2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程精编学案：第74课算法的概念与流程图 Word版含解析

2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练10随堂巩固训练(11)1. 计算：（π－4）2＋π＝__4__． 解析：原式＝|π－4|＋π＝4－π＋π＝4.2. 求值：(0.027)23＋⎝⎛⎭⎫27125－13－⎝⎛⎭⎫2790.5＋10－2＝__110__． 解析：原式＝9100＋53－53＋1100＝110.3. 化简：a12bb －123a －2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1b －1b a －23＝． 解析：原式＝a 12b 12b －12a －23÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －1b －12ba 12－23＝(a 12＋23·b 12＋12)÷(a －1－12b －12－1)－23＝a 76b÷(ab)＝6a.4. 化简：(a 23b 12)×(－3a 12b 13)÷⎝⎛⎭⎫13a 16b 56＝__－9a__． 解析：原式＝－9a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a.5. 关于x 的不等式2x 2＋x ≤4的解集为__[－2，1]__．解析：由题意得2x 2＋x ≤22，所以x 2＋x ≤2，解得－2≤x ≤1，故原不等式的解集为[－2，1]．6. 计算：⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫166－13＋3＋23－2－(1.03)0×⎝⎛⎭⎫－623＝16．解析：原式＝116＋(6－32)－13＋（3＋2）2（3）2－（2）2－⎝⎛⎭⎫－668＝116＋6＋5＋26＋364＝81＋60616. 7. 给出下列等式：36a 3＝2a ；3－2＝6（－2）2；－342＝4（－3）4×2，其中一定成立的有__0__个．解析：36a 3＝a 36≠2a ，故错误；6（－2）2＝622＝322＝32≠3－2，故错误；4（－3）4×2＝434×2＝342≠－342，故错误，所以一定成立的有0个．8. 方程22x ＋3·2x －1－1＝0的解是__x ＝－1__.解析：令2x ＝t(t>0)，则原方程化为t 2＋32t －1＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，所以2x＝12，解得x ＝－1，故原方程的解是x ＝－1. 9. 已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a>b>0，则a －b a ＋b ＝5．10. 计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫338－23－⎝⎛⎭⎫5490.5＋（0.008）－23÷（0.02）－12×（0.32）12÷0.062 50.25. 解析：原式＝[(827)23－(499)12＋(1 0008)23÷50×4210]÷⎝⎛⎭⎫62510 00014＝⎝⎛⎭⎪⎫49－73＋25×152×4210÷12 ＝⎝⎛⎭⎫－179＋2×2＝29. 11. 化简：a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23－23b a ×a ×3a 25a ×3a.(式中字母都是正数) 解析：原式＝a 13[（a 13）3－（2b 13）3]（a 13）2＋a 13×（2b 13）＋（2b 13）2÷a 13－2b 13a ×（a ×a 23）12（a 12×a 13）15 ＝a 13(a 13－2b 13)×aa 13－2b 13×a 56a 16＝a 13×a ×a 23＝a 2. 12. 解下列方程：(1) 1＋3－x 1＋3x＝3；(2) ⎝⎛⎭⎫14x －2－x ＋1－8＝0.解析：(1) 令3x ＝t(t>0)，则原方程为1＋1t1＋t＝3，解得t ＝13或t ＝－1(舍去)，所以3x ＝13，即x ＝－1.(2) 令⎝⎛⎭⎫12x ＝t(t>0)，则原方程为t 2－2t －8＝0，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)， 所以⎝⎛⎭⎫12x ＝4，即x ＝－2.13. 利用指数的运算法则，解下列方程：(1) 43x ＋2＝256×81－x ；(2) 2x ＋2－6×2x －1－8＝0.解析：(1) 因为43x ＋2＝256×81－x ，所以26x ＋4＝28×23－3x ， 所以6x ＋4＝11－3x ，所以x ＝79.(2) 因为2x ＋2－6×2x －1－8＝0， 所以4×2x －3×2x －8＝0， 所以2x ＝8，所以x ＝3.。

____第1课__集合及其基本运算(1)____1. 理解元素和集合之间的关系；理解集合相等的含义．2. 会求集合的交集、并集、补集.1. 阅读：阅读必修1第5～10页．2. 解悟：①集合中元素的三个性质；②常见数集的符号；③集合相等的定义；④子集、真子集的定义；⑤空集的定义．3. 践习：在教材空白处，完成第7页练习第2、5题；第10页习题第6、7题.基础诊断1. 设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝__{0，1}__．2. 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，那么A ∪∁U B ＝__{1，2，5}__．解析：由题意得∁U B ＝{1，5}， 所以A ∪∁U B ＝{1，2，5}．3. 已知全集U ＝{1，3，5，7，9}，A ＝{1，5，9}，B ＝{3，5，9}，则∁U (A ∪B)的子集个数为__2__．解析：由题意得A ∪B ＝{1，3，5，9}， 所以∁U (A ∪B)＝{7}，所以∁U (A ∪B)的子集个数为2.4. 已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，若A ∪B ＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为__2__．解析：因为A ∪B ＝{0，1，2，3}， A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，所以a ＝2.范例导航 考向❶ 利用数轴求集合的交集、并集、补集例1 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|132≤2－x ≤4，B ＝{x|x 2＋2mx －3m 2<0}，m>0.(1) 若m ＝2，求A ∩B ；(2) 若A ⊇B ，求实数m 的取值范围．解析：由题意得，集合A ＝{x|－2≤x ≤5}， 因为m>0，所以B ＝{x|－3m<x<m}． (1) 当m ＝2时，B ＝{x|－6<x<2}， 所以A ∩B ＝{x|－2≤x<2}．(2) A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|－3m<x<m}， 因为A ⊇B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2，m ≤5，所以m ≤23，所以0<m ≤23.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，23.全集I ＝R ，集合A ＝{x |y ＝2x －1}，B ＝{y |y ＝lg(x 2－2x ＋2)}，则A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞．解析：由题意得，集合A ＝{x |y ＝2x －1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12，集合B ＝{y |y ＝lg(x 2－2x ＋2)}＝{y |y ≥0}，所以∁I B ＝{y |y <0}，所以A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 考向❷ 对空集的分类讨论例2 已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是{}m|m ≤4.已知集合A ＝{x|x 2－2x －3＝0}，B ＝{x|mx －1＝0}，若B ⊆A ，则m 的值为__0，－1，13__． 解析：由题意得，集合A ＝{－1，3}．因为B ⊆A ，所以当B 为∅时，m ＝0；当B 不为∅时，m ＝－1或m ＝13.综上，m 的值为0，－1，13.例3 若集合A ＝{x|ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，求实数a 的值．解析：当a ＝0时，不合题意，舍去；当a ≠0时，由题意得，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4. 综上所述，a ＝4.若集合A ＝{x|ax 2＋ax ＋1＝0}只有一个子集，求实数a 的取值范围．解析：由题意得，集合A 为空集． ①若a ＝0，符合题意；②若a ≠0，则Δ＝a 2－4a<0，解得0<a<4. 综上，a 的取值范围是[0，4)．自测反馈1. 设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，若A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为__1__． 解析：因为A ∩B ＝{3}，所以a ＋2＝3或a 2＋4＝3，解得a ＝1，此时B ＝{3，5}，符合题意，故实数a 的值为1.2. 已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有__2__个．解析：由图可知，阴影部分表示的是M ∩N .由M ＝{x |－2≤x －1≤2}得M ＝{x |－1≤x ≤3}．集合N 表示的是正奇数集，所以M ∩N ＝{1，3}，所以阴影部分所示的集合中的元素共有2个．3. 下面四个命题中，正确命题的序号为__②__． ①某班个子较高的同学构成集合A ；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程x 2－2x ＋1＝0的解集是{1，1}； ④∅与{∅}表示同一个集合． 解析：①集合是指一定范围内某些确定的、不同的对象的全体，个子较高的同学不确定，所以①错误；②正确，集合中的元素具有无序性；③错误，集合中的元素具有互异性；④错误，∅表示不含任何元素的集合，{∅}表示集合中有一个元素∅，而不是空集．4. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，集合B ＝{y|y ＝x 2，x ∈A}，则A ∩B ＝__{1}__．解析：由题意得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，4，14，所以A ∩B ＝{1}．1. 集合中元素的性质指确定性、无序性、互异性．2. 要特别注意空集，尤其是在分类讨论中不能遗漏．3. 你还有哪些体悟，写下来：。

