高中数学人教A版必修1学案：1.3.1函数的基本性质课堂导学案(含答案)

内蒙古翁牛特旗乌丹第一中学高中数学 1.3.1函数的基本性质单调性学案新人教A 版必修1课题课型新授课 教学目标：1、通过一次函数、二次函数的图像理解单调性的定义；刻画增函数、减函数的图象特征；2、能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明。

3、在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知 数学的严谨美。

教学重、难点：重点：理解增函数、减函数的概念。

难点：用数学符号将自然语言的描述单调性的形式化定义，单调性概念的应用。

教学方法：引导发现与合作交流相结合教学内容：一、1.观察P27图1.3-1中的各个函数图象，说说分别反映了相应函数的哪些变化规律？2.继续阅读教材27页--28页，思考：如何利用函数解析式2)(x x f =描述“在区间),0(+∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大”？在区间(]0-，∞上呢？二、阅读28页--29页增函数、减函数、单调性、单调区间的概念，找出关键词，完成下面表格： 名称 定义 几何意义 图形表示增函数减 函 数一次函数bkx x f +=)(二次函数c bx ax x f ++=2)(反比例函数xky =教学流程：四、1.阅读教材29页例1、例2，讨论阅读中遇到的问题。

2.判断并证明函数f (x )＝1x-＋1在(0，＋∞)上的单调性．3.函数)(x f 的定义域为R ，在定义域上是增函数，则),2(-f )(πf ，)3(-f 的大小关系是？变式：函数)(x f 在定义域R 上是增函数，且)9()2(+->m f m f ,则实数m 的取值范围_____4.证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为增函数。

单调性六、课后作业1.函数32)(2+-=mx x x f ，当),2[+∞-∈x 时是增函数，当]2,(--∞∈x 时是减函数，则)1(f 等于（ ） A.-3 B.13 C.7 D.由m 而定的常数2.利用函数单调性的定义，证明函数f (x )＝x 在区间[0，＋∞)上是增函数。

知识点一函数的零点1.对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.2.方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.3.函数的零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)＜0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用).(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)·f(b)＜0成立，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)＜0.知识点二二分法二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验.知识点三函数的应用解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为题型一 函数的零点根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有根，有几个根.从图形上说，函数的零点就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题.在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视. 例1 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.(－14，0)B.(0，14)C.(14，12)D.(12，34) 答案 C解析 ∵f (－14)＝e 41-－4<0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2<0，f (14)＝e 41－2<0，f (12)＝e 21－1>0，f (34)＝e 43>0， ∴f (14)·f (12)<0.跟踪训练1 设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 B解析 设g (x )＝x 3－22－x ，则g (0)＝－4，g (1)＝－1， g (2)＝7，g (3)＝26 12，g (4)＝63 34，显然g (1)·g (2)＜0，于是函数g (x )的零点在(1,2)内， 即y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点在(1,2)内. 题型二 函数模型及应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画.这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识.对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果.例2 某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解 (1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P ＝15t ＋2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P ＝－110t ＋8，故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为：P ＝⎩⎨⎧15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N *，－110t ＋8，20＜t ≤30，t ∈N *.(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系， 即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N *. (3)由(1)(2)可知y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫15t ＋2(－t ＋40)，0≤t ≤20，t ∈N *，⎝⎛⎭⎫－110t ＋8(－t ＋40)，20＜t ≤30，t ∈N *＝⎩⎨⎧－15(t －15)2＋125，0≤t ≤20，t ∈N *，110(t －60)2－40，20＜t ≤30，t ∈N *.当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125，当20<t ≤30时，y 随t 的增大而减小.所以，在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元. 跟踪训练2 某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用如图所示的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系是Q ＝－t ＋40 (0<t ≤30，t ∈N *). (1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式；(2)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量) 解 (1)根据图象，可得P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N *，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *. (2)设日销售额为y 元，则y ＝P ·Q＝⎩⎪⎨⎪⎧(t ＋20)(－t ＋40)，0<t <25，t ∈N *，(－t ＋100)(－t ＋40)，25≤t ≤30，t ∈N *， 即有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900，0<t ≤24，t ∈N *，(t －70)2－900，25≤t ≤30，t ∈N *.①若0<t <25，t ∈N *，则当t ＝10时，y max ＝900； ②若25≤t ≤30，t ∈N *，则当t ＝25时，y max ＝1 125. 故第25天的日销售金额最大，最大值为1 125元.数形结合思想在解数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，就是使抽象思维和形象思维联系在一起，实现抽象概念与具体图象之间的相互转化，即数量关系转化为图形的性质或者把图形的性质转化为数量关系来研究.例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则k 的取值范围是______.解析 易知函数f (x )的图象如图所示：由图可知0<k <1. 答案 0<k <1跟踪训练3 已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( ) A.x 1>x 2>x 3 B.x 2>x 1>x 3 C.x 1>x 3>x 2 D.x 3>x 2>x 1答案 D解析 在同一坐标系内分别画出⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝2x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝ln x ， 和⎩⎨⎧y ＝－x ，y ＝－x －1的图象，由图可知每组中的两图象各有一个交点，它们的横坐标就是三个函数的零点，由图可知：x 3>x 2>x 1，故选D.转化与化归思想例4 设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数. 解 原方程等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，a －x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ， 整理得－x 2＋5x －3＝a (1<x <3).在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝a ，及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1,3)的图象，如图所示.(1)当a >134或a ≤1时，两个函数的图象无交点，故原方程无实数根；(2)当a ＝134或1<a ≤3时，两个函数的图象有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3<a <134时，两个函数的图象有两个交点，故原方程有两个实数根.跟踪训练4 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上？解 已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0，函数的大致图象如图所示.根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0,1)上，另一个在(1,2)上，则： ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，a 2－3a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3，∴－2＜a ＜－1或3＜a ＜4.。

