西工大飞行器结构力学电子教案5-1

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西工大飞行器结构力学电子教案

西工大飞行器结构力学电子教案第一章：飞行器结构力学概述1.1 飞行器结构力学的定义介绍飞行器结构力学的概念和基本原理。

解释飞行器结构力学的研究对象和内容。

1.2 飞行器结构的特点与分类讨论飞行器结构的特点，包括轻质、高强度、耐腐蚀等。

介绍飞行器结构的分类，包括飞行器壳体、梁、板、框等。

1.3 飞行器结构力学的基本假设阐述飞行器结构力学分析的基本假设，如材料均匀性、连续性和稳定性。

第二章：飞行器结构受力分析2.1 飞行器结构受力分析的基本方法介绍飞行器结构受力分析的基本方法，包括静态分析和动态分析。

2.2 飞行器结构受力分析的实例通过具体实例，讲解飞行器结构受力分析的过程和方法。

2.3 飞行器结构受力分析的计算方法介绍飞行器结构受力分析的计算方法，包括解析法和数值法。

第三章：飞行器结构强度分析3.1 飞行器结构强度理论介绍飞行器结构强度理论的基本原理，包括最大应力理论和能量原理。

3.2 飞行器结构强度计算方法讲解飞行器结构强度计算的方法，包括静态强度计算和疲劳强度计算。

3.3 飞行器结构强度分析的实例通过具体实例，展示飞行器结构强度分析的过程和方法。

第四章：飞行器结构稳定分析4.1 飞行器结构稳定理论介绍飞行器结构稳定理论的基本原理，包括弹性稳定理论和塑性稳定理论。

4.2 飞行器结构稳定计算方法讲解飞行器结构稳定计算的方法，包括解析法和数值法。

4.3 飞行器结构稳定分析的实例通过具体实例，讲解飞行器结构稳定分析的过程和方法。

第五章：飞行器结构动力学分析5.1 飞行器结构动力学基本原理介绍飞行器结构动力学的基本原理，包括振动理论和冲击理论。

5.2 飞行器结构动力学计算方法讲解飞行器结构动力学计算的方法，包括解析法和数值法。

5.3 飞行器结构动力学分析的实例通过具体实例，展示飞行器结构动力学分析的过程和方法。

第六章：飞行器结构疲劳与断裂分析6.1 飞行器结构疲劳基本理论介绍飞行器结构疲劳现象的基本原理，包括疲劳循环加载、疲劳裂纹扩展等。

飞行器结构力学课程教学大纲

期末考试：60%，期中考试：10%，作业：10%，课程设计：20% T.H.G. Megson, Aircraft Structures for Engineering Students, 4th Edition ， Elsevier’s Science & Technology, 2007,ISBN-13:978-0-75066-7395
《飞行器结构力学》课程教学大纲
课程基本信息（Course Information）课程代码（Course Code） *课程名称（Course Name）课程性质 (Course Type) 授课对象（Audience）授课语言 (Language of Instruction) *开课院系（School）先修课程（Prerequisite）授课教师（Instructor）余音,于哲峰 Yu Yin，Yu Zhefeng *学时（Credit Hours） *学分（Credits）飞行器结构力学 Aircraft Structural Mechanics 专业基础课 Professional core courses 三年级本科生 Junior 中文，英文 Chinese, English 航空航天学院 School of Aeronautics and Astronautics Material mechanics, Theoretical mechanics 课程网址 (Course Webpage)
*学习目标 (Learning Outcomes)
教学内容序言弹性力学基础二维弹性力学问题三维截面的扭转课堂测验 *教学内容、进度安排及要求 (Class Schedule & Requirements) 薄板弯曲薄壁的失稳期中测验薄壁梁的弯曲薄壁梁的剪切薄壁梁的扭转开、闭剖面组合梁结构模型简化典型结构件计算复习课课程设计

