2018年高考数学(理)一轮复习课时训练：第六章 不等式

(时间：40分钟)1．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对 答案 B解析 本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立． 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n n 2＋3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2 D.13(k ＋1) 答案 B解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2，故选B.4．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·2…(2n －1)”(n ∈N ＋)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是( )A.12k ＋1 B.2k ＋3k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.1k＋答案 D解析 当n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)…2k ，当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)…2k (2k ＋1)(2k ＋2)，所以从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是k ＋k ＋k k ＋k ＋kk ＋k ＋＝k ＋1k ＋k ＋＝1k ＋，选D.5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋ (2)＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k项 答案 D解析 运用数学归纳法证明 1＋2＋3＋ (2)＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋ (2)＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)，左边表示的为2k项的和．当n ＝k ＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1项的和，增加了2k ＋1－2k＝2k项．6．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案1k ＋k ＋解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1k ＋k ＋，故填1k ＋k ＋.7．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n n ＋2(n ∈N *)的第三步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时的等式左边的差等于________．答案 3k ＋2解析 n ＝k ＋1比n ＝k 时左边变化的项为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2. 8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________________________________________________________________________.答案nn ＋1解析 由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34.猜想S n ＝nn ＋1.9．用数学归纳法证明：(3n ＋1)·7n－1(n ∈N *)能被9整除． 证明 ①当n ＝1时，(3×1＋1)×7－1＝27能被9整除，命题成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立， 即(3k ＋1)·7k－1能被9整除，则当n ＝k ＋1时， ·7k ＋1－1＝(3k ＋1)·7k ＋1－1＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k－1＋6(3k ＋1)·7k＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k－1＋9·(2k ＋3)·7k.由于(3k ＋1)·7k －1和9·(2k ＋3)·7k 都能被9整除，所以(3k ＋1)·7k－1＋9·(2k ＋3)·7k 能被9整除，即当n ＝k ＋1时，命题也成立，故(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．10．用数学归纳法证明不等式：2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.证明 ①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以结论成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋3k ＋＞k ＋1·2k ＋3k ＋＝2k ＋32k ＋1， 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋k ＋， 由基本不等式2k ＋32＝k ＋＋k ＋2≥k ＋k ＋成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立．所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知n ∈N *时，不等式2＋12·4＋14·…·2n ＋12n＞n ＋1成立．(时间：20分钟)11．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n n ＋2＝n 2＋n ＋22个区域．12．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除， 即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．13．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则a 3＝________，a 1·a 2·a 3·…·a 2015＝________.答案 －123解析 ①a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12.②求出a 4＝13，a 5＝2，可以发现a 5＝a 1，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2015＝a 1a 2a 3＝3. 14．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，左边＝a 1＝1， 右边＝21－120＝1，左边＝右边，结论成立．②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k， 这表明n ＝k ＋1时，结论成立， 由①②知猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)成立．。

基础巩固题组（建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x ）＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是（ ）A.f (x ）＝g (x ）B.f (x )＞g （x )C.f （x ）＜g （x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x ）－g （x ）＝x 2－2x ＋2＝（x －1）2＋1＞0⇒f （x )＞g （x )。

答案 B2。

已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ,③a ＞0＞b ，④a ＞b＞0，能推出1a ＜1b成立的有（ ) A.1个 B 。

2个 C 。

3个 D.4个解析 运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b,②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C 。

答案 C3。

（2017·宁波十校联考)若集合A ＝{x ｜3＋2x －x 2>0}，集合B ＝｛x |2x 〈2}，则A ∩B 等于（ ）A.(1,3） B 。

（－∞,－1)C。

（－1，1) D。

（－3，1）解析依题意，可求得A＝（－1，3），B＝（－∞，1），∴A∩B ＝（－1,1）。

答案C4.若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是( )A.｛a|0＜a＜4} B。

｛a|0≤a＜4}C。

{a｜0＜a≤4} D.{a｜0≤a≤4｝解析由题意知a＝0时，满足条件。

a≠0时，由错误!得0＜a≤4，所以0≤a≤4。

答案D5。

已知函数f(x）＝－x2＋ax＋b2－b＋1（a∈R，b∈R）,对任意实数x都有f（1－x）＝f（1＋x）成立,若当x∈时,f（x)＞0恒成立,则b的取值范围是（）A。

