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1.7.1 定积分在几何中的应用课件

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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用课件 新人教A版选修2-2

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用课件 新人教A版选修2-2

排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，a f(x)dx是两
面积之差，排除B；无论什么情况C都对，故应选C.
b
【误区警示】曲线f(x)与直线x=a，x=b，y=0围成图形的面积 不能均用 f(x)dx表示，要根据图形位置分不同情况选用适当
a b
的积分值表示.
【补偿训练】过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的 图形面积为 9 a3，则直线l的方程为(
【方法技巧】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求解， 得到函数图象的交点的横坐标a，b(a<b)，确定积分区间[a， b]. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积
函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面积，
即S= [f1(x)-f2(x)]dx(其中f1(x)>f2(x)).
(2-x)dx.
1 2
2
(3)正确，曲线y=3-x2与直线y=-1的交点为(-2，-1)，
(2，-1)，所以围成的图形面积为 2［(3-x2)-(-1)］dx=

2
2
(4-x2)dx. (2)√ (3)√
答案：(1)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如图中阴影部分的面积是____________.
b
1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线y=sin x，x∈[ ， ]，与x轴围成的图形的面积为
3 2 2

3 2 2
sin xdx.(
)
1 0
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形面积为 x3dx+

《1.7.1定积分在几何中的应用》课件2-优质公开课-人教A版选修2-2精品

《1.7.1定积分在几何中的应用》课件2-优质公开课-人教A版选修2-2精品

S2＝8[ 2x－(x－4)]dx＝338. 2
于是，S＝S1＋S2＝136＋338＝18.
第‹#›页
第一章 1.7 1.7.1
解法二 选取对y积分变量，有 S＝4－2[(y＋4)－12y2]dy ＝12y2 |4－2＋4y |4－2－16y3 |4－2＝18.
新课标版 ·数学 ·选修2-2
＝ 2
(－x＋2)dx－
2

(x2－4)dx＝(2x－12
x2)|
2 －3
－(
1 3
x3－4x)|2－3
＝
25 2
-3
-3
－(－235)＝1265.
第‹#›页
第一章 1.7 1.7.1
新课标版 ·数学 ·选修2-2
探究2 不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标； (2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．
【解析】 解法一 如图所示，解方程组
y2＝2x， y＝x－4，
得交点A(2，－2)、B(8,4)，所求面积S可分为S1
与S2两部分．
第‹#›页
第一章 1.7 1.7.1
新课标版 ·数学 ·选修2-2
S1＝2[
2x－(－
2x)]dx＝2
22
xdx
0
0
＝2 2×23×x32 |20＝136.
所以S＝
|bf(x)dx|＝－bf(x)dx；


a
a
新课标版 ·数学 ·选修2-2
第‹#›页
第一章 1.7 1.7.1
新课标版 ·数学 ·选修2-2
(3)如图③，a≤x≤c时，f(x)<0，cf(x)dx<0； a

2021学年高中数学第1章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用课件新人教A版选修2_2ppt

2021学年高中数学第1章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用课件新人教A版选修2_2ppt
∴S＝ x2dx＋ [x2－(2x0x－x20)]dx＝112x30. ∴112x30＝112，即x0＝1. ∴切点为(1,1)，切线方程为y＝2x－1.
求平面图形的面积时，一定要先画出图形，在借助图形的 特征，确定如何表达能优化运算，减少运算步骤．
2．曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1，点P 12，0 ，求过点P的
A．bf(x)dx a
B．－bf(x)dx a
C．b[f(x)－a]dx a
D．b[f(x)－b]dx a
【答案】B
4．抛物线y＝x2－x与x轴围成的图形的面积为________． 【答案】16
求图形的面积
【例1】 求曲线xy＝1与直线y＝x，y＝3所围成的图形的面 积．
【解题探究】首先画出草图，利用定积分的几何意义，明 确所求图形面积，并合理分割图形，结合定积分求解．
(1)___a_______________．(2)____a______________．
d[f(y)－g(y)]dy
d[f(y)－g(y)]dy
(3)___c_______________．(4)____c______________．
1．将由曲线y＝cos x，直线x＝0，x＝π，y＝0所围图形的 面积写成定积分的形式为( )
31x3－3x2＋5x51
＝－1325－75＋25＋13－3＋5＝332.
定积分的综合应用
【例2】 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线，使之 与曲线以及x轴所围成图形的面积为112，试求切点A的坐标及切 线方程．
【解题探究】根据条件，找出等量关系，求解即可．
【解析】设切点A(x0，x20)，切线斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0. ∴切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x20. 令y＝0，得x＝x20.