飞行器结构力学

飞行器结构力学基础
——电子教学教案
西北工业大学航空学院航空结构工程系
第一章绪论
一、结构力学的任务
结构力学顾名思义就是研究结构在外界因素作用下的力学行为及其组成规律。
因此，结构力学的研究对象是结构，其定义为：
结构是由结构元件或构件(如杆、梁、板等)通过某些
连接方式(如螺接、铆接、焊接、胶接等)组合起来的
第一章绪论
三、结构力学的计算模型实际结构合理简化计算模型
计算模型的简化原则：
• 力求反映实际结构的主要受力和变形特征； • 力求便于结构的力学行为分析。
第一章绪论
三、结构力学的计算模型可以从以下5个方面进行简化： 1. 外载荷的简化
（1）略去对结构力学行为影响不大的外载荷，着重考虑起主要作用的外载荷。（2）将作用面积很小的分布载荷等效地简化为集中载荷。（3）将载荷梯度变化不大的分布载荷简化为均布载荷。
第一章绪论
六、基本关系和基本假设
2. 基本假设
（1）小变形假设
结构在外载荷作用下的变形与几何尺寸相比很小。建立力的平衡方程时，可以不考虑变形对结构几何关系的影响。
（2）线弹性假设结构在载荷作用下会产生内力和变形，
当载荷卸调后，内力和变形也随之消失，结构恢复到原始状态，无残余变形(弹性体)。
第一章绪论
三、结构力学的计算模型
定向支座
定向支座的几何特征：结构只发生平行于基础平面一个方向的平动，无转动。相当于限制了结构绕A的转动和其它方向的平动。
第一章绪论
四、结构的分类
常见的结构力学的计算模型有5种。
1. 桁架组成桁架的结构元件是细长直杆，即杆的横截面尺寸远小于其长度。各杆之间均采用无摩擦的铰（铰结点）相连。载荷只能作用在位于杆两端的铰结点上。

飞行器结构力学基础电子教学教案

飞行器结构力学基础电子教学教案一、教案简介本教案旨在通过电子教学方式，让学生了解和掌握飞行器结构力学的基础知识。

通过本课程的学习，学生将能够理解飞行器结构的基本组成，掌握飞行器结构受力分析的方法，以及运用力学原理解决飞行器结构设计中的问题。

二、教学目标1. 了解飞行器结构的基本组成和分类。

2. 掌握飞行器结构受力分析的基本方法。

3. 学习飞行器结构力学的基本原理和计算方法。

4. 能够运用所学知识解决飞行器结构设计中的实际问题。

三、教学内容1. 飞行器结构概述：飞行器结构的基本组成、分类和特点。

2. 飞行器结构受力分析：飞行器结构的受力类型、受力分析方法。

3. 飞行器结构力学原理：力学基本概念、力学基本定律、飞行器结构力学基本原理。

4. 飞行器结构力学计算：弹性力学、塑性力学、飞行器结构强度计算、稳定性和振动分析。

5. 飞行器结构设计实例：飞行器结构设计原则、实例分析。

四、教学方法1. 采用电子教学课件，结合文字、图片、动画和视频等多种形式，生动展示飞行器结构力学的基本知识和实例。

2. 利用数值计算软件，进行飞行器结构受力分析和强度计算，提高学生的实践能力。

3. 组织课堂讨论和小组合作，培养学生的团队协作能力和创新思维。

4. 布置课后习题，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。

五、教学评估1. 课后习题：评估学生对飞行器结构力学基础知识的掌握程度。

2. 课堂讨论：评估学生在团队协作和分析解决问题方面的能力。

3. 课程报告：评估学生对飞行器结构设计实例的理解和应用能力。

4. 期末考试：全面评估学生对本门课程的掌握程度。

六、教学资源1. 电子教学课件：包括飞行器结构力学的基本概念、原理、实例等内容。

2. 数值计算软件：用于飞行器结构受力分析和强度计算。

3. 教学视频：展示飞行器结构设计和制造过程。

4. 案例资料：提供飞行器结构设计实例，供学生分析和讨论。

5. 课后习题集：包括各种类型的题目，巩固所学知识。

飞行器结构力学电子教案4-3

飞行器结构力学基础
——电子教学教案电子教学教案
西北工业大学航空学院航空结构工程系
第四章
静不定结构的内力与变形计算
Internal Forces and Deformations of Statically Indeterminate Structures 第三讲力法一般原理
一、力法一般原理
i i P 1 1 2 2 n n i 1 1 i 2 2 i n n i
P
=0
式中，式中，(∑SiVj )表示第 i 个单位状态的内力在第 j 个单位状态位移上所做的虚功，同样，移上所做的虚功，仍记为δi j ，同样，记∑SiVP=iP ，则上式可写成：写成：
δ i1 X 1 + δ i 2 X 2 + L + δ in X n + iP = 0
一、力法一般原理
静不定结构内力同时要用平衡条件和变形协调条件。因而，静不定结构内力同时要用平衡条件和变形协调条件。因而，我们仍然从满足这两个条件出发进行讨论。我们仍然从满足这两个条件出发进行讨论。 1．满足平衡条件．对n次静不定结构，根据力作用的叠加原理将真实的内力状态次静不定结构，次静不定结构 <R >看做是由 n+1 个内力状态叠加而成，其中一个内力状态是个内力状态叠加而成，看做是由与外载荷相平衡的，即载荷状态<P ，与外载荷相平衡的，即载荷状态 >，其余 n 个内力状态是自身平衡的(与外力无关与外力无关)。平衡的与外力无关。每一个自身平衡状态只决定一个多余未知力X i，当X i =1时，即为单位状态 >。既然每个内力状态都满时即为单位状态<i 。既然每个内力状态都满足平衡条件，那么，足平衡条件，那么，这 n+1 个内力状态叠加的结果也必然满足平衡条件。平衡条件。即：