(－1，0） B.（2，＋∞)C.(－∞,－1）∪（2，＋∞）D.不能确定解析由f(1－x）＝f(1＋x）知f（x）的图象关于直线x＝1对称，即错误!＝1，解得a＝2。

又因为f（x)开口向下,所以当x∈时，f（x）为增函数，所以f（x）min＝f（－1）＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f（x）＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2。

课时作业 A 组 基础对点练1．(2017·江西七校联考)若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＞b 2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13bC ．lg(a －b )＞0D ．b a >1解析：法一：因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，又a ＞b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，故选B.法二：取a ＝13，b ＝－12，则a 2＝19，b 2＝14，a 2＜b 2，lg(a －b )＝lg 56＜0，ba ＜0＜1，故排除A ，C ，D 选项，选B. 答案：B2．不等式(1＋x )(1－x )＞0的解集是( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |x ＜1}C ．{x |x ＜－1或x ＞1}D ．{x |x ＜1且x ≠－1}解析：不等式可化为(x ＋1)(x －1)<0，解得－1<x <1.故选A. 答案：A3．(2017·广州调研)已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{2,3}，B ＝{x ∈Z |x 2－6x ＋5<0}，则∁U (A ∩B )＝( ) A ．{1,5,6} B ．{1,4,5,6} C ．{2,3,4}D ．{1,6}解析：因为B ＝{x ∈Z |x 2－6x ＋5＜0}＝{x ∈Z |1＜x ＜5}＝{2,3,4}，所以A ∩B ＝{2,3}，则∁U (A ∩B )＝{1,4,5,6}，故选B. 答案：B4．若a <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＞(0.2)aB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＞(0.2)a ＞2aC ．(0.2)a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞2aD ．2a ＞(0.2)a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a解析：法一：若a ＜0，根据指数函数的性质可知(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞1，又2a ＜0，所以(0.2)a＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＞2a ，故选C.法二：因为a ＜0，不妨设a ＝－1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，(0.2)－1＝5,2a ＝－2，所以(0.2)a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＞2a ，结合选项可知选C.答案：C5．(2017·济南一中检测)若一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a＋b 的值是( ) A ．10 B ．－10 C ．14D ．－14解析：因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，所以－12，13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧14a －12b ＋2＝0，19a ＋13b ＋2＝0，解得a ＝－12，b ＝－2，则a ＋b ＝－14. 答案：D6．关于x 的不等式x 2－ax ＋a ＞0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是( ) A ．a ＜0或a ＞4 B ．0＜a ＜2 C ．0＜a ＜4D ．0＜a ＜8解析：因为不等式x 2－ax ＋a ＞0(a ∈R )在R 上恒成立的充分必要条件是Δ＝a 2－4a ＜0，即0＜a ＜4，结合选项知不等式x 2－ax ＋a ＞0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是0<a <2. 答案：B7．(2017·厦门模拟)对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )＜log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a ＜a 1＋1a ；④a 1＋a ＞a 1＋1a .其中正确的是( )A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④解析：由于0＜a ＜1，所以函数f (x )＝log a x 和g (x )＝a x 在定义域上都是单调递减函数，而且1＋a ＜1＋1a ，所以②与④是正确的． 答案：D8．(2017·皖南八校联考)“不等式x (x －2)＞0成立”是“不等式2x ＜1成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：不等式x (x －2)＞0等价于x ＞2或x ＜0，不等式2x ＜1等价于x ＞2或x ＜0，故选C. 答案：C9．