2020-2021学年数学人教A版必修4课件：模块综合测试

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模块综合测评(时间：120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。

已知角α的终边经过点P（4,—3）,则2sin α+cos α的值等于()A.—B。

C.D。

—解析：根据三角函数的定义可知sin α=-，cos α=,∴2sin α+cos α=-=-.答案：D2.sin cos的值是()A.0 B。

-C。

D。

2解析:原式=2=2sin=—2sin=-,故选B。

答案：B3.(2016•新疆阿克苏高一期末）函数y=cos 2x+sin2x,x∈R的值域是（)A.[0，1] B。

C。

[—1，2］D.[0,2］解析：因为函数y=cos 2x+sin2x=cos 2x+cos 2x=cos 2x,且x∈R，所以cos 2x∈[-1,1］,所以cos 2x∈［0,1].故选A.答案:A4。

已知两向量a=(2,sin θ）,b=(1,cos θ)，若a∥b，则的值为（)A.2 B。

3 C.4 D。

5解析：∵a∥b，∴2cos θ=sin θ,∴tan θ=2,∴=2+tan θ=4.答案：C5.已知函数f （x ）=sin ωx+cos ωx （ω〉0)，x ∈R .在曲线y=f （x ）与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为，则f (x ）的最小正周期为( ） A.B 。

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模块测试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两个部分.满分1５0分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共6０分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)１.与-４6３°终边相同的角可以表示为（k∈Z)（）A．ｋ·360°＋４63°ﻩＢ.k·360°＋１0３°Ｃ．k·3６０°+２５7° D.ｋ·360°－25７°答案C２．下列关系式中，不正确的是（)Ａ.sin5８5°〈0 ﻩＢ．tａn（－67５°)〉0C.ｃos(－6９0°)〈0 D．sin１ 010°〈０答案C解析585°＝3６0°＋225°是第三象限角,则sin５85°<0;-６75°＝-72０°+4５°，是第一象限角,∴ｔan(－675°)〉0;１０1０°=1 ０80°-70°,是第四象限角,∴sｉn１ 01０°＜0;而-6９0°＝－7２0°＋３0°是第一象限角,∴ｃos(－6９0°)>0．3.如图,在正六边形AＢCDＥＦ中，点O为其中心,则下列判断错误的是( )A．错误!=错误!ﻩB．错误!∥错误!Ｃ.｜错误!|=|错误!｜ﻩD。

模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于( )A.1213B.513C ．－513D ．－12132．已知向量a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则实数k 等于( ) A.12B ．－2C ．－7D ．3 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( ) A ．－16B ．－8C ．8D ．164．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A.25B ．－25 C.25或－25D ．－155．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4B ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4C ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4 6．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，a ，b 的夹角为30°，则a ·b 等于( )A.32B.3C ．23D.127．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13C ．－13D ．－239．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是( )A ．7,5B ．7，－112C ．5，－112D ．7，－510．已知向量a ＝(sin(α＋π6)，1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于( )A ．－34B ．－14C.34D.1411．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．1212．已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4B.⎣⎡⎦⎤π4，5π12C.⎣⎡⎦⎤π12，5π12D.⎣⎡⎦⎤5π12，π2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．sin2010°＝________.14．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ(θ为锐角)，且a ∥b ，则tan θ＝________.15．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →上的投影为________．16．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点(2，－12)，则函数f (x )＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的最大值．18．(12分)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .19．(12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．20．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．21．(12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ).(1)求f (－1112π)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．22．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α.模块综合检测(A)答案1．D [∵cos 2A ＋sin 2A ＝1，且sin A cos A ＝－512，∴cos 2A ＋(－512cos A )2＝1且cos A <0，解得cos A ＝－1213.]2．D [∵a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )．∴b ＝(a ＋b )－a ＝(1，k )－(2,1)＝(－1，k －1)． ∵a ⊥b .∴a ·b ＝－2＋k －1＝0 ∴k ＝3.]3．D [AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝AC →2＋0＝16.]4．B [∵sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2.∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1＝－25.] 5．A [由图可知，A ＝4，且⎩⎪⎨⎪⎧6ω＋φ＝0，－2ω＋φ＝－π，解得⎩⎨⎧ω＝π8φ＝－34π.∴y ＝4sin(π8x －3π4)＝－4sin(π8x ＋π4)．]6．B [由cos30°＝a ·b|a ||b |得32＝a ·b 2cos15°·4sin15°＝a ·b 4sin30° ∴a ·b ＝3，故选B.]7．C [y ＝cos(x ＋π3)＝sin(x ＋π3＋π2)＝sin(x ＋5π6)，∴只需将函数y ＝sin x 的图象向左平移5π6个长度单位，即可得函数y ＝cos(x ＋π3)的图象．]8．A [由于AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.]9．D [∵β＝π－2α，∴y ＝cos(π－2α)－6sin α ＝－cos 2α－6sin α＝2sin 2α－1－6sin α＝2sin 2α－6sin α－1＝2⎝⎛⎭⎫sin α－322－112当sin α＝1时，y min ＝－5；当sin α＝－1时，y max ＝7.]10．B [a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14，故选B.]11．B [将f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若与原图象重合，则π2为函数f (x )的周期的整数倍，不妨设π2＝k ·2πω(k ∈Z )，得ω＝4k ，即ω为4的倍数，故选项B 不可能．]12．C [建立如图所示的直角坐标系． ∵OC →＝(2,2)，OB →＝(2,0)， CA →＝(2cos α，2sin α)，∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作此圆的切线，切点分别为M ，N ，连结CM 、CN ，如图所示，则向量OA →与OB →的夹角范围是∠MOB ≤〈OA →，OB →〉≤∠NOB . ∵|OC →|＝22，∴|CM →|＝|CN →|＝12|OC →|，知∠COM ＝∠CON ＝π6，但∠COB ＝π4.∴∠MOB ＝π12，∠NOB ＝5π12，故π12≤〈OA →，OB →〉≤5π12.]13．－12解析 sin2010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－12.14．1解析 ∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0.∴cos 2θ＝12，∵θ为锐角，∴cos θ＝22，∴θ＝π4，∴tan θ＝1.15.2105解析 AB →＝(2,2)，CD →＝(－1,3)．∴AB →在CD →上的投影|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝2×(－1)＋2×3(－1)2＋32＝410＝2105. 16．sin(πx 2＋π6)解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得(T2)2＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin(πx 2＋φ)，又函数图象过点(2，－12)，故f (x )＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin(πx 2＋π6)． 17．解 (1)∵a ∥b ，∴32cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－32，2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013.(2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝22sin(2x ＋π4)．∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴－22≤f (x )≤12，∴f (x )max ＝12.18．(1)解 因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2＝17－15sin2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .19．解 (1)∵a ·b ＝0，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45.又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， ∴cos φ＝sin φ.∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.20．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值为1. 21．解 (1)f (x )＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22x sin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22xsin (π2＋2x )＝2cos 22x cos2x ＝2cos2x ， ∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)．∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.22．解 (1)∵|a |＝1，|b |＝1，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋1－2cos(α－β)，|a －b |2＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45得cos(α－β)＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213.∴sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×(－513)＝3365.。

模块综合评估时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1 •下列命题中的真命题是（B ）A.三角形的内角必是第一象限或第二象限的角B.角a的终边在兀轴上时，角a的正弦线、正切线分别变成一个占I 八、、C.终边相同的角必相等D.终边在第二象限的角是钝角解析：三角形的內角可以等于90°,而90。