随堂巩固训练(80)1. 一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为 12 . 解析：把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率为P ＝816＝12. 2. 在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是 310 . 解析：由题意得基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为310. 3. 一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为112 . 解析：基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1，1，1)，(1，2，3)，(3，2，1)，(2，2，2)，(1，3，5)，(5，3，1)，(2，3，4)，(4，3，2)，(3，3，3)，(2，4，6)，(6，4，2)，(3，4，5)，(5，4，3)，(4，4，4)，(4，5，6)，(6，5，4)，(5，5，5)，(6，6，6)共18个，所求事件的概率P ＝186×6×6＝112. 4. 从分别写有0，1，2，3，4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片，则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是 15 . 解析：从0，1，2，3，4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)共5个，所以数字和恰好等于4的概率是P ＝525＝15. 5. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 35 . 解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35. 6. 某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 35. 解析：从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 7. A ＝{1，2，3}，B ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，a ∈A ，b ∈A ，则A ∩B ＝B 的概率是 89Ｗ. 解析：因为A ∩B ＝B ，所以B 可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}.当B＝∅时，a 2－4b ＜0，满足条件的a ，b 为a ＝1，b ＝1，2，3；a ＝2，b ＝2，3；a ＝3，b ＝3.当B ＝{1}时，满足条件的a ，b 为a ＝2，b ＝1.当B ＝{2}，{3}时，没有满足条件的a ，b . 当B ＝{1，2}时，满足条件的a ，b 为a ＝3，b ＝2.当B ＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a ，b ，所以A ∩B ＝B 的概率为83×3＝89. 8. 将一颗骰子投掷两次分别得到点数a 、b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为 512. 解析：圆心(2，0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a|a 2＋b 2.当d ＜2时，直线与圆相交，则由d ＝|2a|a 2＋b 2＜2，解得b ＞a.满足题意的b ＞a ，共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512. 9. 从x 2m －y 2n＝1(其中m ，n ∈{－1，2，3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为 47. 解析：当方程x 2m －y 2n＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m ＜0，n ＞0，所以方程x 2m －y 2n＝1表示椭圆双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n)有(2，－1)，(3，－1)，(2，2)，(3，2)，(2，3)，(3，3)，(－1，－1)共7种，其中表示焦点在x 轴上的双曲线时，则m＞0，n ＞0，有(2，2)，(3，2)，(2，3)，(3，3)共4种，所以所求概率P ＝47. 10. 设a ∈{1，2，3，4}，b ∈{2，4，8，12}，则函数f(x)＝x 3＋ax －b 在区间[1，2]上有零点的概率为 1116. 解析：因为f(x)＝x 3＋ax －b ，所以f′(x)＝3x 2＋a.因为a ∈{1，2，3，4}，因此f′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，2]上为增函数. 若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a.因此可使函数在区间[1，2]上有零点的有a ＝1，2≤b ≤10，故b ＝2，4，8；a ＝2，3≤b ≤12，故b ＝4，8，12；a ＝3，4≤b ≤14，故b ＝4，8，12；a ＝4，5≤b ≤16，故b ＝8，12.根据古典概型可得有零点的概率为1116. 11. 已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球.(1) 若用数组(x ，y ，z)中的x ，y ，z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x ，y ，z)的所有情形，一共有多少种？(2) 如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由.解析：(1) 数组(x ，y ，z)的所有情形为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，2，1)，(1，2，2)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，2，1)，(2，2，2)，共8种.(2) 记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件A i (i ＝3，4，5，6)，易知，事件A 3包含1个基本事件，事件A 4包含3个基本事件，事件A 5包含3个基本事件，事件A 6包含1个基本事件，所以P(A 3)＝18，P(A 4)＝38，P(A 5)＝38，P(A 6)＝18，摸出的两球号码之和为4或5的概率相等且最大，故猜4或5获奖的可能性最大.12. 暑假期间，甲、乙两个学生准备以问卷的方式对某城市市民的出行方式进行调查. 如图是这个城市的地铁二号线路图(部分)，甲、乙分别从太平街站(用A 表示)、南市场站(用B 表示)、青年大街站(用C 表示)这三站中，随机选取一站作为调查的站点.(1) 求甲选取问卷调查的站点是太平街站的概率；(2) 求乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率.解析：(1) 由题知，所有的基本事件有3个，甲选取问卷调查的站点是太平街站的基本事件有1个，所以所求事件的概率P ＝13. (2) 由题知，甲、乙两人选取问卷调查的所有情况如下表：由表格可知，共有9种可能结果，其中甲、乙在相邻的两站进行问卷调查的结果有4种，分别为(A ，B)，(B ，A)，(B ，C)，(C ，B)，因此乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率为49. 13. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数量；(2) 若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率.解析：(1) 由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数量为6×2121＋14＋7＝3； 从中学中抽取的学校数量为6×1421＋14＋7＝2； 从大学中抽取的学校数量为6×721＋14＋7＝1. 因此，从小学、中学、大学中分别抽取的学校数量分别为3，2，1.(2) ①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3，2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}共15种.②“从6所学校中抽取的2所学校均为小学”记为事件B，所有可能的结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}共3种，所以P(B)＝315＝15.。

