李萨如图形的相关研究

实验一 简谐振动幅值测量试验一 实验目的1、了解并掌握简谐振动信号位移、速度、加速度幅值之间的关系。

2、学会用速度传感器测量简谐振动位移、速度、加速度的幅值。

3、正确理解和分析各种计算值与测试值之间的误差及其产生的原因。

二 实验原理振动体的位移、速度、加速度是系统振动的重要参数，正确测试其值对探索振动参量之间关系、全面了解和掌握振动规律有着重要的作用。

它们的值可用位移传感器、速度传感器或加速度传感器来直接测取,也可根据位移、速度、加速度的关系，用一种传感器来进行测量，或者利用测振仪的微分、积分电路来测量。

对于位移、速度、加速度三个振动参量，只要知道其中一个，就可以通过微分和积分变换求出另外两个振动参量。

在工程实践中，对有的参量，由于受条件限制无法测得时，可以通过参量变换求得。

另外，当三个振动参量的时间过程都测得时，可以通过参数变换进行相互检验。

将实测波形与参数变换得到的波形比较，进一步分析测量精度和误差范围，为测试波形的基线修正和测试结果的修正提供条件。

设某一简谐振动其固有园频率为n ω，初相位为0ϕ，该振动的位移、速度、加速度分别计为x 、v 、a 。

若)sin(0ϕω+=n B x （1-1）则)2sin( )cos(00πϕωωϕωω++=+==n n n n B B xv （1-2）)sin( )sin(0202πϕωωϕωω++=+-==n n n n B B x a （1-3）由（1-1）～（1-3）式可知，速度v 、加速度a 是与位移x 具有相同频率的简谐振动，但是其相位角分别超前2/π或π。

如果已知加速度a ，也可以通过积分求得速度v 及位移x变化规律。

位移x 、速度v 和加速度a 的相应的幅值分别记为B 、V 、A ，则其幅值关系为B f B V n 2πω== （1-4）B f B A n 2224πω== （1-5）上式中：f 为简谐振动的频率。

本实验主要由激振信号源通过电动式激振器对振动实验台上的简支梁施加谐激振，用速度传感器测量简支梁上某一位置在不同激振频率条件下的振动响应的位移、速度和加速度的幅值，这相当于测量简支梁在谐激振作用下该位置的稳态振动响应的位移、速度和加速度的幅值。

1 只改变振幅，图1Y坐标为图2的4倍，由图可知，图形基本结构未变，只是在Y方向上收缩了4个单位.类似可推，
只改变振幅，不影响图形的结构，只使图形在所改变的坐标轴方向上拉伸
2角速度相同时，X相位减小，X轴坐标改变，Y轴未变，图形基本结构未变。

（相位不影响周期，只影响形状）（未能做定量描述）
固定X坐标，Y坐标从（-pi/2）逐渐变化到（pi/2）由图可知：相位<0时，图形绕行方向为逆时针，相位>0时则为顺时针，且若相位互为相反数，则图形结构相似（相当于把图形打了个翻~），相位绝对值越大，图形在XOY平面上被压的越“瘪”（未定量描述）（定量描述比较变化前后的式子即可得出）
3相位相同时，依次将y 角速度调至x 的2倍，3倍，4倍，俯视图交点分别为1,2,3.
图形基本结构发生改变（角速度影响周期）且Y 角速度与X 的比值越大，波动越明显，交点
越多。

（整数倍时可猜想交点个数与倍数成线性关系）（未定量描述）
角速度之比为1.5，4/3,7/3倍时，图形以一种奇妙优美的规律展开（规律之美原谅我无法描述）
小结：
振幅，相位不影响周期，因而也不影响图形的结构，只能造成图形在X Y方向上的伸缩和方向上的差异。

角速度影响周期，即影响图形结构，角速度之比（整数倍）与交点个数拟存在线性关系，角速度之比为小数倍时，太奇妙了~。

李萨如图形的相关研究姓名：XXX班级：XXX学号：XXX指导教师：XXX班级序号：XXX摘要：探究李萨茹图形形成的原因以及影响其形状的因素，并通过matlab软件模拟出李萨茹图形，给出其原程序，及其相关图形；利用示波器和信号源，演示出一个李萨茹图形，探究李萨如图形的应用并设计出一个简易演示李萨茹图形的教具，并做简单说明。