飞行器结构力学基础电子教学教案

飞行器结构力学基础电子教学教案第一章：飞行器结构力学概述1.1 教学目标了解飞行器结构力学的定义和研究内容掌握飞行器结构力学的基本原理和概念理解飞行器结构力学在航空航天工程中的应用1.2 教学内容飞行器结构力学的定义和研究内容飞行器结构力学的基本原理和概念飞行器结构力学在航空航天工程中的应用1.3 教学方法讲授和讲解飞行器结构力学的基本概念和原理通过实例和案例分析，让学生了解飞行器结构力学在实际工程中的应用开展小组讨论和问题解答，加深学生对飞行器结构力学知识的理解1.4 教学评价课堂问答和小组讨论，评估学生对飞行器结构力学概念的理解程度布置课后作业，评估学生对飞行器结构力学原理的掌握情况第二章：飞行器结构受力分析2.1 教学目标掌握飞行器结构受力的基本原理和分析方法学会运用力学原理对飞行器结构进行受力分析了解飞行器结构受力分析在工程设计中的应用2.2 教学内容飞行器结构受力的基本原理和分析方法飞行器结构受力分析的步骤和技巧飞行器结构受力分析在工程设计中的应用2.3 教学方法讲授和讲解飞行器结构受力的基本原理和分析方法通过实例和案例分析，让学生掌握飞行器结构受力分析的步骤和技巧开展小组讨论和问题解答，加深学生对飞行器结构受力分析的理解2.4 教学评价课堂问答和小组讨论，评估学生对飞行器结构受力分析方法的掌握程度布置课后作业，评估学生对飞行器结构受力分析的应用能力第三章：飞行器结构动力学基础3.1 教学目标了解飞行器结构动力学的定义和研究内容掌握飞行器结构动力学的基本原理和概念理解飞行器结构动力学在航空航天工程中的应用3.2 教学内容飞行器结构动力学的定义和研究内容飞行器结构动力学的基本原理和概念飞行器结构动力学在航空航天工程中的应用3.3 教学方法讲授和讲解飞行器结构动力学的基本概念和原理通过实例和案例分析，让学生了解飞行器结构动力学在实际工程中的应用开展小组讨论和问题解答，加深学生对飞行器结构动力学的理解3.4 教学评价课堂问答和小组讨论，评估学生对飞行器结构动力学概念的理解程度布置课后作业，评估学生对飞行器结构动力学原理的掌握情况第四章：飞行器结构强度与稳定性4.1 教学目标掌握飞行器结构强度和稳定性的基本原理和方法学会运用力学原理对飞行器结构进行强度和稳定性分析了解飞行器结构强度和稳定性分析在工程设计中的应用4.2 教学内容飞行器结构强度和稳定性的基本原理和方法飞行器结构强度和稳定性分析的步骤和技巧飞行器结构强度和稳定性分析在工程设计中的应用4.3 教学方法讲授和讲解飞行器结构强度和稳定性的基本原理和方法通过实例和案例分析，让学生掌握飞行器结构强度和稳定性分析的步骤和技巧开展小组讨论和问题解答，加深学生对飞行器结构强度和稳定性的理解4.4 教学评价课堂问答和小组讨论，评估学生对飞行器结构强度和稳定性分析方法的掌握程度布置课后作业，评估学生对飞行器结构强度和稳定性分析的应用能力第五章：飞行器结构优化设计了解飞行器结构优化设计的定义和方法掌握飞行器结构优化设计的基本原理和步骤学会运用优化方法对飞行器结构进行设计优化5.2 教学内容飞行器结构优化设计的定义和方法飞行器结构优化设计的基本原理和步骤飞行器结构优化设计中常用的优化方法5.3 教学方法讲授和讲解飞行器结构优化设计的基本原理和步骤通过实例和案例分析，让学生了解飞行器结构优化设计的方法和应用开展小组讨论和问题解答，加深学生对飞行器结构优化设计的理解5.4 教学第六章：飞行器结构材料力学性质6.1 