2019高考真题名校模拟(文数)导数的概念及几何意义(含答案)

导数的概念及几何意义知识集结知识元导数及其几何意义知识讲解1．导数及其几何意义【知识点的知识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f （x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．【典型例题分析】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．例题精讲导数及其几何意义例1.'已知函数，其中a>0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：-3<f（x1）+f（x2）<-2．'例2.'求下列函数的导数（1）y=2x3-3x2-4；（2）y=xlnx；（3）．'例3.'已知函数f（x）=ax3-x2（a>0），x∈[0，+∞）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）若函数y=f'（x）的递减区间为A，试探究函数y=f（x）在区间A上的单调性．'导数的计算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲导数的计算例1.已知函数f（x）=2lnx+x，则f'（1）的值为___．例2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=e x f′（1）+3lnx，则f′（1）=___．例3.函数f（x）=sin x+e x（e为自然对数的底数），则f′（π）的值为______。

5.1.2　导数的概念及其几何意义基础过关练题组一　导数的定义及其应用1.函数y=f(x)的自变量x 由x 0变化到x 0+Δx 时,函数值的改变量Δy 为( )A.f(x 0+Δx)B.f(x 0)+ΔxC.f(x 0)·ΔxD.f(x 0+Δx)-f(x 0)2.函数f(x)在x=x 0处的导数可表示为( )A.f'(x 0)=limΔx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)ΔxB.f'(x 0)=lim Δx→0[f(x 0+Δx)-f(x 0)]C.f'(x 0)=f(x 0+Δx)-f(x 0)D.f'(x 0)=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx3.已知函数f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a= .4.如图是函数y=f(x)的图象.(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为 ; (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 . 5.求函数y=x 2+1在x=0处的导数.题组二　导数的几何意义及其应用6.函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是( )A.在点(x0,f(x0))处与y=f(x)的图象只有一个交点的直线的斜率B.过点(x0,f(x0))的切线的斜率C.点(x0,f(x0))与点(0,0)的连线的斜率D.函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率7.某司机看见前方50m处有行人横穿马路,这时司机开始紧急刹车,在刹车的过程中,汽车的速度v是关于刹车时间t的函数,其图象可能是( )8.已知函数f(x)在R上有导函数,且f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是( )A.f'(a)<f'(b)<f'(c)B.f'(b)<f'(c)<f'(a)C.f'(a)<f'(c)<f'(b)D.f'(c)<f'(a)<f'(b)9.如图,函数y=f(x)的图象在P点处的切线方程是y=-x+8,若点P的横坐标是5,则f(5)+f'(5)=( )B.1C.2D.0A.12题组三　求曲线的切线方程10.若曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则( )A.a=-1,b=1B.a=1,b=-1C.a=-2,b=1D.a=2,b=-111.函数f(x)=x3+x-2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x-1,则P点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4)12.若点A(2,1)在曲线y=f(x)上,且f'(2)=-2,则曲线y=f(x)在点A处的切线方程是 .13.(2020广东实验中学高二上期末)与直线2x-y+4=0平行且与抛物线y=x2相切的直线方程是 .14.试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.能力提升练题组一　导数的定义及其应用1.(2020浙江宁波中学高二下期中测试,)甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是( )A.甲厂B.乙厂C.两厂一样D.不确定2.(2020河南新乡高二上期末,)若f'(2)=3,则lim Δx→0f (2+2Δx )-f (2)Δx= . 3.()服用某种药物后,人体血液中药物的质量浓度f(x)(单位:μg/mL)与时间t(单位:min)的函数关系式是y=f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义.题组二　导数的几何意义及其应用4.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末,)函数f(x)的图象如图所示,则下列数值排序正确的是( )A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)5.()已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率6.(多选)()已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是( )A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0>f(x1)+f(x2)2<f(x1)+f(x2)2题组三　求曲线的切线方程7.(2020浙江金华一中高二下期中,)已知f(x)=x2+2x+3,P为曲线C:y=f(x)上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为( )A.-∞,-B.[-1,0]C.[0,1]D.-1,+∞28.(2020浙江丽水高二下期末,)已知过点P(-1,1)的直线m交x轴于点A,若抛物线y=x2上有一点B,使得PA⊥PB,且AB是抛物线y=x2的切线,则直线m的方程为 .,过9.(2020福建厦门二中高二上期中,)已知曲线y=f(x)=x2,y=g(x)=1x两条曲线的交点作两条曲线的切线,求两切线与x轴围成的三角形的面积.(请用导数的定义求切线的斜率,否则只得结论分)答案全解全析基础过关练1.D 分别写出x=x 0和x=x 0+Δx 时对应的函数值f(x 0)和f(x 0+Δx),两函数值相减就得到了函数值的改变量,所以Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0).2.A 由导数的定义知A 正确.3.答案　2解析　由题意得,Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,∴lim Δx→0ΔyΔx =a,∴f'(1)=a=2.4.答案　(1)12　(2)34解析　(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为f (1)-f (-1)1―(―1)=2―12=12.(2)由函数f(x)的图象知,,-1≤x ≤1,<x ≤3,所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)-f (0)2―0=3―322=34.5.