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪2，＋∞)D ．－2,2]解析：依题意x 2＋ax ＋1≥0对x ∈R 恒成立，∴a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2. 答案：D10．(2017·太原模拟)若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( ) A ．9,18] B ．(15,30) C ．9,30]D ．(9,30)解析：∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a . ∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30.故选D. 答案：D11．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b12．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥2，－1，x ＜2，则不等式x 2·f (x )＋x －2≤0的解集是________．解析：当x ≥2时，原不等式可化为x 2＋x －2≤0，解得－2≤x ≤1，此时x 不存在；当x ＜2时，原不等式可化为－x 2＋x －2≤0，解得x ∈R ，此时x ＜2，综上可得原不等式的解集为{x |x ＜2}．答案：{}x |x ＜213．(2017·扬州中学调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)． 答案：(－∞，4)14．(2017·成都诊断)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，求实数a 的取值范围．解析：ax 2－|x |＋2a ＜0⇒a <|x |x 2＋2，当x ≠0时，|x |x 2＋2≤|x |2x 2×2＝24(当且仅当x ＝±2时取等号)，当x ＝0时，|x |x 2＋2＝0＜24，因此要使关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，只需a ≥24，即实数a 的取值范围为24，＋∞)．B 组 能力提速练1．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2 B ．a c ＞bc ⇒a ＞b C.⎭⎬⎫a ＞b ab ＜0⇒1a ＞1bD ．⎭⎬⎫a ＞b ab ＞0⇒1a ＞1b解析：当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a ＞b 不能得到ac 2＞bc 2，故A 错误；当c ＜0时，a c ＞b c ⇒a ＜b ，故B 错误；因为1a －1b ＝b －aab ＞0⇔⎩⎨⎧ ab ＞0a ＜b 或⎩⎨⎧ab ＜0a ＞b ，故选项D 错误，C 正确．故选C. 答案：C2．(2017·长春质检)若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞，－2)，则关于x 的不等式ax 2＋bxx －1＞0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(－∞，－2)∪(0,1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞，－2)，故a ＜0，x ＜b a ，∴ba ＝－2，b ＝－2a ，∴ax 2＋bx x －1＝ax 2－2ax x －1＞0，由于a ＜0，∴x 2－2xx －1＜0，解得x ＜0或1＜x ＜2，故选B. 答案：B3．(2017·郑州质量预测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若关于x 的不等式f (x )]2＋af (x )－b 2＜0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．8解析：作出函数f (x )的图象如图中实线部分所示，由f (x )]2＋af (x )－b 2＜0得－a －a 2＋4b 22＜f (x )＜－a ＋a 2＋4b 22，若b ≠0，则f (x )＝0满足不等式，即不等式有2个整数解，不满足题意，所以b ＝0，所以－a ＜f (x )＜0，且整数解x 只能是3，当2＜x ＜4时，－8＜f (x )＜0，所以－8≤－a ＜－3，即a 的最大值为8，故选D. 答案：D4．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解析：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3＜0， 解得3－23＜a ＜3＋2 3.∴原不等式的解集为{}a |3－23＜a ＜3＋23.(2)f (x )＞b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.5．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x ＞0)的最小值；(2)对于任意的x ∈0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解析：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x ＞0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在0,2]上恒成立即可． 所以⎩⎨⎧g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎨⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0， 解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。