随堂巩固训练(75)1. 计算机执行下面的程序段后，输出的结果b是　1　.a←1，b←3，a←a＋b，b←a－b.解析：a←a＋b，即a＝4.又b←a－b，故b＝1.2. 运行如图所示的算法，则输出的结果是　25　.解析：x＝0<20，则x＝1，输出x＝1<20，x＝2，输出x＝4<20，x＝5，输出x＝25>20，结束循环.3. 如图，给出一个算法的伪代码，则f(－2)＋f(3)＝　－1　.解析：由题意得f(－2)＝4×(－2)－1＝－9，f(3)＝23＝8，则f(－2)＋f(3)＝－9＋8＝－1.4. 如图是一个算法的伪代码，输出结果是　14　.解析：一共循环三次，第一次，I＝2，S＝2；第二次，I＝4，S＝6；第三次，I＝8，S＝14，输出结果是S＝14.5. 根据如图所示的伪代码，最后输出的a的值为　48　.解析：由题意可知这是一个当型循环，循环条件为当i≤6时循环，当i＝2时，a＝1×2＝2，i＝2＋2＝4；当i＝4时，a＝2×4＝8，i＝4＋2＝6；当i＝6时，a＝8×6＝48，i＝6＋2＝8.因为i＝8>6，则结束循环，故输出48.6. 运行如下所示的程序，则程序运行后的输出结果为　16　.解析：S←0，I取值从1开始，且步长为2，则S＝1＋3＋5＋7＝16.7. 如果在如图所示的程序中运行后输出的结果为132，那么在程序While 后面的条件应为　i ≥11或i>10　.解析：第一次循环之后S ＝12，i ＝11；第二次循环之后S ＝132，i ＝10.已满足条件，则跳出循环，由于此循环为当型循环，i ＝12，i ＝11都满足条件，故i ≥11或i>10.8. 如图所示是一个算法的伪代码，则输出的结果是　5　.解析：第1次循环：I ＝1＋1＝2，S ＝1×2＝2；第2次循环：I ＝2＋1＝3，S ＝2×3＝6；第3次循环：I ＝3＋1＝4，S ＝6×4＝24；第4次循环：I ＝4＋1＝5，S ＝24×5＝120，不满足S ≤24，输出I ＝5.9. 某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为1，则输入x 的值为　－1或2 014　. 解析：由程序框图知，算法的功能是求y ＝的值.当x ≤0时，由x ＋{x ＋2， x ≤0，log 2 014x ， x >0)2＝1，得x ＝－1；当x>0时，由log 2 014x ＝1得x ＝2 014.综上，输入x 的值为－1或2 014.10. 某算法的伪代码如图所示，则输出的i 的值为　5　.解析：该算法语句运行4次，输出i ＝5.11. 已知某算法的伪代码如图所示，则可算得f(－1)＋f(e )的值为 . 32解析：算法的功能是求f(x)＝的值，所以f(－1)＋f(e )＝＋1＝. {ln x ，x >0，2x ， x ≤0)123212. 根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为　48　.解析：该代码运行3次，所以输出的a ＝1×2×4×6＝48.。

姓名，年级：时间：第60课数列的概念及简单表示1. 数列的概念及数列与函数的关系(A级要求）.2。

数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式）(A级要求）.1。

阅读：必修5第31～34页。

2。

解悟：①读懂数列的定义，并与函数的定义作比较；②写出数列的通项公式,就是寻找a n与n的对应关系a n＝f(n)；③重解第33页例3，体会方法。

3. 践习：在教材空白处，完成第34页习题第7、8、9题.基础诊断1. 数列1，2,7，错误!，错误!，…中的第26项为2错误!.解析：因为a1＝1＝错误!，a2＝2＝错误!,a3＝错误!，a4＝错误!，a5＝错误!，所以a n＝，3n－2,所以a26＝错误!＝错误!＝2错误!.2。

下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列｛a n｝的前4项,则这个数列的一个通项公式为a n＝3n－1.（1）(2) （3) （4)解析:由图可知前4个图中着色三角形的个数分别为1，3，32，33，…,猜想第n个图的着色三角形的个数为3n－1，所以这个数列的通项公式为a n＝3n－1。

3. 已知在数列{a n}中，a1＝错误!，a n＝1－错误!（n≥2)，则a16＝错误!。

解析:由题意知a2＝1－错误!＝－1,a3＝1－错误!＝2，a4＝1－错误!＝错误!，所以此数列是以3为周期的周期数列，所以a16＝a3×5＋1＝a1＝错误!。

4. 已知数列{a n｝的前n项和S n＝n2＋1，则a n＝错误!。

解析：当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时,a n＝S n－S n－1＝n2＋1－［(n－1）2＋1]＝2n－1，故a＝错误!n范例导航考向❶数列的通项公式例1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式：（1) －1，7，－13,19,…;解析：(1) 数列中各项的符号可通过(－1）n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n＝（－1）n(6n－5）.（2) 1，0，错误!，0，错误!，0,错误!，…；解析：（2）分母依次为1,2,3，4，5，6，7，…，分子依次为1，0，1，0，1，0，1，…，把数列改写成错误!，错误!,错误!,错误!，错误!，错误!,错误!，…,因此数列的一个通项公式为a n＝错误!。