解析　Δy=(0+Δx )2+1-0+1=(Δx )2+1―1(Δx )2+1+1=(Δx )2(Δx )2+1+1,∴ΔyΔx =Δx (Δx )2+1+1,∴y'x=0=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0Δx (Δx )2+1+1=0.6.D f'(x 0)的几何意义是函数y=f(x)的图象在点(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.7.A 在刹车过程中,汽车速度呈下降趋势,排除选项C,D;由于是紧急刹车,所以汽车开始时速度下降非常快,图象较陡,排除选项B,故选A.8.A 由题意可知,f'(a),f'(b),f'(c)分别是函数f(x)在x=a 、x=b 和x=c 处切线的斜率,则有f'(a)<0<f'(b)<f'(c),故选A.9.C ∵函数y=f(x)的图象在x=5处的切线方程是y=-x+8,∴f'(5)=-1,又f(5)=-5+8=3,∴f(5)+f'(5)=3-1=2.故选C.10.B 由题意得,f'(1)=lim Δx→0ΔyΔx=lim Δx→0(1+Δx )2+a(1+Δx )+b -1-a -bΔx =lim Δx→0(Δx )2+2Δx +aΔxΔx =2+a.∵曲线f(x)=x 2+ax+b 在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,∴2+a=3,解得a=1.又∵点(1,1)在曲线y=x 2+ax+b 上,∴1+a+b=1,解得b=-1,∴a=1,b=-1.故选B.11.C f'(x)=lim Δx→0ΔyΔx=lim Δx→0(x +Δx )3+(x +Δx )-2-x 3-x +2Δx=3x 2+1.设P(x 0,y 0),则f'(x 0)=3x 20+1=4,所以x 0=±1,当x 0=1时,f(x 0)=0,当x 0=-1时,f(x 0)=-4,因此P 点的坐标为(1,0)或(-1,-4).12.答案　2x+y-5=0解析　由题意知,切线的斜率k=-2.∴在点A(2,1)处的切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.13.答案　2x-y-1=0解析　设切点坐标为(x 0,y 0),y=f(x)=x 2,则由题意可得,切线斜率f'(x 0)=limΔx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=2x 0=2,所以x 0=1,则y 0=1,所以切点坐标为(1,1),故所求的直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.14.解析　Δy Δx =(x +Δx )3+1―x 3-1Δx =3x (Δx )2+3x 2Δx +(Δx )3Δx=3xΔx+3x 2+(Δx)2,则lim Δx→0ΔyΔx =3x 2,因此y'=3x 2.设过点M(1,1)的直线与曲线y=x 3+1相切于点P(x 0,x 30+1),根据导数的几何意义知曲线在点P 处的切线的斜率为k=3x 20①,过点M 和点P 的切线的斜率k=x 30+1―1x 0-1②,由①-②得3x 20=x 30x 0-1,解得x 0=0或x 0=32,所以k=0或k=274,因此过点M(1,1)且与曲线y=x 3+1相切的直线有两条,方程分别为y-1=274(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0和y=1.能力提升练1.B 在t 0处,虽然有W 甲(t 0)=W 乙(t 0),但W 甲(t 0-Δt)<W 乙(t 0-Δt),所以在相同时间Δt 内,甲厂比乙厂的平均治污率小,所以乙厂治污效果较好.2.答案　6解析　limΔx→0f (2+2Δx )-f (2)Δx=2lim Δx→0f (2+2Δx )-f (2)2Δx =2f'(2)=6.3.解析　f'(10)=1.5表示服药后10 min 时,血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL ·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL. f'(100)=-0.6表示服药后100 min 时,血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL ·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL.4.B 如图所示, f'(2)是函数f(x)的图象在x=2(即点A)处切线的斜率k 1, f'(3)是函数f(x)的图象在x=3(即点B)处切线的斜率k 2,f (3)-f (2)3―2=f(3)-f(2)=k AB 是割线AB 的斜率.由图象知0<k 2<k AB <k 1,即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故选B.5.D ∵f(x)在a 到b 之间的平均变化率是f (b )-f (a )b -a,g(x)在a 到b 之间的平均变化率是g (b )-g (a )b -a ,f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴f (b )-f (a )b -a=g (b )-g (a )b -a,∴A 、B 错误;易知函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x 0处的导数,即函数f(x)在该点处的切线的斜率,同理函数g(x)在x=x 0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数,即函数g(x)在该点处的切线的斜率,由题中图象知C 错误,D 正确.故选D.6.AD 由题中图象可知,导函数f'(x)的图象在x 轴下方,即f'(x)<0,且其绝对值越来越小,因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负,并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.A 选项表示x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)异号,即f(x)图象的割线斜率f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2为负,故A 正确;B 选项表示x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)同号,即f(x) 图象的割线斜率f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2为正,故B 不正确表示x 1+x 22对应的函数值,即图中点B 的纵坐标,f (x 1)+f(x 2)2表示当x=x 1和x=x 2时所对应的函数值的平均值,即图中点A 的纵坐标,显然有<f (x 1)+f(x 2)2,故C 不正确,D 正确.故选AD.7.D 设点P 的横坐标为x 0,则点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为tan α=f'(x 0)=lim Δx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =2x 0+2.∵α,∴tan α∈[1,+∞),∴2x 0+2≥1,即x 0≥-12,∴点P 的横坐标的取值范围为-12,+∞.8.答案　x-y+2=0或x+3y-2=0解析　令y=f(x)=x 2,设B(t,t 2),则k AB =lim Δx→0f (t +Δx )-f (t )Δx =2t,则直线AB 的方程为y=2tx-t 2.当t=0时,符合题意,此时A(-2,0),∴直线m 的方程为x-y+2=0.当t ≠0时,0,PA=+1,―1,PB =(t+1,t 2-1),∵PA ⊥PB,∴PA ·PB =0,+1(t+1)-(t 2-1)=0,解得t=4或t=-1(B,P重合,舍去),此时A(2,0),∴直线m 的方程为x+3y-2=0.综上,直线m 的方程为x-y+2=0或x+3y-2=0.9.解析　由y =x 2,y =1x,得x =1,y =1,故两条曲线的交点坐标为(1,1).两条曲线切线的斜率分别为f'(1)=lim Δx→0f (Δx +1)―f (1)Δx =lim Δx→0(Δx +1)2-12Δx =lim Δx→0(Δx+2)=2,g'(1)=lim Δx→0g (Δx +1)―g (1)Δx =lim Δx→01Δx +1-11Δx=lim Δx→0-所以两条切线的方程分别为y-1=2(x-1),y-1=-(x-1),即y=2x-1与y=-x+2,两条切线与x,0,(2,0),所以两切线与x轴围成的三角形的面积为12×1×|2―12|=34.。

