最新结构力学电子教案第三章静定梁与静定刚架ppt课件

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§3-1 单跨静定梁
4. 以单元为对象，对杆端取矩可以求得杆端剪力，在结构图 上利用微分关系作每单元的剪力图，从而得到结构剪力图。 需要指出的是，剪力图可画在杆轴的任意一侧，但必须标注 正负号。
以未知数个数不超过两个为原则，取结点由平衡求单元杆 端轴力，在结构图上利用微分关系作每单元的轴力图，作法 和剪力图一样，从而得到结构轴力图。 5. 综上所述，结构力学作内力图顺序为“先区段叠加作M 图， 再由M 图作FS 图，最后FS作FN图”。需要指出的是，这种作 内力图的顺序对于超静定结构也是适用的。
20 kN
AC
15 kN/m
32 kN m
B
D
E
G
2m 2m
4m
2m 2m
44 kN
36 kN
44 kN
24 kN
+
A
C
H D
E_
B
FS图
36 kN
DE段梁的弯矩最大截面就在剪力为零处，剪力为零的
截面H的位置可由比例求出，其值为 xH =1.6 m 。最大弯
矩 MH 为：
1
MH
44 (4 1.6) 20 (2 1.6) 151.6
A FxA =0
CD Ⅰ
FyA= 44 kN 2m 2m
15 kN/m Ⅱ
4m
32 kN m
EG
B
ⅢⅣ
FyB = 36 kN
2m 2m
3m
3m
计算梁上任一截面内力的规律如下：
梁上某一截面的2弯0 kN矩F数s1 值上等于该截面左侧（或右侧）所 有外力对该截面形心的力矩的代数和。
梁上某一截面的剪力数值上等于该截面左侧（或右侧）所 有外力在沿截面的切线方向投影的代数和。

２、截面法 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该 截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代 替原相互的约束。
对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，
由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。 解该方程即将内力求出。
３、截面内力 截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力ＦN 、 剪力ＦQ和弯矩Μ 。
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
增量关系： DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
１）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy （１）在无荷载区段，ＦQ图为水平直线；
当ＦQ≠０时，Μ图为斜直线;
右右为正。
ＦQ＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代数和。左上为正， 右下为正。
Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯矩的竖标画在杆
件受拉一侧。
例3-1-1 求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。
解：1）支座反力 ∑ΜA=0 FBy×4﹣10×4×2﹣100× (4/5)×2=0 Fby=60kN (↑) ∑ΜB=0 FAy=60kN (↑) ∑Fx= 0 FAx+100×(3/5)=0 FAx=－60kN (← ) 由 ∑Ｆy= 0 校核，满 足。
(下侧受拉)
区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩； ΜE＝20×42/8＋120/2＝100kNm ΜＤ＝40×4/4＋120/2＝100kNm
(下侧受拉) (下侧受拉)
内力应考虑
说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的 分两侧截面分别计算。

第三章ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
静定结构的受力分析
§3-1 梁的内力计算的回顾 §3-2 静定多跨梁受力分析 §3-3 静定平面桁架 §3-4 静定平面刚架 §3-5 组合结构 §3-6 三铰拱 §3-7 静定结构总论
1
§3-1 静定结构内力计算基本知识点讲解 静定结构的定义：
从几何组成的观点看，几何不变且无多余约束 的结构称为静定结构。
MB 0
M B左
M B右

(FQB左

FQB右 )
dx 2

0
M B左 M B右 13
小结： 1）在有集中力作用点的左右截面，剪力有突
变。剪力图有台阶，台阶高度等于FP 。 2）M 图上有尖点，尖点的指向与集中力的指向
相同。
14
3. 集中力偶与内力之间的增量关系
m
MB左
MB右
B
x
FQB左