3.1.1 函数与方程课堂导学三点剖析一、函数的零点概念及求法【例1】求函数y=-x2-2x+3的零点，并指出y＞0，y＜0时，x的取值范围.解析：解二次方程-x2-2x+3=0得，x1=-3,x2=1，∴函数y=-x2-2x+3的零点为-3，1.y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，画出这个函数的简图，从图象上可以看出当-3＜x＜1时，y＞0.当x＜-3或x＞1时，y＜0.∴函数y=-x2-2x+3的零点是-3，1.y＞0时，x的取值范围是（-3，1）；y＜0时,x的取值范围是（-∞，-3）∪(1,+∞). 温馨提示函数的零点即对应方程的根.本题借助零点和二次函数的图象得出不等式ax2+bx+c＞0(＜0)的解集.二、函数零点的应用【例2】已知函数f(x)=x3-8x+1在区间［2,3］内的一部分函数值如下表所示.根据此表及3解析:观察表格并利用描点法作出f(x)的大体图象,发现当自变量x由2变到3时,其函数值由-7逐渐接近于0,再变为正值,在此变化过程中,由于y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以必存在一点x0使得f(x)=0,即x03-8x0+1=0,此x0所在的区间为［2.7,2.8］.温馨提示判断零点所在的区间方法有两个：1.f(a)·f(b)＜0，且图象在［a,b］上连续不断.2.利用函数图象，直接观察判断，该方法关键是准确作图，简单函数的图象可以由“列表→描点→连线”而完成，复杂函数的图象可以借助计算机等辅助数学工具，例如几何画板工具软件，TI 图形计算器等.这里对函数单调性的分析可以帮助确定零点个数.【例3】 已知函数y=f(x)在区间［a,b ］上是连续不断的曲线,判断下列结论,正确的是______.①若f(a)·f(b)＜0,则在区间(a,b)内函数f(x)有且仅有一个零点 ②若f(a)·f(b)＞0,则在区间(a,b)内函数f(x)无零点 ③若f(x)在(a,b)内有零点,必有f(a)·f(b)＜0④若f(a)·f(b)≤0,则函数f(x)在(a,b)内有零点 ⑤若f(a)·f(b)＜0,则函数f(x)在(a,b)内有零点解析:本题设计的目的是为了加深对零点存在性定理的正确理解.①有条件f(a)·f(b)＜0成立,则在(a,b)内可能不止一个零点;②是在f(a)·f(b)＞0的情况下,未必无零点;③在(a,b)内有零点,也未必有f(a)·f(b)＜0成立;④注意端点问题,可能a 、b 恰好使得f(x)=0.本题从多侧面、多角度考查对定理的理解,对培养学生思维的严密性很有帮助. 答案:⑤ 温馨提示对于一个定理和结论的理解,要做到逐字逐句地去琢磨、分析.条件具备,则结论正确;条件不具备,则结论未必不成立;结论成立,而条件未必成立.注意思维的严密性. 各个击破 类题演练1求y=x 2+2x+1的零点，并指出y ＞0的取值范围.解析：令x 2+2x+1=0，∴x=-1.∴y=x 2+2x+1的零点为-1. y ＞0的取值范围为x≠-1. 变式提升1（1）若函数f(x)=x 2+ax+b 的零点是2和-4,求a 、b 的值. 解析：由条件得⎩⎨⎧=-⨯-=-,)4(2,42b a ∴⎩⎨⎧-==.8,2b a（2）求函数y=x 3-7x+6的零点.解析：∵x 3-7x+6=(x 3-x)-(6x-6)=x(x 2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x 2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)，解x 3-7x+6=0，即(x-1)(x-2)(x+3)=0，x 1=-3,x 2=1,x 3=2.∴函数y=x 3-7x+6的零点为-3，1，2. 类题演练2函数f(x)=x 2+ax+b 的零点是-1和2，判断函数g(x)=ax 3+bx+4的零点所在的大致区间.思路分析：函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根，即x 2+ax+b=0的根，由根与系数的关系可求得a 、b 的值,从而可求解.解:∵-1和2是函数f(x)=x 2+ax+b 的零点,∴-1+2=-a,-1×2=b,即a=-1,b=-2.∴g(x)=-x 3-2x+4.∵g(1)=1,g(2)=-8,g(1)\5g(2)<0,∴g(x)在区间(1,2)内有一个零点. 又∵g(x)在R 上是单增函数，∴g(x)只有一个零点. 变式提升2利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=-x 3-2x+1;(2)f(x)=e 1+x+2x+2.解析：（1）用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（如下表）及其图象（如图1）.。

函数的基本性质课堂导学三点剖析一、函数单调性【例】证明函数在(∞)上单调递增.思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.证明:设任意、∈(∞)且<,则()()()()()()().∵<<,∴<>>.因此（）()<,∴()()<,即()<().∴()在（，∞）上单调递增.温馨提示.函数单调性的证明不同于对它判断，应严格按单调性定义加以证明..利用定义证明单调性，一般要遵循：()取值(任取给定区间上两个自变量);()作差变形〔将()()进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有()的因式〕;()判断符号(根据条件判断差式的正负);()得出结论..有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法.【例】 ()是二次函数，且在处取得最值，又()<(π),试判断()与()的大小.思路分析：解决此题的关键是将()与()置于某一单调区间内再进行比较大小.解：由于()是二次函数，且在处取得最值，因此是二次函数的对称轴.又∵<<π()<(π),可以得()在［∞)上单调递增，∴二次函数的图象开口方向向上，()在(∞)上单调递减.由于与关于对称，∴()().∵<,∴()>(),即()>().温馨提示利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较.二、函数的最值【例】求()的最小值.思路分析：该题函数()由与相加构成，与具有相同的单调性，因此该题可借助单调性直接解决，同时由于的次数不一致，出现了相当于倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决.解法一：()的定义域为［∞］,在［∞］上、同时单调递增，因此()在［∞］上单调递增，最小值为().解法二：()的定义域为［∞］，令≥,∴()()()(≥).由于()的对称轴在［∞)的左侧，()的开口方向向上，如右图所示.二次函数在［∞)上单调递增，当时()，∴()的最小值为.温馨提示.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围..利用单调性求最值，其规律为：若()在［］上单调递增，则()≤()≤()，即最大值为(),最小值为();若()在［］上单调递减，则()≤()≤()，即最大值为(),最小值为(). 三、函数单调性的应用【例】 ()若函数()()在区间(∞］上是减函数，求实数的取值范围；()在［∞)上单调递减，求实数的取值范围.思路分析：()二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.()中的是否为零要注意讨论.解：()()()，其对称轴为，若要二次函数在(∞］上单调递减，必须满足≥,即≤.如图所示.()时，满足题意；>时，抛物线开口向上，在［∞)上不可能单调递减；<时，对称轴<在［∞］上单调递减.综上，≤.温馨提示。

