复合材料细观尺度对等效弹性模量的影响

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基于细观力学有限元法的复合材料有效模量的研究和数值模拟

基于细观力学有限元法的复合材料有效模量的研究和数值模拟基于大型有限元软件ANSYS建立单向纤维增强复合材料的代表性体积单元的仿真模型,将纤维和基体作为两种不同的材料建模。

通过施加适当的边界约束条件和载荷,计算有效弹性模量。

计算结果与部分实验和理论结果具有较好的一致性,表明所采用的方法能够较好地计算复合材料的宏观有基于细观力学有限元法的复合材料有效模量的研究和数值模拟杜潇，陈柯河海大学土木工程学院，南京（210098）摘要：基于大型有限元软件ANSYS建立单向纤维增强复合材料的代表性体积单元的仿真模型，将纤维和基体作为两种不同的材料建模。

通过施加适当的边界约束条件和载荷，计算有效弹性模量。

计算结果与部分实验和理论结果具有较好的一致性，表明所采用的方法能够较好地计算复合材料的宏观有效弹性模量。

关键词：ANSYS；复合材料；代表性体积单元；有效弹性模量1. 引言复合材料是一大类新型材料，具有强度高、刚度大、质量轻、抗疲劳、减振、耐高温等一系列优点，纤维增强复合材料是其中一种。

研究复合材料力学性能分为宏观力学和细观力学两种方法。

连续介质力学中假设材料为均匀，其目的是采用适当的本构关系描述材料外部作用的响应。

这类本构关系是在不考虑材料微结构的情况下通过宏观实验得到的。

然而，不论是天然材料还是人工材料，即使在宏观尺度下表现出均匀性，实质上却是非匀质。

所以，连续介质力学的描述只是一种近似，力学性能实验只能反映出材料的“整体”性能。

连续介质力学并不能揭示出微结构与宏观性能之间的关系。

材料细观力学是20世纪力学领域重要的科学研究成果之一。

它研究宏观均匀但细观非均匀的介质，多采用多尺度力学理论，目的就是基于材料细观结构的信息，寻找宏观均匀材料的有效性能，其基本思想是“均匀化”。

对于弹性问题，从细观尺度的应力、应变场出发，通过应力和应变体积平均值之间的关系确定材料的有效弹性性能，从而用均匀化后的介质代替原非均匀介质[1]。

基于细观层次的混凝土抗压强度与尺寸效应的数值模拟

基于细观层次的混凝土抗压强度与尺寸效应的数值模拟孙占青【摘要】为了实现混凝土试件抗压强度与尺寸效应的仿真计算分析,在细观尺度下,把混凝土看作是由砂浆、粘结带和骨料组成的三相复合材料,细观尺度下的各相物理力学参数都以试验数据为依据,用随机骨料模型代表混凝土细观结构,利用有限元法和混凝土细观力学的本构关系,借助于计算机强大的运算能力,对混凝土复杂的力学行为进行数值模拟.通过计算发现:混凝土抗压强度和破坏过程与试验相吻合,试件的尺寸效应也符合一定的规律,而且随着试件尺寸的增大,抗压强度逐渐降低.【期刊名称】《黑龙江工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(025)001【总页数】4页(P6-9)【关键词】细观尺度;随机骨料模型;抗压强度;尺寸效应;数值模拟;本构模型【作者】孙占青【作者单位】北京工业大学建筑工程学院,北京100124【正文语种】中文【中图分类】TU528.01混凝土作为建筑工程中一种常用的建筑材料，与其他材料相比（木结构、钢结构），具有取材容易，成本低廉，施工方便，可模性、整体性好的优点［1］，所以混凝土至今乃至以后仍然是建筑行业的支柱材料。

混凝土结构的使用至今约有一百五十多年的历史，在过去的一百多年时间里，人们对混凝土的研究主要是来自于试验。

从90年代开始，随着计算机技术的大力发展，人们对混凝土的研究也从宏观领域转到微观领域和细观领域，由于混凝土的试验工作要耗费大量的人力、物力和财力，对于一些大型的试件，还要受到试验条件的限制，细观数值模拟如今也成为研究混凝土力学性能的一个重要手段，这种方法既为理论研究的验证和广泛应用提供了先进的工具，又为试验研究创造了高效经济的计算机仿真技术，人们可以利用有限元法和混凝土细观力学的本构关系，借助于计算机强大的运算能力，对混凝土复杂的力学行为进行数值模拟。