1 2
ql cos
ql cos

0
FQAB

1 2
ql
cos
Fs 0 FNAB ql sin 0 FNAB ql sin
36
2) 求跨中截面MC
FNCB 取图示CB段为隔离体：
MC 0
q
B MC
C
（qlcosθ）/2
FQCB
l/2
MC
1 q( l )2 22
桁架、静定组合结构 几何组成角度：悬臂式、简支式、三铰式、组合式。
内力分析的任务： 计算约束力、内力、作内力图
内力计算的方法： 隔离体的平衡方法、截面法 回顾材料力学
分析内力与荷载之间的关系
总结规律，引出叠加法
一、内力计算基本知识点讲解

（二）绘内力图：
H A
=0
V
A =130KN
X 0 Y 0 M 0
C
NC 0 QC 130 KN M C 130 KN .M
第3章 例题: 试绘制图示外伸梁的内力图。
解：
10KN/m A HA=0 4m C 2m D B E 30KN.m 20KN
（1）计算支座反力
2m
2kN E
2m F
F
2m
G 2kN
2m
（b）
A
4kN/m B
C
G 2kN
G
B
11kN 4
4kN
4
（d）
8 7
（e） 9
4 M（kN.m） 2 2
Q（kN）
2
第3章 例题2： 图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q，试确定铰E、F的位置，使中 间一跨支座的负弯矩与跨中正弯矩数据数值相等。
第3章
3.3 静定平面刚架的内力计算 一、刚架的组成 1、刚架的特征 由若干梁和柱用刚结点联结而成的结构。具有刚结点是 刚架的主要特征。 2、刚架的应用 刚架在工程上有广泛的应用。
（1）斜梁的倾角为常数，而曲梁各截面的的倾角是变量。 （2）计算曲梁的倾角时，可先写出曲梁的轴线方程y=f(x),而后对x求一 阶导数，进而确定倾角：
dy tan ; dx
tan1 (tan )
（3）角以由x轴的正方向逆时针转到切线方向时为正，反时针方向为负。
例题：试求图示曲梁C截面的内力值。已知曲梁轴线方程为：
y 4f 4 4 (l x) x 2 (12 1.5) 1.5 1.75m l2 12
4f 4 4 tan yx 1.5 2 (l 2 x) x1.5 2 (12 2 1.5) 1 l 12 2 450 sin con 0.707 2

FAx
MA
FAy
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2) 绘制内力图。 由区段叠加法绘制弯矩图。在CD段，将控制 截面上的弯矩值竖标按比例标出并用虚线连接， 以此虚线为基线，叠加上相应简支梁在均布荷载 作用下的弯矩图。在AC段，以连接控制截面上的 弯矩值竖标的虚线为基线，叠加上相应简支梁在 跨中点受集中荷载作用下的弯矩图。
= 240kNm (上侧受拉)
FAx
MA
FAy
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MCA = MCD = 240kNm (左侧受拉) MAC= 40kN4m10kN/m4m2m40kN2m
= 320kNm (左侧受拉)
FAx
MA
FAy
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FSDC =40kN FSCD =40kN10kN/m4m = 80kN FSCA = 0 FSAC =40kN FNDC = FNCD = 0 FNCA = 40kN10kN/m4m= 80kN FNAC = 80kN
FyB qf 2 2l
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X 0
FxA q f FxB 0 FxA FxB qf
C
2kN B
4 kN/m
D
E
2kN F
2m 2m
A FxA =3kN
2m
G
2m
4m
FyG=30kN
H
K FxK=1kN FyK=2kN
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ACD为附属部分，其余为基本部分。
1）支座反力 考虑附属部分ACD：
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b.刚架中各杆的杆端内力 ①内力正负号的规定： FQ、FN与前同，M无正负号。作图时， M画于受拉侧，不标
正负号。 FQ、FN画于任意侧，标注符号。 ②结点处有不同的杆端截面。为了确切地表示内力，在内力符号右下方加两个角标，