角既不是第一象限角也不是第二象限角，A错；由正弦线、正切线的定义可知B正确；终边相同的角可以相差360。

的整数倍，C错；终边在第二象限且小于180。

的正角才是钝角，D错.2.点P从（1,0）出发，沿单位圆F+y2=］逆时针方向运动丁弧长到达点Q,则点Q的坐标为（AA/3 1B.(-为，巧) A/3 1D. (—*, 2)解析：本题主要考查三角函数定义的应用.a= ZPOQ=~r, 由三角函数的定义，可知点0的坐标（兀，y）满足x=cosa=1- 2 y=^a=%故选A.兀53. 已知 a^(-, 7i), tana=—才，贝!j sin(a+71) = ( B ) 3 3 44A -5B - _5C 5D ・-5 解析：本题主要考查诱导公式和同角三角函数关系.由题意可得3 3 sina=§, .•.sin(a+7i)= — sina= — 故选 B.4. 已知宓BCD 中，AZ>=(-3,7),皿=(4,3),对角线 AC. BD交于点0,则苗的坐标为（C ）解析：Q+励=(一3,7) + (4,3) = (1,10), '：Ab+A^=A^, :.A^5. 已知O, A, B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C满足2范+(^=0,则况=(A )_ _ — — 21 12 — A. 20A —OB B. —O4+2OB C.^OA —qOB D. —解析：依题意，得况=筋+貳=筋+2范=商+2（况一功）, 所以况=2功一商，故选A.6. 设D 为△4BC 所在平面内一点，BC=3Cb,贝lj （ A ）A.A&=B.A&=|A ^— C .A Z>=|A ^+*忆 D .A D=|A ^—解析：由就=3筋得,范一皿=3（訪一范），即3訪=3范+必= (1,10),一5）故选C.—A^）,所以命=JT7. 已知函数 »=Asin （ft ）x+0）（A>O, co>Q, \（p\<^）的图象如图所 示，则函数沧）的解析式为（C ）B. f(jc) = sin(2x + ■?-) o D. /(^) = sin(4^ +v-) o解析： 本題主要考查由图象确定三角函数表达式的方法.由图象可知A = 1,孑=务一寻=手，丁=兀.即空=X.所以3=2,所以/（x ）= 4 1Z o 4 3 sin （2«r + 卩）,/（备）=sin （2 X 誇 + 卩）=sir.<y+^>） =-1.即 sin （* +卩）=1,所以令+ 卩=号* + 2 虹” 6 Z ）・即卩=j + 2kit^k 6 Z ）,又| （p IV 今，所以华=专■，所以/X H ） = sin （2;r +晋），故选C.8.在AABC 中，A, B, C 为内角,且 sinAcosA=sinBcosB,则AABC 是(D )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 解析：本题考查利用三角函数知识判断三角形形状的思维方法.由 sinAcosA = sinBcosB,得 sin2A=sin2B=sin （7i —2B ）,所以 2A7T=2B 或2A=n~2B,即A=B 或A+B=^,所以△ABC 为等腰三角 形或直角三角形，故选D.9. 在ZVIBC 中，M 为边BC 上任意一点，2V 为AM 的中点，尿=倔+则久+〃的值为（A ）1 1 1A ，2 B.^ C.才 D. 1C. /(x) = sin(2x + 奇) sin(2«r —解析：TM是BC上任意一点，可设曲/=価+应(x+y=l).TN为AM的中点，.•.初=¥初=*価+芬就=倔+“荒，.•.— 1 , 1久十〃=空(兀十)0=㊁.10.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且芮+葩+cd=o,则AABC的内角A等于(A )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°解析：由芮+葩+况＞=0,得弘+葩=0乙由O为AABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且ZCAO=6Q°,故A=30°.JT11.函数Xx) = sin(cox+°)(cv〉0, |卩|＜刁的最小正周期为71,若将其图象向左平移扌个单位长度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)为奇函数，则函数尢)的图象(C )A.关于点(令，0)对称B.关于点(普，0)对称C.关于直线兀=普对称D.关于直线兀=令对称解析：本题考查三角函数图象的变换和奇函数的性质.由已知得2兀71T=~=n,贝U (o = 2,所以/(x) = sin(2x+o),所以g(x) = sin[2(x+g) 兀71+ °] = sin(2x+亍+卩)，又g(x)为奇函数，贝吃+卩=刼(胆乙)，贝U (p = 兀7171 5TC 5 JT—賓训＜亍)，即_/(x) = sin(2x—亍).把兀=迈代入得sin(2X—71—^)=1, 所以直线兀=令"为/U)图象的对称轴，故选C.12. 若在用[0,刽上有两个不同的实数满足方程cos2x+V3sin2x =k+l,则k 的取值范围是（D ）A. [-2,1]B. [-2,1）C. [0,1]D. [0,1）解析：本题考查三角函数图象的具体应用，考查数形结合思想.原-1~ ] >rr >jr frr方程即 2sin （2x+g ） = k+l, sin （2x+g ）= ?.由 OWxW ㊁，得gW2才+石 7 TC 7T 7T 1 ' J 1 ] 冬石，y=sin （2x+g ）在兀丘[0,寸上的图象如图所示，故当㊁Wp —<1, 即0W 衣1时，方程有两个不同的根，故选D.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 设向量a,万不平行，向量加+万与a+2万平行，则实数久 解析:由于^a~\~b 与a~\~2b 平行，所以存在〃丘R,使得加+方=〃（a+2方），即（久一〃）a + （l — 2〃）方=0, 因为向量a,万不平行，所以久一“=0,1—2〃=0,解得久=“=£.tana —1 1 心 ~ sina+cosaIT 巫T 刁解倚tamz=3•所以5讪—cosa tana+1解析：/(x)= l+cos2x+sin2x= 1+迈sin 〔2x+刖，的最小值 为1_承.16. 关于函数Xx) = sin2x —cos2x,有下列命题：①函数_/(x)的最 小14. … .sina+cosa 的值为2. 解析：由tan71 «_4 已知tan1 r正周期为71；②直线X二中是函数几力的一条对称轴；③点(£, 0)是7T 函数沧)的图象的一个对称中心；④将函数几力的图象向左平移才个单位长度，可得到函数y=血sinlx的图象.其中正确的命题为①③•(填序号)解析：本题考查三角函数的图象和性质的应用.Xx) = sin2x— cos2x=迈sin(2x—中)，所以最小正周期T=n,①正确；当x=中时，局) =^sin(2xf—彳)=^sin扌，不是最值，所以②错误;/(£)=也sin(2x£TT TT-^)=0,所以③正确；将几力的图象向左平移扌个单位长度，得到y =^sin[2(x+f)—f]=^sin(2x+》)的图象，所以④错误.综上，正确的命题为①③.三、解答题(共70分)17.(本小题10分)已知严・=—1,求下列各式的值：tana—1sina—3cosa⑴ sina+cosa '(2)sin2a+sinacosa+2.解：由已知得tana=g.(2)sin 2a + sinacosa + 2 = 3sin 2a + sinacosa + 2cos 2a = 3sin2a+sinacosa+2cos2(z 3tan2a+tana+2 sin 2a+cos% tan 2a +1 18. (本小题12分)已知\a\=2\b\=2,且向量a 在向量万的方向上 的投影为一1.(1) 求a 与万的夹角&；(2) 求(a —2万)•力解：(1)由题意知，|a|=2, |方| = 1, |a|cos0= —1, .\a-b=\a\\b\cos0 = -\b\ = ~l, •••cos&=储±由于 0W [0,兀],0= 2 ・(2)(a —2b)・b = a ・b — 2b 2 = — 1—2= —3.19. (本小题 12 分)已知函数 y=Asin(cox +°)(A 〉0, co>0, |^|<TI ) 的一段图象如图所示.2_\、 -(1) 求函数的解析式； (2) 求这个函数的单调递增区间.T 3 7T ( 71、 71解：(1)由图象可知 A =2, 2=~8~—[ —gj = 2? T =TI , 69 = 2，•*. y=2sin(2x+^),I JI ］ ( JI］ 兀 JT 将点I —g, 2丿代入得 2sinl — 1=2.—才+卩=2加+㊁(RWZ).sina -3cosa⑴ sina+cosatana+1 2+1 5 3' 3X(|)2+|+2 M+l 13 y-tana -3V |^|<7I, ：.(p=-^.函数的解析式为y=2sin〔2x+才J.71 3兀71571 71(2)由2£兀一㊁02%+丁£2加+㊁伙WZ).得kit—飞WxWkit—g伙EZ).函数y=2sin(2x+¥|的单调递增区间为［刼一普，刼一£］伙UZ).JT20.(本小题12 分)已知函数J(x)=Acos(cox+°)(A>0, co>0,0<(p<-^) 的图象过点(0,》，最小正周期为¥，且最小值为一1.(1)求函数尢)的解析式；(2)若用［自m］,»的值域是［―1,—当，求加的取值范围.解：⑴由函数沧)的最小值为一1,可得A=l.2兀因为函数拒)的最小正周期为丁，所以co=3.可得/(x) = cos(3x+0),1 1 兀因为函数/(兀)的图象过点(0,㊁)，所以cos(p=q,又因为0<(p<^,JI兀所以爭=3，故/(x) = cos(3_¥+g).(2)由彳0弓"，可知普W3x+賽3加+彳，7? 7兀又结合函数y=cosx的图象，只需TI W3加石，所以加的取值范围为［普，器］.21.（本小题12分）已知在锐角三角形ABC 中，sin （A+sin （A(2)设AB=3,求AB 边上的高.3i解：(1) J sin(A + B) = § , sin(A 一 B) = § ,sinAcosB+cos4sinB=§,VsinAcosB —cosAsinB=g, n , 3 , 3 m tanA+tanfi(2)： 2<A+B<TI , sm(A+B)=§, .•.tan(A+B)=—才，即]乜仙玄迪 34,CD CD 3CD tanA tanB -2+^/6J\'AB=3, :.CD=2+\[6, 边上的高为 2+^6.本小题 12 分)已知向量 a=(cosc9%—sincvx,sincox),b=(— costvx —sincux,2-\/3coscvx),设函数f^x)=a-b +/l(xGR)的图象关于直线 X = Tl 对称，其中ft),久为常数，且tuwg, J.（1）求函数/U ）的最小正周期；⑵若y=fi.x ）的图象经过点o ］求函数张）在区间0,普上的tanAtanB ;sinAcosB=g, V cosAsinB=§, 又 tanA = 2tanB, 2tan 25—4tanB —1=0, 解得 ta.nB=^±^,2+yj6tanB=~2_ 设AB 边上的高为CD,则AB=AD+DB值域.角军：(l)/(x) = sin2&zx —cos2ftzx+2羽sin&n>coscyx+%= — cos2(yx+ •\/3sin2(wx+7l=2sin^2cox —^+>1.由直线x=n 是y=/U)的图象的一条对称轴，可得sin (2c97i —打= ±1.兀 兀 k 1所以2(071—&=刼+㊁伙UZ).即69=空+3伙WZ).又 69丘(*, 1),胆Z.所以 k=l,故 C9=|.所以 f(x) = 2sin|jx —+ 久，所以几力的最小正周期是丁.(2)由尸幷)的图象过点仔,0),得閱=0,即久=—2sin[|x 扌一划» 一- 3兀 丿灯 7T 一- 5 兀 一,5兀 * > 1 — . (5 7L )一,由OWxW 亍 侍一石£罗—石£石・所以一2smlI< 1.上的值域为[—1 一书,2—^/2].tana — 115. 函数»=2COS 2X +sin2x 的最小值是1—迈. 所以一1 —7^W2sin|71 一返W2—迈，故函数沧)在[0, y]。

模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中最值是12，周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6B ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6解析：选A 由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A.2．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA u u u r ＋OB u u u r ＋OC u u u r ＋OD u u u r等于 ( )A ．OM u u u u rB ．2OM u u u u rC ．3OM u u u u rD ．4OM u u u u r解析：选D 依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，所以OA u u u r ＋OC u u u r ＝2OM u u u u r ，OB u u u r ＋OD u u u r ＝2OM u u u u r ，所以OA u u u r ＋OC u u u r ＋OB u u u r ＋OD u u u r ＝4OM u u u u r，故选D.3．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )， ∴1×m －2×(－2)＝0， ∴m ＝－4.∴2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)． 4．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)的值为( )A.225 B ．－25C.25D ．－225解析：选B sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)＝22sin α＋22cos α＋22cos α ＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又0°<θ<180°，所以θ＝120°.6．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象经怎样的平移后所得的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0成中心对称( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选C 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0，其中离⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，故函数图象只需向右平移π12个单位长度即可．7．函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而ƒ(x )＝2sin π4x .∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin3π4＝2＋2 2.8．如图，在四边形ABCD 中，|u u u r AB |＋|u u u rBD |＋|u u u r DC |＝4，|u u u r AB |·|u u u r BD |＋|u u u r BD |·|u u u r DC |＝4，u u u r AB ·u u u r BD ＝u u u r BD ·u u u rDC ＝0，则(u u u r AB ＋u u u rDC )·u u u r AC 的值为( )A ．4B ．2C ．4 2D ．2 2解析：选A ∵u u u r AC ＝u u u r AB ＋u u u r BD ＋u u u r DC ，u u u r AB ·u u u r BD ＝u u u r BD ·u u u rDC ＝0，∴(u u u r AB ＋u u u rDC )·u u u r AC＝(u u u r AB ＋u u u r DC )·(u u u r AB ＋u u u r BD ＋u u u r DC )＝u u u r AB 2＋u u u r AB ·u u u r BD ＋u u u rAB ·u u u r DC ＋u u u r DC ·u u u r AB ＋u u u r DC ·u u u r BD ＋u u u r DC 2＝u u u r AB 2＋2u u u r AB ·u u u r DC ＋u u u r DC 2.∵u u u r AB ·u u u r BD ＝0，u u u r BD ·u u u rDC ＝0， ∴u u u r AB ⊥u u u r BD ，u u u r DC ⊥u u u r BD ，∴u u u r AB ∥u u u r DC ， ∴u u u r AB ·u u u r DC ＝|u u u r AB ||u u u rDC |，∴原式＝(|u u u rAB |＋|u u u r DC |)2.设|u u u r AB |＋|u u u r DC |＝x ，则|u u u r BD |＝4－x ，|u u u rBD |·x ＝4，∴x 2－4x ＋4＝0，∴x ＝2，∴原式＝4，故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)9．在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA u u u r ＝(－1，t )，OB u u u r＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：∵∠ABO ＝90°，∴AB u u u r ⊥OB u u u r ，∴OB u u u r ·AB u u u r＝0.又AB u u u r ＝OB u u ur －OA u u u r ＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )，∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案：510．已知ƒ(x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，若cos α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，则ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________.解析：因为cos α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45；ƒ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(sin α＋cos α)＝7210. 答案：721011．在△ABC 中，已知sin A ＝10sin B sin C ，cos A ＝10cos B · cos C ，则tan A ＝________，sin 2A ＝________.解析：由sin A ＝10sin B sin C ，cos A ＝10cos B cos C 得cos A －sin A ＝10cos(B ＋C )＝－10cos A ，所以sin A ＝11cos A ，所以tan A ＝11，sin 2A ＝2sin A cos A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 1＋tan 2A＝1161. 答案：11116112．函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x ＋1的最小正周期是________，振幅是________． 解析：f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以最小正周期为π，振幅为 2.答案：π213．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，且|2a －b |＝13，则|2a ＋b |＝________，向量a 在向量b 方向上的投影为________．解析：|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝4×22－4a ·b ＋32＝13，解得a·b ＝3.因为|2a ＋b |2＝4a 2＋4a·b ＋b 2＝4×22＋4×3＋32＝37，所以|2a ＋b |＝37.向量a 在向量b 方向上的投影为a·b |b |＝33＝1. 答案：37 114．已知函数f (x )＝M cos(ωx ＋φ)(M ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC ＝BC ＝22，∠C ＝90°，则f (x )＝________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析：依题意知，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，AB ＝1，故M ＝12，函数f (x )的最小正周期是2，即2πω＝2，ω＝π，所以f (x )＝12cos(πx ＋φ)，又函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z.由0＜φ＜π，得φ＝π2，故f (x )＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－12sin πx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12sin π2＝－12.答案：－12sin πx －1215．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°>30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确； 函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π， 所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．答案：④三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ. 解：(1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝± 2. (2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.17．(本小题满分15分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos 2α2.解：∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22cos α－sin α1＋cos α＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－351－45＝－10 2.18．(本小题满分15分)已知函数ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x .(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求ƒ(x )的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝ƒ(x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的简图；解：ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )的值域为[－3，2]．(2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：x－π6 π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 02－219．(本小题满分15分)已知向量OA u u u r＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA u u u r－n )．(1)求向量OA u u u r；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)∵OA u u u r＝(cos α，sin α)， ∴OA u u u r－n ＝(cos α，sin α＋5)．∵m ⊥(OA u u u r －n )，∴m ·(OA u u u r－n )＝0，∴2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， ∴OA u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55.(2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210. 又0<β<π，∴sin β＝1－cos 2β＝7210. 又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋45×7210 ＝25250＝22.20．(本小题满分15分)已知函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求ƒ(x )的解析式；(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12时，求函数y ＝ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最值．解：(1)由图得34T ＝11π6－π3＝9π6＝3π2，∴T ＝2π，∴ω＝2πT＝1.又ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＝0，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋φ＝0，∴11π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－11π6，k ∈Z. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由ƒ(0)＝2，得A sin π6＝2，∴A ＝4，∴ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)将ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (3)y ＝ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－42sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4－42cos x＝22sin x ＋22cos x －42cos x＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12，x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，∴函数的最小值为－4，最大值为2.。