【新教材】3.2.1 单调性与最大（小）值（人教A版）1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；2、会根据单调定义证明函数单调性；3、理解函数的最大（小）值及其几何意义；4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明；2、利用函数单调性或图像求最值.难点：根据定义证明函数单调性．一、预习导入阅读课本76-80页，填写。

1．增函数、减函数的定义2、单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间D叫做y＝f(x)的________．[点睛] 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“,”连接．如函数y＝1x在(－∞，0),(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．3、函数的最大（小）值1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( )(3)任何函数都有最大值或最小值．( )(4)函数的最小值一定比最大值小．( )2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )A．[－4,4] B．[－4，－3]，[1,4]C．[－3,1] D．[－3,4]3．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1,0B ．0,2C ．－1,2 D.12，2 4．下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋15．函数f (x )＝2x，x ∈[2,4]，则f (x )的最大值为______；最小值为________． 题型一 利用图象确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:(1)y=3x-2;(2)y=-1x . 跟踪训练一1. 已知x ∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.题型二 利用函数的图象求函数的最值例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.跟踪训练二1.已知函数f(x)={1x ,0<x<1,x,1≤x ≤2.(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.题型三 证明函数的单调性 例3 求证:函数f(x)=x+1x 在区间(0,1)内为减函数. 跟踪训练三1.求证：函数f(x)＝21x在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 题型四 利用函数的单调性求最值例4 已知函数f(x)=x+ 4x .(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.跟踪训练四1.已知函数f(x)＝6x−1(x∈[2,6]，)求函数的最大值和最小值．题型五函数单调性的应用例5已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f34⎛⎫⎪⎝⎭的大小.跟踪训练五1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.题型六单调性最值的实际应用例6“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h（t）=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？跟踪训练六1. 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?1.f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f(a)−f(b)a−b>0，则必有( )A．函数f(x)先增后减 B．函数f(x)先减后增C．函数f(x)是R上的增函数 D．函数f(x)是R上的减函数2.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )A．－1 B．0C．1 D．23．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( ) A．[160，＋∞) B．(－∞，40]C．(－∞，40]∪[160，＋∞) D．(－∞，20]∪[80，＋∞)4.若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f (1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围是。