4：斜梁例题
M图
Q图 1、求支座反力：VA=ql/6，HA=0， VB=ql/6 2、作M、Q、N图
N图
对简支斜梁内力计算的总结
1 简支斜梁计算支座反力和内力的方法仍然是隔离体平衡和截面 法。
2 在竖向荷载作用下，简支斜梁的支座反力和相应的平梁的支座 反力是相同的。
3 在竖向均布荷载作用下，简支斜梁的弯矩图和相应平梁的弯矩图 是相同的。
静定空间刚架例题
试求图a所示的空间刚架制作界面A的内力？
解： (1)由已知图做出此刚架的A截面的 内力图如图b所示
B
A VAY VAZ
MAZ Z
NA MAX x
D C
y （b）
D B
C A
（a）
(2) 由空间一般力系的平衡条件可得以下方程求得结果：
∑X=0，NA+4×2=0， NA=-8kN
∑Y=0，VAY-5=0， VAY=5kN
结构力学第三章
静定梁和静定钢架
成员： 刘锦伟 侯智译 于涛 潘琦 杨宏宇
内容概要：（一） 简支斜梁的计算
（二） 静定空间刚架
（1）简支斜梁的计算
1：工程应用实例、斜梁荷载
沿水平方向均布q：活载（人群、雪载）
梁式楼梯、板式楼梯、 屋面斜梁、及具有斜杆 的刚架等。
沿杆轴线均布q′：恒载(自重)，
（2）：水平方向均布荷载作用
∑Z=0,
VAZ=0
∑MX=0,MAX-5×2=0, MAX=10KN.M
∑MY=0,MAY-4×2×2×1/2=0, MAY=8KN.M ∑MZ=0,MAZ-4×2×3+5×3=0, MAZ=9KN.M
NA MAX x
(b)
D C

6D
FQDC
4kN/m
CC FFQQCCED
↓↓↓↓↓↓α↓
E
FQ EC
∑MC=6+3 × 4×1.5+3.35FQEC＝0 FQEC= －7.16kN
∑F∑FQMQMCCDEED====6316－..5－7893kF(N×kQNC4D)××=F13Q.5.D3+C53＝.350FQCE＝0
q=4kN/m
溅射腐蚀与离子铣蚀的区别在于：若腐蚀过程是在平板式溅射系统或反 应离子腐蚀器中完成的，就称作溅射腐蚀。离子束铣蚀是指在一个系统中离 子的形成、离子加速系统与被腐蚀的材料分开放置的一种方法。离子铣蚀系 统可以直接控制轰击材料表面的离子入射角。而在普通的溅射设备中，离子 是受内建电场的驱动垂直入射的。离子束铣蚀系统的适用性较强，并易于操 作；它既能用于腐蚀半导体，也能用于腐蚀绝缘体；只要分别调节灯丝电流 和加速电压，就可以独立地控制离子能量及离子密度。
8kN
B
6kN C 6kN
2m
8kN
B24kN.m
6kN
4m
6kN
0
－6kN 8kN
∑Fx = 8－8 = 0 ∑Fy = －6－（－6） = 0
16kN.m 6kN
∑M = 24－8 － 16 = 0
FQDA=8kN FNDA=0 MDA=8kN.m（左拉） FQDC=－6kN FNDC=0 MDC=24kN.m（下拉）
作刚架FQ、FN图的另一种方法：首先作出M图；然后取杆件 为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取 结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。
qa2/2
↑↑↑↑↑↑↑↑ ↑↑↑↑↑↑↑↑
qC qa2/2