第一节集合的概念与运算1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N *或N＋Z Q R2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，并且集合A与集合B不相等A⊆B，且A≠B A B或B A 相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆A A＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B∅3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于集合{x|x∈U，且x∉A}∁U A(1)若集合A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个．(2)集合的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(考虑A是空集和不是空集两种情况)(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[小题体验]1．(2018·江苏高考)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝________.答案：{1,8}2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4}，N＝{4,5}，则∁U(M∪N)＝________.答案：{1,6}3．设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝________.答案：{x|0≤x＜2}4．设全集U＝N*，集合A＝{2,3,6,8,9}，集合B＝{x|x＞3，x∈N*}，则图中阴影部分所表示的集合是________．答案：{2,3}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他形式)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．3．注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法注意端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数为________．解析：由A中的不等式解得0≤x≤2，x∈N，即A＝{0,1,2}．因为A∪B＝{0,1,2}，所以B可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．答案：82．已知集合M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为________．解析：因为a ∈M ，b ∈N ，所以a ＝1或2，b ＝3或4或5.当a ＝1时，若b ＝3，则x ＝4；若b ＝4，则x ＝5；若b ＝5，则x ＝6.同理，当a ＝2时，若b ＝3，则x ＝5；若b ＝4，则x ＝6；若b ＝5，则x ＝7，由集合中元素的特性知P ＝{4,5,6,7}，则P 中的元素共有4个．答案：43．设集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |x －a ＞0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题设条件得A ＝{x |－x 2＋x ＋2＞0}＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＞a }．因为A ⊆B ，在数轴上表示出两集合如图所示， 故a ≤－1. 答案：(－∞，－1]4．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3， 根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，满足题意．故m ＝－32.答案：－32考点一 集合的基本概念基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(易错题)已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为________．解析：集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．答案：92．若－1∈{a －1,2a ＋1，a 2－1}，则实数a 的取值集合是________．解析：若a －1＝－1，解得a ＝0，此时集合中的元素为－1,1，－1，不符合元素的互异性；若2a ＋1＝－1，解得a ＝－1，此时集合中的元素为－2，－1，0，符合题意； 若a 2－1＝－1，解得a ＝0，不符合题意， 综上所述，a ＝－1，故填{－1}． 答案：{－1}3．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________.解析：若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98.答案：0或984．(易错题)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1，m }，若3－m ∈A ，则非零实数m 的值是________． 解析：由题意知，若3－m ＝1，则m ＝2，符合题意；若3－m ＝2，则m ＝1，此时集合B 不符合元素的互异性，故m ≠1；若3－m ＝3，则m ＝0，不符合题意． 故m ＝2. 答案：2[谨记通法]与集合中元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．考点二 集合间的基本关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M 且2x ∉M }的子集有________个． 解析：由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个． 答案：42．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n ＋13，n ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n3＋1，n ∈Z ，则集合A ，B 的关系为________．解析：x ＝2n 3＋1＝2n ＋33，∵n ∈Z ，∴2n 为偶数，∴2n ＋1为奇数，2n ＋3为奇数， ∴A ＝B .答案：A ＝B3．(2019·无锡期中)已知集合A ＝{0,1,2}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1x ，且B ⊆A ，则实数x ＝________.解析：∵B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1x 且B ⊆A ，∴1x ＝2，∴x ＝12. 答案：12[由题悟法]判断集合间关系的3种方法1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．解析：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2， 所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故所求集合C 的个数为4.答案：42．(2018·镇江二模)设集合A ＝{2,4}，B ＝{a 2,2}(其中a ＜0)，若A ＝B ，则实数a ＝________.解析：∵A ＝{2,4}，B ＝{a 2,2}，且A ＝B ，∴a 2＝4.又a ＜0，∴a ＝－2. 答案：－23．(2019·海门中学测试)已知集合A ＝{1,3，x }，B ＝{2－x,1}． (1)记集合M ＝{1,4，y }，若集合A ＝M ，求实数x ＋y 的值；(2)是否存在实数x ，使得B ⊆A ？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题可知⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝3，故x ＋y ＝19.(2)假设存在实数x，使得B⊆A，则2－x＝3，或2－x＝x.若2－x＝3，则x＝－1，不合题意；若2－x＝x，则x＋x－2＝0，解得x＝1，不合题意．故不存在实数x，使得B⊆A.考点三集合的基本运算题点多变型考点——多角探明[锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有：(1)集合的运算；(2)利用集合运算求参数；(3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：集合的运算1．设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝________.解析：由题意知A∪B＝{1,2,4,6}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．答案：{1,2,4}2．(2019·汇龙中学检测)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁U A)∪B＝________.解析：因为∁U A＝{2,5}，所以(∁U A)∪B＝{2,4,5}．答案：{2,4,5}角度二：利用集合运算求参数3．(2019·苏州模拟)已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁U A＝{5}，则实数a＝________.解析：由题意知，a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2.当a＝－4时，|2a－1|＝9，而9∉U，所以a＝－4不满足题意，舍去；当a＝2时，|2a－1|＝3,3∈U，满足题意．故实数a 的值为2.答案：2角度三：新定义集合问题4.如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A B＝________.解析：因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，结合Venn图可知A B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．答案：{x|0≤x≤1或x＞2}[通法在握] 解集合运算问题4个技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决数形结合常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图新定义型问题以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决[演练冲关]1．(2018·南京高三年级学情调研)若集合P＝{－1,0,1,2}，Q＝{0,2,3}，则P∩Q＝________.解析：由已知可得，P∩Q＝{0,2}．答案：{0,2}2．(2018·苏州检测)设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则a＋b＝________.解析：因为A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，所以5＝2a＋1，且5＝2＋b，解得a＝2，b＝3，所以a＋b＝5.