（时间:40分钟）1．已知a,b∈R，则“b≥0”是“a2＋b≥0”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当b≥0时，a2＋b≥0，反之不一定成立，因此“b≥0”是“a2＋b≥0"的充分不必要条件．2．如果a，b，c满足c〈b<a，且ac〈0，那么下列选项中不一定成立的是( )A．ab〉ac B．bc〉acC．cb2〈ab2D．ac（a－c)<0答案C解析因为c<b<a，且ac〈0，所以a>0，c<0。

所以ab－ac＝a （b－c）>0，bc－ac＝(b－a)c〉0，ac（a－c）<0，所以A，B，D均正确．因为b可能等于0，也可能不等于0，所以cb2<ab2不一定成立．3．设a〉b〉0,下列各数小于1的是( ）A．2a－b B。

错误!错误!C.错误!a－b D。

错误!a－b答案D解析解法一：(特殊值法）取a＝2,b＝1,代入验证．解法二：y＝a x(a〉0且a≠1）．当a〉1，x>0时，y>1;当0〈a<1,x〉0时，0〈y<1.∵a〉b>0，∴a－b〉0，错误!>1,0<错误!〈1。

由指数函数性质知，D成立．4．设a＝log错误!3，b＝错误!0.2，c＝错误!错误!，则（）A．a<b<c B．c〈b〈a C．c〈a〈b D．b<a<c答案A解析因为a＝log错误!3〈log错误!2＝－1，0<b＝错误!0。

2<1,c＝错误!>1，所以a〈b〈c.5．设a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是（)A．a〉b2 B.错误!〉错误!C。

错误!〈错误!D．a2>2b答案A解析对于A，∵－1<b<1，∴0≤b2〈1，又∵a>1，∴a〉b2，故A正确；对于B，若a＝2，b＝错误!，此时满足a〉1〉b〉－1，但错误!〈错误!,故B错误；对于C,若a＝2，b＝－错误!，此时满足a〉1〉b〉－1，但错误!〉错误!,故C错误；对于D，若a＝错误!，b＝错误!，此时满足a〉1>b>－1,但a2〈2b,故D错误．6．已知－错误!〈α〈β<π，则错误!的取值范围是________．答案错误!解析由－错误!〈α〈β<π，得－错误!〈α〈π,－π〈－β<错误!，∴－错误!〈α－β〈错误!,即－错误!<错误!<错误!.又∵α－β<0，∴－错误!<错误!〈0，故错误!的取值范围是错误!.7．已知存在实数a满足ab2〉a>ab，则实数b的取值范围是________．答案(－∞,－1）解析∵ab2〉a>ab，∴a≠0，当a>0时,有b2〉1>b,即｛b2〉1，，b〈1，解得b〈－1；当a<0时，有b2〈1<b，即错误!无解．综上可得b<－1。

课时规范训练[A 级 基础演练]1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ≤BB ．A ≥BC ．A <BD ．A >B 解析：选B.由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B ，故选B.2．(2017·西安检测)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，5π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6 C ．(0，π) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π 解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 3．(2017·太原诊断)“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( )A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分必要条件D ．必要不充分条件解析：选D.由“a ＋c >b ＋d ”不能得“a >b 且c >d ”，反过来，由“a >b 且c >d ”可得“a ＋c >b ＋d ”，因此“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件，选D.4．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是( )A ．－n <m <n <－mB ．－n <m <－m <nC ．m <－n <－m <nD ．m <－n <n <－m解析：选D.法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n <0⇒m <－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立．5．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.1a <1b 成立，即b －a ab<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意． 6．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞c b ；②a c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 解析：选D.∵a ＞b ＞1，∴1a ＜1b. 又c ＜0，∴c a ＞c b ，故结论①正确；函数y ＝x c (c ＜0)为减函数，又a ＞b ，∴a c ＜b c，故结论②正确；根据对数函数的单调性，log b (a －c )＞log b (b －c )＞log a (b －c )，故③正确． ∴正确结论的序号是①②③.7．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a ，ab ，ab 2的大小关系是 ．(用“＞”连接) 解析：由－1＜b ＜0，可得b ＜b 2＜1.又a ＜0，∴ab ＞ab 2＞a .答案：ab ＞ab 2＞a8．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是 (请把正确命题的序号都填上)解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c >0知成立．答案：②③ 9．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是 ． 解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b10．(2017·河南郑州调研)若1a <1b <0，则下列不等式中：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是 ．(填正确不等式的序号)解析：由1a <1b<0，得b <a <0. ①∵a ＋b <0，ab >0，∴1a ＋b <0，1ab >0， ∴1a ＋b <1ab成立，即①正确； ②∵b <a <0，∴－b >－a >0，则－b >|a |，即|a |＋b <0，∴②错误；③∵b <a <0，且1a <1b<0，∴a －1a >b －1b ，故③正确； ④∵b <a <0，∴b 2>a 2，∴ln b 2>ln a 2成立．∴④错误，故正确的是①③.答案：①③[B 级 能力突破]1．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b | 解析：选D.∵1a <1b<0，∴0>a >b .∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |. 2．(2017·昆明质检)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a －b >1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n >b n 解析：选C.取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验选项可知，仅C 选项成立．3．(2017·北京平谷模拟)已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0；②若ab >0，c a －d b >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选D.∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab >0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故选D.4．已知a 1，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B.M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0，1)，a 2∈(0，1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .5．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是 ．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1无解．综上可得b <－1. 答案：(－∞，－1)6．(2017·江苏盐城一模)若－1<a ＋b <3，2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为 ． 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52<52(a ＋b )<152， －2<－12(a －b )<－1， 所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132.即－92<2a ＋3b <132. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132。