A BC
D
130 210
E
F
140
340
280 M图（kN·m）
130 D
120
40
A B C 30
E
F
FS 图（kN）
190
26
小结： 1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加，而非 图形的简单拼合； 2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图； 3）先画M 图后画FS图，注意荷载与内力之间的微分 关系。
B (qlcosθ)/2
B (qlcosθ)/2
32
3) 作内力图。
(qlcosθ)/2 (qlsinθ)/2
ql2/8 M图 FQ 图
FN 图
(qlcosθ)/2 (qlsinθ)/2
33
例3-1-3 作图示斜梁的内力图。
x FxA A θ
FyA
q
l /cosθ
C qlcosθ
l
ql θ qlsinθ
1.荷载与内力之间的微分关系
qy
M FN
FS
o qx dx
M+dM x
FN+dFN
FS dFS
y
Fy 0, F SdS F qyd xF S0ddFxS q y .
MO 0, M M dM F Sd 2 xF SdF Sd 2 x0,
dM dxFS,
3）定点：求控制截面在全部荷载作用下的 M 值， 将各控制面的 M 值按比例画在图上，在各控制截 面间连以直线——基线。
4）连线叠加：对于各控制截面之间的直杆段，在 基线上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M图。
18
例3-1-1 作图示静定单跨梁的M图和FS图。
8kN

(a) q A ql 2 ql 2 + l B ql 2 F Q图 ql 2 (b) A F Pb l F Pb l a l + FP B b F Pa l F Q图 F Pa l
图 -5 图 33-5
M图 ql2 8 F Pab l M图
A a l
M
B b
A l
M
B
M a l M M图 M图 (b)
图 -16 图 33-16
M图
ql 2 8 ql cos α 2 + F Q图 ql 2 =sin α + F N图 ql 2 cos α
ql 2 sin α
图 -17 图 33-17
第二节 多跨静定梁的计算 多跨静定梁是由若干根梁用铰联接而成的静定结构，它常用来跨 越几个相连的跨度，除了在桥梁上较常采用这种结构型式外，房屋建筑 中的檩条有时也采用这种形式。
x
y
FAx = 0
FAy = 70kN(↑) FBy = 50kN(↑)
（2）作剪力图
EC D B FQ图 10 10 （单位kN） 50 50 EC D D1 B
FQAC = FAy = 70kN FQDB = − FBy = −50kN
FQCA = FQCD = −10kN
M图 （单位kN.m） （3）作弯矩图
R FC R MC
B 40kN
R FNC =0
C
R R = −40kN M C = 80kN ⋅ m FQC
图 -2 图 33-2
二、内力图形状特征
q(x) MA F NA A F QA p(x) m(x) B F QB MB F NB
若x轴以向右为正，y轴以向下为正 取梁段AB中的微段为隔离体，由静 力平衡条件可得：

§3-2 多跨静定梁
例3-4 试作图a所示多跨静定梁的内力图，并求出各支座反力。
解：不算反力 先作弯矩图
1）绘AB、GH段弯矩图，与悬臂梁相同； 2）GE间无外力，弯矩图为直线，MF=0，可绘出； 同理可绘出CE段； 3）BC段弯矩图用叠加法画。
§3-2 多跨静定梁
由弯矩与剪力的微分关系画剪力图
由若干根梁用铰相联，并用若干支座与基础相联而组成的静定结构。
分析多跨静定梁的一般步骤
对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析：将 支座C 的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图， 然后将支座 C 的反力反向加在基本部分AC 的C 端作为荷载，再 进行基本部分的内力分析和画内力图，将两部分的弯矩图和剪力 图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图 。
弯矩图为直线：其斜率为剪力。图形从基线顺时针转，
剪力为正，反之为负。 弯矩图为曲线：根据杆端平衡条件求剪力，如图c。
剪力图作出后即可求支座反力 取如图e的隔离体可求支座 c— 的反力 弯矩—剪力 支座反力
§3-3 静定平面刚架
常见静定刚架的型式
悬臂刚 架
简支刚 架
三铰刚 架
§3-3 静定平面刚架
R FSR F E SD 8kN
FSR F 12kN
FSR B 0
§3-1 单跨静定梁
用截面法计算 控制截面弯矩。
MC 0
M A 20kN 1m 20kN m
M D 20kN 2m 58kN 1m 18kN m M E 20kN 3m 58kN 2m 30kN 1m 26kN m M F 12kN 2m 16kN m 10kN m 18kN m