2020年高中数学必修4 模块综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.－1 120°角所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若sin α2=33，则cos α=( )A.－23B.－13C.13D.233.已知向量a =(1，m )，b =(m,2), 若a ∥b, 则实数m 等于( ) A.－ 2 B. 2 C.－2或 2 D.04.1－sin 20°=( )A.cos 10°B.sin 10°－cos 10°C.2sin 35°D.±(sin 10°－cos 10°) 5.已知a =(1,2)，b =(x,4)，且a ·b =10，则|a －b |=( ) A.－10 B.10 C.－5 D. 5解析：选D 因为a · b =10，所以x ＋8=10，x =2，所以a －b =(－1，－2)，故|a －b |= 5. 6.函数f (x )=sin x cos x ＋32·cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A.π，1 B.π，2 C.2π，1 D.2π，2 7.已知α满足sin α=12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A.14 B.－14 C.12 D.－128.如果函数y =3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π29.已知向量a =⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b =(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3=( )A.－34B.－14C.34D.1410.函数f (x )=3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ为( ) A.k π，(k ∈Z) B.k π＋π6，(k ∈Z) C.k π＋π3，(k ∈Z) D.－k π－π3，(k ∈Z) 11.如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4­P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( )A.12P P u u u u r ·13P P u u u u r B.12P P u u u u r ·14P P u u u u r C.12P P u u u u r ·15P P u u u u r D.12P P u u u u r ·16P P u u u u r12.已知函数f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x ＋a ＋b (a <0)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a 、b 的值分别为( )A.a =2，b =－5B.a =－2，b =2C.a =－2，b =1D.a =1，b =－2 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.cos ⎝⎛⎭⎪⎫－17π3=________.14.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB u u u r ＋AD u u u r=λAO u u u r ，则λ=________.15.在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA u u u r =(－3,1)，OB u u u r=(－2，k )，则实数k =________.16.函数y =A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则y 的表达式为________.三、解答题(本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知向量a ，b 满足|a |=|b|=2，a 与b 的夹角为120°.求： (1)|a ＋b |及|a －b |； (2)向量a ＋b 与a －b 的夹角.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )=a sin(2ωx ＋π6)＋a2＋b (x ∈R ，a >0，ω>0)的最小正周期为π，函数f (x )的最大值是74，最小值是34.(1)求ω、a 、b 的值； (2)指出f (x )的单调递增区间.19.(本小题满分12分)(福建高考)已知函数f (x )=2cos x (sin x ＋cos x ). (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4 的值；(2)求函数f (x ) 的最小正周期及单调递增区间.20.(本小题满分12分)已知向量a =(3,2)，b =(－1,2)，c =(4,1). (1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k 的值；(2)设d =(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |=1，求d .21.(本小题满分12分)如图所示，是一个半径为10个长度单位的水轮，水轮的圆心离水面5 2 个长度单位.已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P 到水面距离d 与时间t 满足的函数关系是正弦曲线，其表达式为d －k b =sin(t －ha).(1)求正弦曲线的振幅和周期；(2)如果从P 点在水中浮现时开始计算时间，写出其有关d 与t 的关系式； (3)在(2)的条件下，求P 首次到达最高点所用的时间.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=sin(π－ωx )·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值.答案解析1.解析：选D －1 120°=－360°×4＋320°，－1 120°角所在象限与320°角所在象限相同.又320°角为第四象限角，故选D.2.解析：选C 因为sin α2=33，所以cos α=1－2sin 2 α2=1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332=13.3.解析：选C a ∥b 的充要条件的坐标表示为1×2－m 2=0，∴m=±2，选C.4.解析：选C ∵1－sin 20°=1－cos 70°=2sin 235°，∴1－sin 20°=2sin 35°. 5.解析：选D 因为a · b=10，所以x ＋8=10，x=2，所以a －b=(－1，－2)，故|a －b|= 5.6.解析：选A 由f(x)=sin xcos x ＋32cos 2x=12sin 2x ＋32·cos 2x=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，得最小正周期为π，振幅为1，故选A.7.解析：选A 依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α=sin π4＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α=12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α=12cos 2α=12(1－2sin 2α)=14. 8.解析：选A 由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ=3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π=3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ=0，∴2π3＋φ=k π＋π2，k ∈Z ，∴φ=k π－π6，k ∈Z.取k=0，得|φ|的最小值为π6.9.解析：选B a ·b=4sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－3=23sin α＋6cos α－3=43sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－3=0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3=14.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3=－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3=－14，故选B. 10.解析：选D f(x)=3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －θ＋π6.由函数为奇函数得－θ＋π6=k π＋π2(k ∈Z)，解得θ=－k π－π3(k ∈Z)，故选D.11.解析：选A 由于12P P u u u u r ⊥15P P u u u u r ，故其数量积是0，可排除C ；12P P u u u u r 与16P P u u u u r 的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则12P P u u u u r ·13P P u u u u r =|12P P u u u u r |·|13P P u u u u r |·cos 30°=32a 2，12P P u u u u r ·14P P u u u u r =|12P P u u u u r |·|14P P u u u u r |·cos 60°=a 2. 12.解析：选C f(x)=－a(cos 2x ＋3sin 2x)＋2a ＋b=－2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b.又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.∵－5≤f(x)≤1，a<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝－5，－2a ＋2a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.13.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3=cos π3=12.答案：1214.解析：AB u u u r ＋AD u u u r =AC u u ur =2AO u u u r ，故λ=2.答案：215.解析：因为AB u u u r =OB u u u r －OA u u u r =(1，k －1)，且OA u u u r ⊥AB u u u r ，所以OA u u u r ·AB u u u r=0，即－3×1＋1×(k －1)=0，解得k=4.答案：416.解析：由图象，知A=2，由T 2=2π3－π6，求出周期T=π，ω=2，然后可求得φ=π6.答案：y=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 17.解：(1)a ·b=|a||b|cos θ=2×2×cos 120°=－2，所以|a ＋b|2=(a ＋b)2=a 2＋b 2＋2a ·b=22＋22＋2×(－2)=4，所以|a ＋b|=2，同理可求得|a －b|=2 3.(2)因为(a ＋b)·(a －b)=a 2－b 2=22－22=0，所以(a ＋b)⊥(a －b)，所以a ＋b 与a －b 的夹角为90°.18.解：(1)由函数最小正周期为π，得2π2ω=π，∴ω=1，又f(x)的最大值是74，最小值是34，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b ＝74，－a ＋a 2＋b ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.(2)由(1)知，f(x)=12sin(2x ＋π6)＋54，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)时，f(x)单调递增，∴f(x)的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z).19.解：法一：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4=2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4=－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4=2.(2)因为f(x)=2sin xcos x ＋2cos 2x=sin 2x ＋cos 2x ＋1=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以T=2π2=π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 法二：f(x)=2sin xcos x ＋2cos 2x=sin 2x ＋cos 2x ＋1=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4=2sin 11π4＋1=2sin π4＋1=2. (2)T=2π2=π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 20.解：(1)∵(a ＋kc)∥(2b －a)，且a ＋kc=(3＋4k,2＋k)，2b －a=(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)=0，∴k=－1613.(2)∵d －c=(x －4，y －1)，a ＋b=(2,4)，(d －c)∥(a ＋b)且|d －c|=1，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0，x －42＋y －12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－55，y ＝1－255.∴d=20＋55，5＋255或d=20－55，5－255.21.解：(1)A=r=10.T=604=15(s).(2)由d －k b =sin t －h a ，得d=bsin t －h a＋k.b=A=10，T=2π1a=2πa=15，∴a=152π.由于圆心离水面52个长度单位，∴k=5 2.∴d=10sin 2πt －h15＋5 2.将t=0，d=0代入上式，得sin(2π15h)=22，2π15h=π4，∴d=10sin(2π15t －π4)＋5 2.(3)P 到达最高点时d=10＋5 2. ∴sin(2π15t －π4)=1，得2π15t －π4=π2，t=458(s).即P 首次到达最高点所用时间为458s.22.解：(1)因为f(x)=sin(π－ωx)cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f(x)=sin ωxcos ωx ＋1＋cos 2ωx2=12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12=22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω=π，所以ω=1.(2)由(1)知f(x)=22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g(x)=f(2x)=22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g(x)≤1＋22.故g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。