高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用课件新人教A版选修2_2

高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用课件新人教A版选修2_2

1
1
＝14 J.
【答案】 14
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
几何意义可知，直线 y＝4x 与曲线 y＝x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为
20(4x－x3)dx＝2x2－14x420 ＝4. (2)由题知，x 的范围为[0,2]．
所以 S＝12×32＋211xdx－32×12＝211xdx
2
2
＝ln 2－ln12＝2ln 2. 【答案】 (1)D (2)A



a
a
a
v(t)dt.
(2)若已知做直线运动物体的速度—时间图象，可以先求出
速度—时间函数式，再转化为定积分计算路程；也可以直接计算
曲边梯形的面积得到路程；若速度—时间函数是分段函数，要利
用定积分的性质进行分段积分再求和．
(3)注意路程与位移的区别． 2．求变力做功的方法 (1)要明确变力的函数 F(x)＝kx，确定物体在力的方向上的 位移． (2)利用变力做功的公式 W＝bF(x)dx 计算．

高中数学 171 定积分在几何中的应用课件 新人教版选修22

高中数学 171 定积分在几何中的应用课件 新人教版选修22
(1)切点A的坐标； (2)过切点A的切线方程．
第二十三页，共38页。
【分析】 如图所示，
设出切点坐标，写出切线方程，利用定积分可得方程，解 方程求得切点坐标，进一步求出切线方程．
第二十四页，共38页。
【解】
设切点A(x0，x
2 0
)，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝
2x0， ∴切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x20.
第一章 导数及其应用
第一页，共38页。
§1.7 定积分的简单应用
第二页，共38页。
1．7.1 定积分在几何中的应用
课前预习目标
课堂互动探究
第三页，共38页。
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
第四页，共38页。
自学导引 1.通过具体实例，理解定积分的几何意义． 2．会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形 的面积.
【分析】 可把定积分看成a的一个函数，再求a的值，使
该函数取得最小值．
【解】
令y＝
1
(6ax2＋2a2x＋2)dx＝(2ax3＋a2x2＋2x)
|
1 0
＝
0
a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1，
∴当a＝－1时，y有最小值1.
第二十二页，共38页。
【例4】 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之 与曲线以及x轴所围成的图形的面积为112，试求：
典例剖析 一 求平面图形的面积
【例1】 求抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0 所围成的图形的面积．
【分析】 理解定积分的几何意义，正确画出图形，明确 所求面积，并正确划分图形，结合定积分求解．
第十五页，共38页。