专题三 导数及其应用第七讲 导数的计算与导数的几何意义2019年1.（2019全国Ⅰ文13）曲线2)3(e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．2.（2019全国Ⅱ文10）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=3.（2019全国三文7）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．a=e ，b =-1B ．a=e ，b =1C ．a=e -1，b =1D ．a=e -1，1b =-4.（2019天津文11）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________. 5.（2019江苏11）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的 切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)=+-+f x x a x ax ．若()f x 为奇函数，则曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为A ．2=-y xB ．y x =-C ．2=y xD ．=y x2．（2017山东）若函数e ()xf x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是 A ．()2xf x -=B ．2()f x x=C ．()3xf x -=D ．()cos f x x =3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x =B ．ln y x =C ．e x y =D ．3y x =4．（2016年四川）设直线1l ，2l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩，图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ． (0,+∞)D ．(1,+ ∞) 5．（2013浙江）已知函数()y f x =的图像是下列四个图像之一，且其导函数()y f x '=的图像如右图所示，则该函数的图像是6．（2014新课标）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．(2011重庆)曲线223y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为A ．31y x =-B ．33y x =-+C ．35y x =+D ．2y x =8．（2011江西）曲线xy e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ）A ．1B ．2C ．eD ．1e9．（2011山东）曲线211y x =+在点(1,12)P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是A ．-9B ．-3C ．9D ．15 10．（2011湖南）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．211．（2010新课标）曲线3y 21x x =-+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+ 12．（2010辽宁）已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A ．[0,4π) B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππ D ．3[,)4ππ二、填空题13．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln =y x 在点(1,0)处的切线方程为__________．14．(2018天津)已知函数()ln x f x e x =，()f x '为()f x 的导函数，则(1)f '的值为__． 15．（2017新课标Ⅰ）曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为____________． 16．（2017天津）已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l在y 轴上的截距为 ．17．（2016年全国III 卷）已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________．18．（2015新课标1）已知函数3()1f x ax x =++的图像在点(1,(1))f 的处的切线过点(2,7)，则a = ．19．（2015陕西）函数xy xe =在其极值点处的切线方程为____________．20．（2015天津）已知函数()ln f x ax x =，()0,x ∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为 ．21．（2015新课标2）已知曲线x x y ln +=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则=a ．22．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ． 23．（2014江西）若曲线P x x y 上点ln =处的切线平行于直线P y x 则点,012=+-的坐标是_______．24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ． 26．（2012新课标）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________． 三、解答题27．（2017山东）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R ． (Ⅰ)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(Ⅱ)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．28．（2017北京）已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．29．（2016年北京）设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.30．（2015山东）设函数()()ln f x x a x =+，2()x x g x e=，已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f处的切线与直线02=-y x 平行． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在自然数k ，使的方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（{}min ,p q 表示,p q 中的较小值），求)(x m 的最大值．31．