模块综合测评(A )(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.极坐标方程8ρ=sin θ表示的曲线是( )A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线8ρ=sin θ可化为8x 2+8y 2-y=0,所以它表示圆.2.将参数方程{x =cos 2θ-1,y =cos 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A.y=x-1B.y=x+1C.y=x-1(-1≤x ≤0)D.y=x+1(-1≤x ≤0)cos 2θ=y 代入x=cos 2θ-1,得x=y-1,即y=x+1.因为-1≤cos 2θ-1≤0,所以-1≤x ≤0.3.将曲线x 2+4y=0作如下变换:{x '=2x ,y '=4y ,则得到的曲线方程为( )A.x'2=-y'B.x'=-14y'2 C.y'=-14x'2D.y'2=-x'{x '=2x ,y '=4y 可得{x =12x ',y =14y ',将其代入x 2+4y=0得14x'2+y'=0,即y'=-14x'2.4.极坐标方程ρ=4√2cos (π4-θ)表示的图形的面积是 ( )A.4B.4πC.8D.8πρ=4√2cos (π4-θ)=4√2(√22cosθ+√22sinθ)=4cos θ+4sin θ,所以ρ2=4ρcos θ+4ρsin θ,即x 2+y 2=4x+4y ,(x-2)2+(y-2)2=8,故方程表示的图形是圆,半径为2√2,其面积为8π.5.已知点P 1的球坐标是(4,π2,5π3),P 2的柱坐标是(2,π6,1),则|P 1P 2|=( )A.√21B.√29C.√30D.4√2P 1的直角坐标为(2,-2√3,0),点P 2的直角坐标为(√3,1,1),由两点间的距离公式得|P 1P 2|=√21.6.已知A (4sin θ,6cos θ),B (-4cos θ,6sin θ),当θ为一切实数时,线段AB 的中点的轨迹为( ) A.直线 B.圆 C.椭圆D.双曲线AB 的中点为M (x ,y ),则{x =2sinθ-2cosθ,y =3sinθ+3cosθ(θ为参数), 所以{3x +2y =12sinθ,3x -2y =-12cosθ.消去参数θ,得(3x+2y )2+(3x-2y )2=144,整理得x28+y 218=1,它表示椭圆.7.参数方程{x =tanθ,y =2secθ(θ为参数)表示的曲线的离心率等于( )A.√32 B.√52C.√2D.2{x =tanθ,y =2secθ得{x =tanθ,12y =secθ.所以y 2-x 2=1,即曲线为双曲线,其中a=2,b=1, 故c=√a 2+b 2=√5,e=c=√5.8.导学号73574069若点M 的极坐标是(-2,-π6),则它关于直线θ=π2的对称点的极坐标是( ) A.(2,11π6) B.(-2,7π6) C.(2,-π6)D.(-2,-11π6),描点(-2,-π6)时,先找到角-π6的终边,因为ρ=-2<0,所以再在其反向延长线上找到离极点2个单位长度的点即是点(-2,-π6).直线θ=π2就是极角为π2的那些点构成的集合.故点M (-2,-π6)关于直线θ=π2的对称点为M'(2,π6),但是选项中没有这样的坐标.又因为点M'(2,π6)还可以表示为(-2,7π6),所以选B .9.已知直线l 的参数方程为{x =2+t ,y =3+t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=( ) A.√5 B.5C.2D.√3l 的普通方程为y=x+1,曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ,联立两方程,得{y =x +1,y 2=4x ,解得{x =1,y =2.所以直线l 与曲线C 的公共点的坐标为(1,2). 所以公共点的极径为ρ=√22+1=√5.10.设曲线C 的参数方程为{x =t ,y =t 2(t 为参数),若以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为( ) A.ρcos 2θ-sin θ=0 B.ρcos θ-sin θ=0 C.ρcos θ-sin 2θ=0 D.cos 2θ-ρsin θ=0C 的参数方程{x =t ,y =t 2化为普通方程是y=x 2,把曲线C 的直角坐标方程化为极坐标方程是ρsin θ=ρ2cos 2θ.由于曲线经过极点,则极坐标方程可简化为ρcos 2θ-sin θ=0.故选A .11.已知双曲线C 的参数方程为{x =3secθ,y =4tanθ(θ为参数),在下列直线的参数方程中,①{x =-3t ,y =4t ;②{x =1+√32t ,y =1-12t ;③{x =35t ,y =-45t ;④{x =1-√22t ,y =1+√22t ;⑤{x =3t ,y =4t (以上方程中,t 为参数),可以作为双曲线C 的渐近线方程的是( ) A .①③⑤B .①⑤C .①②④D .②④⑤a=3,b=4,且双曲线的焦点在x 轴上,因此其渐近线方程是y=±43x.检验所给直线的参数方程可知只有①③⑤适合条件.12.导学号73574070若动点(x ,y )在曲线x 24+y 2b2=1(b>0)上变化,则x 2+2y 的最大值为( )A.{b 24+4,0<b ≤42b ,b >4B.{b 24+4,0<b <22b ,b ≥2C.b24+4D.2b(x ,y )的坐标为(2cos θ,b sin θ),将其代入x 2+2y ,得4cos 2θ+2b sin θ=-(2sinθ-b 2)2+4+b24,当0<b ≤4时,(x 2+2y )max =b 24+4;当b>4时,(x 2+2y )max =-(2-b2)2+4+b24=2b.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.圆锥曲线{x =t 2,y =2t(t 为参数)的焦点坐标是 .y 2=4x ,它表示开口向右,焦点在x 轴正半轴上的抛物线,由2p=4⇒p=2,则焦点坐标为(1,0).14.在平面直角坐标系xOy 中,若直线l :{x =t ,y =t -a (t 为参数)过椭圆C :{x =3cosφ,y =2sinφ(φ为参数)的右顶点,则常数a 的值为 .l :y=x-a ,C :x 29+y 24=1.椭圆的右顶点坐标为(3,0),将其代入l 的方程得0=3-a ,a=3.15.将方程{x =tant ,y =1-cos2t 1+cos2t (t 为参数)化为普通方程是 .y=1-cos2t 1+cos2t=2sin 2t2cos 2t=tan 2t ,将tan t=x 代入上式,得y=x 2,即所求的普通方程为y=x 2.216.在以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a 相交于A ,B 两点.若△AOB 是等边三角形,则a 的值为 .ρ=4sin θ得ρ2=4ρsin θ,所以x 2+y 2=4y.所以圆的直角坐标方程为x 2+y 2=4y ,设圆心为点C ,则圆心为C (0,2),半径r=2. 由ρsin θ=a ,得直线的直角坐标方程为y=a.由于△AOB 是等边三角形,所以圆心C 是等边三角形OAB 的中心. 设AB 的中点为D (如图),连接CB.则|CD|=|CB|·sin30°=2×12=1, 即a-2=1,所以a=3.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在极坐标系中,直线l 的方程为ρsin (θ+π6)=2,求极点在直线l 上的射影的极坐标.l 的极坐标方程化为直角坐标方程,得x+√3y-4=0,过极点且与l 垂直的直线方程为y=√3x. 由{x +√3y -4=0,y =√3x ,得射影的直角坐标为(1,√3), 将其化成极坐标为(2,π3).故极点在直线l 上的射影的极坐标为(2,π3).18.(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为{x =a -2t ,y =-4t (t 为参数),圆C 的参数方程为{x =4cosθ,y =4sinθ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程;(2)若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围.直线l 的普通方程为2x-y-2a=0,圆C 的普通方程为x 2+y 2=16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点, 所以圆C 的圆心到直线l 的距离d=|-2a |√5≤4, 解得-2√5≤a ≤2√5.故实数a 的取值范围为[-2√5,2√5].19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =3+12t ,y =√32t (t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2√3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求点P 的直角坐标.由ρ=2√3sin θ,得ρ2=2√3ρsin θ, 从而有x 2+y 2=2√3y , 所以x 2+(y-√3)2=3.故☉C 的直角坐标方程为x 2+(y-√3)2=3. (2)设P (3+12t ,√32t),又C (0,√3),所以|PC|=√(3+12t)2+(√32t -√3)2=√t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,点P 的直角坐标为(3,0).20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 1,直线C 2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos (θ-π4)=2√2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标.(2)设点P 为C 1的圆心,点Q 为C 1与C 2交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为{x =t 3+a ,y =b2t 3+1(t ∈R ,t 为参数),求a ,b 的值.圆C 1的直角坐标方程为x 2+(y-2)2=4,直线C 2的直角坐标方程为x+y-4=0.解{x 2+(y -2)2=4,x +y -4=0, 得{x 1=0,y 1=4,{x 2=2,y 2=2.所以C 1与C 2交点的极坐标为(4,π2),(2√2,π4). (2)由(1)可得,点P 与点Q 的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ 的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=b 2x-ab 2+1.所以{b 2=1,-ab +1=2,解得{a =-1,b =2.21.导学号73574071(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈[0,π2]. (1)求半圆C 的参数方程;(2)设点D 在半圆C 上,半圆C 在点D 处的切线与直线l :y=√3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定点D 的直角坐标.半圆C 的直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).由此可得半圆C 的参数方程为{x =1+cost ,y =sint (t 为参数,0≤t ≤π).(2)设D (1+cos t ,sin t ).由(1)知C 是以C (1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为半圆C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线CD 与l 的斜率相同,tan t=√3,t=π3. 故点D 的直角坐标为(1+cos π3,sin π3),即(32,√32). 22.导学号73574072(本小题满分12分)已知△ABC 的顶点A (0,3),底边BC 在横轴上,|BC|=2,当BC 在横轴上移动时,求: (1)△ABC 外接圆圆心的轨迹的普通方程;(2)过点(0,2)且被所求轨迹所在曲线截得的线段长为5√52的直线方程.设B (t-2,0),C (t ,0),AC 的垂直平分线方程为y=t3·(x -t2)+32,BC 的垂直平分线方程为x=t-1,△ABC 的外心为O',则O'的轨迹方程是{x =t -1,t =16t 2-13t +32(t 为参数),O'的轨迹的普通方程为y=16x 2+43. (2)过点(0,2)的直线方程为y=kx+2, 联立{y =16x 2+43,y =kx +2,消去y ,得x 2-6kx-4=0.设该方程的两根是x 1,x 2,则(x 1-x 2)2=36k 2+16. 所以弦长的平方为(1+k 2)(36k 2+16)=1254, 解得k=±12. 故所求直线方程为x-2y+4=0或x+2y-4=0.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

模块综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知角α的终边过点P (sin(－30°)，cos(－30°))，则角α的一个值为( D )A ．30°B ．－30°C ．－60°D ．120°解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，点P 在第二象限，sin α＝32，cos α＝－12，∴120°为角α的一个值．2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( B ) A ．－53 B ．－19 C ．19D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.3．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( B )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上是递增的B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2解析：f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，它在(π4，π2)上是单调递减的，图象关于原点对称，最小正周期是π，最大值为1，故B 是正确的．4．已知▱ABCD 中，AD →＝(－3,7)，AB →＝(4,3)，对角线AC 、BD 交于点O ，则CO→的坐标为( C ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5解析：由AD→＋AB →＝(－3,7)＋(4,3)＝(1,10)． ∵AD→＋AB →＝AC →.∴AC →＝(1,10)． ∴CO →＝－12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.故应选C ．5．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角为( C )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：依据题意a ·b ＝－3，|a |·|b |＝3×23＝6， cos 〈a ，b 〉＝－12，故a 与b 的夹角为120°.6．设α∈(0，π)，sin α＋cos α＝13，则cos2α的值是( C ) A ．179 B ．－223 C ．－179D ．179或－179解析：∵sin α＋cos α＝13，∴1＋2sin αcos α＝19，即2sin αcos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2sin αcos α＝－173，∴cos2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－179.7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( B )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4解析：y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ.当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，为奇函数； 当φ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数； 当φ＝－π4时，y ＝sin2x ，为奇函数．故选B ．8．已知sin(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(π2，π)，则cos2β的值为( C )A ．1B ．－1C ．2425D ．－45解析：由题意知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝45， 所以cos2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝(－35)×(－45)＋45×35＝2425.9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( A ) A ．－255 B ．－3510 C ．－31010D ．255解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，∴sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α) ＝22sin α＝－255.10．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x ，22sin x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ，2cos x ，f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将f (x )的图象( C )A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位解析：f (x )＝a ·b ＝sin x cos x ＋sin x cos x ＝sin2x .而y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 于是只需将f (x )的图象向左平移π6个单位．故选C ．11．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式是( C )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π－π6 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3解析：将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象所对应的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由题图象知，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋π6ω＝3π2，所以ω＝2.所以平移后的图象所对应的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 12．点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式： ①OA→＋OB →＋OC →＝0； ②OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0； ③(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0. 则点O 依次为△ABC 的( C ) A ．内心、重心、垂心 B ．重心、内心、垂心 C ．重心、内心、外心D ．外心、垂心、重心解析：①由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC )，所以O 为△ABC 的重心；②向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在AC 和AB 上的单位向量AC ′→和AB ′→，它们的差是向量B ′C ′→，当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝0，即OA ⊥B ′C ′时，则点O 在∠BAC 的平分线上，同理由OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心；③OA →＋OB →是以OA →，OB →为边的平行四边形的一条对角线，而AB →是该四边形的另一条对角线，AB →·(OA →＋OB →)＝0表示这个平行四边形是菱形，即|OA→|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心． 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把★★答案★★填在题中横线上)13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝43.解析：设BC→＝b ，BA →＝a ， 则AF →＝12b －a ，AE →＝b －12a ，AC →＝b －A ． 代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.14．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为2 .解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝12，解得tan α＝3，所以sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝42＝2.15．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴交点坐标为(0,2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝4 030 .解析：由最大值为3知A ＝2，f (x )＝2cos 2(ωx ＋φ)＋1＝cos(2ωx ＋2φ)＋2，由交点(0,2)及0<φ<π2知φ＝π4. ∴f (x )＝2－sin2ωx . 又周期为4，∴ω＝π4.∴f (x )＝2－sin π2x ，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝503[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝503×8＋6＝4 030.16．给出下列四个命题：①函数y ＝tan x 的图象关于点(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数；③设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2；④函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为－1.其中正确的命题是①④.解析：①由正切曲线，知点(k π，0)，(k π＋π2，0)是正切函数图象的对称中心，∴①对；②f (x )＝sin|x |不是周期函数，②错； ③∵θ∈(2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z ， ∴θ2∈(k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z .当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，sin θ2<cos θ2.∴③错； ④y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54， ∴当sin x ＝－1时，y min ＝1－(－1)2＋(－1)＝－1. ∴④对．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)计算：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5； (2)tan10°＋tan170°＋sin1 866°－sin(－606°)． 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5 ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.18．(12分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求：(1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·B ．解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]， ∴θ＝2π3即为所求．(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.19．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求这个函数的单调递增区间．解：(1)由题图象可知A ＝2，T 2＝3π8－(－π8)＝π2， ∴T ＝π，ω＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)，将点(－π8，2)代入得－π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∵|φ|<π，∴φ＝34π.∴函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋3π4)． (2)由2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin(2x ＋3π4)的单调递增区间为 [k π－5π8，k π－π8](k ∈Z )．20．(12分)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数， 又θ∈(0，π)，得θ＝π2， 所以f (x )＝－sin2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0.即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25.即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.21．(12分)如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB→＝2AD →，AC →＝5AE →，(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →，求证：点F 为DE 的中点． (2)在(1)的条件下，求BA →·EF →的值． 解：(1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →， 所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →， 又AB→＝2AD →，AC →＝5AE →， 所以AF →＝12AD →＋12A E →，所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →)，因为AB→＝2AD →，AC →＝5AE →， 所以EF →＝14AB →－110AC →， 所以BA →·EF →＝－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →－110AC → ＝－14AB →2＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos60°＝－25.22.(12分)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6， 所以－12≤sin(53x －π6)≤1， 得－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2，故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

