湖北省部分重点中学2019-2020学年高一下学期(在线)期中考试数学试卷Word版含答案

湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中考试数 学 试 卷（文科）命题人：武汉市第四中学 审题人：武汉市第四十九中全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)１. 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C.(－２，１)D.(－２，－２)２. 如图，正六边形ABCDEF 中， BA CD EF ++=（ ）A ．０B ．BEC ．AD D ．CF3．实数b 是２和８的等比中项，则b 的值为（ ）A.4B.－4C.±4D.164 ．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边,,a b c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形5．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且,c=0．则角Ｂ等于（ ） A ．600B.600或120C.15D. 150或7506．已知数列{a n }和{ b n }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A. 17B.421C.835D.327. 设点Ｏ在ABC ∆ 的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与的面积之比为（ ）A.32B.53C.2D.38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.12B.22C.23D.259．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.5个B.0个C.1个D.10个10已知函数(x)xf ex =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△AB C 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④11．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n＝(n N *∈)．15．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=-- ．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若３３３+=a b c ，则ABC 为锐角三角形．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f =当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 求不等式(x)5≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中考试数 学 试 卷（文科）命题人：武汉市第四中学 审题人：武汉市第四十九中全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)１. 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C.(－２，１)D.(－２，－２)２. 如图，正六边形ABCDEF 中， BA CD EF ++=（ ）A ．０B ．BEC ．AD D ．CF3．实数b 是２和８的等比中项，则b 的值为（ ）A.4B.－4C.±4D.164 ．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边,,a b c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形5．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且,c=0．则角Ｂ等于（ ） A ．600B.600或120C.15D. 150或7506．已知数列{a n }和{ b n }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A. 17B.421C.835D.327. 设点Ｏ在ABC ∆ 的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与的面积之比为（ ）A.32B.53C.2D.38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.12B.22C.23D.259．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.5个B.0个C.1个D.10个10已知函数(x)xf ex =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△AB C 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④11．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n＝(n N *∈)．15．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=-- ．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若３３３+=a b c ，则ABC 为锐角三角形．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f =当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 求不等式(x)5≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

2019-2020学年湖北省曾都一中，枣阳一中，襄州一中，宜城一中四校高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若a ，b ，c ∈R ，则下列命题中为真命题的是( )A. 若a >b ，a >c ，则a 2>bcB. 若a >b ，则1b >1a C. 若ab <0，则ab +ba ≥−2D. 若a 2>b 2，则|a|>b2. sin123°cos27°−sin33°sin27°=( )A. −√32B. −12C. √32D. 123. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选67816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204923449358200362348696938748107 04 02 014. 在平行四边形ABCD 中，M 为DC 上任一点，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 若关于x 的不等式ax 2+ax +1≤0的解集为⌀，则实数a 的取值范围是( )A. [0,4]B. (0,4)C. (−∞,0]∪(4，+∞)D. [0,4)6. 2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国齐心抗击疫情，基本上控制住了疫情．下图为2月22日至4月30日我国新型冠状病毒肺炎全国总新增确诊人数和新增境外输入确诊人数趋势图(数据来源：国家卫健委官网)，则下列表述中错误的是( )A. 3月上旬全国总新增确诊人数呈波动下降趋势B. 3月中下旬全国总新增确诊人数开始反弹的主要原因是境外输入病例的增加C. 全国总新增确诊人数随着境外输入确诊人数变化而变化D. 4月中下旬国内新增确诊人数呈越来越少的趋势7. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若cos 2A +sin 2B =cos 2B +sin 2A ，则△ABC 形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻).若从中任取一卦，恰有两个阳爻的概率为( )A. 18B. 14C. 38D. 129. 我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的底和腰之比为黄金分割比√5−12≈0.618，该三角形被认为是最美的三角形．根据这些信息，可得cos36°=( ) A. 2√5−14B. 1+√54C. √5−14D. 4+√5810. 正方形ABCD 的边长为4，M 是正方形内部(不包括正方形的边)一点，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =4，则|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( )A. 12B. √22C. 2√2D. 811. 下列说法中错误的是( )A. 命题“∀x >1，x 2−x >0”的否定是“∃x 0>1，x 02−x 0≤0” B. 在△ABC 中，A <B ⇔sinA <sinB ⇔cosA >cosBC. 已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变D. 从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立12. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知D 是BC 边的中点，且a 2−b 2−c 2=1，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )等于( ) A. √172B. √17C. 12D. −√172二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(3,−1)，则向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为______．14. “中国式过马路”的大意是凑够一撮人即可走，跟红绿灯无关．部分法律专家的观点为“交通规则的制定目的就在于服务城市管理，方便行人，而‘中国式过马路’是对我国法治化进程的严重阻碍，反应了国人规则意识的淡薄．”某新闻媒体对此观点进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“中立”和“不支持”态度的人数如表所示：支持 中立 不支持 20岁以下 700 450 200 20岁及以上200150300在所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取人，则持“支持”态度的人中20岁及以上的有______人．15. 若sinθ−cosθ=75，且sinθ+cosθ<0，则tan2θ=______．16.已知实数x，y满足x>y≥0，则4xx+y +x+yx−y的最小值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知a⃗,b⃗ ,c⃗在同一平面内，且a⃗=(1,2)．(1)若|c⃗|=3√5，且a⃗//c⃗，求c⃗；(2)若|b⃗ |=√2，且(a⃗+2b⃗ )⊥(a⃗−b⃗ )，求a⃗与b⃗ 的夹角的余弦值．18.计算：(1)tan75°；(2)(1sin10∘−2sin10°)(1−√3tan20°)．19.已知命题：“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m+5<0”为假命题．(1)求实数m的取值集合A；(2)设不等式(x−a+1)(x−1+2a)<0的解集为集合B，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20.我市在经济高速发展的同时，根据中央文明委办公室2017年度颁布的《全国文明城市(地级以上)测评体系》标准，特制了创建全国文明城市三年行动计划(2018−2020年).在城市环境卫生的治理方面，经过两年的治理，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直方图，其中a=2b．(1)求被调查市民满意程度的平均数与中位数(精确到小数点后三位)；(2)若按照分层抽样的方式从[60,70)，[80,90)中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[60,70)的概率．21.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinB=√3sinC，2c2=3ab．(1)求角C的大小；(2)求cos2A+cos2B的取值范围．22.在△ABC中，∠ACB=60°，且∠C的角平分线CD与边AB相交于点D．(1)若CB=2，CA=3，求CD的长；(2)若AB=√3，求CD的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A.取a =2，b =c =−3，则a 2>bc 不成立，因此不正确； B .取a =2，b =−3，则1b >1a 不成立，因此不正确；C .取a =2，b =−4，则ab +b a≥−2不成立，因此不正确； D .由a 2>b 2，可得|a|>|b|≥b ，∴|a|>b ，因此正确．故选：D ．通过举反例，可以否定ABC ，利用不等式的基本性质、绝对值的性质可得D 正确． 本题考查了不等式的基本性质、绝对值的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：sin123°cos27°−sin33°sin27°=sin57°cos27°−cos57°sin27° =sin(57°−27°) =sin30° =12．故选：D ．由题意利用诱导公式、两角差的正弦函数公式即可化简求解．本题主要考查诱导公式、两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 3.【答案】B【解析】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，04，其中第二个和第⑤个都是02，重复．可知对应的数值为．08，02，14，07，01，04 则第6个个体的编号为04． 故选：B ．根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础． 4.【答案】B【解析】解：CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：B ．根据题意，即可得解．本题考查了向量加法、减法运算，考查了计算能力，属于基础题． 5.【答案】D【解析】解：当a =0时，不等式化为1≤0，解集为空集，符合要求；当a ≠0时，因为关于x 的不等式ax 2+ax +1≤0的解集为⌀，即所对应图象均在x 轴上方，∴{a>0△=a2−4a<0，解得0<a<4；综上，满足要求的实数a的取值范围是[0,4)．故选：D．对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在不为0时，把解集为⌀化为所对应图象均在x轴上方，列出满足的条件即可求实数a的取值范围．本题考查了二次函数的图象与应用问题，解题时要对二次项系数讨论，是基础题．6.【答案】C【解析】解：对于A，很明显，3月上旬人数在波动下降，故A正确；对于B，可以看到3月中下旬境外输入病例增加导致了总人数的反弹，故B正确；对与C，二月下旬境外输入无，对总人数无影响，故C错误；对于D，很明显4月下旬总人数与境外输入人数曲线几乎重合，故而国内新增人数呈越来越少趋势，故D正确．故选：C．根据所给图象，数形结合即可本题考查学生对统计图的理解，考查数形结合思想，合情推理的能力，属于中档题7.【答案】A【解析】解：∵cos2A+sin2B=cos2B+sin2A，∴1−sin2A+sin2B=1−sin2B+sin2A，可得：2sin2A=2sin2B，∴由正弦定理可得2a2=2b2，解得a=b，∴△ABC形状为等腰三角形．故选：A．由已知利用同角三角函数基本关系式可得2sin2A=2sin2B，由正弦定理可得2a2=2b2，解得a=b，即可判断三角形的形状为等腰三角形．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．从中任取一卦，基本事件总数n=8，其中恰有两个阳爻包含的基本事件的个数m=3，由此能求出从中任取一卦，恰有两个阳爻的概率．【解答】解：八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦，从中任取一卦，基本事件总数n=8，其中恰有两个阳爻包含的基本事件的个数m=3，．从中任取一卦，恰有两个阳爻的概率为p=38故选：C．9.【答案】B【解析】解：由题意可知：把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三≈0.618，该三角形被认角形，它的底和腰之比为黄金分割比√5−12为是最美的三角形． cosB =12BC AB=√5−12， 可得cos72°=√5−14，cos72°=2cos 236°−1即2cos 236°−1=√5−14，所以cos 236°=2√5+642=(√5+14)2， 所以cos36°=√5+14．