图如乙所示。

动量定理 质心运动定理质点的动量定理可以表述为：质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。

用公式表达为 Fv =)(m dt d（17-7）dt m d F v =)( （17-8）设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，将（17-8）式积分，积分区间为从1t 到2t ，得⎰=-2112t t dtF p p （17-9）记IF =⎰21t t dt ，称为力F 在1t 到2t 时间间隔内的冲量。

式（17-9）为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。

对于质点系而言，设)(e i F 为质点i M 所受到的外力，)(i i F 为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得)(i i (e)ii i m F F a += 即)()(i i e i iidt d m F F v +=除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。

如果质点的质量i m 不变，则有 )()()(i i e i i i dt m d F F v +=上式对质点系中任一点都成立，n 个质点有n 个这样的方程，把这n 个方程两端相加，得∑∑∑===+=ni i i ni e ini i i dtm d 1)(1)(1)(F F v质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和∑=ni i iF1)(等于零。

上式中∑=ni e iF1)(是质点系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作)(e RF ，则上式可写为)(e R dt d F p= （17-10）这就是质点系动量定理的微分形式，它表明：质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。

将式（17-10）写成微分形式dt d e R )(F p =设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，上式从1t 到2t 积分，得⎰=-21)(12t t e R dtF p p I =（17-11）当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即0p p =这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。

理论力学课后习题答案-第10章--动能定理及其应用-)(a)v ϕABC rv 1v 1v 1ωϕ(a)CCωCvωO第10章 动能定理及其应用10－1 计算图示各系统的动能：1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。

在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，θ = 45º（图a ）。

2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。

3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。

细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为ω（图c ）。

解：1．222222163)2(2121)2(212121BBB CCCmv r v mr v m J mv T =⋅+=+=ω 2．222122222214321)(21212121v m v m r v r m v m vm T +=⋅++= 3．22222222)2(212121ωωωωmR R m mR mR T =++=10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。

现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。

当杆与铅垂线的夹角为ϕ时，试求系统的动能。

解：图（a ） B AT T T +=)2121(21222211ωC CJ vgWv g W ++=21221121212211122]cos 22)2[(22ωϕωω⋅⋅+⋅++++=l gW l l v l v l g W v g W]cos 31)[(2111221222121ϕωωv l W l W v W W g +++=10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。

齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。

第十章 质心运动定理 动量定理 习题解[习题10-1] 船A 、B 的重量分别为kN 4.2及kN 3.1，两船原处于静止间距m 6。

设船B 上有一人，重N 500，用力拉动船A ，使两船靠拢。

若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，船B 移动的距离。

解：以船A 、B 及人组成的物体系统为质点 系。

因为质点系在水平方向不受力。

即：设B 船向左移动了S 米， 则A 船向右移动了6－S 米。

由质点系的动量定理得：[习题10-2] 电动机重1P ，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长L 2，重2P ，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重3P 的物体，设机轴的角速度为ω（ω为常量），开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。

试求电动机的水平运动。

解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。

其受力与运动分析如图所示。

匀质杆作平面运动。

因为质点系在水平方向上不受力，所以 由动量定理得：这就是电动机的水平运动方程。

[习题10-3] 浮动起重机起吊重kN P 201=的重物，起重机重kN P 2002=，杆长m OA 8=，开始时杆与铅垂位置成060角，忽略水的阻力，杆重不计，当起重杆OA 转到与铅垂位置成030角时，求起重机的位移。

解：以重物和起重机构成的物体系统为质系。

因为质点系在水平方向不受力，所以0=x Fconst x C ＝。

即OA 运动前后，质点系的质心保持不变。

也就是质心守恒。

当OA 杆转到与铅垂位置成030角时，质点系质心的横坐标为： 当OA 杆转到与铅垂位置成030角时， 质点系质心的横坐标为： 因为质心守恒，所以21C C x x =，即：故，当起重杆OA 转到与铅垂位置成030角时，起重机向左移动了0.2662米。