关键词：李萨如图形；matlab；应用；设计教具1、李萨如图形简介(1)形成原因两个相互垂直的简谐振动，当他们的频率比是整数比时，合振动的轨迹是稳定的闭合曲线，此时就形成了李萨如图形。

(2)影响李萨如图形形状的因素：设两个互相垂直的简谐运动的方程为x=A1cos（2πn1t+Φ1）y=A2cos（2πn2t+Φ2）①设n1/n2=m1/m2(m1、m2是互质的整数)，李萨如图形的形状由分振动振幅、频率比和cos（m1Φ1-m2Φ2）确定。

②萨如图形具有对称性。

设n1/n2=m1/m2(m1、m2是互质的整数)。

当m1为为偶数时，图形关于x轴对称；当m2为偶数时，图形关于y轴对称；当m1、m2均为奇数时，图形关于原点对称。

③李萨如图形具有周期性。

取a= =Φ2-Φ1当Φ1为定值时，图形随Φ2变化的周期是2π/m1；当Φ2取定值时，图形随Φ1变化的周期为2π/m2；a取定值，图形随Φ1或Φ2变化的周期为|2π/(m1-m2)|。

2、MATLAB制图①一个振动初相位为零时的振动合成设wx和wy，为x、y两个方向的振动频率．先讨论简单情况：不妨设y方向初相位Φy为零，则初相位差Φx-Φy=Φx程序设计：wx=input(‘wx=’)；wy=input(‘wy=’)；nx=input(‘nx=’)；t=0：0．02：200；x=cos(wx*t+nx*3.1415926)；y=cos(wy*t)；plot(x，y)图像：②两个振动初相位均不为零时的振动合成程序设计：wx=input(‘wx=’)；wy=input(‘wy=’)；nx=input(‘nx=’)；ny=input(‘ny=’)；t=0：0.02：200；x=cos(wx*t+nx*3.1415926)；y=cox(wy*t+ny*3.1415926)；plot(x，y)图像：首先绘制几组不同y初相位条件下的图形，如图所示．为减少频率比的特殊性，选取频率比为3：2。

用激光显示李萨如图形一、实验目的：1、设计实验装置用激光显示李萨如图形；2、进一步练习使用光杠杆。

3、根据受迫振动和共振原理，并通过两个信号发生器的频率比的实验值与理论值的比较，分析受迫振动和共振原理对本次实验的影响。

二、实验原理：1、当两个方向相互垂直、频率成整数比的简谐振动叠加时，在屏幕上就会显示李萨如图形。

2、利用光杠杆原理可以使微小的振动放大。

3、利用共振原理，使得电磁打点计时器振动片的固有频率和低频信号发生器的频率相等，从而引发共振。

三、设计思路：激光先后照射到相互垂直的以一定频率振动的两反射镜后，射到屏幕上的波样相当于方向垂直的两个简谐振动的合成。

四、实验器材：电磁打点计时器两个、半导体激光器或氦氖激光器1台（半导体激光器效果更好，优先考虑；注意激光不要直射眼睛）、固2、激光照射到反光镜上的入射角的调整；3、整个实验装置的设计与调试。

4、如何使屏幕上的李萨如图形变得稳定。

六、实验内容：（1）取两个电磁打点计时器，去掉打点针与塑料罩，在振动片的振动端贴上反射镜。

（2）测定两个打点计时器振动片的固有频率（基频）。

将打点计时器与低频信号发生器相连接，逐渐改变信号发生器的频率，当振动片的振幅出现最大值时，此时信号发生器的频率就是振动片的固有频率。

如果两个打点计时器的固有振动频率不等，可改变振动片的长度或加上配重，使其振动频率相等。

（3）将两个打点计时器相互垂直放置，使激光照射在第一个打点计时器振动片的反射镜上后，经反射照射在第二个打点计时器振动片的反射镜上，反射后再投射在远处屏上。

（4）把两台低频信号发生器的输出端分别与两个打点计时器相连接。

开启发生器使振动条振动，发生器的输出频率分别与振动片的固有频率相同。

（5）演示二维同频（频率比为1：1）振动合成：李萨如图形激光演示装置调制好以后，平放在桌上，激光照射在远处屏上。

首先，打开X方向振动开关，演示X方向振动；然后，关闭X方向振动开关，打开Y方向振动开关，演示Y方向振动，最后打开X、Y方向振动开关，演示两个相互垂直方向的简谐振动合成。