故选：B ．利用已知条件求出cos72°的值，然后利用二倍角公式求解即可．本题考查二倍角公式的应用，三角函数化简求值，是基本知识的考查． 10.【答案】B【解析】解：设<AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=θ，依题意，θ∈[0,π4), AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅4√2cosθ=4， ∴|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2cosθ∈[√22,1)，即|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√22． 故选：B ．由题意，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1√2cosθ，而θ∈[0,π4)，由此即可得解． 本题主要考查平面向量数量积的运用，同时也涉及了余弦函数的有界性，考查运算求解能力，属于基础题． 11.【答案】C【解析】解：命题“∀x >1，x 2−x >0”的否定是“∃x 0>1，x 02−x 0≤0”满足命题的否定形式，所以A 确；A >B ，则a >b ，利用正弦定理可得a =2rsinA ，b =2rsinB ，故sinA >sinB.由同角三角函数的基本关系可得cosA <cosB ，所以B 正确； 这6个数的平均数为3，方差为2现又加入一个新数据3，此时这7个数的平均数为3，方差为2×7×16=73，所以C 不正确；从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”包含：事件：没有红球和事件，只有一个红球；与“都是红球”互斥且对立，所以D 正确； 故选：C ．利用命题的否定判断A ；正弦定理判断B ；方差与均值判断C ；互斥事件与独立事件判断D ．本题考查命题的真假的判断与应用，涉及命题的否定，正弦定理期望与方差，互斥事件与对立事件，是基本知识的考查． 12.【答案】C【解析】解：如图，取AB 的中点M ，则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−A)=−bccosA ， 而a 2−b 2−c 2=1，故由余弦定理得a 2=b 2+c 2+1=b 2+c 2−2bccosA ， ∴bccosA =−12，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−bccosA =12． 故选：C ．取AB 的中点，利用平面向量基本定理及数量积运算可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−bccosA ，而由已知条件结合余弦定理可得bccosA =−12，由此即可得出答案．本题考查平面向量基本定理及数量积公式的运用，同时也涉及了余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．13.【答案】√102【解析】解：由题意可知，向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为|a ⃗ |cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |b⃗ |=√10=√102． 故答案为：√102由题意可知，向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为|a⃗ |cosθ=a⃗ ⋅b ⃗|b ⃗ |，结合向量数量积的定义及性质的坐标表示可求．本题主要考查了向量数量积的定义及投影的定义的简单应用，属于基础试题． 14.【答案】10【解析】解：参与调查的人数为700+200+450+150+200+300=2000， 故持“支持”态度的人中20岁及以上的人数所占比例为2002000=0.1，∴采用分层抽样法抽取100人时，持“支持”态度的人中20岁及以上的人数为100×0.1=10． 故答案为：10．先计算持“支持”态度的人中20岁及以上的人数占总人数的比列，再按比例计算选取人数．本题考查了分层抽样的特点，属于基础题．15.【答案】−247【解析】解：∵sinθ−cosθ=75，①∴两边平方，可得1−2sinθcosθ=4925，可得2sinθcosθ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθ1+tan 2θ=−2425，又∵sinθ+cosθ<0，∴sinθ+cosθ=−√1+2sinθcosθ=−√1−2425=−15，② ∴由①②可得sinθ=35，cosθ=−45，可得tanθ=sinθcosθ=−34，∴tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=−247． 故答案为：−247．将sinθ−cosθ=75两边平方，可得2sinθcosθ=−2425，结合sinθ+cosθ<0，可求sinθ+cosθ=15，即可解得sinθ，cosθ，tanθ的值，进而根据二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 16.【答案】2+2√2【解析】解：由x >y ≥0，令t =yx ∈[0,1)． 则4xx+y +x+yx−y =41+y x+1+y x 1−y x=41+t +1+t1−t =f(t)，f′(t)=−4(1+t)+2(1−t)=−2(t−3−2√2)[t−(3−2√2)](1−t )，可得函数f(t)在[0,3−2√2)上单调递减，在(3−2√2,1)上单调递增． 可得t =3−2√2时，f(t)取得最小值，f(3−2√2)=4−22+√222−2=2+2√2．因此4x x+y +x+yx−y 的最小值是2+2√2． 故答案为：2+2√2．由x >y ≥0，令t =yx ∈[0,1).可得4xx+y +x+yx−y =41+y x+1+y x 1−y x=41+t +1+t1−t =f(t)，利用导数研究函数的单调性与最值即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、换元法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)根据题意，设c⃗ =(x,y) 则a ⃗ //c ⃗ ，a ⃗ =(1,2)，则有2x −y =0，即y =2x ，① 又由|c ⃗ |=3√5，则有x 2+y 2=45，② 解可得：{x =3y =6或{x =−3y =−6∴c ⃗ =(3,6)或c ⃗ =(−3,−6)；(2)又由(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(a ⃗ −b ⃗ )，则有(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=0，变形可得a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=0即|a ⃗ |2+a ⃗ ⋅b ⃗ −2|b ⃗ |2=0，又|a ⃗ |2=5,|b ⃗ |2=2，则有a ⃗ ⋅b ⃗ =−1， 则有cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=√5⋅√2=−√1010， 故a ⃗ 与b ⃗ 的夹角的余弦值为−√1010．【解析】(1)根据题意，设c ⃗ =(x,y)，由向量平行的坐标表示可得2x −y =0，即y =2x ，由向量模的公式可得x 2+y 2=45，解可得x 、y 的值，即可得答案；(2)根据题意，由向量垂直的判断方法可得(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=0，变形可得a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=0即|a ⃗ |2+a ⃗ ⋅b ⃗ −2|b ⃗ |2=0，又由数量积计算公式，变形分析即可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算以及向量平行的坐标表示，属于综合题．18.【答案】解：(1)tan75°=tan(30°+45°)=tan30°+tan45°1−tan30∘tan45∘=√33+11−√33=√3+2．(2)(1sin10∘−2sin10°)(1−√3tan20°)=1−2sin 210°sin10∘(1−√3sin20°cos20∘)=cos20°sin10∘(cos20°−√3sin20°cos20°)=2cos(20°+60°)sin10∘=2cos80°sin10∘=2sin10°sin10∘=2．【解析】(1)由已知利用两角和的正切函数公式，特殊角的三角函数值即可求解； (2)利用三角函数恒等变换的应用即可化简求值得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角函数化简求值，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.【答案】解：(1)由题可知：命题“∀x ∈R ，使方程x 2+mx +2m +5≥0”是真命题．则△=m 2−4(2m +5)≤0，于是可得：A ={m|−2≤m ≤10}…(5分) (2)令(x −a +1)(x −1+2a)=0，可得x =a −1或x =1−2a ； 若x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，则集合A 是集合B 的真子集． 当a =23时，B =ϕ，不合题意；…(7分)当a <23时，B =(a −1,1−2a)，{a −1<−21−2a >10，所以：a <−92；…(9分)当a >23时，B =(1−2a,a −1)，{a −1>101−2a <−2，所以：a >11；…(11分)所以实数a 的取值范围为：a ∈(−∞,−92)∪(11,+∞)…(12分)【解析】(1)利用一元二次函数的恒成立问题，即可求出集合A ；(2)若x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，则集合A 是集合B 的真子集，从而转化为判断集合A 是集合B 关系问题．分类讨论求出集合B ，进而求出a 取值范围．本题考查了命题和充分必要条件，同时考查了集合间相关关系；考查了学生转化思想和分类讨论思想，以及运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：(0.01+a +b +0.035+0.01)×10=1， ∴a +b =0.045，又a =2b ， 解得a =0.030，b =0.015，平均数为：55×0.01×10+65×0.015×10+75×0.035×10+85×0.03×10+95×0.01×10=76.5， 中位数：70+0.5−0.01×10−0.015×100.035≈77.143．(2)依题意可得：[60,70)，[80,90)两段频率比为1：2， ∴按照分层抽样的方式从[60,70)，[80,90)中随机抽取6人， 分数在[60,70)中抽取2人，记为a 1，a 2，分数在[80,90)中抽取4人，记为b 1，b 2，b 3，b 4， ∴从这6人中随机抽取2人的所有情况为：(a 1,a 2)，(a 1,b 1)，(a 1,b 2)，(a 1,b 3)，(a 1,b 4)，(a 2,b 1)，(a 2,b 2)，(a 2,b 3)，(a 2,b 4)，(b 1,b 2)，(b 1,b 3)，(b 1,b 4)，(b 2,b 3)，(b 2,b 4)，(b 3,b 4)，共15个基本事件，其中，至少有1人的分数在[60,70)包含的基本事件有9个，∴至少有1人的分数在[60,70)的概率P=915=35．【解析】(1)由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，结合题设条件能求出a，b，进而能求出平均数和中位数．(2)依题意可得：[60,70)，[80,90)两段频率比为1：2，按照分层抽样的方式从[60,70)，[80,90)中随机抽取6人，分数在[60,70)中抽取2人，记为a1，a2，分数在[80,90)中抽取4人，记为b1，b2，b3，b4，从这6人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少有1人的分数在[60,70)的概率．本题考查频率、平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】解：(1)∵sinA+sinB=√3sinC∴由正弦定理得a+b=√3c，又∵2c2=3ab，∴c2=32ab，根据余弦定理得：cosC=a2+b2−c22ab =2c2−2ab2ab=ab2ab=12，又因为0<C<π，∴C=π3．(2)因为C=π3，所以2B=4π3−2A，则cos2A+cos2B=cos2A+cos(4π3−2A)=12cos2A−√32sin2A=cos(2A+π3)，因为三角形ABC为锐角三角形，且C=π3，所以π6<A<π2，则2π3<2A+π3<4π3，于是：−1≤cos(2A+π6)<−12，即cos2A+cos2B的取值范围为[−1 , −12)．【解析】(1)由已知利用正弦定理得a+b=√3c，进而可求c2=32ab，根据余弦定理得cos C的值，结合范围0<C<π，可求C的值．(2)由(1)利用三角形内角和定理可得2B=4π3−2A，利用三角函数恒等变换的应用可求cos2A+cos2B=cos(2A+π3)，由已知可求范围π6<A<π2，可得2π3<2A+π3<4π3，利用余弦函数的性质可求cos2A+cos2B的取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及余弦函数的性质等知识的综合应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握相关公式定理的应用是解题的关键，属于中档题．22.【答案】解：(1)方法一：因为AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcos∠ACB=9+4−2×3×2×12=7，所以AB=√7，因为BCsinA =ABsinC，所以sinA=BCsinCAB =2×√32√7=√217．所以cosA=2√77，所以sin∠ADC=sin[π−(∠A+∠ACD)]=sin(∠A+π6)=sinAcosπ6+cosAsinπ6=√21 7×√32+2√77×12=5√714，因为CDsinA =ACsin∠ADC，所以CD=ACsinAsin∠ADC =3×√2175√714=6√35，方法二：由S△ABC=S△ACD+S△BCD，可得：12⋅3⋅2⋅sin60°=12⋅3⋅|CD|⋅sin30°+12⋅2⋅|CD|⋅sin30°，于是：|CD|=6√35．(2)设BC=a，AC=b，由题意得S△ABC=√34ab=S△ACD+S△BCD=14b⋅|CD|+14a⋅|CD|，所以|CD|=√3aba+b，根据余弦定理，可得a2+b2=3+ab，所以a2+b2=3+ab≥2ab，所以0<ab≤3，又由a2+b2=3+ab，得ab=(a+b)23−1∈(0,3],所以a+b∈(√3,2√3]，所以|CD|=√3aba+b =√3[(a+b)23−1]a+b=2√3(a+b)=√3(a+b3−1a+b)，因为函数y=√3(x3−1x)在(√3,2√3]上单调递增，所以可得|CD|=√3(a+b3−1a+b)∈(0,32].【解析】(1)方法一：由已知利用余弦定理可求AB的值，利用正弦定理可求sin A的值，利用同角三角函数基本关系式可求cos A的值，进而根据两角和的正弦函数公式可求sin∠ADC的值，从而根据正弦定理可求CD的值．方法二：由S△ABC=S△ACD+S△BCD，利用三角形的面积公式即可求解CD的值．(2)设BC=a，AC=b，由三角形的面积公式可得|CD|=√3aba+b，根据余弦定理，基本不等式可求a+b∈(√3,2√3]，即可求解CD的范围．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式，基本不等式以及三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想和推理计算求解能力，属于中档题．。