(2014新课标1)设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0 （Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01x ≥，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围． 32．（2013北京）已知函数2()sin cos f x x x x x =++（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值． （2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围．专题三 导数及其应用第七讲 导数的计算与导数的几何意义答案部分 2019年1.解析 因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31xy x x =++（），所以当0x =时，'3y =，所以23e x y x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =， 又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =． 2.解析 由y =2sin x +cos x ，得2cos sin y x x '=-，所以π2cos πsin π=-2x y ='=-，所以曲线y =2sin x +cos x 在点(π,1)-处的切线方程为12(π)y x +=--， 即2210x y +-π+=． 故选C ．3.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1xy a x =++， 又函数e ln x y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+， 可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-. 故选D ． 4.解析 由题意，可知1sin 2y x '=--.因为1sin 002y x '=--==所以曲线cos y x =)0,1处的切线方程112y x -=-，即220x y +-=． 5.解析 设00(,ln )A x x ，由ln y x =，得1'y x=，所以001'|x x y x ==，则该曲线在点A 处的切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，因为切线经过点(e,1)--， 所以00e 1ln 1x x --=--，即00eln x x =，则0e x =．2010-2018年1．D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇年函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ，因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0) 处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二 易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ． 2．A 【解析】对于选项A ，1()2()2-==xx f x ， 则1()()()22=⋅=x x x x e e f x e ，∵12>e，∴()xe f x )在R 上单调递增，∴()2-=x f x 具有M 性质．对于选项B ，2()=f x x ，2()=x x e f x e x ，2[()](2)'=+x x e f x e x x ，令2(2)0+>x e x x ，得0>x 或2<-x ；令2(2)0+<x e x x ，得20-<<x ，∴函数()xe f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，∴2()=f x x 不具有M 性质．对于选项C ，1()3()3-==x xf x ，则1()()()33=⋅=xxxxe ef x e ，∵13<e ，∴()3=x ey 在R 上单调递减，∴()3-=x f x 不具有M 性质．对于选项D ，()cos =f x x ，()cos =xxe f x e x ，则[cos ](cos sin )0'=-≥xxe x e x x 在R 上不恒成立，故()cos =xxe f x e x 在R 上不是单调递增的，所以()cos =f x x 不具有M 性质．3．A 【解析】设两个切点分别为11(,)x y ，22(,)x y ，选项A 中，cos y x '=，12cos cos 1x x =-，当120,x x π==时满足，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A.4．A 【解析】设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得 12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭． 分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为211121121(,ln )11x x P x x x -+++．∵11x >， ∴2112211211||||1211PABA B P x x S y y x x x ∆+=-⋅=<=++，∴01PAB S ∆<<，故选A ． 5．B 【解析】由导函数图像可知函数的函数值在[-1,1]上大于零，所以原函数递增，且导函数值在[-1,0]递增，即原函数在[-1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选B ． 6．D 【解析】11y a x '=-+，由题意得0|2x y ='=，即3a =． 7．A 【解析】∵236y x x '=-+∴切线斜率为3，则过（1,2）的切线方程为23(1)y x -=-，即31y x =-，故选A.8．A 【解析】xy e '=，0x =，01e =．9．C 【解析】∵23y x '=，切点为(1,12)P ，所以切线的斜率为3， 故切线方程为390x y -+=，令0x =得9y =．10．B 【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--'==++，所以2112(sincos )444y x πππ'===+。

专题三导数【真题典例】3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算挖命题【考情探究】分析解读导数的概念及几何意义、导数的四则运算是学习导数的基础,一般不单独考查,往往结合函数知识进行考查,更多出现于解答题中.破考点【考点集训】考点一导数的概念及几何意义1.(2019届江苏平潮高级中学检测)已知函数f(x)=ax2+3x-2在点(2, f(2))处的切线斜率为7,则实数a= .答案 12.曲线C:y=在点(1,0)处的切线方程为.答案x-y-1=0考点二导数的运算1.(2019届江苏启东一中检测)已知函数f(x)=在x=1处的导数为-2,则实数a的值是. 答案 22.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f '(1)= .答案 2炼技法【方法集训】方法一导数的运算方法1.(2019届江苏四甲中学检测)函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为.答案 f '(x)=3(x2-a2)2.已知函数f(x)=xcos x,则f '= .答案-方法二求曲线y=f(x)的切线方程1.与直线4x-y+5=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是.答案4x-y-2=02.(2019届江苏石庄中学检测)已知f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.答案2x+y+1=0方法三与切线有关的参数的求解策略1.