实验二 用“李萨如图形法”测量简谐振动的频率一、实验目的1．了解李萨如图形的物理意义规律和特点。

2．学会用“李萨如图形法”测量简谐振动的频率。

二、实验装置图2-1 实验装置框图三、实验原理互相垂直、频率不同的两振动的合成，其合成振动波形比较复杂，在一般情况下，图形是不稳定的。

但当两个振动的频率为整数比时，即可合成稳定的图形，称为李萨如图形。

李萨如图形的形成如图2-2(a)所示，在图2-2(a)中，沿X 、Y 两个方向对两振动信号作两对边框，每对边框各有n x 和n y 两个切点，n x 与n y 之比就等于两个振动周期T x 、T y 之比，即：n y /n x =T y /T x =f x /f y 。

所以。

只要示波器荧光屏上出现了稳定图形，就可根据李萨如图形的规律求出待测频率f 。

1．1/=y x f f 时，振动方程： )2cos(111ϕπ+=t f A x （2-1） )2cos(222ϕπ+=t f A y （2-2） 当21ϕϕ=，则21A yA x =，图形为过原点的直线； 调压器测振仪激振信号源 QLVC-ZSA1调速电机传感器打印机当πϕϕ+=21，则21A y A x -=，图形为过原点的直线；当221πϕϕ±=-，则1222212=+A y A x ，图形为以X 、Y 轴为对称轴的椭圆；当21ϕϕ-为其它任意值时，得到的图形是形状各不相同的椭圆。

2．1/≠y x f f 时，合成振动波形不再是椭圆，而是更为复杂的图形。

但是，只要y x f f /是一个有理数，总能形成一个稳定的图形。

例如，2/=y x f f 时，图为“8”形，这表明，当Y 轴变化了一个正峰和一个负峰，则X 轴变化了两个正峰和两个负峰。

2/1/=y x f f 时，图形为“∞”形，这表明，当Y 轴变化了两个正峰和两个负峰，则X 轴变化了一个正峰和一个负峰。

李萨如图形的原理可以直观地同图解法来证明。

李萨育图形。

一、概述将被测正弦信号和频率已知的标准信号（由信号源提供）分别加至示波器的Y轴输入端和X轴输入端，在示波器显示屏上将出现一个合成图形，这个图形就是李沙育图形。

李沙育图形随两个输入信号的频率、相位、幅度不同，所呈现的波形也不同。

当两个信号相位差为90°时，合成图形为正椭圆，此时若两个信号的振幅相同的话，合成图形为圆；当两个信号相位差为0°时，合成图形为直线，此时若两个信号振幅相同则为与x轴成45°的直线。

二、示例下图为一些典型的李沙育图形：三、实验步骤示波器的使用(李沙育图形测频率)（1）示波器的调整示波器接通电源，待预热后顺时针调节“辉度”旋钮，将触发方式开关置AUTO，并使Y轴、X轴位移旋钮置中，银屏上显示出一条扫描基线，调“聚焦”旋钮使基线细而清晰。

（2）练习并掌握下列旋钮的作用调整信号源（比如：YB4320）输出2V、1kHz信号，作为示波器输入信号（怎样连线?）。

调节示波器有关旋钮，使屏幕上显示清晰而稳定、幅度为4格的三个完整波形，按表1逐一了解各旋钮功能，注意每次动一个旋钮，作完后恢复原状，再作另一个旋钮。

（3）用示波器测量信号幅度调整YB4320信号发生器f=1.5kHz，表头指示为4V。

示波器“微调”旋钮至“校准”位置，适当改变V/div的位置，测试表的内容。

（4）示波器测量信号周期及频率先校准TIME/div灵敏度（扫描速度“微调”旋钮置“校准”位置），信号源（比如：YB4320）输出为3V。

按表记录。

（5）用李沙育图形测频率:用示波器测频率方法很多，如李沙育图形法、亮度调制法等。

以李沙育图形法最简单，最准确。

其方法是：将已知频率的标准信号加到CH1（X）输入端，被测信号加到CH2（Y）输入端，TIME/div置“X-Y”位置。

根据两信号之比不同，李沙育图形法的形状不同，可求出被测信号；若在荧光屏上作互相垂直两直线x、y，且x、y不与图形相切，也不通过任一交点，则李沙育图形与x、y交点数Nx，Ny之比就是两信号频率之比：Fy/Fx=Ny/Nx。