湖北省部分重点中学2019-2020学年下学期期中考试高一数学（理）试卷一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 3a =2b =4B π=,则A =（ ）A ．6πB ．3π C ． 3π或23π D ．6π或56π2.若不等式28210++<ax ax 的解集是{71}-<<-x x ，那么a 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.已知等差数列{a n }满足a 3=3，且a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 5=（ ） A ．5B ．3C ．5或3D ．4或34.设x ，y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则z=x+4y 的最大值为（ ）A ．5B ．3C ．6D ．45.若数列{a n }的前n 项和Sn 满足S n =2a n ﹣n ，则（ ） A ．S n =2n+1﹣1 B ．a n =2n﹣1 C ．S n =2n+1﹣2 D ．a n =2n+1﹣36.设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为（ ）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7.在等差数列}{n a 中，48)(2)(31310753=++++a a a a a ，则等差数列}{n a 的前13项的和为（ ） A 、24 B 、39 C 、52 D 、1048.设a ＞0，b ＞02是4a与2b的等比中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22B ．8C ．9D ．109.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且n n A B =7453n n ++，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510.下列函数中，最小值为4的函数是（ ）A ．y=x+B ．y=sinx+（0＜x ＜π）C ．y=ex+4e ﹣xD ．y=log 3x+4log x 311.已知ABC ∆3AC 3，3ABC π∠=，则ABC V 的周长等于（ ） A ．33+ B ．33．23+3312.已知定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）=3f （x+2），当x ∈[0，2）时，f （x ）=﹣x 2+2x ．设f （x ）在[2n ﹣2，2n ）上的最大值为a n （n ∈N *），且{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的取值范围是（ ） A ．[1，32） B ．[1，32] C ．[32，2） D ．[32，2] 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.25，211，… …，则25是该数列的第 项． 14.函数y=2﹣x ﹣4x的值域为 ． 15.设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{1na }的前10项的和为 ． 16.在△ABC 中，2sin22A =3sinA ，sin （B ﹣C ）=2cosBsinC ，则ABAC = ．三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18~22题每题12分,共70分,解答题必须有解题过程）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，设a=4，c=3，cosB=18． （1）求b 的值； （2）求△ABC 的面积．18. 已知不等式ax 2+bx ﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x ＜2}． （1）计算a 、b 的值；（2）求解不等式x2﹣ax+b＞0的解集．19.已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）求数列{2n a}的前n项和S n．20. 某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．21.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．22.已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中n≥2，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等差数列，并求其通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•2﹣n，T n为数列{b n}的前n项和．①求T n的表达式；②求使T n＞2的n的取值范围．湖北省部分重点中学2019-2020学年下学期期中考试高一数学（理）试卷参考答案1.C2.C3.C4.A5.B6.B7.C8.C9.D 10.C 11.A 12.A13.7 14.（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞） 15. 201116.113210.解：A．x＜0时，y＜0，不成立；B．令sinx=t∈（0，1），则y=t+，y′=1﹣＜0，因此函数单调递减，∴y＞5，不成立． C．y=4，当且仅当x=0时取等号，成立．D．x∈（0，1）时，log3x，logx3＜0，不成立．故选：C．12.解：：∵函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），∴f（x+2）=f（x），即函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，又∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，∴a1=f（1）=1，∴数列{an}是首项为1、公比为的等比数列，∴Sn=∈．故选：A．15. 解：∵数列{an }满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，an =（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴an=．∴=2．∴数列{}的前n项的和Sn===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．16.解：∵2sin2=sinA，∴1﹣cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc ①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b•=3••c，即2b2﹣2c2=a2②，将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以c2，得﹣﹣3=0，③解③得=，所以=．故答案为：．17. 解：（1）∵a=4，c=3，cosB=18．∴由余弦定理可得：b===．………5分（2）∵a=4，c=3，cosB=．∴sinB===，∴S△ABC=acsinB==．…………10分18. 解：（1）∵不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，∴方程ax2+bx﹣1=0的两个根为﹣1和2，将两个根代入方程中得，解得：a=，b=﹣；………………6分（2）由（1）得不等式为x2﹣x﹣＞0，即2x2﹣x﹣1＞0，∵△=（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）=9＞0，∴方程2x2﹣x﹣1=0的两个实数根为：x1=﹣，x2=1；因而不等式x2﹣x﹣＞0的解集是{x|x＜﹣或x＞1}．…………12分19.解：（Ⅰ）由题设知公差d，d≠0，由a1=1，且a1，a3，a9成等比数列，则=，解得：d=1或d=0（舍去），an =a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，故{an }的通项an=n；……………………6分（Ⅱ）由题意知2n a=2n，由等比数列前n项和公式得Sn=2+22+23+…+2n==2n+1﹣2，数列{2n a}的前n项和S n=2n+1﹣2．…………12分20. 解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，有，…………………2分整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．…………………4分∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．…………………5分（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，…………………7分等价于x＞25时，有解，…………………9分∵（当且仅当x=30时，等号成立），∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元…………………11分∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．…………………12分21.解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．…………6分（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．…………12分22.解：（1）∵数列{an }中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1，其中n≥2，n∈N*，∴（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）=1（n≥2，n∈N*，），∴a2﹣a1=1，∴数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列，∴an=n+1；…………4分（2）∵an=n+1；∴bn =an•2﹣n=（n+1）2﹣n，∴Tn=2×+3×+...+n+（n+1） (1)=2×+3×+...+n+（n+1） (2)（1）﹣（2）得： Tn=1++…+﹣（n+1），∴Tn=3﹣，……………………8分代入不等式得：3﹣＞2，即，设f（n）=﹣1，f（n+1）﹣f（n）=﹣＜0，∴f（n）在N+上单调递减，∵f（1）=1＞0，f（2）=＞0，f（3）=﹣＜0，∴当n=1，n=2时，f（n）＞0；当n≥3，f（n）＜0，所以n的取值范围为n≥3，且n∈N*．……………………12分。

数学试卷试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.) 1. 数列{}n a 是等差数列，23a =，59a =，则6S =（ ）． A ．12B ．24C ．36D ．722.若向量a v ，b v 满足()5a a b ⋅-=vv v ，||2a =v ，1b =v ，则向量a v ，b v 的夹角为（ ）A ．6π B ．3πC ． 23πD ． 56π3.在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于 （ ）A ．6πB ．3πC ．3π或23πD ．6π或56π4. 在ABC V 中，12BD DC =u u u r u u u r，则AD u u u r =（ ）A ．1344AB AC +u u u r u u u r B ．2133AB AC +u u u r u u u r C ．1233AB AC +u u u r u u u rD ．2133AB AC -u u ur u u u r5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去378里外的地方，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第四天走了（ ） A. 96里B. 24里C. 192 里D. 48里6. 已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2583b b b π++=，则4637sin1b b a a +-的值是（ ）A.12 B.12-D.-7. 钝角三角形ABC 2AB =，3BC =，则AC = ( )B.C.D.8.已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a B c =，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形9.如图，已知等腰ABC V 中，3AB AC ==，4BC =，点P 是边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r( )A ．为定值10B ．为定值6C ．最大值为18D ．与P 的位置有关（第9题图）10.在ABC V 中，三边长可以组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( ) A ．1516 B ．153 C ．154D ．15311.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15o 、北偏东45o 方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60o 方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里.A ．56B ．106C ．102D ．202（第11题图）12.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1211n n n n a a n +++=⋅-，20211001S =，则2a 的值为（ ）A ．9-B ．8C ．1019-D ．1018 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上.)13.已知a r ，b r 均为单位向量，它们的夹角为23π，则a b -=r r ．14.在数列{}n a 中，13a =，212n n n a a +=+，则n a =15.设等比数列{}n a 满足1330a a +=，2410a a +=，则123n a a a a ⋅⋅⋅……的最大值为 16. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3c =且(sin sin )(3)()sin C B b a b A -+=+，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-r ，()3,4b =r.（Ⅰ）若()()3a b a kb -+r r r r∥，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥r r r，求实数t 的值.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，1=10a -，公差0d ≠，且245,,a a a 是等比数列； （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）求数列{}||n a 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，90ADC ∠=o，45A ∠=o，1AB =，3BD =． （Ⅰ）求cos ADB ∠；（Ⅱ）若DC =，求BC ．20.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =-，公差d 为整数，且4n S S ≥； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos sin sin cos sin A A B C B +=+.（Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）若c =ABC ∆的面积是，求ABC ∆的周长.22.（本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：24a =，21444n n a S n +=++，n N *∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1nn n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n N *∈，均有2828n T m n n ⋅≥-恒成立，求实数m 的取值范围．高一数学试题答案14. n 453+15. 729 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分 17.（本题10分）（Ⅰ）()1,2a =-rQ ，()3,4b =r ，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-r r ， ()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-r r，()()3//a b a kb -+r r r r Q ，()10310k ∴-+=，解得13k =-……………………………5分（Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---r r，()a tb b -⊥r r r Q ，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=r r r，解得15t =-. ……………………………………………………………………………10分18.（本小题满分12分） （Ⅰ）由题意：()()()210104103d d d -+-+=-+ 计算得：()20d =或0舍去所以212n a n =-；………………………………………………………6分（Ⅱ）当16n ≤≤时，0n a ≤，即有211n n T S n n =-=-； 当7n ≥时，0n a >，6621160n n T S S S n n =--=-+，即有2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．