(2018江苏苏州高三期中调研)已知曲线f(x)=ax3+ln x在(1, f(1))处的切线的斜率为2,则实数a的值是.答案2.(2018江苏南通高三第一次调研测试)若曲线y=xln x在x=1与x=t处的切线互相垂直,则实数t的值为.答案e-2过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组(2018江苏,19,16分)记f '(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”;(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值;(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.解析本题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理能力.(1)证明:函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f '(x)=1,g'(x)=2x+2,由f(x)=g(x)且f '(x)=g'(x),得-此方程组无解.因此, f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.(2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,则f '(x)=2ax,g'(x)=,设x0为f(x)与g(x)的“S点”,由f(x0)=g(x0)且f '(x0)=g'(x0),得-即-(*)得ln x0=-,即x0=-,则a=-=.当a=时,x0=-满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S点”,因此,a的值为.(3)f '(x)=-2x,g'(x)=-,x≠0, f '(x0)=g'(x0)⇒b=-->0⇒x0∈(0,1),f(x0)=g(x0)⇒-+a==--⇒a=--,令h(x)=x2---a=---,x∈(0,1),a>0,设m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,则m(0)=-a<0,m(1)=2>0⇒m(0)·m(1)<0, 又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,∴m(x)在(0,1)上有零点,则h(x)在(0,1)上有零点.因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.思路分析本题是新定义情境下运用导数研究函数零点问题,前两问只需按新定义就能解决问题,第三问中,从而转化为研究先利用f '(x0)=g'(x0)对x0加以限制,然后将f(x0)=g(x0)转化成a=--h(x)=--,x∈(0,1),a>0的零点存在性问题,再研究函数m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,由-m(0)<0,m(1)>0,可判断出m(x)在(0,1)上存在零点,进而解决问题.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一导数的概念及几何意义1.(2018课标全国Ⅰ文改编,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为.答案y=x2.(2018课标全国Ⅱ理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.答案y=2x3.(2018课标全国Ⅲ理,14,5分)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .答案-34.(2017课标全国Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=05.(2014课标Ⅱ改编,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= .答案 36.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .答案1-ln 27.(2016课标Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.答案y=2x考点二导数的运算1.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=e x ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为.答案 e2.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)e x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为.答案 33.(2015课标Ⅰ,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a= .答案 14.(2016山东理改编,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是.(1)y=sin x;(2)y=ln x;(3)y=e x;(4)y=x3.答案(1)5.(2015课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= . 答案8C组教师专用题组1.(2013广东理改编,10,5分)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k= .答案-12.(2011江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知P是函数f(x)=e x(x>0)的图象上的动点,该图象在点P 处的切线l交y轴于点M.过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是.答案+【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共50分)1.(2018江苏海门中学检测)曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为.答案 12.(2019届江苏启东中学检测)函数y=xcos x-sin x的导数为.答案y'=-xsin x3.(2019届江苏白蒲高级中学检测)函数f(x)=e x sin x的图象在点(0, f(0))处的切线的倾斜角为.答案4.(2019届江苏汇龙中学检测)曲线y=-5e x+3在点(0,-2)处的切线方程为.答案5x+y+2=05.(2018江苏启东一中检测)已知函数f(x)=-,则f(x)的导函数f '(x)= .答案-6.(2019届江苏金沙中学检测)曲线y=a x在x=0处的切线方程是xln 2+y-1=0,则a= .答案7.(2019届江苏南师附中检测)若f(x)=2xf '(1)+x2,则f '(0)= .答案-48.(2018江苏姜堰第二中学检测)若x轴是曲线f(x)=ln x-kx+3的一条切线,则k= .答案e29.(2019届江苏丹阳高级中学检测)在曲线y=x-(x>0)上一点P(x0,y0)处的切线分别与x轴、y轴交于点A,B,O 是坐标原点,若△OAB的面积为,则x0= .答案10.(2018江苏江阴第一中学检测)如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)= .答案0二、解答题(共30分)11.(2019届江苏通州高级中学检测)已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;(2)求经过点(2,-2)的曲线的切线方程.解析(1)因为f '(x)=3x2-8x+5,所以f '(2)=1,又f(2)=-2,所以曲线在点(2, f(2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.(2)设曲线与经过点(2,-2)的切线相切于点P(x0,-4+5x0-4),因为f '(x0)=3-8x0+5,所以切线方程为y-(-2)=(3-8x0+5)(x-2),又切线过点P(x0,-4+5x0-4),所以-4+5x0-2=(3-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或1,所以经过(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.12.(2019届江苏张家港高级中学检测)已知f(x)=ln x,g(x)=x3+x2+mx+n,直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切于点(1,0).(1)求直线l的方程;(2)求函数g(x)的解析式.解析(1)因为直线l是f(x)=ln x在点(1,0)处的切线, 所以其斜率k=f '(1)=1,因此直线l的方程为y=x-1.(2)又直线l与g(x)相切于点(1,0),所以g'(1)=1,且g(1)=0.-因此所以所以函数g(x)=x3+x2-x+.。