1.3 函数的基本性质读函数的单调性一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质1．这个区间可以是整个定义域．如y ＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递增的，y ＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质．2．这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如y ＝x 2－2x ＋1在整个定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但是在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质．3．有的函数无单调性．如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，它的定义域是(－∞，＋∞)，但无单调性可言，又如y ＝x 2＋1，x ∈{0,1,2}，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上具有单调性．二、单调性的证明与判断函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法．严格按照单调性定义进行证明．主要步骤有如下五步：(1)取值：定义域中x 1，x 2的选取，选取x 1，x 2时必须注意如下三点：①x 1，x 2取值的任意性，即“任意取x 1，x 2”中，“任意”二字不能省略或丢掉，更不可随意取两个特殊值替代x 1，x 2；②x 1与x 2有大小，一般规定x 1<x 2；③x 1与x 2同属一个单调区间．(2)作差：指求f (x 2)－f (x 1)．(3)变形：这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容，即将②中的差式f (x 2)－f (x 1)进一步化简变形，变到利于判断f (x 2)－f (x 1)的正负为止．常用的变形技巧有：通分、因式分解、有理化、配方等．一般变形结果是将和差变形为积商，这样才便于定号．(4)定号：根据变形结果，确定f (x 2)－f (x 1)的符号．(5)判断：根据x 1与x 2的大小关系及f (x 1)与f (x 2)的大小关系，结合单调性定义得出结论． 例1 证明：函数y ＝x 3(x ∈R )是增函数．证明 设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 31－x 32＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)[(x 1＋12x 2)2＋34x 22]． ∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0.易得(x 1＋12x 2)2＋34x 22≥0. ∵上式等于零的条件是⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－12x 2，x 2＝0， 即x 1＝x 2＝0，显然不成立，∴(x 1＋12x 2)2＋34x 22>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数y ＝x 3(x ∈R )是增函数．三、单调区间的求解1．本节单调区间的求解主要是观察法得单调区间再进行证明，或者是图象法求出单调区间，对于利用定义探索函数单调区间问题，由于难度大，要求不可过高，适当了解即可．(单调区间的求解问题随着进一步学习，我们会找到更简单快捷的方法——导数法)2．书写单调区间时，注意区间端点的写法．对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点，因此，书写单调区间时，不妨约定“能闭则闭，须开则开”．数奇偶性学法指导一、学习要点1．要注意准确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称，方可讨论函数f (x )的奇偶性．(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇、偶函数的定义是判断奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简或应用定义的等价形式，即：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)．3．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形，反之亦成立．因此也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性和简化一些函数图象的画法．4．按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．5．在公共定义域内：(1)奇函数与奇函数的和(差)仍是奇函数；偶函数与偶函数的和(差)仍是偶函数；非零的奇函数与偶函数的和(差)是非奇非偶函数．(2)奇函数与奇函数的积(商)是偶函数；偶函数与偶函数的积(商)是偶函数；奇函数与偶函数的积(商)是奇函数．以上两条同学们可以自行验证．6．设f (x )是定义域关于原点对称的一个函数，则F 1(x )＝f (x )＋f (－x )为偶函数，F 2(x )＝f (x )－f (－x )为奇函数．7．奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相反．二、典型例题选析例2 当a ，b ，c 满足什么条件时，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是：(1)奇函数；(2)偶函数；(3)既奇又偶函数；(4)非奇非偶函数．解 (1)若是奇函数，应有f (－x )＝－f (x )，于是有ax 2－bx ＋c ＝－ax 2－bx －c ，即ax 2＋c ＝0对定义域内所有实数都成立，所以只有a ＝c ＝0.(2)若是偶函数，则有f (－x )＝f (x )，于是有ax 2－bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋c ，即2bx ＝0对定义域内所有实数都成立，所以只有b ＝0.(3)若既是奇函数又是偶函数，则由(1)和(2)知a ＝b ＝c ＝0.(4)若是非奇非偶函数，则f (－x )≠－f (x )，f (－x )≠f (x )，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－bx ＋c ≠－ax 2－bx －c ，ax 2－bx ＋c ≠ax 2＋bx ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋c ≠0，bx ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0或c ≠0，b ≠0. 所以a ≠0且b ≠0或c ≠0且b ≠0时，f (x )为非奇非偶函数．例3 已知f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx －8，且f (－2)＝10，求f (2)的值．解 令g (x )＝f (x )＋8＝ax 5＋bx 3＋cx ，显然g (x )是奇函数，即g (－2)＝－g (2)．又g (－2)＝f (－2)＋8＝18，所以f (2)＝g (2)－8＝－26.断函数奇偶性的常见错误一、忽略定义域出错例4 判断f (x )＝x 4－x 31－x的奇偶性． 错解 因为f (x )＝x 4－x 31－x ＝x 3(1－x )1－x＝x 3， 显然f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．剖析 判断函数奇偶性，首先要看函数的定义域，若定义域是关于原点的对称区间，则函数可能具有奇偶性；否则，函数一定不具有奇偶性．其次，要看f (x )与f (－x )之间的关系．正解 函数的定义域为{x |x ≠1}．显然，它的定义域不关于原点对称，于是该函数为非奇非偶函数．二、忽视对参数的讨论例5 判断函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1(a ∈R )的奇偶性．错解 显然函数定义域为R .因为f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，所以f (－a )≠f (a )，且f (－a )≠－f (a )，所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．剖析 此解法错在没有对参数进行讨论，未考虑到a ＝0这种特殊情形，以致解题出错． 正解 当a ＝0时，函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝x 2＋|x |＋1＝f (x )，此时f (x )为偶函数；当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，f (－a )≠f (a )，f (－a )≠－f (a )，此时f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．三、忽视特殊函数f (x )＝0的存在例6 判断函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1的奇偶性．错解 定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f (－x )＝1－(－x )2＋(－x )2－1＝1－x 2＋x 2－1＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．剖析 上述解法忽视了定义域关于原点对称的函数f (x )＝0，既是奇函数又是偶函数． 正解 函数定义域为{－1,1}，此时f (x )＝0，因而f (x )既是奇函数又是偶函数．四、不明分段函数奇偶性概念致错例7 判断f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋3， x <0，3， x ＝0，－x 2＋2x －3 x >0，的奇偶性．错解 当x >0时，－x <0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f (x )．当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )－3＝－(x 2＋2x ＋3)＝－f (x )．所以f (x )是奇函数．剖析 尽管对于定义域内的每一个不为零的x ，都有f (－x )＝－f (x )成立，但当x ＝0时，f (0)＝3≠－f (0)，所以函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数.断函数单调性的方法一、用定义证明函数的单调性例1 证明：函数f (x )＝－x 在定义域上是减函数．证明 f (x )＝－x 的定义域为[0，＋∞)，设0≤x 1<x 2，则x 2－x 1>0， 且f (x 2)－f (x 1)＝(－x 2)－(－x 1)＝x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2， ∵x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )＝－x 在定义域[0，＋∞)上是减函数．点评 (1)有的同学认为由0≤x 1<x 2，得0≤x 1<x 2多么直接呢，其实这种证明方法不正确，因为我们没有这样的性质作依据．其次，这种证明利用了函数y ＝x 的单调性，而y ＝x 的单调性，我们没有证明，因此不能直接使用．(2)在本题的证明中，我们使用了“分子有理化”这种证明技巧，在今后的学习中，我们还会经常遇到，因此要注意观察这类题目的结构特点，在今后的学习中学会使用这种方法．例2 已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )对任意x ，y ∈(0，＋∞)，恒有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当0<x <1时f (x )>0，判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性．分析 抽象函数单调性的判断要紧扣定义，并且要注意对原题条件的应用．解 设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1x 2·x 2)－f (x 2) ＝f (x 1x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1x 2)． ∵x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，∴0<x 1x 2<1，∴f (x 1x 2)>0. ∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．