课时分层作业四十数学归纳法一、选择题(每小题5分,共35分)1.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取 ( )A.2B.3C.5D.6【解析】选C.当n=1时,21=2=12+1,当n=2时,22=4<22+1=5,当n=3时,23=8<32+1=10,当n=4时,24=16<42+1=17,当n=5时,25=32>52+1=26,当n=6时,26=64>62+1=37,故起始值n0应取5.2.(2018·淄博模拟)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总能推出f(k+1)≥k+2成立,那么下列命题总成立的是( )A.若f(1)<2成立,则f(10)<11成立B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立【解析】选D.当f(k)≥k+1成立时,总能推出f(k+1)≥k+2成立,说明如果当k=n时,f(n)≥n+1成立,那么当k=n+1时,f(n+1)≥n+2也成立,所以如果当k=4时,f(4)≥5成立,那么当k≥4时,f(k)≥k+1也成立.3.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上( )A. B.-C.-D.+【解析】选C.因为当n=k时,左端=1-+-+…+-,当n=k+1时,左端=1-+-+…+-+-.所以,左端应在n=k的基础上加上-.4.观察下列各等式:+=2,+=2,+=2,+=2,依照以上各式成立的规律,归纳出一般性的等式为( )A.+=2B.+=2C.+=2D.+=2【解析】选A.各等式可化为:+=2,+=2,+=2,+=2,可归纳得一般等式:+=2.5.(2018·沈阳模拟)设n为正整数,f(n)=1+++…+,经计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,观察上述结果,可推测出一般结论( ) A.f(2n)> B.f(n2)≥C.f(2n)≥D.以上都不对【解析】选C.f(2)=f(21)==,f(4)=f(22)>,f(8)=f(23)>,f(16)=f(24)>,f(32)=f(25)>,由此可推知f(2n)≥.6.用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=2n-1+22n-1(n∈N*)时,假设n=k时命题成立,则当n=k+1时,左端增加的项数是( )A.1项B.k-1项C.k项D.2k项【解析】选D. 运用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=2n-1+22n-1(n∈N*)当n=k时,则有1+2+3+…+2k=2k-1+22k-1(k∈N*)左边表示的为2k项的和.当n=k+1时,则左边=1+2+3+…+2k+(2k+1)+…+2k+1,表示的为2k+1项的和,因此,增加了2k+1-2k=2k项.7.(2018·商丘模拟)已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a,b,c的值为( )A.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不存在这样的a,b,c【解题指南】根据数学归纳法的要求,只需代入前三个数即可.【解析】选A.因为等式对一切n∈N*均成立,所以n=1,2,3时等式成立,即整理得解得a=,b=c=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·洛阳模拟)用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证的不等式是________.解析】由n∈N*,n>1知,n取第一个值n0=2,当n=2时,不等式为1++<2.答案:1++<2.9.设数列{a n}的前n项和为S n,且对任意的自然数n都有(S n-1)2=a n S n,通过计算S1,S2,S3,猜想S n=______. 【解析】由(S1-1)2=S1·S1,得S1=,由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=,依次得S3=,猜想S n=.答案:10.用数学归纳法证明不等式++…+>的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是________.导学号12560630【解析】不等式的左边增加的式子是+-=,故填.答案:.1.(5分)已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…-=2(++…+)时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( )A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B. k为偶数,则k+2为偶数.2.(5分)用数学归纳法证明“1+++…+<n(n≥2)”时,由n=k的假设证明n=k+1时,不等式左边需增加的项数为( )A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1【解析】选C.当n=k时,左边=1+++…+,当n=k+1时,左边=1+++…+,所以左边增加的项数为2k+1-1-(2k-1)=2k+1-2k=2k.3.(5分)(2018·武汉模拟)已知数列{a n}满足条件a n=,设f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)…(1-a n),计算f(1),f(2),f(3),f(4)的值,由此猜想f(n)的通项公式为________.【解析】f(1)=,f(2)=,f(3)=,f(4)=.由此可猜想f(n)=.答案:f(n)=4.(12分)(2018·东莞模拟)已知S n=1+++…+(n>1,n∈N*),求证:>1+(n≥2,n∈N*).【证明】(1)当n=2时,=S4=1+++=>1+,即n=2时命题成立;(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即=1+++…+>1+,则当n=k+1时,=1+++…+++…+>1++++…+>1++=1++=1+,故当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,对n≥2,n∈N*.不等式>1+都成立.5.(13分)在数列{a n}中,a1=2,a n+1=λa n+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*,λ>0).(1)求a2,a3,a4.(2)猜想{a n}的通项公式,并加以证明.【解析】(1)a2=2λ+λ2+2(2-λ)=λ2+22,a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)22=2λ3+23,a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)23=3λ4+24.(2)由(1)可猜想数列通项公式为:a n=(n-1)λn+2n.下面用数学归纳法证明:①当n=1,2,3,4时,等式显然成立,②假设当n=k(k≥4,k∈N*)时等式成立,即a k=(k-1)λk+2k,那么当n=k+1时,a k+1=λa k+λk+1+(2-λ)2k=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=(k-1)λk+1+λk+1+2k+1=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,所以当n=k+1时,a k+1=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,猜想成立,由①②知数列的通项公式为a n=(n-1)λn+2n(n∈N*,λ>0).。