（十六）导数及其应用1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景.（2）理解导数的几何意义.2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数y =C （C 为常数），的导数.（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.•常见基本初等函数的导数公式：•常用的导数运算法则：法则1:法则2:法则3:3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.(iii)设a <0，若，则由（1）知，在单调递增.又当时，<0，故不e 2a ≥-()f x ()1,+∞1x ≤()f x ()f x存在两个零点；若，则由（1）知，在单调递减，在单调递增.e 2a <-()f x ()()1,ln 2a -又当时<0，故不存在两个零点.1x ≤()f x ()f x 综上，a 的取值范围为.()0,+∞【名师点睛】本题第（1）问是用导数研究函数单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（2）问是求参数取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解.考向二 利用导数研究函数的极值问题样题3 已知函数，若在区间内存在极值点，则实数()0,3a 的取值范围是A ．B ．()0,31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．【答案】C【名师点睛】本题考查导数在求函数极值中的应用，比较的大小，进行讨论.21a a -与样题4 已知函数.（1）当时，有极小值，求实数；1x =()f x 196-,b c （2）设，当时，在图象上任意一点处的切线的斜率为，若，()0,1x ∈()g x P k 1k <求实数的取值范围．b 【答案】（1），；（2）.12b =2c =-(],0-∞（2）， ，∴对一切恒成立， 221x bx +<01x <<对一切恒成立.∴122x b x <-01x <<又在上为减函数，122x y x =-()0,1，.∴0b ≤。

2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆例1：1．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C 【分析】根据导数的概念可得()21f '=-，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 因为()()()022lim222x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()21f '=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-，故所求切线的倾斜角为34π. 故选：C2．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【详解】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1， 则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B . 【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．举一反三：1．设()f x 是可导函数，且()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=-∆，则0()f x '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【分析】由导数的定义可得()()0000lim ()x f x f x f x x x∆→+-'=∆∆，即可得答案．【详解】 根据题意，()()0000lim()2x f x f x f x x x∆→∆+-'==-∆，故0()2f x '=-. 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题． 2．若()02f x '=，则()()000lim2h f x h f x h→+-=______．【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何定义即可计算.()()()()()000000011limlim 1222h h f x h f x f x h f x f x h h →→+-+-'===．故答案为：1.二．导数的几何意义：函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。

【新高考数学】导数的概念及计算【套路秘籍】一.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝ 0lim x ∆→ ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 二.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函3.基本初等函数的导数公式三.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 数f ′(x )＝0lim x ∆→ f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx 称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数. 【套路修炼】考向一 导数的概念【例1】设)(x f 是可导函数，且3)2()(lim 000=∆∆+-∆-→∆xx x f x x f x ，则=')(0x f 。