进入进入进入进入进入进入主要任务：要求灵活运用隔离体的平衡条件，熟练掌握静定梁内力图的作法。

分析方法：按构造特点将结构拆成杆单元，把结构的受力分析问题转化为杆件的受力分析问题。

§3-1 单跨静定梁的内力分析一、截面上内力符号的规定：轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图要注明正负号；剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的合力, 使杆微段有顺时针方向转动趋势的为正，画剪力图要注明正负号；弯矩—截面上应力对截面形心的力矩之和, 不规定正负号。

弯矩图画在杆件受拉一侧，不注符号。

NNQ QMM二、用截面法求指定截面内力先计算左截面的内力，可取截面1以左隔离体进行分析。

PPPP1.5aM Z1N Z1Q Z1P N x Z ==∑10P Q P Q y Z Z -=∴=+=∑110PaM a P M M Z Z 5.105.10111-=∴=⨯+=∑M U1N U12Pa计算右截面的内力,也可取截面1以左隔离体进行分析。

在这个隔离体上有集中力矩2Pa ，三个未知力为：P N x U ==∑10PQ P Q y UU -=∴=+=∑1100PaM a P Pa M M U U 5.005.120111=∴=⨯+-=∑P2Pa1a1.5a1.5aP计算如图所示结构截面1 的内力PP1.5a根据静力平衡条件求截面未知力：aM 2N 2Q 2aP1.5a1.5a2PaPPP123(a )PP1.5a(d )1.5a22PaP N 2M 2Q 2.,,222Pa M P Q P N -=-==PaPQ 3M 3现取截面2 左边的隔离体进行分析，根据三个平衡条件就可得出截面2 上的三个未知力：此时应取截面3 以上的隔离体进行分析比较简单。

.,,0333Pa M P Q N ===计算截面2 的内力也可取截面2 右边隔离体计算计算截面3 的内力三、荷载、内力之间的关系（平衡条件的几种表达方式）q (x )dxQ Q+dQMM+dM（1）微分关系q dxdQ-=Q dx dM=q dxMd -=22qd x（2）增量关系Q Q+∆Q MM+∆Md xPm PQ -=∆mM =∆（3）积分关系q (x )M AM B由d Q = –q·dx⎰⋅-=BAx x A B dxx q Q Q )(由d M = Q·dx⎰⋅+=BAx x A B dxx Q M M )(水平杆件下侧受拉为正；竖向杆件右侧受拉为正。

15
理力、材力相关内容复习
FP
结果得到什么？
FP
最终得到什么？
M
O
作用效果等价
O
一汇交力系
要平移的力 平移到的点
和力偶系 等值反向平行 主矢和主矩 力构成力偶M
力系中每一个力都对O做等效平移
刚体上一个力系的等效平移
16
理力、材力相关内容复习
y 坐标单位 m
FP1
FP1 10 2 kN (FP1, i ) 450
dFN p( x) dx
集中力
梁上 无外力 均布力作用 集中力作用 偶M作 铰处
情况
(q向下)
处(FP向下) 用处
斜直 剪力图 水平线 线(
)
为 零 处
有突 变(突 变值=
FP)
如 变 号
无 无变化 影
响
一般 抛物 有 有尖 有 有突变
弯矩图 为斜 线(
极 角(向 极 （突变 为零
直线 下凸) 值 下） 值 值=M）32
由 M A 0 得 RBY1 (M BA M AB ) / lAB
注意：1. 为什么两端支座反力（剪力）计算公式一致？ 2. 杆端弯矩如规定正负号，怎样更合理？
38
A
B
RAY2
RBY2
由 MB 0 得
1 RAY2 2 ql
由 M A 0
得
RBY 2
1 2
ql
注意：1. 为什么两端支座反力（剪力）计算公式反号？
Fx FAx 0 FAx A
C
B l
FAy ql / 2 M / l FAy
FBy
MB ql2 / 2 M FAyl 0 FBy ql / 2 M / l M A ql2 / 2 M FByl 0