章末质量评估(四)(时间:120分钟分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.计算:log 225·log 52√2= ()A.3B.4C.5D.6解析:log 225·log 52√2=lg25lg2·lg232lg5=3.故选A . 答案:A2.若集合M ={y |y =2x },P ={x |y =log (2x -1)√3x -2},则M ∩P = ()A .(23,+∞)B .(12,1)∪(1,+∞) C .(12,+∞)D .(23,1)∪(1,+∞) 解析:集合M 表示函数y =2x 的值域,为(0,+∞);集合P 表示函数y =log (2x -1)√3x -2的定义域,则{3x -2>0,2x -1>0,2x -1≠1,解得x >23,且x ≠1,故选D . 答案:D3.下列给出的函数f (x )的图象中,能使函数y =f (x )-1没有零点的是()A B C D解析:只有选项C 中的图象与直线y =1无交点,故选C .答案:C4.已知函数f (x )是奇函数,当x >0时,f (x )=ln x ,则f (f (1e 2))的值为 ()A.1ln2B.-1ln2C.-ln 2D.ln 2解析:因为1e2>0,所以f(1e2)=ln1e2=ln e-2=-2,所以f(f(1e2))=f(-2)=-f(2)=-ln 2,故选C.答案:C5.若a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b解析:由log52<log5√5=0.5,知a<0.5.由log0.50.2>log0.50.5=1,知b>1.由0.51<0.50.2<0.50,知0.5<c<1.所以a<c<b.答案:A6.由于天气干旱,某湖泊的存水量在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2019年湖泊的存水量为m,那么2024年湖泊的存水量为()A.(1-0.1250)mB.0.91 10mC.0.9250mD.(1-0.91 10)m解析:设湖泊的存水量每年减少的百分率为a,则有(1-a)50=1-10%,所以a=1-0.9150.从2019年起,过x年后湖泊的存水量y与x的函数关系是y=m(1-a)x=0.9x50m.到2024年时,x=5,此时y=0.9110m.答案:B7.当0<a<1时,不等式log a(4-x)>-lo g1ax的解集是() A.(0,+∞)B.(0,2) C.(2,4)D.(0,4)解析:因为-lo g 1ax =log a x ,所以原不等式等价于log a (4-x )>log a x.又因为0<a <1,所以{x >0,4-x >0,4-x <x ,解得2<x <4.所以原不等式的解集为(2,4).故选C .答案:C8.若函数f (x )={log 2x ,x >2,-x 2+a ,x ≤2的值域为R,则常数a 的取值范围是 ()A .(-∞,1]B .[1,+∞)C .(-∞,5]D .[5,+∞)解析:当x >2时,y =log 2x >1,所以要使函数的值域为R,则使y =-x 2+a (x ≤2)的最大值a ≥1.故选B .答案:B二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.下列运算结果中,一定正确的是 ()A.a 3·a 4=a 7B.(-a 2)3=a 6C.√a 88=aD.√(-π)55=-π答案:AD10.若函数f (x )=a x +b -1(a >0,且a ≠1)的图象经过第一、三、四象限,则一定有 ()A.a >1B.0<a <1C.b >0D.b <0答案:AD11.已知函数f (x )=1x +12x 2-2,利用零点存在定理确定各零点所在的范围.下列区间中一定存在零点的是 ()A.(-3,-2)B.(12,1)C.(2,3)D.(-1,12) 答案:ABD12.对于0<a <1,下列四个不等式中成立的是 ()A.log a (1+a )<log a 1+1aB.log a (1+a )>log a 1+1a C.a1+a <a 1+1a D.a 1+a >a 1+1a答案:BD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.用二分法求方程x 3-2x -5=0在区间(2,4)上的实数根时,取中点x 1=3,则下一个有根区间是(2,3).解析:设f (x )=x 3-2x -5,则f (2)<0,f (3)>0,f (4)>0,所以f (2)f (3)<0,则下一个有根区间是(2,3).14.(本题第一空2分,第二空3分)若a >0,且a ≠1,则函数f (x )=3+log a (x 2+1)的图象恒过定点(0,3);当a >1时,函数f (x )的单调递减区间是(-∞,0][或(-∞,0)].15.若函数f (x )=a x -x -a (a >0,且a ≠1)有且仅有两个零点,则实数a 的取值范围是(1,+∞).解析:分a >1与0<a <1两种情况,作出函数y =a x 与函数y =x +a 的图象,如图所示(图①表示a >1的情况,图②表示0<a <1的情况).① ②由图象,知当a >1时,两个函数的图象有两个交点,所以实数a 的取值范围是(1,+∞).16.若x 0是方程a x =log a x (0<a <1)的解,则x 0,1,a 这三个数的大小关系是a <x 0<1.解析:如图所示,在同一平面直角坐标系中作出函数y 1=a x 和y 2=log a x 的图象.由图象可以看出x 0<1,log a x 0<1,所以x 0>a ,所以a <x 0<1.四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)计算下列各式: (1)1√2-1-350+94-0.5+√(√2-e )44; (2)lg 500+lg 85-12lg 64+50(lg 2+lg 5)2.解:(1)原式=√2+1-1+23+e-√2=23+e . (2)原式=lg 5+lg 102+lg 23 -lg 5-12lg 26+50(lg 10)2 =lg 5+2+3lg 2-lg 5-3lg 2+50=52.18.(12分)已知f(x)=(lo g12x)2-2lo g12x+4,x∈[2,4].(1)设t=lo g12x,x∈[2,4],求t的最大值与最小值;(2)求f(x)的值域.解:(1)因为函数t=lo g12x在区间[2,4]上是单调递减的,所以t max=lo g122=-1,t min=lo g124=-2.(2)令g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3.由(1),得t∈[-2,-1],所以当t=-2时,g(t)max=12;当t=-1时,g(t)min=7,所以当x=4时,f(x)max=12;当x=2时,f(x)min=7.因此,函数f(x)的值域为[7,12].19.(12分)已知函数f(x)=a3x2-3,g(x)=1a5x+5,其中a>0,且a≠1.(1)若0<a<1,求满足不等式f(x)<1的x的取值范围;(2)求关于x的不等式f(x)≥g(x)的解集.解:(1)由不等式f(x)<1,得a3x2-3<1,所以a3x2-3<a0.因为0<a<1,所以3x2-3>0,即(x+1)(x-1)>0,解得x<-1或x>1.故满足不等式f(x)<1的x的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)由不等式f(x)≥g(x),得a3x2-3≥a-5x-5.①若0<a<1,则3x2-3≤-5x-5,所以3x2+5x+2≤0,即(3x+2)(x+1)≤0,解得-1≤x≤-23.②若a>1,则3x2-3≥-5x-5,所以3x2+5x+2≥0,即(3x+2)(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥-23.综上所述,若0<a<1,则所求解集为[-1,-23];若a>1,则所求解集为(-∞,-1]∪[-23,+∞).20.(12分)已知函数f(x)=13x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)上有实数解;(2)请使用二分法取区间的中点两次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.(1)证明:因为f(0)=1>0,f(2)=-13<0,所以f(0)f(2)=-13<0.因为函数f(x)=13x3-x2+1的图象是一条连续不断的曲线,所以方程f(x)=0在区间(0,2)上有实数解.(2)解:取x1=12×(0+2)=1,得f(1)=13>0.因为f(1)f(2)=-19<0,所以下一个有解区间为(1,2).再取x2=12×(1+2)=32,得f(32)=-18<0.因为f(1)f(32)=-124<0,所以下一个有解区间为(1,32).所以实数解x0在较小区间(1,32)内.21.(12分)某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则额外奖励2log5(A+1)万元.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).(1)直接写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.(2)如果业务员小李获得3.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?解:(1)由题意,得该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型为y ={0.15x ,0≤x ≤10,1.5+2log 5(x -9),x >10.(2)由(1)知,当x ∈[0,10]时,0≤0.15x ≤1.5.因为业务员小李获得3.5万元的奖金,3.5>1.5,所以x >10.所以1.5+2log 5(x -9)=3.5,解得x =14.所以业务员小李的销售利润是14万元.22.(12分)已知函数f (x )=|x |+m x -1(x ≠0). (1)若对任意的x >0,不等式f (x )>0恒成立,求m 的取值范围;(2)试讨论函数f (x )零点的个数.解:(1)当x >0时,f (x )=x +m x -1,不等式f (x )>0恒成立等价于x +m x -1>0恒成立,则有m >x -x 2(x >0)恒成立,而x -x 2=-x -122+14≤14(x >0), 故m >14. (2)令f (x )=|x |+mx -1=0,得m ={x -x 2,x >0,x +x 2,x <0, 函数f (x )的零点个数即y =h (x )=m 的图象和y =g (x )={x -x 2,x >0,x +x 2,x <0的图象的交点个数,如图,在同一平面直角坐标系中作出函数y =h (x ),y =g (x )的图象.结合图象可得:①当m>14或m<-14时,有一个零点;②当m=±14或m=0时,有两个零点;③当-14<m<14,且m≠0时,有三个零点.。

模块综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(北京高考)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则 2a －b ＝( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7)D ．(3,9)解析：选A 因为a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，所以2a －b ＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)，故选A.2．点M (2，tan 300°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－3， ∴M (2，－3)．故点M (2，tan 300°)位于第四象限．3．已知OA ＝(2,3)，OB ＝(－3，y )，且OA ⊥OB ，则y 等于( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A ∵OA ⊥OB ，∴OA ·OB ＝－6＋3y ＝0，∴y ＝2. 4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3解析：选D cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝sin φ＝32，又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3. 5.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α等于( ) A ．tan α B ．tan 2αC ．1 D.12解析：选B 2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.6．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3， tan α·tan β＝2， 则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.7．已知函数f (x )＝2sin x ，对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为( )A.π4B.π2 C ．πD ．2π解析：选C ∵f (x )＝2sin x 的周期为2π， ∴|x 1－x 2|的最小值为π.8．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1C. 3D.22解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知a ∥b .所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x .而x ∈(0，π)，所以sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故tan x ＝1.9．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 解析：选C 函数y ＝sin x 的图象上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10的图象；再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10的图象，所以所得函数的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 10．(山东高考)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3. 11．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，|AD |＝1，则AC ·AD ＝( )A ．2 3B ．3 3C.32D. 3 解析：选D 建系如图．设B (x B,0)，D (0,1)，C (x C ，y C )，BC ＝(x C －x B ，y C )，BD ＝(－x B,1)．∵BC ＝ 3 BD ，∴x C －x B ＝－3x B ⇒x C ＝(1－3)x B ，y C ＝ 3.AC ＝((1－3)x B ，3)，AD ＝(0,1)，AC ·AD ＝ 3.12．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2解析：选A 由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.所以x －y ＝3.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．(重庆高考)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，又|b|＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10.答案：1014．(江西高考)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3. 答案：315．(山东高考)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析：y ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin2x ＋π6＋12，所以其最小正周期为2π2＝π. 答案：π16．化简：sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设a ＝(1＋cos x,1＋sin x )，b ＝(1,0)，c ＝(1,2)． (1)求证：(a －b )⊥(a －c )；(2)求|a |的最大值，并求此时x 的值． 解：(1)证明：a －b ＝(cos x,1＋sin x )， a －c ＝(cos x ，sin x －1)，(a －b )·(a －c )＝(cos x,1＋sin x )·(cos x ，sin x －1)＝cos 2x ＋sin 2x －1＝0. ∴(a －b )⊥(a －c )． (2)|a |＝(1＋cos x )2＋(1＋sin x )2＝3＋2(sin x ＋cos x ) ＝3＋22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤ 3＋22＝2＋1.当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1，即x ＝π4＋2k π(k ∈Z)时，|a |有最大值2＋1.18．(本小题满分12分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析式．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β， 得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]， 即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin (α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. (2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy ＝2x ， ∴y ＝x1＋2x 2， 即f (x )＝x1＋2x 2. 19．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－45，sin β－α2＝513，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos α＋β2的值．解：∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，β－α2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝35， cos ⎝⎛⎭⎫β－α2＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫β－α2＝1213. ∵⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2＝α＋β2， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫β－α2－sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝⎝⎛⎭⎫－45×1213－35×513＝－6365. 20．(本小题满分12分)(湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 21．(本小题满分12分)已知f (x )＝23cos 2x ＋sin 2x －3＋1(x ∈R)． (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，求f (x )的值域． 解：f (x )＝sin 2x ＋3(2cos 2x －1)＋1＝sin 2x ＋ 3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，得2k π－5π6≤2x ≤2k π＋π6， ∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z)．∴函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)． (3)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－12，1. ∴f (x )∈[0,3]．22．(本小题满分12分)(陕西高考)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