………………………………………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，31sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 6ADB ∠==．…………6分（Ⅱ）由题设及(1)知，cos sin 6BDC ADB ∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠92236=+-⨯9=． 所以3BC =．………………………………………………………………12分20.（本小题满分12分）(1) 由 等差数列{}n a 的前n 项n S 满足4n S S ≥，170a =-<， 得 a 4≤0，a 5≥0，于是-7＋3d ≤0，-7＋4d ≥0， 解得74≤d ≤73，因为公差d 为整数， 因此d ＝2.故数列{a n }的通项公式为29n a n =- ……………………………………6分 (2) ()()1111292722927n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭,于是12n n T b b b =+++……1111111275532927n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪------⎝⎭…… ()1112727727nn n ⎛⎫=--=- ⎪--⎝⎭ ∴n T =()727nn --…………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）（1）由222cos sin sin cos sin A A B C B +=+，得21sin sin sin A A B -+221sin sin C B =-+，即2sin sin sin C A B +22sin sin A B =+. 由正弦定理可得222a b c ab +-=， 由余弦定理可得cos 12C =， ∵C ∈（0，π）， 所以3C π=. ………………………………………………6分（2）1sin 2ABC S ab C ∆===20ab =，因为222c a b ab =+-，c =2241a b +=，()2222414081a b a ab b +=++=+=，9a b +=所以ABC ∆的周长为9……………………………………………………12分22.（本小题满分12分）（1）因为21444n n a S n +=++，所以()214414n n a S n -=+-+（n ≥2），两式相减得：a n +12﹣a n 2＝4a n +4，即a n +12＝（a n +2）2（n ≥2）， 又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n +1＝a n +2（n ≥2）， 又因为a 2＝4，16＝a 12+4+4，可得a 1＝2，所以当n ＝1时上式成立，即数列{a n }是首项为1、公差为2的等差数列， 所以a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ；……………………………………………………4分 （2）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以b n ＝2n；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅…………………………………………………………………………8分2828n T m n n ⋅≥-恒成立，等价于()2247n n m n n +⋅≥-恒成立，所以272nn m -≥恒成立， 设k n ＝272n n -，则k n +1﹣k n ＝1252n n +-﹣272nn -＝1922n n +-， 所以当n ≤4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ， 所以123456k k k k k k <<<<>>……所以当k n 的最大值为k 5＝332，故m ≥332， 即实数m 的取值范围是：[332，+∞）．…………………………………………12分。

2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在数列中，，，则的值为A. B. C. 5 D. 以上都不对2.向量，，若的夹角为钝角，则t的范围是A. B.C. 且D.3.在中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，若，则的形状为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形4.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”“钱”是古代的一种重量单位这个问题中，甲所得为A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱5.已知平面向量是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为A. 1B.C. 2D.6.已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，若，则的外接圆面积为A. B. C. D.7.已知数列中，且单调递增，则k的取值范围是A. B. C. D.8.在中，已知，，，如果有两组解，则x的取值范围是A. B. C. D.9.一艘海轮从A处出发，以每小时60海里的速度沿南偏东的方向直线航行，20分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察此灯塔，其方向是南偏东，在B处观察，灯塔在其正东方向，那么两点间的距离是A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里10.，，，点C在内，且，设、，则等于A. B. 3 C. D.11.若等差数列的公差，前n项和为，若，都有，则A. B. C. D.12.给定两个单位向量，，且，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，，则的最小值为A. B. C. D. 0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.下列命题中正确的有______填序号两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若，则；若，则A，B，C，D四点构成平行四边形；在平行四边形ABCD中，一定有；若，，则；若，，则14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，若的面积为，则______．15.设是数列的前n项和，且，，______．16.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，的面积为，则当的值最小时的周长为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知，，是同一平面内的三个向量，其中．若，且，求的坐标；若，且与垂直，求与的夹角．18.在中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且．求角B的大小；若，，求的面积．19.设为等差数列的前n项和，，．求数列的通项公式：求的最大值及此时n的值．20.已知向量，且．求及；若，求的最大值和最小值．21.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．求角A的大小；若，求的取值范围．22.已知数列各项均为正数，为其前n项的和，且，，成等差数列．写出、、的值，并猜想数列的通项公式；证明中的猜想；设，为数列的前n项和，求．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，，，，，，则，即，即数列是周期为3的周期数列，，，故选：B．根据数列递推关系，求出数列具备周期性，利用数列的周期性进行求解即可．本题主要考查递推数列的应用，利用条件推出数列的周期性是解决本题的关键．2.答案：C解析：解：；与的夹角为钝角；，且不平行；；，且．故选：C．可先求出，根据，的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出t的范围即可．考查向量数量积的计算公式，向量夹角的概念，向量坐标的数量积运算，以及平行向量的坐标关系．3.答案：D解析：【分析】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用，属于基础题．由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得，从而可得或或舍去．【解答】解：，，由正弦定理得：，，，，或，或或舍去，故选：D．4.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的应用，是基础题．依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，由题意求得，结合，求得，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，则由题意可知，，即，又，，则．故选B．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，考查向量垂直，属基础题．先根据向量垂直，得到，再根据投影公式即可求出．【解答】解：平面向量是非零向量，，，，即，即，向量在向量方向上的投影为．故选B．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用余弦定理可求cos B的值，结合B的范围可求B的值，利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径即可计算得解的外接圆面积．【解答】解：，若，，可得：，，由，可得：，设的外接圆半径为R，由正弦定理可得：，解得，可得的外接圆面积为．故选D．7.答案：B解析：解：数列中，且单调递增对于恒成立即对于恒成立对于恒成立，即故选：B．该题需注意变量n的特殊性，根据函数的单调性可得对于恒成立，建立关系式，解之即可求出k的取值范围．本题主要考查了数列的性质，本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解，注意n的取值是解题的关键，属于易错题．8.答案：A解析：解：在中，当时，三角形ABC有两组解，所以，，，如果三角形ABC有两组解，那么x应满足，即．故选：A．有两组解，所以，代入数据，求出x的范围．本题是基础题，考查三角形的应用，计算能力，注意基本知识的应用，是解题的关键，常考题型．9.答案：C解析：解：根据题意画出图形，如图所示；易知在中，海里，，，根据正弦定理得，解得海里．故选：C．由题意画出图形，利用正弦定理直接求解即可．本题考查了正弦定理的实际应用问题，关键是转化出条件，是基础题．10.答案：B解析：解：法一：如图所示：，设，则．．法二：如图所示，建立直角坐标系．则，，，，．故选：B．将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错．对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．11.答案：D解析：解：等差数列的公差，，都有，，，．故选：D．由，都有，可得，，，再根据等差数列的性质即可判断．本题考查等差数列的性质、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：B解析：解：给定两个单位向量，，且，则，建立如图所示的坐标系，则，，即，设，，则，因为，则，，所以，因为，，，，所以有最小值．故选：B．建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值求解，可得答案．本题考查平面向量基本定理，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．13.答案：解析：解：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故不正确；，由于与方向不确定，所以与不一定相等，故不正确；，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以不正确；在平行四边形ABCD中，，，所以一定有，所以正确；显然正确；零向量与任一向量平行，故，时，若，则与不一定平行，故不正确．故答案为：．根据向量的相等，向量共线的概念，可得答案．本题考查向量相等，向量共线的概念，关键在于从向量的方向和向量的大小两个方面考虑，对于向量共线，注意零向量与任何向量共线，属于基础题．14.答案：解析：解：由余弦定理可得，的面积为，又因为，所以，由可得．故答案为：由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解．本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：解析：解：，，，数列是首项为1，公差为1的等差数列，，，，故答案为：．利用数列的递推式得到，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，从而求出结果．本题主要考查了数列的递推式，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查当三角形两边和最小时三角形周长的求法，考查余弦定理、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．推导出，由余弦定理求出，由的面积为，求出，当且仅当时，取最小值，由此能求出当的值最小时的周长．【解答】解：在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，因为，由正弦定理可得：，，，解得，的面积为，，解得，，由对勾函数的性质可知，当时，，此时，当的值最小时的周长为：．故答案为：．17.答案：解：设，，，，解得或，或．与垂直，，即，，，与的夹角为．解析：设，根据条件列方程组解出即可；令求出，代入夹角公式计算．本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量平行与垂直，属于中档题．18.答案：解：由正弦定理得：，，，将上式代入得，即，即，，，，即，，，为三角形的内角，．将，，代入余弦定理得：，即即，，．解析：根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sin A不为0，得到cos B的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；由中得到角B的度数求出sin B和cos B的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，及cos B的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出的面积，把ac与sin B的值代入即可求出值．本题主要考查正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．属于中档题．19.答案：解：设的公差为d，由可得，由，可得，所以，所以；由，解得，所以当时，有最大值，此时最大值为．解析：根据已知条件列出关于，d的方程组，求解出，d即可求出通项公式；利用对应为递减等差数列，根据确定出n的取值，从而的最大值以及取最大值时n的值都可求．本题考查等差数列通项公式以及前n项和的综合应用，难度较易．其中第二问还可以先将的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出的最大值以及取最大值时n的值，属于基础题．20.答案：解：，，，，．由知：，，，，，解析：利用已知条件通过向量的数量积化简求解，通过向量的模化简求解即可．利用的结果，利用两角和与差的三角函数化简，通过x的范围求解相位的范围，借助三角函数的有界性求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，两角和与差的三角函数以及三角函数的有界性的应用，考查计算能力．21.答案：解：，，，，B，C为锐角，可得：，，，可得：，又，可得：．当时，，由题意得，．由，得，，，为锐角三角形，，，，的取值范围是．解析：利用三角函数恒等变换的应用可求，结合角的范围及三角形内角和定理即可求出角A的大小．先求得，根据B、C都是锐角求出B的范围，由正弦定理得到，，根据及B的范围，利用正弦函数的性质即可得到的范围．本题考查三角函数恒等变换的应用及正弦定理在解三角形中的综合应用，其中判断的取值范围是本题的难点，属于中档题．22.答案：解：依题意，由，，成等差数列，可得．当时，，解得舍去，或，当时，，解得舍去，或，当时，，解得舍去，或，，，，猜想：数列的通项公式，．证明：当时，满足猜想，当时，由，可得，化简整理，得，，则，，即，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，即猜想成立．解：由知，，故数列是以8为首项，为公差的等差数列．令，，即，解得，令，，即，解得，当时，；当时，，当时，，当时，，综上所述，可得．解析：本题第题由，，成等差数列，可得，然后依次将、2、3代入表达式进行计算可得、、的值，并由此可猜想出数列的通项公式；第题可应用公式证明中的猜想；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式并进行转化可发现数列是以8为首项，为公差的等差数列，然后对数列的正负性进行分析可得数列的通项公式，即当时，，；当时，，然后根据分和两种情况分别求和，根据等差数列的求和公式可计算出的表达式，最后综合可得结果．本题主要考查运用归纳猜想再加以证明的方法求得数列的通项公式，以及绝对值数列的求和问题．考查了转化与化归思想，方程思想，分类讨论思想，等差数列的判别及求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属综合性较强的中档题．。

湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中2019-2020学年高一数学下学期期中联考试题注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至4页.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知OB 是平行四边形OABC 的一条对角线，O 为坐标原点，(2,4)OA =，(1,3)OB =，若点E 满足 3OC EC =，则点E 的坐标为11.(,)33A -- 11.(,)33B 22C.(,33--） 22.(,)33D2．已知数列{}n a 和{}n b 都是等差数列，若22443,5,a b a b +=+=则77a b +等于 .7A .8B .9C .10D 3．设4a b ⋅=,若a 在b 方向上的投影为23, 且b 在a 方向上的投影为3, 则a 和b 的夹角等于.3A π.6B π2.3C π 2.33D ππ或4.设a ＜b ＜0，c ＞0，则下列不等式中不成立的是.c c A a b >B > ..C a c bc >-D.c c a b a >- 5．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且1325++=n n T S n n ，则99b a的值为 17.52A 37.52B 67.52C 87.52D 6．ABC ∆中，1,a c =tan 2,tan B a cC c-=则角A 为.2A π.3B π.4C π.6D π7.当4a <时，关于x 的不等式22(21)x ax -<的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是 2549.,916A ⎛⎤⎥⎝⎦ 11.,42B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 57.,34C ⎛⎫⎪⎝⎭().3,4D 8．已知,0a b >，1a b +=，则12211a b +++的最小值是 9.5A 11.6B 7.5C.15D + 9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为12，则ab 的最小值为 1.2A 1.3B 1.6C.3D10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10100,a >100910100,a a +<则满足10n n S S +<的正整数n 为.2017A .2018B .2019C .2020D11.,P Q 为三角形ABC 中不同两点,若PA PB PC AB ++=,350QA QB QC ++=,则:PABQABSS为1.3A 5.7B 3.5C 7.9D12．已知G 点为ABC ∆的重心，设ABC ∆的内角,,A B C 的对边为,,a b c 且满足向量BG CG ⊥，若tan sin a A b C λ=⋅，则实数λ=.2A .3B 2.3C 1.2D第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图所示，为了测量,A B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，,A B 分别在D 处的北偏西015、北偏东045方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西060方向，则,A B 两处岛屿间的距离为__________海里．14．若{}n a 是正项递增等比数列，n T 表示其前n 项之积，且1020T T =，则当n T 取最小值时，n 的值为 .15.已知ABC ∆中，点D 满足20BD CD +=，过D 的直线l 与直线AB ，AC 分别交于点,E F ，AE AB λ=，AF AC μ=.若0,0,λμ>>则λμ+的最小值为________．16．已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，8b =，且223cos 5ac B a b bc =-+，O 为ABC ∆内一点，且满足0OA OB OC ++=030,BAO ∠=则OA =__________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分10分）已知平面内三个向量：(3,2),(1,2),(4,1).a b c ==-= （1）若()(2),a kc b a +-求实数k 的值；（2）设(,),d x y =且满足()(),a b d c +⊥-5d c -=，求.d18.(本小题满分12分）在ABC ∆中，,2,332sin==∠AB ABC 点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD ,（1）求ABC ∠cos ；（2）求BC 和AC 的长.19.(本小题满分12分）已知函数2()2f x ax bx a =+-+.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集是(1,3)-，求实数,a b 的值； (2)若2,b =0,a ≥解关于x 的不等式()0.f x >20.(本小题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，385626,168,b b b b +==设数列{}n a 满足23123222...22.n b n n a a a a ++++=（1）求数列{}n b 的通项； （2）求数列{}n a 的前n 项和.n S21.(本小题满分12分）在锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且24sin cos 3)sin 33A A B C A +=+(1)求A 的大小；(2)若2b =，求ABC ∆面积的取值范围．22．(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，数列{}n b 满足112b a =，且11n n n b a b n++=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若11n n n b c a +=-，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.数学参考答案：选择题： 1-5 C B A D D 6-10 C A A B B 11-12 C D 填空题：13．206 14．15 15.3＋223 16．6415解答题：17.(本小题满分10分）已知平面内三个向量：(3,2),(1,2),(4,1).a b c ==-= （1）若()(2),a kc b a +-求实数k 的值；（2）设(,),d x y =且满足()(),a b d c +⊥-5d c -=，求.d （1）(34,2)a kc k k +=++，2(5,2)b a -=-，()(2),a kc b a +-5(2)2(34)k k -+=+得1613k =-；（5分） （2）()(),a b d c +⊥- 5d c -= 2224)4(1)06202(4)(1)5x y x x y y x y -+-===⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+-=⎩⎩⎩（或 或.（10分）18.(本小题满分12分）在ABC ∆中，,2,332sin==∠AB ABC 点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD ,（1）求ABC ∠cos ； （2）求BC 和AC 的长.试题解析：（1）3133212sin 21cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=∠-=∠ABC ABC （4分）(2）设bDC a BC ==,则bAC b AD 3,2==在ABC∆中，ABC COS BC AB BC AB AC ∠⋅⋅-+=2222,即,31224922⨯⨯⨯-+=a a b a a b 344922-+=①（6分） 在ABC ∆中，bb BDA 2334244316cos 2⨯⨯-+=∠，由0cos cos =∠+∠BDA BDC得6322-=a b …②（10分）由①、②解得1,3==b a ，所以3,3BC AC ==（12分） 19.(本小题满分12分）已知函数2()2f x ax bx a =+-+.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集是(1,3)-，求实数,a b 的值； (2)若2,b =0,a ≥解关于x 的不等式()0.f x >解：(1)∵不等式f (x )＞0的解集是(－1，3)，∴－1，3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两根，∴可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －a ＋2＝0，9a ＋3b －a ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.（5分）(2)当b ＝2时，f (x )＝ax 2＋2x －a ＋2＝(x ＋1)(ax －a ＋2)， ①当a ＝0时，f (x )＞0，即2x ＋2＞0，∴x ＞－1（6分）②a ＞0，∴(x ＋1)(ax －a ＋2)＞0⇔(x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a ＞0，（7分） (ⅰ)当－1＝a －2a，即a ＝1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}；（8分） (ⅱ)当－1＞a －2a ，即0＜a ＜1时，解集为{x |x ＜a －2a或x ＞－1}；（10分） (ⅲ)当－1＜a －2a ，即a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞a －2a .（12分） 20. (本小题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，385626,168,b b b b +==设数列{}n a 满23123222...22.nb n n a a a a ++++=（1）求数列{}n b 的通项；（2）求数列{}n a 的前n 项和.n S（1）设的公差为，∵为单调递增的等差数列，∴且由得解得（4分）∴，，∴（6分）（2）由……① 得……② 得，∴，（9分）又∵不符合上式，∴（10分）当时，∵符合上式，∴（12分）21.(本小题满分12分）在锐角三角形ABC ,中,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且24sin cos 3)sin 33A A B C A +=+(1)求A 的大小；(2)若2b =，求ABC ∆面积的取值范围．解：(1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(B ＋C )＝－cos A ①，∵3A ＝2A ＋A ，∴sin 3A ＝sin(2A ＋A )＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ②，（2分）又sin 2A ＝2sin A cos A ③，将①②③代入已知，得2sin 2A cos A ＋3cos A ＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ＋3， 整理得sin A ＋3cos A ＝3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32，（5分）又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＋π3＝2π3，即A ＝π3.（6分）(2)由(1)得B ＋C ＝2π3，∴C ＝2π3－B ，∵△ABC 为锐角三角形，∴2π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，解得B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，（8分）在△ABC 中，由正弦定理得2sin B ＝c sin C ，∴c ＝2sin Csin B＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B sin B＝3tan B＋1，（10分）又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴1tan B ∈(0，3)，∴c ∈(1，4)，∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32c ，∴S△ABC∈⎝⎛⎭⎪⎫32，23.（12分） 22．(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，数列{}n b 满足112b a =，且11n n n b a b n++=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若11n n n b c a +=-，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.（1）由已知可得111a S ==.当2n ≥时，2n S n =，21(1)n S n -=-，所以121n n n a S S n -=-=-.显然11a =也满足上式，所以21n a n =-.（2分） 因为11n n n b a b n ++=，所以12112n n b n b n+-+==.又1122b a ==，所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列.所以2nn b =.（4分）（2）由（1）可得112212n n n n n b c a n n -+===-，所以112n n n c -=.所以21231222n n nT -=++++， 所以23111231222222n n nn nT --=+++++， 两式作差，得231111111222222n n n n T -=+++++-1122212212n n nn n -+=-=--所以1242n n n T -+=-. （8分） 不等式()112n n n n T λ--<+，化为()21142nn λ--<-.当n 为偶数时，则2142n λ-<-.因为数列2142n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递增，所以222min 1144322n --⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.所以3λ<.当n 为奇数时，即2142n λ--<-，即2142n λ->-.因为2142n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递减，所以212max 1144222n --⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.所以2λ>-.综上可得：实数λ的取值范围是()2,3-.（12分）附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知向量a⃗=(1，−1)，b⃗⃗=(x，3)且a⃗⊥b⃗⃗，则|a⃗+b⃗⃗|的值为（）A. √2B. √7C. 2√2D. 2√52.（单选题，5分）设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A.M＞NB.M≥NC.M＜ND.M≤N3.（单选题，5分）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'=1，那么原三角形ABO面积是（）A. 12B. √22C. √2D. 2√24.（单选题，5分）已知等比数列{a n}中，a5a11=3a8，数列{b n}是等差数列，且b6=a8，则b4+b8=（）A.3B.6C.9D.125.（单选题，5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=√3c，a=1，b=√3，则c=（）2cosCA. √6C. √2D. √36.