初中数学竞赛教程8、三角形的初步知识

三角形的基本认识和性质三角形是初中数学中的基础知识之一，是由三条边和三个内角组成的多边形。

在几何学中，三角形有着独特的性质和特点。

本文将介绍三角形的基本认识和性质。

一、三角形的基本元素三角形由三条边和三个内角组成。

根据三角形的边长，我们可以将其分类为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

等边三角形的三条边长度相等；等腰三角形的两条边长度相等；一般三角形的三条边长度都不相等。

二、三角形的内角和外角三角形的三个内角之和为180度。

其中，当一个内角大于90度时，该角称为钝角；当一个内角等于90度时，称为直角；当一个内角小于90度时，称为锐角。

与内角对应的是三角形的外角，外角是指与三角形的一个内角相邻且不重合的角。

三角形的外角和等于360度。

三、三角形的周长和面积三角形的周长是指三个边长的总和。

设三角形的三条边长分别为a、b、c，则周长可以表示为P=a+b+c。

三角形的面积是指三角形所围成的空间。

常用的计算三角形面积的公式是海伦公式和面积公式。

海伦公式适用于已知三边长的情况，可以表示为S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s是三边长之和的一半。

面积公式适用于已知底边和高的情况，可以表示为S=1/2×底边×高。

四、三角形的重要性质1. 三角形内任意两边之和大于第三边。

这是三角形存在的基本条件。

2. 等边三角形三个内角都是60度，等腰三角形的两个底角相等。

3. 锐角三角形的三个内角都是锐角；直角三角形的两条直角边满足勾股定理；钝角三角形的一个内角是钝角。

4. 底边相等的等腰三角形的顶角相等；底边相等的等腰三角形的两腰相等。

5. 边长相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边和对应角都相等。

6. 三角形的中线相等并且平行于底边的两边平分对底角；三角形的高线相等并垂直于底边；三角形的角平分线可以平分对应的内角。

五、应用举例三角形的性质在几何学中有着广泛的应用。

例如，通过三角形的面积公式，我们可以计算出塔楼的高度；通过三角形的全等性质，我们可以判断两个图形是否相等；通过三角形的角平分线性质，我们可以找到图形的对称轴等。

第一单元知识点1.1 认识三角形（1）1.三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形的三边关系：（1）三角形任何两边的和大于第三边（2）三角形任何两边的差小于第三边1.1 认识三角形（2）1.三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180０2. 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

3. 三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段叫做三角形的中线4. 三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线三角形的角平分线，中线，高线都是线段1.2 定义与命题（1）1、能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。

2、判断某一件事情正确或不正确的句子叫做命题。

3、我们在数学上学习的命题一般由条件和结论两部分组成。

条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项。

这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论1.2 定义与命题（2）1、正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题2、人们经过长期实践后公认为正确的命题称为基本事实3、用推理的方法判断为正确命题叫做定理1.3 证明（1）要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。