二、利用已知函数的单调性判断较复杂函数的单调性 例3 求函数f (x )＝－x 2＋a x(a >0)的单调区间． 分析 此函数可化为f (x )＝－x ＋a x ，可根据y ＝1x的单调性判断． 解 f (x )＝－x 2＋a x ＝－x ＋a x. ∵a >0，y ＝a x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)， y ＝－x 在R 上单调递减，∴f (x )＝－x 2＋a x(a >0)的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)． 点评 运用已知的结论，直接得到函数的单调性．如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出．了解以下结论，对于直接判断函数的单调性有好处：①函数y ＝－f (x )与函数y ＝f (x )在相对应的区间上的单调性相反．②当f (x )恒为正或恒为负时，函数y ＝1f (x )与y ＝f (x )在相对应的区间上的单调性相反． ③在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等．三、图象法例4 求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调区间．分析 “脱去”绝对值符号，画出函数图象，由图象观察得出．解 当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.画出图象如图所示：故在(－∞，－1]和[0,1]上，函数是增函数；在[－1,0]和[1，＋∞)上，函数是减函数．函数单调性的应用一、比较大小例5 若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，试比较f (－1)，f (2)，f (4)的大小．解 依题意可知f (x )的对称轴为x ＝2，∴f (－1)＝f (5)．∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f (2)<f (4)<f (5)，即f (2)<f (4)<f (－1)．点评 (1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间．二、解不等式例6 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是增函数，且f (t －1)<f (1－2t )，求实数t 的取值范围．解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<t －1<1，－1<1－2t <1，t －1<1－2t ，解得0<t <23. 点评 (1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式；(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围；(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错．三、求参数的值或取值范围例7 已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a 的取值范围． 解 任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0.Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 32－ax 2)－(x 31－ax 1)＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22－a )．∵1≤x 1<x 2，∴x 21＋x 1x 2＋x 22>3.显然不存在常数a ，使(x 21＋x 1x 2＋x 22－a )恒为负值．又f (x )在[1，＋∞)上是单调函数，∴必有一个常数a ，使x 21＋x 1x 2＋x 22－a 恒为正数，即x 21＋x 1x 2＋x 22>a .当x 1，x 2∈[1，＋∞)时，x 21＋x 1x 2＋x 22>3，∴a ≤3.此时，∵Δx ＝x 2－x 1>0，∴Δy >0，即函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴a 的取值范围是(0,3]．四、利用函数单调性求函数的最值例8 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝4时，求f (x )的最小值；(2)当a ＝12时，求f (x )的最小值； (3)若a 为正常数，求f (x )的最小值．解 (1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4x＋2，易知，f (x )在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝6.(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2. 易知，f (x )在[1，＋∞)上为增函数．∴f (x )min ＝f (1)＝72. (3)函数f (x )＝x ＋a x＋2在(0，a ]上是减函数， 在[a ，＋∞)上是增函数．若a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋∞)上先减后增，∴f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2.若a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.五、利用函数单调性证明不等式例9 已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b >c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c. 证明 设f (x )＝x 1＋x(x >0)， 设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 1－x 21＋x 2＝x 1－x 2(1＋x 1)(1＋x 2)<0. ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵a ＋b >c ，∴f (a ＋b )>f (c )，即a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c. 又f (a )＋f (b )＝a 1＋a ＋b 1＋b >a 1＋a ＋b ＋b 1＋a ＋b＝a ＋b 1＋a ＋b，∴a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c. 点评 本题通过构造函数，利用函数单调性证明不等式．判断函数奇偶性的方法函数奇偶性是函数的一个重要性质，在各种考试中屡次出现，其表现形式多种多样，求解方法也不单一，不同的形式对应不同的解决策略．现介绍三种常见的方法，供同学们学习时参考．一、定义法首先求出函数的定义域，确定其定义域是否关于原点对称，若对称再利用f (－x )＝f (x )(符合为偶函数)或f (－x )＝－f (x )(符合为奇函数)，否则既不是奇函数也不是偶函数．例10 判断函数f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3的奇偶性． 解 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0， 解得－2≤x ≤2且x ≠0，此函数的定义域[－2,0)∪(0,2]关于原点对称，且满足x ＋3>0，则函数f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ， f (－x )＝4－(－x )2－x＝－4－x 2x ＝－f (x )， 故函数f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3是奇函数． 点评 判断函数的奇偶性时，首先一定要观察函数定义域是否关于原点对称，这是判断奇偶性的前提条件．二、等价转化法利用函数奇偶性定义的等价形式进行处理，往往借助f (－x )±f (x )＝0来解决，方法比较简便．三、图象法奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．例11 判断函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|的奇偶性．解 f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x >2，4， －2≤x ≤2，－2x ， x <－2，其图象(如图)关于y 轴对称，该函数为偶函数．点评 利用图象法(数形结合法)解题，形象直观、清晰可见．同时数形结合思想一直都是高考考查的重点，同学们要注意领会．一道课本习题的拓展证明：(1)若f (x )＝ax ＋b ，则f (x 1＋x 22)＝f (x 1)＋f (x 2)2； (2)若f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)2. 探究 x 1＋x 22为自变量x 1、x 2中点，x 1＋x 22对应的函数值f (x 1＋x 22)为“中点的纵坐标”．而12[f (x 1)＋f (x 2)]为x 1、x 2对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点”．f (x )＝ax ＋b 的图象为直线，所以“中点的纵坐标”等于“纵坐标的中点”，即有f (x 1＋x 22)＝f (x 1)＋f (x 2)2.而f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象为开口向上的抛物线，图象向下凹进，由图象可得到“中点的纵坐标”不大于“纵坐标的中点”，即有f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)2. 拓展 在给定区间内，若函数f (x )的图象向上凸出，则函数f (x )在该区间上为凸函数，结合图象易得到f (x 1＋x 22)≥f (x 1)＋f (x 2)2；在给定区间内，若函数f (x )的图象向下凹进，则函数f (x )在该区间上为凹函数，结合图象易得到f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)2.这一性质，可以称为函数的凹凸性．活用函数的基本性质掌握函数与方程的互化，构造函数求值某些求值问题，若能根据问题的结构特征，注重揭示内在联系，挖掘隐含因素，用运动、变化、相互联系的函数观点来分析、处理变量之间的联系，利用函数的单调性，借助函数的奇偶性把问题解决．例12 已知实数x ，y 满足(x ＋x 2＋1)·(y ＋y 2＋1)＝1，求x ＋y 的值．解 由已知条件可得x ＋x 2＋1＝－y ＋(－y )2＋1.构造函数f (t )＝t ＋t 2＋1.显然f (t )＝t ＋t 2＋1是R 上递增函数．因为f (x )＝f (－y )，所以x ＝－y ，即x ＋y ＝0.例13 已知(x ＋2y )5＋x 5＋2x ＋2y ＝0，求x ＋y 的值．解 已知方程化为(x ＋2y )5＋(x ＋2y )＝－(x 5＋x )．①由①式的结构，构造函数f (t )＝t 5＋t .显然，f (t )是奇函数，且在R 上单调递增．由于①式可写成f (x ＋2y )＝－f (x )＝f (－x )，所以有x ＋2y ＝－x ，即x ＋y ＝0.三种数学思想在函数奇偶性中的应用一、数形结合思想例14 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为______________．解析 注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思想方法画全函数f (x )在[－5,5]上的图象(如图所示)，数形结合，得f (x )<0的解集为{x |－2<x <0或2<x ≤5}．答案 (－2,0)∪(2,5]二、分类讨论思想 例15 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R )，试判断f (x )的奇偶性． 解 当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(a ≠0，x ≠0)， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．三、方程思想例16 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝x ＋m x 2＋nx ＋1，试求f (x )． 分析 利用奇函数的性质、定义求出参数m 、n 的值是关键．解 由f (0)＝0知m ＝0.由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，即－x ＋0x 2－nx ＋1＝－x ＋0x 2＋nx ＋1， ∴x 2－nx ＋1＝x 2＋nx ＋1，∴n ＝0.∴f (x )＝x x 2＋1.