高中数学第1章导数及其应用171定积分在几何中的应用课件新人教A版选修20

高中数学第1章导数及其应用171定积分在几何中的应用课件新人教A版选修20

D.[0,2]
答案：D
2．图中所表示的阴影部分的面积为( )
A.cf(x)dx a
B.bf(x)dx＋cf(x)dx
a
b
C.bf(x)dx－cf(x)dx
a
b
D.b|f(x)|dx＋cf(x)dx
a
b
答案：D
3．(2019·佛山三中高二段考)直线 x＝－1，x＝1，y＝0 与偶
函数 y＝f(x)的图象围成平面图形的面积表示为
(2019·哈尔滨师大附中高二月考)从如 图所示的长方形区域内任取一个点 M(x，y)，则点 M 取自阴影 部分的概率为________．
解析：阴影部分的面积为 S 阴影＝103x2dx＝x310 ＝1，所以点
M 取自阴影部分的概率为 P＝SS长阴方影形＝3×1 1. 答案：13
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
①1
f(x)dx；②1
f(|x|)dx；③1
|f(x)|dx；④12|f(x)|dx.
-1
-1
-1
0
其中，正确表示的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D.3
解析：由于偶函数 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称，当 f(x)≥0
时，平面图形的面积为1 f(x)dx＝12f(x)dx；当 f(x)<0 时，平面图
3
A．1－
4 2
3
B．1－
2 2
C．1－323
D.1－
3 2
【解析】 抛物线 y＝x－x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1＝0， x2＝1，所以抛物线与 x 轴所围图形的面积为 S＝
10(x－x2)dx＝x22－13x310

原创1：1.7.1定积分在几何中的简单应用

原创1：1.7.1定积分在几何中的简单应用

曲边梯形（三条直边，一条曲边）
曲边形
面积 A=A1-A2
二、问题探究
曲边形面积的求解思路
定积分的简单应用
定积分的简单应用
2．用定积分表示阴影部分面积
例．计算由曲线
与
所围图形的面积
解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积
解方程组
得交点横坐标为
及
Ｓ＝Ｓ曲边梯形ＯＡＢＣ－Ｓ曲边梯形ＯＡＢＤ
定积分的简单应用
归纳
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：
（1）画草图，求出曲线的交点坐标
（3）确定被积函数及积分区间
（4）计算定积分，求出面积
定积分的简单应用
（2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积Leabharlann S1S2S1
S2
计算由曲线
直线
以及x轴
所围图形的面积Ｓ
定积分的简单应用
1.7.1定积分在几何中的简单应用
第一章：导数及其应用
1、定积分的几何意义：
x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，
例 ．计算下列定积分
0
1
计算：
解：如图由几何意义
定积分的简单应用

高中数学(新课标)选修2课件1.7.1-2定积分的应用

高中数学(新课标)选修2课件1.7.1-2定积分的应用

a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
③如图(6)所示，所求面积 S＝S1＋S2＝ac[f(x)－g(x)]dx＋cb[g(x)－f(x)]dx
＝b|f(x)－g(x)|dx.
a
知识点二 定积分在物理中的应用 1．变速直线运动的路程 我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速 度 函数 v＝ v(t)(v(t)≥0)在 时间 区间 [a， b] 上的定 积分 ，即 s ＝ ____b_v_(_t)_d_t ___.
【解析】 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4，即当 0≤t≤4 时， P 点向 x 轴正方向运动，t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故 t＝3 时，点 P 离开原点的路程
s1＝03(8t－2t2)dt＝4t2－23t330 ＝18. (2)当 t＝5 时，点 P 离开原点的位移 s2＝5(8t－2t2)dt
解析：由题意 v＝x′＝8t，t＝12 x，所以 v＝4 x.
又 F＝kv(k 是比例系数)，且当 v＝10 米/秒时 F＝2 牛，
所以 2＝10k，所以 k＝15，所以 F＝45 x，
又 F 与物体运动的方向相反，
所以 W＝－245 0
xdx＝－185x3220
＝－1165
2(焦耳)．
所以物体从 x＝0 到 x＝2 阻力所做的功为－1165 2焦耳．
解得 t＝0 或 t＝6，
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，
∴t＝6 是所求的值．
状元随笔 首先要确定的是所需求的是路程还是位移，然后 用相应的方法求解．
方法归纳
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问 题转化为数学问题是关键．

高中数学课件 第一章 导数及其应用 7.1定积分在几何中的应用

高中数学课件 第一章 导数及其应用 7.1定积分在几何中的应用

例1：计算由两条抛物线y2=x与y=x2所围成的图形 的面积.
解：作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
y
y2 x B

y y

x x2

x

0及x

1
两曲线的交点 O(0, 0) B(1,1)
S S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
C
y x2
o
x
O
DA