答案：53．(2019·南京师大附中检测)设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________.解析：因为A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，所以A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|0＜x＜2}，所以A⊗B＝{x|x＝0或x≥2}．答案：{x|x＝0或x≥2}4．(2018·泰州中学高三学情调研)已知全集I＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,5}，B ＝{2,3,6}，则(∁I A)∩B＝________.解析：因为全集I＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,5}，所以∁I A＝{2,4,6}，又因为B ＝{2,3,6}，所以(∁I A)∩B＝{2,6}．答案：{2,6}一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·徐州、连云港、宿迁三检)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|0＜x ＜5}，则A∩B＝________.解析：因为集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}为奇数集，B＝{x|0＜x＜5}，所以A∩B＝{1,3}．答案：{1,3}2．定义：满足任意元素x∈A，则|4－x|∈A的集合称为优集，若集合A＝{1，a,7}是优集，则实数a的值为________．解析：依题意，当x＝1时，|4－x|＝3∈A，当x＝7时，|4－x|＝3∈A，所以a＝3符合条件．答案：33．(2018·如皋高三上学期调研)集合A＝{1,3}，B＝{a2＋2,3}，若A∪B＝{1,2,3}，则实数a的值为________．解析：∵A＝{1,3}，B＝{a2＋2,3}，且A∪B＝{1,2,3}，∴a2＋2＝2，解得a＝0，即实数a的值为0.答案：04．(2018·盐城三模)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，C＝A∩B，则集合C 的子集的个数为________．解析：因为A∩B＝{1,3,5}，所以C＝{1,3,5}，故集合C的子集的个数为23＝8.答案：85．(2019·徐州期中)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＜y，x＋y∈A}，则集合B的子集个数是________．解析：∵集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＜y，x＋y∈A}，∴B＝{(1,2)，(2,3)，(1,3)，(1,4)}，∴集合B的子集个数是24＝16.答案：166．(2019·南通中学检测)已知集合A＝{x|y＝9－x2}，B＝{x|x≥a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是________．解析：因为A∩B＝A，所以A⊆B.因为A＝{x|y＝9－x2}＝{x|9－x2≥0}＝[－3,3]，所以[－3,3]⊆[a，＋∞)，所以a≤－3.答案：(－∞，－3]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·常州调研)已知{1}⊆A ⊆{1,2,3}，则这样的集合A 有________个． 解析：根据已知条件知符合条件的A 为：A ＝{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}， ∴集合A 有4个． 答案：42．(2019·启东中学检测)已知集合A ＝{x |0＜x ≤6}，B ＝{x ∈N|2x＜33}，则集合A ∩B 的元素个数为________．解析：因为A ＝{x |0＜x ≤6}，B ＝{x ∈N|2x＜33}＝{0,1,2,3,4,5}，所以A ∩B ＝{1,2,3,4,5}，即A ∩B 的元素个数为5.答案：53．已知a ≤1时，集合{x |a ≤x ≤2－a }中有且只有3个整数，则实数a 的取值范围是________．解析：因为a ≤1，所以2－a ≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a ＝0，集合中有0,1,2三个整数，所以a ＝0符合题意； 若区间端点不为整数，则区间长度2＜2－2a ＜4，解得－1＜a ＜0，此时，集合中有0,1,2三个整数，所以－1＜a ＜0符合题意．综上，实数a 的取值范围是(－1,0]. 答案：(－1,0]4．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}，若B ⊆(A ∩B )，则实数a 的取值范围为________．解析：因为B ⊆(A ∩B )，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32.②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]5．(2018·通州中学高三测试)设U ＝R ，A ＝(a ，a ＋1)，B ＝[0,5)，若A ⊆∁U B ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为∁U B ＝(－∞，0)∪[5，＋∞)，又A ⊆∁U B ，所以a ＋1≤0或a ≥5，解得a ≤－1或a ≥5.答案：(－∞，－1]∪[5，＋∞)6．(2019·淮阴中学检测)设全集U为实数集R ，已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，B ＝{x |1≤x ≤2}，则图中阴影部分所表示的集合为________．解析：由题意知，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32，阴影部分表示的集合为(∁U A )∩B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤32∩{x |1≤x ≤2}＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1≤x ≤32.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1≤x ≤327．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x ＜1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1，x ∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}8．(2019·海安中学检测)已知集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x＜1，N ＝{y |y ＝x －1}，则(∁R M )∩N＝________.解析：因为M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x＜1＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，N ＝{y |y ＝x －1}＝[0，＋∞)，所以∁R M ＝[0,2]，(∁R M )∩N ＝[0,2]．答案：[0,2]9．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1,3}，A ∩(∁U B )＝{2,4}，则B ＝________. 解析：因为全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 由∁U (A ∪B )＝{1,3}， 得A ∪B ＝{2,4,5,6,7,8,9}，由A ∩(∁U B )＝{2,4}知，{2,4}⊆A ，{2,4}⊆∁U B . 所以B ＝{5,6,7,8,9}． 答案：{5,6,7,8,9}10．已知集合A ＝{x |4≤2x≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．(2019·启东检测)已知集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x 2＋x －6≤0}， (1)当a ＝0时，求A ∪B ，A ∩∁R B ； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，A ＝{x |0≤x ≤3}，又B ＝{x |－3≤x ≤2}，所以∁R B ＝{x |x ＜－3或x ＞2}，所以A ∪B ＝{x |－3≤x ≤3}，A ∩∁R B ＝{x |2＜x ≤3}．(2)因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－3，a ＋3≤2，解得－3≤a ≤－1，所以实数a 的取值范围为[－3，－1]．12．(2018·南京高三部分学校联考)已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |2x －6≥0}，M ＝A ∩B .(1)求集合M ；(2)已知集合C ＝{x |a －1≤x ≤7－a ，a ∈R}，若M ∩C ＝M ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4x －5≤0，得－1≤x ≤5，所以A ＝[－1,5]．由2x －6≥0，得x ≥3，所以B ＝[3，＋∞)．所以M ＝[3,5]．(2)因为M ∩C ＝M ，所以M ⊆C ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，7－a ≥5，a －1≤7－a ，解得a ≤2. 故实数a 的取值范围为(－∞，2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018＜0}，B ＝{x |log 2x ＜m }，若 A ⊆B ，则整数m 的最小值是________．解析：由x 2－2 019x ＋2 018＜0，解得1＜x ＜2 018，故A ＝{x |1＜x ＜2 018}． 由log 2x ＜m ，解得0＜x ＜2m ，故B ＝{x |0＜x ＜2m }．由A ⊆B ，可得2m ≥2 018， 因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m 的最小值为11.答案：112．对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A ΔB＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A ΔB ＝________.解析：由题意知，要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1,6,10,12}，所以A ΔB ＝{1,6,10,12}．答案：{1,6,10,12}3．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，则A ∪B ＝{x |－2＜x ＜3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