二次函数在某区间上的最值——思维规律解读一、定函数在定区间上的最值例17 求函数f (x )＝x 2－2x ＋2在区间[－1,4]上的最大值和最小值．解 f (x )＝(x －1)2＋1，其对称轴为x ＝1.因为函数对称轴x ＝1在区间[－1,4]内，又函数开口向上，所以当x ＝1时，f (x )取到最小值为1.又f (－1)＝5，f (4)＝10，所以在x ＝4时，f (x )取到最大值为10.二、定函数在动区间上的最值例18 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在区间[t ，t ＋1]上的最小值为g (t )，求g (t )的表达式． 解 f (x )＝(x －1)2＋1，其对称轴为x ＝1.当t ＋1<1时，即t <0时，区间[t ，t ＋1]在对称轴的左侧，f (x )在此区间上是减函数． 所以此时g (t )＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2－2(t ＋1)＋2＝t 2＋1.当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，对称轴x ＝1在此区间内，又函数开口向上．所以此时g (t )＝f (1)＝12－2＋2＝1.当t >1时，区间[t ，t ＋1]在对称轴的右侧，f (x )在此区间上是增函数．所以此时g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1， t <0，1， 0≤t ≤1，t 2－2t ＋2， t >1.三、动函数在定区间上的最值例19 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3在区间[－2,2]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式．解 f (x )＝(x ＋a 2)2＋3－a 24， 其对称轴为x ＝－a 2. 当对称轴x ＝－a 2在区间[－2,2]的右侧， 即－a 2≥2，a ≤－4时，f (x )在此区间上是减函数． 所以此时g (a )＝f (－2)＝7－2a .当对称轴x ＝－a 2在区间[－2,2]内时，如果－2<－a 2<0， 即0<a <4时，x ＝2距离对称轴较远，所以此时f (x )在x ＝2时取到最大值，为g (a )＝f (2)＝7＋2a ；如果0<－a 2<2，即－4<a <0时， 则x ＝－2距离对称轴较远，此时f (x )在x ＝－2时取到最大值，为g (a )＝f (－2)＝7－2a .当对称轴x ＝－a 2在区间[－2,2]的左边， 即－a 2≤－2，a ≥4时，f (x )在此区间上是增函数． 所以此时g (a )＝f (2)＝7＋2a .综上得：g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧7＋2a ， a >0，7－2a ， a ≤0. 四、动函数在动区间上的最值例20 设a 为实数，函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1(x ∈R )，求f (x )的最小值．解 ①当x ≤a 时，函数f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋a ＋34， 若a ≤12，则函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减， 从而f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1；若a ＞12，则f (x )在(－∞，a ]上的最小值为 f ⎝⎛⎭⎫12＝34＋a .②当x ≥a 时，f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－a ＋34， 若a ≤－12，则函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为 f ⎝⎛⎭⎫－12＝34－a ； 若a ＞－12，则函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )＝a 2＋1.综上，当a ≤－12时，函数f (x )的最小值为34－a ； 当－12＜a ≤12时，函数f (x )的最小值为a 2＋1； 当a ＞12时，函数f (x )的最小值为a ＋34. 点评 当二次函数在某个区间上求最值时，其关键在于明确函数的对称轴与自变量取值范围的相对位置关系，分对称轴在区间内、在区间左边、在区间右边三种情况讨论．形如“y ＝x ＋a x(a >0)”的函数图象的探究例21 试探究函数f (x )＝x ＋a x(a >0)，x ∈(0，＋∞)的单调区间． 解 任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2. 由于x 1－x 2及x 1x 2的符号已定，从而f (x 1)－f (x 2)的符号取决于x 1x 2－a 的符号．由于x 1，x 2只能取f (x )的某个单调区间上的值，因此考虑x 1＝x 2这一极端情形，则x 1x 2－a ＝x 21－a ，若为零，得x 1＝x 2＝a ，从而将定义域(0，＋∞)分为两个区间(0，a )及[a ，＋∞)，由此讨论它的单调性即可．任取0<x 1<x 2<a ，则x 1－x 2<0，0<x 1x 2<a ，所以x 1x 2－a <0.于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(0，a )上单调递减．同理可知，函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增．由f (x )是奇函数，知f (x )在(－∞，－a )上单调递增，在(－a ，0)上单调递减．由函数的单调性及奇偶性，可作出如下图象：知识延伸 (1)函数y ＝x ＋a x(a >0)是一个常用且重要的函数，其图象如图所示，记住这个图象和性质会给解题带来方便．(2)对形如f (x )＝x 2＋2x ＋3x这种“分式型”的函数，求它在区间[a ，b ]上的最值，常用“分离变量”法转化为y ＝x ＋a x(a >0)模型求解．谈复合函数的单调性设y ＝f (t )是t 的函数，t ＝g (x )是x 的函数，若t ＝g (x )的值域是y ＝f (t )定义域的子集，则y 通过中间变量t 构成x 的函数，称为x 的复合函数，记作y ＝f (t )＝f [g (x )]．如函数y ＝1－x ，若设t ＝1－x ，则y ＝t .这里t 是x 的函数，y 是t 的函数，所以y ＝1－x 是x 的复合函数，把t 称为中间变量．问题1 已知函数y ＝f (t )的定义域为区间[m ，n ]，函数t ＝g (x )的定义域为区间[a ，b ]，值域D ⊆[m ，n ]．若y ＝f (t )在定义域内单调递增，t ＝g (x )在定义域内单调递增，那么y ＝f [g (x )]是否为[a ，b ]上的增函数？为什么？探究 y ＝f [g (x )]是区间[a ，b ]上的增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1<x 2，则t 1＝g (x 1)，t 2＝g (x 2)，且t 1，t 2∈[m ，n ]．因为t ＝g (x )在[a ，b ]上递增，所以g (x 1)<g (x 2)，即t 1<t 2，而y ＝f (t )在[m ，n ]递增，故f (t 1)<f (t 2)，即f [g (x 1)]<f [g (x 2)]，所以y ＝f [g (x )]在[a ，b ]上是增函数．问题2 若将g (x )在区间[a ，b ]上“递增”改为“递减”或将f (x )在区间[m ，n ]上“递增”改为“递减”等，这时复合函数y ＝f [g (x )]在区间[a ，b ]上的单调性又如何呢？探究 利用解决问题1的方法就可以得出相应的结论(你不妨一试)．由此可得到如下复合函数单调性的结论：y ＝f (t ) 递增 递减t ＝g (x ) 递增 递减 递增 递减y ＝f [g (x )] 递增 递减 递减 递增以上规律可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”．不过要注意：单调区间必须注意定义域；要确定t ＝g (x )(常称内层函数)的值域，否则无法确定f (t )(常称外层函数)的单调性．例22 求函数y ＝1(x ＋1)2的单调区间． 解 函数y ＝1(x ＋1)2的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 设t ＝(x ＋1)2，则y ＝1t(t >0)． 当x ∈(－∞，－1)时，t 是x 的减函数，y 是t 的减函数，所以(－∞，－1)是y ＝1(x ＋1)2的递增区间； 当x ∈(－1，＋∞)时，t 是x 的增函数，y 是t 的减函数，所以(－1，＋∞)是y ＝1(x ＋1)2的递减区间． 综上知，函数y ＝1(x ＋1)2的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞)． 试一试 求y ＝1x 2－2x －3的单调区间． 解 由x 2－2x －3≠0，得x ≠－1或x ≠3，令t ＝x 2－2x －3(t ≠0)，则y ＝1t， 因为y ＝1t在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数， 而t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1)，(－1,1)上为减函数，在(1,3)，(3，＋∞)上是增函数，所以函数y ＝1x 2－2x －3的递增区间为(－∞，－1)，(－1,1)，递减区间为(1,3)，(3，＋∞).函数基本性质如何考？1．(辽宁高考)设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为( )A ．－3B ．3C ．－8D ．8解析 因为f (x )是连续的偶函数，且x >0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4，只有两种情况： ①x ＝x ＋3x ＋4； ②x ＋x ＋3x ＋4＝0. 由①知x 2＋3x －3＝0，故两根之和为x 1＋x 2＝－3.由②知x 2＋5x ＋3＝0，故两根之和为x 3＋x 4＝－5.因此满足条件的所有x 之和为－8.答案 C2．(全国Ⅱ高考)函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析 f (x )＝1x－x 的定义域为{x |x ≠0}， ∵f (－x )＝－1x＋x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －x ＝－f (x )． ∴f (x )是一个奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称．答案 C3．(重庆高考)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数解析 令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝2f (0)＋1，所以f (0)＝－1.令x 2＝－x 1，得f (0)＝f (x 1)＋f (－x 1)＋1，即f (－x 1)＋1＝－f (x 1)－1.所以f (x )＋1为奇函数．答案 C4．(湖南高考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析 结合图象，由f (x )在[1,2]上为减函数知a ≤1，由g (x )在[1,2]上是减函数知a >0.∴0<a ≤1.答案 D5．(上海高考)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝____________.解析 ∵f (－x )＝f (x )且f (x )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2，∴b (－x )2＋(2a ＋ab )(－x )＋2a 2＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2，∴－(2a ＋ab )＝2a ＋ab ，即2a ＋ab ＝0，∴a ＝0或b ＝－2.当a ＝0时，f (x )＝bx 2，∵f (x )值域为(－∞，4]，而y ＝bx 2值域不可能为(－∞，4]，∴a ≠0.当b ＝－2时，f (x )＝－2x 2＋2a 2，值域为(－∞，2a 2]．∴2a 2＝4，∴a 2＝2.∴f (x )＝－2x 2＋4.答案 －2x 2＋46．(上海高考)若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b ，的取值范围是________．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －ab ＋2 (x ≥b )，－ax ＋ab ＋2 (x <b ). ∵函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴必有a>0，且[0，＋∞)是[b，＋∞)的子集，即a>0，且b≤0.答案a>0且b≤0。