单元综合测试二时间：90分钟 分值：120分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ→＝( C )A ．OH→ B ．OG → C ．FO → D ．EO → 解析：利用平行四边形法则作出向量OP →＋OQ →，平移即可发现OP →＋OQ→＝FO →. 2．已知O (0,0)，A (2,0)，B (3,1)，则(OB →－OA →)·OB →＝( A ) A ．4 B ．2 C ．－2D ．－4解析：由已知得OA→＝(2,0)，OB →＝(3,1)，OB →－OA →＝(1,1)，则(OB →－OA →)·OB →＝(1,1)·(3,1)＝3＋1＝4.3．已知向量|a |＝4，e 为单位向量，当它们之间的夹角为π3时，a 在e 方向上的投影与e 在a 方向上的投影分别为( B )A ．23，32 B ．2，12 C ．32，2 3D ．12，2解析：a 在e 方向上的投影为|a |cos π3＝4×12＝2，e 在a 方向上的投影为|e |cos π3＝1×12＝12.4．若向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论正确的是( C ) A ．a ·b ＝1 B ．|a |＝|b | C ．(a －b )⊥bD ．a ∥b解析：a ·b ＝2，所以A 不正确；|a |＝2，|b |＝2，则|a |≠|b |，所以B 不正确；a －b ＝(1，－1)，(a －b )·b ＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a －b )⊥b ，所以C 正确；由于2×1－0×1＝2≠0，所以a ，b 不平行，所以D 不正确．故选C ．5．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( B ) A ．P A →＋PB →＝0 B ．PC →＋P A →＝0 C ．PB→＋PC →＝0 D ．P A →＋PB→＋PC →＝0 解析：由BC →＋BA →＝2BP →，可得P 是边AC 的中点，从而PC →＋P A →＝0.6．在四边形ABCD 中，AB→＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( C )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形解析：∵AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， ∴四边形ABCD 为梯形．7．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是( C ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：记a 与b 的夹角是θ，则a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝6cos θ－1＝2，cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.故选C ．8．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn 等于( A )A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)． 由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n－1.所以m n ＝－12.9．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a ，b 的夹角为( C )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：∵(a ＋b )·(2a －b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b －|b |2＝0，∴a ·b ＝0，∴a ，b 的夹角为90°.10．已知a ＝(－1，3)，OA→＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB 的面积是( D )A ．3B ．2C ．22D ．4 解析：由题意|OA→|＝|OB →|且OA →⊥OB →， 所以(a －b )2＝(a ＋b )2且(a －b )·(a ＋b )＝0， 所以a ·b ＝0且a 2＝b 2，所以|a |＝|b |＝2，所以S △AOB ＝12|OA →|·|OB →|＝12(a －b )2(a ＋b )2 ＝12(a 2＋b 2)2＝4.选D ．11．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μD C ．若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ的值为( C )A ．12B ．23C ．56D ．712解析：由于菱形边长为2，所以BE ＝λBC ＝2λ，DF ＝μDC ＝2μ，从而CE ＝2－2λ，CF ＝2－2μ.由AE →·AF →＝1，得(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →) ＝AB →·AD →＋AB →·DF →＋BE →·AD →＋BE →·DF→ ＝2×2×cos120°＋2·(2μ)＋2λ·2＋2λ·2μ·cos120° ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1， 所以4(λ＋μ)－2λμ＝3.由CE →·CF →＝－23，得(2－2λ)(2－2μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－23，所以λμ＝λ＋μ－23，因此有4(λ＋μ)－2(λ＋μ)＋43＝3， 解得λ＋μ＝56.12．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB→＋PC →|的最大值为( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：由题意知A ，C 关于圆心(0,0)对称．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 1，－y 1)，于是P A →＋PB →＋PC →＝(x 1－2，y 1)＋(x 2－2，y 2)＋(－x 1－2，－y 1)＝(x 2－6，y 2)，由于点B 在圆上，所以|P A →＋PB →＋PC →|即是圆x 2＋y 2＝1上任一点到点(6,0)的距离，其最大值为7，故选B ．第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把★★答案★★填在题中横线上)13．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝(12，1＋sin θ)，若a ∥b ，则锐角θ＝45°.解析：由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)－1×12＝0，即sin 2θ＝12，故|sin θ|＝22，又θ为锐角，所以θ＝45°.14．在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，AB →与AC →的夹角为60°，则|AO →|＝132.解析：|AO→|＝[12(AB →＋AC →)]2＝14(1＋9＋3)＝132.15．如图所示，在▱ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC→＝18 .解析：根据向量加法的几何意义及数量积运算律求解． ∵AP →·AC →＝AP →·(AB →＋BC →)＝AP →·AB →＋AP →·BC →＝AP →·AB →＋AP →·(BD →＋DC →)＝AP →·BD →＋2AP →·AB →，AP ⊥BD ，∴AP →·BD→＝0.∵AP →·AB →＝|AP →||AB →|cos ∠BAP ＝|AP →|2， ∴AP →·AC→＝2|AP →|2＝2×9＝18. 16．给出下列四个命题，其中正确的序号是①②③.①非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是30°；②若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；③若单位向量a ，b 的夹角为120°，则当|2a ＋x b |(x ∈R )取最小值时x ＝1；④若OA →＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是m >－34.解析：①中，若|a |＝|b |＝|a －b |.由向量减法的几何意义知a 与b 的夹角为60°，由平行四边形法则可得a 与a ＋b 的夹角为30°，故①正确． ②中，由(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0知|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 为等腰三角形，故②正确． ③中，∵(2a ＋x b )2＝4a 2＋4x a ·b ＋x 2b 2 ＝4＋4x cos120°＋x 2＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3， 故|2a ＋x b |取最小值时x ＝1.故③正确．④中，∵BA→＝OA →－OB →＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)， BC→＝OC →－OB →＝(5－m ，－3－m )－(6，－3) ＝(－1－m ，－m )，又∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →>0，即3＋3m ＋m >0. ∴m >－34.又当BA →与BC →同向共线时，m ＝12，故当∠ABC 为锐角时，m 的取值范围是m >－34且m ≠12.故④不正确．三、解答题(本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，F 使BF ＝13BC ．(1)以a ，b 为基底表示向量AM→与HF →； (2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →. 解：(1)连接AF ，由已知得AM →＝AD →＋DM →＝12a ＋B ． ∵AF →＝AB →＋BF →＝a ＋13b ，∴HF →＝HA →＋AF →＝－12b ＋(a ＋13b )＝a －16B ． (2)由已知得a ·b ＝|a ||b |cos120°＝3×4×(－12)＝－6， 从而AM →·HF →＝(12a ＋b )·(a －16b ) ＝12|a |2＋1112a ·b －16|b |2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113.18．(10分)如图，在平面直角坐标系中，|OA →|＝2|AB →|＝2，∠OAB ＝2π3，BC →＝(－1，3)．(1)求点B ，C 的坐标；(2)求证：四边形OABC 为等腰梯形．解：(1)连接OB ，设B (x B ，y B )，则x B ＝|OA →|＋|AB →|·cos(π－∠OAB )＝52，y B ＝|AB →|·sin(π－∠OAB )＝32，∴OC →＝OB →＋BC →＝(52，32)＋(－1，3)＝(32，332)， ∴B (52，32)，C (32，332)．(2)证明：∵OC →＝(32，332)，AB →＝(12，32)， ∴OC→＝3AB →，∴OC →∥AB →. 又易知OA 与BC 不平行，|OA →|＝|BC →|＝2， ∴四边形OABC 为等腰梯形．19．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是平行四边形，且点A (4,0)，C (1，3)．(1)求∠ABC 的大小；(2)设点M 是OA 的中点，点P 在线段BC 上运动(包括端点)，求OP →·CM→的取值范围． 解：(1)由题意得OA→＝(4,0)，OC →＝(1，3)． ∵四边形OABC 是平行四边形，∴cos ∠ABC ＝cos ∠AOC ＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝44×2＝12，∴∠ABC ＝π3.(2)设P (t ，3)，其中1≤t ≤5，则OP →＝(t ，3)． ∵CM→＝(2,0)－(1，3)＝(1，－3)， ∴OP →·CM →＝(t ，3)·(1，－3)＝t －3， 故OP →·CM→的取值范围是[－2,2]． 20．(10分)已知四边形ABCD 中，AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)．(1)若BC→∥DA →，求y ＝f (x )的解析式； (2)在(1)的条件下，若AC →⊥BD →，求x ，y 的值以及四边形ABCD 的面积．解：(1)DA→＝－(AB →＋BC →＋CD →)＝(－x －4,2－y )， ∵BC→∥DA →，∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0， 整理得x ＋2y ＝0，∴y ＝－12x . (2)∵AC→＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)， BD→＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)， 且AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0， 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，由(1)知x ＝－2y ，将其代入上式，整理得y 2－2y －3＝0，解得y 1＝3，y 2＝－1，当y ＝3时，x ＝－6，于是BC →＝(－6,3)，AC →＝(0,4)， BD→＝(－8,0)，|AC →|＝4，|BD →|＝8， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝12×4×8＝16.当y ＝－1时，x ＝2，于是BC→＝(2，－1)，AC →＝(8,0)，BD→＝(0，－4)，|AC →|＝8，|BD →|＝4， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝12×8×4＝16.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

精品文档，欢迎下载！模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若cos α＝13，则cos 2α＝( )A.429B ．－429C.79D ．－79D [cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79，故选D.]2．已知扇形的圆心角为2π3弧度，半径为2，则扇形的面积是( )A.8π3B.43 C ．2πD.4π3D [扇形的面积S ＝12×2π3×22＝4π3.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π12的值等于( ) A.13 B.223C ．－13D ．－223C [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝－13，故选C.] 4．设向量a ＝(2tan α，tan β)，向量b ＝(4，－3)，且a ＋b ＝0，则tan(α＋β)＝( ) A.17 B ．－15C.15D ．－17A [∵a ＋b ＝(2tan α＋4，tan β－3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2tan α＋4＝0，tan β－3＝0，∴tan α＝－2，tan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋31－－2×3＝17.]5．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，g (x )＝2cos x ，动直线x ＝t 与f (x )和g (x )的图象分别交于A ，B 两点，则|AB |的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0，2]C ．[0,2]D ．[1，2]B [题意得|AB |＝|f (t )－g (t )|＝|sin t －cos t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4∈[0，2]．故选B.]6．已知tan θ2＝23，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ的值为( )A.23 B ．－23C.32D ．－32A [1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝tan θ2＝23.]7．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只要把函数y ＝2cos 2x 图象上所有的点( )A ．向左平行移动π8个单位长度B ．向右平行移动π8个单位C.向左平行移动π4个单位长度D ．向右平行移动π4个单位B [只要把函数y ＝ 2 cos 2x 图象上所有的点，向右平行移动π8个单位，可得函数y ＝ 2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，故选B.]8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )在一个周期内的图象如图所示，则y ＝f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4 B ．f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋π3 C.f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4 D ．f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x －π3B [由图象知函数的最大值为A ＝4，T 4＝π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝3π8.即T ＝3π2＝2πω，即ω＝43，即f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋φ， 由五点对应法得43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0，得φ＝π3，得f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋π3，故选B.]9．已知f (x )＝1＋sin 2x2，若a ＝f (lg 5)，b ＝f (lg 0.2)，则下列正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1C [∵b ＝f (lg 0.2)＝f (－lg 5)，∴f (x )＋f (－x )＝1＋sin 2x 2＋1＋sin －2x2＝1，∴a ＋b ＝f (lg 5)＋f (－lg 5)＝1.]10．如图，设P 为△ABC 内一点，且AP →＝14AB →＋15AC →，BM →＝34BA →，CN →＝45CA →，则△PMB 的面积与△ABC 的面积之比等于( )A ．1∶5B ．2∶5C ．3∶20D ．7∶20C [由题可知AM →＝14AB →，AN →＝15AC →，则AP →＝AM →＋AN →，由平行四边形法则可知NP →∥AB →，AN →∥MP →，所以S △PMB S △ABC ＝|PM →|·|MB →||AB →|·|AC →|＝15×34＝320.]11．函数f (x )＝cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的一个单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π A [函数f (x )＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，令－π2＋2k π≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得－5π6＋2k π≤x ≤2k π＋π6，当k ＝0时，函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6.故选A.]12．在△ABC 中，A ，B ，C 是其三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B ，当f (B )－m ＜2恒成立时，实数m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－3C ．m ＜3D ．m ＞1D [f (B )＝4sin B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.∵f (B )－m ＜2恒成立， ∴2sin B ＋1－m ＜2恒成立， 即m ＞2sin B －1恒成立． ∵0＜B ＜π， ∴0＜sin B ≤1，∴－1＜2sin B －1≤1，故m ＞1.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知OA →＝(－2,1)， OB →＝(0,2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是 ． (－2,6) [设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，B C →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)．由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴点C 的坐标为(－2,6)．]14．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，则所得的图象的函数解析式为 ．y ＝sin 4x [y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得y ＝sin 4x .]15．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上一点，且cos α＝x5，则tan 2α＝ .247[因为α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，所以x ＜0，因为cos α＝x 5＝xx 2＋16，所以x ＝－3，所以tan α＝y x ＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.] 16．如图，在等腰△ABC 中，D 为底边BC 的中点，E 为AD 的中点，直线BE 与边AC 交于点F ，若AD ＝BC ＝4，则AB →·CF →＝ .－8 [以点D 为原点，以BC 为x 轴建立平面直角坐标系；则A (0,4)，B (－2,0)，C (2,0)，E (0,2)，直线AC 的方程为2x ＋y －4＝0； 直线BE 的方程为x －y ＋2＝0；由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0x －y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝83，向量AB →＝(－2，－4)，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，83，则AB →·CF →＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4×83＝－8， 所以AB →·CF →＝－8.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α＋π·tan α－πcos 3π－α的值．[解] (1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1，∴点P 在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α.由(1)知，P 在单位圆上，∴由余弦函数定义得cos α＝45，∴原式＝54.18．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，a·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos 2α2.[解] ∵a·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22cos α－sin α1＋cos α＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－351－45＝－10 2.19．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝5AE →.(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →，求证：点F 为DE 的中点；(2)在(1)的条件下，求BA →·EF →的值． [解] (1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →，所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →，又AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以AF →＝12AD →＋12AE →，所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →)，因为AB →＝2AD →，AC →＝5AE →， 所以EF →＝14AB →－110AC →，所以BA →·EF →＝－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →－110AC →＝－14AB 2→＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos 60°＝－25.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos 4x －12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋cos 2x －sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)在所给坐标系中画出函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π，118π的图象(只作图不写过程)．[解] f (x )＝1－2sin 22x －1－2sin 2x ＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，则2k π＋π4≤2x ≤2k π＋5π4，k ∈Z ，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (2)图象如下：21．(本小题满分12分)如图，已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设Z 是直线OP 上的一动点．(1)求使ZA →·ZB →取最小值时的OZ →；(2)对(1)中求出的点Z ，求cos∠AZB 的值． [解] (1)∵Z 是直线OP 上的一点，∴OZ →∥OP →.设实数t ，使OZ →＝tOP →， ∴OZ →＝t (2,1)＝(2t ，t )， 则ZA →＝OA →－OZ →＝(1,7)－(2t ，t ) ＝(1－2t,7－t )，ZB →＝OB →－OZ →＝(5,1)－(2t ，t ) ＝(5－2t,1－t )，∴ZA →·ZB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8. 当t ＝2时，ZA →·ZB →有最小值－8， 此时OZ →＝(2t ，t )＝(4,2)．(2)当t ＝2时，ZA →＝(1－2t,7－t )＝(－3,5)，|ZA →|＝34，ZB →＝(5－2t,1－t )＝(1，－1)，|ZB →|＝ 2. 故cos∠AZB ＝ZA →·ZB→|ZA →||ZB →|＝－834×2＝－417＝－41717.22．(本小题满分12分)(2019·钦州高一期末)已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．[解] (1)f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，设X ＝2x －π3，则X ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，精品文档，欢迎下载！- 11 - f (x )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有两个不相等的实数根，即g (X )＝2sin X ＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上有两个不相等的实数根，由图象知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin 2π3＝2×32＝3，则要使g (X )＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上有两个不相等的实数根，则3≤m ＜2，即实数m 的取值范围是[3，2)．。