（单选题，5分）《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A ，B ，C 三人分配奖金的衰分比为10%，若A 分得奖金1000元，则B ，C 所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（ ）A.20%，12800元B.10%，12800元C.20%，10240元D.10%，10240元7.（单选题，5分）若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（ ）A.1：2B.1： √3C.1： √5D. √3 ：28.（单选题，5分）在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=（ ） A. −54B.- 43C.- 45D.- 349.（单选题，5分）若正数a ，b 满足a+b=2，则 1a+1 + 4b+1 的最小值是（ ）A.1B. 94C.9D.1610.（单选题，5分）对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数．已知正项数列{a n }满足 S n =12(a n +1a n) ，n∈N *，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则[S 1]+[S 2]+…+[S 40]=（ ） A.135C.149D.15511.（单选题，5分）已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是∠APB 角的平分线，I 为PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗⃗ = BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| + AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|）（λ＞0）， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4 ， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=10 ，则 BI ⃗⃗⃗⃗⃗BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的值为（ ） A.2B.3C.4D.512.（单选题，5分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n+1+a n =2n+3（n∈N *）且S n =1300，若a 2＜3，则n 的最大值为（ ）A.49B.50C.51D.5213.（填空题，5分）设a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列不等式正确的是___ ．（仅填写正确不等式的序号）① 1a ＜1b ； ② ac 2＜bc 2； ③ b a ＞a b ； ④ b a ＜a b ； ⑤ 1a 2＜1b 214.（填空题，5分）已知向量 a ⃗，b ⃗⃗ 是平面内的一组基底，若 m ⃗⃗⃗=xa ⃗+yb⃗⃗ ，则称有序实数对（x ，y ）为向量 m ⃗⃗⃗ 在基底 a ⃗，b ⃗⃗ 下的坐标．给定一个平面向量 p ⃗ ，已知 p ⃗ 在基底 a ⃗，b⃗⃗ 下的坐标为（1，2），那么 p ⃗ 在基底 a ⃗−b ⃗⃗ ， a ⃗+b⃗⃗ 下的坐标为___ ． 15.（填空题，5分）已知函数 f (x )=x e 1+x e （e 是自然对数的底数），设 a n ={f (n )，n ≤2020，f (14041−n )，n ＞2020，，n∈N *，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4039的值是___ ． 16.（填空题，5分）如图，在平面四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠C=75°，BC=2，则CD 的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）已知向量x⃗=ka⃗−3b⃗⃗和y⃗=a⃗+b⃗⃗，其中a⃗=(−1，3)，b⃗⃗=(4，2)，k∈R．（1）当k为何值时，有x⃗、y⃗平行；（2）若向量x⃗与y⃗的夹角为钝角，求实数k的取值范围．18.（问答题，12分）在数列{a n}，{b n}中，a1=b1=1，a n+1=4b n-a n+2n-1，b n+1=4a n−b n−2n+1，n∈N∗．等差数列{c n}的前两项依次为a2，b3．（1）求{c n}的通项公式；（2）求数列{（a n+b n）c n}的前n项和S n．19.（问答题，12分）如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶100√3m后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA=θ，经计算，tanθ=2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶之间的距离．20.（问答题，12分）已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，R（sinA+sinB）=1（其中R为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S=c2-（a-b）2．（1）求tanC的值；（2）求△ABC的面积S的最大值．21.（问答题，12分）如图，在△ABC 中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |；（2）已知点D 是AB 上一点，满足 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是边CB 上一点，满足 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ① 当λ= 12时，求 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ② 是否存在非零实数λ，使得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．22.（问答题，12分）已知数列{a n }满足 13a n ≤a n+1≤3a n ，n∈N *，a 1=1．（1）若a 2=3，a 3=x ，a 4=6，求x 的取值范围；（2）若{a n }是公比为q 的等比数列，S n =a 1+a 2+…+a n ， 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，n∈N *，求q 的取值范围；（3）若a 1，a 2，…，a k 成等差数列，且a 1+a 2+…+a k =2020，求正整数k 的最大值．2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知向量a⃗=(1，−1)，b⃗⃗=(x，3)且a⃗⊥b⃗⃗，则|a⃗+b⃗⃗|的值为（）A. √2B. √7C. 2√2D. 2√5【正确答案】：D【解析】：根据a⃗⊥b⃗⃗即可得出a⃗•b⃗⃗=0，从而得出x=3，从而可求出a⃗+b⃗⃗的坐标，进而可求出|a⃗+b⃗⃗|的值．【解答】：解：∵ a⃗⊥b⃗⃗，∴ a⃗•b⃗⃗=x−3=0，∴x=3，b⃗⃗=(3，3)，a⃗+b⃗⃗=(4，2)，∴ |a⃗+b⃗⃗|=√20=2√5．故选：D．【点评】：本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积和加法的坐标运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A.M＞NB.M≥NC.M＜ND.M≤N【正确答案】：A【解析】：比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．【解答】：解：∵M-N=2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．【点评】：本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b＜0时，a＜b．3.（单选题，5分）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'=1，那么原三角形ABO面积是（）A. 12B. √22C. √2D. 2√2【正确答案】：B【解析】：由斜二测直观图还原原图形，得出△AOB是直角三角形，求出两直角边长，再计算三角形的面积．【解答】：解：由斜二测直观图还原原图形如图所示，因为边O′B′在x′轴上，所以在原图形中对应的边应在x轴上，且长度不变；O′A′在y′轴上，所以在原图形中对应的边应在y轴上，且长度增大到2倍；因为O′A′=1，所以O′B′= √22，所以OA=2，OB= √22；所以△AOB的面积为S△ABC= 12 ×OB×OA= 12× √22×2= √22．故选：B．【点评】：本题考查了斜二测画直观图的与应用问题，运用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图时，在原坐标系下平行于坐标轴或在坐标轴上的线段在新系下仍然平行于坐标轴或在坐标轴上，平行于x轴或在x轴上的长度不变，平行于y轴或在y轴上的，长度变为原来的一半，该类问题有个常用结论，即原平面图形的面积和其直观图的面积比为 2 √2，是基础题．4.（单选题，5分）已知等比数列{a n}中，a5a11=3a8，数列{b n}是等差数列，且b6=a8，则b4+b8=（）A.3B.6C.9D.12【正确答案】：B【解析】：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质结合已知求得a8=3，再由数列{b n}是等差数列，利用等差数列的性质可得b4+b8=2b6=2a8=6．【解答】：解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得a5a11= a82，又a5a11=3a8，∴ a82=3a8，∵a8≠0，∴a8=3．又数列{b n}是等差数列，∴b4+b8=2b6=2a8=6．故选：B．【点评】：本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，是基础的计算题．5.（单选题，5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=√3c，a=1，b=√3，则c=（）2cosCA. √6B.1C. √2D. √3【正确答案】：B【解析】：利用正弦定理结合两角和的正弦函数化简已知条件，然后求cosC的值，根据余弦定理即可计算得解c的值．，【解答】：解：∵ acosB+bcosA=√3c2cosC，∴由正弦定理得：sinA•cosB+sinB•cosA= √3sinC2cosC∴sin（A+B）=sinC= √3sinC，2cosC∵A+B+C=π，A、B、C∈（0，π），∴sin（A+B）=sinC＞0，，∴2cosC= √3，即cosC= √32∵a=1，b= √3，∴由余弦定理可得：c= √a2+b2−2abcosC = 1+3−2×1×√3×√3=1．2故选：B．【点评】：本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．6.（单选题，5分）《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（）A.20%，12800元B.10%，12800元C.20%，10240元D.10%，10240元【正确答案】：A【解析】：本题可根据题意将问题甲、乙、丙、丁分配的奖金构建成一个等比数列，且公比q与“衰分比”的和为1，然后根据等比数列的性质计算出q的值，即可得到“衰分比”的值，以及计算出首项a1的值，再根据a1+a3=32800，可计算出丙所获得的奖金．【解答】：解：由题意，可知甲、乙、丙、丁分配的奖金构成等比数列，设此等比数列为{a n}，且公比为q，设甲、乙、丙、丁按照的“衰分比”的值为x，则x=1-q．依题意，a1+a2+a3+a4=59040，a1+a3=32800，则a2+a4=59040-32800=26240，∴q= a 2+a 4a 1+a 3 = 2624032800 =0.8， ∴“衰分比”的值x=1-0.8=0.2=20%，∵a 1+a 3=a 1+a 1q 2=a 1（1+q 2）=a 1（1+0.82）=1.64a 1=32800，∴a 1= 328001.64=20000， ∴a 3=a 1q 2=20000×0.82=12800，∴丙所获得的奖金为12800元．故选：A ．【点评】：本题主要考查根据实际问题构建数学模型的问题．考查了转化思想，等比数列的基本计算与性质应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．7.（单选题，5分）若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（ ）A.1：2B.1： √3C.1： √5D. √3 ：2【正确答案】：C【解析】：由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案．【解答】：解：若圆锥的高等于底面直径，则h=2r ，则母线l= √ℎ2+r 2 = √5 r ，而圆锥的底面面积为πr 2，圆锥的侧面积为πrl= √5 πr 2，故圆锥的底面积与侧面积之比为1： √5 ，故选：C ．【点评】：本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，难度不大，属于基础题．8.（单选题，5分）在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=（ ） A. −54B.- 43D.- 34【正确答案】：A【解析】：可设 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−(x 2+1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3x 2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而根据平面向量基本定理即可得出 {λ=−(x2+1)3x 2=34 ，解出λ即可．【解答】：解：如图，设 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则： BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = xAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x (AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= xAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+x 2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −(x 2+1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3x2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵ BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ {λ=−(x2+1)3x 2=34 ，解得 λ=−54 ．故选：A ．【点评】：本题考查了向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．9.（单选题，5分）若正数a ，b 满足a+b=2，则 1a+1 + 4b+1 的最小值是（ ） A.1C.9D.16【正确答案】：B【解析】：由题意可得（a+1）+（b+1）=4，可得 1a+1 + 4b+1 = 14 （ 1a+1 + 4b+1 ）[（a+1）+（b+1）]= 14 [5+ b+1a+1 + 4(a+1)b+1]，由基本不等式可得．【解答】：解：∵正数a ，b 满足a+b=2， ∴（a+1）+（b+1）=4∴ 1a+1 + 4b+1 = 14 （ 1a+1 + 4b+1 ）[（a+1）+（b+1）] = 14 [5+ b+1a+1 +4(a+1)b+1 ]≥ 14 （5+2 √b+1a+1•4(a+1)b+1 ）= 94当且仅当 b+1a+1 = 4(a+1)b+1即a= 13 且b= 53 时取等号．故选：B ．【点评】：本题考查基本不等式求最值，整体代换是解决问题的关键，属中档题． 10.（单选题，5分）对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数．已知正项数列{a n }满足 S n =12(a n +1a n) ，n∈N *，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则[S 1]+[S 2]+…+[S 40]=（ ）A.135B.141C.149D.155【正确答案】：D【解析】：求得数列的首项，由数列的递推式可得S n 2-S n-12=1，数列{S n 2}是首项为1，公差为1的等差数列，求得S n ，结合新定义分别求得各项的值，相加可得所求和．