为了研究混凝土试件的抗压强度与尺寸效应，本文将从细观损伤的角度采用随机骨料模型和有限元数值计算来研究混凝土的损伤破坏过程和抗压强度以及尺寸效应［2］。

细观力学的研究内容Eshel等效夹杂理论自洽理论

建立复合材料宏观性能与组分性能及结构之间的定量关系。揭示复合材料结构在一定工况下的相应规律及本质为复合材料优化设计、性能评价提供必要的理论依据及手段。
第3页/共29页
非均质介质等效性能的预测（刚度、热物理特性）等效介质与非均质材料有相同的响应规律复合材料强度、断裂韧性等性能的预测损伤演化过程结构与功能材料一体化、多场的耦合作用陶瓷基复合材料、新型功能材料
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均匀应力边界条件
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均匀应变边界条件
def
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4. Hill’s principle
当边界为均匀应力时
当边界为均匀应变时
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对Hill引理的说明：
1、应力、应变不一定满足本构关系。当用于满足本构关系的情况，则有宏观功（能量）与微观功（能量）的体积平均相等。（Hill均匀化条件）
边界条件
nj为D边界的外法线单位向量
有体力的平衡方程
问题可看做无本征应变，代之以Ω内有分布体力
多数情况下，D为无限大，
边界条件
相容方程
第应力和平面应变问题中的直角坐标形式
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四、线弹性复合材料的均匀化
考虑区V的线弹性非均匀复合材料RVE，其边界S上作用均匀应力或均匀应变、材料各相之间保持连续、处于自然状态、等温状态。RVE的整体特征可认为是线弹性的。
由局部本构
Def均匀化本构
由局部本构
Def均匀化本构
1、有效刚度和有效柔度的定义
effective properties
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2.average fields and effective priperties