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若a>b>c,则的值()A.大于0B.小于0C.小于或等于0D.大于或等于0解析因为a>b>c,所以a-c>b-c>0.所以,所以>0,故选A.答案A2.不等式|x+3|+|x-2|<5的解集是()A.{x|-3≤x<2}B.RC.⌀D.{x|x<-3或x>2}解析令f(x)=|x+3|+|x-2|=则f(x)的图象如图,由图可知,f(x)<5的解集为⌀.故原不等式的解集是⌀.答案C3.若P=(x>0,y>0,z>0),则P与3的大小关系是()A.P≤3B.P<3C.P≥3D.P>3解析因为1+x>0,1+y>0,1+z>0,所以=3,即P<3.答案B4.不等式>a的解集为M,且2∉M,则a的取值范围为()A. B.C. D.解析由已知2∉M,可得2∈∁R M,于是有≤a,即-a≤≤a,解得a≥,故应选B.答案B5.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n层楼,上、下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为,则此人应选()A.1楼B.2楼C.3楼D.4楼解析设第n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+≥2=2×3=6,当且仅当n=,即n=3时等号成立.答案C6.若关于x的不等式|x-1|+|x-3|≤a2-2a-1在R上的解集为⌀,则实数a的取值范围是()A.a<-1或a>3B.a<0或a>3C.-1<a<3D.-1≤a≤3解析|x-1|+|x-3|的几何意义是数轴上与x对应的点到1,3对应的两点距离之和,则它的最小值为2.∵原不等式的解集为⌀,∴a2-2a-1<2,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.故选C.答案C7.已知x+3y+5z=6,则x2+y2+z2的最小值为()A. B.C. D.6解析由柯西不等式,得x2+y2+z2=(12+32+52)(x2+y2+z2)×≥(1×x+3×y+5×z)2×=62×.答案C8.设函数f(n)=(2n+9)·3n+1+9,当n∈N+时,f(n)能被m(m∈N+)整除,猜想m的最大值为()A.9B.18C.27D.36解析当n=1时,f(1)=(2×1+9)·31+1+9=108.当n=2时,f(2)=(2×2+9)·32+1+9=360.故猜想m的最大值为36.(1)当n=1时,猜想成立.(2)当n=k(k≥1)时猜想成立,即f(k)=(2k+9)·3k+1+9能被36整除.当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+9]·3k+2+9=(2k+9+2)·3·3k+1+9=3[(2k+9)·3k+1+9]+6·3k+1-18=3[(2k+9)·3k+1+9]+18(3k-1).∵(2k+9)·3k+1+9,18(3k-1)均能被36整除,∴猜想成立.综上,m的最大值为36.答案D9.(2021 山东淄博一模)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则的最小值为()A.4B.6C.8D.9解析=(a-1,1),=(-b-1,2),∵A,B,C三点共线,∴2(a-1)-(-b-1)=0,整理,得2a+b=1.又a>0,b>0,则=(2a+b)=4+≥4+2=8,当且仅当b=2a=时,等号成立.故选C.答案C10.用反证法证明“△ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列,求证B<”,假设正确的是()A.B是锐角B.B不是锐角C.B是直角D.B是钝角答案B11.实数a i(i=1,2,3,4,5,6)满足(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2=1,则(a5+a6)-(a1+a4)的最大值为()A.3B.2C. D.1解析因为[(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2-a1)×1+(a3-a2)×1+(a4-a3)×1+(a5-a4)×2+(a6-a5)×1]2=[(a6+a5)-(a1+a4)]2,所以[(a6+a5)-(a1+a4)]2≤8,即(a6+a5)-(a1+a4)≤2.答案B12.已知x,y,z,a,b,c,k均为正数,且x2+y2+z2=10,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30,a+b+c=k(x+y+z),则k=()A. B.C.3D.9解析因为x2+y2+z2=10,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30,所以(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,又(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2,当且仅当=k时,等号成立,则a=kx,b=ky,c=kz,代入a2+b2+c2=90,得k2(x2+y2+z2)=90,于是k=3.答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为.解析2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=2a+4≥7(当且仅当(x-a)2=1时,等号成立),则a≥,即实数a的最小值为.答案14.不等式|x-4|+|x-3|≤a有实数解的充要条件是.解析不等式a≥|x-4|+|x-3|有解⇔a≥(|x-4|+|x-3|)min=1.答案a≥115.设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为.解析由柯西不等式可得(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2(22+22+12)≥[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2=(2x+2y+z-1)2=81,所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9当且仅当,即x=-1,y=-4,z=2时,等号成立.答案916.导学号26394074对于任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a||x-1|恒成立,则实数x的取值范围是.解析依题意只需不等式的左边的最小值≥|a||x-1|,由绝对值三角不等式得|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=|2a|=2|a|,故只需求解2|a|≥|a||x-1|即可,解得-1≤x≤3.答案[-1,3]三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知x,y均为正数,且x>y,求证2x+≥2y+3.证明因为x>0,y>0,x-y>0,所以2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.18.(本小题满分12分)已知m>1,且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4].(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.解(1)∵m>1,不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.∵其解集为[0,4],∴解得m=3.(2)由(1)知a+b=3.(方法一:利用基本不等式)∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥,∴a2+b2的最小值为.(方法二:利用柯西不等式)∵(a2+b2)·(12+12)≥(a×1+b×1)2=(a+b)2=9,∴a2+b2≥,∴a2+b2的最小值为.(方法三:消元法求二次函数的最值)∵a+b=3,∴b=3-a.∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2,∴a2+b2的最小值为.19.(本小题满分12分)用数学归纳法证明:>n!(n>1,n∈N+).(n!=n×(n-1)×…×2×1)证明(1)当n=2时,>2!=2,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即>k!.当n=k+1时,=+…+(k+1)·=(k+1)·>(k+1)·k!=(k+1)!,所以当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)可知,对n>1的一切自然数,不等式成立.20.(本小题满分12分)已知x+y>0,且xy≠0.(1)求证:x3+y3≥x2y+y2x;(2)如果恒成立,试求实数m的取值范围.(1)证明因为x3+y3-(x2y+y2x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x+y)(x-y)2,且x+y>0,(x-y)2≥0,所以x3+y3-(x2y+y2x)≥0,故x3+y3≥x2y+y2x.(2)解①若xy<0,则等价于.又因为=-3,即<-3,因此m>-6.②若xy>0,则等价于.因为=1,即≥1(当且仅当x=y时,等号成立),故m≤2.综上所述,实数m的取值范围是(-6,2].21.导学号26394075(本小题满分12分)设函数f(x)=|x+2|-|x-2|.(1)解不等式f(x)≥2;(2)当x∈R,0<y<1时,求证:|x+2|-|x-2|≤.(1)解由已知可得,f(x)=故f(x)≥2的解集为{x|x≥1}.(2)证明由(1)知,|x+2|-|x-2|≤|(x+2)-(x-2)|=4.∵0<y<1,∴0<1-y<1.∴[y+(1-y)]=2+≥4,当且仅当,即y=时,等号成立.∴|x+2|-|x-2|≤.22.(本小题满分12分)已知a,b,c为非零实数,且a2+b2+c2+1-m=0,+1-2m=0.(1)求证:;(2)求实数m的取值范围.(1)证明由柯西不等式得(a2+b2+c2)≥,即(a2+b2+c2)≥36.∴.(2)解由已知得a2+b2+c2=m-1,=2m-1,∴(m-1)(2m-1)≥36,即2m2-3m-35≥0,解得m≤-或m≥5.又a2+b2+c2=m-1>0,=2m-1>0,∴m≥5,即实数m的取值范围是[5,+∞).【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。