____第2课__集合及其基本运算(2)______1. 熟练掌握集合间的交、并、补集的运算以及求集合的子集．2. 能应用分类讨论的思想解决简单的分类讨论问题.1. 阅读：阅读必修1第11～14页．2. 解悟：①从A∩B＝A能得到什么结论？②从A∪B＝A能得到什么结论？3. 践习：在教材空白处，完成第13页练习第6题，第14页习题第10、13题.基础诊断1. 集合U＝{1，2}的子集个数为__4__．解析：根据子集个数的公式可得，子集的个数为22＝4.2. 已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则集合∁U(A∪B)＝__{3}__．解析：由题意得，A∪B＝{1，2，4}，所以∁U(A∪B)＝{3}．3. (1) 已知集合A＝{y|y＝log2(－1)}，集合B＝{y|y＝2}，则A∩B＝__(0，＋∞)__；(2) 已知集合A＝{|y＝log2(－1)}，集合B＝{y|y＝2}，则A∩B＝__(1，＋∞)__；(3) 已知集合A＝{(，y)|y＝log2}，集合B＝{(，y)|y＝－1}，则A∩B＝__{(1，0)，(2，1)}__．解析：(1) 由题意得，集合A＝R，集合B＝{y|y>0}，所以A∩B＝(0，＋∞)．(2) 由题意得，集合A＝{|>1}，集合B＝{y|y>0}，所以A∩B＝(1，＋∞)．(3) 令log2＝－1，解得＝1或＝2，所以y＝0或y＝1，所以A∩B＝{(1，0)，(2，1)}．4. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{－1，0，2}，则集合A∪B中所有元素之和为__5__．解析：因为A∪B＝{－1，0，1，2，3}，所以集合A∪B中所有元素之和为－1＋0＋1＋2＋3＝5.范例导航考向❶对子集的分类讨论例1 已知集合A＝{2，5}，B＝{|2＋p＋q＝0，∈R}．(1) 若B＝{5}，求p，q的值；(2) 若A∩B＝B，求实数p，q满足的条件．解析：(1) 因为B＝{5}，所以方程2＋p＋q＝0有两个相等的实根5，所以5＋5＝－p，5×5＝q，所以p＝－10，q＝25.(2) 因为A∩B＝B，所以B⊆A.当B ＝∅时，Δ＝p 2－4q <0，即p 2<4q ；当B ＝{2}时，可求得p ＝－4，q ＝4；当B ＝{5}时，可求得p ＝－10，q ＝25；当B ＝{2，5}时，可求得p ＝－7，q ＝10.综上所述，实数p ，q 满足的条件为p 2<4q 或⎩⎨⎧p ＝－4，q ＝4或⎩⎨⎧p ＝－10，q ＝25或⎩⎨⎧p＝－7，q ＝10.已知函数f ()＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g ()＝lg(－2＋2＋m )的定义域为集合B .(1) 当m ＝3时，求A ∩∁R B ；(2) 若A ∩B ＝{|－1<<4}，求实数m 的值．解析：(1) 当m ＝3时，B ＝{|－1<<3}，则∁R B ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)．又因为A ＝(－1，5]，所以A ∩∁R B ＝[3，5]．(2) 因为A ＝(－1，5]，A ∩B ＝{|－1<<4}，所以4是方程－2＋2＋m ＝0的一个根， 所以－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时集合B ＝{|－2<<4}，符合题意．因此实数m 的值为8.考向❷ 对集合中元素的分类讨论例2 已知集合A ＝{y|y ＝－2，∈[2，3]}，B ＝{|2＋3－a 2－3a>0}．(1) 当a ＝4时，求A ∩B ；(2) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解析：(1) 由题意得，A ＝[－8，－4]，当a ＝4时，B ＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)，所以A ∩B ＝[－8，－7)．(2) 方程2＋3－a 2－3a ＝0的两根分别为a ，－a －3.①当a ＝－a －3，即a ＝－32时，B ＝⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(－32，＋∞)，满足A ⊆B ； ②当a<－a －3，即a<－32时， B ＝(－∞，a)∪(－a －3，＋∞)，则a>－4或－a －3<－8，解得－4<a<－32； ③当a>－a －3，即a>－32时， B ＝(－∞，－a －3)∪(a ，＋∞)，则a<－8或－a －3>－4，解得－32<a<1. 综上所述，实数a 的取值范围是(－4，1)．已知集合A ＝{|2＋2－8>0}，B ＝{y|y ＝2－2＋2，∈R}，C ＝{|(－a )(＋4)≤0，a ∈R}.(1) 求A ∩B ；(2) 若∁R A ⊆C ，求实数a 的取值范围．解析：(1) 因为2＋2－8>0，解得>2或<－4，所以A ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)．因为y ＝2－2＋2＝(－1)2＋1≥1，所以B ＝[1，＋∞)，所以A ∩B ＝(2，＋∞)．综上所述，A ∩B ＝(2，＋∞)．(2) 因为A ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)，所以∁R A ＝[－4，2]．因为∁R A ⊆C ，且C ＝{|(－a )(＋4)≤0，a ∈R}，所以a ≥2，所以a 的取值范围为[2，＋∞). 考向❸ 对自变量系数的分类讨论例3 已知集合A ＝{|0<a ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|－12<x ≤2. (1) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；(2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3) A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由．解析：对于不等式0<a ＋1≤5，当a ＝0时，0<1<5恒成立，即∈R ，集合A ＝R ；当a >0时，－1a <≤4a，即集合A ＝{|－1a <≤4a }； 当a <0时，4a ≤<－1a ，即集合A ＝{|4a≤<－1a }． (1) 若A 是B 的子集，则当a ＝0时，不满足题意；当a >0时，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≥－12，4a ≤2，解得a ≥2； 当a <0时，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧4a >－12，－1a ≤2，解得a <－8. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，－8)∪[2，＋∞)． (2) 若B 是A 的子集，则当a ＝0时，满足题意；当a >0时，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≤－12，4a ≥2，解得0<a ≤2； 当a <0时，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧－1a >2，4a ≤－12，解得－12<a <0. 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，2. (3) 当A ＝B 时，需满足A ⊆B 且B ⊆A ，即同时满足(1)和(2)，所以a ＝2.自测反馈1. 设U 为全集，集合A 为U 的子集，则A ∩A ＝__A__；A ∪A ＝__A__；A ∩∅＝__∅__；A ∪∅＝__A__；A ∪∁U A ＝__U__；A ∩∁U A ＝__∅__．2. 满足{1，3}∪A ＝{1，3，5}的集合A 的个数是__4__．解析：因为{1，3}∪A ＝{1，3，5}，所以A ＝{5}或{1，5}或{3，5}或{1，3，5}，共有4个．3. 对于集合A ，B ，我们将集合{|∈A ，且∉B}叫作集合A 与B 的差集，记作A －B.(1) 若A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{4，5，6，7，8}，则A －B ＝__{1，2，3}__；B －A ＝__{6，7，8}__；(2) 如果A－B＝∅，那么集合A与B之间的关系是__A⊆B__．4. 已知集合P＝{y＝2＋1}，Q＝{y|y＝2＋1}，E＝{|y＝2＋1}，F＝{(，y)|y＝2＋1}，则与G ＝{|≥1}为同一集合的是__Q__．解析：集合P中y＝2＋1就是这个集合中的一个元素；集合Q＝{y|y＝2＋1}＝{y|y≥1}，与集合G为同一集合；集合E＝{|y＝2＋1}＝R；集合F是一个点集，所以与集合G为同一集合的是Q.1. 区分点集和数集在书写上的不同．2. 解题时，注意分类讨论、数形结合等思想方法的运用．3. 你还有哪些体悟，写下;：。