复合材料结构的尺寸效应研究

复合材料结构的尺寸效应研究随着新材料的不断涌现，复合材料因其独特的优异性能在航空航天、汽车、建筑、电子等领域得到广泛应用。

然而，相较于传统材料如钢铁、铝合金等，复合材料结构在力学性能、热物性、耐久性等方面表现出大大小小的差异。

近年来，人们对复合材料结构的尺寸效应进行了深入研究，探索其内在原因和应用价值。

一、尺寸效应的概念尺寸效应是指当物体几何尺寸达到某一范围后，其力学性能、热物性、化学特性等各方面表现出与其几何尺寸不成比例的变化趋势。

这一效应可由多种因素所引发，如材料微结构尺寸，载荷与结构尺寸比，温度、湿度等环境条件。

对于复合材料结构而言，尺寸效应的主要表现为弹性模量、剪切模量和弯曲刚度等力学性能的变化。

二、尺寸效应研究的发展历程尺寸效应在材料科学中的研究可以追溯至19世纪，当时科学家就已经发现晶体的弹性模量与尺寸有关。

20世纪60年代，力学工程的研究者开始对材料尺寸效应进行系统的探讨，发现其与材料成分、制备方法、加载条件等相关。

此后，随着先进材料的研究不断深入，尺寸效应的研究也逐渐扩展至复合材料领域。

对于复合材料而言，尺寸效应主要在纤维、基体、界面和结构等方面受到影响。

三、尺寸效应的影响因素1. 纤维尺寸效应纤维是复合材料的主要组成部分，其性质决定着复合材料的本质特性。

当纤维直径小于一定尺寸时，由于表面效应和应力分布的改变，其强度、刚度等力学性能呈现出明显的尺寸效应。

此时，薄壁效应会导致纤维直径变薄，而纤维弯曲会使长度发生变化，从而影响整体力学性能。

2. 基体尺寸效应基体是复合材料中固态部分的基本结构，其强度、刚度等性能也受到尺寸效应的影响。

当基体孔隙率占比较大时，其界面组成部分与纤维之间的协同作用受到限制，使得复合材料的强度和韧性会随着尺寸增大而下降。

3. 界面尺寸效应复合材料中的界面是纤维和基体之间的接触部分，其强度、粘附度等性能会对复合材料的力学特性产生重要影响。

尺寸效应在此处可能导致界面上的裂纹和破坏加剧，增加了复合材料的破坏风险。

混凝土细观数值试验的随机损伤本构模型

混凝土细观数值试验的随机损伤本构模型邹家强;张巍;刘爱华【摘要】混凝土在细观尺度下是由粗骨料、砂浆和界面过渡区(ITZ)组成的三相复合材料.目前考虑细观尺度上这三相之间力学性能的不同,已经进行了大量的细观数值试验研究.然而混凝土为典型的多尺度材料,在细观尺度下混凝土各相自身也是非均质的.鉴于此,提出了细观尺度下代表性体积单元(RVE)的随机损伤本构模型,并编制了相应的有限元程序.利用编制的程序,进行了随机骨料模型单轴拉伸和压缩数值试验;并进行了双骨料试件单轴拉伸数值试验.结果表明,该模型虽然结构简单,但能较好地反映混凝土的主要宏观力学行为和细观损伤的产生和演化发展.最后,通过参数敏感性分析,阐明了不同模型参数对混凝土宏观力学特性的影响.该模型可为混凝土细观数值试验研究提供支撑.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2019(019)015【总页数】7页(P272-278)【关键词】混凝土;细观;数值试验;本构模型;随机损伤【作者】邹家强;张巍;刘爱华【作者单位】华南农业大学水利与土木工程学院,广州510642;华南农业大学水利与土木工程学院,广州510642;华南农业大学水利与土木工程学院,广州510642【正文语种】中文【中图分类】TU528.1混凝土是一种典型的多尺度材料，它在不同的层次上会表现出不同的结构细节。

目前对混凝土材料的研究主要集中在以下三个不同的尺度：微观、细观和宏观[1,2]。

从细观尺度上看，混凝土是一种典型的复合材料，主要由粗骨料、砂浆基体和界面过渡区组成[3—5]。

由于工程实践上所关注的混凝土宏观力学性能，很大程度上是由其细观尺度结构决定的，因此细观尺度下的研究已成为混凝土材料研究的一个热点领域。

目前混凝土力学性能的细观尺度研究主要有两种方法：物理试验和数值试验。

物理试验主要是在室内试验过程中采用X射线CT扫描、核磁共振和声发射等新技术[6—8]监测混凝土细观裂纹和损伤行为；而数值试验主要考虑细观尺度上混凝土的三相，采用有限元法进行数值模拟研究。