六．绘制内力图的步骤
1. 以梁的整体为隔离体求支座反力。 2.按荷载情况划分区段，用截面法取隔离体 求出各段交接点处的控制截面 内力。 3. 根据M、V与q的微分关系作梁各段内力图, 从而得出全梁内力图（恰当地利用叠加法）。 4. 根据内力图的特征及静力平衡条件 校核内力图。
例题3-1 试作图3-5a所示梁的剪力图和弯矩图 解： 1. 求 支座反力： 由∑X＝0 得 HA＝0 由∑ＭF＝0 得 VA＝29kN （向上） 由∑MA＝0 得 8VF+18+22-12×1-8×4×4-10×10＝0 VF＝25kN （向上） 校核：∑Y＝29+25-12-10-4×8＝0 计算结果无误。
注意： 1. 两个弯矩图的叠加不是图形的简单拼合，而是指 弯矩纵坐标值的叠加。 2. 叠加上去的弯矩纵坐标值，应从垂直于杆轴方向 并由（斜）基线量出，而不是垂直于（斜）基线。 3. 若外力不是均布荷载或外力不垂直于杆轴时，直杆 弯矩图叠加法仍有效(图3－4）。 4. 用叠加法做M图时不仅方便快捷，而且对以后利用 图乘法计算结构位移时也提供了计算的叠加方法。
qy
qx
V+dV N+dN M+dM
dx
dN qx dx dV q y dx dM V dx d 2M q y 2 d x
（1）在无荷区段qy＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜 直线。 （2）在qy＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物 线。其凹下去的曲线象锅底一样兜住qy的箭头。 （3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点； 集中力偶作用点两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
图纵标画在受拉一侧，不标注正负号。
三截面内力的计算方法及内力图的绘制方法 （一）截面内力的求解方法 1. 截面内力的基本方法－截面法

返19回
§3—4 少求或不求反力绘制弯矩图
弯矩图的绘制，以后应用很广，它是本课最 重要的基本功之一。
静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。
例如：1. 悬臂部分及简支梁部分，弯矩图可先绘出。
2. 充分利用弯矩图的形状特征(直线、零值)。
3.刚结点处的力矩平衡条件。
4. 用叠加法作弯矩图。
5. 平行于杆轴的力及外力偶产生的弯矩为常数。 6. 与杆轴重合的力不产生弯矩等。
满足投影平衡条件。
0 24kN C 0
22kN
24kN 22kN （返1b8 回）
例题 3—6 作三铰刚架的内力图
→HA VA↑ 26.7 20 6.7
解（：1）求反力
←HB
↑VB
由（∑2Y由）=V刚0A求VH作得架=AA杆=弯整1=30H体端矩0Bk8平4=弯图N6衡↑矩.，66，以，7kV∑D3NMB0C（=kBN杆1=→0o↑为k可←N例得↑）
M图: 通常检查刚结点处是否满足力矩的平衡条件。
例如取结点C为隔离体（图a），有：
∑MC=48－192+144=0 满足这一平衡条件。
48kN·m
C
192kN·m
Q(N)图：可取刚架任何一部分为隔
离体，检查∑X=0 和 ∑Y=0 是否满足。 144kN·m （a）
例如取结点C为隔离体（图b）， 有: ∑X=24－24=0 ∑Y=22－22=0
dQ q(x) dx
dM Q dx
d2M dx2
q(x)
据此，得直梁内力图的形状特征
梁上情况 q=0
q=常数
q↓ q↑
P 作用处
m 铰或
作用处 自由端 (无m）
水平线