___第7课__函数的性质(1)____1. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，能判断或证明一些简单函数的单调性．2. 掌握判断一些简单函数单调性的常用方法．3. 会运用函数图象理解和研究函数的单调性.1. 阅读：必修1第37～39页．2. 解悟：①圈出第37页蓝色框中关于单调函数及单调区间概念中的关键词；②如何求函数的单调区间？有哪些方法？③用定义法判断函数单调性的一般步骤和注意点；④对于基本初等函数，我们一般用什么方法求函数的最值？3. 践习：在教材空白处，完成第40页练习第1、2、5、7、8题.基础诊断1. 函数y ＝xx －1的单调减区间是__(－∞，1)，(1，＋∞)__．解析：因为y ＝x x －1＝1＋1x －1，所以该函数的单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．2. 已知函数y ＝f()在R 上是增函数，且f (m 2)>f (－m )，则实数m 的取值范围为__(－∞，－1)∪(0，＋∞)__．解析：因为y ＝f ()在R 上是增函数，且f (m 2)>f (－m )，所以m 2>－m ，即m 2＋m >0，解得m >0或m <－1，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．3. 函数y ＝122－ln 的单调减区间为__(0，1]__．解析：由题意可知>0，y ′＝－1x ，令y ′≤0，则－1x ≤0，即x 2－1x ≤0，解得－1≤≤1且≠0.又因为>0，所以0<≤1，故该函数的单调减区间为(0，1]．4. 已知函数y ＝f()在R 上是减函数，点A (0，－2)，B (－3，2)在其图象上，则不等式－2<f ()<2的解集为__(－3，0)__．解析：由题意得－2＝f (0)，2＝f (－3)，所以－2<f ()<2，即f (0)<f ()<f (－3)．又因为函数f ()在R 上是减函数，所以－3<<0，故该不等式的解集为(－3，0)．5. 已知f()＝⎩⎨⎧a x ， x>1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2， x ≤1是R 上的单调增函数，则实数a 的取值范围为__[4，8)__．解析：因为函数f ()是R 上的单调增函数，所以f ()＝a 在(1，＋∞)上单调递增，f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2在(－∞，1]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a 1≥4－a2＋2，解得4≤a <8，故实数a 的取值范围是[4，8)．范例导航考向❶ 求函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间： (1) y ＝2－2＋4－3； (2) y ＝log 12(－2＋4－3)．解析：(1) 由题意得函数的定义域为R ， 因为函数y ＝2在R 上是增函数，所以函数y ＝－2＋4＋3的增(减)区间即为原函数的增(减)区间． 因为函数y ＝－2＋4＋3的增区间为(－∞，2)，减区间为(2，＋∞)， 所以原函数的增区间为(－∞，2)，减区间为(2，＋∞)． (2) 因为y ＝log 12(－2＋4－3)，所以－2＋4－3>0，解得1<<3. 令t ＝－2＋4－3，则y ＝log 12t .因为t 在区间(1，2)上单调递增，区间(2，3)上单调递减，而y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y ＝log 12(－2＋4＋3)在区间(2，3)上单调递增，在区间(1，2)上单调递减．求函数y ＝122－－2ln 的单调区间．解析：由题意知，原函数的定义域为(0，＋∞)． 因为y ＝122－－2ln ，所以y ′＝－2x －1.令y ′>0，则－2x－1>0，解得>2；令y ′<0，则－2x－1<0，解得0<<2.所以该函数的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为(0，2). 考向❷ 证明单调性，以及根据单调性求参数的取值范围 例2 已知函数f()＝xx －a(≠a)．(1) 若a ＝－2，求证：函数f()在区间(－∞，－2)上单调递增；(2) 若a>0且函数f()在区间(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 设1<2<－2，则f(1)－f(2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为(1＋2)(2＋2)>0，1－2<0， 所以f(1)<f(2)，所以函数f()在(－∞，－2)上单调递增． (2) 设1<1<2，则f(1)－f(2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a>0，2－1>0，所以要使f(1)－f(2)>0，只需(1－a)(2－a)>0恒成立，所以a ≤1. 综上所述，a 的取值范围是(0，1]．已知函数f()＝23a 3＋2＋－1.(1) 当a ＝－12时，求f()的单调区间；(2) 若函数f()在[1，3]上单调递增，求a 的取值范围． 解析：(1) 当a ＝－12时，f()＝－133＋2＋－1，则f ′()＝－2＋2＋1.令f ′()≥0，解得1－2≤≤1＋2； 令f ′()<0，解得<1－2或>1＋ 2.故当a ＝－12时，f()的单调增区间为[1－2，1＋2]，单调减区间为(－∞，1－2)，(1＋2，＋∞)． (2) f ′()＝2a 2＋2＋1≥0对∀∈[1，3]恒成立， 所以a ≥－1x －12x 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12＋12.因为1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，所以当＝3时，－12(1x ＋1)2＋12取最大值－718，所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－718，＋∞.考向❸ 利用单调性求最值例3 已知函数f()＝x 2＋2x ＋ax ，∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝12时，求函数f()的最小值；(2) 若对任意∈[1，＋∞)，f()>0恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 当a ＝12时，f()＝＋12x ＋2.设1≤1<2，则f(2)－f(1)＝(2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2.因为1≤1<2，所以2－1>0，212>2， 所以0<12x 1x 2<12，1－12x 1x 2>0，所以f(2)－f(1)>0，即f(1)<f(2)，所以函数f()在区间[1，＋∞)上为增函数， 所以函数f()在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2) 在区间[1，＋∞)上f()>0恒成立，即2＋2＋a>0恒成立． 设y ＝2＋2＋a ，∈[1，＋∞)，则函数y ＝2＋2＋a ＝(＋1)2＋a －1在区间[1，＋∞)上是增函数， 所以当＝1时，y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a>0时，函数f()>0恒成立，故a>－3，即实数a 的取值范围为(－3，＋∞)．自测反馈1. 已知定义在区间(－1，1)上的函数f()是减函数，且满足f(1－a)<f(2a －1)，则实数a 的取值范围为__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23__．解析：由题意得⎩⎨⎧1－a>2a －1，－1<1－a<1，－1<2a －1<1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<23，0<a<2，0<a<1，所以0<a<23，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.2. 函数f()＝2xx ＋1在区间[1，2]上单调递__增__．(填“增”或“减”)解析：设1≤1<2≤2，则f(1)－f(2)＝2x 1x 1＋1－2x 2x 2＋1＝2（x 1－x 2）（x 1＋1）（x 2＋1）.因为(1＋1)(2＋1)>0，1－2<0，所以f(1)－f(2)<0，即f(1)<f(2)，所以函数f()在区间[1，2]上单调递增．3. “a ≤0”是“函数f()＝|(a －1)|在区间(0，＋∞)上单调递增”的__充要__条件． 解析：当a ＝0时，f()＝|－|＝||，函数f()在[0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f()＝|(a －1)|，函数f()与轴的交点为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0，函数的大致图象如图1，故函数f() 在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f()＝|(a －1)|，函数与轴的交点为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0，函数的大致图象如图2，故函数f()在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在(0，＋∞)上不是增函数．综上，当函数f()在(0，＋∞)上单调递增时，a ≤0，故“a ≤0”是“函数f()＝|(a －1)|在区间(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．图 1图24. 若函数f()＝⎩⎨⎧－x ＋6， x ≤2，3＋log ax ， x>2(a>0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是__(1，2]__．解析：当≤2时，f()＝－＋6≥－2＋6＝4；当>2时，若a>1，则f()＝3＋log a >3＋log a 2，由f()的值域可知，3＋log a 2≥4，解得1<a ≤2；若0<a<1，则f()＝3＋log a <3＋log a 2，与f()的值域矛盾，故a 的取值范围是(1，2]．1. 函数的单调性主要关注的是函数的局部性质．2. 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．多个单调区间不能用“∪”连结，要用“逗号”或者“和”连结.3. 你还有哪些体悟，写下;：。