【解答】：解：由 S n =12(a n +1a n) ，令n=1，得a 1=S 1= 12 （a 1+ 1a 1），∵a n ＞0，得a 1=1．当n≥2时，S n = 12 （a n + 1a n）= 12 （S n -S n-1+ 1Sn −S n−1）， 即S n 2-S n-12=1，因此，数列{S n 2}是首项为1，公差为1的等差数列， ∴S n 2=n ，即S n = √n ，[S 1]=1，[S 2]=1，[S 3]=1，[S 4]=…=[S 8]=2，[S 9]=…=[S 15]=3， …，[S 36]=…=[S 40]=6，则[S 1]+[S 2]+…+[S 40]=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×5=155． 故选：D ．【点评】：本题考查数列的通项和求和的关系，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查新定义的理解和运用，以及化简运算能力，属于中档题．11.（单选题，5分）已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是∠APB 角的平分线，I 为PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗⃗ = BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|）（λ＞0）， |PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4 ， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=10 ，则 BI ⃗⃗⃗⃗⃗BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【正确答案】：B【解析】：利用角平分线的性质、三角形内切圆的性质、向量的运算性质即可得出．【解答】：解：∵ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=10 ，PC 是∠APB 角的平分线， 又满足 BI ⃗⃗⃗⃗⃗ = BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|）（λ＞0），即 AI ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ (AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) ， 所以I 在∠BAP 的角平分线上，由此得I 是△ABP 的内心，过I 作IH⊥AB 于H ，I 为圆心，IH 为半径，作△PAB 的内切圆，如图，分别切PA ，PB 于E 、F ，∵ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4 ， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=10 ， |BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = |BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 12(|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) = 12[|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−(|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|)] =3， 在直角三角形BIH 中，cos∠IBH= |BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BI⃗⃗⃗⃗⃗| ， 所以BI ⃗⃗⃗⃗⃗BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = |BI ⃗⃗⃗⃗⃗| cos∠IBH= |BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =3． 故选：B ．【点评】：本题主要考查向量运算、数量积及其几何意义、圆的切线长等，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．12.（单选题，5分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1+a n=2n+3（n∈N*）且S n=1300，若a2＜3，则n的最大值为（）A.49B.50C.51D.52【正确答案】：A【解析】：由题意可得数列{a n}中，每隔两项求和是首项为5，公差为4的等差数列，运用等差数列的求和公式，分别计算S48，S50，可判断n的最大值可能为49．再由数列{a n}中的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，结合等差数列的通项公式和已知a2＜3，即可判断．【解答】：解：a n+1+a n=2n+3（n∈N*），可得数列{a n}中，每隔两项求和是首项为5，公差为4的等差数列，×24×23×4=1224＜1300，则S48=5×24+ 12×25×24×4=1325＞1300，又S50=5×25+ 12则n的最大值可能为49．由a n+1+a n=2n+3（n∈N*），可得a n+2+a n+1=2n+5，两式相减可得a n+2-a n=2，可得数列{a n}中的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，若S49=1300，可得a49=1300-1224=76，由a2＜3，可得a1＞2，则a49=a1+2×24＞50，故n的最大值为49．故选：A．【点评】：本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于中档题．13.（填空题，5分）设a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列不等式正确的是___ ．（仅填写正确不等式的序号）① 1a ＜1b；② ac2＜bc2；③ ba＞ab；④ ba＜ab；⑤ 1a2＜1b2【正确答案】：[1] ④ ⑤【解析】：直接利用不等式的性质的应用，不等式的乘法的应用求出结果．【解答】：解：（1）由于a＜b＜0，所以b-a＞0，ab＞0，1ab＞0，所以b−aab ＞0，整理得1a−1b＞0，故1a＞1b，所以① 错误．（2）当c=0时，ac2=bc2，故② 错误．（3）由（1）知：0＞1a ＞1b，且a＜b＜0，所以−1b＞−1a＞0，-a＞-b＞0，则ab＞ba，故③错误④ 正确．（4）由（1）知：0＞1a ＞1b，且a＜b＜0，所以−1b＞−1a＞0，所以1b2＞1a2，故⑤ 正确．故答案为：④ ⑤【点评】：本题考查的知识要点：不等式性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.（填空题，5分）已知向量a⃗，b⃗⃗是平面内的一组基底，若m⃗⃗⃗=xa⃗+yb⃗⃗，则称有序实数对（x，y）为向量m⃗⃗⃗在基底a⃗，b⃗⃗下的坐标．给定一个平面向量p⃗，已知p⃗在基底a⃗，b⃗⃗下的坐标为（1，2），那么p⃗在基底a⃗−b⃗⃗，a⃗+b⃗⃗下的坐标为___ ．【正确答案】：[1]（−12，32）【解析】：根据定义，先将p⃗表示成a⃗+2b⃗⃗的形式，然后再利用整体思想将a⃗+2b⃗⃗用a⃗+b⃗⃗与a⃗−b⃗⃗整体表示，即可得到p⃗的新坐标．【解答】：解：由已知：p⃗ = (1，2)=a⃗+2b⃗⃗，∵ a⃗=(a⃗⃗+b⃗⃗)+(a⃗⃗−b⃗⃗)2，2b⃗⃗=(a⃗+b⃗⃗)−(a⃗−b⃗⃗)．∴ p⃗=32(a⃗+b⃗⃗)−12(a⃗−b⃗⃗)，所以p⃗在基底a⃗−b⃗⃗，a⃗+b⃗⃗下的坐标为（- 12，32）．故答案为：（−12，32）．【点评】：本题考查平面向量基本定理及新定义问题．能够准确理解新定义的含义是本题的关键．属于中档题．15.（填空题，5分）已知函数 f (x )=x e1+x e（e 是自然对数的底数），设 a n ={f (n )，n ≤2020，f (14041−n )，n ＞2020， ，n∈N *，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4039的值是___ ． 【正确答案】：[1]40392【解析】：根据题意，由函数的解析式分析可得f （ 1x ）= (1x )e 1+(1x )e = 11+x e ，且f （1）= 11+1 = 12 ，进而可得f （x ）+f （ 1x）=1，结合数列的通项公式可得S 4039=f （1）+f （2）+……+f （2020+f （ 12020 ）+f （ 12019 ）+……+f （ 12 ）=f （1）+[f （2）+f （ 12 ）]+[f （3）+f （ 13 ）]+……+f （2020）+f （ 12020 ），进而分析可得答案．【解答】：解：根据题意，函数 f (x )=x e1+x e，则f （ 1x ）= (1x )e 1+(1x )e = 11+x e ，且f （1）= 11+1 = 12 ，则有f （x ）+f （ 1x ）= x e 1+x e + 11+xe =1，又由 a n ={f (n )，n ≤2020，f (14041−n)，n ＞2020，则S 4039=f （1）+f （2）+……+f （2020+f （12020 ）+f （ 12019 ）+……+f （ 12） =f （1）+[f （2）+f （ 12 ）]+[f （3）+f （ 13 ）]+……+f （2020）+f （ 12020 ） = 12 +2019= 40392． 故答案为： 40392．【点评】：本题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析f （x ）+f （ 1x ）的值． 16.（填空题，5分）如图，在平面四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠C=75°，BC=2，则CD 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（ √6−√2，√6+√2 ）【解析】：直接利用构造三角形知识的应用和解三角形知识的应用及三角函数值的应用求出结果．【解答】：解：根据题意延长BA ，CD 交于点E ， 如图所示：则：在△ADE 中，∠ADE=105°，∠DAE=45°，∠E=30°， 所以：设AD= 12x ，DE= √22x ，AE= √6+√24x ，AB=m ， 由于BC=2， 所以（√6+√24x +m ）sin15°=1， 整理得：√6+√24x +m =√6+√2 ，所以0＜x ＜4， 由于CD=√6+√24 x+m- √22x = √6+√2−√22x 所以：CD 的取值范围是（ √6−√2，√6+√2 ）． 故答案为：（ √6−√2，√6+√2 ）【点评】：本题考查的知识要点：解三角形知识的应用，构造三角形知识的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17.（问答题，10分）已知向量 x ⃗=ka ⃗−3b ⃗⃗ 和 y ⃗=a ⃗+b ⃗⃗ ，其中 a ⃗=(−1，3) ， b ⃗⃗=(4，2) ，k∈R ．（1）当k 为何值时，有 x ⃗ 、 y ⃗ 平行；（2）若向量 x ⃗ 与 y ⃗ 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用向量的坐标运算求出x⃗和y⃗，进一步利用向量的共线的充要条件的应用求出结果．=−1除去，（2）利用向量的夹角为钝角的充要条件的应用x⃗•y⃗＜0，且cos＜x⃗，y⃗＞= x⃗•y⃗⃗|x⃗||y⃗⃗|求出参数k的取值范围．【解答】：解：（1）a⃗=(−1，3)，b⃗⃗=(4，2)，所以：x⃗=ka⃗−3b⃗⃗ =（-k，3k）-（12，6）=（-k-12，3k-6）．y⃗=a⃗+b⃗⃗ =（-1，3）+（4，2）=（3，5）．由于x⃗和y⃗共线，且方向相反时，所以5×（-k-12）-3×（3k-6）=0，解得k=-3．（2）向量x⃗与y⃗的夹角为钝角所以x⃗•y⃗＜0，即：3×（-k-12）+5×（3k-6）＜0，．解得k＜112由于x⃗和y⃗方向相反时，即利用（1）的结论，解得k=-3，即当k=-3时，x⃗和y⃗方向相反，此时不合题意．)．故实数k的取值范围(−∞，−3)∪(−3，112【点评】：本题考查的知识要点：向量的坐标运算的应用，向量共线的充要条件的应用，向量的夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.（问答题，12分）在数列{a n}，{b n}中，a1=b1=1，a n+1=4b n-a n+2n-1，b n+1=4a n−b n−2n+1，n∈N∗．等差数列{c n}的前两项依次为a2，b3．（1）求{c n}的通项公式；（2）求数列{（a n+b n）c n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：本题第（1）题先根据题干中的递推关系式分别计算出a2、b2、b3，然后设等差数列{c n}的公差为d，再根据c1=a2，d=b3-a2即可计算出等差数列{c n}的首项和公差，从而可得等差数列{c n}的通项公式；第（2）题先将题干中的两个递推关系式相加，化简整理可得a n+1+b n+1=3（a n+b n），即可发现数列{a n+b n}是以2为首项，3为公比的等比数列，计算出数列{a n+b n}的通项公式，再计算出数列{（a n+b n）c n}的通项公式，最后运用错位相减法可计算出前n项和S n．【解答】：解：（1）由题意，可知：a2=4b1-a1+2×1-1=4-1+2-1=4，b2=4a1-b1-2×1+1=4-1-2+1=2，则b3=4a2-b2-2×2+1=4×4-2-4+1=11，设等差数列{c n}的公差为d，则：c1=a2=4，d=b3-a2=11-4=7，故c n=4+7（n-1）=7n-3，n∈N*．（2）由题意，将a n+1=4b n-a n+2n-1与b n+1=4a n-b n-2n+1相加，可得：a n+1+b n+1=4b n-a n+2n-1+4a n-b n-2n+1=3（a n+b n），∵a1+b1=1+1=2，∴数列{a n+b n}是以2为首项，3为公比的等比数列，∴a n+b n=2•3n-1，∴（a n+b n）c n=2（7n-3）•3n-1，∴S n=（a1+b1）c1+（a2+b2）c2+（a3+b3）c3+…+（a n-1+b n-1）c n-1+（a n+b n）c n=2•4•1+2•11•31+2•18•32+…+2•（7n-10）•3n-2+2•（7n-3）•3n-1，则3S n=2•4•31+2•11•32+…+2•（7n-10）•3n-1+2•（7n-3）•3n，两式相减，可得：-2S n=2•4•1+2•7•31+2•7•32+…+2•7•3n-1-2•（7n-3）•3n=8+14•（31+32+…+3n-1）-2•（7n-3）•3n=8+14• 3−3n1−3-2•（7n-3）•3n=8+7（3n-3）-2•（7n-3）•3n=-（14n-13）•3n-13∴S n= 14n−132•3n+ 132．【点评】：本题主要考查数列由递推公式求通项公式，以及运用错位相减法计算前n项和问题．考查了转化与化归思想，等比数列的判别及求和公式的运用，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．19.（问答题，12分）如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶100√3m后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA=θ，经计算，tanθ=2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶之间的距离．【正确答案】：【解析】：在Rt△AMP中求得PM，连接QM，在△PQM中求得PQ，推出△PQM为等边三角形，得出QM；在Rt△AMQ中求得AQ，在Rt△BNQ中求得BQ，最后在△BQA中利用余弦定理求得BA．【解答】：解：在Rt△AMP中，∠APM=30°，AM=100，所以PM=100 √3；连接QM，在△PQM中，∠QPM=60°，又PQ=100 √3，所以△PQM为等边三角形，所以QM=100 √3；在Rt△AMQ中，由AQ2=AM2+QM2得AQ=200又在Rt△BNQ中，tanθ=2，BN=200，所以BQ=100 √5；=50000；在△BQA中，BA2=BQ2+AQ2-2BQ•AQcosθ=50000+40000-2×100 √5 ×200×√22+12解得BA=100 √5．所以A，B两山顶间的距离是100 √5 m．【点评】：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了分析问题与解决实际问题的能力．20.（问答题，12分）已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，R（sinA+sinB）=1（其中R为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S=c2-（a-b）2．