教学目标理解飞行器结构材料的力学性质对结构性能的影响掌握常用飞行器结构材料的力学性能参数学会运用材料力学性质进行飞行器结构选材和设计6.2 教学内容飞行器结构材料的力学性质及其对结构性能的影响常用飞行器结构材料的力学性能参数飞行器结构选材和设计方法讲授和讲解飞行器结构材料的力学性质及其对结构性能的影响通过实例和案例分析，让学生了解常用飞行器结构材料的力学性能参数开展小组讨论和问题解答，加深学生对飞行器结构选材和设计的理解6.4 教学评价课堂问答和小组讨论，评估学生对飞行器结构材料力学性质的理解程度布置课后作业，评估学生对飞行器结构选材和设计的掌握情况第七章：飞行器结构疲劳与断裂力学7.1 教学目标理解飞行器结构疲劳和断裂力学的原理掌握飞行器结构疲劳和断裂分析的方法学会运用疲劳和断裂力学进行飞行器结构的安全评估7.2 教学内容飞行器结构疲劳和断裂力学的原理飞行器结构疲劳和断裂分析的方法飞行器结构的安全评估方法7.3 教学方法讲授和讲解飞行器结构疲劳和断裂力学的原理通过实例和案例分析，让学生掌握飞行器结构疲劳和断裂分析的方法开展小组讨论和问题解答，加深学生对飞行器结构安全评估的理解7.4 教学评价课堂问答和小组讨论，评估学生对飞行器结构疲劳和断裂力学的理解程度布置课后作业，评估学生对飞行器结构安全评估的掌握情况第八章：飞行器结构动力学分析方法8.1 教学目标理解飞行器结构动力学分析的方法和原理掌握飞行器结构动力学分析的计算方法学会运用动力学分析方法进行飞行器结构的动力学优化8.2 教学内容飞行器结构动力学分析的方法和原理飞行器结构动力学分析的计算方法飞行器结构动力学优化方法8.3 教学方法讲授和讲解飞行器结构动力学分析的方法和原理通过实例和案例分析，让学生掌握飞行器结构动力学分析的计算方法开展小组讨论和问题解答，加深学生对飞行器结构动力学优化的理解8.4 教学评价课堂问答和小组讨论，评估学生对飞行器结构动力学分析方法的理解程度布置课后作业，评估学生对飞行器结构动力学优化的掌握情况第九章：飞行器结构力学数值分析9.1 教学目标理解飞行器结构力学数值分析的方法和原理掌握飞行器结构力学数值分析的计算方法学会运用数值分析方法进行飞行器结构力学问题求解9.2 教学内容飞行器结构力学数值分析的方法和原理飞行器结构力学数值分析的计算方法飞行器结构力学数值分析在实际工程中的应用9.3 教学方法讲授和讲解飞行器结构力学数值分析的方法和原理通过实例和案例分析，让学生掌握飞行器结构力学数值分析的计算方法开展小组讨论和问题解答，加深学生对飞行器结构力学数值分析的理解9.4 教学评价课堂问答和小组讨论，评估学生对飞行器结构力学数值分析方法的理解程度布置课后作业，评估学生对飞行器结构力学数值分析的掌握情况第十章：飞行器结构力学实验与验证10.1 教学目标理解飞行器结构力学实验的目的和方法掌握飞行器结构力学实验的操作技能学会运用实验结果验证飞行器结构力学理论10.2 教学内容飞行器结构力学实验的目的和方法飞行器结构力学实验的操作技能飞行器结构力学实验结果的分析和验证10.3 教学方法讲授和讲解飞行器结构力学实验的目的和方法通过实验操作，让学生掌握飞行器结构力学实验的操作技能开展小组讨论和问题解答，加深学生对飞行器结构力学实验结果分析和验证的理解10.4 教学评价课堂问答和小组讨论，评估重点和难点解析1. 飞行器结构力学概述难点解析：理解飞行器结构力学的概念和原理，以及如何将其应用于实际工程中。