第75课基本算法语句(1)1. 了解用伪代码表示的几种基本算法语句：赋值语句、输出语句、条件语句、循环语句.2. 能用自然语言、流程图和伪代码表示算法，会用“While循环”“For循环”或“Do循环”语句实施循环.1. 阅读：必修3第17～21页.2. 解悟：①伪代码的含义；②赋值语句、输入语句、输出语句、条件语句、循环语句的一般形式；③“If-Then-Else”语句嵌套及实现功能；④三种循环语句的区别.3. 践习：重解第20～21页例2和例3.在教材空白处，完成第21页练习第2、3题.基础诊断1. 下列语句：①m←x3－x2；②T←T×I；③32←A；④A←A＋2；⑤p←[(7x＋3)x－5]x ＋1.其中为赋值语句的是①②④⑤.(填序号)解析：因为③中左边为数字，故不是赋值语句，①②④⑤均为赋值语句.2. 执行如图所示的程序，则输出的结果为26.解析：由题意得S＝1＋1＋3＋5＋7＋9＝26，故输出的结果为26.3. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为11.解析：由题意可得I＝1满足条件I<7，S＝3；I＝3满足条件I<7，S＝7；I＝5满足条件I<7，S＝11；I＝7，不满足条件I<7，退出循环，故输出的结果为11.4. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为21.解析：P＝1＋2×(1＋4＋7＋10)－6×4＝21.范例导航考向❶ 区别赋值语句与输入、输出语句例1 读如下两段伪代码，完成下面题目：运行如图1和图2所示的程序，若输出的结果相同，则图乙中输入的x 的值为 0 . 解析：由图1知运算后输出的x 的值为6，所以图2中输入的x ＝0.执行如图所示的伪代码，当输入a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2分别为1，1，35，2，4，94时，输出的x ＝ 23 ，y ＝ 12 Ｗ.解析：x ＝4×35－1×941×4－2×1＝23，y ＝1×94－2×351×4－2×1＝12. 考向❷ 区别While 、Do 、For 三种循环语句例2 用伪代码设计计算1×3×5×7×…×99，分别用While 语句、Do 语句和For 语句写出伪代码.解析：While 语句如图1，Do 语句如图2，For 语句如图3.1. 执行如图所示算法的伪代码，则输出x的值为16.解析：共进行四次循环，第一次S＝1；第二次S＝1＋3＝4；第三次S＝4＋5＝9；第四次S＝9＋7＝16，所以输出的S的值为16.2. 执行如图所示的算法，则输出的i的值是7.解析：该伪代码运行三次循环，第一次i＝3，S＝2×3＝6；第二次i＝5，S＝6×5＝30；第三次i＝7，S＝30×7＝210，退出循环，所以输出的i的值为7.自测反馈1. 执行下面的伪代码，输出的结果是25.解析：第一次循环x＝1；第二次循环x＝4；第三次循环x＝25，退出循环，故输出的结果为25.2. 阅读如图所示的伪代码，若使这个算法执行的是－1＋3－5＋7－9的计算结果，则a 的初始值x＝1.3. 执行如图所示的伪代码后，输出的结果是28.解析：该伪代码运行三次：第一次x ＝6，i ＝4；第二次x ＝14，i ＝7；第三次x ＝28，i ＝10.退出循环，故输出的结果是28.4. 根据如图所示的伪代码，输出的结果为 100 .解析：由题意得T ＝1＋3＋5＋…＋19＝10×（1＋19）2＝100，故输出的结果为100. 5. 根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 145 .解析：该伪代码的算法功能就是求等差数列1，4，7，…，28的和，故输出的结果是145.1. 了解顺序结构、选择结构和循环结构这三种结构的特点及实现功能.2. While 、Do 、For 三种循环语句，在启动循环与中止循环时，是如何实现的？结合例2理解体悟.3. 你还有哪些体悟，请写下来：。