1
xdx
巧的是另一个考生也写了“微须”，他见势不妙，赶紧 回去把胡子剃掉了，哪知来到考场，考官一拍惊堂木：“又来 个冒名顶替的！”原来，考场文书是这考生的老相识，暗中把 他填的“微须”改成了“有须”。
这时，又有个考生不服同考官争执起来。考官训斥他 说：“读书人怎能连老父子（朱熹）以‘微’训‘无’都不知 道呢？”在当时，应试者是非读朱熹注解的《四书》不可的。 结果这考生也不示弱，笑着回答道：“照你这么说，那么孔子 微服而过宋，就是脱得赤膊精光了？”这一驳让考官哑口无言
围成的图形的面积.
4
解:作出y=x-4, y 2x 的图象如
图所示:
两曲线的交点为
y 2x
y x 4
(0, 0), (8, 4).
直线与x轴交点为(4,0)
y 2x
Sy2 x 4
S1
4
8
4
8
8
S S1 S2 0
2xdx [ 4
0
2

22 3
3
x2
|80
8
4
8
2 2 16 2 8 40
3
3
法3：s
4
[(4

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.7 1.7.1 定积分在几何中的应用

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.7 1.7.1 定积分在几何中的应用
栏 目 链 接
答案：C
自 测 自 评
2．由曲线 y＝x2，y＝x3 围成的封闭图形的面积为( 1 A. 12 1 B. 4 1 C. 3 7 D. 12
)
解析： 由题可知 y＝x2， y＝x3 围成的封闭图形的面积为

1 2 3 ( x － x )dx＝ 0
栏 目 链 接
1 3 1 41 1 1 1 x － x 0＝ － ＝ . 4 3 4 12 3
栏 目 链 接
基 础 梳 理
b 图 ① 中 ， f(x)>0 ， a f(x)dx>0 ， 因 此 面 积 S ＝
a f(x)dx ； ________
b
图②中， f(x)<0 ， b a f(x)dx<0 ，因此面积 S ＝
b － a f(x)dx ； ＝__________
栏 目 链 接
第一章
导数及其应用
1．7 定积分的简单应用 1．7.1 定积分在几何中的应用
栏 目 链 接
1．了解定积分的几何意义． 2．会用求定积分的方法求曲边梯形的面积．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理
1．平面图形面积的求法：在利用定积分求平面图形的 面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被 积函由一条曲线 y＝f(x) 和直线 x＝a， x＝b(a<b)， 及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
图③中，当 a≤x≤c 时，f(x)<0，当 c≤x≤b 时，
b c b a f(x)dx＋ c f(x)dx f(x)>0，因此面积 S＝ a |f(x)|dx＝－ __________.
自 测 自 评
1．由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形 面积为( 10 A. 3 ) B． 4 16 C. 3 D．6