[习题10-4] 匀质圆盘绕偏心轴O 以匀角速度ω转动。

重P 的夹板借右端弹簧推压面顶在圆盘上，当圆盘转动时，夹板作住复运动。

设圆盘重W ，半径为r ，偏心距为e ，求任一瞬时作用于基础和别螺栓的动反力。

习 题10-1 计算图10-7所示各种情况下系统的动量。

(1) 如图10-7a 所示，质量为m 的匀质圆盘沿水平面滚动，圆心O 的速度为0v ；(2) 如图10-7b 所示，非匀质圆盘以角速度ω绕O 轴转动，圆盘质量为m ，质心为C ，偏心距OC=a ；(3) 如图10-7c 所示，胶带轮传动，大轮以角速度ω转动。

设胶带及两胶带轮为匀质的；(4) 如图10-7d 所示，质量为m 的匀质杆，长度为l ，绕铰O 以角速度ω转动。

图10-7(a) 0v p m =； (b) ωma p =（方向与C 点速度方向相同）；(c) 0=p ；(d) 2ωml p = （方向与C点速度方向相同）。

10-2 如图10-8所示，椭圆规尺AB 的质量为2m 1，曲柄OC 的质量为m 1，而滑块A 和B 的质量均为m 2。

已知：OC =AC =CB = l ；曲柄和尺的质心分别在其中点上；曲柄绕O 轴转动的角速度ω为常量。

当开始时，曲柄水平向右，试求此时质点系的动量。

图10-8方法一CAB COC B B A A m m m m v v v v p +++=2CC B A m m m m v v v v 112222+++=C B A m m v v v 1225)(++=因)c o s s i n (j i v ϕϕω+-=l Cj v ϕωcos 2l A = i v ϕωs i n 2l B -=故)cos sin (25)sin 2cos 2(12j i i j p ϕϕωϕωϕω+-+-=l m l l m)cos sin (24521j i ϕϕω+-+=l m m (与v C 方向相同)方法二规尺AB 、滑块A 和B 质心C 处，质量为2(m 1+m 2) 因此系统质心在OC 上，离O 轴距离mlm m ml m m l m 245)(2221211+=++⨯=ξ质心速度ωξωξl m m m m 24521+===v p (方向垂直于OC )10-3 跳伞者质量为60kg ，自停留在高空中的直升飞机中跳出，落下100m 后，将降落伞打开。

第 第10 10章 动量定理和 动量定理和动量矩定理动量矩定理第 第10 10章 动量定理和动量矩定理 □ 动量定理、动量矩定理 □ 质心运动定理 □ 讨论□ 质点系相对质心的动量矩定理□动量定理和动量矩定理的应用□ 动量、动量矩动量、动量矩★ 质点动量质点动量 质点的动量质点的动量 (momentum) —— 质点的 质量与质点速度的乘积，称为质点的动量质量与质点速度的乘积，称为质点的动量 = vp m = 动量具有矢量的全部特征，所以动量 是矢量，而且是定位矢量。

是矢量，而且是定位矢量。

所有质点动量的矢量和，称为 所有质点动量的矢量和，称为质点系的动 量 量，又称为 ，又称为动量系的主矢量 动量系的主矢量，简称为 ，简称为动量主矢 动量主矢。

= ii im v p å = ★ 质点系动量质点系动量 质点系运动时，系统中的所有质点在每一瞬时都具有各自的动量矢。

质点系中所有质点动量矢的集合，称为 的动量矢。

质点系中所有质点动量矢的集合，称为动量系。

动量系。

= ) , , , ( 2 2 1 1 nn m m m v v v p × × × = 根据质点系质心的位矢公式根据质点系质心的位矢公式 iii Cmm i i i C å = rr iii Cmm i i i C å = vv Cm v p =★ 冲量冲量 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量，用I 表示即 I = F t若作用力F 为变量，在微小时间间隔d t 内，F 的冲量称为元冲量。

即 d I = F d t力F 在作用时间t 内的冲量是矢量积分ò = ttd F I★ 质点动量矩 ★ 质点系动量矩□ 动量矩动量矩( v r v M mm O ´ = ) ( 质点对于点 质点对于点OO 的位矢与质点 动量叉乘，所得到的矢量称为 质点对于点 质点对于点O O 的动量矩。