飞机结构力学教案

飞机结构力学基础航空学院飞行器设计与工程专业本科三年级专业技术基础课教案共25 页2006年9月教案（1）教室：12号楼112 时间：2006.09.12教案（2）教室：12号楼112 时间：2006.09.15教案（3）教室：12号楼112时间：2006.09.19教案（4）教室：12号楼112 时间：2006.09.22教案（5）教室：12号楼112 时间：2006.09.26教案（6）教室：12号楼112 时间：2006.09.29教案（7）教室：12号楼112 时间：2006.10.03教案（8）教室：12号楼112 时间：2006.10.06教案（9）教室：12号楼112 时间：2006.10.10教案（10）教室：12号楼112时间：2006.10.13教案（11）教室：12号楼112 时间：2006.10.17教案（12）教室：12号楼112 时间：2006.10.20教案（13）教室：12号楼112 时间：2006.10.24教案（14）教室：12号楼112 时间：2006.10.27教案（15）教室：12号楼112 时间：2006.10.31教案（16）教室：12号楼112 时间：2006.11.03教案（17）教室：12号楼112 时间：2006.11.07教案（18）教室：12号楼112时间：2006.11.10教案（19）教室：12号楼112时间：2006.11.14教案（20）教室：12号楼112 时间：2006.11.17教案（21）教室：12号楼112 时间：2006.11.21教案（22）教室：12号楼112 时间：2006.11.24教案（23）教室：12号楼112 时间：2006.11.28教案（24）教室：12号楼12 时间：2006.12.01教案（25）教室：12号楼112 时间：2006.12.05。

西北工业大学飞行器结构力学电子教案5-6分析

值得注意的是，剖面的翘曲变形
w z dz (ax by c) z d
不一定符合平面分布。如原来是平面的剖面，变形后发生翘曲，变形后的剖面不一定再是平面，但其沿母线投影仍是平面的。
▄ 简化假设
显然，满足以上简化假设的薄壁结构，其纤维可以自由伸缩，剖面可以自由翘曲——称为自由弯曲和自由扭转。注意，工程梁理论不适用于下列情形：（1）小展翼型机翼如三角型机翼。沿纵向(z向)其剖面变化剧烈，不符合简化假设(1)要求的棱柱壳体。（2）长直机翼的根部。不符合简化假设(4)。（3）开口区附近。不符合简化假设(4)。（4）材料性质沿纵向不连续。不符合简化假设(4)。工程梁理论研究的是自由弯曲和自由扭转下薄壁结构的受力和变形分析，这也是本章的重点内容。
x0
Ax A
i i
i
y0
Ay A
i i
i
相应于形心坐标轴的剖面惯性矩、惯性积和剖面总面积由下列各式确定：
J x Ai y i
2
J y Ai x i
2
进一步可以求出形心主惯性轴x’oy’：
J xy Ai xi y i F0 Ai
tg 2
2 2 J xy
翼肋的构造
典型的机翼布局
典型的机身布局
在飞行器构造中经常遇到梁式薄壁结构，如长直机翼、后掠机翼的中外翼、机身等。对于这类薄壁结构，在已知外载荷作用下各剖面的总内力(弯矩、扭矩、轴力和剪力)是静定的，但若要进一步求出各个元件(桁条、蒙皮等)的内力，由于这种梁式长直机翼具有多桁条的结构是高度静不定的，要用力法求解就必须借助于电子计算机。倘若蒙皮较厚，能同时承受正应力和剪应力，此时可以把结构看作是有无穷多桁条排列着，因而静不定次数是无穷的，用力法来解不可能，而必须采用有限元素法或能量法，但那也非常麻烦。

飞行器结构力学电子教案5-2

θ1
12 8L3 6 − 2 4L 12 8L3 6 − 2 4L − 6 4L2 2 2L 6 − 2 4L 4 2L v2
θ2
v3
θ3
消除总刚奇异性。 (4) 引入位移边界： v1 = v 3 = 0 ，消除总刚奇异性。引入位移边界：
4 L 6 − 2 EJ L 2 L 0
e
k13 k23 k33 k43 k53 k625 k35 k45 k55 k65
k16 k26 k36 k46 k56 k66
Ui Vi Mi Uj Vj Mj
[Kii ] [Kij ] K = [K ji ] [K jj ]
位移法
Displacement Method of Structure Analysis 第二讲梁元素与刚架的位移法求解
5.3 平面梁元素与平面刚架位移法求解
一、梁元素在局部坐标系中的平衡方程及刚度矩阵在元素局部坐标系中，在元素局部坐标系中，长度为L，结点编号为i 长度为，结点编号为 j 的平面梁元素如图所示，梁的截面拉伸刚度为EA，度为，截面抗弯刚度为EJ 度为。因为梁元素记梁元素在局部坐标系中的结点位移能承受轴向力、能承受轴向力、横向列阵和结点力列阵分别为：列阵和结点力列阵分别为：剪力和弯矩，剪力和弯矩，故梁的 {δ }e = ui vi θ i u j v j θ j 每个结点上有三个位移分量，移分量，相应的也有 {F }e = U i Vi M i U j V j M j 三个结点力。三个结点力。
EA L 0 0 [ K ]e = EA − L 0 0
0 12 EJ L3 6 EJ L2 0 12 EJ − 3 L 6 EJ L2