专题13 导数的几何意义【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,xxx y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以()3f x x x =+，()231f x x '=+，所以()()01,00f f '==，所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为()()00y f f x '-=，化简可得y x =. 故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点()()00,x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得()f x '，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷文数】曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设),(00y x P 是曲线)(x f y =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．【命题意图】（1）能根据导数定义求函数的导数.（2）能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. （3）理解导数的几何意义. 【命题规律】从近三年高考情况来看，导数的概念及其运算法则、导数的几何意义等内容一直是高考中的热点，常以选择题或填空题的形式呈现，有时也会作为解答题中的一问．解题时要掌握函数在某一点处的导数定义、几何意义以及基本初等函数的求导法则，会求简单的复合函数的导数. 【答题模板】解答已知切点P (x 0, y 0)，求y =f (x )过点P 的切线方程，一般考虑如下三步： 第一步：利用导数公式求导数； 第二步：求斜率f ′(x 0)；第三步：写出切线方程y −y 0=f ′(x 0)(x −x 0). 【方法总结】（一）导数计算的原则和方法（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． （2）方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.（二）求复合函数的导数的关键环节和方法步骤（1）关键环节：①中间变量的选择应是基本函数结构；②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.（2）方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.（三）求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法（1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．1．【山东省聊城市2019届高三三模数学试题】函数()2ln f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为 A ．10x y ++= B ．10x y -+= C ．210x y -+= D ．210x y +-=【答案】A【解析】当x =1时，f (1)=−2+0=−2，所以切点为（1，−2）， 由题得11()2,(1)211f x k f x ''=-+∴==-+=-， 所以切线方程为y +2=−1·(x −1)，即10x y ++=. 故选A.【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.先求出切点的坐标和切线的斜率，再写出切线的方程.2．【江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试数学】曲线344y x x =-+在点(1,1)处的切线的倾斜角为A ．30B ．45C ．60D ．135【答案】D【解析】由3()44f x y x x ==-+可得，2()34f x x '=-，(1)1f '=-，设切线的倾斜角为α，则tan 1=-α，解得135=︒α. 故选D ．【名师点睛】本题考查直线的倾斜角，利用导数研究曲线上某点切线方程，考查计算能力，是基础题．求解时，求出函数的导数，在(1,1)处的导数就是切线的斜率，然后求出倾斜角即可．3．【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五）数学试题】已知定义在R 上的奇函数f （x ），当0x ≤时，3()2f x x x m =--，则曲线()y f x =在点P （2，f （2））处的切线斜率为A ．10B ．−10C ．4D ．与m 的取值有关【答案】A【解析】由题意知，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得00（）f =，即(0)0f m =-=，解得0m =，即()32f x x x =-，当0x ≤时，函数3()2f x x x =-，设0x >，则0x -<，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()3()2f x f x x x =--=-，所以2()32f x x '=-，所以2(2)32210f '=⨯-=，即曲线（）y f x =在点(2,(2))P f 处的切线斜率为10，故选A.【名师点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理应用函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷）数学试题】若曲线e xy =在0x =处的切线与ln y x b =+的切线相同，则b = A ．2 B ．1 C ．1-D ．e【答案】A【解析】函数e xy =的导数为y '＝e x ，曲线e xy =在x ＝0处的切线斜率为k ＝0e =1，则曲线e xy =在x ＝0处的切线方程为y ﹣1＝x ； 函数ln y x b =+的导数为y '＝1x ，设切点为（m ，n ），则1m＝1，解得m ＝1，n ＝2， 即有2＝ln1+b ，解得b ＝2． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义，求切线方程，属于基础题．求解时，求出e xy =的导数，得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线ln y x b =+相切的切点为（m ，n ），得ln y x b =+的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m ，n ，进而得到b 的值．5．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】若3()3()21f x f x x x +-=++对x ∈R 恒成立，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 A ．5250x y +-= B ．10450x y +-= C ．540x y += D ．204150x y --=【答案】B 【解析】()()3321f x f x x x +-=++……①()()3321f x f x x x ∴-+=--+……②联立①②，解得：()31124f x x x =--+，则()2312f x x '=--， ()11511244f ∴=--+=-，()351122f '=--=-，∴切线方程为：()55142y x +=--，即10450x y +-=，本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线，关键是能够利用构造方程组的方式求得函数的解析式.求解时，利用构造方程组的方法求得()f x ，可求得切点坐标；利用导数求得切线的斜率，利用直线点斜式求出切线方程.6．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试数学试题】已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与抛物线()221y ax a x =+++相切，则a 的值为A ．0B ．0或8C ．8D ．1【答案】C【解析】由题意得11y x'=+，当1x =时，切线的斜率2k =， 切线方程为()21121y x x =-+=-，因为它与抛物线相切，所以将其代入()221y ax a x =+++，则()22121ax a x x +++=-有唯一解，即220ax ax ++=有唯一解，故280a a a ≠⎧⎨-=⎩ ，解得8a =， 故选C.【名师点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.一般地，曲线():C y f x =在()()00,P x f x 处的切线方程为()()00y f x x x '=-+()0f x .对于本题，求出曲线在点()1,1处的切线方程，再联立切线方程和抛物线方程并消去y ，利用判别式为零可求a 的值.7．【安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学】已知函数()2af x x x=+.