复合材料的微观力学性能与研究

复合材料的微观力学性能与研究在当今的材料科学领域，复合材料凭借其独特的性能优势，已经成为了众多应用场景中的关键角色。

从航空航天领域的高强度结构件，到汽车工业中的轻量化部件，再到电子设备中的高性能外壳，复合材料的身影无处不在。

然而，要真正理解和充分发挥复合材料的潜力，深入研究其微观力学性能至关重要。

复合材料并非单一的物质，而是由两种或两种以上具有不同物理和化学性质的组分材料通过特定的工艺组合而成。

这些组分材料在微观尺度上的相互作用和协同工作，决定了复合材料整体的力学性能。

在微观层面上，复合材料的力学性能受到多种因素的影响。

首先，增强相和基体相的性质是关键因素之一。

增强相通常具有较高的强度和刚度，如纤维、颗粒等，它们承担着主要的载荷。

而基体相则起到将增强相连接在一起、传递载荷和保护增强相的作用。

增强相和基体相之间的界面结合强度也对复合材料的性能有着显著影响。

如果界面结合强度不足，在受力时容易发生脱粘，导致复合材料的性能下降。

复合材料的微观结构特征也是影响其力学性能的重要因素。

例如，增强相的分布均匀性、取向以及孔隙率等都会对材料的强度、韧性和疲劳性能产生影响。

均匀分布且取向合理的增强相能够有效地提高复合材料的力学性能，而孔隙的存在则会成为应力集中点，降低材料的强度和耐久性。

为了研究复合材料的微观力学性能，科学家们采用了一系列先进的实验技术和分析方法。

电子显微镜技术是其中不可或缺的工具之一。

通过扫描电子显微镜（SEM）和透射电子显微镜（TEM），我们可以直接观察到复合材料的微观结构，包括增强相和基体相的形态、界面的结合情况以及微观缺陷的分布等。

此外，纳米压痕技术也是研究复合材料微观力学性能的有力手段。

该技术可以在极小的尺度上对材料进行力学性能测试，获取材料的硬度、弹性模量等关键参数。

通过在复合材料的不同位置进行纳米压痕测试，可以了解微观结构的不均匀性对力学性能的影响。

在理论研究方面，基于连续介质力学的方法被广泛应用于分析复合材料的微观力学行为。

复合材料细观几何结构对有效模量的影响

张景涛ΞΞ 王兆清 (山东建筑大学工程力学研究所 ,济南 250101)
ZHAN G J ingTao WAN G ZhaoQing ( Institute of Engineering Mechanics , Shandong Jianzhu University , Jinan 250101 , China)
述在多边形上 (如图 1) 建立的插值函数作为试函数 ,
利用 Galerkin 法推导重心有限元法公式 ,选取有限维
函数子空间 Vh < V 和 V0h < V0 作为近似试函数和检
验函数空间 ,则弱形式的离散近似形式可以表示为 ,求
uh ∈ Vh < V ,使得对于任意的函数 v ∈ V0h < V0 均
Kd = f
(16)
3 有效模量的定义及计算模型
3. 1 有效模量的定义
在给定均匀应力或均匀应变边界条件下 ,复合材
料体 (体积为
V)
中增强相和基体的细观应力场为
σ ij
,
应变场为εij ,规定按体积平均的值
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
本文用以平均值坐标为插值函数 ,用 Galerkin 法推导出的重心有限元法对碳化硅Π钛和硼Π铝两种纤维增强复合材料的横截面有效模量进行数值计算。以复合材料的代表性单胞 (representative unit cell , RUC) 作为计算模型 ,着重对增强相的大小、形状和方位等细观几何结构对材料横截面有效模量的影响进行分析。
位移 —应变关系为

复合材料论文：复合材料微结构拓扑优化均匀化理论等效弹性性能敏度过滤

复合材料论文：复合材料微结构拓扑优化均匀化理论等效弹性性能敏度过滤【中文摘要】复合材料的宏观力学性能受到其微观结构和材料组分参数的影响,所以通过对材料微结构构型进行拓扑优化设计来获得具有期望性能的复合材料是必要且可行的。

本文以极端性能为优化目标进行周期性材料微结构的拓扑优化研究。

在运用均匀化理论预测周期性复合材料等效性能的基础上,以单元密度为设计变量、材料体积分数为优化约束条件、材料等效弹性矩阵的分量作为优化目标,结合各向同性惩罚材料插值法建立了极端弹性性能复合材料微结构拓扑优化模型。