2020学年高中数学1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用课件人教A版选修2_2

2020学年高中数学1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用课件人教A版选修2_2

题型二 求变速直线运动物体的路程 【例2】 一质点A以速度v1(t)＝3t2＋1(m/s)在直线l 上运动，另一质点B以速度v2(t)＝10t(m/s)也在直线l上运 动，若两质点同时同地出发并同向运动，求经过多少时 间，质点A比质点B多运动5 m?
【解析】 设经过 x s，质点 A 比质点 B 多运动 5 m， 则
变式训练
1．计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成图形的面积． 解析 首先画出草图，如图，
所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组yy2＝＝xx3， ，得交点的横坐标为 x＝0 或 x＝1.
因此，所求图形的面积 S＝1 xdx－1x3dx
0
0
| | ＝23x32
1 0
－14x4
1 0
＝23－14＝152.
做的功．
变式训练
3．一物体在力 F(x)＝130x（ ＋04≤ （xx≤ >22）），(单位：N)的
作用下沿与力 F 相同的方向，从 x＝0 处运动到 x＝4(单 位：m)处，则力 F(x)做的功为
A．44 J C．48 J
B．46 J D．50 J
解析 W＝4F(x)dx＝210dx＋4(3x＋4)dx
－1
0
＝0
(2＋2y)dy＋1(2－y－y2)dy
－1
0
| | 1
1
＝(2y＋y2) 1 ＋2y－12y2－13y3 0
＝－(－2＋1)＋2－12－13＝163.
●规律方法 求由曲线围成图形面积的一般步骤
(1)根据题意画出图形； (2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示； (5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．
【解析】 设以 x 表示弹簧伸长的厘米数，F(x)表示 加在弹簧上的力．
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3.位于x轴下方的曲边梯形的面积， 等于相应定积分的相反数.一般地，设由 直线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝ f(x)所围成的曲边梯形的面积为S，则.
S =
ò
b
| f (x ) | dx
y
y＝|f(x)|
a
O a y＝f(x)
b x
4 8 x
2x
(0,0)
O
(4,0)
探究（二）：直线y＝x－4与曲线
及x轴所围成图形的面积
y 4 C y＝x－4
B
A
y=
2x
O
D 4
8
x
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
探究（二）：直线y＝x－4与曲线
及x轴所围成图形的面积
y y＝x－4 C 4
B
Ay=2xO NhomakorabeaD 4
8
x
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
S =
ò
1
xdx -
0
ò
1
x dx
2
0
y
y＝x2 1 O C B D A 1 x y2＝x
S =
ò
1
xdx 3 2 1 0
0
ò
1
x dx
2
0
2 1 3 1 1 S = x | - x |0 = 3 3 3
探究（二）：直线y＝x－4与曲线 y =
2x
及x轴所围成图形的面积
y
y＝x－4
4
y= (8,4)
1.7
1.7.1
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
复习巩固
b
1 5730 p 2
t
1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a òa f (x )dx = nlim å= 1 n f (xi ) i
y
y＝f(x)
ò
O
b
f (x )dx
a
a
b x
2.微积分基本定理是什么？
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数， 并且 F ¢x ) = f (x ) ，则 (
f (x )dx = 蝌
a b b a
F ¢x )dx = F (b) - F (a ) . (
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图
形的面积
y y＝x2
B
O
1 x
1 x轴所围成图形的面积为 12 ，求切线l的
方程. y＝2x－1
O
y
y＝x2
A
l
C
B
x
归纳小结
1.定积分在几何中的应用，主要用 于求平面曲边图形的面积.解题时，一般 先要画出草图，再根据图形确定被积函 数以及积分的上、下限. 2.定积分只能用于求曲边梯形的面 积，对于非规则曲边梯形，一般要将其 分割或补形为规则曲边梯形，再利用定 积分的和与差求面积.对于分割或补形中 的多边形的面积，可直接利用相关面积 公式求解.
y2＝x
(1,1)
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图
形的面积
y
y＝x2 1 O C B D A 1 x y2＝x
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OADC.
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图
形的面积
y y＝x2 y2＝x
1 O
C
B
D A 1
x
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OADC
曲线y =
y
x 所围成的平面图形的面积.
B
y＝2－x
y=
2D 3 x A
x
1 O －1
13 S = 6
1C
1 y= - x 3
例2.如图直线y＝kx将抛物线y＝x－x2 与x轴所围成的平面图形分成面积相等 的两部分，求实数k的值.
y y＝x－x2 y＝kx
k = 1-
3
1 2
1
O 1－k x
例3 如图，曲线y＝x2 (x≥0)与切线l及
S =
ò
8
0
1 2xdx - 创4 2
4
y 4 C
y＝x－4
B A
y=
2x
O
D 4
8
x
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
1 S = ò 2xdx - 创4 4 0 2 3 2 2 2 8 1 40 S = x |0 - 创4 4 = 3 2 3
8
例题讲解
1 y 例1 计算由直线y＝2－x， = - x 和 3