1.3证明（2）三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角叫做该三角形的外角。

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

1.4全等三角形（1）能够重合的两个图形称为全等图形。

能够重合的两个三角形叫做全等三角形。

两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。

三角形的基本概念和性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段相连而成。

本文将介绍三角形的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用三角形。

一、基本概念1. 三角形定义：三角形是由三条线段组成的图形，三条线段分别称为三角形的边。

三个顶点将边相连，形成三个内角和三个外角。

2. 顶点：三角形的顶点是三个不共线的点，它们确定了三角形的形状和大小。

3. 边：三角形的边是连接顶点的线段，它们是三角形的基本构成元素。

4. 内角：三角形的内角是由两条边相交所形成的角，共有三个内角。

5. 外角：三角形的外角是由一条边和延长线所形成的角，共有三个外角。

二、性质1. 内角和：三角形的内角和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

2. 外角和：三角形的外角和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。

3. 两边之和大于第三边：三角形的任意两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。

4. 等边三角形：如果一个三角形的三条边长度相等，则该三角形是等边三角形。

等边三角形的三个内角也相等，都是60度。

5. 等腰三角形：如果一个三角形的两条边长度相等，则该三角形是等腰三角形。

等腰三角形的两个底角也相等。

6. 直角三角形：如果一个三角形拥有一个直角（90度），则该三角形是直角三角形。

直角三角形的两条边平方和等于斜边平方，即a² + b² = c²。

7. 锐角三角形：如果一个三角形的三个内角都小于90度，则该三角形是锐角三角形。

8. 钝角三角形：如果一个三角形中有一个内角大于90度，则该三角形是钝角三角形。

三、应用三角形的基本概念和性质在几何学和实际生活中有广泛的应用。

1. 测量：三角形的性质使得它成为测量地理距离、高度以及倾斜角度的重要工具。

2. 工程设计：在建筑和工程设计中，三角形的性质用于计算角度、边长和面积，保证结构的稳定和准确。

初中数学点知识归纳三角形的概念和性质初中数学点知识归纳：三角形的概念和性质三角形是初中数学中的重要概念之一，它不仅有着丰富的性质，还有着广泛的应用。

本文将对三角形的概念和性质进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、三角形的定义和基本要素三角形是由三条线段组成的图形，它是几何形状中最简单的多边形之一。

在三角形中，我们通常用大写字母A、B、C来表示三个顶点，用小写字母a、b、c来表示它们所对应的边长。

根据三角形的边长，我们可以将三角形划分为以下几种类型：1. 等边三角形：三条边长度相等的三角形，记作△ABC。

2. 等腰三角形：两条边长度相等的三角形，记作△ABC。

3. 直角三角形：其中一条角为直角（90°）的三角形，记作△ABC。

4. 钝角三角形：其中一条角大于90°的三角形，记作△ABC。

5. 锐角三角形：其中三个角都小于90°的三角形，记作△ABC。

二、三角形的性质1. 三角形内角和定理：任意三角形的内角和等于180°。

即∠A +∠B + ∠C = 180°。

这个定理的证明可以通过利用平行线、相似三角形等几何性质进行推导。

此外，我们还可以通过实际测量和验证来理解这个性质。

2. 三角形的外角性质：一个三角形的外角等于它所对应的两个内角的和。

即∠D = ∠A + ∠B或∠D = ∠B + ∠C或∠D = ∠C + ∠A，其中∠D为三角形外角，∠A、∠B、∠C为三角形内角。

这个性质可以通过绘制三角形的外角，并找出它与内角之间的关系进行观察和验证。

3. 三角形的边长关系：（1）三角形两边之和大于第三边：对于任意三角形ABC，有AB + BC > AC，AB + AC > BC，BC + AC > AB。

这个性质也被称为三角形的三边关系定理，可以通过绘制三角形、实际测量和验证来加深理解。

（2）等边三角形的边长关系：对于等边三角形△ABC，它的三个边长a、b、c相等。

八年级三角形知识点归纳三角形是中学数学中比较基础的一个概念，也是数学中常见的一种图形。

在初中数学中，三角形是一个非常重要的知识点，今天我们来回顾一下八年级阶段所学的三角形知识点。

一、三角形的定义和分类三角形是由三条线段组成的图形，其中每两条线段的交点被称为一个顶点。

三角形是由三个顶点和三个边组成的，且三角形的边和顶点是一一对应的。

根据三角形的边长关系和角度关系，可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长关系：等边三角形：三边相等的三角形。

等腰三角形：至少有两边相等的三角形。

普通三角形：三边均不相等的三角形。

2. 根据角度关系：锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

直角三角形：其中一个角是直角的三角形。

钝角三角形：至少有一个角是钝角的三角形。

二、三角形的基本性质1. 三角形的内角和等于180度。

即三角形的三个角的度数之和为180度。

可以用以下公式表示：a + b + c = 180其中，a、b、c分别表示三角形的三个角的度数。

2. 等边三角形的三个角都是60度。

因为等边三角形的三边相等，所以三个角都必须相等。

而三个相等的角的度数之和必须为180度，因此每个角的度数都是60度。

3. 等腰三角形的两个底角相等。

等腰三角形的两边相等，所以两个底角也必须相等。

4. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

即a² + b² = c²，其中a、b为直角三角形的两条直角边的长度，c为直角三角形的斜边长度。

5. 三角形的面积可以用海伦公式和正弦定理来计算。

海伦公式：若a、b、c分别为三角形的三个边长，p为三角形半周长，则三角形面积S可以用以下公式计算：S = √(p × (p - a) × (p - b) ×(p - c))正弦定理：若a、b、c分别为三角形的三个边长，A、B、C分别为三角形的三个角，则有以下公式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC三、相似三角形相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例的三角形。