运用优化准则法求解,得到具有最优横向抗拉强度、最优纵向抗拉强度、最优剪切性能以及最大双向抗拉性能加权和的材料微观结构。

本文阐述了微结构拓扑优化中出现的数值不稳定现象,并引入敏度过滤法解决数值不稳定问题。

探讨了优化模型中惩罚因子、过滤半径等影响参数对优化过程及最终优化结果的影响。

其结果表明:惩罚因子越大,优化收敛越快;过滤半径取值过小时棋盘格式等数值不稳定现象不能完全消除,取值过大则会出现模糊边界。

通过分析比较得到了最合适的参数值来构建优化模型。

最后将构建的最优模型应用于铝合金冲孔板的孔形设计,得到了在不同工况下都能使材料发挥最大潜力的结构。

且所得的构型的体积模量均接近Hashin-Shtrikman 上限值,说明优化构型的等效体积模量具有区间稳定性,优化效果明显。

本文以渐进均匀化理论为基础,结合结构拓扑优化理论进行复合材料微结构设计,实现了构件的轻质高强设计。

【英文摘要】For the macro-mechanical properties of composite material are affected by the micro-structure and the parameters of material components, it’s necessary and feasible to obtain composites with desired performance by the topology optimization design to the material micro-structure. Topology optimization design for microstructure of periodic material with the extreme elastic properties as optimization objective is studied on this paper.Based on the property prediction of periodic composites using homogenization theory,micro-structure topology optimization model with the extreme elastic properties is established. The SIMP is adopted in the model, by using the density of micro-unit as the design variable, the volume fraction of material as the optimization constraints, the macroscopic mechanical properties of material as the optimization objective, the OC method as the solution algorithm. The material micro-structure with optimal transverse tensile strength, optimal longitudinal tensile strength, optimal shear modulus and optimal weighted sums of bidirectional tensile strength are obtained.Several numerical instabilities phenomenon in micro-structure topology optimization processare described, and filtering of sensitivities technology is introduced to solve these problems. The influence of parameters in topology optimization model to optimal process and final optimization results is discussed. The results show that to increase the penalization factors, the optimization convergence process becomes faster. If filter radius is too small, the numerical instabilities such as checkerboard format cannot be completely eliminated, and while the value is too large the fuzzy boundaries will appear in the topology structure. The optimal parameters are chosen to construct an optimization model after analysis and comparison.Finally, the optimization model is applied to the hole shape design of aluminum alloy porous plate, obtaining a structure that the maximum potential of material is fully played at any working conditions. The obtained optimal structure effective bulk modulus are approach to upper limit value of Hashin-Shtrikman, which reveals the effective bulk modulus are interval stabile and the optimal results play obvious effects.In this paper, the micro-structure design of composites is carried out based on asymptotic homogenization theory and the theory of topology optimization. The implementation of the components with light weight and high strength is done.【关键词】复合材料微结构拓扑优化均匀化理论等效弹性性能敏度过滤【英文关键词】Composite Material Micro-structure Topology Optimization Homogenization TheoryEffective Elastic Properties Filtering of Sensitivities 【目录】基于均匀化理论的材料微结构拓扑优化研究摘要4-5Abstract5-6第一章绪论9-17 1.1 本文研究的背景与意义9 1.2 复合材料等效弹性性能预测的研究现状9-12 1.3拓扑优化研究现状12-15 1.3.1 结构拓扑优化12-14 1.3.2 微观结构拓扑优化研究现状14-15 1.4 本文研究的主要内容15-17第2章均匀化理论及其程序实现17-30 2.1 基于小参数渐进展开的均匀化数学模型17-21 2.2 均匀化方法的有限元形式21-23 2.3 均匀化方法的边界条件23-26 2.4 基于MATLAB的均匀化方法程序实现26-27 2.5 数值算例27-29 2.5.1 算例127-28 2.5.2 算例228-29 2.6 本章小结29-30第3章复合材料微结构优化30-42 3.1 具有极端弹性性能复合材料微结构优化方法30-36 3.1.1 优化模型的建立30-34 3.1.2 目标函数灵敏度求解34 3.1.3 灵敏度过滤技术34-35 3.1.4 优化准则35-36 3.2 微结构优化实施步骤36-37 3.3 数值算例37-41 3.3.1 算例137-39 3.3.2 算例239-41 3.4 本章小结41-42第4章微结构优化中数值不稳定现象及优化参数讨论42-56 4.1 微结构优化中数值不稳定现象42-44 4.2 数值不稳定现象的解决方法44-46 4.3 影响参数的讨论46-51 4.4 数值算例51-55 4.5 本章小结55-56总结与展望56-58参考文献58-62致谢62-63附录(攻读硕士学位期间已公开发表的论文)63【采买全文】1.3.9.9.38.8.4.8 1.3.8.1.13.7.2.1 同时提供论文写作一对一辅导和论文发表服务.保过包发【说明】本文仅为中国学术文献总库合作提供，无涉版权。