《飞行器结构力学基础》课程教学大纲

《飞行器结构力学基础》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程代码：（0120140）2、课程名称（中/英文）：飞行器结构力学基础/Structural Mechanics for Aerocraft3、学时/学分：50/6.54、先修课程：理论力学、结构强度基础、弹性力学， /0120120/01201705、面向对象：飞行器设计与工程专业本科生6、开课院（系）：航空学院（航空结构工程系）7、教材、教学参考书：《结构力学基础》, 黄其青，王生楠，西北工业大学出版社，2001.4《飞行器结构力学》,王生楠，西北工业大学出版社,1998.12二、课程性质和任务《飞行器结构力学基础》是航空高等院校飞行器结构设计和结构强度专业教学计划中的一门专业技术基础课，是航空飞行器设计、固体力学、流体力学、工程力学、理论与应用力学、人机环境与工程等学科或专业的必修课程。

本课程以杆系和薄壁结构为对象，研究杆系和薄壁结构的组成原理及其受力和变形分析的力法和位移法，薄壁工程梁理论，结构分析中的能量原理。

通过本课程的学习，使学生了解和掌握结构的受力和传力特点、薄壁工程梁和能量原理的基本理论和基本计算方法，培养学生对结构设计和强度计算的概念和综合处理能力，培养从事飞行器结构设计和强度计算的高技术人才。

三、教学内容和基本要求第一章绪论 2学时1.1 结构力学的研究对象和任务；1.2结构力学的计算模型简化；1.3结构的外载荷、内力和支反力；1.4 基本关系和基本假设。

第二章结构几何组成分析 4学时2.1 结构的几何特性；2.2 自由度和约束; 2.3 几何特性分析的运动学方法;2.4 几何特性分析的静力学方法; 2.5 几何不变系统的组成规则; 2.6 瞬变系统的判别方法。

第三章静定杆系结构的内力和变形计算 6学时3.1 桁架的组成，桁架的计算模型，桁架几何不变性分析，静定桁架内力计算（结点法、剖面法和混合法）; 3.2 刚架的组成，刚架的计算模型，刚架几何不变性分析，静定刚架内力计算，混合杆系结构的内力计算; 3.3 元件的应变能，虚功原理，单位载荷法，静定杆系结构的位移计算。