探究李萨如图形环境科学10-2班李洋旸2010012208探究李萨如图形环科10-2班李洋旸2010012208李萨如（Jules Antoine Lissajous），法国数学家，生卒：1822年3月4日~1880年6月24日。

物理、工程中常用的李萨如图形便是以他的名字命名的。

在众多的创造中，李萨如发明了李萨如仪器，一种用来绘制李萨如图形的装置。

在这个装置中，一束光被一面固定在音叉上的镜子反射，然后再被第二面固定在音叉上的镜子反射，两个音叉震动方向互相垂直，两者音高也经常被设置为不同，以取得不同的谐振频率。

光束最后被打在墙上，得到了我们如今所称的李萨如图形。

这项发明是之后许多仪器的基础，如谐振仪（谐振记录仪）。

定义一个质点同时在X轴和Y轴上作简谐运动，形成的图形就是李萨如图形。

形成李萨如图形的另一种方法：把两个圆斜着放，在两个圆上任取两点，将这两点向右上角做垂线，交于一点。

然后将这两个点在圆上运动，点也随之运动。

点运动的轨迹形成李萨如图形。

000000000000000000公式李萨如图上的每一个点都可以用以下的公式进行表示：X=A1sin(ω1t+ψ1)Y=A2sin(ω2t+ψ2)从这里可以看出，李萨如图实际上是一个质点同时在X轴和Y轴上作简谐运动形成的。

但是，如果这两个相互垂直的振动的频率为任意值，那么它们的合成运动就会比较复杂，而且轨迹是不稳定的。

然而，如果两个振动的频率成简单的整数比，这样就能合成一个稳定、封闭的曲线图形，这就是李萨如图形。

性质若以Nx和Ny分别表示李萨如图形与外切水平线及外切垂直线的切点数，则其切点数与正弦波频率之间有如下关系：Fy/Fx=Nx/Ny用途设一信号为X=Asinωt，另一信号为Y=Bsin(ωt+ψ)，分别输入示波器的x轴和y 轴输入端，可以通过在示波屏上显示的椭圆的性质确定其相位差。