若曲线()y f x =存在两条过()1,0点的切线，则a 的取值范围是A ．()(),12,-∞+∞B ．()(),12,-∞-+∞C ．()(),02,-∞+∞D ．()(),20,-∞-+∞【答案】D【解析】由题得()212a f x x =-'，设切点坐标为（000,2a x x x +）， 则切线方程为()00200122a a y x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭， 又切线过点（1，0），可得()002001122a a x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭， 整理得200220x ax a +-=，因为曲线()y f x =存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足()2480a a ∆=-->，解得a >0或a <−2. 故选D.【名师点睛】本题考查过某点的切线方程的求法和切线的条数问题，考查转化思想，属于中档题.求解本题时，对函数求导，设切点坐标，写出切线方程，将点(1，0)代入得到200220x ax a +-=，由题意存在两条切线，可得方程有两个不等实数根，由判别式大于0可得答案.8．【湖北省武汉市2019届高三4月调研测试数学试题】设曲线432:3294C y x x x =--+，在曲线C 上一点()14，M -处的切线记为l ，则切线l 与曲线C 的公共点个数为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C【解析】由题得3212618y x x x '=--，∴l 的斜率1261812k =--=-，l ∴的方程为：()4121y x +=--，即128y x =-+，由4323294128y x x x y x ⎧=--+⎨=-+⎩得：4323291240x x x x --+-=， 即()()()212320x x x -+-=，11x ∴=，22x =-，323x =， ∴曲线C 与l 的公共点个数为3.本题正确选项为C.【名师点睛】本题考查利用导数的几何意义求解切线方程、高次方程的求解问题，解高次方程的关键是能够对其进行因式分解，从而得到结果.求解时，通过导数的几何意义求得切线方程；再将切线方程与曲线方程联立，求解出根的个数，从而得到公共点个数.9．【广东省2019届高三适应性考试数学试题】已知函数()e (,)xf x a b a b =+∈R 在点(0,(0))f 处的切线方程为21y x =+，则a b -=_______． 【答案】3【解析】由f （x ）＝a e x+b ，得f '（x ）＝a e x，因为函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程是y ＝2x +1， 所以()()0102f a bf a ==+⎧⎪⎨'==⎪⎩，解得a ＝2，b ＝﹣1．所以a ﹣b ＝3． 故答案为：3．【名师点睛】本题主要考查函数与导数的关系，特别是曲线的切线与函数导数之间的关系，属于中档题．求解时，由f （x ）＝a e x+b ，得f '（x ），因为函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程是y ＝2x +1，故（0，f （0））适合方程y ＝2x +1，且f ′（0）＝2，联立可得结果．10．【河南省名校−鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试数学试题】若曲线22ln y x x =-的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为________． 【答案】2 【解析】22ln y x x =-，223y x x'∴=-=， ∴22320x x --=，解得12x =-（舍去）或2x =， 所以2x =，故答案为：2.【名师点睛】本题考查导数的几何意义，曲线上某点处的切线斜率的意义以及函数的定义域，属于基础题.求解时，根据曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，令导数223y x x'=-=，解得x 的值，结合函数定义域即可得解．11．【福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试文科数学试题】曲线ln y x ax =-在2x =处的切线与直线10ax y --=平行，则实数a =_______． 【答案】14【解析】因为ln y x ax =-，所以1y a x '=-，因此其图象在2x =处的切线斜率为12k a =-， 又曲线ln y x ax =-在2x =处的切线与直线10ax y --=平行，所以12a a -=，因此14a =. 故答案为14.【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型.求解时，先对ln y x ax =-求导，得到其在2x =处的切线斜率，再由题意，列出等量关系，进而可求出结果.12．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）数学试题】已知函数()ln f x x =的图象在点()()1,1f 处的切线过点()0,a ，则a =_____． 【答案】32【解析】1()f x x '=-，1(1)2k f '∴==-， 又因为(1)1f =，所以切点是()1,1，切线方程是：11(1)2y x -=--，代入()0,a ，得13122a =+=. 故答案为32. 【名师点睛】本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题．求解时，求得函数f （x ）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a 的值． 13．【河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试数学试题】若1ex =是函数()ln f x x kx =-的极值点，则函数()ln f x x kx =-在点(1,(1))f 处的切线方程是______． 【答案】(e 1)10x y -++= 【解析】由题得11(),()e 0,e ef x k f k k x ''=-∴=-=∴=. 所以切线斜率为(1)11e f k '=-=-. 又(1)e,f k =-=-所以切点为（1，−e ），所以切线方程为e (1e)(1),(e 1)10y x x y +=--∴-++=. 故答案为：(e 1)10x y -++=.【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义和极值的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，根据1ex =是函数()ln f x x kx =-的极值点得k =e ，再利用导数的几何意义求切线方程.14．【山东省青岛市2019届高考模拟检测（二模）数学试题】设函数()e xf x x =--的图象上任意一点处的切线为1l ，若函数()cos g x ax x =+的图象上总存在一点，使得在该点处的切线2l 满足12l l ⊥，则a 的取值范围是__________． 【答案】[]0,1 【解析】()()e 1,1x f x =--∈-∞'-，即()1,1l k ∈-∞-，又12l l ⊥，即121l l k k ⋅=-，()20,1l k ∴∈，()2sin l k g x a x ==-'，[]sin 1,1x ∈-，[]2sin 1,1l k a x a a ∴=-∈-+，11 1011a a -≤⎧∴⎨+≥⎩[]0,1a ⇒∈， 本题正确结果为[]0,1.【名师点睛】本题考查导数的几何意义，关键是能够通过导函数的解析式得到斜率的取值范围，再利用集合的包含关系构造不等关系求得结果.求解时，根据()f x '求得1l k 的范围，根据垂直关系可得()20,1l k ∈；通过()g x '求得[]21,1l k a a ∈-+；由题意可知()[]0,11,1a a ⊆-+，从而得到不等式组，解不等式组求得结果.。