模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．4 3 B ．－43 C.433 D ．－4332．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．63．设向量a ＝(cos α，12)，若a 的模长为22，则cos 2α等于( )A ．－12B ．－14 C.12 D.324．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12 5．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于( )A ．－22 B.22C ．－1D ．16．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x 等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．37．要得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos(x －π3)的图象( )A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位8．设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．f (x )的图象关于点(π4，0)对称C ．把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象D ．f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数9．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定10．已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数11．设0≤θ≤2π，向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→的模长的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 3 D ．3212．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为( ) A.1 B.1 C.1 D.1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知α、β为锐角，且a ＝(sin α，cos β)，b ＝(cos α，sin β)，当a ∥b 时，α＋β＝________.14．已知cos 4α－sin 4α＝23，α∈(0，π2)，则cos(2α＋π3)＝________.15．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →＝________.16．若θ∈[0，π2]，且sin θ＝45，则tan θ2＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2.(1)若a ⊥b ，求θ； (2)求|a ＋b |的最大值．18．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α∈(－π3，π2)，f (α＋π3)＝13，求sin(2α＋5π3)的值．19．(12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈[－π3，π3]，求x ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在[0，π]上的图象．20．(12分)已知x ∈R ，向量OA →＝(a cos 2x,1)，OB →＝(2，3a sin 2x －a )，f (x )＝OA →·OB →，a ≠0. (1)求函数f (x )的解析式，并求当a >0时，f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为5，求a 的值．21．(12分)已知函数f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)若A 为锐角，且向量m ＝(1,5)与向量n ＝(1，f (π4－A ))垂直，求cos 2A 的值．22．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．模块综合检测(C)答案1．B [∵600°＝360°＋240°，是第三象限角．∴a <0.∵tan 600°＝tan 240°＝tan 60°＝a－4＝3，∴a ＝－4 3.]2．D [a ·b ＝6－m ＝0，∴m ＝6.]3．A [∵|a |＝cos 2α＋14＝22，∴cos 2α＝14.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－12.]4．B [∵|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12. ∴|a ＋2b |＝2 3.] 5．D [tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28° ＝tan(17°＋28°)(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28° ＝1－tan 17°tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.]6．C [∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(6,3)，∵(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30， ∴x ＝4.]7．A [方法一 y ＝cos(x －π3)＝sin(x ＋π6)，向右平移π6个单位即得y ＝sin(x －π6＋π6)＝sin x ，故选A.方法二 y ＝sin x ＝cos(x －π2)，y ＝cos(x －π3)6π−−−−−−→向右平移个单位6π−−−−−−→向右平移个单位y ＝cos(x －π2)，无论哪种解法都需要统一函数名称．]8．C [∵f (π3)＝0，∴A 不正确．∵f (π4)＝cos π3＝12≠0，∴B 不正确．f (x )向左平移π12个单位得f (x )＝sin[2(x ＋π12)＋π3]＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x ，故C 正确．]9．A [∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2.∴π2>A >π2－B >0.∵函数y ＝sin x ，x ∈(0，π2)是递增函数，∴sin A >sin(π2－B )．即sin A >cos B .∴p ·q ＝sin A －cos B >0.∴p 与q 所成的角是锐角．]10．D [f (x )＝(1＋cos 2x )1－cos 2x 2＝12(1－cos 22x )＝12－12×1＋cos 4x2＝14－14cos 4x ，∴T ＝2π4＝π2，f (－x )＝f (x )，故选D.] 11．D [|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cos θ≤18＝3 2.]12．D [由题意知tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx ＋π6)，即tan(ωx ＋π4－πω6)＝tan(ωx ＋π6)．∴π4－π6ω＝k π＋π6，得ω＝－6k ＋12，则ωmin ＝12(ω>0)．] 13.π2解析 ∵a ∥b ，∴sin αsin β－cos αcos β＝0即cos(α＋β)＝0.∵0<α＋β<π.∴α＋β＝π2.14.13－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23.又2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53.∴cos(2α＋π3)＝12cos 2α－32sin 2α＝13－156.15．2解析 n ·BC →＝n ·(AC →－AB →)＝n ·AC →－n ·AB →＝7－(2,1)·(3，－1)＝7－5＝2. 16.12解析 ∵sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2sin θ2cos θ2sin 2θ2＋cos 2θ2＝2tanθ21＋tan 2θ2＝45.∴2tan 2θ2－5tan θ2＋2＝0，∴tan θ2＝12或tan θ2＝2.∵θ∈[0，π2]，∴θ2∈[0，π4]．∴tan θ2∈[0,1]，∴tan θ2＝12.17．解 (1)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0.由此得tan θ＝－1(－π2<θ<π2)，∴θ＝－π4.(2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得 a ＋b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，|a ＋b |＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin (θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1.18．解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T ＝2π，则ω＝2πT＝1.∴f (x )＝sin(x ＋φ)．∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝cos x .(2)由已知得cos(α＋π3)＝13.∵α∈(－π3，π2)．∴α＋π3∈(0，5π6)．∴sin(α＋π3)＝223.∴sin(2α＋5π3)＝－sin(2α＋2π3)＝－2sin(α＋π3)cos(α＋π3)＝－429.19．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin(2x ＋π6)＋1.由2sin(2x ＋π6)＋1＝1－3得sin(2x ＋π6)＝－32.∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6，∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.(2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )得函数单调增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z ).x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6π y 2 3 2 0 －1 0220．解 (1)f (x )＝2a cos 2x ＋3a sin 2x －a ＝3a sin 2x ＋a cos 2x ＝2a sin(2x ＋π6)．当a >0时，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．故函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝2a sin(2x ＋π6)．当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]．若a >0，当2x ＋π6＝π2时，f (x )max ＝2a ＝5，则a ＝52；若a <0，当2x ＋π6＝7π6时，f (x )max ＝－a ＝5，则a ＝－5.所以a ＝52或－5.21．解 (1)f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32＝3[22(sin x ＋cos x )]2－cos 2x －1＋32＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π6)－1， 所以f (x )的最小正周期为π，最小值为－2.(2)由m ＝(1,5)与n ＝(1，f (π4－A ))垂直，得5f (π4－A )＋1＝0，∴5sin[2(π4－A )－π6]－4＝0，即sin(2A －π3)＝－45.∵A ∈(0，π2)，∴2A －π3∈(－π3，2π3)，∵sin(2A －π3)＝－45<0，∴2A －π3∈(－π3，0)，∴cos(2A －π3)＝35.∴cos 2A ＝cos[(2A －π3)＋π3]＝35×12＋45×32＝43＋310.22．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x (0<x <π)，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t ≤ 2.则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋22)2－32，－1<t ≤ 2.∴t ＝－22时，y 取得最小值，且y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22.由于0<x <π，故x ＝11π12.所以函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π.∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0.∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，sin(2α＋π3)＋2sin 2α＝0.∴52sin 2α＋32cos 2α＝0.∴tan 2α＝－35......................................使用本文档删除后面的即可 致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间 文档来源网络仅供参考 欢迎您下载可以编辑的word 文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学·必修4(人教A 版)模块综合检测卷(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，(a －b )·b ＝0，所以a －b 与b 垂直．故选C.答案：C2．点P 从()1，0出发，沿单位圆逆时针方向运动4π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12解析：由三角函数的定义知，Q 点的坐标为⎝ ⎛ cos 4π3，⎭⎪⎫sin 4π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.故选C.答案：C3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( 其中A >0，ω＞0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f (0)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.32解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2，把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入函数式中，可得φ＝π3，∴f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (0)＝sin π3＝32.故选D.答案：D4．(2013·山东卷)将函数y ＝sin( 2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4解析：利用平移规律求得解析式，验证得出答案．y ＝sin(2x ＋φ)−−−−−−−→向左平移π个单位8Y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ. 当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数； 当φ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数； 当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.答案：B5．已知sin(π＋α)＝45且α是第三象限的角，则cos(2π－α)的值是( )A ．－45B ．－35C ．±45 D.35解析：sin(π＋α)＝45⇒sin α＝－45，又∵α是第三象限的角， ∴cos(2π－α)＝cos α＝－35.故选B.答案：B6．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变) B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)C ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)解析：f (x )＝2sin x 向左平移π6得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝g (x )，把g (x )图象横坐标伸长到原来的3倍得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6.故选B.答案：B7．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．90°解析：c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒ a ·b ＝－1⇒a ，b ＝a ·b ||a ||b ＝－12 ⇒a ，b ＝120°.故选C.答案：C8．函数f (x )＝sin x －12，x ∈(0,2π)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3解析：如下图所示，∵sin x ≥12，∴π6≤x ≤5π6.故选B. 答案：B9.(2013·湖北卷)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)．D (3,4)，则向量A B →在C D →方向上的投影为( )A.322B.3152 C ．－322 D ．－3152解析：首先求出AB→，AC →的坐标，然后根据投影的定义进行计算．由已知得AB→＝(2,1)，CD →＝(5,5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.故选A.答案：A10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( )A ．7 B.17 C ．－17 D ．－7解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，所以sin α<0，即sin α＝－35，tan α＝34.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17，故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．已知向量m ＝(1,3)，n ＝(2a,1－a )，若m ⊥n ，则a ＝________.解析：m ＝(1,3)，n ＝(2a,1－a )， m ·n ＝2a ＋3－3a ＝3－a ＝0， ∴a ＝3. 答案：312．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________．解析：f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∵π4≤x ≤π2， ∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1. ∴1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤f (x )≤2， ∴f (x )的最小值为1. 答案：113．(2014·汕头一模)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝12，则tan 2α＝________.答案：－ 314．已知函数f (x )＝sin ωx ，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，有下列命题：①当ω＝2时，f (x )g (x )的最小正周期是π2；②当ω＝1时，f (x )＋g (x )的最大值为98；③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2可以得到函数g (x )的图象．其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上)．解析：①ω＝2时，f (x )g (x )＝sin 2x ·cos 2x ＝12sin 4x ，周期T ＝2π4＝π2.故①正确．②ω＝1时，f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos 2x ＝sin x ＋1－2sin 2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋98，∴当sin x ＝14时，f (x )＋g (x )取最大值98.故②正确．③ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2得到sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin 2x ，故③不正确． 答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点．(1)求OA →·OB →；解析：OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5.(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标．解析：设P (m ，n )，∵P 在AB 上， ∴BA→与PA →共线． BA→＝(4,2)，PA →＝(1－m ，－2－n )， ∴4·(－2－n )－2(1－m )＝0.即2n －m ＋5＝0. ① 又∵OP→⊥AB →， ∴(m ，n )·(－4，－2)＝0.∴2m ＋n ＝0. ② 由①②解得m ＝1，n ＝－2， ∴OP →＝(1，－2)．16.(本小题满分12分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13.(1)求tan α的值；解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13， ∴tan α＝－12.(2)求2sin 2α－sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．解析：原式＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝85.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x .(1)求函数f (x )的单调增区间；解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ＝2sin x cos π6＋2cos x sin π6－2cos x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6. 由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π ，k ∈Z ， 得－π3＋2k π≤x ≤23π＋2k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调增区间为－π3＋2k π，23π＋2k π(k ∈Z)．(2)若f (x )＝65，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值．解析：由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝35. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝725.18．(2013·安徽卷)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；解析：f (x )＝22cos ωx (sin ωx ＋cos ωx )＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx＋1)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2. 由2π2ω＝π⇒ω＝1.(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π＋π4， 令2x ＋π4＝π2，解得x ＝π8. ∴y ＝f (x )在 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π8上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．19.(2014·广州一模)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝sin x ＋αcos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0.(1)求实数a 的值；解析：∵函数f (x )＝sin x ＋αcos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0. 即－32＋a 2＝0.解得a ＝ 3.(2)设g (x )＝[f (x )]2－2，求函数g (x )的最小正周期与单调递增区间．解析：由(1)得，f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴函数f (x )的最小正周期为2π.∵函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)， ∴当2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z)时，函数f (x )单调递增，即2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z)时，函数f (x )单调递增． ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z)．20．(本小题满分14分)已知向量m ＝(sin x ，－cos x )，n ＝(cos θ，－sin θ)，其中0<θ<π.函数f (x )＝m·n 在x ＝π处取最小值．(1)求θ的值；解析：∵f (x )＝m ·n ＝sin x cos θ＋cos x sin θ＝sin(x ＋θ)，又∵函数f (x )在x ＝π处取最小值，∴sin(π＋θ)＝－1, 即sin θ＝1.又0<θ<π，∴θ＝π2.(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若sin B ＝2sin A ，f (C )＝12，求A .解析：由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x . ∵f (C )＝12，∴cos C ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝2π3－A ， 代入sin B ＝2sin A 中，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A ， ∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝2sin A ， ∴tan A ＝33， ∵0<A <π，∴A ＝π6.。

学期综合测评对应学生用书Ｐ１01 本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间１20分钟.第Ⅰ卷 (选择题,共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题５分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)１.已知角α的终边经过点P(4，-3),则2si ｎα＋cos α的值等于( )A .－错误! Ｂ.错误! C ．错误!未定义书签。

Ｄ．-错误!未定义书签。

答案 D解析 据三角函数的定义可知sin α＝－错误!,co ｓα＝错误!,∴2s ｉn α＋co ｓα＝－错误!未定义书签。

+４5＝－错误!未定义书签。

.２．若一个圆的半径变为原来的一半,而弧长变为原来的错误!未定义书签。

倍，则该弧所对的圆心角是原来的( ) A .错误!未定义书签。

Ｂ.2倍 C ．13 D ．３倍答案 D解析 设圆弧的半径为r ，弧长为l,其弧度数为错误!，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为错误!=3·错误!,即弧度数变为原来的3倍,故选D ． 3．已知sin (π+α)＝错误!，则co ｓ2α=（ )ﻬA .79B .-错误!未定义书签。

C ．－错误!未定义书签。

D .错误! 答案 A解析 因为ｓin (π+α)＝错误!未定义书签。

,所以sin α＝－错误!未定义书签。

,所以cos 2α＝１-2sin ２α＝1－2×－132＝错误!未定义书签。

．4．若|a |＝2sin １5°，｜b ｜=4co ｓ15°,且a 与b 的夹角为3０°,则a ·b 的值为( )A ．＼f(１,2) Ｂ．错误! C.错误! D ．２错误!未定义书签。

答案 C解析 a·ｂ=|ａ|｜b |c ｏs3０°=2sin15°·4co ｓ１5°·c ｏs30°=2sin60°＝错误!未定义书签。