复合材料的微观结构与力学性能关系分析

复合材料的微观结构与力学性能关系分析复合材料是由两种或两种以上的材料组成的复合材料，通过不同材料的组合，可以实现材料性能的优化。

在复合材料中，微观结构起着关键作用，对力学性能产生重要影响。

本文将从微观结构与力学性能的关系、复合材料的微观结构特征以及力学性能改善的途径等方面进行探讨。

一、微观结构与力学性能的关系复合材料的微观结构包括纤维/颗粒的分布、界面特性以及微观缺陷等。

这些微观结构的变化会直接影响到复合材料的力学性能。

首先，纤维/颗粒的分布对复合材料的性能有着重要影响。

当纤维/颗粒均匀分布时，可以增强复合材料的强度和刚度，提高其抗拉、抗压和抗弯等力学性能。

相反，如果分布不均匀，将导致应力集中和界面剪切等问题，降低复合材料的力学性能。

其次，界面特性也是影响复合材料性能的重要因素。

复合材料中的界面是纤维/颗粒与基体之间的交界面，其结合强度和界面能量对复合材料的性能起着决定性作用。

良好的界面结合能够有效地传递应力，提高复合材料的强度和刚度。

而界面结合弱化或存在界面剥离等问题会削弱复合材料的力学性能。

最后，微观缺陷也会对复合材料的性能产生不利影响。

微观缺陷包括孔洞、裂纹等，它们会导致应力集中，从而引发材料的破坏。

因此，减少和控制微观缺陷对于提高复合材料的力学性能至关重要。

二、复合材料的微观结构特征复合材料的微观结构特征主要包括纤维/颗粒的形状、尺寸、分布以及界面特性等。

纤维/颗粒的形状和尺寸对复合材料的性能有着重要影响。

一般来说，纤维/颗粒的直径越小，界面面积越大，能够提高界面结合强度，从而提高复合材料的力学性能。

此外，纤维/颗粒的形状也会影响力学性能。

例如，纤维的形状可以是直纹、弯曲或交织等，这些形状会对复合材料的强度和刚度产生不同的影响。

纤维/颗粒的分布是影响复合材料性能的另一个重要因素。

均匀分布的纤维/颗粒能够有效地抵抗外部载荷，提高复合材料的强度和刚度。

而不均匀分布会导致应力集中，降低复合材料的力学性能。

基于复合材料细观力学模型的沥青混凝土弹性模量预测

Elastic Modulus Prediction of Asphalt Concrete Based on Composite Material Micromechanics Model
ZHU Xing2yi1 , HU AN G Zhi2yi1 , C H EN Wei2qiu2
(1. Depart ment of Civil Engineering , Zhejiang U niversity , Hangzho u 310027 , Zhejiang , China ; 2. Instit ute of Applied Mechanics , Zhejiang U niversity , Hangzhou 310027 , Zhejiang , China)
通过百分率之积的加权。文献 [ 5 ]中所采用的这 2
个假设偏离了细观力学基于解析模型的分析思想 ,
因此他们的分析方法实质上是细观力学和经验公式
的混合。此外 ,文献[5 ]中虽然给出了弹性模量的表
达式 ,但该表达式是针对单相夹杂的表达式。事实
上沥青混凝土是多相夹杂的复合材料 , 为此需进一
步给出多相夹杂的弹性模量的表达式。笔者在文献
朱兴一1 ,黄志义1 ,陈伟球2
(1. 浙江大学土木工程学系 ,浙江杭州 310027 ; 2. 浙江大学应用力学研究所 ,浙江杭州 310027)
摘要 :针对目前预测沥青混凝土弹性模量的主要方法 (基于宏观层面的试验法和经验法) 均未能反映其细观结构的问题 ,基于复合材料细观力学方法建立了沥青混凝土多相的 2 层嵌入式细观力学模型 ,求解得到单夹杂复合材料的 2 个弹性常数 (弹性模量和剪切模量) ;结合多步骤方法 ,即将各档粒径集料与空隙逐一投入 ,然后进行均匀化 ,得到多夹杂复合材料弹性模量 ,并与试验值进行对比。结果表明 :预测结果与试验结果基本相同 ;该方法能够反映各组成材料在沥青混凝土中所起的力学作用 ;沥青混凝土的空隙率、沥青胶浆的弹性模量对沥青混凝土的弹性模量有重要影响。关键词 :道路工程 ;沥青混凝土 ;细观力学模型 ;复合材料 ;有效性能 ;多夹杂中图分类号 :U414. 1 文献标志码 :A