《1.3函数的基本性质练习》导学案班次 姓名【学习目标】其中1、2是重点和难点1. 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；2. 能应用函数的基本性质解决一些问题；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.【课前导学】复习教材第27-36页，找出疑惑之处，完成知识梳理1．如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？2．如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示（加*号的可以选做）例1作出函数y ＝x 2－2|x |－3的图象，指出单调区间及单调性.小结：利用偶函数性质，先作y 轴右边，再对称作.变式：y ＝|x 2－2x －3| 的图象如何作？反思：如何由()f x 的图象，得到(||)f x 、|()|f x 的图象？例2已知()f x 是奇函数，在(0,)+∞是增函数，判断()f x 在(,0)-∞上的单调性，并进行证明.反思：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？（偶函数在关于原点对称的区间上单调性 ；奇函数在关于原点对称的区间上单调性 ）例3某产品单价是120元，可销售80万件. 市场调查后发现规律为降价x 元后可多销售2x 万件，写出销售金额y (万元)与x 的函数关系式，并求当降价多少元时，销售金额最大？最大是多少？小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题【自我评价】你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差【基础检测】当堂达标练习，（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数2y x b x c =++((,1))x ∈-∞是单调函数时，b 的取值范围 （ ）.A ．2b ≥-B ．2b ≤-C ．2b >-D ． 2b <-2. 下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是（ ）.A ．1y x =-+B ．y =C ．245y x x =-+D ．2y x =3. 已知函数y =2a x b x c++为奇函数，则（ ）.A. 0a =B. 0b =C. 0c =D. 0a ≠4. 函数y ＝x 的值域为 .5. 2()4f x x x =-在[0,3]上的最大值为 ，最小值为 .【能力提升】可供学生课外做作业1．已知()f x 是定义在(1,1)-上的减函数，且(2)(3)0f a f a ---<. 求实数a 的取值范围.2．判别下列函数的奇偶性：（1）y（2）y ＝22(0)(0)x x x x x x ⎧-+>⎪⎨+≤⎪⎩.3．判断函数y =21x x ++单调性，并证明.4．已知函数()f x =（1）讨论()f x 的奇偶性，并证明；（2）讨论()f x 的单调性，并证明.5．求函数1()(0)f x x x x =+>的值域.【课后反思】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来！。