第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。

基础巩固题组(建议用时：30分钟）一、选择题1。

下列不等式一定成立的是（)A.lg错误!>lg x(x>0）B。

sin x＋错误!≥2（x≠kπ，k∈Z）C。

x2＋1≥2｜x｜（x∈R) D.错误!＜1(x∈R）解析当x＞0时，x2＋错误!≥2·x·错误!＝x，所以lg错误!≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有错误!＝1,故选项D 不正确.答案C2。

若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )A. B.C。

解析2错误!≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤错误!,即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2。

答案D3。

(2017·浙江省名校协作体联考)若a,b都是正数，则错误!·错误!的最小值为( )A.7B.8 C。

9 D.10解析∵a，b都是正数,∴错误!错误!＝5＋错误!＋错误!≥5＋2错误!＝9，当且仅当b＝2a〉0时取等号。

故选C.答案C4.若a>0,b〉0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )A。

错误!≤错误! B.错误!＋错误!≤1C。

ab≥2 D。

a2＋b2≥8解析4＝a＋b≥2错误!(当且仅当a＝b时，等号成立)，即错误!≤2，ab≤4,错误!≥错误!,选项A，C不成立;错误!＋错误!＝错误!＝错误!≥1,选项B不成立；a2＋b2＝（a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立。

答案D5。

（2015·湖南卷)若实数a，b满足错误!＋错误!＝错误!，则ab的最小值为( ）A。

2 B.2 C.2错误!D。

4解析依题意知a＞0，b＞0，则错误!＋错误!≥2错误!＝错误!，当且仅当错误!＝错误!，即b＝2a时,“＝"成立.因为错误!＋错误!＝错误!，所以错误!≥错误!，即ab≥2错误!,所以ab的最小值为2错误!，故选C。