ψ=arcsin(b/B)，其中b是椭圆与X轴正半轴的交点值，B是椭圆上的点能取到的最大的X坐标的值。

李萨如图形法测声速的原理李萨如图形法测声速的原理是基于共振现象的。

在李萨如图形法中，我们使用李萨如图形仪来观察物体表面振动的传播情况。

通过改变频率和振动模式，可以得到不同的共振图形。

声速是指声波在给定介质中传播的速度。

在李萨如图形法中，我们可以使用这个方法来测量物体中的声速。

具体的原理如下：首先，我们需要一个李萨如图形仪。

这个仪器由两个相互垂直的振动源组成，它们可以产生不同频率和相位的振动信号。

我们将其中一个振动源称为驱动振动源，它用来激励物体表面的振动。

另一个振动源称为观测振动源，它用来观察物体表面的振动情况。

接下来，我们将物体放置在李萨如图形仪的工作台上。

驱动振动源产生的振动信号会传播到物体表面上，引起物体表面的振动。

观测振动源的位置会根据物体表面的振动情况产生一系列的图形。

根据声学的共振理论，当驱动振动源的频率与物体的固有频率相匹配时，物体的振幅会增大，产生明显的共振现象。

这时，在物体表面形成的李萨如图形中，我们可以观察到明亮和暗淡的区域，这些区域与共振模态有关。

通过调整驱动振动源的频率，并观察到李萨如图形的变化，我们可以找到物体的固有频率。

物体的固有频率与声速密切相关，因此可以借此推算出物体中的声速。

具体的测量步骤如下：第一步，我们需要找到物体的第一个固有频率。

我们可以逐渐调整驱动振动源的频率，使得观察到的图形变得明亮，并且形状规则。

这时，我们就找到了物体的第一个固有频率。

第二步，我们需要测量物体的长度。

长度是确定声速的关键参数。

我们可以使用任何合适的测量工具来测量物体的长度。

第三步，根据物体的长度和第一个固有频率，我们可以得到声波在物体中的传播速度。

声速可以通过下面的公式计算得到：声速= 2 * 第一个固有频率* 物体长度通过测量多个固有频率，并重复上述步骤，我们可以得到更精确的声速值。

总结起来，李萨如图形法测声速的原理是通过观察物体表面振动的共振现象来确定物体中声速的一种方法。

它利用了共振的特性，并结合李萨如图形仪的工作原理，通过测量物体的固有频率和长度来推算声速的数值。

李萨如图形研究
一、实验调研
1.查找资料，了解李萨如图形的原理
2.熟悉实验器材，尤其是示波器的使用
3.了解实验内容，实验器材的使用方法以及实验操作的具体步骤
二、实验调研结果
1.实验目的
1)学习使用电子示波器
2)观察李萨如图形
2.实验原理
当x 轴输入扫描信号时，示波器显示y 轴输入信号的瞬变过程。

当x 轴输入正弦信号，y 轴输入另一正弦信号，两者信号频率成简单整数倍时，观察到的是电子束受两个相互垂直的谐振运动的合成图形。

这种图形称为李萨如图形。

令x f 和y f 分别代表x 方向和y 方向正弦信号的频率，当荧光屏上显示出稳定的李萨如图形时，在水平和垂直方向分别作直线与图形相切或相交，数出此二直线与图形的切点数或交点数，则：
数垂直直线与图形的切点数水平直线与图形的切点=x
y
f f 或 点数垂直直线与图形相交的点数水平直线与图形相交的=
x y
f f 在荧光屏上数得水平直线与图形的切点数（或交点数）和垂直直线与图形的切点数（或交点数），就可以从一已知频率x f （或y f ）求得另一频率y f （或x f ）。

3.实验内容。

利用李萨如图形计算放电功率的推导曼利方程的派生曼利通过对电量vs电压曲线进行几何分析得通过气体转移的电荷量，以及耦合到气体中的能量。

但是曼利没有考虑杂散电容效应。

杂散电容不会改变Q-U曲线所包围的面积，但是会显著影响其形状。

在这个讨论的最初，没有包括杂散电容。

假定单元结构是对称的，那么Q-U曲线也是对称的。

在下文中u peak是指所加载的正弦电压的峰值，u b是气体的实际击穿电压，u gas是气体上的压降，C die是介质（s）的电容，C gas是气体的电容，C stray是整个结构的电容。

气体上的电压u有且（根据电容电压分配）时单元是一个纯电容。

气体上的电压u gas还不够高，不能引起放电。

电压u 和电量C同相，曲线Q cell=C cell u cell是一条直线，斜率为C cell= ，截距为原点。

当电压足够高而引起击穿时，这条直线会变宽为平行四边形，因为Q会由于放电中的电阻损耗而发生周期性变化。

这允许利用以下条件对曼利方程进行变换第二个方程假定介质上的电荷Q die代表了总电量Q cell，和沉积机制无关，也就是说不管电荷是由于电容还是由于电阻而通过气体耦合到介质上的。

所有的电荷都都通过测量电容C m测量。

第三个方程假设气体上的电压会升高到击穿电压以至最大值。

将方程（2）（3）代入方程（1）并化简得：方程（4）是图3中的一条直线，代表了放电过渡2-3和4-1，斜率为C die，Q cell轴被截于u b和C die的乘积。

因此u b可以直接在Q-U曲线上测量（只要杂散电容C stray相比于C gas可以忽略）。

将Q cell和u cell的峰值代入方程（4）可得：间隙上的电压反转，也就是让电容从u gas=u b到u gas=-u b，所需要的总电量为：可以从图3的几何上看到。

将方程（5）和（6）代入方程（7）可以获得下面的表达式：方程（8）代表了半周期内通过气体的放电电荷。

由于第次放电中每个电荷沉积了Q e u b能量到气体中（Q e是电子的电量），并且由于每个周期有一个正向和一个反向放电，所以一个周期内沉积到气体中的能量是将方程（8）代入（9）得方程（8）和（10）就是已知的曼利方程。