三角形的初步认识三角形是初中数学中的基础概念之一。

它是由三条线段连接在一起形成的，并且围成了一个封闭的区域。

在这篇文章中，我们将探讨三角形的性质和应用。

一、三角形的定义三角形是由三个顶点和它们之间的三条线段组成的图形。

每个顶点都由两条线段相交而成，并且这些线段称为三角形的边。

三角形中的任何两个边都会在它们的端点处相交，并且它们形成的角度称为三角形的角。

每个三角形都有三个角和三个边。

二、三角形的分类按照三边的长度，三角形可分为三类。

等边三角形是指三边的长度相等。

等腰三角形是指有两条边的长度相等。

其它三边不等的三角形被称为普通三角形。

按照角度的大小，三角形也可以被分类为三类。

直角三角形是指一个角为90度，且其他两个角之和为90度。

锐角三角形是指每个角的大小都小于90度。

钝角三角形是指至少有一个角的大小大于90度。

三、三角形的性质一个三角形的内角之和总是等于180度。

这个定理被称为“三角形内角和定理”。

三边形中，任意两边之和都大于第三边。

这个定理被称为“三角形两边之和大于第三边定理”。

对于等边三角形，其内部的每个角都是60度。

对于等腰三角形，其底部的两个角是相等的。

四、三角形的应用三角形有许多应用，包括三角函数、三角测量和三角形面积的计算。

三角函数是指依据三角形中的角度来计算三角形中各个边的长度比例的函数。

在三角函数中，包括三角正弦、三角余弦和三角切线等。

三角测量是指利用三角形的性质来测量距离或高度的过程。

在实际生活中，三角测量被广泛应用于建筑、测量和地理领域等。

三角形的面积可以通过使用海龙公式来计算。

海龙公式是指通过三角形的三个边长来计算其面积的公式。

总之，在数学中，三角形是一个基础概念，并且它有着广泛的应用。

学习三角形的性质和应用是数学学习的关键，而本文所提供的信息提供了三角形的初步认识，是学生们所需掌握的知识。

初中数学知识归纳三角形的概念和性质三角形是初中数学中一个基础而重要的几何概念。

在学习三角形的过程中，我们要掌握三角形的概念和基本性质。

本文将对初中数学中三角形的概念和性质进行归纳总结。

一、三角形的定义三角形是由三个线段组成的图形，它的三条边和三个内角都具有一定的关系。

任意两边之和大于第三边，任意两角之和小于180度。

根据三角形的边长关系，我们可以将三角形分为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等不同类型。

二、三角形的分类1. 根据边的关系分类(1) 等边三角形：三条边的长度都相等。

(2) 等腰三角形：两条边的长度相等。

(3) 普通三角形：三条边的长度都不相等。

2. 根据角的关系分类(1) 直角三角形：一个角为直角（90度）。

(2) 钝角三角形：一个角大于90度。

(3) 锐角三角形：三个角都小于90度。

3. 根据边和角的关系分类(1) 正三角形：三个角都是锐角，三条边长相等。

(2) 直角等腰三角形：一个角为直角，两条边相等。

(3) 任意两边相等的三角形：两条边相等。

三、三角形的性质1. 三角形的内角和定理三角形的三个内角之和等于180度。

即∠A+∠B+∠C=180°。

2. 三角形两边之和大于第三边的定理两边之和大于第三边，即AB+AC>BC， AB+BC>AC，AC+BC>AB。

这一性质是判断一个图形是否为三角形的基本条件。

3. 三角形两角之和小于180度的定理两角之和小于180度，即∠A+∠B<180°，∠A+∠C<180°，∠B+∠C<180°。

这一性质也是判断一个图形是否为三角形的基本条件。

4. 等腰三角形的性质在等腰三角形中，底边上的两个角相等，两边相等。

5. 等边三角形的性质在等边三角形中，三个角都相等，每个角都为60度。

6. 直角三角形的性质在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

即AB²+AC²=BC²，AB²+BC²=AC²，AC²+BC²=AB²。

初中一年级数学（下）跟踪辅导讲义（一）三角形的初步认识重要知识点总结一、三角形的基本概念三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形。