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关键：将杆元素的其他物理量（如元素内位移、应变、应力、关键：将杆元素的其他物理量（如元素内位移、应变、应力、结点力，应变能等）用结点位移表示。结点力，应变能等）用结点位移表示。（1）元素内位移）元素内各点的位移叫做内位移。元素内各点的位移叫做内位移。杆元素的内位移可用结点位内位移移通过线性插值得到：移通过线性插值得到： ui x x x x ui ] = [ N i ( x ) N j ( x )] u ( x ) = (1 − )ui + u j = [1 − Lij Lij Lij Lij u j u j
e
= [ S ]{δ }e = S ⋅ δ e
式中，称为元素的应力矩阵式中，[ S ]称为元素的应力矩阵。称为元素的应力矩阵。（4）杆元素轴力）杆元素轴力N 的杆元素，对于等面积 A 的杆元素，其轴力用节点位移表示为
EA N = σA = [− 1 L ij
1]{ δ } e
（5）平衡条件与刚度矩阵）作用在杆元素上的结点力与杆轴力，满足平衡条件：作用在杆元素上的结点力与杆轴力，满足平衡条件：
5.2 杆元素与桁架位移法求解
本节将由最简单的杆元素和桁架开始，和桁架开始，逐步介绍矩阵位移法的基本原理和计算过程。
5.2 杆元素与桁架位移法求解
对于图示桁架，对于图示桁架，编号为 1、2、3、4、5、6的铰结、、、、、的铰结点称为结点结点，点称为结点，两结点之间的链杆称为杆元素杆元素，的链杆称为杆元素，如杆元素12、杆元素23等元素、杆元素等。位移法中，位移法中，将以每个结点处的位移（结点位移）作为基本未知量，点处的位移（结点位移）作为基本未知量，建立关于未知结点位移的方程，首先求出结点位移，然后利用求出的结点位移，位移的方程，首先求出结点位移，然后利用求出的结点位移，再求出其他的物理量（如元素应变、应力、内力等）。再求出其他的物理量（如元素应变、应力、内力等）。在图示坐标系中，由于每一杆元素的方位不尽相同，在图示坐标系中，由于每一杆元素的方位不尽相同，为具普遍性，任取其中一杆元素i ，首先来研究杆元素的平衡关系。遍性，任取其中一杆元素 j，首先来研究杆元素的平衡关系。
（2）根据元素平衡条件，必定有）根据元素平衡条件，必定有：
应注意以下几点：应注意以下几点：
kij → Fi k jj → F j ↓ uj
kii + k ji = 0 kij + k jj = 0
由此可以看出，都可以有值，由此可以看出，由于结点位移都可以有值，所以元素是可移动的，结点位移列阵中包含有刚体运动，动的，结点位移列阵中包含有刚体运动，用结点位移表示的平衡方程是奇异的，的行列式等于零。衡方程是奇异的，刚度矩阵 [ K ]e 的行列式等于零。这就意味着在去除刚体运动自由度之前，平衡方程不能直接用来求解位移。在去除刚体运动自由度之前，平衡方程不能直接用来求解位移。
矩阵位移法主要内容包括两个部分：矩阵位移法主要内容包括两个部分：主要内容包括两个部分单元分析， (1)单元分析，即将结构分解为有限个较小的单元，单元分析即将结构分解为有限个较小的单元，进行所谓离散化。对于杆系结构，进行所谓离散化。对于杆系结构，一般以一根杆件或杆件的一段作为一个单元，或杆件的一段作为一个单元，分析单元的内力与位移之间的关系，建立单元刚度矩阵。移之间的关系，建立单元刚度矩阵。 (2)整体分析，即将各单元又集合成原来的结构，要整体分析，即将各单元又集合成原来的结构，整体分析求各单元满足原结构的变形协调条件和平衡条件，求各单元满足原结构的变形协调条件和平衡条件，从而建立整个结构的刚度方程，从而建立整个结构的刚度方程，以求解原结构的位移和内力。移和内力。
5.2 杆元素与桁架位移法求解
一、杆元素的平衡方程及刚度矩阵如图所示的杆元素 i j ，建立元素局部坐标系，轴沿杆元素的轴线由 i 结点指向 j 结点，杆长为 ij 。结点，杆长为L 杆元素结点上的结点位移分别记为 u i 和 u j ，与结点位移相对应的结点力分别记为 U i 和 U j ，结点位移和结点力一律以顺坐标系的正方向为正。点位移和结点力一律以顺坐标系的正方向为正。
飞行器结构力学基础
——电子教学教案电子教学教案
西北工业大学航空学院航空结构工程系
第五章
位移法
Displacement Method of Structure Analysis 第一讲位移法概述杆元素与桁架的位移法求解
5.1 位移法概述
结点位移(广义位移)作为基本未知量，以结点位移(广义位移)作为基本未知量，写出由未知位移表示的应变，知位移表示的应变，由物理方程写出仍由未知位移表示的应力表达式，最后由平衡条件解出所有的未知位移，的应力表达式，最后由平衡条件解出所有的未知位移，位移法的基本思路这就是位移法的基本思路。这就是位移法的基本思路。在计算机科学飞速发展的今天，在计算机科学飞速发展的今天，适合于计算机应用有限元素法” 的“有限元素法”正在逐步取代其他方法而成为飞行器结构分析方法的主流，并已发展为一门独立的新兴学科。结构分析方法的主流，并已发展为一门独立的新兴学科。本章所讨论的位移法，本章所讨论的位移法，是以矩阵运算作为数学工具来处理结构位移计算的，故也称为矩阵位移法矩阵位移法，理结构位移计算的，故也称为矩阵位移法，它是有限元素法的基础。素法的基础。
总体坐标系