第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性学习目标①理解函数的奇偶性及其几何意义,培养学生观察、抽象的能力,以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力;②学会运用函数图象理解和研究函数的性质,掌握判断函数的奇偶性的方法,渗透数形结合的数学思想.合作学习一、设计问题,创设情境众所周知,我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请大家想一下有哪些美呢?(有和谐美、自然美、对称美…)今天,我们就来讨论对称美,请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢?(在屏幕上给出一组图片:喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志.)把生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?下面,我们以麦当劳的标志为例,给它适当地建立直角坐标系,那么大家发现了什么特点呢?二、自主探索,尝试解决问题1:如图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.问题2:那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢?填写表1和表2,你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征?表1表2三、信息交流,揭示规律问题3:请给出偶函数的定义.1.偶函数的定义问题4:偶函数的图象有什么特征?问题5:函数f(x)=x2,x∈是偶函数吗?问题6:偶函数的定义域有什么特征?问题7:观察函数f(x)=x和f(x)=的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性质.2.奇函数的定义给出偶函数和奇函数的定义后,要指明: (1)(2)(3)(4)(5)四、运用规律,解决问题【例1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x4;(2)f(x)=x5;(3)f(x)=x+;(4)f(x)=.【例2】已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)= .【例3】已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(3)试比较f(-)与f()的大小.五、变式演练,深化提高1.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x4,x∈;(2)f(x)=;(3)f(x)=+;(4)f(x)=.2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+,求f(x).3.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.六、反思小结,观点提炼本节课主要学习了函数的什么性质?如何判断或证明此性质?七、作业精选,巩固提高课本P39习题1.3 A组第6题,B组第3题.参考答案问题2:这两个函数的解析式都满足:f(-3)=f(3);f(-2)=f(2);f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等,也就是说对于函数定义域内任一个x,都有f(-x)=f(x).表1表2问题3:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.问题4:偶函数的图象关于y轴对称.问题5:函数f(x)=x2,x∈的图象关于y轴不对称;对定义域内x=2,f(-2)不存在,即其函数的定义域中任意一个x的相反数-x不一定在定义域内,即f(-x)=f(x)不恒成立,所以不是偶函数.问题6:偶函数的定义域中任意一个x的相反数-x一定也在定义域内,此时称函数的定义域关于原点对称.问题7:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称,其定义域关于原点对称.(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;(2)由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称);(3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称;(4)可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法;(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质,是“整体”性质,而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质,是“局部”性质.四、运用规律,解决问题【例1】解:(1)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x), 所以函数f(x)=x4是偶函数.(2)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函数f(x)=x5是奇函数.(3)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个x,都有f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x),所以函数f(x)=x+是奇函数.(4)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个x,都有f(-x)===f(x),所以函数f(x)=是偶函数.点评:利用定义判断函数奇偶性的步骤:①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;②确定f(-x)与f(x)的关系;③作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.【例2】解析:当x∈(0,+∞)时,则-x<0.又∵当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,∴f(x)=f(-x)=(-x)-(-x)4=-x-x4.答案:-x-x4点评:本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性,求函数的解析式时,要充分利用函数的奇偶性的定义,将所求解析式对应的区间上的函数值转化为已知解析式对应的区间上的函数值.【例3】解:(1)令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.令x1=x2=-1,得f(1)=f=f(-1)+f(-1),∴2f(-1)=0.∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).∴f(x)是偶函数.(2)设x2>x1>0,则f(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f().∵x2>x1>0,∴>1.∴f()>0,即f(x2)-f(x1)>0.∴f(x2)>f(x1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.(3)由(1)知f(x)是偶函数,则有f(-)=f().由(2)知f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f()>f().∴f(-)>f().点评:本题是抽象函数问题,主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法,比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较,其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.五、变式演练,深化提高1.解:(1)因为它的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)=x2+x4,x∈既不是奇函数又不是偶函数.(2)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1},并不关于原点对称,所以函数f(x)=既不是奇函数又不是偶函数.(3)∵x2-4≥0且4-x2≥0,∴x=±2,即f(x)=0,其定义域是{-2,2}.∵f(2)=0,f(-2)=0,∴f(2)=f(-2),f(2)=-f(-2).∴f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x).∴f(x)既是奇函数也是偶函数.(4)函数的定义域是R.∵f(-x)+f(x)=+===0,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.点评:本题主要考查函数的奇偶性.定义法判断函数奇偶性的步骤是:(1)求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等.(2)当f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数;当f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数.(3)当f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)时,此函数既是奇函数又是偶函数.(4)当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时,此函数既不是奇函数也不是偶函数.(5)判断解析式复杂的函数的奇偶性时,如果定义域关于原点对称时,通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.2.解:当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=0;当x<0时,-x>0,由于函数f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x)=-=-x2+.综上所得,f(x)=3.解:(1)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),∴令x=y=1时,有f(1×1)=1·f(1)+1·f(1).∴f(1)=0.∴令x=y=-1时,有f=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1).∴f(-1)=0.(2)是奇函数.∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y), ∴令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x),∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.。