（1）求tanC的值；（2）求△ABC的面积S的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理，将R（sinA+sinB）=1化为边长之间的关系，再根据面积S=c2-（a-b）2= 12absinC，推出C角；（2）利用余弦定理，结合基本不等式求解即可．【解答】：解：（1）∵ asinA =bsinB=2R，∴a=2RsinA，b=2RsinB．代入R（sinA+sinB）=1整理后得a+b=2．由面积S=c2-（a-b）2= 12absinC得c2−(a2+b2)=(12sinC−2)ab，两边同除以2ab得：cosC=1−14sinC，代入sin2C+cos2C=1得17 16sin2C=12sinC，因为sinC≠0，所以sinC=817．∴ cosC=1517，∴ tanC=815．（2）由（1）得ab≤(a+b2)2=1，当且仅当a=b=1时取等号．∴ S=12absinC=12×817ab≤417．所以面积的最大值为417．【点评】：本题主要考查了正余弦定理、面积公式，以及学生利用转化思想、函数与方程思想解决问题的能力，同时考查了学生的运算能力和逻辑推理等核心素养．属于中档题．21.（问答题，12分）如图，在△ABC 中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |；（2）已知点D 是AB 上一点，满足 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是边CB 上一点，满足 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ① 当λ= 12 时，求 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ② 是否存在非零实数λ，使得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）利用余弦定理求出AB 的长即得| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |；（2） ① λ= 12 时，D 、E 分别是BC ，AB 的中点，求出 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量积即可；② 假设存在非零实数λ，使得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用 CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示出 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0时的λ值即可．【解答】：解：（1）△ABC 中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，由余弦定理得，AB 2=CA 2+CB 2-2CA•CB•cos∠ACB=12+22-2×1×2×cos60°=3，∴AB= √3 ，即| AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √3 ； （2） ① λ= 12 时， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴D 、E 分别是BC ，AB 的中点，∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 12CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 （ CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）， ∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 12 CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• 12（ CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= 12 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 12 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 14 CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 14CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =- 12 ×12+ 12 ×1×2×cos120°+ 14 ×2×1×cos60°+ 14 ×22= 14 ；② 假设存在非零实数λ，使得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）， ∴ CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ（ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=λ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-λ） CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 又 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）+λ（- CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=（1-λ） CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴ AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（1-λ） CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 -λ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-λ）2 CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -（1-λ） CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =4λ（1-λ）-λ+（1-λ）2-（1-λ）=-3λ2+2λ=0，解得λ= 23 或λ=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ= 23 ，使得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．【点评】：本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．22.（问答题，12分）已知数列{a n }满足 13a n ≤a n+1≤3a n ，n∈N *，a 1=1．（1）若a 2=3，a 3=x ，a 4=6，求x 的取值范围；（2）若{a n }是公比为q 的等比数列，S n =a 1+a 2+…+a n ， 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，n∈N *，求q 的取值范围；（3）若a 1，a 2，…，a k 成等差数列，且a 1+a 2+…+a k =2020，求正整数k 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得 13 a 2≤a 3≤3a 2， 13 a 3≤a 4≤3a 3，将已知数据代入可得到x 的范围；（2）先求得a n =q n-1，由 13 a 1≤a 2≤3a 1，求出 13 ≤q≤3，对q 讨论求出S n ，分别代入 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，得到关于q 的不等式组，解不等式求出q 的范围；（3）设a 1，a 2，…，a k 成公差为d 的等差数列，由等差数列的通项公式可得关于d 的不等式，得到d 的最小值，再由等差数列的求和公式，解关于k 的不等式，可得k 的最大值．【解答】：解：（1）由题意可得 13 a 2≤a 3≤3a 2， 13 a 3≤a 4≤3a 3，又a 2=3，a 3=x ，a 4=6，即有1≤x≤9， 13 x≤6≤3x ，即2≤x≤18，可得2≤x≤9；（2）a n =q n-1，由 13 a 1≤a 2≤3a 1，可得 13 ≤q≤3，当q=1时，S n =n ， 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，即 13 n≤n+1≤3n ，成立；当1＜q≤3时，S n = q n −1q−1 ， 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，即13 • q n −1q−1 ≤ q n+1−1q−1 ≤3• q n −1q−1 ，即 13 ≤ q n+1−1q n −1 ≤3，可得 {3q n+1−q n −2≥0q n+1−3q n +2≤0，由q ＞1可得3q n+1-q n -2=q n （3q-1）-2＞2q n -2＞0， 对于不等式q n+1-3q n +2≤0，令n=1，可得q 2-3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q-3＜0，所以q n+1-3q n +2=q n （q-3）+2≤q （q-3）+2=（q-1）（q-2）≤0成立，所以1＜q≤2；当 13 ≤q ＜1时，S n = q n −1q−1 ， 13S n ≤S n+1 ≤3S n ，即 13 • 1−q n 1−q ≤ 1−q n+11−q ≤3• 1−q n 1−q， 可得 13 ≤ 1−q n+11−q n ≤3，所以 {3q n+1−q n −2≤0q n+1−3q n +2≥0， 因为3q-1＞0，q-3＜0，所以3q n+1-q n -2=q n （3q-1）-2＜2q n -2＜0， q n+1-3q n +2=q n （q-3）+2≥q （q-3）+2=（q-1）（q-2）＞0成立，所以当 13 ≤q ＜1时，不等式恒成立，综上所述，q 的取值范围是[ 13 ，2]；（3）设a 1，a 2，…，a k 成公差为d 的等差数列，由 13 a n ≤a n+1≤3a n ，且a 1=1，可得 13 [1+（n-1）d]≤1+nd≤3[1+（n-1）d]，n=1，2，…，k-1，即 {(2n +1)d ≥−2(2n −3)d ≥−2，n=1，2，…，k-1， 当n=1时，- 23 ≤d≤2，当n=2，3，…，k-1时，由−22n+1 ＞ −22n−3 ，可得d≥ −22n+1 ，所以d≥ −22k−1 ≥- 23 ， 所以2020=ka 1+ k (k−1)2 • −22k−1 ≥k+ k (k−1)2 • −22k−1， 即k 2-4040k+2020≤0，解得k≤4039，所以k的最大值为4039．【点评】：此题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式组的解法，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．。

2019-2020学年湖北省重点高中协作体高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. “是真命题”是“为真命题”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. 下图中属于棱柱的有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3. 已知函数f(x)=x 2+mx −1，若对于任意x ∈[m,m +1]，都有f(x)<0成立，则实数m 的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,12)C. (−1,0)D. (−√22,0)4. 下列命题中，正确的命题是( )A. 存在两条异面直线同时平行于同一个平面B. 若一个平面内两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行C. 底面是矩形的四棱柱是长方体D. 棱台的侧面都是等腰梯形5. cos50°(√3−tan10°)的值为( )A. 12B. √32C. 1D. 26. 已知函数f(x)=|lnx|，且f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2).在曲线y =f(x)上经过点P 1(x 1,f(x 1),P 2(x 2,f(x 2)的切线分别为l 1，l 2，11相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,2)C. (0,+∞)D. (l,+∞)7. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，过DD 1的中点作直线，使得与BD 1所成角为40°，且与平面A 1ACC 1所成角为50°，则的条数为( )A. 1B. 2C. 3D. 无数8.三棱锥A−BCD中，△ABC为等边三角形，AB=2√3，∠BDC=90°，二面角A−BC−D的大小为150°，则三棱锥A−BCD的外接球的表面积为()A. 7πB. 12πC. 16πD. 28π9.关于x的不等式1−x2x+6≥0的解集是()A. {x|x≤1}B. {x|x>−3}C. {x|−3<x≤1}D. {x|x<−3或x≥1}10.若△ABC的面积为15√34，AB=3，AC=5，且角A为钝角，边BC的中点为D，则AD长度为()A. √192B. √382C. 72D. 711.函数y=xcos x+sin x的图象大致为()．A. AB. BC. CD. D12.已知命题p：若θ是第二象限角，则sinθ(1−2cos2θ2)>0，则()A. 命题p的否命题为：若θ是第二象限角，则sinθ(1−2cos2θ2)<0B. 命题p的否命题为：若θ不是第二象限角，则sinθ(1−2cos2θ2)>0C. 命题p是假命题D. 命题p的逆命题是假命题二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.比较三个数a=√35, b=√7+√10, c=√3+√14的大小关系______.(按照从小到大的顺序)14.圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的求(如下图所示)，则球的半径是15.13.已知(n∈N∗)，，则_．16.如图，△ABC的外角平分线AD交外接圆于D，若DB=√3，则DC=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知关于x的不等式2log22x−5log2x+2≤0的解集为B．(1)求集合B；⋅log2(2x)的最大值与最小值．(2)若x∈B，求f(x)=log2x818.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF//AB，FG//BC，EG//AC，AB=2EF.若M是线段AD的中点，求证：GM//平面ABFE ．19. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足ccosB +bcosC =2acosC ．(1)求角C 的大小；(2)若c =2√3,S △ABC =2√3，求a ，b 的值．20. 心理学家通过研究和实验表明，学生在一节课45分钟内的注意力保持的程度指数f(t)与上课时间(分钟)之间近似满足：f(t)={−0.1t 2+2.6t +43,0<t ≤1059,10<t ≤16−2t +91,16<t ≤4011,40<t ≤45．若f(t)的值越大，表示学生的注意力越集中，按照上述结论，请回答以下问题： (Ⅰ)上课开始5分钟后和上课开始18分钟后比较，何时学生的注意力更集中？ (Ⅱ)上课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，可以持续多久？(Ⅲ)一道数学题，雷要讲解15分钟，且要求学生的注意力程度指数始终至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题？请说明理由．21. 如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点． (1)求证：PA//面BDE ； (2)求证：BD ⊥平面PAC ．22. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(sinx,−1)，n ⃗ =(√3,cosx)，且函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ． (1)若x ∈(0,π2)，且f(x)=23，求sin x 的值； (2)在锐角△ABC 中，a =√7，且△ABC 的面积为3√32，f(A +π6)=√73bsinC.求△ABC 的周长．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：当命题中只要有一个为真，则是真命题，而只有命题都为真时，才为真命题，则“是真命题”“为真命题”，“是真命题”“为真命题”，即“是真命题”是“为真命题”的必要非充分条件。