二、元素刚度矩阵的坐标变换考察图示平面杆元素的情况，考察图示平面杆元素的情况，将 x、y 坐标系定义为总体坐标、系，而将 x 、y 坐标系定义为局部坐标系，部坐标系，总体坐标系与局部坐标系之间的夹角为θ（坐标系之间的夹角为（以逆时针方向为正）。针方向为正）。元素在局部坐标下的结点位移列阵、结点力列阵：位移列阵、结点力列阵：元素刚度矩阵扩阶后，变为：元素刚度矩阵扩阶后，变为：
i 点的位移在 j 点上引起的结点力。结点力。
+ +
k ij u j k jj u j

j 点的位移在 j 点上引起的结点力。结点力。
kii （1）刚度矩阵 [ K ]e 的列对应于结点位移， k ji ）的列对应于结点位移，行则对应于结点力；行则对应于结点力； ↓ ui
Ui + N = 0 Uj −N =0
U i 1 {F } = = N U j − 1
e
或，
− 1 EA EA 1 − 1 e e e e {F } = [− 1 1]{δ } = − 1 1 {δ } = [ K ] {δ } Lij 1 Lij
ui = [ N ( x )] = N ⋅ δ e u j
式中，称为位移形状函数位移形状函数；式中， Ni (x)、Nj (x) 称为位移形状函数；、位移形状函数矩阵。 [N(x)] 称为元素的位移形状函数矩阵。称为元素的位移形状函数矩阵
对于杆元素，对于杆元素，其位移形状函数具有如图所示的形状：数具有如图所示的形状：（2）变形协调条件与几何矩阵）利用变形协调条件，利用变形协调条件，求元素应变，并用节点位移表示：应变，并用节点位移表示：
可见，刚度系数的物理意义为：可见，刚度系数的物理意义为
( i≠j ) 因此，因此，元素刚度矩阵为一对称方阵。
kij = kji
平衡方程的物理意义：平衡方程的物理意义： i 点的位移在 i 点上引起的结点力。结点力。 j 点的位移在 i 点上引起的结点力。结点力。
Ui U
j
= =
k ii u i k ji u i
e
上式就是位移法中杆元素的平衡方程，也称为刚度方程。上式就是位移法中杆元素的平衡方程，也称为刚度方程。它表平衡方程刚度方程元素结点力与结点位移之间的关系式。示元素结点力与结点位移之间的关系式。
（5）平衡条件与刚度矩阵）
EA 1 − 1 e {F } = {δ } = [ K ]e {δ }e Lij − 1 1
e
或，
F = K ⋅δ
e e
e
式中的
EA K = [K ] = Lij
e e
1 − 1
− 1 k ii = k 1 ji
k ij k jj
称为杆元素在局部坐标系中的刚度矩阵。称为杆元素在局部坐标系中的刚度矩阵。刚度矩阵将元素的结刚度矩阵点位移列阵和结点力列阵联系了起来。点位移列阵和结点力列阵联系了起来。
元素刚度方程也可以通过虚功原理导出。元素刚度方程也可以通过虚功原理导出。
二、元素刚度矩阵的坐标变换由于结构是由许多不同元素组成的，由于结构是由许多不同元素组成的，而各个元素的局部坐标系又是不全相同的，用位移法求解结点位移时，系又是不全相同的，用位移法求解结点位移时，必须规定统一的坐标系，各结点位移的矢量必须按统一的坐标系来定义，坐标系，各结点位移的矢量必须按统一的坐标系来定义，便于建立全结构的平衡方程。因此，立全结构的平衡方程。因此，由各个元素局部坐标系定义的元素结点位移和元素刚度矩阵必须向一个统一的坐标系转换，结点位移和元素刚度矩阵必须向一个统一的坐标系转换，统一的坐标系称之为“总体坐标系” 结构坐标系” 坐标系称之为“总体坐标系”或“结构坐标系”。
在杆系结构中，若单元只受轴力作用，则称为杆在杆系结构中，若单元只受轴力作用，则称为杆元素，如桁架；若单元不仅受轴力，元素，如桁架；若单元不仅受轴力，还受剪力和弯矩作用，则称为梁元素，如梁、刚架等。矩作用，则称为梁元素，如梁、刚架等。梁元素
由于杆元素和梁元素是最简单的元素，对这两个由于杆元素和梁元素是最简单的元素，杆元素是最简单的元素元素的分析，既有鲜明的物理意义，元素的分析，既有鲜明的物理意义，又能反映位移法的实质。所以，本章主要对杆元素和梁元素进行杆元素法的实质。所以，本章主要对杆元素和梁元素进行分析，并用于桁架和刚架的位移法求解。分析，并用于桁架和刚架的位移法求解。

西工大飞行器结构力学电子教案5-1

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