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⎛ 1 ∫Ω ⎜ ⎜Y ⎝
∫
Σ
E ijkl
⎞ ∂v i ( x ) ∂Μ k dY ⎟ ⎟ ∂x d Ω + ∂y l j ⎠
⎛1 ∫Ω ⎜ ⎜Y ⎝
∫
Σ
⎞ ( ) ( ) f i dY ⎟ ⎟vi x dΩ + ∫Γt t i vi x dΓ ⎠
kl ⎛ ⎞ ∂χ p ⎜ E ijkl − E ijpq ⎟ dY ∫Σ ⎜ ⎟ ∂ y q ⎝ ⎠
∀v ∈ VΩ×Σ
（7）
其中 V Ω × Σ = v ( x , y ); v ( x , y ) ∈ Ω × Σ v (., y )是光滑的、 Y 周期函数且 v Γ d = 0 同样可以定义 V Ω 、 V Σ 为： V Ω = v ( x )定义在宏观 Ω 域内 v 足够光滑且 v
V Σ = v ( y )定义在细观 Σ 域内 v ( y ), Y 是周期的且足够光滑
1
∀v ∈ VΣ
（19）
由此可得出 u 的解：
ui1 = −χ ikl (x, y )
1
0 ( x) ∂uk ~1 (x) − Μi (x, y) + u i ∂xl
（20）
~ ( x ) 是对 y 的任意积分常数。将（20）式带入（16）式，得：其中 u i
⎡1 ∫Ω ⎢ ⎢ ⎣Y
0 ⎛ ⎞ ⎤ ∂u k ∂χ kl ∂v i ( x ) p ⎜ E ijkl − E ijpq ⎟ dY ⎥ dΩ = ∫Σ ⎜ ⎟ ∂y q ⎠ ⎥ ⎝ ⎦ ∂ x l ∂x j
代入(9)并选取 v = v( y ) 得:
⎞ ∂vi ⎟ ⎟ ∂y dY = ∫S pi vi dS ......, ∀v ∈ VΣ ⎠ j
(12)
在 Y 域相应的边界上应用周期性条件和离散理论,对上式局部积分,有：
−∫
∂ Σ ∂y i
0 1 0 1 ⎡ ⎛ ∂uk ⎛ ∂uk ⎞ ⎞ ∂vi ⎤ ∂uk ∂uk ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E v dY E + + + ⎢ ijkl ⎜ ⎥ i ijkl ∫ ⎜ ∂x ∂y ⎟vi ni dS = ∫S pi vi dS.....,∀v ∈VΣ ⎟ ∂y S x y ∂ ∂ ⎢ ⎥ l ⎠ j ⎦ l ⎠ ⎝ l ⎣ ⎝ l
∫
Σ
⎞ () ( ) ∀v ∈ VΣ （16） f i dY ⎟ ⎟vi x dΩ + ∫Γt t i v i x dΓ ⎠
然后再取 v = v ( y ) ，又得：
⎛ ∂u 1 ∂u k2 ⎞ ∂vi k ⎜ ⎟ E + ∫Σ ijkl ⎜ ⎟ ∂y dY = ∫Σ f i vi ( y )dY ∂ x ∂ y l l ⎝ ⎠ j
Ω Y
在域 Ωε 内
ε
（3）
∫
S
ε
∫ ∫ Ψ ( y )dYd Ω
Ω S
在边界 S 上
（4）
对图 1 所示结构体，在有体力 f 和牵引力 t 作用，且认为边界足够光滑的，同时通常孔内受牵引力
ε 时边界 S =
⎧ x⎞ ⎫ ⎛ ε p 作用，胞元实体部分用 Σ 表示，则整个域 Ω = ⎨x ∈ Ω ⎜ y = ⎟ ∈ Σ⎬ ，同 ε⎠ ⎭ ⎝ ⎩
（11）
∂ ∂y i
0 0 ⎛ ⎞ ∂u k ∂u k ⎜ ⎟ = 0 ， ∀ y ∈ Σ ； E n j = 0 ，在边界 S 上。由此可以得出： E ijkl ⎜ ijkl ∂y ⎟ ∂ y l l ⎝ ⎠
u 0 (x, y) = u 0 ( x) ，也就是说渐进扩大的第一项仅依赖于 x 。
再次选取 v = v( x ) ，那么由（9）式就可以得：亦表明
ε (0 < ε < 1) ，因此，结构的非均质性是细观层次的[2]。尽管如此，但是在物体受力时，在
体内任意一宏观点很小的领域内，应力应变的变化却是很大的。为此引入两个尺度 x 和
y = x / ε ，其中 x 表示宏观尺度， y 表示细观尺度，若 g ε (x) 表示物体内的位移等物理量，
则有 g
{
{
Γd
=0
}
}
{
}
由周期函数的性质③可知，在各函数均光滑的情况下，当 ε → 0 时，所有积分都存在，对等式两边关于 ε 具有相同形式的表达式对应相等，则：
1 Y
∫∫
Ω Σ
Eijkl
0 ∂u k ∂vi dYdΓ = 0......., ∀v ∈ VΩ×Σ ∂y l ∂y j
（8）
⎧ ⎪1 ∫Ω ⎨ ⎪ ⎩Y

复合材料细观尺度对等效弹性模量的影响
兰长俊
河海大学，南京（210098）
E-mail：lanlong1017@
摘要：根据摄动理论和周期函数的特性推导均匀化计算公式，计算具有周期性细观结构材料的有效弹性模量并讨论其与胞元方形孔洞尺寸的关系；并结合此结构特点，改变孔洞角度和型式，初步探讨材料等效弹性模量与孔洞形式的关系。关键词：摄动理论，均匀化，胞元
∀v ∈ VΣ
（17）
这些方程描述了胞元在细观水平上的平衡。均匀化过程已经可以讨论到展式的高阶项，但是实际讨论中，一般讨论到一阶就足够了，因此，宏观的用 u 表示，细观量则用 u 表示。为了求出胞元体的均匀化弹性常数，再度讨论（12）式，由于该式是关于 u 和 p 的线性方程，因此存在： ⑴、 χ kl ∈ VΣ 是下面方程的解：
kl ∂χ p ∂v ( y ) ∂vi ( y ) dY dY = ∫ Eijkl i Σ ∂y j ∂y q ∂y j
0 0 1
∫E
Σ
ijpq
∀v ∈ VΣ
（18）
⑵、 Μ ∈ VΣ 是下方程的解：
-3-