二、三角形的分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形（定义，区别）。

三、三角形的基本性质1.三角形的内角和是180°（总结发现）。

2.三角形的任何两边的和大于第三边（由两点之间线段最短得到）。

3.三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。

三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和（教材P7做一做）。

四、几条重要的直线1.三角形的角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边中点（角平分线上的点到角两边的距离相等）；2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段；3.三角形的高；从三角形的一个顶点向它对边所在的直线做垂线。

锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。

直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。

而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。

4.中垂线：结合了高和中线的性质在一起。

中垂线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。

5.线段的垂直平分线：垂直平分线到线段两端的距离相等。

五、全等三角形1.全等图形：能够完全重合的两个图形。

2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形（教材经典例题P26）。

3.对应边：能够相互重合的顶点；对应顶点：相互重合的边；对应角：相互重合的角。

全等三角形的对应角相等，对应边相等。

注意“对应”二字。

*4.全等三角形的条件（判定）三边对应相等SSS；一个角和夹这个角的两边对应相等SAS；两个角和这两个角的夹边对应相等ASA；两个角和其中一个角的对边对应相等AAS。

问题：为什么SSA不可以判定？六、做三角形做法：教材28注意务必考虑三角形的各要素（类比于三角形全等的判定条件）。

尺规作图：在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。

初中数学知识归纳三角形的性质与判定三角形是初中数学中的基本图形之一，它具有许多特性和性质。

掌握三角形的性质和判定方法对于解题和证明来说是至关重要的。

本文将对初中数学中常见的三角形性质和判定方法进行归纳总结。

一、三角形的基本概念在深入探讨三角形的性质之前，我们首先需要了解三角形的基本概念。

1. 定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中每两条线段之间的组合被称为三角形的边，而相交的端点称为三角形的顶点。

2. 分类：根据三角形的边长关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

二、三角形的性质1. 三角形的内角和性质：三角形的内角和等于180度。

即∠A + ∠B + ∠C = 180°，其中∠A、∠B和∠C分别表示三角形的三个内角。

2. 三角形的外角性质：三角形的一个内角的补角，就是其对应的外角。

即∠D = 180° - ∠A，∠E = 180° - ∠B，∠F = 180° - ∠C。

3. 三角形的两边之和大于第三边：设三角形的三边长分别为a、b和c，则a + b > c，a + c > b，b + c > a。

如果三条边长中有任意一组边长不满足这个条件，则无法构成三角形。

4. 三角形的两角之和大于第三角：设三角形的三个内角的度数分别为∠A、∠B和∠C，则∠A + ∠B > ∠C，∠A + ∠C > ∠B，∠B + ∠C > ∠A。

如果三个内角的度数中有任意一组不满足这个条件，则无法构成三角形。

5. 等边三角形的性质：等边三角形是指三条边的边长相等的三角形。

在等边三角形中，三个内角的度数都是60°，且三条高度、角平分线和中线的长度都相等。

6. 等腰三角形的性质：等腰三角形是指两条边的边长相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角的角度相等，而顶角的角度则小于两个底角。

另外，等腰三角形的高度、角平分线、中线都有一些特殊性质。

三角形的初步知识
三角形
1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。

2.分类
按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；
按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，其中锐角三角形、钝角三角形统称为斜角形。

3．一般三角形的性质
(1)角与角的关系：三个内角的和等于180°；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。

(2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。

(3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。

4. 全等三角形
两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对应线段也相等。

判定两个三角形全等的公理或定理：
①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS；
注意:SSA、AAA是错误的。

②直角三角形还有HL
1。