∫
Σ
E ijkl
∂Μ p ∂vi ( y ) dY = ∫ pi vi ( y )dS S ∂y q ∂y j
再引入周期性函数的几个性质： ① 周期函数的导数也是周期性的 ② 导数函数在周期内的积分为零 ③ 对于一个 Y 周期函数 Ψ ( y ) 当 ε → 0 时，有：
（2）
∫
Ωε
1 ⎛x⎞ Ψ ⎜ ⎟d Ω = Y ⎝ε ⎠ 1 ⎛x⎞ Ψ ⎜ ⎟d Ω = εY ⎝ε ⎠
∫ ∫ Ψ ( y )dYd Ω
∫
⎛1 ⎜ Ω⎜ Y ⎝
∫
S
⎞ ( ) ， p i dS ⎟ ⎟vi x dΩ = 0, ∀v ∈ VΩ ⎠
0 0
∫ p (x, y )dS = 0 ，也就是说作用的牵引力是自平衡的。换而言之,将 u (x, y) = u (x)
S i
0 ⎛ ∂u k ∂u 1 ⎜ + k ∫Σ Eijkl ⎜ ⎝ ∂xl ∂y l
⎧ ⎪1 ∫Ω ⎨ ⎪ ⎩Y
0 0 ⎡⎛ ∂uk ⎛1 ⎞ ∂vi ∂uk ∂vi ⎤ ⎫ ∂u1 ⎪ k ⎜ ⎟ ⎜ + Ω = E + dY d ⎥ ⎬ ∫Σ ijkl ⎢ ∫ ⎟ ∂y ⎜ ∂x Ω⎜ Y ∂ ∂ ∂ y y x ⎪ ⎢ ⎥ l l j l j ⎠ ⎝ ⎣⎝ ⎦ ⎭
0 ⎡⎛ ∂uk ⎞ ∂vi ∂u1 k ⎜ ⎟ ∫Σ Eijkl ⎢ ⎜ ∂x + ∂y ⎟ ∂y ⎢⎝ l l ⎠ j ⎣
(x ) = g (x, y ) ，又细观结构的周期性，上述各量亦为周期性的，此时： ∂g ε ( x ) ∂g ( x , y ) ∂g ( x , y ) = +
ε
∂x i
∂x i
ε ∂y i
（1）
同时均匀化理论还给出摄动方程：
g ε (x) = g o ( x, y) + εg 1 ( x, y) + ε 2 g 2 ( x, y) + ……
ΥS
i =1
∞
i
，且孔洞不相交[3]。
-1-

图 1 具有周期性细观结构的弹性问题
此时，进一步讨论应力应变、应变位移之间的关系：
ε ε ε σij = Eijkl ekl
ε 其中 e kl = ε ∂u lε 1 ⎛ ∂u k ⎜ + ∂x k 2⎜ ⎝ ∂x l
∀v ∈ VΩ
（21）
用下列符号表示上式中某些量：
E
H ijkl
(x ) = 1 Y
（22）
τ ij ( x ) =
∫
Σ
E ijkl
∂Μ k 1 dY ， bi ( x ) = ∂yl Y
∫
Σ
f i dY
（23）
此时，（21）式就可以写成：
∫
Ω
E
H ijkl
0 ∂u k ∂v i ( x ) ∂v ( x ) dΩ = ∫ τ ij ( x ) i dΩ + ∫ bi ( x )v i ( x )dΩ + ∫ t i vi ( x )dΓ Ω Ω Γt ∂x l ∂x j ∂x j
∫ p v dS ⎟ ⎟dΩ
S i i
⎞ ⎠
（9）
由于 v 是任意函数，因此可首先选取 v = v( y ) ，然后，对（8）在周期 Y 内局部积分并应用离散理论以及周期函数的性质可得：
2 ⎛1 ⎛ ∂u1 ⎞ ∂vi ⎤ ⎫ ∂uk ⎪ k ⎜ ⎜ ⎟ +⎜ + dY d Ω = ⎥ ⎬ ∫ ⎟ ∂y Ω⎜ Y ∂ x ∂ y ⎥ ⎪ l ⎠ j ⎦ ⎝ l ⎝ ⎭ ∀v ∈ VΩ×Σ
在边界 S 上
（15）
再度对（11）式进行分析，此时选取 v = v( x ) 在宏观范围内平衡状态有：
⎡1 ∫Ω ⎢ ⎢ ⎣Y
0 ⎛ ∂u k ∂u 1 k ⎜ E + ijkl ∫Σ ⎜ ∂xl ∂y l ⎝
⎞ ⎤ ∂v i ( x ) ⎛1 ⎟dY ⎥ dΩ = ∫ ⎜ ⎟ ⎥ ∂x j Ω⎜ Y ⎝ ⎠ ⎦